SINCRONIZAÇÃO DE CAOS EM UMA REDE COM INTERAÇÃO DE LONGO ALCANCE

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1 Uiversidade Estadual de Pota Grossa Programa de Pós-Graduação em Ciêcias Área de cocetração - Física SINCRONIZAÇÃO DE CAOS EM UMA REDE COM INTERAÇÃO DE LONGO ALCANCE MARLI TEREZINHA VAN KAN PONTA GROSSA 2008

2 MARLI TEREZINHA VAN KAN SINCRONIZAÇÃO DE CAOS EM UMA REDE COM INTERAÇÃO DE LONGO ALCANCE Dissertação apresetada ao Programa de Pós-Graduação em Ciêcias, área de cocetração Física, da Uiversidade Estadual de Pota Grossa, como parte dos requisitos ecessários à obteção do grau de Mestre em Ciêcias. Orietador: Prof. Dr. Atoio Marcos Batista PONTA GROSSA 2008

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5 Agradecimetos Ao professor Atoio Marcos Batista, pela orietação competete, torado possível a realização deste trabalho. em mim. Ao professor José Tadeu Teles Luardi pelo icetivo e por acreditar Ao professor Sadro Ely de Souza Pito, pelo apoio, pelos esclarecimetos prestados, por sua importate cotribuição. Ao amigo e colaborador, Romeu Miquéias Szmoski, por todo auxílio a parte de programação e pelo cohecimeto compartilhado. A Fabiaa Heirich, pela amizade e pela disposição em ajudar. etapa de estudos. Aos colegas da pós-graduação, pela amizade e compaheirismo esta A meus pais que sempre acreditaram a importâcia do estudo. E por último, mas ão meos importate, agradeço a miha família, João Marcos, Ferada e Rafael Felipe, pelo apoio e compreesão ecessários em todas as etapas deste trabalho. i

6 Resumo Cosideramos redes de mapas acoplados com iterações de logo alcace para estudar a sicroização de caos. Redes de mapas acoplados têm sido ivestigadas itesivamete desde os aos 80 como modelos para eteder muitos feômeos espaço temporais observados em sistemas espacialmete estedidos, cosequetemete caos espaço temporal. Usamos o parâmetro de ordem complexo para quatificar a sicroização de caos em uma rede uidimesioal de mapas logísticos acoplados com a itesidade de acoplameto variado coforme uma lei de potêcia. Depededo do úmero de mapas, da itesidade de acoplameto e do alcace das iterações, a sicroização de caos completa pode ser obtida. Além disso, também calculamos o espectro de Lyapuov que forece as iformações sobre o grau de caoticidade da rede. ii

7 Abstract We cosidered coupled maps lattices with log-rage iteractios to study chaos sychroizatio. Coupled map lattices have bee itesively ivestigated sice early 80 s as models to uderstad may spatiotemporal pheomea observed i exteded spattially system, cosequetly spatiotemporal chaos. We used the complex order parameter to quatify chaos sychroizatio for a oe-dimesioal chai of coupled logistic maps with a couplig stregth which varies with the lattice i a power-law fashio. Depedig o the rage of the iteractios, complete chaos sychroizatio may be attaied. Furthermore, we also calculated the Lyapuov spectrum which give us iformatio about the degreeof chaoticity of the lattice. iii

8 Coteúdo Itrodução 2 Coceitos Fudametais 6 2. Sistemas diâmicos Potos fixos e órbitas periódicas Atratores Expoete de Lyapuov O mapa logístico Rede de Mapas Acoplados 2 3. Coceitos básicos Formas de acoplameto Acoplametos usuais Diâmica local da rede iv

9 3.5 Rede de mapas acoplados com iteração de logo alcace Sicroização de caos Sicroização Distribuição de tamaho dos platôs Espectro de Lyapuov 5 5. Espectro de Lyapuov de uma rede de mapas logísticos acoplados Espectro de Lyapuov para o acoplameto de logo alcace Dimesão de Lyapuov Coclusões 62 v

10 Capítulo Itrodução O estudo de sistemas diâmicos tem recebido grade ateção da comuidade cietífica recetemete. Etede-se por sistema diâmico todo o sistema que evolui o tempo, qualquer que seja a sua atureza, a qual pode ser física, biológica, química, social ou ecoômica. Como exemplos de sistemas diâmicos pode-se citar um circuito elétrico, o sistema ervoso de um ser vivo ou uma população de eurôios. A teoria dos sistemas diâmicos permite descrever a evolução temporal de um sistema para eteder ou prever o seu comportameto futuro. Os sistemas diâmicos podem ser classificados quato a variável temporal, a qual pode ser discreta, represetados por mapas, e de tempo cotíuo, os quais são represetados por equações difereciais. As equações podem ser lieares ou ão-lieares, com parâmetros fixos ou variáveis o tempo. O comportameto diâmico de um sistema pode ser modificado se seus parâmetros são alterados. Esta dissertação trata de um sistema diâmico de tempo discreto e aborda uma equação do tipo ão-liear, resolvida pelo uso de recursos computacioais. O iteresse em se aalisar um sistema diâmico e seu comportameto surge da curiosidade de saber se evetos existetes a atureza podem ser modelados por equações matemáticas. A aálise de modelos matemáticos pode revelar aspectos

11 importates de feômeos biológicos, físicos, químicos e sociais, e requer o uso de técicas sofisticadas para a iterpretação dos resultados obtidos []. O úmero de trabalhos existetes em sistemas diâmicos ão-lieares vem aumetado com o passar do tempo, e o coceito de atrator caótico surgiu de um trabalho meteorológico de Lorez realizado em 963 [2]. Equato coletava dados e os aalisava através de três equações difereciais ordiárias de primeira ordem, Lorez descobriu que determiados sistemas podiam possuir comportametos diferetes mesmo partido de codições iiciais muito próximas. A partir deste fato muitos trabalhos surgiram a área de caos [3]. Caos é etedido como um comportameto aperiódico que apreseta sesibilidade às codições iiciais. Isto sigifica que duas trajetórias que origiam-se de codições iiciais ligeiramete diferetes, afastam-se expoecialmete com o passar do tempo, obstruido a capacidade de prever o estado futuro do sistema. Para o estudo de um sistema diâmico pode-se utilizar um modelo espaço-temporal. As redes de mapas acoplados foram itroduzidas a partir de 983 [4, 5] como uma forma de estudar caos espaço temporal. Nessas redes o espaço e o tempo são discretos equato que a variável de estado é cotíua. As redes de mapas acoplados ão ecessitam de muito tempo computacioal, pois o tempo, este caso, é discreto, possibilitado uma maior facilidade para a sua implemetação computacioal, diferetemete de sistemas físicos que são modelados por equações difereciais acopladas. Do poto de vista computacioal, o tempo de processameto gasto com o estudo umérico deste tipo de rede é muito grade devido à atureza cotíua de sua variável temporal, o que tora o estudo da diâmica do sistema bastate difícil. Certas redes de mapas acoplados exibem feômeos iteressates como itermitêcia [6, 56], sicroização e supressão de caos [7, 8]. Algus trabalhos sobre redes de mapas acoplados abordam redes ode a iteração etre os elemetos ou sítios é local, ou seja, somete os sítios vizihos 2

12 cotribuem para o acoplameto a rede [4]. Em outros trabalhos, as redes em estudo possuem um acoplameto com iteração ão-local do tipo campo médio, isto é, cada sítio iterage com os demais sítios da rede com a mesma itesidade [8]. Nesta dissertação, ivestiga-se uma rede de mapas acoplados ode a iteração etre os sítios é ão-local, cotudo a itesidade da iteração decai segudo uma lei de potêcia com a distâcia ao logo da rede. O acoplameto tipo lei de potêcia apreseta um parâmetro efetivo de alcace, e a criação de uma rede acoplada localmete ou acoplada globalmete pode ser realizada variado-se a itesidade do alcace da iteração. As cotribuições para este trabalho cocetram-se pricipalmete os estudos recetes de Tessoe e colaboradores [9], os quais mostraram que duas réplicas acopladas de sistemas espacialmete estedidos sicroizam para um estado caótico espaço temporal comum acima de uma certa amplitude de acoplameto, e passam a apresetar esta diâmica após o acoplameto. Na referêcia [9], a trasição para a sicroização foi estudada como uma trasição de fase de sistemas em ão equilíbrio, e propriedades críticas foram aalisadas variado-se o alcace da iteração. A trasição ecotrada é do tipo cotíua, equato que os ídices críticos variam cotiuamete com o expoete da lei de potêcia que caracteriza a iteração. Evidêcias uméricas fortes idicam que a trasição pertece à classe de uiversalidade da família de Percolação Direcioada Aômala ecotrada por espalhameto via vôo de Lèvy de processos epidêmicos. A Percolação Direcioada Aômala aparece em espalhameto epidemiológico, sempre que o agete ifeccioso pode executar vôos de Lèvy. Na difusão do tipo Lèvy, vôos logos são itercalados com saltos mais curtos, de modo que uma região muito maior é coberta pelo agete. Tal processo, pode ser modelado assumido, por exemplo, em uma rede uidimesioal, que um sítio já ifectado propaga a doeça para algum outro sítio obedecedo a uma lei de potêcia. Neste trabalho, o comportameto de uma rede de mapas acoplados será aalisado através da sicroização. A aálise de feômeos de sicroização 3

13 a evolução de sistemas diâmicos, iiciou-se o século XVII com a descoberta de Christia Huyges, de que dois pêdulos de relógio, muito fracamete acoplados, toravam-se sicroizados em fase. Sistemas de osciladores acoplados podem ser ecotrados a atureza, iclusive os seres vivos. Um exemplo pode ser visto o comportameto coletivo de algumas espécies de vaga-lumes que, a época do acasalameto, apagam e acedem suas luzes de forma sicroizada [0, ]. Mais recetemete, a busca por sicroização voltou-se para sistemas caóticos. O feômeo da sicroização caótica pode ser observável em muitos sistemas físicos reais, como por exemplo, sistemas elétricos, sistemas de lasers [2], sistemas biológicos [], juções de Josephso [3] e também em ovas técicas de comuicação [4]. A caracterização da diâmica temporal de uma rede de mapas acoplados pode ser feita mediate a determiação e aálise do espectro de expoetes de Lyapuov e pela dimesão de Lyapuov. Cada expoete do espectro é uma medida da taxa com que duas trajetórias istáveis se afastam o espaço de fases à medida que o tempo evolui. Se os expoetes de Lyapuov são egativos, as trajetórias covergem e a evolução ão é caótica. Se um ou mais expoetes de Lyapuov são positivos, sigifica que as trajetórias divergem, e a evolução será caótica, e, portato, sesível às codições iiciais. O espectro de Lyapuov de mapas logísticos com acoplameto local foi estudado por Kaeko [5], Crutchfield [6] e Isola [7]. O espectro de Lyapuov de mapas com acoplameto tipo lei de potêcia assim como a dimesão de Lyapuov podem ser ecotrados em trabalhos de [9, 20, 2, 22]. A rede e suas características são ivestigadas de modo que a proposta deste trabalho cosiste em: ) estudar o comportameto diâmico coletivo obtido a rede com acoplameto de logo alcace; 2) utilizar o parâmetro de ordem para o diagóstico de sicroização caótica; 3) idetificar o espaço de parâmetros as regiões de sicroização; 4) caracterizar a diâmica da rede através da aálise do espectro de Lyapuov e da dimesão de Lyapuov. 4

14 Esta dissertação de mestrado está orgaizada da seguite forma: o capítulo dois cotém coceitos fudametais da teoria de sistemas diâmicos, potos fixos e órbitas periódicas, atratores, um método para o cálculo do expoete de Lyapuov para mapas uidimesioais e fialmete apreseta-se um breve estudo sobre o mapa logístico, utilizado como diâmica da rede. O capítulo três aborda os coceitos básicos de rede de mapas acoplados, formas de acoplameto, acoplametos usuais e diâmica local da rede. O capítulo quatro trata da rede de mapas acoplados com iteração do tipo lei de potêcia, cujo maior iteresse é o de ecotrar a sicroização e, além disso, verificar a preseça de platôs de sicroização e itermitêcia. Isso será feito pela aálise do parâmetro de ordem complexo proposto por Kuramoto que possibilita a caracterização destes estados. O capítulo cico apreseta o estudo do espectro de expoetes de Lyapuov em uma rede de mapas acoplados utilizado-se o acoplameto de alcace variável, o qual permite a trasição etre o acoplameto local e global, e aida, o estudo do espectro de Lyapuov para o acoplameto de logo alcace e a dimesão de Lyapuov com o objetivo de se evideciar a sicroização caótica. Fialmete, o capítulo seis apreseta as coclusões do trabalho. 5

15 Capítulo 2 Coceitos Fudametais Neste capítulo serão apresetados algus coceitos de diâmica ãoliear cosiderados relevates para uma melhor compreesão dos temas abordados. 2. Sistemas diâmicos Um sistema diâmico cosiste de uma regra determiística e de um cojuto de possíveis estados, os quais represetam iformações que caracterizam o sistema em um certo istate de tempo. Um sistema diâmico é descrito por variáveis depedetes e variáveis idepedetes, que variam o tempo [25, 54]. O seu estado é represetado pelos valores do cojuto de variáveis depedetes um certo istate de tempo e o espaço de estados possíveis é deomiado espaço de fase. A seqüêcia de estados ao logo do tempo defie uma curva esse espaço de fase, deomiada trajetória. À medida que o tempo aumeta, as trajetórias podem ou ão covergir para um cojuto de dimesão iferior, deomiado atrator. Um atrator é um estado para o qual o sistema evolui o tempo a partir de certas codições iiciais. A evolução de um sistema é descrita por um cojuto de equações discretas ou cotíuas as quais permitem a previsão do futuro, dado o passado do sistema. 6

16 Um sistema diâmico cotíuo é caracterizado por um cojuto de equações difereciais. Um exemplo é o sistema de equações ordiárias de primeira ordem. No tempo, dx(t) dt = F (x, t), a qual x(t) é um vetor D-dimesioal e F uma fução D-dimesioal de x e t. Se as variáveis depedetes e o tempo forem cotíuos, essas regras serão equações difereciais ordiárias [26, 54]. Um sistema diâmico discreto é caracterizado pela iteração de uma fução. A fução que descreve tal sistema é chamada de mapa e é represetada a forma x + = f(x ), ode o tempo é um valor discreto iteiro e f(x ) é uma fução liear ou ão-liear. A escolha da lei f, pode dar origem a diferetes tipos de comportametos. Se f for uma fução liear em x, esta diâmica é simples e depede da escolha de f. Observa-se que, a maioria dos feômeos ou leis são ãolieares, o que tora a sua aálise mais complexa, exigido o uso de cohecimetos mais elaborados. Para ilustrar a riqueza de comportametos gerados por um sistema ão-liear, cosidera-se o mapa logístico. 2.2 Potos fixos e órbitas periódicas O objetivo básico da teoria de sistemas diâmicos é compreeder o comportameto fial ou assitótico de um processo iterativo. Mas o que cosiste este processo? Seja uma fução f de R em R. Iicialmete, preocupa-se em tomar um poto x 0 do domíio desta fução e cohecer a sua imagem f(x 0 ). Porém, f(x 0 ) também pode ser um poto do domíio de f, e pode-se saber a sua imagem f(f(x 0 )). Cotiuado assim pode-se saber quem são os potos x 0, f(x 0 ), f(f(x 0 )), f(f(f(x 0 ))), e assim por diate. Este cojuto de potos é chamado de órbita ou trajetória do poto x 0. Segudo Lorez, órbitas são as represetações o espaço de fases de uma seqüêcia croológica cotíua ou discreta de estados [27]. Dado um x 0 R, 7

17 e um sistema diâmico discreto f, defie-se uma órbita de x 0 sobre f como uma seqüêcia de potos x 0, x = f(x 0 ), x 2 = f (2) (x 0 ),..., x = f () (x 0 ),.... O poto x 0 é deomiado de semete da órbita [28]. Existem vários tipos de órbitas em sistemas diâmicos. Uma órbita cosiderada importate é o poto fixo. Um poto x é fixo se satisfaz f(x ) = x. Se f 2 (x ) = f(f(x )) = f(x ) = x e, em geral, f (x ) = x, etão a órbita do poto fixo é a seqüêcia x, x,..., ou seja, um poto fixo uca se move. Os potos fixos para mapas são ecotrados resolvedo a equação f(x) = x ou geometricamete, examiado-se a iterseção do gráfico de f com a liha diagoal y = x. Nas equações difereciais, ao ivés de potos fixos, têm-se os potos de equilíbrio que são determiados pela codição dx(t) dt = 0. Outro tipo de órbita é a periódica, ou cíclica. O poto x é periódico se f k (x ) = x para algum k > 0. O k míimo é deomiado de período da órbita. Se x 0 é periódico com período k, etão a órbita de x 0 é uma seqüêcia repetida de úmeros: x 0, f(x 0 ),..., f k (x 0 ), x 0, f(x 0 ),..., f k (x 0 ). Para ecotrar potos de período k, o caso de sistemas discretos, é ecessário resolver f k (x) = x. Sabedo-se da simplicidade dos tipos de órbitas, estas podem evoluir de maeira complexa e caótica. Uma das características de sistemas caóticos é a preseça de órbitas que ão se repetem e ocupam todo o domíio da fução, ou seja, passam arbitrariamete perto de qualquer poto em um dado itervalo de tempo. Essas são as órbitas desas. Além da localização dos potos fixos que represetam os estados estacioários do sistema, pode-se obter iformações importates aalisado sua estabilidade, permitido eteder o comportameto diâmico em sua vizihaça. Para estudar a estabilidade de um poto fixo x de x + = f(x ) deve-se verificar o que ocorre com as sucessivas iterações a partir de um poto x próximo de x. Seja o poto x próximo de x, isto é, x = x + δ. A distâcia 8

18 etre estes potos é dada por δ = x x. (2.) A distâcia evolui para δ + = x + x = f(x ) x = f(x + δ ) x, (2.2) expadido o mapa f(x) em série de Taylor em toro de x tem-se: ( ) df(x) f(x + δ ) = f(x ) + δ + ( d 2 ) f(x) dx 2 δ2 +..., (2.3) dx x=x 2 x=x ode os termos da expasão que coteham potêcias de δ de ordem igual ou superior a dois serão desprezados. Para que esta liearização seja válida, δ deve ser tomado suficietemete pequeo. De (2.2) e (2.3), admitido-se δ pequeo a poto de se desprezar os termos de ordem superior a dois em δ levam à seguite expressão para δ + ( ) df(x) f(x + δ ) f(x ) = δ, δ + = dx x=x ( ) df(x) δ dx. (2.4) x=x Se δ + < δ as iterações covergem para o poto fixo x e este é estável (atrator). A codição ecessária e suficiete para isso é ( ) df(x) <. (2.5) dx x=x Se δ + > δ as iterações divergem do poto fixo x e este é istável (repulsor), e é caracterizado pela codição ( ) df(x) >. (2.6) dx x=x Pode-se aida observar o caso em que a derivada do sistema seja igual a. Nesse caso, a liearização efetuada ão é suficiete para afirmar se o poto fixo é ou ão estável. O caso em que a derivada seja igual a 0 ode o poto mais estável é eqüidistate dos extremos, sedo deomiado de super-estável. 9

19 Coclui-se etão, que os estados seguites x, x 2,..., x, gerados a partir de x 0 tomado próximo de x, podem se aproximar ou se afastar do poto fixo x. O úmero de potos fixos em um dado sistema depede do grau da fução f que descreve o sistema. Por exemplo, se a fução for do segudo grau, podem haver o máximo dois potos fixos. No caso de todos os potos serem istáveis, o estado do sistema uca coverge para um poto, sua evolução temporal irá oscilar etre algus valores (órbita periódica), ou uca passará por um mesmo estado. 2.3 Atratores Um atrator é um cojuto ivariate para o qual as órbitas covergem depois de um tempo suficietemete logo [29]. Atrator é a figura costruída o espaço de fases quado vários estados iiciais evoluem por um tempo logo e elimiase o tempo trasiete. Etede-se por tempo trasiete o tempo ecessário para que o sistema evolua para um comportameto assitótico. Por exemplo, o poto fixo é um atrator: dada uma codição iicial a vizihaça do poto, o estado irá evoluir para o poto fixo e permaecerá este poto. Sistemas com diâmica periódica, apresetam atratores periódicos. Mesmo os sistemas caóticos, que ão apresetam covergêcia de órbitas, podem apresetar uma espécie de atrator deomiado atrator estraho, o qual apreseta estrutura fractal. O cojuto de todos os potos o espaço de estados que covergem para um determiado atrator, deomia-se bacia de atração desse atrator. Sistemas diâmicos que possuem atratores são deomiados sistemas dissipativos, porque o comportameto destes levam à perda de eergia para o meio ambiete. Geometricamete, esses sistemas sofrem cotrações em volumes do espaço de estados, isto é, se for escolhida uma região desse espaço cujos potos são usados como codições iiciais do sistema, percebe-se que coforme o estado evolui, as 0

20 órbitas geradas covergem ou tedem para regiões meores, em termos de volume, do que a região que iicialmete as geraram. Outra categoria de sistemas são os coservativos que, diferetemete dos dissipativos, preservam volumes do espaço de estados. O que caracteriza este tipo de sistema, é que ão há covergêcia em divergêcia das órbitas, como se o sistema sempre coservasse sua eergia. Um sistema com diâmica caótica apreseta um atrator caótico. Um atrator caótico é um cojuto que possui depedêcia sesível às codições iiciais. Esse fato é resultado de duas órbitas muito próximas do sistema que divergem completamete, coforme o sistema evolui o tempo. Um sistema caótico é resultado de uma lei determiística de evolução, isto é, sempre o mesmo comportameto é gerado, sob as mesmas codições. A aperiodicidade é o que impossibilita previsões a logo prazo a respeito do estado do sistema. É iteressate observar que uma órbita caótica visita sempre um poto distito do espaço de estados, uca passado pelo mesmo poto mais do que uma vez, em qualquer istate de tempo. O comportameto caótico é comum e pode existir em modelos simples, como é o caso do mapa logístico. O estudo e a previsão do comportameto caótico pode ser feito por meio de medidas. Uma das maeiras de se ivestigar o comportameto caótico de um sistema é através do cálculo dos expoetes de Lyapuov do mesmo. 2.4 Expoete de Lyapuov O expoete de Lyapuov expressa a taxa média de expasão ou de cotração da distâcia etre duas trajetórias caracterizadas por codições iiciais muito próximas. Medir o expoete de Lyapuov etre duas trajetórias é equivalete a medir o expoete em um cojuto de trajetórias. Para cada dimesão do espaço de fases existe um expoete associado que determia o comportameto do cojuto

21 ocupado pelas codições iiciais ao logo do tempo. Na seqüêcia, apreseta-se um método para calcular o expoete de Lyapuov para mapas uidimesioais. Dado o mapa uidimesioal x + = f(x ), (2.7) sejam dois potos iiciais próximos x 0 e y 0 e a distâcia etre eles δ 0 = y 0 x 0. Admite-se que depois de uma iteração a ova distâcia seja δ = y x. Pode-se relacioar δ 0 e δ e as sucessivas distâcias a partir de uma variação expoecial, δ = e λ δ 0, δ 2 = e λ 2 δ = e λ +λ 2 δ 0,. δ = e λ δ = e λ +λ 2 + +λ δ 0 = e λ δ 0 (2.8) ode λ = λ +λ 2 + +λ mede a taxa expoecial média de expasão das trajetórias vizihas. Se λ > 0, há uma expasão do cojuto, se λ = 0, o cojuto se matém e se λ < 0, há uma cotração. A relação (2.8) permite escrever f (y 0 ) f (x 0 ) = e λ δ 0 λ = l f (x 0 +δ 0 ) f (x 0 ) δ 0, (2.9) ode f (x 0 ) idica a -ésima iteração de f(x 0 ). Deve-se cosiderar uma distâcia iicial ifiitesimal (δ 0 0) e um úmero ifiito de iterações ( ) λ = lim lim l f (x 0 +δ 0 ) f (x 0 ) δ0 0 δ 0 λ = lim l df (x 0 ) dx 0, (2.0) logo λ é por defiição o expoete de Lyapuov do mapa e costitui uma medida de divergêcia expoecial (λ > 0) ou de cotração (λ < 0), ão depededo da 2

22 trajetória viziha, mas podedo depeder do poto iicial x 0. Pela regra da cadeia, d dx 0 f (x 0 ) = d d f(x ) f(x 2 ) dx dx 2 d dx 0 f(x 0 ), (2.) ode x i = f i (x 0 ) é o resultado da i-ésima iteração do mapa a partir da codição iicial x 0. Substituido (2.) em (2.0) obtém-se λ = lim l f (x i ). (2.2) i=0 Pode-se separar o logaritmo do produtório em somas, e o logaritmo atural do úmero de Lyapuov, expoete de Lyapuov, pode ser escrito como λ = lim l f (x i ) (2.3) i=0 ode idica o úmero de iterações em que o sistema é observado, f é a derivada da lei de evolução do sistema, que é calculada em cada poto x i de uma órbita gerada sob uma codição iicial. Valores positivos para os expoetes de Lyapuov (ao meos um deles sedo positivo) idicam caos. Valores egativos idicam comportametos covergetes, como periódico ou de poto fixo. Valores ulos idicam quase-periodicidade ou mudaça de comportameto (potos de bifurcação). A teoria da bifurcação está sedo muito estudada em sistemas diâmicos e teta-se ecotrar mecaismos pelos quais sistemas mudam de um comportameto simples para um comportameto complexo [30]. O aparecimeto de caos em sistemas diâmicos está ligado à ocorrêcia de bifurcações [29]. O processo de bifurcação pode ser cosiderado como sedo a passagem de um estado de equilíbrio para um estado de comportameto periódico e, a seguir, para um estado de comportameto caótico. Este processo depede da existêcia de um certo úmero de variáveis, acopladas etre si, e com mudaças. Para um mapa em R m, cada órbita tem m úmeros de Lyapuov, que medem as taxas da separação do poto atual da órbita ao logo das direções ortogoais o espaço de fases, direções estas determiadas pela diâmica do mapa. Um 3

23 mapa de m dimesões, pode ser escrito como x + = f(x ), com x e f pertecetes a R m. O espectro de expoetes de Lyapuov é defiido por (e λ, e λ 2,..., e λm ) = lim (módulo dos autovalores de J(x i )), (2.4) e pode-se escrever o expoete λ da forma λ = lim l[ módulo dos autovalores de J(x i ) ], (2.5) ode J(x i ) é a matriz Jacobiaa do mapa calculada em x i = f i (x 0 ), isto é i=0 i=0 J(x i ) = f i x i. (2.6) Os expoetes de Lyapuov são calculados para cada uma das m dimesões ou variáveis de estado do sistema cosiderado. A seção seguite apreseta o mapa logístico que é um mapa ão-liear, de tempo discreto, de dimesão uitária e usualmete utilizado para ilustrar muitas das características de sistemas diâmicos. 2.5 O mapa logístico No fial do século XVIII o úmero de pobres a sociedade iglesa era cosiderável e para eteder tal fato, em 798, Thomas Malthus publicou seu Esaio sobre o pricípio da população [3]. Ele relacioou a população P + de uma geração + com a população P da geração, supodo que a população aumetava progressivamete a depedêcia de um fator de crescimeto. Pode-se escrever o modelo de Malthus como P + = CP, (2.7) ode = 0,, 2,..., idicam as sucessivas gerações populacioais e C o fator de crescimeto por geração relacioado com a taxa de crescimeto (taxa de atalidade meos a taxa de mortalidade). Este modelo também descreve um crescimeto expoecial 4

24 ilimitado para C > e um decaimeto até a extição para C < [32]. Thomas Malthus afirmava que a população crescia em uma progressão geométrica, equato que os meios de subsistêcia aumetavam em uma progressão aritmética, portato, de forma mais leta, justificado a escassez de alimeto da época. Ispirado o trabalho de Malthus, o matemático Pierre-Fraçois Verhulst ( ) questioou o crescimeto idefiido das populações e sugeriu que haveriam fatores de iibição do crescimeto. As populações chegariam a um valor máximo P max, a uma taxa que seria proporcioal a difereça etre o úmero máximo e o úmero atual de idivíduos (P max P ). De acordo com o modelo apresetado a equação (2.7), C ão seria mais uma costate, mas uma fução de P de forma que C = k(p max P ), (2.8) P + = k(p max P )P, (2.9) dividido os dois membros da equação (2.9) pelo úmero máximo de idivíduos dessa população e deotado x = P /P max e r = k/p max, pode-se escrever a equação (2.9) a forma cohecida como mapa logístico: x + = f(x ) = rx ( x ), (2.20) sedo r > 0, x + é uma parábola de cocavidade voltada para baixo com o seu valor máximo em x =. Uma vez que ão faz setido populações egativas, este modelo 2 exige que 0 x 0 e 0 r 4. Dado um valor iicial x 0 obtém-se um valor x, para este valor, calcula-se x 2, e assim por diate. Os valores de x sempre estarão o itervalo etre 0 e. Depededo do valor do parâmetro de cotrole r pode-se evideciar vários tipos de comportameto diâmico: o valor de x pode covergir para um poto fixo; ou oscilar etre 2, 4, 8,... valores diferetes; ou aida pode varrer ifiitos valores de forma a uca retorar a um mesmo poto. Por possuir esta riqueza de comportametos o mapa logístico ficou muito cohecido [30]. O mapa logístico apreseta comportametos diferetes quado o seu parâmetro de cotrole r for variado. A figura (2.) mostra quatro comportametos 5

25 da diâmica do mapa logístico para diferetes valores de r partido todos de uma codição iicial igual x 0 = 0,. No mapa logístico, em que r = 2, 8, a codição iicial evolui para o poto fixo x = 0, Com parâmetro de cotrole r = 3, 3, o sistema evolui para uma órbita de período 2, apresetado os x = 0, e x = 0, para a variável de estado. Com parâmetro de cotrole r = 3, 5, o sistema evolui para uma órbita de período 4 com os seguites valores para a variável de estado x = 0, , x = 0, 82703, x = 0, e x = 0, Com r = 3, 9, o mapa logístico apreseta sesibilidade às codições iiciais ou comportameto caótico. Para eteder melhor estes comportametos, é ecessário um estudo sobre a estabilidade de potos fixos os mapas aalisados. Assumido f(x ) = x a equação (2.20), chega-se aos potos fixos x = 0 e x 2 = df(x). Como r dx os valores associados a x e x 2 pela equação γ = df(x) dx = r( 2x), são γ = r e γ 2 = 2 r. Estes potos serão estáveis quado γ <, e istáveis quado γ >. Para 0 < r <, x = 0 é assitoticamete estável, logo x coverge assitoticamete para x = 0. Em r =, ocorre uma bifurcação e os potos de equilíbrio trocam suas estabilidades. No itervalo < r < 3, x = 0 é istável, equato que x 2 é assitoticamete estável e x coverge para x 2 =. Para r = 3 tem-se uma bifurcação de duplicação r de período, surgido uma órbita estável de período 2, ou seja, a órbita estável deixa de ser o poto fixo e passa a oscilar periodicamete etre dois valores, que chama-se órbita de período 2. A idetificação dos potos de período 2 se dá assumido que f 2 (x ) = x, sedo que f 2 (x ) = f(f(x )). Para r = 3, 45 a órbita de período 2 fica istável e sofre uma bifurcação de período, gerado uma órbita estável de período 4. A medida que o valor de r aumeta, as bifurcações passam a ocorrer idefiidamete. Para visualizar as bifurcações, costrói-se um diagrama de órbitas, ode são salvas as soluções atratoras (os trasietes são elimiados). Tempo trasiete correspode aos primeiros potos da órbita que são ormalmete desprezados pois o que iteressa a 6

26 x x x x 0,5 (a) ,5 (b) ,5 (c) , (d) Figura 2.: Comportametos da diâmica do mapa logístico x + = rx ( x ) para diferetes valores de r e codição iicial x 0 = 0,. (a) r = 2, 8, o mapa logístico exibe um poto fixo atrator; (b) r = 3, 3, órbita de período 2; (c) r = 3, 5, órbita de período 4; (d) r = 3, 9, comportameto caótico. 7

27 diâmica é o comportameto fial. A figura (2.2) apreseta o diagrama de órbitas, ode pode-se observar a cascata de bifurcações e jaelas de periodicidade. Sabe-se que para o valor do parâmetro r = 4, o mapa apreseta comportameto completamete caótico. Para qualquer valor de r < 3, ão existem órbitas períodicas com períodos maiores do que um. Para o itervalo < r < 3, qualquer codição iicial que satisfaça 0 < x < faz com que o atrator se aproxime de x =. Para r = 3 ocorre um duplicação de período, ou seja, aumetado o r valor de r aparecem órbitas de período 2, 4, 8,... até um período ifiito próximo de r = 3, 56994, devido à órbita ficar istável. No itervalo de 3, r 4 o mapa apreseta um comportameto que varia etre caótico e jaelas periódicas. Coforme foi visto a seção aterior, os expoetes de Lyapuov são utilizados para calcular a taxa de divergêcia de trajetórias, quatificado a sesibilidade às codições iiciais. A fução que defie o mapa logístico depede do parâmetro de cotrole r. Etão, o valor de λ também depederá desse parâmetro. Ao se costruir o gráfico de r em fução de λ pode-se idetificar para quais valores de r tem-se depedêcia em relação às codições iiciais (λ > 0) e, portato, sob quais codições o sistema apreseta comportameto caótico. Na figura (2.3) apresetase a variação do expoete de Lyapuov com o parâmetro de cotrole para o mapa logístico. Observa-se que os potos de bifurcação o expoete de Lyapuov é ulo, as regiões periódicas é egativo e as regiões caóticas é positivo. Para observar com detalhes, estabelece-se uma relação etre os diagramas de bifurcação, figura (2.3 a e c) e do expoete de Lyapuov, figura (2.3 b e d). Um expoete de Lyapuov egativo caracteriza um poto atrator, pela figura percebe-se que isto ocorre para valores iiciais de r, ode o valor do expoete está abaixo de zero, sedo apeas igual a zero os potos ode ocorrem as bifurcações. Por outro lado, para r aproximadamete igual a 3, 5 o expoete tora-se positivo, e é a partir daí que surgem as primeiras órbitas caóticas. Pode-se perceber através 8

28 x 0,8 0,6 0,4 0,2 0 (a) x 0,8 0,6 0,4 0,2 0 3,6 (b) 3,65 3,7 r 3,75 3,8 Figura 2.2: Diagrama de bifurcac o es para o mapa logı stico, com uma codic a o iicial igual a 0, e 000 iterac o es sedo 900 desprezadas. (a) paorama geral; (b) ampliac a o do itervalo 3, 6 r 3, 8 para visualizac a o de jaelas de periodicidade. 9

29 da ampliac a o do itervalo 3, 6 r 3, 8, que a regia o clara (jaelas), o expoete x tora-se egativo ovamete, voltado logo depois a ser positivo. 0,5 0,5 0 (a) ,6 (c) 3,7 3,8 2,5 2,5 0 λ 0-2,5 (b) -5 2 r -2,5 4 3,6 3 (d) 3,7 3,8 Figura 2.3: (a) Diagrama de bifurcac a o do mapa logı stico; (b) variac a o do expoete de Lyapuov; (c) ampliac a o do itervalo 3, 6 r 3, 8; (d) variac a o do expoete de Lyapuov. 20

30 Capítulo 3 Rede de Mapas Acoplados Neste capítulo serão estabelecidas defiições para a rede de mapas acoplados com ligações locais e ão-locais e para a rede de mapas acoplados ode a iteração etre os sítios decai segudo uma lei de potêcia que será objeto de estudo este trabalho. 3. Coceitos básicos Redes de mapas acoplados foram itroduzidos em Diâmica ão-liear a partir de 983 [4, 5, 8, 5, 34, 35]. Desde etão este tópico vem sedo objeto de estudos por parte de vários grupos de pesquisa. As redes de mapas acoplados represetam sistemas os quais os espaço e o tempo são discretos e a variável de estado é cotíua. Elas têm sido escolhidas com certa freqüêcia para o estudo da diâmica espaço-temporal, isto porque sua implemetação é mais simples em relação a sistemas de variáveis cotíuas. A maior motivação para o estudo das redes de mapas acoplados tem sido a ivestigação de caos espaço-temporal. Caos espaço-temporal é uma diâmica 2

31 irregular, em um sistema determiístico espacialmete exteso, que ocorre o espaçotempo e cujo grau de liberdade diverge quado o sistema aumeta [35]. Redes de mapas acoplados são sistemas que apresetam um úmero fiito de graus de liberdade espacial. A cada grau de liberdade espacial pode-se atribuir uma variável de estado que caracteriza alguma propriedade física do sistema que varia com o espaço e o tempo [25]. Uma rede de mapas acoplados pode cosistir em um cojuto de N sítios distribuídos espacialmete sobre uma reta (rede uidimesioal), como mostra a figura (3.).... i= i=2 i=3 i=4 i=n Figura 3.: Rede N-dimesioal. A cada sítio da rede é atribuída uma variável de estado cotíua x (i), ode i =, 2,..., N é o ídice que idetifica o i-ésimo sítio uma rede uidimesioal com N sítios. O tempo é discretizado a forma usual = 0,, 2,..., tal que x (i) seja a variável de estado do sítio i o tempo. A evolução de uma variável de estado é goverada pela diâmica local, regida por um mapa x f(x) que avaça discretamete o tempo e pelo acoplameto a outros sítios por meio de uma certa prescrição [25]. O cojuto das codições iiciais para os sítios da rede pode ser um cojuto aleatoriamete distribuído, por ser esta uma situação iteressate quado se estuda comportametos mais gerais da rede. Quato às codições de cotoro impostas sobre a rede de mapas acoplados, várias formas podem ser usadas: fixas, livres, periódicas, mistas. Nesta dissertação será tratado apeas o caso em que a rede é uidimesioal com codições iiciais aleatórias e codições de cotoro periódicas, 22

32 de modo que o último sítio da rede será cosiderado viziho do primeiro. A figura (3.2) mostra uma rede com codição de cotoro periódica costituída por cico sítios. i=5 i= i=4 i=2 i=3 Figura 3.2: Rede com codição de cotoro periódica. Represetação para N = 5 A evolução diâmica da variável de estado de um sítio é dirigida pelo tipo de mapeameto efetuado o sítio e pela itesidade e forma do acoplameto do mesmo com os demais sítios da rede. Estas duas variáveis são resposáveis por todo e qualquer tipo de comportameto coletivo exibido pela rede. O acoplameto é resposável por fazer com que um grade úmero de sítios iterajam equato evoluem o tempo, gerado através de suas variáveis de estado, estruturas espaciais que cotribuem para iflueciar a diâmica temporal [36]. 3.2 Formas de acoplameto Existem a literatura diversas formas de se fazer o acoplameto em uma rede, e podem ser citados acoplametos locais, ão-locais, lieares e futuros. Nos acoplametos locais a diâmica de cada sítio depede apeas dos vizihos, e- 23

33 quato que acoplametos ão-locais possuem sítios que são iflueciados por sítios distates. Detre os acoplametos locais, os de maior iteresse e mais ecotrados a literatura são: acoplameto aditivo, acoplameto total ou bidirecioal, acoplameto uidirecioal e acoplameto Laplaciao ou difusivo. Um tipo geérico de acoplameto local é dado pelo termo de acoplameto C (i) j=i,i± ( x (i) ) = 0 g ( x (i) ) + R g ( x (i+) ) + L g ( ) x (i ) (3.) ode o vetor = ( 0, R, L ) é chamado de úcleo do acoplameto. Podem-se destacar quatro casos iteressates: acoplameto aditivo: 0 = 0, R = L ; acoplameto Laplaciao ou difusivo: 0 2 = R = L ; acoplameto totalístico: 0 = 2 3, R = L = ; acoplameto uidirecioal: 3 0 = L, R = 0. Para o caso uidirecioal o sistema possui difusão assimétrica, equato que os outros possuem difusão simétrica. O acoplameto Laplaciao é o mais utilizado os estudos de redes de mapas acoplados localmete x (i) + = g ( x (i) ) + 2 [ g ( x (i ) ) 2g ( x (i) ) ( )] + g x (i+), (3.2) ode é a itesidade do acoplameto. O ome é decorrete do fato que o termo de acoplameto pode ser cosiderado como a discretização de uma derivada seguda espacial 2 g(x) [ ( ) g x (i ) 2g ( x (i)) + g ( x (i+))], (3.3) x 2 2 ode o parâmetro de rede espacial é igual a um: x = (i+) i =. Estas derivadas ocorrem em termos difusivos de equações de reação e difusão [25]. A fução g(x) defie a diâmica de acoplameto e existem dois casos de iteresse, o acoplameto liear, g(x) = x e o acoplameto futuro, g(x) = f(x). O acoplameto futuro tem como vatagem o fato da variável de estado em cada sítio permaecer detro do mesmo domíio que teria o mapa isolado. Como exemplo, o acoplameto laplaciao futuro é dado por x (i) + = f ( x (i) ) + 2 x (i) + = ( )f ( x (i) [ ( ) ( ) ( )] f x (i ) 2f x (i) + f x (i+) ) [ f ( x (i ) ) + f ( x (i+) )]. (3.4)

34 O acoplameto global é um caso extremo de acoplameto ão-local, ode todos os sítios iteragem etre si. Um acoplameto global justifica-se, por exemplo, uma simulação computacioal de uma rede eural, ode cada uidade (eurôio) iterage com uma grade quatidade de outras uidades. Existem, aida, acoplametos ão-locais de alcace variado, isto é, o acoplameto leva em cota a distâcia de um sítio ao outro. Este é o caso do acoplameto do tipo lei de potêcia, que será utilizado em uma rede de mapas acoplados e também será o tipo de acoplameto estudado, sedo de grade iteresse e discutido com mais detalhes [9, 22, 23]. O acoplameto do tipo lei de potêcia foi estudado por Rogers e Wile [38] para uma cadeia de osciladores e, estedido por Viaa e Batista para redes de mapas acoplados [39]. mapas acoplados é De forma geral, a equação que defie uma rede uidimesioal de x (i) + = f(x (i) ) + C (i) (x (j) ), (3.5) ode C (i) é um termo geérico de acoplameto, que pode depeder de todos os sítios, iclusive o próprio sítio i e j =, 2, 3,..., N. Na literatura sobre rede de mapas acoplados, qualquer rede em suas N compoetes pode ser escrita a forma de um mapa N-dimesioal, ou seja, x + = C(x ) ode x = (x (), x (2),..., x (N) ) represeta um vetor N-dimesioal (x R N ) que evolui a tempo discreto. O cojuto das compoetes deste vetor em um istate de tempo é deomiado de perfil da rede ou distribuição espacial dos x. 3.3 Acoplametos usuais O acoplameto etre os sítios pode ser resumido em dois tipos: local e ão-local. No acoplameto local, cada sítio i está acoplado somete com os sítios 25

35 vizihos mais próximos i e i +. Como exemplos deste caso, pode-se citar a rede descrita pela equação x (i) + = ( )f(x (i) ) + 2 [f(x(i ) ) + f(x (i+) )], (3.6) que é um exemplo particular chamado de rede difusiva de mapas acoplados, a rede com acoplameto aditivo x (i) + = f(x (i) e a rede com acoplameto uidirecioal ) + [f(x (i ) ) + f(x (i+) )], (3.7) x (i) + = ( )f(x (i) ) + f(x (i ) ), (3.8) sedo que esta rede a iteração ocorre de maeira assimétrica. No acoplameto ão-local cada sítio i pode estar acoplado com um úmero de sítios mais distates. Um exemplo deste caso, e que será utilizado este trabalho, é o acoplameto cujo alcace da iteração é variável. Em particular, cosidere que a iteração etre os sítios vizihos decai com a distâcia a rede segudo uma lei de potêcia [9, 20, 22, 23]. Pode-se afirmar que quato mais afastados os sítios estiverem, meor a sua ifluêcia com o sítio i cosiderado. O acoplameto do tipo lei de potêcia é dado por x (i) + = ( )f ( ) x (i) + η(σ) N j= [ ( f x (i j) j σ ) ( )] + f x (i+j), (3.9) ode os parâmetros σ (σ 0) e (0 ) cotrolam o alcace da iteração etre os sítios da rede e a itesidade do acoplameto. O somatório expressa a cotribuição dos sítios à esquerda e à direita de um sítio i cosiderado e η represeta um fator de ormalização N η(σ) = 2 j = σ 2( + σ 2 + σ ), (3.0) σ N σ j= ode N = N 2 para N= tamaho da rede com N um úmero ímpar. A equação (3.9) exibe dois limites iteressates, cada um caracterizado um tipo especial de 26

36 iteração detro da rede. O acoplameto tipo lei de potêcia pode ser cosiderado como uma forma de iterpolação etre os casos limites, que são o global e o local. Se σ = 0 etão N η(σ) = 2 j = σ 2( + σ 2 + σ ) = 2N = 2( N ) = N, (3.) σ N σ 2 j= a equação (3.9) tora-se: x (i) + = ( )f(x (i) ) + f(x (i 2) N [f(x(i ) ) + f(x (i+) ) + ) + f(x (i+2) ) f(x (i N ) ) + f(x i+n ) )]. (3.2) Cosiderado que N = N 2 e que as codições de cotoro são periódicas a soma etre colchetes, represeta a soma sobre todos os sítios da rede com exceção do sítio i. Assim, a equação (3.2) pode ser escrita como x (i) + = ( )f(x (i) ) + N N j=,j i f(x (j) ). (3.3) Este resultado, cohecido como acoplameto do tipo campo médio, represeta um caso extremo de acoplameto ão-local pois cada sítio i iterage com o valor médio de todos os sítios da rede. A itesidade de acoplameto pode assumir um valor o itervalo [0, ], N é o tamaho da rede e i é a posição de cada sítio a rede, sedo i =, 2, 3,..., N, x (i) são as variáveis de estado calculadas o tempo discreto, e f : R R é um mapa em geral com diâmica caótica. Se σ, etão N η(σ) = 2 j = σ 2( + σ 2 + σ ) = 2 (3.4) σ N σ j= e somete o termo j = permaece o somatório o termo de acoplameto da equação (3.9). Cosiderado que η 2, obtém-se a equação para uma rede de mapas acoplados com iteração simétrica x (i) + = ( )f(x (i) ) + { 2 27 σ [f(x(i ) ) + f(x (i+) )] +

37 2 σ [f(x(i 2) ) + f(x (i+2) )] N σ [f(x(i N ) ) + f(x (i+n ) )] }, (3.5) x (i) + = ( )f(x (i) ) + 2 [f(x(i ) ) + f(x (i+) )], (3.6) ode somete os primeiros vizihos i e i + cotribuem para o termo de acoplameto. A itesidade de acoplameto pode assumir um valor o itervalo [0, ]. O fator 2 que divide o parâmetro de acoplameto ormaliza a equação e i é a posição de cada sítio a rede, sedo i =, 2, 3,..., N. Este resultado represeta o caso de acoplameto local. O acoplameto do tipo lei de potêcia é iteressate porque cosidera os tipos de ligações mais prováveis de ocorrerem em sistemas reais como redes eurológicas [43] ou em sistemas com de comportametos ferromagéticos [44]. Este tipo de acoplameto também foi estedido por Viaa e Batista para uma rede de mapas acoplados [42]. Acoplametos ão-locais são importates para o estudo e compreesão da arquitetura de redes eurais com produção local de iformação [42], também podem ser estudadas a discretização de algumas equações ítegro-difereciais parciais modelado reações físico-químicas [43]. De forma geral, modelos de redes de mapas acoplados têm servido para observar feômeos ocorridos em fluidos e plasma, como, por exemplo, propagação de sólitos, turbulêcia, etre outros [44]. 3.4 Diâmica local da rede Quato a escolha da diâmica local, existem diversos mapas que podem represetar a fução f(x). A diâmica local tem sido ivestigada por meio de mapas de baixa dimesioalidade bem cohecidos. O exemplo mais estudado é o mapa logístico expresso por f(x) = rx( x) [30] ode x [0, ] é a variável de 28

38 estado, r [0, 4] é o parâmetro de cotrole do mapa. Outro exemplo de diâmica local seria o mapa do seo-círculo f(x) = x + ω + K 2π se(2πx) (mod. ) [45], ode x [0, ] é uma variável agular (fase), 0 w uma freqüêcia atural, e K > 0 um parâmetro de ão-liearidade. Mapas lieares por partes, como o mapa de Beroulli f(x) = 2x (mod. ), o mapa da teda f(x) = a x, também 2 2 merecem destaque. O módulo a equação do mapa de Beroulli sigifica que a cada iterada do mapa, subtrai-se o valor obtido da uidade até que o próximo valor a ser iterado seja meor que. Quato a mapas bidimesioais, as ivestigações tem se cocetrado o mapa de Héo f(x, y) = (a x 2 + by, x) e o mapa padrão de Chirikov-Taylor p + = p + Kse(θ + ), θ + = θ + p [25]. Pode-se classificar o tipo de diâmica local em relação aos mapas como homogêeas, quado os mapas são idêticos em todos os sítios e ão-homogêeas, quado ocorrem mudaças os parâmetros dos mapas ou ocorrem mapas diferetes. 3.5 Rede de mapas acoplados com iteração de logo alcace A rede estudada esta dissertação é dado pela equação x (i) + = ( )f(x (i) ) + η(σ) M m= [j m (q)] σ [f(x(i jm(q)) ) + f(x (i+jm(q)) )], (3.7) ode σ (σ 0) e (0 ) são os parâmetros que cotrolam o alcace da iteração etre os sítios da rede e a itesidade do acoplameto respectivamete, e i são ídices de tempo e espaço discretos [9]. O modelo tem sido estudado o caso totalmete acoplado, isto é, para j m (q) = m com M = N 2 e η(σ) = 2 M m= m σ. A variável m correspode a variável j e o valor de M correspode a N. M idica 29

39 o tamaho da rede, um úmero sempre ímpar, para que se observe a simetria a rede. Fazedo as substituições adequadamete percebe-se que a expressão para o acoplameto do tipo lei de potêcia é a mesma represetada em (3.9) x (i) + = ( )f(x (i) ) + η(σ) M m= m σ [f(x(i m) ) + f(x (i+m) )]. (3.8) Escrita desta forma tem-se ovamete a expressão para o acoplameto tipo lei de potêcia usual, bem cohecido a literatura [9], o qual foi estudado tato umérica quato aaliticamete através da sua diâmica de sicroização. Dos trabalhos existetes a literatura, sabe-se que para este sistema, quado σ = 0 existe um comportameto de acoplameto global, ou seja, todos os sítios iteragem etre si e quado σ o acoplameto é local, ou seja, ode apeas os primeiros vizihos iteragem o acoplameto da rede. Nesta dissertação, cosidera-se uma versão de (3.7), ode j m (q) = q m, com q valores escolhidos tais como q = 2, q = 4 e q = 8 [9]. A soma a equação (3.7) estede-se para M = log q N 2 e η(σ) = 2 M m= [j m(q)] σ é o fator de ormalização. A razão para a escolha de j m (q) = q m tem a vatagem de ser coveiete do poto de vista computacioal, pelo fato de existir uma quatidade meor de ligações do sítio cosiderado com os demais sítios da rede. A rede aqui estudada é represetada como em (3.9), uma rede de acoplameto de logo alcace, ode cada sítio é goverado por um mapa logístico dado por x (i) + = ( )f(x (i) ) + M η(σ) m= (q m ) σ [f(x(i qm +) ) + f(x (i+qm ) )], (3.9) ode adota-se a codição de cotoro periódica x (i) = x (N+i), de modo que o último sítio da rede é cosiderado viziho do primeiro. O tamaho N da rede dado pela expressão N = 2q M depede da escolha de q e de M. Pode-se observar que o úmero de sítios da rede é um úmero par. A equação (3.9) represetado o sistema em 30

40 estudo, é mostrada através de um esquema gráfico a figura (3.3), ode foi utilizado q = 2 e M = 2 para obter uma rede de oito sítios ou N = 8. Decidiu-se iicialmete, estudar uma rede de tamaho meor e esta, por sua vez, foi a escolhida. Nesta rede cada sítio deve ser acoplado diretamete a outros quatro, sedo dois destes acoplametos com os vizihos da esquerda e dois com os vizihos da direita, e isto fica atribuído ao valor dado para M. O valor de q m idica a posição de cada sítio em relação ao sítio cosiderado. As ligações foram represetadas para um úico sítio para que a figura ão ficasse com muitas lihas. Cada ligação correspode a um acoplameto de meor itesidade quato mais afastados os sítios acoplados se situarem. i= i=8 """ ### """ ### """ ### """ ### """ ### """ ###!!!!!!!!!!!!!!!!!! i=2 i=7 i=3 i=6 $$$ %%% $$$ %%% $$$ %%% $$$ %%% $$$ %%% $$$ %%% i=5 i=4 Figura 3.3: Ilustração para uma rede do tipo (3.7), com j m (q) = q m e codição de cotoro periódica, q = 2, M = 2 e N = 8 sítios. Num primeiro mometo, procurou-se deixar fixo o valor para q sedo este igual a 2 e variar o valor para M, utilizado, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e obter a represetação gráfica da variável x (i) pelo sítio i. Utilizou-se somete o valor 2 para q porque para valores maiores que 2 a rede cresce rapidamete. 3

41 Um dos objetivos deste trabalho é o de idetificar o espaço de parâmetros as regiões ode existe sicroização e as regiões ode ão existe sicroização. A sicroização é um processo de comportameto coletivo. Em uma rede de mapas acoplados, a sicroização acotece quado todos os sítios possuem o mesmo valor para a variável de estado em um istate de tempo. Cosiderado uma rede de 8 sítios com q = 2, M = 2 e r = 4 para o parâmetro de cotrole do mapa logístico, porque para r = 4 o mapa possui comportameto completamete caótico, esta rede pode apresetar comportameto ão sicroizado ou sicroizado, depededo dos parâmetros σ e. Estudou-se iicialmete o caso da rede ter o parâmetro σ = 0, 0 e o parâmetro variável. A figura (3.4 a), a qual foi utilizada = 0,, mostra o perfil de uma rede de mapas acoplados ode ão ocorre sicroização, isto é, as variáveis de estado ão possuem o mesmo valor. Para = 0, 7, pode-se observar a figura (3.4 b) que se verifica a sicroização de caos x () = x (2) = x (3) =... = x (N). A sicroização de caos será abordada mais detalhadamete as próximas seções. 32