Jogo e Resolução de Problemas: o Problema de Perelmán

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1 Jogo e Resolução de Problemas: o Problema de Perelmán Fernanda dos Santos Menino Instituto Federal de Minas Gerais IFMG/Minas Gerais/ Brasil fernanda.menino@ifmg.edu.br Lourdes de la Rosa Onuchic Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho-UNESP/Rio Claro/Brasil lronuchic@gmail.com Resumo Neste trabalho, pretende-se tratar das relações entre Jogo e Resolução de Problemas, a partir de concepções de alguns autores para, em seguida, estabelecer a nossa. Na literatura encontra-se o termo situação-problema, para denominar qualquer situação, em sala de aula, que envolva problematização, o que amplia a conceituação de resolução de problemas. Dependendo da intencionalidade do professor, para viabilizar o trabalho com situações-problema, os jogos, se bem trabalhados, atendem às necessidades. É apresentado o Jogo dos Sete Quadrados ou o Problema de Perelmán e nossos avanços nesse Problema. Uma das características dos resultados obtidos para o Problema de Perelmán é que eles são frutos de nossos estudos, pesquisas e ações, que se desenvolveram junto a alunos e professores de muitas instituições e em diferentes níveis de ensino. Palavras-chave: Jogo, Resolução de Problemas e Problema de Perelmán Jogo e Resolução de Problemas A literatura aponta, como em Lopes e Rezende (2010, p.663), que o ensino tradicional da matemática que se baseia na apresentação oral do conteúdo pelo docente abordando definições e posteriormente demonstrações de propriedades, exercícios de fixação e de aplicação, tem-se mostrado ineficaz. Segundo os PCN-1997 É relativamente recente, na história da Didática, a atenção ao fato de que o aluno é agente da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas. (BRASIL, 1997, p. 40) Ainda, esse documento destaca que um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar; cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver. (BRASIL, 1997, p. 49)

2 Nos PCN-1998, lê-se que Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propiciam a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas. (BRASIL, 1998, p. 46) Para o Ensino Médio os PCN, na sua versão PCN +, deixam escrito a resolução de problemas é a peça central para o ensino de matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. (BRASIL, 2002, p. 112) Para Grando (1995, p. 77), o jogo representa uma situação-problema simulada e determinada por regras, em que o indivíduo busca, a todo momento, elaborando estratégias e reestruturando-as, vencer o jogo, ou seja, resolver o problema. Este dinamismo característico do jogo é o que possibilita identificá-lo no contexto da resolução de problemas. Em sintonia com essas ideias, Moura (1992, p.53), ao estabelecer a relação entre jogo e problema, afirma que Podemos definir o jogo como um problema em movimento. Problema porque envolve a atitude pessoal de querer jogar tal qual o resolvedor de problemas que só os tem quando estes lhe exigem busca de instrumentos novos de pensamento. O jogo faz esta exigência ao desafiar o sujeito para superar o outro [...]. O jogador busca as regras e, lançando mão delas, procurará atingir um objetivo: a satisfação pessoal de ganhar o jogo. Assim, Moura trata a relação entre jogo e a resolução de problemas enquanto produtores de conhecimento e enquanto possibilitadores de aquisição de conhecimento matemático. Segundo esse autor o primeiro aspecto, que envolve a produção de conhecimento pelo jogo e pela resolução de problemas, fica evidente no campo psicológico onde muitas pesquisas já foram realizadas sobre o assunto, sendo que, pelas conclusões que tais pesquisas chegaram, constatou-se que o jogo tem fortes componentes da resolução de problemas na medida em que jogar envolve uma atitude psicológica do sujeito que, ao se predispor para isso, coloca em movimento estruturas do pensamento que lhe permitem participar do jogo [...]. O jogo, no sentido psicológico, desestrutura o sujeito que parte em busca de estratégias que o levem a participar dele. (MOURA, 1992, p. 53)

3 Grando (1995, p.77) endossa essas ideias e diz que ambos, o jogo e a resolução de problemas, se apresentam impregnados de conteúdo em ação e que, psicologicamente, envolvem o pensar, o estruturar-se cognitivamente a partir do conflito gerado pela situação-problema. A ação no jogo, tanto quanto no problema, envolve um objetivo único que é vencer o jogo ou resolver o problema e, em ambos os casos, o estudante se sente desafiado e motivado a cumprir esse objetivo. Atingir o objetivo implica em dominar, em conhecer, em compreender todos os aspectos envolvidos na ação e, portanto, produzir conhecimento. Sob a ótica de Moura a união entre jogo e resolução de problemas está intimamente vinculada à intencionalidade do professor. É possível combinar jogo e resolução de problemas nas séries iniciais; porém, fazer isto é muito mais do que uma simples atitude, é uma postura que deve ser assumida na condução do ensino. E assumi-la com vistas ao desenvolvimento de conceitos científicos exige um projeto de ensino, inserido no projeto coletivo da Escola. Fazer isto é dar um sentido humano ao jogo, à resolução de problemas e, sendo assim, à Educação Matemática. (MOURA, 1992b, p. 51) Para ele, nas séries iniciais é que vamos encontrar as maiores possibilidades de trabalhar o problema e o jogo como elementos semelhantes. O que os unifica é predominantemente o lúdico. (MOURA, 1992b, p. 51) Kishimoto (1994, p.21) defende a inserção dos jogos no ambiente escolar, argumentando que o jogo favorece o aprendizado pelo erro e estimula a exploração e a resolução de problemas. O jogo, por ser livre de pressões e avaliações, cria um clima adequado para a investigação e a busca de soluções. O benefício do jogo está nessa possibilidade de estimular a exploração da busca de respostas e em não se constranger quando erra. Ainda, Grando (1995, p.78) salienta que o jogo como resolução de problemas possibilita a investigação, ou seja, a interação e exploração do conceito através da estrutura matemática subjacente ao jogo e que pode ser vivenciada, pelo aluno, quando ele joga, elaborando estratégias e testandoas a fim de vencer o jogo. Neste sentido, defende-se a inserção dos jogos no contexto educacional numa perspectiva de resolução de problemas, garantindo ao processo educativo os aspectos que envolvem a exploração, aplicação e explicitação do conceito vivenciado. A autora Borin (2004, p. 8) realça que A atividade de jogar, se bem orientada, tem papel importante no desenvolvimento de habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração, tão necessárias para o aprendizado, em especial da Matemática, e para a resolução de problemas em geral. [...] Também, no jogo, identificamos o desenvolvimento da linguagem, criatividade e raciocínio dedutivo, exigidos na escolha de uma jogada e na argumentação necessária durante a troca de informações.

4 O texto que apresentaremos a seguir, sobre a temática: Jogo e Resolução de Problemas, tem, quase que em sua íntegra, embasamento teórico nos livros: Jogos de Matemática de 1 o a 5 o ano, Jogos de Matemática de 6 o a 9 o ano e Jogos de Matemática: de 1 o a 3 o ano. O primeiro livro escrito por Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz e Patrícia Cândido, o segundo é de autoria de Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz e Estela Milani e o terceiro de Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz, Neide Pessoa e Cristiane Ishihara. Em nosso entender é importante apresentar a visão dessas autoras sobre a referida temática, pois, nesses livros, sua proposta de utilização de jogos está baseada em uma perspectiva de resolução de problemas. Nossa proposta de utilização de jogos está baseada em uma perspectiva de resolução de problemas, o que, em nossa concepção, permite uma forma de organizar o ensino envolvendo mais que aspectos puramente metodológicos, pois inclui toda uma postura frente ao que é ensinar e, consequentemente, ao que significa aprender. Daí a escolha do termo, cujo significado corresponde a ampliar a conceituação de resolução de problemas como simples metodologia ou conjunto de orientações didáticas.(smole, DINIZ, CÂNDIDO, 2007, p.14; SMOLE, DINIZ, MILANI, 2007, p.12; SMOLE, DINIZ, PESSOA, ISHIHARA, 2008, p.13) As autoras esclarecem que essa perspectiva metodológica da resolução de problemas baseia-se na proposição e no enfrentamento do que elas denominam situação-problema. Ou seja, elas ampliam o conceito de problema, e dizem que essa perspectiva trata de situações que não possuem solução evidente e que exigem que o resolvedor combine seus conhecimentos e decida-se pela maneira de usá-los em busca de solução. Elas destacam três características dessa perspectiva metodológica: A primeira característica é considerar como problema toda situação que permita alguma problematização. A segunda característica pressupõe que enfrentar e resolver uma situação-problema não significa apenas compreender o que é exigido, a aplicação de técnicas ou fórmulas adequadas e a obtenção da resposta correta, mas, além disso, adotar uma atitude de investigação em relação àquilo que está em aberto, ao que foi proposto como obstáculo a ser enfrentado e até à própria resposta encontrada. A terceira característica implica que a resposta correta é tão importante quanto a ênfase a ser dada ao processo de resolução, permitindo o aparecimento de diferentes soluções, comparando-as entre si e pedindo que os resolvedores digam o que pensam sobre ela, expressem suas hipóteses e verbalizem como chegaram à solução. (SMOLE, DINIZ, CÂNDIDO, 2007, p.14-15; SMOLE, DINIZ, MILANI, 2007, p ; SMOLE, DINIZ, PESSOA, ISHIHARA, 2008, p.13-14) Para essas autoras a perspectiva metodológica da resolução de problemas caracterizase ainda por uma postura de inconformismo frente aos obstáculos e ao que foi estabelecido por outros, sendo um exercício contínuo de desenvolvimento de senso crítico e da

5 criatividade, características primordiais daqueles que fazem ciência e estabelecem objetivos do ensino de matemática. Elas enfatizam que, nessa perspectiva, a essência está em saber problematizar e não faz sentido formular perguntas em situações que não possuam clareza de objetivos a serem alcançados, simplesmente porque não se saberia o que perguntar. Assim como questionar por questionar não nos parece ter sentido algum. (SMOLE, DINIZ, CÂNDIDO, 2007, p.15; SMOLE, DINIZ, MILANI, 2007, p. 13; SMOLE, DINIZ, PESSOA, ISHIHARA, 2008, p.14) Sob a ótica delas, a problematização inclui o que é denominado processo metacognitivo, isto é, quando se pensa sobre o que se pensou ou se fez. Esse voltar exige uma forma mais elaborada de raciocínio, esclarece dúvidas que ficaram, aprofunda a reflexão feita e está ligado à ideia de que a aprendizagem depende da possibilidade de se estabelecer o maior número possível de relações entre o que se sabe e o que se está aprendendo. (Idem) Essas autoras nos chamam atenção para o fato de que as problematizações devem ter como objetivo alcançar algum conteúdo e um conteúdo deve ser aprendido, porque contém em si questões que merecem ser respondidas. Entretanto, é necessário esclarecer que a compreensão que elas têm do termo conteúdo inclui, além dos conceitos e dos fatos específicos, as habilidades necessárias para garantir a formação do indivíduo independente, confiante em seu saber, capaz de entender e usar os procedimentos ou as regras características de cada área do conhecimento. É preciso mencionar que, segundo elas, subjacentes à ideia de conteúdos estão as atitudes que permitem a aprendizagem e que formam o indivíduo por inteiro. De acordo com essas autoras, nessa perspectiva, atitudes naturais do aluno que não encontram espaço no modelo tradicional de ensino da matemática, como é o caso da curiosidade e da confiança em suas próprias ideias, passam a ser valorizadas nesse processo investigativo. E concluem, afirmando que Para viabilizar o trabalho com situações-problema, é preciso ampliar as estratégias e os materiais de ensino e diversificar as formas e organizações didáticas para que, junto com os alunos, seja possível criar um ambiente de produção ou de reprodução do saber e, nesse sentido, acreditamos que os jogos atendem a essas necessidades 1. 1 Grifo nosso.

6 Eu e minha orientadora entendemos o jogo, ou qualquer atividade lúdica, como um problema. No jogo, as regras do jogo são os dados do problema. Assim, quando se faz uso de um jogo, na aula de matemática, deve o professor ter em mente quais conceitos e quais conteúdos ele quer que os estudantes construam, com compreensão e significado, a partir dele, ao longo de sua resolução. O Jogo dos Sete Quadrados ou o Problema de Perelmán A biografia de Perelmán indica que ele publicou vários livros. Neste item, enfatizaremos especificamente o Problema dos sete quadrados, que aparece no capítulo 23 - Juegos y trucos aritméticos - de sua obra Problemas y experimentos recreativos. Esse capítulo é composto por trinta problemas 2, onde, em vários deles, o autor faz uso da estrutura do Dominó, ou seja, das 28 peças que o compõem. Perelmán (1907, 1983, p. 343), no mencionado livro, apresenta o seguinte problema: Los siete cuadrados Figura 270 Cuatro fichas de dominó pueden elegirse de tal modo que con ellas pueda hacerse un cuadrado, en el que cada uno de los lados contenga la misma suma de puntos. Una muestra puede verse en la fig. 270: sumando los puntos, que hay en cada lado del cuadrado se obtiene 11 en todos los casos. A partir das informações dadas por Perelmán, observa-se que há várias formas de construir esses quadrados. Na página 370, de seu livro, o autor admite a existência de várias soluções para o problema, mas expõe apenas as duas abaixo. 2 No final do capítulo 23 de seu livro, Perelmán apresenta as respectivas soluções para cada um dos trinta problemas por ele ali propostos.

7 Los siete cuadrados Damos dos de las muchas soluciones posibles de este problema. Figura 282 En la primera solución (fig. 282 arriba) tenemos: 1 cuadrado con la suma 3 2 cuadrados con la suma 9 1 cuadrado con la suma 6 1 cuadrado con la suma 10 1 cuadrado con la suma 8 1 cuadrado con la suma 16 En la segunda solución (fig. 282, abajo): 2 cuadrados con la suma 4 2 cuadrados con la suma 10 1 cuadrado con la suma 8 2 cuadrados con la suma 12 Nossos Avanços no Problema de Perelmán Tudo indica que Os sete quadrados (conhecido também como o Jogo dos Sete Quadrados ou Problema de Perelmán) foi proposto por Yakov I. Perelmán, por volta de 1907, como apontam Menino e Barbosa (2002, p.18). Esses autores, por sua vez, enunciam o problema da seguinte forma: construir, empregando as peças do Dominó, sem repetir, sete quadrados. Em cada um a soma dos números indicados em cada lado de um mesmo quadrado deve ser a mesma. Desse enunciado resulta que todas as 28 peças deverão ser utilizadas, e infere-se que não há qualquer exigência de que as somas constantes de cada quadrado sejam diferentes entre si.

8 Uma das características dos resultados obtidos para esse problema é que eles são frutos de nossos estudos, pesquisas e ações, que se desenvolveram junto a alunos e professores de muitas instituições de ensino e diferentes níveis de escolaridade. Por isso, ao longo de nossa atuação em formação continuada de professores e devido às inquietações que essa atuação gerou, foram muitas as questões que nos propusemos a investigar, dentre as quais destacamos: (1) Quantas soluções existem para o Problema de Perelmán? (2) Seria possível obter a generalização do ponto de vista matemático, ou seja, uma fórmula matemática que gerasse todas as soluções desse problema? Assim, o envolvimento com essa temática nos levou a buscar resposta para primeira pergunta. Desse modo, obtivemos soluções, como as publicadas no artigo da SBEM-SP, por Menino e Barbosa (2002, p. 19): Solução 1 Somas: 3, 6, 8, 9, 9, 10, 16 Solução 2 Somas: 4, 4, 8, 10, 10, 12, 12 Solução 3 Somas: 5, 6, 8, 10, 10, 12, 16 Solução 4 Somas: 2, 8, 8, 9, 10, 10, 15 Solução 5 Somas: 3, 4, 10, 10, 10, 12, 12

9 Solução 6 Somas: 2, 6, 7, 8, 11, 13, 14 Solução 7 Somas: 2, 6, 8, 10, 12, 12, 14 Solução 8 - Somas: 2, 6, 8, 9, 10, 12, 12 Apresentamos oito soluções para o Problema de Perelmán, sendo que as soluções (1) e (2) são as mesmas introduzidas por ele, no capítulo 23 do seu livro, como foi visto anteriormente. Observamos que a estratégia utilizada para a resolução desse problema foi a de Tentativa e Erro. Entretanto, em seu livro, Quatro cores, senha e dominó: oficina de jogos em uma perspectiva construtivista e psicopedagógica, Macedo e Petty (1997, p. 115) mostram apenas as duas soluções de Perelmán e chamam atenção para a dificuldade em se descobrir uma nova estratégia para a resolução desse problema, dizendo Até o presente momento, não conseguimos descobrir uma estratégia para a solução da montagem dos sete quadrados, visto que não encontramos ainda uma regularidade que pudesse expressar uma constante, como já foi feito com o quadrado mágico. Fizemos algumas descobertas, mas essas não são suficientes para expressar o raciocínio completo e a lógica do jogo. Compartilhamos com a opinião dos autores e, também, constituiu nossa preocupação encontrar estratégias para a resolução plena do Problema de Perelmán.

10 Dando continuidade ao assunto, vale relatar um fato surpreendente que aconteceu numa sala de aula, quando propusemos o Problema de Perelmán no Curso 3, Atividades educacionais com dominós, e a professora de matemática da E. E. Cel Almeida Pinto, de Barretos, Carmen Luisa Alves Palmeira apresentou rapidamente uma solução correta e, até então, inédita para o Problema. 4 Solução 9 Somas: 2, 5, 8, 9, 9, 13, 16 Solução da Profa. Carmem para o Problema de Perelmán Conclusões Avançamos nesse Problema da Matemática Discreta, mas ainda estamos no estado da Arte e é imprescindível uma ação no sentido de se fazer Ciência. Acreditamos que ainda há muito para ser investigado e trabalhado, atualmente inclusive com o auxílio dos recursos computacionais, para dar respostas definitivas às perguntas: (1) Quantas soluções existem para o Problema de Perelmán? (2) Seria possível obter a generalização do ponto de vista matemático, ou seja, obter uma fórmula matemática que gerasse todas as soluções do problema?; que, em nosso entender, até hoje encontram-se em aberto. 3 Realizado no dia 16 de julho de 2004 na FEB em Barretos/SP no Curso de Matemática II do Programa de Formação Continuada - Teia do Saber da S.E.E. 4 O fato foi notícia no jornal da cidade de Barretos e da Instituição. Conferir em Anexo III. Disponível em: < Acesso em: 17. jul

11 Referências Bibliográficas BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. São Paulo: IME-USP, BRASIL, Ministério da Educação e da Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (PCN + ). Brasília: MEC/SEMT, BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto e Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática: Ensino de primeira à quarta série. Brasília: MEC/SEF, p. GRANDO, R. C. O Jogo e suas Possibilidades Metodológicas no Processo Ensino- Aprendizagem da Matemática, Dissertação (Mestrado em Educação, subárea: Matemática). UNICAMP-Campinas. KISHIMOTO, T. M. O Jogo e a Educação Infantil. São Paulo: Pioneira, LOPES, J. M. REZENDE, J. C. Um Novo Jogo para o Estudo do Raciocínio Combinatório e do Cálculo de Probabilidade. Revista BOLEMA, v. 23, n o 36, 2010, p MACEDO, L. de., PETTY, A. L. S., PASSOS, N. C. Quatro cores, senha e dominó: Oficina de jogos em uma perspectiva construtivista e psicopedagógica. São Paulo: Casa do Psicólogo, MENINO, F. S. BARBOSA, R. M. Uma seleção de atividades lúdicas usando dominós. Revista de Educação Matemática, SBEM-SP. São Paulo, ano 8, n 6-7, p.15-21, MOURA, M. O. A Construção do Signo Numérico em Situação de Ensino, Tese (Doutorado em Educação, subárea: Matemática). USP-São Paulo. MOURA, M. O. O Jogo e a construção do conhecimento matemático. São Paulo: FDE, 1992b. (Série Ideias 10). ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.(Org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP,1999. cap.12, p ONUCHIC, L. R. Notas de aula da disciplina de Pós-graduação (lato sensu) em Educação Matemática. Resolução de Problemas na Aprendizagem de Matemática. FAFICA/Catanduva-SP, PERELMÁN,Y.I. Problemas y experimentos recreativos. 2ª ed. Tradução do russo por Antonio Molina García. Moscú: Mir, SMOLE, K. S. DINIZ, M. I. CÂNDIDO, P. Jogos de matemática de 1 o a 5 o ano. Porto Alegre: Artmed, (Série Cadernos do Mathema-Ensino Fundamental) SMOLE, K. S. DINIZ, M. I. MILANI, E. Jogos de matemática de 6 o a 9 o ano. Porto Alegre: Artmed, (Série Cadernos do Mathema-Ensino Fundamental)

12 SMOLE, K. S. DINIZ, M. I. PESSOA, N. ISHIHARA, C. Jogos de matemática: de 1 o a 3 o ano. Porto Alegre: Artmed, (Série Cadernos do Mathema-Ensino Médio)