Lançamento de projéteis, antenas parabólicas e campeonato de futebol; o que eles têm em comum? Fonte: bp2.blogger.com/.../s400/argentinabrasil5.

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1 1 NRE: Cornélio Procópio Nome do Professor: Marinez Pereira dos Santos Escola: Colégio Estadual Profª Regina Municipío: Uraí Tokano Disciplina: Matemática Série: 1ª Conteúdo Estruturante: Funções Conteúdo Específico: Função Quadrática Relação interdisciplinar 1: Educação Física Relação interdisciplinar 2: Física Fone: (43) Lançamento de projéteis, antenas parabólicas e campeonato de futebol; o que eles têm em comum? Fonte: bp2.blogger.com/.../s400/argentinabrasil5.jpg Início de Campeonato Brasileiro de Futebol. Todos estão ansiosos para o primeiro jogo. A escolha da rede de TV transmissora depende da afinidade entre os telespectadores e os comentaristas e narradores e também da qualidade das imagens captadas pelas antenas de TV, principalmente as antenas parabólicas, presentes em um bom número de lares brasileiros. Porém, existe algo em comum entre o campeonato de futebol e as antenas parabólicas? Apesar de a princípio não parecer, eles possuem! Você já deve ter assistido a um jogo de futebol. É torcedor de algum time? Que tipo de emoção uma partida de futebol do seu time do coração provoca em você?

2 2 O futebol é o esporte coletivo mais praticado no mundo. Nascido na Inglaterra no século XIX e difundido rapidamente em todo mundo, chegou ao Brasil através dos pés de ingleses expatriados. Aqui, o pai do futebol foi Charles Miller, que tomou contato com o esporte na Inglaterra em seu período de estudos. No seu retorno para o Brasil, trouxe consigo duas bolas de futebol e formou o primeiro clube de futebol. O futebol rapidamente se tornou a paixão nacional e comumente ouvimos a expressão país do futebol quando se deseja fazer referência ao Brasil. (Fonte: Aqui, a importância do futebol é tão grande que criaram os campeonatos estaduais e o Brasileiro. Apesar de este esporte ser praticado em todo o país à longa data, apenas em 1971 se criou o Campeonato Brasileiro em virtude das dificuldades de se organizar um campeonato que abrangesse uma área tão grande como é a do Brasil. O primeiro campeão brasileiro foi o Clube Atlético Mineiro. O Campeonato Brasileiro, organizado pela CBF (Confederação Brasileira de Futebol) congrega hoje 20 clubes tanto na Série A (1ª divisão) quanto na Série B (2ª divisão) onde são disputadas as partidas em turno e returno e a classificação é feita através de pontos corridos, sendo que o Campeão, o Vice, 3º e 4º colocados têm acesso à Taça Libertadores da América. Para a Série C (3ª divisão), são realizadas eliminatórias regionais até a última fase o que permite a participação de clubes pequenos e com orçamento baixo. Porém, existe algo em comum entre o campeonato de futebol e as antenas parabólicas? No Brasileirão, como já foi dito, cada clube joga duas vezes com outro em turno e returno. Supondo que apenas dois clubes participem do campeonato, temos então, 2 partidas; se forem 3 os participantes, temos 6 partidas. Simbolizando por n o número de clubes participantes e p o número de partidas, temos: Número de clubes (n) Número de partidas (p) 2 2(2-1) 3 3(3-1) 4 4(4-1) 5 5(5-1) n n(n-1)

3 3 Observando a tabela, vemos que o número de partidas é dado em função do número de clubes participantes: p(n) = n(n-1) p(n) = n 2 n Observando a tabela acima, verificamos que a função que nos permite calcular o número de partidas a serem disputadas tem um elemento com expoente 2. Essa função é denominada função polinomial de 2º grau ou função quadrática. As funções de 2º grau têm a variável independente com grau 2, isto é, o seu maior expoente é 2. A função quadrática é função f de R em R onde a cada x R se associa o elemento ( ax 2 + bx + c) R, com a R *, b R e c R, f(x) = ax 2 + bx + c, onde a 0. Como podemos observar, o fato de a R * implica que existe um termo de 2º grau. Em geral, uma função quadrática ou polinomial do 2º grau é expressa na forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são coeficientes reais. Exemplo: 2x 2 7x + 3 = 0. Nessa equação a variável é x e os coeficientes são: a = 2 ( coeficiente de x 2 ) b = -7 (coeficiente de x) c = 3 (coeficiente constante ou termo independente) Sabemos que a deve ser diferente de zero, porém b e/ou c podem ser nulos. Se b e c forem ambos diferentes de zero, a equação é chamada de completa. Se b e/ou c forem nulos, a equação será chamada incompleta. Exemplos de equações incompletas: a) 3x 2 12 = 0 3x 2 + 0x -12 = 0 Observamos que b = 0 b) 2x 2 + 4x = 0 2x 2 + 4x + 0 = 0 Observamos que c = 0 c) 2x 2 = 0 2x 2 + 0x + 0 = 0 Observamos que b = c = 0 Devemos atentar para o fato de que o termo de 2º grau está presente em todas as funções completas ou incompletas.

4 4 Ainda sobre futebol! Durante uma partida, é comum termos cobrança de escanteio. Nesse tipo de jogada, a bola apresenta movimento análogo ao do lançamento de projéteis, como por exemplo, uma bala sendo lançada obliquamente por um canhão que esteja próximo à superfície da Terra. O projétil sai do canhão com velocidade inicial (V 0 ) diferente de zero. A velocidade (V 0 ) do projétil sempre é decomposta em duas componentes: - uma vertical (V 0y ), com módulo, direção e sentido variando no decorrer do tempo e tem como equação: V 0y = V 0. cos θ; - uma componente horizontal (V 0x ) que apresenta módulo, direção e sentido constantes, tendo como equação: V 0x = V 0. sen θ. Fonte: FERRARO, 1991, p.143 O movimento em relação ao eixo Oy é um movimento uniformemente variado, descrito sob a ação da gravidade e no eixo 0x é um movimento uniforme. O movimento em relação ao eixo Oy tem como y = v y. t 2 gt. equação 2 0. O valor de y não representa a distância percorrida na vertical e sim a posição do corpo em relação ao eixo OY. A velocidade v y varia com o tempo segundo a equação v y = v 0y - gt.

5 5 Como o movimento em relação ao eixo Ox é um movimento uniforme, a velocidade permanece constante e é dada por V x = V 0x. Permanecendo constante o valor da velocidade, teremos o deslocamento em relação ao eixo Ox dado por x= vx. t. Observação: Estamos considerando os eixos como: Ox eixo horizontal, orientado para a direita. Oy eixo vertical, orientado para cima. Atividade: Durante um jogo de futebol, um dos jogadores cobrou uma falta frontal ao gol adversário. Sabendo que a bola saiu dos pés do jogador com velocidade de 30 m/s, o ângulo θ era 30º e que o gol ocorreu após 4 s da bola ter sido chutada, determine a que distância do gol o jogador cobrou a falta. (Adote g= 10m/s² e despreze a resistência do ar). A equação do movimento em relação ao eixo 0Y é uma equação do 2º grau e descreve uma trajetória parabólica, como podemos observar no gráfico acima. O termo parabólica vem de parábola, palavra que se origina do grego parabole e é definida como uma seção cônica gerada pela interseção de um plano paralelo a uma linha geradora do cone (geratriz). (Fonte: Pode ser também definida como o conjunto de pontos eqüidistantes de um ponto dado (foco) e de uma reta dada (diretriz).

6 6 Fonte: membros.aveiro-digital.net/.../math061.jpg As parábolas são utilizadas em diversos equipamentos, que são presenças constantes em nosso dia-a-dia. Como exemplo pode-se citar: os radares, que são compostos por uma antena transmissora/receptora, que emite pulso eletromagnético, o qual é refletido quando atinge o alvo e captado pela antena; os faróis dos veículos que utilizam lentes parabólicas que ficam posicionadas na parte de trás dos faróis e que direcionam a luz emitida pelos mesmos, e as antenas parabólicas comumente encontradas nos telhados das residências e edifícios. Elas captam as ondas eletromagnéticas emitidas pelos satélites artificiais que orbitam ao redor da Terra. (Fonte: Atividade: Construa o gráfico da função que relaciona o número de partidas de cada clube em função do número de participantes. Analisando o gráfico do campeonato e do lançamento de projéteis, percebemos que as concavidades são invertidas. Isto acontece porque o coeficiente a pode apresentar-se da seguinte forma: a > 0, isto acarreta concavidade voltada para cima; a < 0, isto acarreta concavidade voltada para baixo.

7 7 Analisemos agora, o gráfico abaixo. Percebemos que ele corta o eixo Ox (abcissas), isto é, a parábola apresenta pontos de interseção com o eixo x. No gráfico acima, a parábola cortou o eixo 0x em dois pontos (x 1,0) e (x 2,0). Devemos atentar para o fato de que os pares ordenados (x,y) estão apresentando y=0; isto significa que x 1 e x 2 são os zeros ou raízes da função. Atividade Encontre os zeros ou raízes das seguintes funções: f(x)= x 2 + 2x f(x)= x 2-2x +6 Para a determinação dos zeros ou raízes da função é necessário resolvermos a função quadrática e isto pode ser feito de formas diversas. Apresentamos aqui uma dessas formas: Imaginemos um quadrado de área 2( ax+ b)² como o da figura abaixo:

8 8 A área total do quadrado equivale a soma das áreas dos quadriláteros da figura, isto é: ( x + b)² = 4a ² x² + 4bx+ b² Vamos agora isolar o coeficiente c da equação da 2º grau: ax²+ bx+ c ax² + bx= c Multiplequemos agora os dois membros da equação por 4 a: 4 a² x² + 4abxb² = b² = 4ac Comparando a primeira equação com a última, percebemos que falta apenas o termo b². Vamos então, acrescentá-lo aos dois membros da última equação: 4a² x² + 4abx+ b² = b² 4ac. Observamos que o primeiro membro é igual a 2( ax+ b)², então podemos escrever da seguinte forma: 2 ( ax+ b)² = b² = 4ac. Sendo o segundo membro positivo, podemos então extrair a raiz quadrada: ( x+ b)² = b² 4ac x+ b=± b² 4ac x+ b=± b² 4ac x = b ± b² 4ac x = b ± b± b² 4ac x = b² 4ac Temos então o conjunto solução da equação completa: S = b+ b² 4ac, b b² 4ac

9 9 Exemplo: Resolver a equação: x² - 5x + 6 =0 Calculamos primeiro o valor numérico b² 4ac. Sabendo que a=1, b=-5 e c=6, temos: b 4ac b± b² 4ac Como x = ² = ( 5) ² = 25 24= 1>0. 5± 1 x = ou 2.1 5±1 x = 2 Chamando uma das raízes de x e a outra de x, obtemos: x ' = = = x' ' = = = Então S = {2;3}, pois se atribuímos os valores 2 e 3 a x tornamos a sentença x² 5x+ 6= 0verdadeira. Verificamos que a expressão b² 4ac é um fator condicionante para a solução da equação, pois se seu valor numérico for negativo, teremos b² 4ac R. Devido à sua importância, ela é denominada discriminante e representada por (letra grega delta maiúscula). Sendo assim, podemos escrever a solução da equação da seguinte forma: S = b+, b Observação: Esta solução também é válida para as equações incompletas. Quando calculamos o valor do discriminante ( ), podem ocorrer as seguintes situações: 1ª) > 0; isto significa um positivo, o que leva a ser um número real diferente de zero e a equação a ter duas raízes reais e distintas; 2ª) = 0; isto significa um nulo, o que leva a ser igual a zero e a equação possuir duas raízes reais e iguais; 3ª) < 0; isto significa um negativo, o que leva a não ser um número real e a equação não possuir raízes reais.

10 10 Atividade: Preencha a tabela abaixo com o discriminante e as raízes de cada função: Função f ( x) = x+ 2x f ( x) = x² 13x + 40 f ( x) = 2x² 7x+ 3 f ( x) = x² 2x 3 Coeficient e (a) Coeficient e (b) Coeficient e (c) Discrimina nte ( ) Raízes Vamos agora, esboçar o gráfico da função y = x² 6x+ 5. Para isso, vamos traçar a mediatriz do segmento dado pelos valores de x e x isto é, onde os valores de x correspondem a um mesmo valor de y. A mediatriz obtida é nosso eixo de simetria. A interseção da parábola com o eixo de simetria é denominado vértice da parábola e tem como x' + x'' valor numérico a média aritmética de x e, isto é, V =. 2 O vértice possui como coordenadas V = (x v, y v ), onde x v e y v são obtidos da seguinte forma: x v b = (abscissas) e yv = (ordenadas) 4a Se o ponto V (vértice da parábola) representar uma função f ( x) = ax²+ bx+ ccom a < 0, então a abscissa de V será o ponto de máximo e a ordenada será o valor máximo da função f. Porém, se V representar uma função f ( x) = ax²+ bx+ ccom a > 0, a abscissa será o ponto de mínimo e a ordenada o valor mínimo da função f. Por exemplo: A função f(x) = x² - 6x tem vértice de coordenadas V= (3,-9). Isto significa que: f(3) = -9 é o valor mínimo da função; 3 é o ponto de mínimo da função f. Atividade: Determine o valor máximo (mínimo) e o ponto de máximo (de mínimo) de cada função abaixo:

11 11 a) f(x) = 2x² - 12x +10 b) f(x) = -x² + 4x + 5 c) f(x) = x² - 9 d) f(x) = 3x² Depois de você ter recebido essas informações sobre parábolas e algumas das aplicações em nosso cotidiano, responda sem vacilar: Quem é o atual campeão brasileiro de futebol?

12 12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDREATINI, Alessandro. A fórmula de Bhaskara. Disponível em: < Acesso em: 12 jun CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. Física. 2.ed. São Paulo: Moderna, GARBI, Gilberto G. Para que serve isso? Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, nº 63, 1-5, 2º quadrimestre, GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática Fundamental. 2º Grau. São Paulo: FTD,1994. (Volume único) GUICHARD, Jean Paul. História da Matemática no ensino da Matemática. Disponível em: Acesso em 20 jun KRULIK, Stephen; REYS, Robert E.. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo:Editora Atual, (p ) MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física.4.ed.São Paulo:Scipione,1997. (Volume 1) PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Departamento de Ensino Médio. Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná. Curitiba, POLYA, G. A arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciência, SANTOS, Alberto Marcondes dos; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio Emílio, Matemática, São Paulo: Ática, 2002.

13 13 SCOPEL, Daiane Ramiro; BASSO, Eide L. Funções Quadráticas e Representações de Fenômenos. Disponível em: deme/emsoares/inipes/funcquad.html. Acesso em 21 abr WIKIPEDIA. Futebol. Disponível em: Acesso em 23 abr WIKIPÉDIA. Parábola. Disponível em: %C3%A1bola. Acesso em 13 maio YOUSSEF, Antonio Nicolau; FERNANDES, Vicente Paz; SOARES, Elizabeth. Matemática para o 2º Grau. São Paulo: Scipione, 1997.