16.36: Engenharia de Sistemas de Comunicação. Aulas 17/18: Modelos de Retardo para Redes de Dados

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1 16.36: Engenharia de Sistemas de Comunicação Aulas 17/18: Modelos de Retardo para Redes de Dados Slide 1

2 Redes de Pacotes Comutados Mensagens dividas em Pacotes que são roteados ao seu destino PC PC PC Rede de Pacotes PC PC PC PC Buffer Pacote Comutado Slide 2

3 Sistemas de Enfileiramento Usado para analisar o desempenho da rede Nas redes de pacotes, os eventos são aleatórios Chegada aleatória de pacotes Comprimento aleatório de pacotes Enquanto na camada física nos preocupamos com os erros da taxa de transferência, na camada de rede nos preocupamos com os retardos Quanto tempo um pacote gasta esperando nos buffers? Qual o tamanho dos buffers? Slide 3

4 Eventos Aleatórios Processo de chegada Os pacotes chegam de acordo com o processo aleatório Normalmente, o processo de chegada é modelado como o de Poisson O processo de Poisson Velocidade de chegada de pacotes λ por segundo Em um intervalo pequeno δ, P(exatamente uma chegada) = λδ P(0 chegada) = 1 - λδ P(mais do que uma chegada) = 0 Isto mostra que: P(chegada n em intervalo T) = n ( λt) e n! λt Slide 4

5 O Processo de Poisson P(chegada n em intervalo T) = n ( λt) e n! λt n = número de chegada em T Isto mostra que, E[n] = λt E[n ] = λt + ( λt) σ 2 2 = E[(n - E[n]) ] = E[n ] - E[n] = λt Slide 5

6 Intervalo entre as chegadas Tempo transcorrido entre as chegadas (IA) P(IA <= t) = 1 - P(IA > t) = 1 - P(0 chegada em tempo t) = 1 - e -λt Isto é conhecido como distribuição exponencial CDF entre a chegada = F IA (t) = 1 - e -λt PDF entre a chegada = d/dt F IA (t) = λe -λt A distribuição exponencial é freqüentemente usada para modelar o intervalo do serviço (ou seja, a distribuição do comprimento do pacote) Slide 6

7 Propriedade de Markov (Sem Memória) PT ( t + t T> t) = PT ( t) Pr: ova 0 0 PT ( t + t T> t) = 0 0 Pt ( 0 < T t0 + t) PT ( > t) 0 t + t 0 λt λe dt t e = = 0 λt λe dt e t 0 λt t0 + t t0 λt t 0 ( t t ) e e = λ λ( t0 ) e λ( t ) 0 λt = 1 e = P( T t) A história anterior não ajuda na previsão do futuro! Distribuição do tempo até que a próxima chegada seja independente da ocorrência da última chegada! Slide 7

8 Exemplo Suponha que um trem chegue em uma estação, segundo o processo de Poisson, com intervalo médio de 20 minutos entre as chegadas Quando um cliente chega a uma estação, a quantidade média de tempo até a próxima chegada é de 20 minutos Independentemente de quando o trem anterior chegou A quantidade média de tempo desde a última partida é de 20 minutos! Paradoxo: Se uma média de 20 minutos se passaram desde que o último trem chegou e uma média de 20 minutos até o próximo trem, então terão transcorridos uma média de 40 minutos entre os trens Mas presumimos um intervalo médio de 20 minutos! O que aconteceu? Resposta: Você tende a chegar durante os longos intervalos de chegada Se você não acredita em mim, não tomou o T Slide 8

9 Propriedades do Processo de Poisson Propriedade Unificada λ 1 λ 2 λ k λ i Permita que A1, A2, Ak seja independente dos processos de Poisson de velocidade λ1, λ2, λk A = A i é Poisson de velocidade = λi Dividindo a propriedade Suponha que cada chegada seja aleatoriamente roteada com probabilidade P ao fluxo 1 e (1-P) ao fluxo 2 Fluxos 1 e 2 são Poisson de velocidades λ Pλλ e λ(1-p)λλ, respectivamente Slide 9 λ P 1-P λp λ(1 P)

10 Modelos de Enfileiramento Clientes fila/buffer servidor Slide 10 Modelo para Clientes que esperam em linha Linha de montagem Pacotes em uma rede (linha de transmissão) Precisa saber A quantidade média de clientes no sistema O retardo médio experimentado por um cliente Quantidades obtidas em termos de Velocidade de chegada de clientes (quantidade média de clientes por unidade de tempo) Velocidade de serviço (quantidade média de clientes que o servidor pode atender por unidade de tempo)

11 Analizando o retardo nas redes (teoria do enfileiramento) Teorema de Little Relaciona o retardo à quantidade de usuários no sistema Pode ser aplicado a qualquer sistema Sistemas simples de enfileiramento (servidor único) M/M/1, M/G/1, M/D/1 Slide 11 M/M/m/m Chegada de Poisson => λ = velocidade de chegada em pacotes/segundo Tempo exponencial de serviço => P ( chegada n em intervalo T) = T) n λ e n! µ = velocidade de serviço em pacotes/segundo λt P(tempo de serviço < T) = 1 µ - e - T

12 Teorema de Little λ pacote por segundo Rede (sistema) (N,T) N = quantidade média de pacotes no sistema T = quantidade média de tempo que um pacote gasta no sistema λ = velocidade de chegada de pacotes no sistema (não necessariamente de Poisson) Teorema de Little: N = λt Pode ser aplicado em todo o sistema ou em qualquer parte dele Sistema abarrotado retardos longos Em um dia chuvoso as pessoas dirigem bem devagar e as estradas ficam mais congestionadas! Slide 12

13 Prova do Teorema de Little A(t), B(t) A(t) T3 T2 T1 t1 t2 t3 t4 A(t) = quantidade de chegadas por tempo t B(t) = quantidade de partidas por tempo t t i = tempo de chegada do cliente i th T i = quantidade de tempo que o cliente i th passa no sistema N(t) = quantidade de clientes no sistema no tempo t = A(t) - B(t) T4 At () At () B(t) T T i= 1 i i= 1 i At () N = lim t, T = limt Ti = A() t T i= 1 t At () Slide 13 N At () At () T At T i= i () i= i = = ( ) = t t At () 1 1 λ T

14 Aplicação do Teorema de Little O Teorema de Little pode ser aplicado a quase todos os sistemas ou parte deles Exemplo: Clientes Fila/Buffer servidor 1) O Transmissor: D TP = tempo de transmissão do pacote Quantidade média de pacotes no transmissor = λd TP = ρ = utilização do link 2) A linha de transmissão: D p = retardo de propagação Quantidade média de pacotes em andamento = λd p Slide 14 3) O buffer: D q = média do retardo de enfileiramento Quantidade média de pacotes no buffer = N q = λd q 4) Transmissor + buffer Quantidade média de pacotes = ρ + N q

15 Filas do servidor único buffer λ pacote por segundo Servidor µ pacote por segundo Tempo de serviço = 1/µ M/M/1 Chegadas de Poisson, tempo exponencial de serviço M/G/1 Chegadas de Poisson, tempo geral de serviço M/D/1 Chegadas de Poisson, tempo determinístico de serviço (fixo) Slide 15

16 Cadeia de Markov Para o Sistema M/M/1 1 λδ λδ λδ λδ λδ k µδ µδ µδ µδ Estado k => clientes k no sistema P(I,j) = probabilidade de transição do estado I para o estado j À medida que δ => 0, obtemos: P(0,0) = 1 - λδ, P(j,j+1) = λδ P(j,j) = 1 - λδ µδ P(j,j-1) = µδ P(I,j) = 0 para todos os outros valores de I,j. Cadeia de renovação: As transições só existem entre os estados adjacentes λδ, µδ são velocidades de fluxo entre os estados. Slide 16

17 Análise do Equilíbrio Precisamos obter P(n) = probabilidade de existência no estado n No equilíbrio λp(n) = µp(n+1) para todos os n P(n+1) = (λ/µ)p(n) = ρp(n), ρ = λ/µ Resulta: P(n) = ρ n P(0) Agora, por meio do axioma da probabilidade: i= 0 Pn ( ) = 1 n P( ) ρ 0 P( 0) = = 1 i= 0 1 ρ P( 0) = 1 ρ n Pn ( ) = ρ ( 1 ρ) Slide 17

18 Tamanho médio da fila n ρ N = np( n) = nρ ( 1 ρ) = 1 ρ n= 0 n= 0 N ρ λ / µ = = = 1 ρ 1 λ / µ λ µ λ N = quantidade média de clientes no sistema A média da quantidade de tempo que um cliente gasta no sistema 1 T = pode ser obtida a partir da fórmula de Little (N=λT => T = N/λ) µ λ T inclui o retardo de enfileiramento mais o tempo de serviço (Tempo de serviço = D TP = 1/µ ) 1 1 W = quantidade de tempo gasto na fila = T - 1/µ => W = µ λ µ Por fim, a quantidade média de clientes no buffer pode ser obtida a partir da fórmula de Little N = Q W = λ λ λ = N ρ µ λ µ Slide 18

19 Exemplo (restaurante fast-food) Os clientes chegam a um restaurante fast-food a uma proporção de 100 por hora e levam 30 segundos para serem servidos. Quanto tempo eles levam no restaurante? Velocidade de serviço = µ = 60/0.5=120 clientes por hora T = 1/µ λ = 1/( ) = 1/20 hrs = 3 minutos Quanto tempo esperando na fila? W = T - 1/µ = 2,5 minutos Quantos clientes no restaurante? N = λt = 5 Qual a utilização do servidor? ρ = λ/µ = 5/6 Slide 19

20 Comutação de Pacotes vs. Comutação de Circuitos 1 λ/n N N 2 λ/n TDM, Time Division Multiplexing Cada usuário pode enviar µ/n pacotes/seg. e receber os pacotes à velocidade de λ/n pacotes/seg. N λ/n Pacotes gerados em intervalos aleatórios D = N/ µ + N( λ / µ ) ( µ λ) M/M/1 fórmula λ/n Multiplexador Estatístico λ Bufferµ pacotes/seg. λ/n D = 1/ µ + ( λ / µ ) ( µ λ) M/M/1 fórmula Slide 20

21 Circuitos (tdm/fdm) vs. Comutação de Pacotes Média do Tempo de Serviço de Pacotes (slots) Tempo Médio de Serviço TDM com20 fontes Estatística Ideal da Multiplexação (M/D/1) Tráfego total de carga, pacotes por slot Slide 21

22 Fórmulas de retardo M/G/1 D = X + M/M/1 λx 2 21 ( λ / µ ) Componentes de retardo: Tempo de (transmissão) Serviço (LHS) Retardo de enfileiramento (RHS) D M/D/1 = X + λ / µ µ λ Usam o Teorema de Little para calcular N, a quantidade média de clientes no sistema D = X + λ / µ 2( µ λ) Slide 22

23 Probabilidade de Bloqueio Uma rede de circuito comutado pode ser vista como um sistema de enfileiramento multiservidor As chamadas são bloqueadas quando os servidores não estiverem disponíveis - sinal de ocupado Em relação à rede de circuito comutado, estamos interessados na probabilidade do bloqueio de chamada Sistema M/G/m/m As chegadas das chamadas de Poisson e a distribuição geral da duração de chamada servidores m => circuitos m O último m indica que o sistema não pode manter mais do que m usuários Fórmula B de Erlang Oferece a probabilidade de o autor da chamada encontrar todos os circuitos ocupados Slide 23 P B = m ( λ / µ ) / m! m n = 0 n ( λ / µ ) / n!

24 Fórmula B de Erlang Usada para ajustar a linha de transmissão De quantos circuitos o satélite precisa para oferecer suporte? A quantidade de circuitos é uma função da probabilidade de bloqueio que nós conseguimos tolerar Os sistemas são projetados para uma determinada previsão de carga e probabilidades de bloqueio (normalmente pequenas) Exemplo Velocidade de chegada = 4 chamadas por minuto, média de 3 minutos por chamada Quantos circuitos precisamos fornecer? Depende da probabilidade de bloqueio que conseguimos tolerar Slide 24 Circuitos P B 20 1% 15 8% 7 30%

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