A densidade de CoRoT-Exo-3b

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1 A densidade de CoRoT-Exo-3b Por Hindemburg Melão Jr. Em 6 de outubro foi anunciada a descoberta de um objeto com algumas características planetárias e outras estelares, situado a cerca de 2.2 anos-luz, que tem causado polêmicas entre astrônomos. O objeto recebeu o nome de CoRoT-Exo-3b e os astrônomos estão com dificuldades para explicar algumas propriedades desse astro. Neste artigo, pretendo mostrar uma solução mais apropriada para calcular as propriedades físicas do referido astro, por meio do qual se consegue evitar as disparidades que resultaram dos procedimentos tradicionais. Os resultados publicados até o momento sugerem que CoRoT-Exo-3b teria cerca de 21,66 vezes a massa de Júpiter e densidade de 26, g/cm 3 (σ = 3,6 g/cm 3 ). Seu diâmetro authalic médio é aproximadamente 1,25 vezes o de Júpiter ou 1,57 vezes o diâmetro equatorial de Júpiter. Esta densidade implica vários problemas de difícil explicação. O primeiro é a constituição desse planeta. Os elementos mais densos conhecidos são Ósmio, Platina e Irídio, com cerca de 22 g/cm 3. Se o planeta fosse constituído por uma substância com densidade 26 g/cm 3, mesmo sob altíssima pressão, seria algo desconhecido até o momento, já que entre a densidade do irídio (22,65 g/cm 3 ) e a densidade de uma anã-branca típica (cerca de 1.. g/cm 3 ) não há substâncias típicas com densidades intermediárias entre estes dois valores, embora possam surgir em situações atípicas ou degeneradas, como no núcleo do Sol, que chega a 15 g/cm 3, o que se torna possível devido à intensa pressão e ao estado caótico do plasma no interior das estrelas. Mas num planeta essa densidade seria muito difícil de explicar. Embora a densidade do irídio esteja dentro do intervalo de incerteza da densidade aferida no planeta, não é razoável supor um planeta com tal constituição, especialmente um planeta gigante. Planetas jovianos geralmente são constituídos por mais de 9% de hidrogênio e hélio e apresentam densidades abaixo de 2 g/cm 3. E mesmo os planetas rochosos costumam ter densidade entre g/cm 3 e 6 g/cm 3. Dos 313 candidatos a planetas exosolares conhecidos, foram determinados os diâmetros de 55 deles. Entre estes, 6 apresentam densidades entre,22 g/cm 3 e 1,9 g/cm 3, e as densidades se distribuem conforme o gráfico abaixo: As colunas azuis representam as freqüências de incidência de planetas com densidade em cada intervalo. A 1 linha vermelha é uma distribuição gaussiana com média,9 g/cm 3 e 6 2,2,,6, 1, 1,2 1, 1,6 1, 2, desvio-padrão,3 g/cm 3, que representam a média e o desviopadrão das densidades destes 6 planetas. A linha verde é uma distribuição de Weibull com α = 2,13 e β =,99 estimados por máxima verossimilhança. A linha azul é uma distribuição Lognormal com média dos ln(ρ) = -,3 e desvio-padrão dos ln(ρ) =,53 estimados por máxima verossimilhança. Também foi considerada a distribuição incluindo os planetas jovianos do sistema solar, e neste caso os parâmetros normais passaram a ser: média, g/cm 3 e desvio-padrão, g/cm 3, distribuição de Weibull com α = 2, e β =,96 estimados por máxima

2 verossimilhança, Lognormal com média dos ln(ρ) = -,263 e desvio-padrão dos ln(ρ) =,535, conforme o gráfico a abaixo: 1 6 2,2,,6, 1, 1,2 1, 1,6 1, 2, Entre as alternativas testadas para representar os dados empíricos com os 5 planetas (inclusive do sistema solar) e com os 6 planetas, a distribuição que se mostrou mais apropriada foi a Lognormal, por ser bastante aderente aos dados (p-valor,9 pelo teste de Kolmogorov-Smirnov e,27 pelo teste de Shapiro-Wilk), por não ter necessidade de truncar em e principalmente por ter uma cauda densa à direita, compatível com a distribuição empírica. Foram feitos testes de qualidade de ajuste com diversas distribuições, entre as quais as que apresentaram melhor aderência foram as seguintes: Distrib.: Weibull Rayleigh Lognormal Wald Gumbel Gompertz Gamma Erlang Laplace Cauchy Normal N = 6 Momento1 2,,676 -,3,9,652,2 3,75,,793,762,9 Momento2,96,53 2,65,32,,226,2,361,59,3 p-valor K-S,792,91,9,16,716,359,5,39,657,3,15 p-valor χ 2,31,529,19,7,22,75,392,72,215,3,1 N = 5 Momento1 2,13,697 -,263,,6,377 3,935,,39,779, Momento2,99,535 2,71,36,77,22,22,37,511, p-valor K-S,21,93,363,777,697,,3,6,62,7,15 p-valor χ 2,5,69,379,676,2,15,5,519,9,,1 Para conferir os resultados dos testes com outras distribuições e detalhes sobre os testes de normalidade realizados, ver o apêndice. Embora a distribuição de Rayleigh tenha apresentado maior aderência, sua cauda é demasiado delgada, de modo que para densidade de 5 g/cm 3 ela já apresenta probabilidade de incidência menor do que 1 em 1 bilhões. O mesmo problema de cauda delgada ocorreu com as distribuições de Weibull, Gamma, Erlang e Gumbel. Portanto as que se mostraram mais indicadas para se investigar o caso foram Wald (inversa normal) e Lognormal. E a amostra com 5 elementos se mostrou superior à amostra com 6. Os estimadores robustos utilizados para determinação da tendência central, especialmente biweight de Tukey e onda de Andews, que são os mais robustos, sugerem que existem 9 valores extremos e que a amostra mais apropriada a ser utilizada deve excluir os outliers com densidade superior a g/cm 3. Estimadores Robustos de Tendência Central nas amostras com 59, 55, 5 e 6 planetas Estimador-M de Huber(a) Biponderado de Tukey(b) Estimador-M de Hampel(c) Onda de Andrews(d) Densidade_59 1,17,96,96,96 Densidade_55 1,17,96,96,96 Densidade_5,7,771,,77 Densidade_6,7,771,,77 (a) A constante de ponderação foi 1,339, (b) A constante de ponderação foi,65, (c) As constantes de ponderação foram 1,7, 3, y,5, (d) A constante de ponderação foi 1,3π

3 A região que podemos chamar de densidade normal cobre o intervalo de,2 g/cm 3 a 2, g/cm 3. Fora destes limites, temos 3 objetos com densidade em torno de 5 g/cm 3, outros 3 com densidade em torno de 9 g/cm 3 e 2 com densidade em torno de 13 g/cm 3. No Sistema Solar temos planetas com densidade em torno de 5 g/cm 3, mas são todos telúricos, ou seja, com tamanho aproximado da Terra, que é 31 vezes menos massiva e vezes menos volumosa do que Júpiter. Estes planetas exosolares são do tamanho aproximado de Júpiter, portanto é surpreendente que alguns tenham densidade acima de 3 g/cm 3. Embora uma amostra com apenas 5 elementos seja pequena, ela nos proporciona uma idéia aproximada dos fatos, e com reamostragens como Bootstrap e Jakkniffe se pode atenuar esse problema. A média geométrica das densidades foi,76 g/cm 3 e mostra-se muito próxima aos estimadores de Tukey (,77) e Andrew (,77) para a tendência central, fato consistente com a distribuição Lognormal ser uma das melhores representações para estes dados, ao passo que a média aritmética,9 g/cm 3, nitidamente destoante, também corrobora o fato de que a distribuição normal apresenta baixa aderência aos dados. Seria necessário que dispuséssemos dos dados brutos sobre as medidas do diâmetro aparente, da massa e da paralaxe para que pudéssemos determinar qual a distribuição mais apropriada para representar os erros naquelas medidas. Como estes dados não estão disponíveis, adotaremos a premissa de que a distribuição é gaussiana, conforme sugerem os autores do artigo que versa sobre as propriedades físicas e orbitais de CoRoT-Exo-3b. Partindo desta premissa e considerando os fatos expostos até aqui, podemos determinar a densidade do planeta de modo que a probabilidade de o erro conjugado nas medidas da paralaxe, da massa e do diâmetro aparente seja igual à probabilidade de haver um planeta com densidade tão alta quanto tais medidas indicarem. A situação é semelhante à que já discutimos neste artigo: e repetiremos o exemplo mencionado naquele texto, para ilustrar a situação: Desejamos saber se uma pessoa é portadora de uma determinada doença e para isso usamos um teste com 99% de confiabilidade (em cada 1 sujeitos infectados, 99 diagnósticos são positivos; em cada 1 sujeitos sadios, 99 diagnósticos são negativos). Escolhemos fortuitamente uma pessoa numa população em que sabemos que há 1% de infectados com essa doença e aplicamos o teste nessa pessoa. O resultado é positivo. Qual é a probabilidade de que a pessoa escolhida esteja de fato com a doença? Esse problema foi apresentado a vários médicos graduados em Harvard, e mais de 95% deles não o resolveram corretamente. A maioria respondeu que a probabilidade de a pessoa estar infectada é 99%, mas a resposta certa seria 5%, porque não se pode apenas levar em conta a probabilidade de o teste produzir resultados corretos. Além disso, é necessário levar em conta a probabilidade de que a pessoa escolhida estivesse infectada. A probabilidade de a pessoa não estar infectada, numa população em que 99% não estão infectados, é obviamente de 99%. A probabilidade de o teste dizer que a pessoa tem a doença e a pessoa realmente ter a doença também é de 99%. Então temos uma informação que diz que há chances de 99 contra 1 de a pessoa estar infectada, e outra informação que diz que há chances de 1 contra 99 de a pessoa estar infectada. Isso é o mesmo que dizer que há 99x1 contra 1x99 de chances de a pessoa estar infectada, portanto as chances de a pessoa estar infectada ou não estar são iguais e a resposta para o problema é 5%. Se o teste tivesse eficiência de 9%, então teríamos 9x1 contra 2x99, portanto 9 contra 19, ou seja 9 em 296 ou 33,11% de probabilidade de a pessoa estar infectada. De modo geral, se um teste tem confiabilidade C e a fração de infectados numa dada população for F, então a probabilidade P (x) de a pessoa x estar realmente infectada é dada por:

4 O mesmo se aplica ao determinar a densidade do planeta, em que há uma probabilidade P (ρ) de existirem planetas com densidade acima de determinado valor, e existe uma probabilidade P (πrm) de que o erro nos cálculos da paralaxe, do raio aparente e da massa serem uma certa quantidade menor do que o valor obtido. Assim, o valor mais provável para a densidade verdadeira deve ser tal que P (ρ) = P (πrm). Cientes disso, podemos realizar os cálculos de qual densidade seria mais próxima à correta, supondo para a distribuição das densidades uma Lognormal, além de testarmos com outras distribuições, conforme segue: Distribuição Densidade (g/cm 3 ) Probabilidade P (ρ) = P (πrm) Gumbel 6,67,3 Lognormal mv. 9,3,16 Wald,2,221 Lognormal calc. 9,,167 Weibull,56,92 Lognormal calc. = distribuição Lognormal com os parâmetros µ e σ calculados. Lognormal vm. = distribuição Lognormal com os parâmetros µ e σ estimados por máxima verossimilhança. Podemos fazer uma média ponderada destes valores, considerando a probabilidade de ocorrência de cada um, e descontando a redundância de usar duas vezes a Lognormal, e chegamos a cerca de 9,1 g/cm 3 como valor mais provável para a densidade de CoRoT-Exo- 3b. É provável que a distribuição dos erros nas medidas da paralaxe, da massa e do diâmetro aparente não seja idealmente representada por uma gaussiana, de modo que o valor correto para a densidade pode ser significativamente diferente de 9,1 g/cm 3, dependendo de qual a distribuição dos referidos erros. Por fim, podemos afirmar que a probabilidade de que a densidade 26, g/cm 3 esteja correta é menor do que, %. Em lugar da densidade anunciada de 26, g/cm 3, que é extremamente improvável, o valor correto é cerca de 9,1 g/cm 3. A massa correta deve ser ligeiramente menor, cerca de 21, massas de Júpiter, o diâmetro correto deve ser maior, algo em torno de 1,3 raios de Júpiter, e a distância correta deve ser maior, algo em torno de 7 pc.

5 Nota: Nas fontes que serviram como referência para este artigo (fontes primárias), deparei com algumas inexatidões que mereceriam ser revisadas, como nesta página: em que a incerteza na distância é informada como ± 16 pc sobre um valor de 6 pc, e logo abaixo é informada uma incerteza no raio de ±,7 sobre um valor de 1,1. Mas como isso é possível se a confiança na medida do raio depende da confiança na medida da distância? Sempre a incerteza percentual no raio deve ser maior do que na distância, porém nesta fonte é 3 vezes menor. Além disso, a incerteza na massa também está incorreta, porque a massa é definida com base no período orbital e na distância angular, e a distância entre o planeta e sua estrela central depende da distância que eles se encontram da Terra, já que se trata de uma medida angular, logo a incerteza na massa também não poderia ser menor do que a incerteza na distância. Há outros detalhes menores, como a representação de uma incerteza ± 1 na massa, isto é, tanto pode indicar,51 como pode indicar 1,99. Seria apropriado representar a incerteza com pelo menos 2 algarismos significativos (mesmo que fosse 1,), especialmente quando o primeiro algarismo é 1 ou 2. Na informação sobre o período orbital de,256 dias ±,5 dia, não haveria necessidade de informar a incerteza, já que ela só acontece duas decimais depois da última que é exibida. Outro problema nas fontes de dados é que informam a proporção entre o raio médio authalic de CoRoT-Exo-3b e o raio equatorial de Júpiter (1,57). Seria mais apropriado Y1 6,,25 2,5,75 Scores Plot of Y1 vs X1-1, -1,, 1, 2, 3, X1 seria informar a proporção entre os raios authalic médios de ambos, já que o raio authalic, calculado com base no disco aparente do planeta, é muito mais semelhante ao raio volumétrico, que seria necessário para se calcular a densidade. DISTANCIA DENSIDADE DENSIDADE DISTANCIA com Jakknife ficou em,166. Outro indício de que existem problemas na maneira como foram feitos os cálculos divulgados até o momento sobre a densidade, é a correlação,175 entre a distância e a densidade, enquanto o esperado seria um valor mais próximo a, já que não existe nenhum motivo para que os planetas mais distantes sejam mais densos do que os mais próximos. O que esta correlação sugere é a ocorrência de algum problema nos cálculos das densidades, distorcendoas para mais nos planetas mais afastados e para menos nos mais próximos, corroborando os fatos expostos acima. Mesmo com um Bootstrap com 1 reamostragens de 1. elementos em cada, a correlação permaneceu sensivelmente maior do que, ficando em,176, e Tendo em consideração todos os fatos analisados, a conclusão a que somos levados é que há fortes indícios de que os cálculos sobre algumas propriedades de objetos astronômicos não estão sendo feitos da maneira mais apropriada e, devido a isso, os resultados a que se tem chegado não são boas representações da realidade. O problema não se limita ao caso particular da densidade de um planeta, nem ao caso geral de todos os planetas exosolares,

6 mas se estende a maioria dos cálculos sobre distâncias de estrelas e planetas, com graves implicações não apenas quantitativas, mas também no entendimento das Leis físicas e nos modelos matemáticos que tentam representar estas leis. Na NASA, ESA, MIT e outros grandes institutos científicos, utilizam-se as melhores ferramentas estatísticas e aparatos tecnológicos, porém todo este requinte e sofisticação perdem seu valor quando se adotam procedimentos inadequados. Antes de tudo, seria necessário que houvesse empenho em compreender como um experimento deve ser conduzido, como a coleta de dados deve ser realizada, como estes dados devem ser processados para se calcular os valores das grandezas que se deseja conhecer. Sem atender a estes quesitos, o trabalho que deveria ser científico é reduzido à mera operacionalização de fórmulas, sem que haja entendimento do que se está fazendo, e os resultados serão ainda mais incompreensíveis. No caso de CoRoT-Exo-3b, por exemplo, já se está a discutir a existência de uma nova classe de objetos, até então desconhecidos, para enquadrar o referido planeta, devido à sua elevadíssima densidade, quando na verdade o problema é muito mais simples e econômico do que isso.

7 Apêndice: Descriptivos Densidade_5 Densidade_6 Estadístico Error típ. Media,933,6531 Intervalo de confianza para la media al 95% Límite inferior,71779 Límite superior,97 Media recortada al 5%,2565 Mediana,793 Varianza,196 Desv. típ.,2952 Mínimo,222 Máximo 1,9 Rango 1,75 Amplitud intercuartil,59 Asimetría,735,35 Curtosis -,25,6 Media,933,6531 Intervalo de confianza para la media al 95% Límite inferior,71779 Límite superior,97 Media recortada al 5%,2565 Mediana,793 Varianza,196 Desv. típ.,2952 Mínimo,222 Máximo 1,9 Rango 1,75 Amplitud intercuartil,59 Asimetría,735,35 Curtosis -,25,6

8 Gráfico Q-Q normal de Densidade_5 2,5 Normal esperado, -2,5 -,5,,5 1, 1,5 2, Valor observado Gráfico Q-Q normal sin tendencias de Densidade_5,5 Desv. de normal,25, -,25,,5 1, 1,5 2, Valor observado

9 2, 1 1,5 1,,5, Densidade_5 Gráfico Q-Q normal de Densidade_6 2,5 Normal esperado, -2,5 -,5,,5 1, 1,5 2, Valor observado

10 Gráfico Q-Q normal sin tendencias de Densidade_6,5 Desv. de normal,25, -,25,,5 1, 1,5 2, Valor observado 2, 1 1,5 1,,5, Densidade_6

11 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Normal Estimated: Location or mean (mu) =.792 Scale or SD (sigma) =.353 Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.12 Lilliefors Probability (2-tail) =.1591 Shapiro-Wilk test statistic for normality = p-value =.165 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Triangular Estimated: Low (a)=.22 High (b) = 2. Mode (c) =.376 Estimation of parameter(s): Modified maximum likelihood and moments. Chi-square test statistic = df = 3 p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.511 p-value(2-tail) =.616

12 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Logistic Estimated: Location (alpha) =.792 Scale (beta) =.2535 Estimation of parameter(s): Method of moments. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.925 p-value(2-tail) =.3729 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Laplace / Double exponential Estimated: Location (theta) =.395 Scale (phi) =.3699 Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic =.739 df = 2 p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.162 p-value(2-tail) =.6252

13 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Cauchy Estimated: Location (alpha) =.775 Scale (beta) = Estimation of parameter(s): Method of quantiles or order statistics. Chi-square test statistic = df = 3 p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic = p-value(2-tail) =.65 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Gumbel Estimated: Location (alpha) =.6772 Scale (theta) = Estimation of parameter(s): Method of moments. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.6 p-value(2-tail) =

14 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Gamma Estimated: Shape (alpha) = Scale (beta) = Estimation of parameter(s): Method of moments. Chi-square test statistic = 3.66 df = p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.797 p-value(2-tail) =.3377 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Gompertz Estimated: b = c = Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.2559 p-value(2-tail) =.22

15 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Lognormal (Log transformation is used on data) Estimated: Location (mu) = Scale (sigma) = Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.95 Lilliefors Probability (2-tail) = Shapiro-Wilk test statistic for normality = p-value =.2673 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Weibull Estimated: Scale (beta) =.999 Shape (alpha) = Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.9163 p-value(2-tail) =.2152

16 Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Rayleigh Estimated: Scale (sigma) = Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = 3.7 df = 5 p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.6 p-value(2-tail) = Variable Name: DENS_N_5 Distribution: Wald / Inverse Guassian Estimated: Location (mu) =.792 Scale (lambda) = Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_5 Kolmogorov-Smirnov test statistic = p-value(2-tail) =.7761

17 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Normal Estimated: Location or mean (mu) =.9326 Scale or SD (sigma) =.311 Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic =.7393 df = p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic = Lilliefors Probability (2-tail) = Shapiro-Wilk test statistic for normality = p-value =.19 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Triangular Estimated: Low (a)=.2261 High (b) = Mode (c) =.3597 Estimation of parameter(s): Modified maximum likelihood and moments. Chi-square test statistic = df = 2 p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.6933 p-value(2-tail) =.9792

18 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Logistic Estimated: Location (alpha) =.9326 Scale (beta) =.2153 Estimation of parameter(s): Method of moments. Chi-square test statistic = df = 3 p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic = p-value(2-tail) =.32 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Laplace / Double exponential Estimated: Location (theta) =.793 Scale (phi) =.3657 Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = 2 p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.179 p-value(2-tail) =.65665

19 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Cauchy Estimated: Location (alpha) =.7625 Scale (beta) =.5915 Estimation of parameter(s): Method of quantiles or order statistics. Chi-square test statistic =.991 df = 1 p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.263 p-value(2-tail) =.323 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Gumbel Estimated: Location (alpha) =.625 Scale (theta) = Estimation of parameter(s): Method of moments. Chi-square test statistic = df = 3 p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.75 p-value(2-tail) =

20 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Gamma Estimated: Shape (alpha) = Scale (beta) = Estimation of parameter(s): Method of moments. Chi-square test statistic = df = 3 p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.965 p-value(2-tail) =.53 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Gompertz Estimated: b = c =.23 Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.1366 p-value(2-tail) =.3565

21 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Lognormal Estimated: Location (mu) = Scale (sigma) = Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.9311 Lilliefors Probability (2-tail) =.566 Shapiro-Wilk test statistic for normality = p-value = Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Weibull Estimated: Scale (beta) = Shape (alpha) = Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = 3 p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.957 p-value(2-tail) =

22 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Rayleigh Estimated: Scale (sigma) = Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = df = p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic =.62 p-value(2-tail) =.911 Variable Name: DENS_N_6 Distribution: Wald / Inverse Guassian Estimated: Location (mu) =.9326 Scale (lambda) = Estimation of parameter(s): Maximum likelihood method. Chi-square test statistic = 2.6 df = 3 p-value = DENS_N_6 Kolmogorov-Smirnov test statistic = p-value(2-tail) =.155 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 1 3/1/2 1:27:9

23 Database Summary Section of Densidade_59 Standard Standard Mean Deviation Error Minimum Maximum Range 59 2,2379,226527,5527,222 26,1 26,192 s Section of Densidade_59 Sum of Missing Distinct Total Adjusted Rows Frequencies Values Values Sum Sum Squares Sum Squares ,71 133,13 136,5 Means Section of Densidade_59 Geometric Harmonic Parameter Mean Median Mean Mean Sum Mode Value 2,2379,923 1,191, ,71 1,3 Std Error, ,657 95% LCL 1,12359,6727,6552, , % UCL 3, ,26 1,529, ,729 T-Value,1596 Prob Level 1,99922E The geometric mean confidence interval assumes that the ln(y) are normally distributed. The harmonic mean confidence interval assumes that the 1/y are normally distributed. 2 Variation Section of Densidade_59 Standard Unbiased Std Error Interquartile Parameter Variance Deviation Std Dev of Mean Range Range Value 17,6353,226527,273,5527,93 26,192 Std Error 1,139 1,7369, % LCL,135 3,5779, % UCL 26, ,16621, Skewness and Kurtosis Section of Densidade_59 Coefficient Coefficient Parameter Skewness Kurtosis Fisher's g1 Fisher's g2 of Variation of Dispersion Value 3,2522 2, ,95 1,361 1,5657 1,621 Std Error,15165,31732,25363 Trimmed Section of Densidade_59 5% 1% 15% 25% 35% 5% Parameter Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trim-Mean 1, , ,776,956637,966,9397 Trim-Std Dev 1, ,32573,5113, ,1591 7,6352E Mean-Deviation Section of Densidade_59 Parameter X-Mean X-Median (X-Mean)^2 (X-Mean)^3 (X-Mean)^ Average 2, , , , ,27 Std Error, , , ,96

24 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 2 3/1/2 1:27:9 Database Quartile Section of Densidade_59 1th 25th 5th 75th 9th Parameter Percentile Percentile Percentile Percentile Percentile Value,36,53,923 1,513,11 95% LCL,293,2,6727 1,26 1,76 95% UCL,1,6727 1,26,3,91 Normality Test Section of Densidade_59 Test Prob 1% Critical 5% Critical Decision Test Name Value Level Value Value (5%) Shapiro-Wilk W, ,1315E-13 Reject normality Anderson-Darling 11,311 1,5519E-27 Reject normality Martinez-Iglewicz 76,31 1,1351 1,5359 Reject normality Kolmogorov-Smirnov,37971,15,115 Reject normality D'Agostino Skewness 7,19 2,3165E Reject normality D'Agostino Kurtosis 5,526, Reject normality D'Agostino Omnibus 79,612, Reject normality Plots Section of Densidade_59 Histogram of Densidade_59 Normal Probability Plot of Densidade_59, 3, 6, 22,5, Densidade_59 15, 2, 7,5,, 7,5 15, 22,5 3, Densidade_59, -3, -1,5, 1,5 3, Expected Normals

25 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 3 3/1/2 1:27:9 Database Percentile Section of Densidade_59 Percentile Value 95% LCL 95% UCL Exact Conf. Level 99 26,1 95,32 1,9 26,1 95,619 9,11 1,76,91 95,327 5,3 1,513,7 95,7 1,727 1,36,11 96, ,513 1,26,3 95, , ,5 1,76 95, ,276,971 1,55 95, ,63,7 1,25 95, ,3,1 1,36 96,539 5,923,6727 1,26 96,3656 5,6,617 1,5 96,539,76,51,971 95, ,673,5,7 95,6657 3,599,1,1 95, ,53,2, ,6656 2,9,372,599 95,776 15,2,35,53 95,7 1,36,293,1 95,327 5,353,222,29 95,619 1,222 Percentile Formula: Ave X(p[n+1]) Stem-Leaf Plot Section of Densidade_59 Depth Stem Leaves 7 T F S (7) * 22 T F S High 3, 5,, 1, 3,,, 9, 26 Unit =.1 Example: 1 2 Represents 1.2

26 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 3/1/2 1:27:9 Database Summary Section of Densidade_55 Standard Standard Mean Deviation Error Minimum Maximum Range 55 2,36,369195,591,222 26,1 26,192 s Section of Densidade_55 Sum of Missing Distinct Total Adjusted Rows Frequencies Values Values Sum Sum Squares Sum Squares , ,25 13,53 Means Section of Densidade_55 Geometric Harmonic Parameter Mean Median Mean Mean Sum Mode Value 2,36,7 1,16, ,22 1,3 Std Error,591 32,22 95% LCL 1,17921,657,2919, ,526 95% UCL 3, ,63 1,72232, ,757 T-Value,653 Prob Level 1,93E The geometric mean confidence interval assumes that the ln(y) are normally distributed. The harmonic mean confidence interval assumes that the 1/y are normally distributed. 2 Variation Section of Densidade_55 Standard Unbiased Std Error Interquartile Parameter Variance Deviation Std Dev of Mean Range Range Value 19,97,369195,3969,591 1,5 26,192 Std Error 1, 1,75356, % LCL 13, ,67269, % UCL 2, ,32161,72573 Skewness and Kurtosis Section of Densidade_55 Coefficient Coefficient Parameter Skewness Kurtosis Fisher's g1 Fisher's g2 of Variation of Dispersion Value 3, ,7376 3, ,321 1,51 2,21 Std Error, ,7575,25175 Trimmed Section of Densidade_55 5% 1% 15% 25% 35% 5% Parameter Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trim-Mean 1,623 1,255 1,236,925636,93661, Trim-Std Dev 2,1659 1,2567,6221,27771,1377 5,2626E Mean-Deviation Section of Densidade_55 Parameter X-Mean X-Median (X-Mean)^2 (X-Mean)^3 (X-Mean)^ Average 2, ,155 1,727 32, ,366 Std Error,357 1, ,6 595,2

27 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 5 3/1/2 1:27:9 Database Quartile Section of Densidade_55 1th 25th 5th 75th 9th Parameter Percentile Percentile Percentile Percentile Percentile Value,3,5,7 1,513,2 95% LCL,222,391,657 1,63 1,76 95% UCL,29,657 1,63,573,91 Normality Test Section of Densidade_55 Test Prob 1% Critical 5% Critical Decision Test Name Value Level Value Value (5%) Shapiro-Wilk W, ,26996E- Reject normality Anderson-Darling 1,17 2,79372E-25 Reject normality Martinez-Iglewicz 5,7765 1,652 1, Reject normality Kolmogorov-Smirnov,37217,19,119 Reject normality D'Agostino Skewness 6, ,6E Reject normality D'Agostino Kurtosis 5,321, Reject normality D'Agostino Omnibus 73,7, Reject normality Plots Section of Densidade_55 Histogram of Densidade_55 Normal Probability Plot of Densidade_55 6, 3, 5, 22,5 3, Densidade_55 15, 15, 7,5,, 7,5 15, 22,5 3, Densidade_55, -3, -1,5, 1,5 3, Expected Normals

28 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 6 3/1/2 1:27:9 Database Percentile Section of Densidade_55 Percentile Value 95% LCL 95% UCL Exact Conf. Level 99 26,1 95,525 9,2 1,76,91 95,975 5,67 1,7,7 96,15 1,759 1,299,11 95, ,513 1,63,573 95, ,329 1,3 1,9 96, ,163,923 1,55 95, ,76,6 1,7 96, ,21,76 1,299 95,521 5,7,657 1,63 95,5953 5,62,557 1,3 95,167,7,5,923 95, ,61,5,7 95,3267 3,553,29,1 96,197 25,5,391,657 95,153 2,5,372,557 95,616 15,152,353,5 96,237 1,3,222,29 95,251 5,31 1,222 Percentile Formula: Ave X(p[n+1]) Stem-Leaf Plot Section of Densidade_55 Depth Stem Leaves 7 T F S (7) * 19 T F 55 S High 3, 5,, 1, 3,,, 9, 26 Unit =.1 Example: 1 2 Represents 1.2

29 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 7 3/1/2 1:27:9 Database Summary Section of Densidade_5 Standard Standard Mean Deviation Error Minimum Maximum Range 5,7921,35 6,33619E-2,222 1,9 1,75 s Section of Densidade_5 Sum of Missing Distinct Total Adjusted Rows Frequencies Values Values Sum Sum Squares Sum Squares ,9917,5 9,3536 Means Section of Densidade_5 Geometric Harmonic Parameter Mean Median Mean Mean Sum Mode Value,7921,395,763996, ,9917 1,3 Std Error 6,33619E-2 3,165 95% LCL,752925,599,65965, , % UCL 1,715 1,3,95977, ,35751 T-Value 13,53 Prob Level The geometric mean confidence interval assumes that the ln(y) are normally distributed. The harmonic mean confidence interval assumes that the 1/y are normally distributed. 2 Variation Section of Densidade_5 Standard Unbiased Std Error Interquartile Parameter Variance Deviation Std Dev of Mean Range Range Value,2731,35, ,33619E-2, ,75 Std Error 3,32995E-2 5,255525E-2 7,3235E-3 95% LCL,1669, ,292767E-2 95% UCL,31175,5535 7,95637E-2 Skewness and Kurtosis Section of Densidade_5 Coefficient Coefficient Parameter Skewness Kurtosis Fisher's g1 Fisher's g2 of Variation of Dispersion Value, ,375995, ,5697,59229,735 Std Error,22693,2 3,99629E-2 Trimmed Section of Densidade_5 5% 1% 15% 25% 35% 5% Parameter Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trim-Mean,59739,3256,397,177,51,22 Trim-Std Dev,35633,33761,293257,26, , Mean-Deviation Section of Densidade_5 Parameter X-Mean X-Median (X-Mean)^2 (X-Mean)^3 (X-Mean)^ Average,371592,369976, ,37615E-2 9,1952E-2 Std Error 3,1732E-2 3,26335E-2 2,199291E-2,27337

30 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 3/1/2 1:27:9 Database Quartile Section of Densidade_5 1th 25th 5th 75th 9th Parameter Percentile Percentile Percentile Percentile Percentile Value,373,975,395 1, ,599 95% LCL,222,391,599 1,3 1,36 95% UCL,29,617 1,3 1,7 1,9 Normality Test Section of Densidade_5 Test Prob 1% Critical 5% Critical Decision Test Name Value Level Value Value (5%) Shapiro-Wilk W, ,65159E-2 Reject normality Anderson-Darling,9995 2,156E-2 Reject normality Martinez-Iglewicz, ,915 1,1671 Can't reject normality Kolmogorov-Smirnov,163196,11, Can't reject normality D'Agostino Skewness 1, ,713351E Can't reject normality D'Agostino Kurtosis -,927, Can't reject normality D'Agostino Omnibus 3,951, Can't reject normality Plots Section of Densidade_5 Histogram of Densidade_5 Normal Probability Plot of Densidade_5, 2, 9, 1,5 6, Densidade_5 1, 3,,5,,,5 1, 1,5 2, Densidade_5, -3, -1,5, 1,5 3, Expected Normals

31 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 9 3/1/2 1:27:9 Database Percentile Section of Densidade_5 Percentile Value 95% LCL 95% UCL Exact Conf. Level 99 1,9 95 1, ,599 1,36 1,9 97,33 5 1,75 1,26 1,727 95,5751 1,36 1,5 1,55 95, , ,3 1,7 95, ,63,7 1, , ,3,61 1,299 96, ,951,72 1,97 95, ,75,673 1,5 95,5135 5,395,599 1,3 95,161 5, ,51,923 95,5135,663,5,6 95, ,5927,1,1 96, ,5333,2, , ,975,391,617 95,176 2,31,372,51 95,75 15,65,353,5 95,5751 1,373,222,29 97,33 5,326 1,222 Percentile Formula: Ave X(p[n+1]) Stem-Leaf Plot Section of Densidade_5 Depth Stem Leaves 7 T F S (7) * 13 T F 55 S Unit =.1 Example: 1 2 Represents 1.2

32 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 1 3/1/2 1:27:9 Database Summary Section of Densidade_6 Standard Standard Mean Deviation Error Minimum Maximum Range 6,93261, ,53965E-2,222 1,9 1,75 s Section of Densidade_6 Sum of Missing Distinct Total Adjusted Rows Frequencies Values Values Sum Sum Squares Sum Squares ,69 2,116,29276 Means Section of Densidade_6 Geometric Harmonic Parameter Mean Median Mean Mean Sum Mode Value,93261,793,76162, ,69 1,3 Std Error 6,53965E-2 3,2 95% LCL,717757,51,63973, ,11 95% UCL,9665,971,6925, ,1196 T-Value 13,6 Prob Level The geometric mean confidence interval assumes that the ln(y) are normally distributed. The harmonic mean confidence interval assumes that the 1/y are normally distributed. 2 Variation Section of Densidade_6 Standard Unbiased Std Error Interquartile Parameter Variance Deviation Std Dev of Mean Range Range Value,196261,29516,5191 6,53965E-2, ,75 Std Error 3,7161E-2 5,9293E-2,7369E-3 95% LCL,13933,3677 5,1727E-2 95% UCL,3161,557977,2259 Skewness and Kurtosis Section of Densidade_6 Coefficient Coefficient Parameter Skewness Kurtosis Fisher's g1 Fisher's g2 of Variation of Dispersion Value, ,6773,7353 -,29917,521533,57 Std Error,2373, ,2915E-2 Trimmed Section of Densidade_6 5% 1% 15% 25% 35% 5% Parameter Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trimmed Trim-Mean,256522,67,79,7763,771319,79717 Trim-Std Dev,37153,32326,276166,19735,131 6,6339E Mean-Deviation Section of Densidade_6 Parameter X-Mean X-Median (X-Mean)^2 (X-Mean)^3 (X-Mean)^ Average,36199,3657,1919 5,97953E-2 9,7516E-2 Std Error 3,931623E-2 3,63365E-2 2,2932E-2 3,27373E-2

33 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 11 3/1/2 1:27:9 Database Quartile Section of Densidade_6 1th 25th 5th 75th 9th Parameter Percentile Percentile Percentile Percentile Percentile Value,3666,7775,793 1,715 1, % LCL,222,36,51,923 1,299 95% UCL,2,599,971 1,7 1,9 Normality Test Section of Densidade_6 Test Prob 1% Critical 5% Critical Decision Test Name Value Level Value Value (5%) Shapiro-Wilk W, ,1E-2 Reject normality Anderson-Darling, ,6539E-2 Reject normality Martinez-Iglewicz 1,696 1,197 1, Can't reject normality Kolmogorov-Smirnov,11922,119,9 Can't reject normality D'Agostino Skewness 2,6521 3,9373E Reject normality D'Agostino Kurtosis -,279, Can't reject normality D'Agostino Omnibus,29, Can't reject normality Plots Section of Densidade_6 Histogram of Densidade_6 Normal Probability Plot of Densidade_6, 2, 9, 1,5 6, Densidade_6 1, 3,,5,,,5 1, 1,5 2, Densidade_6, -3, -1,5, 1,5 3, Expected Normals

34 Descriptive Statistics Report Page/Date/Time 3/1/2 1:27:9 Database Percentile Section of Densidade_6 Percentile Value 95% LCL 95% UCL Exact Conf. Level 99 1,9 95 1, ,5253 1,299 1,9 95, ,195 1,5 1,727 96,65 1,25 1,3 1,513 95, ,715,923 1,7 96,92 7 1,3,6 1,36 96, ,565,1 1,26 95,6713 6,92,673 1,63 96, ,6695,617 1,3 96,2771 5,793,51,971 96,1 5,65,5,7 96,2771,613,9,6 96, ,52,29,76 95,6713 3,5,391,657 95, ,7775,36,599 96,92 2,236,35,53 95, ,3925,293,9 95,91 1,3666,222,2 95,573 5,31 1,222 Percentile Formula: Ave X(p[n+1]) Stem-Leaf Plot Section of Densidade_6 Depth Stem Leaves High 19 Unit =.1 Example: 1 2 Represents.

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