Determinação da Aceleração Gravitacional com uma mola

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1 INSTITUTO DE FÍSICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO RELATÓRIO EXPERIMENTAL Determinação da Aceleração Gravitacional com uma mola Guido Haytzmann¹, Leandro Fontes², Wedley Kawafune³ ¹ N USP ² N USP ³ N USP Física Experimental I Ana Carolina de Magalhães 29 de Junho de 2018

2 Resumo O objetivo deste experimento foi determinar a aceleração da gravidade. Para isso usamos como base a Segunda Lei de Newton, colocando uma massa ligada a uma mola em um plano inclinado, de modo que poderíamos determinar a força exercida pela mola pela Lei de Hooke, e de acordo com a inclinação do plano poderíamos calcular a gravidade. Tendo como comparativo o valor oferecido pelo IAG (g=9,7864m/s²), o valor que calculamos (11,1 m/s², com uma incerteza de 0,8 m/s²) o alcança considerando a incerteza duas vezes, porém esse resultado poderia ter um grau maior de veracidade, visto que tivemos problemas com a mola.

3 1. Introdução No ano de 1687, o físico inglês Isaac Newton forneceu um novo rumo para a ciência ao propor um modelo teórico totalmente autêntico que explicasse uma parte fundamental do funcionamento de toda a engrenagem cósmica que forma o universo: propunha que todos os objetos com massa atraem-se mutuamente ao longo da reta que une os centros de massa de cada um. Era a publicação da Lei da Gravitação Universal em seu consagrado livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica que estipulava os detalhes de qualquer interação gravitacional e, conforme tal preceito, todo par de massas que existisse no cosmos teria sua interação gravitacional regida pela Equação 1: GMm F = r² em que F representa a magnitude da força gravitacional, M e m são as massas de cada corpo interagentes, r é a distância entre os centros de massa dos corpos e G é uma constante denominada Constante Gravitacional Universal. A força tem direção da reta que une os centros de massa de cada corpo e sentido de aproximação entre esses corpos. É devida à atração gravitacional da Terra sobre os corpos ao seu redor que são verificados a queda dos corpos, a órbita da Lua e dos satélites, é o que permite o lançamento de mísseis e projéteis na superfície do planeta e é o que atrapalha o lançamento de foguetes e sondas espaciais, já que tudo que a gravidade faz é impelir a aproximação desses corpos. Por causa da notável presença dessa entidade física e também do grande leque de aplicações científicas e tecnológicas que lidam com ela, decidimos trabalhar para identificar um valor experimental para a constante de atração gravitacional na superfície da Terra. Tal identificação deu-se aplicando propriedades da mecânica do plano inclinado e da força elástica a um experimento simples montado em laboratório. Há uma famosa lei física que é aplicada a molas ideais, a qual caracteriza o comportamento da força promovida pela mola sob condições de estiramento ou (1) compressão, que é dada pela Lei de Hooke (Equação 2)

4 F = K Δx (2) em que F é a magnitude da força promovida pela mola, K é denominada constante elástica e relaciona-se com a dificuldade de deformar a mola e Δ x é a deformação da mola. A força atua sempre em sentido de restauração, isto é, de retornar ao seu comprimento original, antes da deformação. E, por fim, tem-se que, para um objeto sobre um plano inclinado, todas as forças aplicadas sobre ele podem ser decompostas em projeções paralelas e ortogonais ao plano sem alterar o resultado físico da experiência. 1.1 Objetivos Identificar um valor experimental para a aceleração gravitacional local, aplicando resultados conhecidos da mecânica do plano inclinado e das forças elásticas a um aparato experimental que os leva em consideração. 2. Descrição Experimental 2.1 Materiais utilizados A experiência baseou-se na determinação da aceleração gravitacional local por meio de um aparato semelhante ao da Figura 2, o qual permitia realizar uma estimativa da aceleração da gravidade a partir da deformação da mola promovida pelo peso de um carrinho de brinquedo desde que fosse conhecida a constante elástica da mola. Como não sabíamos o valor da constante elástica, tivemos que descobrí-la para dar seguimento ao trabalho. Para isso, usamos uma estrutura semelhante à apresentada na Figura 1, na qual prendemos um corpo de massa suficiente para deformar a mola e, por meio de uma fita métrica que estava colada

5 verticalmente no corpo da base, identificamos o valor da deformação. O aparato da Figura 2 dispõe de um suporte composto por duas tábuas de madeira (pisos superior e inferior do suporte) acopladas por meio de um eixo localizado em suas extremidades, o qual possui grande importância para o experimento, pois permite separar as tábuas angularmente. O aparato conta também com um bloco cuja função é manter a separação angular entre as tábuas. Além disso, utilizamos um prego para para manter a mola fixada. Na outra extremidade da mola acoplamos o carrinho de brinquedo. Para medir o deslocamento do carrinho usamos um papel graduado milimetricamente ( σ = 0, 0005 m) que estava colado na superfície do piso superior do suporte. No piso inferior também havia um papel semelhante que auxiliou-nos na determinação da distância do bloco (Figura 2) ao eixo da extremidade. Por fim, usamos uma régua ( σ = 0,0001 m) para medir a altura do bloco e um transferidor ( σ = 0, 5 graus) para medir, diretamente, o ângulo θ da Figura 3, e uma balança ( σ = 0, 0001 Kg) para medir a massa do carrinho. 2.2 Modelo Físico Base O grupo utilizou como base para a realização do experimento a Segunda Lei de Newton que diz que se o vetor momento de um corpo é invariante com o tempo, a resultante das forças é nula. Portanto o carro de brinquedo, quando em equilíbrio estático sobre o suporte deve ter força resultante nula.

6 2.3 Procedimento Inicialmente tivemos que descobrir a constante elástica da mola que usamos no experimento, já que sem ela não poderíamos estimar a força da mola. Para isso, foi usado o aparato da Figura (1) para testar a deformação da mola para cinco massas diferentes. No instante em que as massas estiveram em equilíbrio estático pode-se inferir que a resultante das forças externas eram nulas e, como praticamente só as forças gravitacional da Terra e elástica da mola eram de magnitude relevante, elas mutuamente se compensariam. Em linguagem matemática, isso significaria que a magnitude da força elástica era igual à magnitude do peso da massa. Dessa forma, temos que: mg = K Δx mg K = Δx (3) em que K é a constante elástica da mola, m é a massa do corpo pendurado na mola, Δ x é a deformação da mola e g é o valor da gravidade local. Obtida a constante elástica da mola, pudemos prosseguir ao objetivo de encontrar o valor da aceleração da gravidade. Para isso, o grupo utilizou a mecânica dos planos inclinados, tal como a Lei de Hooke para a força elástica. Além do mais, como a força peso pode ser decomposta em projeções paralela e perpendicular ao plano do piso superior do suporte (veja Figura 3), infere-se que, quando o carro encontrou-se em equilíbrio, a força elástica e a projeção paralela do peso agiram

7 de tal forma a impedir a ação motora da outra. Disto segue que: m gsinθ = KΔx mg Δ x = k sinθ (4) em que K é a constante elástica da mola, m é a massa do carrinho, Δ x é a deformação da mola, θ é a medida do ângulo de inclinação do suporte, e g é o valor da gravidade local. Com o aparato montado como na Figura 2, posicionamos o bloco de madeira de modo a formar 8 ângulos de 5 a 40 entre os pisos do suporte. Esses ângulos foram medidos de duas maneiras: a)mediu-se com o transferidor. b)mediu-se o valor da altura do bloco (Figura 1) com a régua e cada uma das suas distâncias ao eixo de rotação do suporte com o papel graduado do piso inferior; com os dados pudemos achar a tangente do ângulo antes de identificá-lo. Assim, consideramos o valor do ângulo como a média entre os dois valores medidos pelos métodos a) e b). O deslocamento do carrinho também era medido a partir da graduação do suporte: Inicialmente medimos a posição do carrinho sem nenhuma inclinação ( θ = 0 graus), e assim fomos medindo sua posição para cada ângulo. O carrinho possuia uma pequena barra vertical em sua lateral, que auxiliava em uma medida mais precisa da posição do carrinho sobre o papel graduado. 3. Resultados 3.1. Obtendo a constante elástica da mola Usamos a Equação 3 para encontrar os valores de K para cada uma das medidas realizadas, os quais podem ser encontrados na Tabela 1. O valor usado para a gravidade foi g IAG =9,7864m/s². Fizemos cinco medidas, duas delas fizemos com massas relativamente pequenas, de modo que provocaram pouca deformação na mola. Porém, ao calcular a

8 constante com esses dados, ela se apresentou com valores muito diferentes do esperado. Com isso consideramos apenas os outros três valores obtidos com massas maiores, que nos pareciam mais consistentes. X inicial (m) X final (m) Massa (Kg) Δ X (m) K (N/m) σ = 0, 0001 Kg σ = 0, 52 N/m 1,200 1,303 0,111 0,103 10,55 1,190 1,288 0,1033 0,098 10,32 1,189 1,354 0,1611 0,165 9,56 Tabela 1: constante elástica obtida para cada deformação da mola Assumimos o valor médio de K=10,14 N/m ( σ = 0, 52 N/m ; σ m = 0, 30 N/m) como estimativa para o valor real da constante elástica Obtendo a aceleração da gravidade Partimos a coletar os respectivos valores do deslocamento do carrinho para cada inclinação diferente que escolhemos, já que tanto os senos dos ângulos como os deslocamentos do carrinho são indispensáveis para aplicar a Equação 4. Lembre-se que os valores dos ângulos foram medidos de duas diferentes formas, de modo a obter-se maior levantamento de dados e não basear-se inteiramente em apenas uma medida, gerando maior precisão e confiança nos resultados.por causa disso, os valores do ângulo θ submetidos à análise foram as médias das medidas feitas pelos métodos a) e b). Os resultados apresentam-se na Tabela 2.

9 Massa do X inicial (m) X final (m) Δ X (m) carrinho (Kg) θ médio (graus) sin θ σ = 0, 0001 Kg 5,5 0,096 0,105 0,107 0,002 0,1592 9,9 0,17 0,105 0,108 0,003 0, ,5 0,250 0,105 0,116 0,011 0, ,7 0,337 0,105 0,136 0,031 0, ,8 0,419 0,105 0,1515 0,0465 0, ,7 0,495 0,105 0,1645 0,0595 0, ,6 0,568 0,105 0,178 0,073 0, ,7 0,639 0,105 0,199 0,094 0,1592 Tabela 2: deslocamento do carrinho para cada inclinação do suporte Com os dados, ajustamos a reta do Gráfico 1 pelo webroot. Gráfico 1: dados do deslocamento do carrinho para cada inclinação do suporte. Coeficiente linear = -0,025 ( σ = 0, 005 ) e angular = 0,175 ( σ = 0, 012 )

10 mg Resta que o coeficiente angular do Gráfico 1 é dado pela Equação 4 como e, k como previamente descobrimos que k=10,14 N/m e m=0,1592 Kg, encontramos que o valor da gravidade é, portanto, g = 11,1 m/s² ( σ = 0, 8 m/s²). 4. Discussão O resultado que obtivemos para a constante gravitacional dista de duas incertezas do valor de referência g IAG =9,7864m/s², então inicialmente poderíamos considerar nosso resultado como razoável. Porém vimos que a mola apresentou um comportamento adverso do esperando pela Lei de Hooke quando ela era pouco estirada, como também no Gráfico 1 os primeiros valores se organizaram diferentemente de uma reta, como era esperado pela Equação 4. Então temos a hipótese de que a mola que usamos possuía algum tipo de defeito, afetando nosso resultado. Com isso, acreditamos que, caso e experimento seja refeito, seria melhor usar uma mola com uma constante elástica bem definida, o que renderia um resultado mais próximo do valor de referência. 5. Conclusão A aceleração da gravidade que calculamos pode ser comparada ao valor de referência com dois graus de incerteza, sendo que este valor possivelmente seria ainda mais próximo se usássemos uma mola com um comportamento coerente com a Lei de Hooke. E, por fim, o modelo físico que utilizamos não pode ser desmentido.