Universidade Presbiteriana Mackenzie. Práticas de Engenharia Elétrica II

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1 Universidade Presbiteriana Mackenzie Curso de Engenharia Elétrica Práticas de Engenharia Elétrica II Notas de Aula Pro Marcio Eisencrat Primeiro semestre de 006

2 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Universidade Presbiteriana Mackenzie Práticas de Engenharia Elétrica II Proessor Marcio Eisencrat semestre 005 Objetivos Apresentar uma introdução à modelagem de sinais e sistemas através de variáveis aleatórias e processos estocásticos Estes conceitos são muito importantes para o Engenheiro Elétrico atual sendo aplicado em diversas á- reas como: o Telecomunicações; o Automação e Controle (Controle estocástico) o Projeto e dimensionamento de redes de computadores o Projeto e dimensionamento de redes de Distribuição de energia o Estudos de Engenharia biomédica o Mercados inanceiros Metodologia das aulas Aulas expositivas utilizando transparências e quadro negro 3 Conteúdo programático O curso abordará: Probabilidades (PEEBLES, 993; p -38) A Variável Aleatória (PEEBLES, 993; p39-74) 3 Operações sobre uma variável Esperança (PEEBLES, 993; pp 75-99) 4 Múltiplas variáveis aleatórias (PEEBLES, 993; p 00-33) 5 Operações sobre múltiplas variáveis (PEEBLES, 993; p 34-6)

3 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho Processos aleatórios (PEEBLES, 993; p 63-98) 4 Avaliação A média do aluno será ormada por três provas (P, P e PAF) A média inal será calculada como: P + P + PAF MF 4 As provas serão realizadas no horário das aulas nos seguintes dias: PROVA Turma 0F (5ª eira) Peso P /09 Peso P 7/0 Peso PAF A ser deinida Peso dois 5 Bibliograia As notas de aula do curso estão organizadas aula a aula e estão disponíveis na página do curso Livros que serão usados durante o semestre: COSTA NETO, P L O Probabilidades: resumos teóricos, exercícios resolvidos, exercícios propostos [por] Pedro Luiz de Oliveira Neto [e] Melvin Cymbalista São Paulo: Edgard Blücher, 993 DEVORE, J L Probability and Statistics or Engineering and the Sciences, 6 th edition, New York: Duxbury, 003 HSU, H Schaum s outline Theory and Problems o Probability, random variables, and random processes, New York: McGraw-Hill, 997

4 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 HSU, H Schaum s outline Theory and Problems o Analog and Digital Communications nd edition, New York: McGraw-Hill, 003 KAY, S M Fundamentals o Statistical Signal Processing: Estimation Theory New Jersey: Prentice Hall, 993 LATHI, B P Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxord University, 998 MONTGOMERY, D C Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros, ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 003 PAPOULIS, A; PILLAI, U Probability, random variables and stochastic processes 4 th edition, New York: McGraw-Hill, 00 PEEBLES, P Z Probability, random variables and random signal principles 3 rd edition, New York: McGraw-Hill, Exemplos de questões a serem debatidas no curso (PEEBLES, 993; p69) A central de um sistema de intercomunicação provê música para seis quartos de um hospital A probabilidade de que cada quarto seja ativado e consuma potência a qualquer instante é 0,4 Quando ativado, o quarto consome 0,5W (a) Encontre e aça um gráico das unções distribuição e densidade para a variável aleatória potência ornecida pela central 3

5 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 (b) Se o ampliicador da estação principal ica sobrecarregado quando mais do que W é necessário, qual a probabilidade de sobrecarga? A potência reletida por uma aeronave com um ormato complexo é recebida por um radar e pode ser descrita por uma variável aleatória exponencial P A densidade de P é, portanto, P ( P) e P0 0 P P0,, P > 0 caso contrário em que P 0 é o valor médio da potência recebida Em um instante particular, P pode ter um valor dierente do seu valor médio Qual a probabilidade de que a potência recebida seja maior do que o seu valor médio? 3 Uma tensão aleatória tem densidade gaussiana segundo ( x ) a σ πσ e Esta tensão é aplicada a um ampliicador linear que gera em sua saída a tensão T ( ) a b Determine a unção densidade de probabilidade de Y, ( y) Y + Y 4 (PEEBLES, 993; p73) Num sistema de controle, sabe-se que uma tensão aleatória tem média m V e momento de segunda ordem m 9V Se a tensão é ampliicada por um ampliicador que or- nece como saída Y,5 + encontre σ, Y, Y, σ e R Y 5 (HSU, 003; p 49) Todos os dispositivos e máquinas produzidos alham mais cedo ou mais tarde Se a taxa de alha é constante, o tempo até uma Y 4

6 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 alha T é modelado por uma variável aleatória exponencial Suponha que se descobriu que uma classe particular de chips de memória para computadores tem uma lei de alha exponencial dada por: com t em horas T at ( t) ae u( t), (a) Medidas mostraram que a probabilidade de que o tempo de alha exceda 0 4 horas para chips desta classe é de e ( 0, 368 ) Calcule o valor do parâmetro a para este caso (b) Usando o valor do parâmetro a determinado na parte (a), calcule o tempo t 0 tal que a probabilidade de que o tempo de alha seja menor do que t 0 seja de 0,05 6 (PEEBLES, 993; p 7) Uma linha de produção abrica resistores de 000Ω que devem satisazer uma tolerância de 0% (a) Se a resistência é descrita adequadamente por uma variável aleatória gaussiana com a 000Ω e σ 40 Ω, qual ração de resistores espera-se que x seja rejeitada? (b) Se a máquina não está ajustada corretamente, os resistores produzidos passam a ter a 050Ω (5% de erro) Qual ração será rejeitada agora? 7 (GIROD et al, 003; p 4) A igura a seguir mostra dois processos aleatórios A e B que possuem valores esperados idênticos Porém, as unçõesamostra do processo A variam mais lentamente no tempo do que as do processo B O que pode se esperar das unções de autocorrelação dos processos A e B? 5

7 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 6

8 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Aula - Probabilidades - Deinição Bibliograia PEEBLES, P Z Probability, random variables and random signal principles 3 rd edition, New York: McGraw-Hill, 993 LATHI, B P Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxord University, 998 Probabilidades 0 Introdução ao curso e ao capítulo Os objetivos principais deste curso são introduzir os princípios de sinais aleatórios e prover as erramentas através das quais pode-se lidar com sistemas envolvendo tais sinais Para chegar a esses objetivos, talvez a primeira coisa que deve ser eita é deinir o que é um sinal aleatório: Sinal aleatório (ou randômico) é uma orma de onda que pode ser caracterizada apenas de uma maneira probabilística Em geral, pode ser uma orma de onda desejada ou não Exemplos: O ruído de undo ouvido quando escutamos uma rádio A orma de onda causadora do ruído, se observada em um osciloscópio, apareceria como uma tensão lutuando aleatoriamente com o tempo Ela é indesejável já que interere com nossa habilidade de ouvir o programa de rádio e é chamada de ruído Num sistema de televisão, o ruído aparece na orma de intererência de i- magem, reqüentemente chamada de snow Num sistema sonar, sons do mar gerados de orma aleatória geram ruídos que intererem com os ecos desejados

9 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Bits em uma comunicação entre computadores parecem lutuar aleatoriamente com o tempo entre os níveis zero e um gerando um sinal aleatório A saída de tensão em um gerador eólico é aleatória por cauda da variação randômica da velocidade do vento A tensão de um detector solar varia aleatoriamente devido à imprevisibilidade das condições das nuvens e do tempo A tensão de um analisador de vibração acoplado a um carro dirigido sobre um terreno irregular Para deinir precisamente as características de um sinal aleatório precisamos dos conceitos da teoria das probabilidades Deinições de conjuntos Um conjunto é uma coleção de objetos Os objetos são chamados de elementos do conjunto Existem dois modos para especiicar os elementos de um conjunto: o método tabular todos os elementos são enumerados explicitamente Exemplo: { 6 ; 7; 8; 9} o método da regra o conteúdo do conjunto é determinado por uma regra Exemplo: { inteiros entre 5 e0} Um conjunto é dito enumerável se seus elementos podem ser postos em correspondência -a- (biunívoca) com os números naturais Caso contrário será não-enumerável Um conjunto é dito vazio (φ ) se não possui elementos Um conjunto inito é aquele que contém um número inito de elementos Caso contrário será ininito Dois conjuntos, A e B, são disjuntos ou mutuamente exclusivos se não têm nenhum elemento em comum

10 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Exercícios Os conjuntos a seguir representam os possíveis valores que podem ser obtidos na medição de certa corrente: A B C { ; 3; 5; 7} { ; ; 3; } { 0,5 < c 8,5} D E F { 0} { ; 4; 6; 8; 0; ; 4} { 5 < } Determine se são initos ou não, enumeráveis ou não e especiicados de orma tabular ou por regra (a) (b) (c) Ainda com relação aos conjuntos do exercício anterior, diga se é verdadeiro ou also: A B (d) C F A C (e) D F A F () E B 3 Escreva todos os pares de conjuntos que são mutuamente exclusivos o O conjunto que contém todos os objetos em discussão é chamado de conjunto universo ( S ) Exercício 4 Suponha que se considere o problema de jogar um dado Estamos interessados nos números que aparecem na ace superior Pede-se: (a) Escreva o conjunto universo S de todos os resultados possíveis (b) Num jogo, suponha que uma pessoa ganhe se sair um número ímpar Escreva o conjunto A dos resultados que interessam a esta pessoa 3

11 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 (c) Suponha que uma outra pessoa vence se sair um número menor ou igual a 4 Escreva o conjunto de todos os resultados que interessam a esta pessoa (d) Quantos subconjuntos de S existem? Operações com conjuntos Igualdade e dierença o Dois conjuntos A e B são iguais se todos os elementos de A estão presentes em B e vice-versa o A dierença de dois conjuntos A B é o conjunto contendo todos os elementos de A que não estão em B União e intersecção o A união de dois conjuntos ( A B ) é o conjunto de todos os elementos pertencentes a A, B ou ambos o A intersecção de dois conjuntos ( a A e B Se A e B orem mutuamente exclusivos, Complemento A B ) é o conjunto de elementos comuns A B φ o O complemento de um conjunto A, denotado por A é o conjunto de todos os elementos que não estão em A Exercício 5 Dados os conjuntos: S { inteiros } B { ; 6; 7; 8; 9; 0; } A {, 3, 5, } C { ; 3; 4; 6; 7; 8} pede-se: (a) (b) (c) A B (d) A B (g) A A C (e) A C (h) B B C () B C (i) C 4

12 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Álgebra de conjuntos o Valem as propriedades comutativa, distributiva e associativa para união e intersecção 3 Probabilidade introduzida através de conjuntos Experimentos e espaços amostrais o Espaço amostral: conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento Símbolo: S Espaços amostrais discretos e contínuos o O espaço amostral é dito discreto se S é enumerável O espaço amostral é dito contínuo se S é não-enumerável Eventos o Um evento é deinido como um subconjunto do espaço amostral Como um evento é um conjunto, todas as deinições e operações anteriores aplicadas a conjuntos se aplicam a eventos Por exemplo, se dois eventos não têm resultados comuns eles serão mutuamente exclusivos Deinição de probabilidade e axiomas o A cada evento deinido no espaço amostral S associa-se um número não negativo chamado de probabilidade A probabilidade é, portanto uma unção; é uma unção dos eventos deinidos Adota-se a notação P ( A) para a probabilidade do evento A o A probabilidade deve satisazer os seguintes axiomas para quaisquer eventos deinidos num espaço amostral S : 5

13 Práticas de Engenharia Elétrica Aula Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Axioma um: P ( A) 0 Axioma : P ( S ) Axioma três: P An P( An ) se A m A n φ N n N n Modelo matemático de experimentos o Para resolver problemas de probabilidades são necessários 3 passos: () estabelecimento do espaço amostral () deinição dos eventos de interesse (3) associar probabilidade aos eventos de orma que os axiomas sejam satiseitos Exercício 6 Um experimento consiste em observar a soma dos números que saem quando dois dados são jogados Determine a probabilidade dos seguintes eventos: (a) A { soma 7} (b) B { 8 < soma } (c) C { 0 < soma} 7 [PEEBLES, p 30] Um dado é jogado Encontre a probabilidade dos eventos A { um número ímpar é obtido}, B { um número maior do que 3 é obtido}, A B e A B 6

14 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 3 Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Aula 3 - Probabilidade conjunta e condicional Independência estatística Bibliograia PEEBLES, P Z Probability, random variables and random signal principles 3 rd edition, New York: McGraw-Hill, 993 Páginas 3 35 LATHI, B P Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxord University, 998 Páginas Probabilidade conjunta e condicional Probabilidade conjunta P( A B) é chamada de probabilidade conjunta para dois eventos A e B que se interceptam no espaço amostral Estudando um diagrama de Venn, obtém-se: Portanto, P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A) P( B) P + ( A B) P( A) + P( B) P( A B) Para eventos mutuamente exclusivos, P ( A B) φ e P( A) P( B) P( A B) + Probabilidade condicional Dado um evento B com probabilidade não-nula, deine-se a probabilidade condicional de um evento A, dado B, como: P ( A B) P ( A B) P( B)

15 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 3 Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Exercício Em uma caixa existem 00 resistores tendo a resistência e a tolerância mostradas na tabela a seguir: Figura Resistores em uma caixa (PEBLES, 993) Considere que um resistor é selecionado da caixa e assuma que cada resistor tem a mesma possibilidade de ser escolhido Deina três eventos: A como selecionar um resistor de 47Ω, B como selecionar um resistor com tolerância de 5% e C como selecionar um resistor de 00Ω A partir da tabela, determine as seguintes probabilidades: (a) P ( A) (b) P ( B) (c) P ( C) (d) P( A B) (e) P( A C) () ( B C) A B AC P B C P (g) P ( ) (h) P ( ) (i) ( ) Probabilidade Total Dado N eventos mutuamente exclusivos B n, n,,, N, cuja união seja o espaço amostral S, a probabilidade de qualquer evento A pode ser escrita como:

16 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 3 Proessor Marcio Eisencrat julho 005 P N ( A) P( A Bn ) P( B n ) n Figura N eventos mutuamente exclusivos B n e A (PEEBLES, 993) Teorema de Bayes O Teorema de Bayes, um dos mais importantes e usados na área de probabilidades e na teoria de estimação estabelece que: P ( A) B n P ( A B ) P( B ) P n ( A) n Usando a probabilidade total, 3

17 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 3 Proessor Marcio Eisencrat julho 005 P ( A) B n P P( A Bn ) P( Bn ) ( A B ) P( B ) + P( A B ) P( B ) + + P( A B ) P( B ) As probabilidades P ( B n ) são geralmente chamadas de probabilidades a priori já que são aplicadas a eventos antes de ocorrer o experimento As probabilidades ( B A) P n são chamadas de a posteriori já que elas se aplicam quando um evento A é obtido N N Exercício Um sistema de comunicação binário elementar consiste de um transmissor que envia um de dois símbolos possíveis ( ou 0) sobre um canal para o receptor O canal ocasionalmente causa erros de orma que um é detectado quando oi transmitido um zero e vice-versa O espaço amostral tem dois elementos (0 ou ) Denota-se por B i, i,, como os eventos o símbolo antes do canal é um e o símbolo antes do canal é zero, respectivamente Além disso, deine-se A i, i,, como os eventos o símbolo depois do canal é um e o símbolo depois do canal é zero, respectivamente Assume-se que as probabilidades de que os símbolos um e zero sejam selecionados para transmissão sejam P ( B ) 0, 6 e ( B ) 0, 4 P O seguinte diagrama mostra as probabilidades condicionais que descrevem o eeito que o canal tem sobre os símbolos transmitidos: 4

18 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 3 Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Figura 3 Sistema de comunicação binário simétrico [PEEBLES] Pede-se: (a) as probabilidades de se receber um um e de receber um 0 P ( A ) e ( A ) (b) as probabilidades de acerto de bit P ( B A ) e ( B A ) (c) as probabilidades de erro de bit P ( B A ) e P ( B A ) P P 5 Eventos independentes Sejam dois eventos A e B tais que P ( A) 0 e P ( B) 0 Dizemos que estes eventos são estatisticamente independentes se a probabilidade de ocorrência de um evento não aeta a ocorrência do outro evento Matematicamente, temos: P ( A B) P( A) e P ( B A) P( B) Por substituição no teorema de Bayes, temos que, para eventos estatisticamente independentes, 5

19 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 3 Proessor Marcio Eisencrat julho 005 P ( A B) P( A) P( B) Cuidado: não conundir independência estatística com eventos mutuamente exclusivos Dois eventos serem independentes signiica que a ocorrência de um não depende, não é inluenciado, pela ocorrência do outro Dois eventos serem mutuamente exclusivos signiica que um não pode ocorrer se outro ocorreu Em suma, A e B Independentes: P( A B) P( A) P( B) A e B mutuamente exclusivos: P ( A B) 0 Pelas deinições, dois eventos não podem ser simultaneamente independentes e mutuamente exclusivos Exercícios 3 Em um experimento, uma carta é selecionada de um conjunto comum de 5 cartas Deina os eventos A como selecionar um rei, B como selecionar um valete ou uma rainha e C selecionar uma carta de copas Pede-se: (a) Determine P ( A), P ( B) e P ( C) (b) Determine as probabilidades conjuntas P( A B), P( B C) e ( A C) P (c) Determine se os pares A e B, A e C e B e C são estatisticamente independentes ou não 4 Considere a retirada de quatro cartas de um conjunto com 5 cartas Sejam os eventos A, A, A3, A4 deinidos como a retirada de um ás na primei- 6

20 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 3 Proessor Marcio Eisencrat julho 005 ra, segunda, terceira e quarta tentativas Determine a probabilidade conjunta P( A A A ) (ou seja, retirar quatro ases seguidos) nos seguintes 3 A4 casos: (a) cada carta é recolocada no baralho após ser retirada (b) as cartas retiradas não são retornadas ao baralho Em qual dos dois experimentos os eventos A, A, A3, A4 são independentes? 6 Tentativas de Bernoulli Problema: Seja A com P ( A) p um evento elementar tendo um de dois possíveis resultados como elemento Deseja-se repetir esse experimento N vezes e determinar a probabilidade do evento A ser observado k vezes nessas N tentativas Esse experimento é chamado de tentativas de Bernoulli ( Bernoulli trials ) Pode-se mostrar que: P N ocorrer k, k N k ( A exatamente k vezes) p ( p) N N! com k k!( N k)! Quando N é muito grande, uma aproximação para a órmula acima é a a- proximação de De Moivre-Laplace: P ( A ocorrer exatamente k vezes) πnp ( p) exp ( k Np) ( ) Np p 7

21 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 3 Proessor Marcio Eisencrat julho 005 Exercícios 5 Um submarino deseja aundar um porta-aviões Ele terá sucesso apenas se dois ou mais torpedos atingirem a embarcação Se o submarino dispara três torpedos e a probabilidade de cada torpedo atingir o alvo é 0,4, qual a probabilidade do porta-aviões nauragar? 6 Em uma cultura usada para pesquisa biológica, o crescimento inevitável de bactérias ocasionalmente estraga os resultados de um experimento que requer pelo menos três de quatro culturas não estejam contaminadas para se obter um ponto de dado Experiências mostram que cerca de 6 em cada 00 culturas são aleatoriamente contaminadas por bactérias Se um experimento requer três pontos de dados, encontre a probabilidade de sucesso para um conjunto de culturas (três pontos de dados usando quatro culturas cada) 7 Suponha que certa arma automática dispara balas por 3 segundos a uma taxa de 400 por minuto e que a probabilidade de acertar um alvo seja 0,4 Encontre a probabilidade de que exatamente 50 balas atinjam o alvo (Use a aproximação de De Moivre-Laplace) 8 (PEEBLES, 993; p 3) Uma companhia vende ampliicadores de alta idelidade capazes de gerar potências de 0, 5 e 50W Ela tem em mãos 00 unidades de 0W das quais 5% são deeituosas, 70 unidades de 5W dos quais 0% são deeituosos e 30 dos de 50W dos quais 0% são deeituosos (a) Qual a probabilidade de que um ampliicador vendido entre os de 0W seja deeituoso? 8

22 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 3 Proessor Marcio Eisencrat julho 005 (b) Se cada ampliicador de potência é vendido com mesma probabilidade, qual a probabilidade de uma unidade selecionada aleatoriamente ser de 50W e deeituoso? (c) Qual a probabilidade de uma unidade aleatoriamente selecionada para venda ser deeituosa? 9

23 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 4 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Aula 4 - Variáveis aleatórias Funções densidade e distribuição Bibliograia PEEBLES, P Z Probability, random variables and random signal principles 3 rd edition, New York: McGraw-Hill, 993 Páginas 4 5 LATHI, B P Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxord University, 998 Páginas A variável aleatória 0 Introdução Neste capítulo é introduzido um conceito que permite deinir eventos de uma orma mais consistente Este novo conceito é o de variáveis aleatórias e se constitui em uma poderosa erramenta na solução de problemas probabilísticos práticos O conceito de variável aleatória Deinição de uma variável aleatória Deine-se uma variável aleatória real como uma unção real dos elementos de um espaço amostral S Representa-se uma variável aleatória por letras maiúsculas (como W, ou Y ) e um valor particular que ela assume por letras minúsculas (como w, x ou y ) Assim, dado um experimento deinido pelo espaço amostral S com elementos s, atribui-se a cada s o número real ( s) de acordo com alguma regra e diz-se que () s é uma variável aleatória Variáveis aleatórias contínuas e discretas Uma variável aleatória é discreta se possui apenas valores discretos

24 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 4 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Uma variável aleatória é contínua se abrange um contínuo de valores Exercícios Um experimento consiste em jogar um dado e uma moeda Considere uma variável aleatória tal que: () uma cara (H) corresponde a valores positivos de que são iguais aos números que aparecem no dado e () uma coroa (T) corresponde a valores negativos de cuja magnitude é o dobro do número que aparece no dado Pede-se: (a) Represente o espaço amostral deste experimento; (b) Para cada evento s deste espaço amostral, determine () s Um espaço amostral é deinido pelo conjunto S { ; ; 3; 4} sendo as probabilidades de seus elementos P (), P ( ) e P () 3 Deinindo a variável aleatória ( s) s, calcule as probabilidades: (a) P { } (b) P { 8} (c) P { 7} (d) P { 64} 3 Suponha que a temperatura de uma localidade seja modelada como uma variável aleatória contínua T que se sabe encontrar entre -5ºC e 35ºC A- lém disso, considere que todos os valores { 5 t 35} são igualmente prováveis Calcule: (a) P { T 0} (b) P { 5 T 0} (c) P { T 0} Função distribuição A probabilidade P{ x} é a probabilidade do evento { x} É um número que depende de x Esta unção, denotada por F, é chamada de un-

25 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 4 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 ção distribuição de probabilidade cumulativa da variável aleatória Assim, F P{ x} Freqüentemente, F é chamada de unção distribuição de O argumento x é qualquer número real entre Propriedades: e () F ( ) 0 () F ( ) (3) 0 F (4) F ( x ) F ( x ) se x < x (5) P{ x < x } F ( x ) F ( ) x Exercícios 4 Considere que assuma valores discretos no conjunto { ; 0,5; 0,7;,5; 3} As probabilidades correspondentes são { 0,; 0,; 0,; 0,4; 0,} Determine e aça um gráico de F 3 Função Densidade A unção densidade de probabilidade é deinida como a derivada da unção de distribuição: 3 df dx

26 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 4 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Freqüentemente, chama-se apenas de unção densidade da variável aleatória Existência existe desde que a derivada de F exista No caso de variáveis aleatórias discretas, pode ser necessária a utilização de unções impulso du ( ) δ x para sua representação dx Propriedades da unção densidade () 0 para todo x dx () (3) F ( ξ ) x dξ (4) P { x < < x} x x dx Exercícios 5 A tensão contínua sobre um capacitor é uma variável aleatória cuja unção densidade g é dada na igura a seguir: 4

27 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 4 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Figura Função densidade triangular (PEEBLES, 993) (a) Determine a para que g seja uma unção densidade (b) Para o valor de a do item anterior, determine e esboce G 6 Suponha que uma tensão aleatória tenha a densidade de probabilidade triangular do exercício anterior com 0 8 probabilidade { 4,5 < 6,7} P x, α 5 e a Determine a α 5 7 A quantidade acessos normalizada a um servidor durante um dia é descrita por uma variável aleatória que tem distribuição: F u Determine a unção densidade e x b 8 (PEEBLES, 00, p69) A central de um sistema de intercomunicação provê música para seis quartos de um hospital A probabilidade de que ca- 5

28 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 4 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 da quarto seja ativado e consuma potência a qualquer instante é 0,4 Quando ativado, o quarto consome 0,5W (a) Encontre e aça um gráico das unções distribuição e densidade para a variável aleatória potência ornecida pela central (b) Se o ampliicador da estação principal ica sobrecarregado quando mais do que W é necessário, qual a probabilidade de sobrecarga? 6

29 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 5 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Aula 5 - Exemplos de unções densidade e distribuição Bibliograia PEEBLES, P Z Probability, random variables and random signal principles 4 ª edição, McGraw-Hill, 00 Páginas 5 65 LATHI, B P Modern Digital and Analog Communication Systems, 3ª edição, Oxord University Press, 998 Páginas A variável aleatória gaussiana Uma variável aleatória é chamada de gaussiana se sua unção densidade de probabilidade tem a orma ( x ) a x σ x πσ em que σ > 0 e < a < são constantes reais x x A densidade gaussiana é a mais importante de todas as densidades e aparece praticamente em todas as áreas da ciência e da Engenharia Esta importância vem de sua descrição precisa de muitas quantidades práticas e signiicado no mundo real, especialmente as quantidades resultantes de muitos eeitos aleatórios pequenos que se somam agindo para criar a quantidade de interesse A unção distribuição é dada por: F πσ x x x e e ( ξ a ) σ x x dξ Esta integral não tem orma echada conhecida Para obter F, deinese:

30 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 5 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Com esta deinição, F x F π e ξ x a dξ x F σ x A unção F ou a unção Q F são tabeladas e podem ser encontradas em muitos livros para x 0 Para x < 0, usa-se F( x) F Figura Valores tabelados de F [PEEBLES]

31 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 5 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Exercícios A relação sinal-ruído no canal de um sistema de comunicações dada em db pode ser aproximada por uma variável aleatória gaussiana tendo a 3 e σ Encontre a probabilidade do evento { 55} x Assuma que a altura das nuvens sobre o solo em um determinado local é uma variável aleatória gaussiana com a 830 m e σ 460 m Encontre a probabilidade de que uma nuvem esteja a uma altura superior a 750m 3 Seja uma variável aleatória gaussiana para a qual a 7 e σ 0, 5 Encontre a probabilidade do evento { 7,3} x x x x 5 Outros exemplos de distribuições e densidades Binomial Para 0 < p < e N,, então a unção N k k p ( p) δ ( x k) k 0 N k é chamada de unção densidade binomial A densidade binomial pode ser aplicada aos experimentos de Bernoulli É aplicada a muitos problemas de detecção em radar e sonar e muitos experimentos tendo apenas dois possíveis resultados Integrando, obtém-se a unção distribuição binomial: F N k k p ( p) u( x k) k 0 N k A igura a seguir ilustra as unções densidades e distribuição binomial para N 6 e p 0, 5 3

32 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 5 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Figura Exemplo de densidade e distribuição binomial [PEEBLES] Poisson Densidade e distribuição dadas por: F k b δ b e ( x k) k 0 k! b b e u( x k) k k 0 k! em que b > 0 é uma constante positiva Caso limite em que N e p 0 da distribuição binomial com Np b Usada para descrever número de unidades deeituosas numa linha de produção, o número de chamadas teleônicas eitas durante um período de 4

33 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 5 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 tempo, o número de elétrons emitidos de uma pequena porção de um cátodo num intervalo de tempo Se o intervalo de tempo de interesse tem duração T e os eventos sendo contados ocorrem a uma taxa λ, então b é dado por: b λt Exercício 4 Assuma que a chegada de carros num posto de gasolina é uma distribuição de Poisson e ocorrem a uma taxa média de 50/h O posto tem apenas uma bomba Assumindo que todos os carros necessitam de minuto para abastecer, qual a probabilidade de que uma ila se orme na bomba? Uniorme A densidade de probabilidade uniorme e a sua unção de transerência são deinidas por:, b a 0, a x b caso contrário para constantes reais F 0, x a, b a, < a < e b > a x < a a x < b x b 5

34 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 5 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Figura 3 Funções densidade e distribuição uniorme [PEEBLES] Aplicação importante: quantização de sinais amostrados precedente à codiicação em sistemas de comunicações digitais erro introduzido por arredondamentos são distribuídos uniormemente Exponencial As unções distribuição e densidade são: F e b 0, e 0, ( x a) b, ( x a) b, x > a x < a x > a x < a para números reais < a < e b > 0 6

35 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 5 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Figura 4 Densidade e distribuição exponencial [PEEBLES] Aplicações: descrição do tamanho das gotas de chuva, lutuação da intensidade de um sinal de radar recebido da relexão de certas aeronaves Exercício 5 A potência reletida por uma aeronave com um ormato complexo é recebida por um radar e pode ser descrita por uma variável aleatória exponencial P A densidade de P é, portanto, P ( P) e P0 0 P P0,, P > 0 caso contrário 7

36 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 5 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 em que P 0 é o valor médio da potência recebida Em um instante particular, P pode ter um valor dierente do seu valor médio Qual a probabilidade de que a potência recebida seja maior do que o seu valor médio? Rayleigh As unções densidade e distribuição de Rayleigh são b 0 ( ) ( x a) x e ( x a) b,, x a x < a F e 0 ( x a) b,, x a x < a para constantes reais < a < e b > 0 Figura 5 Funções densidade e distribuição de Rayleigh [PEEBLES] 8

37 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 5 Proessor Marcio Eisencrat agosto 005 Aplicações: descreve a envoltória de um tipo de ruído quando passa por um iltro passa-aixas Também é importante na análise de erros em vários sistemas de medição Exercício 6 O valor x x0 tal que P { x 0 } P{ > x 0 } é chamado de mediana de uma distribuição Determine a mediana de uma distribuição de Rayleigh 7 [PEEBLES, p7] Uma tensão aleatória gaussiana para o qual 0 a e σ 4,V aparece através de um resistor de 00Ω com uma potência máxima tolerável de 0,5W Qual a probabilidade de que esta tensão cause uma potência instantânea que exceda a máxima do resistor? 9

38 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 7 Proessor Marcio Eisencrat setembro 005 Aula 7 - Questões da Prova P (SOARES NETO; CYMBALISTA, 974) Um método A de diagnóstico de certa enermidade dá resultados positivos para 80% dos portadores da enermidade e para 0% dos sãos Um método B de diagnóstico da mesma enermidade dá positivo para 70% dos portadores e para 5% dos sãos Se 5% da população são portadores da dita enermidade, calcular a probabilidade: (a) (,0) de uma pessoa ornecer resultado positivo pelos dois métodos (b) (,5) de, entre duas pessoas enermas, pelo menos uma ornecer resultado positivo por algum método (SOARES NETO; CYMBALISTA, 974) Considere dois eventos A e B tais que: 4 P ( A) ; ( B A) P 4 P ; ( A B) (a) (,0) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Justiique (b) (0,5) Os eventos A e B são independentes? Justiique (c) (,0) Calcule ( A B ) P, ( A B) P( A B) P + e ( A B ) P 3 (HSU, 996) Seja uma variável aleatória contínua com unção densidade de probabilidade: em que k é uma constante kx, 0 < x < 0, caso contrário (a) (0,5) Determine o valor de k e esboce (b) (,0) Encontre e esboce a unção distribuição de probabilidade correspondente (c) (,0) Encontre P < 4 4 (SOARES NETO; CYMBALISTA, 974) (,5) No circuito abaixo é igualmente provável que a chave seletora esteja nas posições A ou B, bem como que os interruptores

39 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 7 Proessor Marcio Eisencrat setembro 005 P, Q, R, S e T estejam abertos ou echados Calcular a probabilidade de que a lâmpada esteja acesa Se a lâmpada está acesa, qual a probabilidade de que a chave seletora esteja na posição A?

40 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 8 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 Aula 8 - Valor esperado e variância Bibliograia PEEBLES, P Z Probability, random variables and random signal principles 3 rd edition, New York: McGraw-Hill, 993 Páginas LATHI, B P Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxord University, 998 Páginas Operações sobre uma variável aleatória Valor esperado 30 Introdução Introduziremos neste capítulo algumas operações importantes que podem ser realizadas sobre uma variável aleatória 3 Valor esperado Valor esperado é o nome dado ao processo de tomar uma média quando uma variável aleatória está envolvida Para uma variável aleatória, usa-se a notação E [ ], que pode ser lida como a esperança matemática de, o valor esperado de, o valor médio de ou a média estatística de Ocasionalmente, usa-se a notação que é lida da mesma orma que E [ ], ou seja, E[ ] Vamos começar com um exemplo: Exercício Noventa pessoas oram selecionadas aleatoriamente e o valor em reais racionário das moedas em seus bolsos oi contado Se a conta dava acima de um real, o valor inteiro era descartado e tomava-se apenas a parte que ia de 0 a 99 centavos Observou-se que 8,, 8,, 5 e 5 pessoas tinham 8,

41 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 8 Proessor Marcio Eisencrat outubro , 64, 7, 77 e 95 centavos respectivamente Determine o valor médio da quantidade de centavos nos bolsos Valor esperado de uma variável aleatória Seguindo o exemplo do exercício anterior, o valor esperado de uma variável aleatória é deinido por: [ ] x E dx Caso seja discreta com N possíveis valores de x i com probabilidades P ( x i ), então: E N [ ] x P( ) n i x i Exercício A potência captada na entrada de uma antena interna pode ser modelada aproximadamente por uma variável aleatória contínua distribuída exponencialmente com: e b 0, ( x a) Determine o valor médio da potência recebida ax e a ax Dica: xe dx ( + ax) b, x > a x < a

42 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 8 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 Valor esperado de uma unção de uma variável aleatória Como icará evidente na próxima seção, muitos parâmetros úteis relacionados a uma variável aleatória podem ser obtidos encontrando o valor esperado de uma unção real g ( ) de Pode-se mostrar que este valor esperado é dado por E [ g( )] g dx () Se or uma variável aleatória discreta, E N [ g( )] g( x ) P( ) n i x i Exercícios 3 Sabe-se que uma dada tensão aleatória pode ser representada por uma variável aleatória de Rayleigh V com unção densidade dada por: V b 0, () ( v a) v e ( v a) b, v a v < a com a 0 e b 5 Esta tensão é aplicada a um dispositivo que gera uma ten- são Y g( V ) V que é igual, numericamente, à potência de V (sobre um resistor de Ω) Encontre a potência média de V 4 Um problema em sistemas de comunicações é como deinir a inormação de uma onte Considere a modelagem de uma onte capaz de emitir L símbolos distintos (mensagem) representada pelos valores 3

43 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 8 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 x i, i,,, L de uma variável aleatória discreta ( L é o caso binário) Seja P ( x i ) a probabilidade do símbolo xi Pergunta-se, qual a inormação contida nesta onte, em média É necessário azer três considerações Primeiro, considera-se que a inormação deve ser maior para saídas da onte com baixa probabilidade Por exemplo, contém pouca inormação prever tempo quente e seco para o deserto do Saara já que estas condições prevalecem quase todo o tempo Mas prever tempo rio e chuvas ortes carrega muita inormação A seguir, as inormações de duas ontes independentes devem se somar de acordo e inalmente a inormação deve ser uma quantidade positiva (uma escolha eita) e zero para um evento que ocorre com certeza A única unção com estas propriedades é a logarítmica Como duas quantidades representam o menor número para uma escolha, o logaritmo na base é escolhido para medir inormação e sua unidade é chamada de bit Para uma onte, deinimos a inormação de um símbolo x i como [ P( x )] Determine então a inormação média de uma on- log i P( xi ) log te, ou entropia, discreta com L símbolos possíveis 3 Momentos Uma aplicação imediata do valor esperado de uma unção g () de uma variável aleatória é o cálculo de momentos Dois tipos de momentos são de interesse, os em torno da origem e os em torno da média Momentos em torno da origem A unção 4

44 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 8 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 g n ( ) n 0,,, quando usada em () dá o momento em torno da origem da variável aleatória Denotando o n-ésimo momento por m n m n, temos: [ ] n n x E dx Claramente, m 0, a área sob a unção e m, o valor esperado de Momentos centrais Momentos em torno da média são chamados de momentos centrais e são simbolizados por μ n São deinidos pelo valor esperado da unção que é g n ( ) ( ), n 0,,, μ n [( ) ] n ( ) n x E dx O momento μ 0, a área sob, enquanto μ 0 (Por quê?) Variância e distorção (skew) O segundo momento central μ é tão importante que é conhecido por um nome especial: variância representada por σ Assim, a variância é dada por: 5

45 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 8 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 [( ) ] ( x ) σ μ E dx A raiz positiva σ da variância é chamada de desvio padrão de e é uma medida do espalhamento da unção ao redor da média A variância pode ser determinada conhecendo-se o primeiro e segundo σ momento em torno da origem Temos: E [( ) ] E[ + ] E[ ] E[ ] + m m 3 [ ] O terceiro momento central E ( ) μ é uma medida da assimetria de 3 ao redor de x m É chamada de distorção (skew) da unção densidade Se uma densidade é simétrica em torno de zero μ3 O terceiro momento central normalizado 3 distorção (skewness) σ x então ela tem distorção é chamado de coeiciente de Exercícios 5 Seja uma variável aleatória com a unção densidade exponencial do E- xercício dois Determine a variância de 6 Ainda para a variável do exercício anterior, 3 (a) Mostre que μ 3 3σ (b) Calcule μ 3 e o coeiciente de distorção 3 Dicas: 3 mx mx x x 3 mx x 3x 6x 6 e dx e + + m m m x e dx e 3 4 m m m m x 3 mx 6

46 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 8 Proessor Marcio Eisencrat outubro (PEEBLES, 00, p0) Certo medidor é projetado para ler pequenas tensões, porém comete erros por causa de ruídos Os erros são representados de orma acurada por uma variável aleatória gaussiana com média nula e desvio padrão 0-3 V Quando o nível DC é desconectado, descobre-se que a probabilidade da leitura do medidor ser positiva devido ao ruído é 0,5 Quando a tensão DC é presente, a probabilidade torna-se 0,54 Qual o nível DC? 7

47 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 9 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 Aula 9 - Variáveis aleatórias múltiplas Bibliograia PEEBLES, P Z Probability, random variables and random signal principles 3 rd edition, New York: McGraw-Hill, 993 Páginas 09 HSU, H Schaum s outline Theory and Problems o Analog and Digital Communications nd edition, New York: McGraw-Hill, 003 Páginas Múltiplas variáveis aleatórias 40 Introdução Estendemos agora a teoria para incluir duas variáveis aleatórias na discrição de um enômeno Por exemplo, a posição de um ponto aleatório no plano 4Variáveis aleatórias vetoriais Suponha que duas variáveis aleatórias e Y sejam deinidas num espaço amostral S em que valores especíicos de e Y são denotados por x e y respectivamente Então, qualquer para ordenado de números ( x, y) pode ser convenientemente considerado como um ponto aleatório no plano xy O ponto pode ser tomado como o valor especíico de uma variável aleatória vetorial ou um vetor aleatório A Figura a seguir ilustra o mapeamento envolvido em ir de S para o plano xy 4 Distribuição conjunta e suas propriedades As probabilidades dos eventos A { x} e B { Y y} já oram deinidas como unções de x e y, respectivamente e chamadas de unções distribuição de probabilidades:

48 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 9 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 Figura Mapeamento do espaço amostral S para o plano xy (PEEBLES, 00) F F Y P{ x} ( y) P{ Y y} Será introduzido agora um novo conceito para incluir a probabilidade do evento conjunto { x Y y}, Função Distribuição Conjunta Deine-se a probabilidade do evento conjunto { x, Y y}, que é uma unção dos números x e y como uma unção distribuição de probabilidades conjunta e a denotamos pelo símbolo F, Y ( x, y) Assim, F, Y ( x, y) P{ x, Y y} P{ x, Y y} P( A B) em que o evento A B oi deinido em S

49 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 9 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 Exercício Assuma que o espaço amostral conjunto S J tenha apenas três elementos possíveis: (,), (,) e (3,3) As probabilidades destes elementos são P (,) 0,, P (,) 0, 3 e P ( 3,3) 0, 5 Encontre ( x y) Resposta: F, Y, Figura Função distribuição conjunta do Exercício [PEEBLES] Propriedades da distribuição conjunta () F, Y (, ) 0 F, Y (, y) 0 F, Y ( x, ) 0 () (, ) F, Y (3) 0, ( x, y) F Y (4) F, Y ( x, y) é uma unção não-decrescente de x e y (5) F ( x y ) + F ( x, y ) F ( x, y ) F ( x, y ) P{ x x, y Y y } 0, Y,, Y, Y, Y 3

50 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 9 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 (6) F, Y ( x, ) F F Y (, y) FY ( y), Funções de distribuição marginal A propriedade (6) acima airma que a unção distribuição de uma variável aleatória pode ser obtida azendo o valor da outra variável aleatória ser ininito em F, Y ( x, y) As unções F ou F Y ( y) obtidas desta orma são chamadas de unções de distribuição marginal Exercício Encontre expressões explícitas para F, Y ( x, y) e as distribuições marginais F e F Y ( y) para o espaço amostral conjunto do Exercício um 43 Densidade conjunta e suas propriedades Função densidade conjunta Para duas variáveis aleatórias e Y, a unção densidade de probabilidade conjunta, denotada por, Y ( x, y) é deinida como a segunda derivada da unção distribuição conjunta onde quer que ela exista, Y ( x, y) F, Y x y ( x, y) Propriedades da densidade conjunta () ( x, y) 0, Y () ( x, y) dxdy, Y 4

51 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 9 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 y x F, Y,, Y, dξdξ (3) ( x y) ( ξ ξ ) x F, Y, ξ y FY, Y, dξdξ (4) ( ξ ξ ) dξ d ( y) ( ξ ξ ) (5) P { x < x y < Y y } ( x, y),, Y y x (6), Y ( x, y) dy Y ( y), Y ( x, y) y x dxdy dx As propriedades () e () podem ser usadas para testar se uma dada unção pode ser uma unção densidade válida Exercício 3 Seja b uma constante positiva Determine seu valor para que a unção g ( x, y) be 0, x cos y, 0 x e 0 caso contrário seja uma unção densidade de probabilidade válida π y Função Densidade Marginal As unções e Y ( y) da propriedade (6) são chamadas de unções densidade de probabilidade marginal ou apenas unções densidade marginal Elas são as unções densidades das variáveis simples e Y, deinidas como as derivadas das unções distribuição marginais: df ( ) x dx df ( ) ( y) Y y dy 5

52 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 9 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 Exercício 4 As tensões e Y oram medidas em volts em dois pontos dierentes de um circuito elétrico Encontre e Y ( y) se a unção densidade de probabilidade conjunta dada dessas tensões é dada por: x( y+ ) ( x y) u u( y) xe, Y, 44 Densidade e distribuição condicional A unção distribuição condicional de uma variável aleatória, dado algum evento B é deinida como: F ( x B) P{ x B} P { x B} P( B) A unção densidade condicional correspondente oi deinida através da derivada ( x B) df ( x B) dx Densidade e distribuição condicional condição pontual Pode-se mostrar que, para variáveis discretas, vale: ( xy y ) k N i P ( xi, yk ) P( y ) k δ ( x x ) i Para o caso contínuo vale: 6

53 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 9 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 ( xy y) ( x y), Y Y ( x, y) ( y) Exercício 5 Encontre ( y x) Y para a unção densidade deinida no Exercício quatro 45 Independência Estatística Dois eventos A e B são independentes se (e somente se): ( A B) P( A) P( B) P Assim, pela deinição de unções distribuição, duas variáveis aleatórias e Y são estatisticamente independentes se: F, Y ( x, y) F F ( y) Y ou ( x, y) ( y), Y Y Usando a densidade e a distribuição condicionais, vemos que se duas variáveis aleatórias e Y orem independentes, vale: ( x y) ( y x), Y, Y Y ( x, y) ( y) ( x, y) Y ( y) ( y) Y Y ( y) Assim, as densidades deixam de ser condicionais e tornam-se iguais às marginais Y ( y) Exercícios 6 Veriique se as tensões do Exercício quatro são independentes 7

54 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 9 Proessor Marcio Eisencrat outubro A densidade conjunta de duas variáveis aleatórias e Y tem densidade conjunta em que, Y π ( x, y) k cos 0, π xy, < x < e < caso contrário k 0,35 π + Si( π ) e o seno integral é deinido por: Si x 0 sin ξ ( ξ ) dξ y < Determine se e Y são estatisticamente independentes 8

55 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 0 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 Aula 0 - Correlação e covariância Bibliograia PEEBLES, P Z Probability, random variables and random signal principles 3 rd edition, New York: McGraw-Hill, 993 Páginas 46 HSU, H Schaum s outline Theory and Problems o Analog and Digital Communications nd edition, New York: McGraw-Hill, 003 Páginas Operações sobre múltiplas variáveis aleatórias 50 Introdução Vamos estender o conceito de valor esperado para o caso de duas ou mais variáveis aleatórias 5 Valor esperado de uma unção de variáveis aleatórias O valor esperado de uma unção de uma variável aleatória oi deinido no Capítulo 3 como: [ g ] g E dx Quando mais de uma variável aleatória é envolvida, o valor esperado deve ser tomado em relação a todas as variáveis envolvidas Por exemplo, se g (, Y ) é uma unção de duas variáveis aleatórias e Y, o valor esperado de g (, ) é dado por: g,, Y, [ g( Y )] g( x, y) ( x y) E dxdy Para N variáveis aleatórias,,, denotada por g (,, ) N N e uma unção dessas variáveis, o valor esperado dessa unção se torna: E[ g(, N )] g( x,, xn ),, ( x,, xn ) dx dxn g, N

56 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 0 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 Um resultado que segue diretamente da deinição acima é que o valor esperado de uma soma ponderada de variáveis aleatórias g N, α i i ( ) N é a soma ponderada de seus valores médios: i g E N i α i i N i α E i [ ] i Momentos Conjuntos em torno da origem Uma importante aplicação do valor esperado é na deinição de momentos conjuntos em torno da origem Eles são denotados por m m nk e são deinidos por: n k n k [ Y ] x y ( x y) E dxdy nk, Y, para o caso de duas variáveis aleatórias e Y n Claramente, m E[ ] momentos de Y A soma n 0 são os momentos n n + k é chamada de ordem dos momentos k m de e m E[ Y ] 0 são os Assim, m 0, m 0 e m são todos momentos de segunda ordem de e Y Os momentos de primeira ordem m 0 E[ Y ] Y e m E[ ] k 0 são os valores esperados de e Y respectivamente e são as coordenadas do centro de gravidade da unção ( x y), Y, O momento de segunda ordem m E[ Y ] e Y é chamado de correlação de Ele é tão importante que recebe um símbolo especial R Y Assim,

57 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 0 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 R [ Y ] xy ( x y) m E dxdy Y, Y, Se a correlação puder ser escrita na orma R Y [ ] E[ Y ] E, então e Y são ditas não correlacionadas Independência estatística de e Y é suiciente para garantir que elas são não correlacionadas Porém, o contrário não é verdade em geral Ou seja, independência implica não-correlação, mas não-correlação não implica independência Se R 0 as variáveis e Y são ditas ortogonais Y Resumindo: ( x, y) ( y), Y Y e Y são independentes R Y [ ] E[ Y ] E e Y são não-correlacionadas R 0 e Y são ortogonais Y e Y independentes e Y não correlacionadas Exercício Seja uma variável aleatória com um valor médio E[ ] 3 e variância σ e uma outra variável Y dada por Y 6 + Pede-se: (a) [ ] E (b) Y (c) R Y (d) as variáveis são correlacionadas? (e) as variáveis são ortogonais? 3

58 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 0 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 Momentos conjuntos centrais Uma outra aplicação importante da deinição de valores esperado é a deinição de momentos centrais conjuntos Para duas variáveis aleatórias e Y, estes momentos denotados por μ m são dadas por: μ nk n k n k [( ) ( Y Y ) ] ( x ) ( y Y ), Y ( x, y) E dxdy Os momentos centrais de segunda ordem são as variâncias de e Y μ μ 0 0 E E [( ) ] [( Y Y ) ] σ Y O momento conjunto de segunda ordem μ é muito importante É chamado de covariância de e Y e é simbolizado por σ C Y Assim, C Y [( )( Y Y )] ( x )( y Y ), Y ( x, y) E dxdy μ Expandindo diretamente o produto ( )( Y Y ) Se C Y R Y Y 4 esta integral se reduz a: R Y E[ ] E[ Y ] e Y orem independentes ou não correlacionadas, então [ ] E[ Y ] R Y E e C 0 Se e Y orem ortogonais então Y C Y E [ ] E[ Y ], e Y ortogonais Claramente, C 0 se ou Y também tiverem média nula além de serem ortogonais Y

59 Práticas de Engenharia Elétrica Aula 0 Proessor Marcio Eisencrat outubro 005 O momento de segunda ordem normalizado: dado por μ ρ μ μ σ 0 0 C Y σ ( ) ( Y Y ) ρ E σ σ Y é conhecido como coeiciente de correlação de e Y Pode-se mostrar que ρ Uma aplicação direta das deinições acima é que se é uma soma Y ponderada de variáveis aleatórias i, N i α i i, então: E N [ ] α i i e i N i σ i i σ α Exercício (PEEBLES, 00, p73) Num sistema de controle, sabe-se que uma tensão aleatória tem média m V e momento de segunda ordem m 9V Se a tensão é ampliicada por um ampliicador que ornece como saída Y,5 + encontre σ, Y, Y, σ e R Y Y 5