Fundações por Estacas Acções Horizontais

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura Mestrado em Engenharia Civil Obras Geotécnicas Fundações por Estacas Acções Horizontais Elementos Teóricos Prof. Jaime A. Santos Abril de 2008

2 1 - Generalidades Nos tempos actuais, assiste-se, cada vez mais, à execução de obras de construção civil de grande porte, graças ao progressivo aperfeiçoamento dos materiais e das técnicas construtivas. Por condicionamentos de índole geológica e geotécnica, estas estruturas de grande porte são, muitas vezes fundadas em estacas e envolvem acções horizontais consideráveis que podem ser provocadas por diversas origens, tais como: ventos, sismos, impulsos de terras, frenagens de veículos, ondas do mar, variações térmicas, etc. As acções horizontais induzidas na superestrutura são transmitidas até ao nível das fundações dando origem a cargas horizontais e momentos concentrados. Estas cargas são, em grande parte, suportadas pela reacção lateral do solo que se opõe ao movimento das estacas, gerando-se assim esforços de interacção. Para o dimensionamento de estacas sujeitas a acções horizontais, vários métodos de análise foram desenvolvidos. Praticamente, em todos estes métodos, a estaca é assimilada a uma peça linear caracterizada por uma dada rigidez à flexão EI. A principal diferença entre os vários métodos desenvolvidos reside na modelação do solo envolvente. Essa modelação pode ser feita através de modelos do meio contínuo e de modelos do meio discreto (Figura 1): p y M 1/r p y Figura 1 Modelos de interacção solo-estaca (Gomes Correia e Santos, 1994) 1 MECivil, IST

3 1) nos modelos do meio contínuo o solo é, em geral, considerado como um meio elástico contínuo. Recentemente, com o aparecimento de computadores cada vez mais eficientes, tornou-se possível uma abordagem mais geral do problema, através da aplicação de formulações tridimensionais pelo método dos elementos finitos ou pelo método dos elementos de fronteira, permitindo analisar o efeito de interacção num grupo de estacas. Nestes modelos é ainda possível simular a interface solo-estaca e também admitir leis de comportamento elastoplástico para o solo envolvente; 2) nos modelos do meio discreto o solo é assimilado a uma série de molas independentes com comportamento elástico e linear (modelo de Winkler) ou elástico não linear, traduzido pelas curvas 'p-y'. O modelo permite, de uma forma expedita, simular a estratificação do terreno, variando as características das curvas 'p-y' em profundidade. Este modelo é severamente criticado por diversos investigadores, dado que os parâmetros intervenientes não são grandezas fisicamente mensuráveis e a construção das curvas 'p-y' baseia-se muito na experiência empírica adquirida em número restritos de ensaios de carga. No entanto, dada a sua simplicidade, é largamente utilizado na prática e tem sido objecto de sucessivos refinamentos. Na realidade, a análise rigorosa do comportamento de estacas sujeitas a acções horizontais é algo complexa, visto que envolve o estudo da interacção solo-estaca, interacção essa que depende de múltiplos factores e requer uma análise tridimensional do problema considerando o comportamento não linear dos materiais. Nos últimos anos, assiste-se a um progressivo desenvolvimento de métodos de cálculo cada vez mais complexos com base em modelos que melhor reproduzem a realidade, não se verificando, contudo, o mesmo acompanhamento no domínio da caracterização geotécnica do meio de fundação, de modo a disporem-se dos parâmetros necessários para a modelação numérica. Desta forma, pode tornar-se algo discutível a adopção de métodos de cálculo muito complexos, porque exigem um grande número de parâmetros que à partida não é possível obter-se com rigor através de uma caracterização geotécnica corrente. Em vez disso, talvez tenha mais justificação utilizar métodos aproximados e mais simples, tais como os que se baseiam no modelo de Winkler, que na prática a experiência tem demonstrado conduzir a resultados razoavelmente satisfatórios. 2 MECivil, IST

4 2 - Modelo de Winkler O modelo do meio discreto baseado no conceito do coeficiente de reacção foi proposto por Winkler em Neste modelo o solo é assimilado por uma série de molas independentes com comportamento elástico e linear. A rigidez dessas molas é caracterizada assim por uma constante de proporcionalidade entre a pressão aplicada e o deslocamento do solo, constante essa designada por coeficiente de reacção horizontal k h. O k h é assim definido como sendo a pressão necessária para provocar um deslocamento unitário e, portanto, com as dimensões de [FL -3 ]. Define-se ainda, por vezes, uma outra grandeza designada por módulo de reacção do solo k que é igual ao produto de k h pelo diâmetro (ou dimensão transversal) da estaca. O modelo de cálculo consiste em assimilar a estaca a uma peça linear (viga) apoiada num meio elástico. A influência do esforço normal na estaca é, em geral, desprezado. A equação diferencial que rege o comportamento dessa viga é bem conhecida da Resistência de Materiais (Timoshenko 1951) e traduz-se na seguinte equação: 2 d M 2 dx = q (1) em que M é o momento flector, x é a profundidade e q é a pressão aplicada. Admitindo válida a hipótese dos pequenos deslocamentos vem : 2 d M 2 dx 2 d y = EI (2) 2 dx em que y é o deslocamento, E é o módulo de elasticidade da estaca e I o momento de inércia da estaca. Se as características da estaca (EI) se mantiver constante em profundidade e atendendo a que q=-k(x)y, a equação (2) toma então a seguinte forma: 4 d y EI = k( x )y 4 dx (3) A solução da equação anterior pode ser obtida, quer por via analítica, quer por via numérica. 3 MECivil, IST

5 Hetenyi (1946) desenvolveu as soluções analíticas para várias hipóteses de carregamento e de condições de fronteira, mas somente para o caso particular de k constante em profundidade. Para outras distribuições de k, torna-se difícil a resolução analítica da equação (3), pois a solução apresenta-se sob a forma geral de uma série infinita, pelo que, é mais conveniente adoptar a via numérica. 3 - Classificação das estacas quanto ao seu comportamento estrutural As estacas são habitualmente divididas em três grupos consoante o seu comportamento estrutural quando sujeitas às acções horizontais: i) estacas flexíveis; ii) estacas semi-flexíveis; iii) estacas rígidas. Esta classificação está relacionada, quer com a rigidez relativa entre a estaca e o solo envolvente, quer com as condições de fronteira e de carregamento da estaca. Considere-se, então, uma estaca caracterizada por uma rigidez à flexão constante EI e embebida num meio homogéneo. A partir de uma determinada profundidade, a designada profundidade crítica l c (nota: não confundir com o conceito de profundidade crítica, no que respeita à mobilização da resistência de ponta), o aumento do comprimento da estaca não traz nenhum benefício e não influi praticamente nos deslocamentos e nos esforços na zona da estaca acima da profundidade crítica (Figura 2). Figura 2 Comportamento flexível das estacas 4 MECivil, IST

6 Para o caso particular do módulo de reacção ser constante em profundidade vai-se mostrar, mais adiante, que: EI l c = 3 / λ = 3 (4) k 4 4 As estacas com comprimento superior a l c comportam-se, assim, como estacas flexíveis infinitamente longas em que os deslocamentos e os esforços deixam de ser dependentes do comprimento total da estaca. Nestas condições, algumas simplificações podem ser introduzidas na resolução da equação (3). Quando, pelo contrário, a estaca for curta e tiver uma rigidez bastante superior à do solo envolvente, a deformação por flexão da estaca torna-se desprezável e ela comporta-se como um elemento rígido. Neste caso, a estaca desloca-se como um corpo rígido no meio envolvente e a solução do problema pode ser obtida por simples considerações de equilíbrio estático. Para o caso intermédio em que a estaca exibe comportamento semi-flexível deixam de ser possíveis as simplificações atrás referidas. Aliás os dois casos anteriores podem ser entendidos como sendo duas situações extremas de comportamento da estaca. Se se designar por R a relação entre a rigidez do solo e a rigidez da estaca e L o seu comprimento, então quando RL tende para infinito ela será flexível ou, pelo contrário, quando RL tende para zero ela comportar-se-á como um corpo rígido. Deste modo, do ponto de vista prático, a definição dos limites de comportamento flexível e rígido das estacas é importante, no sentido de permitir estabelecer soluções mais simples. Conforme referido anteriormente, a abordagem do problema pela via analítica só é possível para casos particulares simples. Embora, a maioria dos casos práticos não se enquadrem, em geral, nessas soluções particulares, elas constituem, sem dúvida uma ferramenta com muito interesse prático. De facto, essas soluções são utilizadas frequentemente no pré-dimensionamento das estacas e proporcionam valores de referência que permitem, por comparação, a análise de situações reais mais complexas. Além disso, permitem, ainda, a aferição dos resultados dos modelos numéricos. Apresenta-se, em anexo, uma compilação das expressões analíticas que permitem calcular os deslocamentos e os esforços ao longo do fuste da estaca. 5 MECivil, IST

7 As soluções apresentadas referem-se a situações em que k=c te ou k=n h x e para as hipóteses de carregamento seguintes: hipótese 1) hipótese 2) Estaca com cabeça livre. Força horizontal concentrada aplicada na cabeça; Estaca com cabeça livre. Momento concentrado aplicado na cabeça; No sentido de estabelecer o domínio de validade das expressões analíticas apresentadas, torna-se necessária a definição dos limites de comportamento flexível e rígido das estacas. Os limites propostos na bibliografia nem sempre são concordantes, visto o critério considerado pelos diferentes autores não ter sido o mesmo. Tendo em consideração que, de um ponto de vista prático, o dimensionamento de uma estaca solicitada horizontalmente, é condicionado, pelo deslocamento da sua cabeça (y o ) e pelo momento flector máximo (M máx ), parece ajustado definir um critério baseado exactamente na análise da variação daquelas duas grandezas (y o e M máx ) em função do parâmetro 8L (ou 0L para o caso de k=n h x) (Santos e Gomes Correia, 1992). A título exemplificativo, faz-se referência ao caso particular em que o módulo de reacção k é constante em profundidade. Neste caso, a solução analítica exacta pode ser equacionada sob a forma adimensional em função de três parâmetros: 8 (coeficiente de rigidez relativa solo-estaca), L (comprimento da estaca) e k (módulo de reacção). A solução simplifica-se substancialmente para os casos limites de comportamento flexível e rígido das estacas, porque o número de parâmetros relevantes reduz-se de três para dois: comportamento flexível (8L64) comportamento semi-flexível comportamento rígido (8L60) - parâmetros relevantes: 8, k - parâmetros relevantes: 8, L, k - parâmetros relevantes: k, L A Figura 3 referente ao caso particular de uma estaca com cabeça livre e sujeita a uma força horizontal V o, evidencia claramente os domínios de comportamento flexível (8L$3) e rígido (8L#1) da estaca: para 8L$3 a solução deixa de depender do comprimento L, enquanto que para 8L#1 a solução não depende de k. 6 MECivil, IST

8 Mmáx Vo 0.2 estaca flexível 4 y o k Vo Mmáx V L o 0.1 estaca rígida 8 y o k L Vo L L 0 M máx V o y o k V o M máx V L o y o k L V o Figura 3 Limites de comportamento flexível e rígido da estaca Seguindo o mesmo tipo de análise, pode-se observar a variação do esforço máximo e do deslocamento da cabeça da estaca em função da rigidez relativa estaca-solo para as situações em que k=c te ou k=n h x e para as hipóteses de carregamento seguintes: hipótese 1) Estaca com cabeça livre. Força horizontal concentrada aplicada na cabeça; hipótese 2) Estaca com cabeça livre. Momento concentrado aplicado na cabeça; hipótese 3) Estaca com rotação impedida na cabeça. Força horizontal concentrada aplicada na cabeça. A análise dos resultados permite, com base no critério adoptado, ou seja no deslocamento da cabeça da estaca e do momento flector máximo, uniformizar os limites de comportamento flexível e rígido das estacas. Santos e Gomes Correia (1992) estabeleceu, assim, o domínio de validade das soluções analíticas (Quadro 1): 7 MECivil, IST

9 Quadro 1 - Limites de comportamento flexível, semi-flexível e rígido Módulo de reacção constante em profundidade (k=c te k ) ; λ = 4 4EI Comportamento da estaca Hipóteses de carregamento 1 e 2 Hipótese de carregamento 3 flexível 8L 3 8L 3 semi-flexível 1<8L<3 0.5<8L<3 rígido 8L 1 8L 0.5 Módulo de reacção crescendo linearmente em prof. (k=n h x) ; η = 5 EI n h Comportamento da estaca Hipóteses de carregamento 1 e 2 Hipótese de carregamento 3 flexível 0L 4 0L 4 semi-flexível 1.5<0L<4 1<0L<4 rígido 0L 1.5 0L 1 É importante referir, que as soluções para estaca semi-flexível são válidas para qualquer valor de 8L (ou 0L). Estas soluções gerais tendem para soluções mais simples, para os casos particulares de comportamento flexível ou rígido, conforme se pode verificar nas equações apresentadas em anexo. 4 - Algumas considerações acerca do módulo de reacção do solo Os métodos de análise baseados no modelo de Winkler têm a grande vantagem da simplicidade, pelo facto de dependerem de um único parâmetro, que é o módulo de reacção. Contudo, este parâmetro é difícil de avaliar visto não depender exclusivamente do solo envolvente, mas também das características da própria estaca e do estado de tensão considerado. Algumas propostas foram estabelecidas para a avaliação do módulo de reacção com base numa variedade de ensaios, dentro dos quais se destacam: o ensaio SPT, o ensaio CPT, o ensaio pressiométrico e o ensaio de placa. No entanto, a aplicação de diferentes correlações propostas por diferentes autores conduzem, frequentemente a uma grande dispersão no valor do módulo de reacção. 8 MECivil, IST

10 A título indicativo, apresentam-se algumas propostas no Quadro 2 seguinte: Solos arenosos: Quadro 2 Módulo de reacção módulo de reacção crescente em profundidade k=n h x Terzaghi (1955) Compacidade da areia n h (kn/m 3 ) Seca ou húmida Submersa Solta Média Compacta Solos argilosos: Argilas normalmente consolidadas módulo de reacção crescente em profundidade k=n h x Argila mole n h = 160 a 3450 kn/m 3, Reese e Matlock (1956) n h = 270 a 540 kn/m 3, Davisson e Prakash (1963) Argila orgânica n h = 110 a 270 kn/m 3, Peck e Davisson (1962) n h = 110 a 810 kn/m 3, Davisson (1970) Argilas sobreconsolidadas módulo de reacção k constante em profundidade k = 67c u, Davisson (1970) Uma das hipóteses simplificativas, mais questionada no modelo de Winkler, é exactamente o carácter descontínuo do meio. Torna-se assim interessante comparar os resultados obtidos a partir do modelo de Winkler com os obtidos com base no modelo do meio elástico contínuo. Essa comparação entre as duas soluções permitirá relacionar o módulo de reacção k com os parâmetros elásticos E s e < s do solo. Essa metodologia permitiria ultrapassar uma das dificuldades anteriormente apontadas, no que respeita à dependência do valor de k das características da própria estaca. No entanto, a generalização deste tipo de correlações para ter em conta situações mais complexas, tais como a estratificação do terreno, ou a não linearidade do comportamento do solo pode oferecer algumas dificuldades. 9 MECivil, IST

11 Note ainda que, como as duas soluções não são exactamente iguais, a confrontação pode ser feita para qualquer das grandezas intervenientes e para qualquer ponto da estaca, conduzindo assim a uma infinidade de relações do tipo (E s,< s )6k. Porém, é sempre possível seleccionar as grandezas mais importantes, do ponto de vista de dimensionamento, e procurar a relação (E s,< s )6k que conduza globalmente a um melhor ajustamento entre as duas soluções. Foi nesta perspectiva que Vesic (1961) estabeleceu a comparação entre as duas soluções para o caso de uma viga de comprimento infinito apoiada num meio isotrópico, elástico e contínuo. A relação que mais aproxima as duas soluções, quer em termos de deslocamentos, quer em termos de momentos flectores máximos, é segundo o autor dado por: k E B E 4 s s = (5) 2 Eele 1 ν s A aplicação da expressão anterior para o caso de uma estaca não é directa, pois implica a consideração da influência do solo na parte de trás da estaca. De uma forma muito simplista, poder-se-á considerar dois conjuntos de molas, um à frente e outro atrás da estaca e, portanto, o valor de k a considerar seria aproximadamente igual a duas vezes o valor obtido pela equação (5). Essa extrapolação implica necessariamente uma certa aproximação, mas que deverá situar-se do lado da segurança, uma vez que se está a desprezar o efeito das tensões de corte que se desenvolvem ao longo da superfície lateral da estaca. Em face do exposto, o ideal seria comparar as soluções respeitantes a estacas obtidas a partir do modelo de Winkler e do modelo do meio elástico contínuo. Assim, Poulos (1980) comparou as duas soluções, para o caso particular de estacas com rotação impedida na cabeça, com comprimento igual a 25 vezes o diâmetro, embebidas num meio com < s =0.5. Igualando os deslocamentos ao nível da cabeça da estaca para diferentes situações, Poulos obteve k=0.82 E s. Aplicando essa relação, Poulos chegou à conclusão, quer para as estacas rígidas, quer para as estacas flexíveis, que o modelo de Winkler conduz, em geral, a valores dos deslocamentos e dos momentos flectores ligeiramente mais elevados e, portanto do lado da segurança. Seguindo a mesma metodologia, Santos (1993) confrontou a solução de Winkler com a solução do meio elástico contínuo de Randolph (1981), para o caso de estacas flexíveis, tendo concluído que a equação (5) afectada do factor multiplicativo de 2 conduz, em geral, a valores de k do lado da segurança, ou seja, sobrestimando os deslocamentos e os esforços da estaca. 10 MECivil, IST

12 5 - Comportamento não linear No modelo de Winkler admite-se que o solo exibe comportamento elástico e linear, ou seja, o módulo de reacção não depende da pressão de contacto. Na realidade, a lei de variação do deslocamento y com a carga aplicada p (pressão por unidade de comprimento da estaca) não é linear. A actuação de cargas concentradas na cabeça da estaca, conduz frequentemente à plastificação do solo nas zonas próximas do topo, mesmo para níveis de solicitação não muito elevados. Deste modo, a relação 'p-y' é traduzida pela curva tipo indicada na Figura 4. p p p u 1 k comportamento comportamento Figura 4 Curva 'p-y' para modelar real o comportamento não linear do idealizado solo y y Os estudos experimentais e numéricos mostram que os deslocamentos da estaca são bastante sensíveis à rigidez do meio envolvente, enquanto que em termos de esforços o mesmo não acontece. Deste modo, quando se pretende quantificar os deslocamentos ou a rigidez transversal do conjunto solo-estaca é necessário atender aos efeitos da não linearidade do sistema, que pode ser separado basicamente em 3 níveis (Santos, 1999): comportamento não linear do terreno envolvente, devido à plastificação e à resistência à tracção nula (geralmente assumida para o terreno); comportamento não linear da interface solo-estaca, devido aos efeitos de separação e de escorregamento entre o solo e a estaca; comportamento não linear da própria estaca, devido à plastificação e à fendilhação (em estacas de betão armado). As curvas 'p-y' da Figura 4 reproduzem os dois primeiros níveis de não linearidade atrás referidos. Quanto ao comportamento não linear da própria estaca, este deverá ser estudado utilizando modelos apropriados, tendo em conta o material constituinte da estaca. 11 MECivil, IST

13 Em suma, a consideração do comportamento não linear, quer do solo, quer da estaca, só é necessário nos casos em que a quantificação da rigidez transversal do sistema seja factor determinante no dimensionamento estrutural, devido a danos consideráveis que possam ser induzidos na superestrutura. Nos casos correntes, o modelo de comportamento elástico e linear é geralmente suficiente para efeitos de dimensionamento estrutural das estacas de fundação. 12 MECivil, IST

14 Referências bibliográficas Davisson, M.T. (1970) Lateral load capacity of piles. High. Res. Rec., no. 333, pp Davisson, M.T. e Prakash, S. (1963) A review of soil-pile behavior. High. Res. Rec., no. 39, pp Gomes Correia, A. e Santos, J.A. (1994) Métodos de dimensionamento de uma estaca isolada sob acções horizontais. Revista Geotecnia da Sociedade Portuguesa de Geotecnia, 71, pp Hetenyi, M. (1946) Beams on elastic foundations. Ann Arbor, Mich.: Univ. of Mich. Press. Peck, R.B. e Davisson, M.T. (1962) Discussion. Trans. ASCE, vol. 127, pt. 4: 413. Poulos, H.G.; Davis, E.H. (1980) Pile foundation analysis and design. John Wiley and Sons. Randolph, M.F. (1981) The response of flexible piles to lateral loading. Géotechnique 31, pp Reese, L.C. e Matlock, H. (1956) Non-dimensional solutions for laterally loaded piles with soil modulus assumed proportional to depth. Proc. 8 th Texas Conf. SMFE, Special Publication 29, Bureau of Eng. Res., Univ. Texas, Austin. Santos, J.A. (1993) Comportamento de estacas verticais sob acção de cargas horizontais estáticas. Dissertação apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Mecânica dos Solos. Santos, J.A. (1999) Caracterização de solos através de ensaios dinâmicos e cíclicos de torção. Aplicação ao estudo do comportamento de estacas sob acções horizontais estáticas e dinâmicas. Dissertação submetida ao Instituto Superior Técnico da Universidade Técnica de Lisboa para obtenção do grau de Doutor em Engenharia Civil. Santos, J.A. e Gomes Correia, A. (1992) Uniformização dos limites de comportamento flexível e rígido das estacas sob acção de cargas horizontais com vista ao respectivo dimensionamento. III Encontro de Mecânica Computacional. Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, Vol. 1, pp. G4.1- G4.14. Terzaghi, K. (1955) Evaluation of coefficients of subgrade reaction. Géotechnique, vol. 5, no. 4, pp Timoshenko, S.P. (1951) Theory of elasticity. McGraw-Hill. Vesic, A. (1961) Bending of beam resting on isotropic elastic solid. JEMD, ASCE, vol. 87, pp MECivil, IST

15 Anexo Estaca isolada em meio de Winkler Soluções analíticas 14 MECivil, IST

16 Fundações por Estacas - Acções Horizontais Estaca isolada em meio de Winkler sujeita à carga transversal V o e ao momento M o à cabeça a) terreno homogéneo com módulo de reacção constante (k=c te ) - a solução vem expressa em função do parâmetro de rigidez relativa λ definido por: λ ' 4 k 4E p I p (1) b) terreno com módulo de reacção crescendo linearmente em profundidade (k=n h x) - a solução vem expressa em função do parâmetro de rigidez relativa η dado por: η ' 5 n h E p I p (2) Simbologia utilizada nas expressões: E p - módulo de elasticidade da estaca I p - momento de inércia da estaca x - profundidade y - deslocamento transversal L - comprimento x' - L-x θ - rotação V - esforço transverso M - momento flector 15 MECivil, IST

17 Fundações por Estacas - Acções Horizontais Estaca com cabeça livre, força horizontal aplicada na cabeça. k=c te a) Estacas flexíveis (λl>3.0) y ' 2V λ o (e &λx cosλx) (3) k θ ' & 2V o λ2 k e &λx (cosλx % senλx) (4) M ' V o λ (e&λx senλx) M máx (x' 0.79 λ ) ' 0.32 V o λ (5) V ' V o e &λx (cosλx & senλx) (6) b) Estacas semi-flexíveis (1.0<λL<3.0) y ' 2V λ o K k yv K yv ' senhλl cosλx coshλx) & senλl coshλx cosλx ) senh 2 λl & sen 2 λl (7) θ ' & 2V o λ2 K k θv (8) K θv ' senhλl(senλxcoshλx) %cosλxsenhλx ) )%senλl(senhλxcosλx ) %coshλxsenλx ) ) senh 2 λl & sen 2 λl (9) M ' V o λ K MV K MV ' senhλl senλx senhλx) & senλl senhλx senλx ) senh 2 λl & sen 2 λl (10) V ' V o K VV (11) K VV ' senhλl(cosλxsenhλx) &senλxcoshλx ) )&senλl(coshλxsenλx ) &senhλxcosλx ) ) senh 2 λl & sen 2 λl (12) c) Estacas rígidas (λl<1.0) y ' 2V o Lk (2&3 x L ) (13) θ ' & 6V o L 2 k (14) M ' V o L[ x L & 2( x L )2 % ( x L )3 ] M máx (x' L 3 ) ' 4 27 V o L (15) V ' V o [1 & 4( x L ) % 3( x L )2 ] (16) 16 MECivil, IST

18 Fundações por Estacas - Acções Horizontais Estaca com cabeça livre, momento aplicado na cabeça. k=c te a) Estacas flexíveis (λl>3.0) y ' 2M o λ2 k e &λx (cosλx & senλx) (17) θ ' & 4M o λ3 k (e &λx cosλx) (18) M ' M o e &λx (cosλx % senλx) (19) b) Estacas semi-flexíveis (1.0<λL<3.0) V ' &2M o λ (e &λx senλx) (20) y ' 2M o λ2 K k ym (21) K ym ' senhλl(senλxcoshλx) &cosλxsenhλx ) )%senλl(senhλxcosλx ) &coshλxsenλx ) ) senh 2 λl & sen 2 λl (22) θ ' & 4M o λ3 K k θm K θm ' senhλl cosλx coshλx) % senλl coshλx cosλx ) senh 2 λl & sen 2 λl (23) M'M o K MM (24) K MM ' senhλl(cosλxsenhλx) %senλxcoshλx ) )&senλl(coshλxsenλx ) %senhλxcosλx ) ) senh 2 λl & sen 2 λl (25) V ' &2M o λ K VM K VM ' senhλl senλx senhλx) % senλl senhλx senλx ) senh 2 λl & sen 2 λl (26) c) Estacas rígidas (λl<1.0) y ' 6M o L 2 k (1&2 x L ) (27) θ ' & 12M o L 3 k (28) M ' M o [1 & 3( x L )2 % 2( x L )3 ] (29) V ' & 6M o L [ x L & ( x L )2 ] (30) 17 MECivil, IST

19 Fundações por Estacas - Acções Horizontais Estaca com cabeça livre, força horizontal aplicada na cabeça. k=n h x a) Estacas flexíveis (ηl>4.0) e estacas semi-flexíveis (1.5<ηL<4.0) y ' V o η2 n h A yv (30) θ ' V o η3 n h A θv (31) M ' V o η A MV (32) V ' V o A VV (33) Para as estacas flexíveis A yv (x'0)'2.44 A θv (x'0)'&1.62 M máx (x' 1.30 η )' 0.77V o η (34) A yv '2.44S 1 &1.62S 2 %S 4 A θv ' da yv dx A MV ' d 2 A yv d 2 x A VV ' d 3 A yv d 3 x (35) S 1 '1& (ηx)5 5! S 2 'ηx& 2(ηx)6 % 6! S 4 ' (ηx)3 3! & 4(ηx)8 % 8! % 6(ηx)10 10! 2@ 7(ηx)11 & 11! 4@ 9(ηx)13 & 13! & 6@11(ηx)15 %... (36) 15! 2@ 7@ 12(ηx)16 %... (37) 16! 4@ 9@ 14(ηx)18 %... (38) 18! b) Estacas rígidas (ηl<1.5) y ' V o L 2 n h (18&24 x L ) (39) θ ' & 24V o L 3 n h (40) M ' V o L[ x L & 3( x L )3 % 2( x L )4 ] M máx (x'0.42l)'0.26v o L (41) V ' V o [1 & 9( x L )2 % 8( x L )3 ] (42) 18 MECivil, IST

20 Fundações por Estacas - Acções Horizontais Estaca com cabeça livre, momento aplicado na cabeça. k=n h x a) Estacas flexíveis (ηl>4.0) e estacas semi-flexíveis (1.5<ηL<4.0) y ' M o η3 n h A ym (43) θ ' M o η4 n h A θm (44) M ' M o A MM (45) V ' M o η A VM (46) Para as estacas flexíveis A ym (x'0)'1.62 A θm (x'0)'&1.75 (47) A ym '1.62S 1 &1.75S 2 %S 3 A θm ' da ym dx A MM ' d 2 A ym d 2 x A VM ' d 3 A ym d 3 x (48) S 1 '1& (ηx)5 5! S 2 'ηx& 2(ηx)6 % 6! S 3 ' (ηx)2 2! b) Estacas rígidas (ηl<1.5) & 3(ηx)7 % 7! % 6(ηx)10 10! 2@ 7(ηx)11 & 11! 3@ 8(ηx)12 & 12! & 6@11(ηx)15 %... (49) 15! 2@ 7@ 12(ηx)16 %... (50) 16! 3@ 8@ 13(ηx)17 %... (51) 17! y ' M o L 3 n h (24&36 x L ) (52) θ ' & 36M o L 4 n h (53) M ' M o [1 & 4( x L )3 % 3( x L )4 ] (54) V ' M o L [&12( x L )2 % 12( x L )3 ] (55) 19 MECivil, IST