UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DINÂMICA PLANA E ESPACIAL DE PONTES FERROVIÁRIAS CONSIDERANDO INTERAÇÃO VEÍCULO-ESTRUTURA ERIC LUIS BARROSO CAVALCANTE Beém/PA 1

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DINÂMICA PLANA E ESPACIAL DE PONTES FERROVIÁRIAS CONSIDERANDO INTERAÇÃO VEÍCULO-ESTRUTURA ERIC LUIS BARROSO CAVALCANTE Dissertação aresentaa ao Programa e Pós- Grauação em Engenharia Civi a Universiae Feera o Pará, como requisito arcia ara obtenção o títuo e Mestre em Engenharia Civi Orientaor: Regina Augusta Camos Samaio Co-orientaor: Remo Magahães e Soua Beém/PA 1

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DINÂMICA PLANA E ESPACIAL DE PONTES FERROVIÁRIAS CONSIDERANDO INTERAÇÃO VEÍCULO- ESTRUTURA ERIC LUIS BARROSO CAVALCANTE Arovao em...e...e... BANCA EXAMINADORA Prof. D.Sc. Regina Augusta Camos Samaio (Orientaor) Prof. Ph.D. Remo Magahães e Soua (Co-orientaor) Prof. D.Sc. Ronason José e França Menes Carneiro (Eaminaor Interno) Prof. D.Sc. Deníson José Ribeiro Soré (Eaminaor Eterno) Prof. D.Sc. Newton Sure Soeiro (Eaminaor Eterno) Prof. D.Sc. Anreia Abreu Dini e Ameia (Eaminaor Eterno) Beém/PA 1

4 4 Resumo Eric Cavacante. Imementação Comutaciona ara Anáise Dinâmica Pana e Esacia e Pontes Ferroviários Consierano Interação Veícuo-Estrutura. Beém, Programa e Pós-Grauação em Engenharia Civi, Universiae Feera o Pará, Dissertação (Mestrao em Engenharia Civi). Este trabaho aresenta imementação comutaciona ara a anáise estrutura inâmica ana e esacia e ontes ferroviárias, consierano a interação entre estrutura e veícuo ferroviário. Mostram-se as euções ara obter as equações e movimento o veícuo, consierano ese moeos e reresentação mais simes, tais como os reresentaos or cargas móveis concentraas, até os que aresentam interação mais etahaa (com a moeagem a caia e os truques searaamente, com inércia rotaciona em torno os eios transversa e ongituina). Aresenta-se o métoo a rigie ireta, e acoro com a teoria e vigas e Euer-Bernoui, ara se obter a matri e rigie os eementos e órtico ano e esacia, bem como a forma e obtenção as matries e massa consistente e amortecimento estes eementos. A artir as matries e rigie, massa e amortecimento os eementos e órtico ano e esacia eõe-se a metooogia ara se obter as matries e rigie, massa e amortecimento a estrutura ana e esacia. Foi esenvovia a equação iferencia e movimento que escreve o comortamento o sistema veícuo-estrutura. O métoo utiiao ara a integração numérica esta equação iferencia foi o e Newmark. Reaiam-se testes e vaiação o agoritmo imementao na ataforma Matab, ara as anáises bi e triimensiona e aresentam-se eemos e aicação concernentes ao tio os moeos triimensionais e veícuo utiiaos, à infuência na resosta a irreguariae ongituina na via, e à ocorrência e efeitos e ressonância na estrutura. Paavras-Chave: Ponte ferroviária; Anáise inâmica; Interação veícuo-estrutura.

5 5 Abstract Eric Cavacante. Comuter Imementation for ane an sace namic anasis of rai briges consiering the vehice-structure interaction. Beém, Facut of Civi Engineering, Feera Universit of Pará, Master Thesis (Master Degree in Civi Engineering). This work resents the comuter imementation for ane an sace namic structura anasis of raiwas briges, consiering the interaction between structure an vehice. The work resents the erivations of the vehice equations of motion, consiering from moving oint oas moes reresenting the aes oas to a refine mass-sringer-amer moe with various egrees of freeom. In orer to obtain the ane an sace bar finite eement eastic-stiffness matri, the irect stiffness metho is resente, accoring to inear eastic Bernoui-Euer beams theor. Furthermore the metho to achieve the ane an sace bar finite eement consistent mass an uming matrices is resente. It is shown how to bui the structure eastic-stiffness, consistent mass e uming matrices utiiing the bar finite eement matrices. The resoution of the equation of motion for the free vibrating uname structure aows the ientification of the structure s natura vibration frequencies. It is aso eveoe the equation which escribes the vehice-structure equation of motion. This equation cou be sove b Newmark metho of numerica integration. Vaiation tests of the numeric comutaciona imementation are eveoe. It is resente aication eames concerning the quait of the tree-imensiona vehice moes, the infuence of track irreguarit on the resonse, an the aearance of resonance on the structure, are aso resente. Kewors: Raiwa brige; Dnamic anasis; interaction vehice-structure.

6 6 Sumário 1 Introução Tema e Motivação Objetivos... Revisão bibiográfica Moeagem e veícuos ferroviários Descrição os eementos os veícuos ferroviários Formuação matemática básica o movimento os veícuos Moeos e veícuo biimensionais Moeo e veícuo simuao or carga móve concentraa Moeo e veícuo constituío aenas e massa Moeo e veícuo e interação simificaa Moeo e veícuo e interação cometa Moeos e veícuo triimensionais Moeo e veícuo simuao or carga móve concentraa Moeo e veícuo constituío aenas e massa Moeo e veícuo e interação simificaa Moeo e veícuo e interação cometa Moeagem biimensiona a onte Formuação o Eemento e órtico ano, utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui, com ineariae geométrica Matries o eemento no sistema oca Matries o eemento no sistema goba Matries a estrutura Moeagem a onte em 3D Formuação o Eemento e órtico esacia, utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui, com ineariae geométrica Matries o eemento no sistema oca Matries o eemento no sistema goba Matries a estrutura Moeagem o sistema veícuo-estrutura Irreguariae Longituina Testes e vaiação Testes Biimensionais Teste biimensiona Teste biimensiona Teste biimensiona Testes triimensionais Eemos e Aicação Anáise o Efeito a Moeagem a Estrutura e o Veícuo Ferroviário Triimensionais Anáise o Efeito a Irreguariae Longituina Anáise o Efeito e Ressonância Concusões e Sugestões Referências bibiográficas Aneo Agoritmo a Imementação Comutaciona Triimensiona...18

7 7 Lista e Figuras Figura Locomotiva Diese-eétrica Figura 3. - Roeiro e truque... 7 Figura 3.3 Truque ara vagão e transorte e carga Figura 3.4 Moeo e veícuo D simuao or carga móve concentraa... 9 Figura 3.5 Moeo e veícuo D constituío e massa Figura 3.6 Moeo e veícuo D simificao Figura 3.7 Desocamento generaiao e graus e iberae o moeo simificao D Figura 3.8 Moeo e veícuo D cometo Figura 3.9 Desocamentos generaiaos e graus e iberae o moeo cometo D Figura 3.1 Moeo e veícuo 3D constituío e massas Figura 3.11 Moeo e veícuo 3D simificao Figura 3.1 Desocamentos generaiaos e graus e iberae o moeo simificao 3D Figura 3.13 Moeo e veícuo 3D cometo Figura 3.14 Desocamentos generaiaos e graus e iberae o moeo cometo 3D Figura 4.1 Ponte ferroviária Figura 4. Moeo biimensiona e onte ferroviária Figura 4.3 Viga simesmente aoiaa submetia a carregamentos istribuíos no ano Figura 4.4 Eemento infinitesima e viga com carregamentos istribuíos no ano Figura 4.5 Desocamentos e forças noais ocais e um eemento e barra no ano Figura 4.6 Desocamentos e forças noais no sistema oca e goba o eemento e órtico ano Figura 4.7 Desocamentos gobais no ano, e um eemento e a estrutura Figura 5.1- Moeo triimensiona e onte ferroviária Figura 5. Eemento finito e órtico esacia submetio a carregamentos istribuíos Figura 5.3 Eemento infinitesima e órtico esacia com carregamentos istribuíos Figura 5.4 Desocamentos e forças noais ocais e um eemento e barra no esaço Figura 5.5 Desocamentos e forças noais no sistema oca e goba o eemento e órtico esacia Figura 5.6 Desocamentos gobais no esaço, e um eemento e a estrutura Figura 7.1 Moeo biimensiona e onte viga bi-aoiaa com 15 m e vão Figura 7. Resosta vertica no meio a onte em função o temo, obtia numericamente através os aos e Goicoea et a. (), ara uma carga concentraa D, no asso e temo,1 s Figura 7.3 Resosta vertica no meio a onte em função o temo, obtia numericamente através os aos e Goicoea et a. (), ara um veícuo e carga concentraa D, no asso e temo,1 s Figura 7.4 Resostas verticais no meio a onte em função o temo, obtias anaítica e numericamente Teste biimensiona 3, asso e temo t =,1 s

8 Figura 7.5 Resostas verticais no meio a onte em função o temo, obtias anaítica e numericamente Teste biimensiona 3, asso e temo t =,1 s Figura 7.6 Moeo triimensiona e onte imementao Figura 7.7 Carga aicaa na onte triimensiona ara a anáise estática Figura 7.8 Primeiro moo e vibração natura a estrutura triimensiona Figura 7.9 Seguno moo e vibração natura a estrutura triimensiona Figura 7.1 Terceiro moo e vibração natura a estrutura triimensiona Figura 7.11 Quarto moo e vibração natura a estrutura triimensiona Figura 7.1 Quinto moo e vibração natura a estrutura triimensiona Figura 7.13 Moeo triimensiona e onte imementao, conteno a numeração os nós Figura 7.14 Resosta vertica no nó 6 em função o temo, numericamente obtia através a imementação numérico-comutaciona, ara um eio e carga concentraa 3D, no asso Δt =,1 s Figura 7.15 Resosta vertica no nó 17 em função o temo, numericamente obtia através a imementação numérico-comutaciona, ara um eio e carga concentraa 3D, no asso Δt =,1 s Figura 7.16 Resosta vertica no nó 6 em função o temo, numericamente obtia através o SAP, ara um eio e carga concentraa 3D, no asso Δt =,1 s Figura 7.17 Resosta vertica no nó 17 em função o temo, numericamente obtia através o SAP, ara um eio e carga concentraa 3D, no asso Δt =,1 s Figura 8.1 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo e carga concentraa, sem irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 19 km/h Figura 8. Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo e massa, sem irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 19 km/h Figura 8.3 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo simificao, sem irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 19 km/h Figura 8.4 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo cometo, sem irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 19 km/h Figura 8.5 Desocamentos verticais no meio a onte ara os moeos e veícuo triimensionais, v = 19 km/h e sem irreguariae na estrutura Figura 8.6 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo e carga concentraa, sem irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 7 km/h Figura 8.7 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo e massa, sem irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 7 km/h Figura 8.8 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo simificao, sem irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 7 km/h Figura 8.9 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo cometo, sem irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 7 km/h Figura 8.1 Desocamentos verticais no meio a onte ara os moeos e veícuo triimensionais, v = 7 km/h e sem irreguariae na estrutura Figura 8.11 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo e carga concentraa, com irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 7 km/h

9 Figura 8.1 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo e massa, com irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 7 km/h Figura 8.13 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo simificao, com irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 7 km/h Figura 8.14 Histórico e resosta vertica nos nós centrais 6 e 17, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo cometo, com irreguariae, no asso Δt =,1 s e v = 7 km/h Figura 8.15 Desocamentos verticais no meio a onte ara os moeos e veícuo triimensionais, v = 7 km/h e com irreguariae na estrutura Figura 8.16 Máimo esocamento vertica no nó 6 em vaor absouto, em função a veociae, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo e carga concentraa Figura 8.17 Máimo esocamento vertica no nó 6 em vaor absouto, em função a veociae, ara os moeos triimensionais e estrutura e veícuo simificao

10 1 Lista e tabeas Tabea 7.1 Desocamentos em ois nós a estrutura triimensiona Tabea 7. Frequências naturais e vibração a estrutura triimensiona Tabea 7.3 Máimo esocamento vertica em e nós a estrutura triimensiona. 15 Tabea 8.1 Prorieaes mecânicas a comosição veicuar 3D (uniaes o SI) Tabea 8. Prorieaes geométricas a comosição veicuar 3D (uniaes o SI). 18 Tabea 8.3 Máimos esocamentos verticais no meio a onte ara os moeos e veícuo triimensionais, v = 19 km/h e sem irreguariae na estrutura Tabea 8.4 Resostas verticais no meio a onte ara os moeos e veícuo triimensionais, v = 7 km/h e sem irreguariae na estrutura Tabea 8.5 Desocamentos verticais no meio a onte ara os moeos e veícuo triimensionais, v = 7 km/h e com irreguariae na estrutura

11 11 Lista e símboos i v v si si,,,, e ( D ) ( ) 3 D D I-ésimo esocamento reativo entre os centros e graviae e massas e um veícuo. Rotação a caia e um veícuo em torno o seu eio transversa. Rotação a caia e um veícuo em torno o seu eio ongituina. Rotação o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio transversa. Rotação o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio ongituina. Comonentes a eformação e um onto quaquer e uma barra. Rotação e um onto e uma barra em torno o seu eio aia (eio oca). Deformação aia no eio e referência e uma seção transversa e uma barra. Curvatura em torno o eio oca e uma seção transversa e uma barra. Curvatura em torno o eio oca e uma seção transversa e uma barra. Rotação or uniae e comrimento em torno o eio oca e uma seção transversa e uma barra. Comonente e tensão e um onto no ano cuja norma é o eio oca, na ireção o mesmo eio. Comonente e tensão e um onto no ano cuja norma é o eio oca, na ireção o mesmo eio. Comonente e tensão e um onto no ano cuja norma é o eio oca, na ireção o mesmo eio. Comonente e tensão e um onto no ano cuja norma é o eio oca e na ireção o eio oca. Comonente e tensão e um onto no ano cuja norma é o eio oca e na ireção o eio oca. Coeficiente e Poisson o materia a barra. Vetor e eformações generaiaas e uma seção e um eemento e órtico ano. Vetor e eformações generaiaas e uma seção e um eemento e órtico esacia. Oeraor iferencia ara eementos e órtico ano utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui.

12 1 T V R L q i 3D D 3D D 3D e Oeraor iferencia ara eementos e órtico esacia utiianose a teoria e vigas e Euer-Bernoui. Vetor e coeficientes e integração ara eementos e órtico ano utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui. Vetor e coeficientes e integração ara eementos e órtico esacia utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui. Vetor e eformações generaiaas virtuais e uma seção e um eemento e órtico ano. Vetor e eformações generaiaas virtuais e uma seção e um eemento e órtico esacia. Coeficientes eenentes o fator e amortecimento e e uas frequências naturais e vibração a estrutura. Massa or uniae e comrimento e um eemento e barra. Matri que ossibiita o cácuo as frequências naturais e vibração a estrutura. Energia cinética e um veícuo. Energia otencia e um veícuo. Energia e issiação e um veícuo. Lagrangeano e um veícuo. I-ésimo grau e iberae e um veícuo. M vv, M rr Submatries e massa e um veícuo (massas susensas e roas). C vv, C rr C vr, C rv, K vv, K vr, K rv, K rr u v u r u v u r u v u r mv Iv Submatries e amortecimento e um veícuo (massas susensas e roas). Submatries e rigie e um veícuo (massas susensas e roas). Vetor e esocamentos os graus e iberae as massas susensas e um veícuo. Vetor e esocamentos os graus e iberae as massas acoaas e um veícuo. Vetor e veociaes os graus e iberae as massas susensas e um veícuo. Vetor e veociaes os graus e iberae as massas acoaas e um veícuo. Vetor e aceerações os graus e iberae as massas susensas e um veícuo. Vetor e aceerações os graus e iberae as massas acoaas e um veícuo. Massa a caia e um veícuo. Momento e inércia a caia e um veícuo em torno o seu eio

13 13 J v msi I si J si mri ki ci v si ri f s e u, u e u u v w E G N Q transversa. Momento e inércia a caia e um veícuo em torno o seu eio ongituina. Massa o i-ésimo truque e um veícuo. Momento e inércia o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio transversa. Momento e inércia o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio ongituina. Massa a i-ésima roa e um veícuo. Rigie a i-ésima susensão e um veícuo. Amortecimento a i-ésima susensão e um veícuo. Desocamento vertica o centro e graviae a caia e um veícuo. Desocamento vertica o centro e graviae o i-ésimo truque e um veícuo. Desocamento vertica o centro e graviae a i-ésima roa e um veícuo. Distância o centro a caia ao os truques, no ano cuja norma é transversa ao veícuo. Distância o centro os truques ao roeiro, no ano cuja norma é transversa ao veícuo. Distância o centro a caia ao eio a susensão secunária, no ano cuja norma é ongituina ao veícuo. Distância o centro os truques ao centro as roas, no ano cuja norma é ongituina ao veícuo. Comonentes o esocamento e um onto quaquer e uma barra. Desocamento e um onto e uma barra na ireção o seu eio aia (eio oca), ocaiao sobre a inha neutra. Desocamento e um onto e uma barra na ireção o eio oca, ocaiao sobre a inha neutra. Desocamento e um onto e uma barra na ireção o eio oca, ocaiao sobre a inha neutra. Móuo e easticiae ongituina o materia a barra. Móuo e eformação e cisahamento transversa o materia a barra. Esforço norma na ireção o eio oca, numa seção transversa e uma barra. Esforço cortante na ireção o eio oca, numa seção transversa e uma barra.

14 14 Q M M T q, q, q e A I I J U U e D e 3D S D S 3D k k s D s 3D X D X 3D, D e D, 3D e 3 3D G D G 3D ND m D D Esforço cortante na ireção o eio oca, numa seção transversa e uma barra. Momento fetor em torno o eio oca, numa seção transversa e uma barra. Momento fetor em torno o eio oca, numa seção transversa e uma barra. Momento torsor em torno o eio oca, numa seção transversa e uma barra. Carregamentos eternos istribuíos or uniae e comrimento. Área a seção transversa. Momento e inércia a seção transversa em torno o eio oca. Momento e inércia a seção transversa em torno o eio oca. Momento e inércia oar a seção transversa circuar ou anear e um eemento e barra. Comrimento o eemento e barra. Vetor e esocamentos e um onto e uma seção e um eemento e órtico ano no seu eio e referência. Vetor e esocamentos e um onto e uma seção e um eemento e órtico esacia no seu eio e referência. Vetor e esforços ou forças internas e uma seção e um eemento e órtico ano. Vetor e esforços ou forças internas e uma seção e um eemento e órtico esacia. Matri e rigie e seção transversa e um eemento e órtico ano. Matri e rigie e seção transversa e um eemento e órtico esacia. Matri e oinôminos eementares ara eementos e órtico ano utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui. Matri e oinôminos eementares ara eementos e órtico esacia utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui. Vetores e esocamentos, veociaes e aceerações noais e um eemento e órtico ano no sistema oca e coorenaas. Vetores e esocamentos, veociaes e aceerações noais e um eemento e órtico esacia no sistema oca e coorenaas. Matri e coeficientes ara eementos e órtico ano utiiano-se a teoria a vigas e Euer-Bernoui. Matri e coeficientes ara eementos e órtico esacia utiiano-se a teoria a vigas e Euer-Bernoui. Matri e funções e forma ara eementos e órtico ano

15 15 N 3D B D B 3D D 3D D 3D U e D e U3 D q D q 3D k D, D k 3D, 3D eq eq s m D s m3 D fd f 3D R D m e c m e c3 D 3D D D utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui. Matri e funções e forma ara eementos e órtico esacia utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui. Matri que reaciona as eformações generaiaas numa seção transversa e um eemento e órtico ano com os esocamentos noais o eemento no sistema oca. Matri que reaciona as eformações generaiaas numa seção transversa e um eemento e órtico esacia com os esocamentos noais o eemento no sistema oca. Vetor e esocamentos noais e um eemento e órtico ano no sistema oca. Vetor e esocamentos noais e um eemento e órtico esacia no sistema oca. Vetor e forças noais e um eemento e órtico ano no sistema oca. Vetor e forças noais e um eemento e órtico esacia no sistema oca. Vetor e esocamentos virtuais e um eemento e órtico ano no sistema oca. Vetor e esocamentos virtuais e um eemento e órtico esacia no sistema oca. Vetor e carregamentos istribuíos sobre um eemento e órtico ano. Vetor e carregamentos istribuíos sobre um eemento e órtico esacia. Matries e rigie, massa consistente e amortecimento e um eemento e órtico ano no sistema oca. Matries e rigie, massa consistente e amortecimento e um eemento e órtico esacia no sistema oca. Vetor e forças noais equivaentes às cargas istribuías num eemento e órtico ano no sistema oca. Vetor e forças noais equivaentes às cargas istribuías num eemento e órtico esacia no sistema oca. Matri e massa e uma seção e um eemento e órtico ano no sistema oca. Matri e massa e uma seção e um eemento e órtico esacia no sistema oca. Vetor e forças eternas em um eemento e órtico ano no sistema oca. Vetor e forças eternas em um eemento e órtico esacia no sistema oca. Matri e rotação biimensiona o sistema goba ara o sistema oca e coorenaas.

16 16 R 3D A v g D g 3D g g, D e g D g g, 3D e 3 g 3D g g k D, D g g k 3D, 3D g fd f g 3D D D g m e c g m e c3 D, D e D H i P D D Matri e rotação triimensiona o sistema goba ara o sistema oca e coorenaas. Matri quaraa 3 3 em que caa inha reresenta um os vetores base o sistema oca (, e ) eresso em coorenaas o sistema goba ( g, g e g ). Matri nua quaraa 3 3. Vetor em coorenaas gobais e um eemento e órtico esacia, contio no ano oca e não araeo a, efinio eo usuário a rotina comutaciona. Vetor e forças noais e um eemento e órtico ano no sistema goba. Vetor e forças noais e um eemento e órtico esacia no sistema goba. Vetor e esocamentos, veociaes e aceerações noais e um eemento e órtico ano no sistema goba e coorenaas. Vetor e esocamentos, veociaes e aceerações noais e um eemento e órtico esacia no sistema goba e coorenaas. Matries e rigie, massa consistente e amortecimento e um eemento e órtico ano no sistema goba. Matries e rigie, massa consistente e amortecimento e um eemento e órtico esacia no sistema goba. Vetor e forças eternas em um eemento e órtico ano no sistema goba. Vetor e forças eternas em um eemento e órtico esacia no sistema goba. Vetor e esocamentos, veociaes e aceerações a estrutura. Matri e inciência cinemática o i-ésimo eemento e barra. Vetor e forças eternas na estrutura. n Número e eementos finitos a estrutura. K e, f c f w g f c M e e Ce Matries e rigie, massa consistente e amortecimento a estrutura. Escaar e força e contato e uma roa e um veícuo e um eemento e assagem e carga. Peso o veícuo transferio a uma roa. Escaar a variação a força e contato entre uma roa e um veícuo e um eemento e assagem e carga. Aceeração a graviae.

17 17 u, u v Nc N c, N c, r c r c, r c, m, c e u e k M, C e K F Fw k c k s c s Vetores e esocamentos, veociaes, aceerações noais e um eemento a estrutura e assagem e carga. Veociae o veícuo cuja roa está em contato com um eemento e assagem e carga. Vetor e funções hermitianas cúbicas. Vetor a rimeira erivaa em reação a as funções hermitianas cúbicas. Vetor a seguna erivaa em reação a as funções hermitianas cúbicas. Escaar e irreguariae, no onto e contato e uma roa com um eemento estrutura e assagem e carga. Escaar a rimeira erivaa em reação a a irreguariae, no onto e contato e uma roa com um eemento estrutura e assagem e carga. Escaar a seguna erivaa em reação a a irreguariae, no onto e contato e uma roa com um eemento estrutura e assagem e carga. Matries e massa consistente, amortecimento e rigie e um eemento a estrutura e assagem e carga no sistema oca e coorenaas. Matries e massa consistente, amortecimento e rigie o sistema veícuo-estrutura. Vetor e carregamento goba o sistema veícuo-estrutura. Peso e um veícuo. Rigie a susensão rimária e um veícuo. Amortecimento a susensão rimária e um veícuo. Rigie a susensão secunária e umveícuo. Amortecimento a susensão secunária e um veícuo.

18 18 1 Introução 1.1 Tema e Motivação A forte ativiae e mineração reaiaa no Estao o Pará romove a etração e minérios e ferro, ouro, manganês, bauita, cobre e chumbo. A Serra o Carajás, ocaiaa no sueste o Estao, abriga umas as mais imortantes jaias minerais o muno, cujo otencia foi escoberto em 1967, assano a ser eoraa ese a écaa e oitenta ea Comanhia Vae o Rio Doce. Em 5, a roução e minério e ferro em Carajás foi e 7,5 mihões e toneaas, com aumento e 4,5% frente ao ano anterior. Cerca e % o minério e ferro etraío no País rovem a Serra o Carajás. A comanhia Vae o Rio Doce iniciou suas ativiaes como emresa mineraora e o minério e ferro é, até hoje, o rincia routo esta emresa. A emresa ocua a osição e maior eortaora e minério e ferro, comerciaiano seu routo ara inústrias sierúrgicas o muno inteiro. O minério e ferro etraío ea emresa também é comerciaiao com emresas ocaiaas ao ongo a Estraa e Ferro Carajás (EFC) aina no Estao o Pará, tais como Cosiar, Ibérica, Usimar, entre outras, as quais utiiam o minério e ferro como matéria-rima ara a fabricação e ferro-gusa, que é eortao, em arte, eo Porto e Via o Cone ocaiao na fo os rios Tocantins e Amaonas. No Brasi, a emresa Vae o Rio Doce eora o minério e ferro em três sistemas integraos, caa um formao or mina, ferrovia, eotiação e termina marítimo. Um esses sistemas é o sistema Norte, o qua engoba as ativiaes e etração, beneficiamento, eeição, eotiação, estocagem e embarque e minérios e ferro em Ponta a Maeira (São Luís/MA). O sistema Norte é comosto eo Comeo Mineraor a Serra os Carajás e o Termina Marítimo e Ponta a Maeira (TMPM). A essas ativiaes está integrao o transorte e minério através a EFC (Estraa e Ferro Carajás). A EFC conecta a Serra os Carajás ao Termina Marítimo e Ponta a Maeira, com etensão e 89 Km. Sua construção teve início em 198 e a ferrovia entrou em oeração em O sistema ferroviário brasieiro totaia 9.76 quiômetros, concentrano-se nas regiões Su, Sueste e Noreste, ateneno arte o Centro-Oeste e Norte o País. O setor ferroviário articiou na matri e transorte e carga no Brasi com o ercentua

19 19 e,86% em, consierano o tota e carga transortaa no País (Fonte: GEIPOT). O moa e transorte ferroviário caracteria-se, eseciamente, or sua caaciae e transortar granes voumes, com eevaa eficiência energética, rinciamente em casos e esocamentos a méias e granes istâncias. Aresenta também agumas vantagens em reação aos moais rooviário e aéreo. Essas vantagens estão reacionaas com a maior caaciae o veícuo e transorte, menores custos e transorte, reução e gastos energéticos, menor imacto ambienta, evio às baias emissões e gases nocivos ara a atmosfera, e ao equeno número e acientes. O sistema ferroviário brasieiro é o maior a América Latina, no que i reseito à carga transortaa, atingino 16, bihões e tku (toneaa kiômetro úti) em 1 (Fonte: ANTT). As ferrovias necessitam vencer obstácuos rovocaos or acientes geográficos, ou mesmo transor rios, agos e baías. Aém isso, o fato este tio e via não ermitir curvas horiontais com raio iminuto, intensifica a necessiae e obras e arte eseciais ara transor esses obstácuos. Em ecorrência este fato, ao ongo a EFC estão isostas várias ontes e viautos. O comortamento estrutura as ontes e viautos é bastante comeo. Estas construções são soicitaas or cargas móveis que inuem efeitos inâmicos na estrutura que são função e vários fatores, tais como o tio e veociae o veícuo, irreguariaes na via ermanente ou triho, rorieaes o astro, o ormente e características inâmicas a estrutura (freqüências naturais, moos e vibração e taas e amortecimento). No Brasi, aesar e sua enorme bacia hirográfica, que emana or inúmeras ontes ara integrar ferrovias e roovias, as esquisas sobre ontes são aina escassas. Cabe estacar que a região Norte o Brasi, reconheciamente rica em recursos naturais, mas aina carente em termos e esenvovimento socia, esenvovimento tecnoógico e investimentos em esquisa, necessita e ações imeiatas irecionaas ara a soução e seus robemas. Assim, torna-se necessário gerar conhecimento oca sobre o comeo comortamento estrutura e ontes e viautos submetios a cargas inâmicas evio a assagem e trens, forneceno subsíios ara o rojeto e a avaiação estrutura e ontes e viautos, e faeno com que a Região Norte e, consequentemente, o País avancem no conhecimento o comortamento estas obras e arte eseciais quano submetias a cargas inâmicas, evias ao tráfego e trens.

20 1. Objetivos A resente issertação tem como objetivo gera reaiar uma imementação comutaciona ara anáise inâmica ana e esacia e ontes submetias a cargas inâmicas e veícuos, consierano incusive interação entre veícuo e estrutura. Este trabaho fa arte os trabahos o gruo e esquisa NICAE a Facuae e Engenharia Civi a UFPA e tem como inovação a anáise inâmica esacia o sistema veícuo-estrutura, constituino-se em generaiação o trabaho e anáise inâmica ana eaborao or Montoa (9). Os objetivos esecíficos oem ser iscriminaos como: a) Trauir, ara a inguagem comutaciona o software MatLab, a arte e anáise inâmica o rograma comutaciona e anáise inâmica biimensiona e ontes esenvovio em inguagem Visua Basic or Montoa (9); b) Imementar comutacionamente uma anáise estática, moa e inâmica e ontes bi e triimensionais sujeitas a moeos e veícuo bi e triimensionais, resectivamente; c) Incusão e função e irreguariae ongituina senoia nos eementos e barra e assagem a carga inâmica; ) Estuar eemos simes ara vaiação/comaração com a iteratura e com o rograma comercia SAP ; e) Avaiar eemo simificao e onte rea meiante anáise inâmica triimensiona; f) Avaiar as formas e interação entre o veícuo e a estrutura triimensiona, consierano os quatro moeos e veícuo; e g) Avaiar efeitos e ressonância na estrutura triimensiona.

21 1 Revisão bibiográfica A necessiae e se utiiar o moa ferroviário ara o transorte e carga e assageiros fe com que surgisse a reocuação com um asecto estrutura associao ao rojeto e ontes e viautos em ferrovias: os efeitos inâmicos evio à carga inâmica geraa eo tráfego e trens. A reevância este fenômeno físico motivou os rimeiros estuos e continua a ser assunto e grane interesse os engenheiros estruturais. Aresenta-se a seguir uma breve escrição e aguns trabahos sobre o comortamento e ontes e viautos, rinciamente, em ferrovias. As contribuições iniciais sobre o assunto atam e meaos o sécuo XIX com os trabahos e Wiis (1849) e Stokes (1849). Nos rimeiros estuos o sécuo XX, a onte foi moeaa como uma estrutura e viga e o veícuo como uma carga concentraa em movimento ou como uma massa em movimento, como visto em Timoshenko (19), Jeffcott (199) e Lowan (1935). Mauner (196) trata o araoo e Timoshenko, que surge ao se comrovar que o trabaho íquio reaiao or uma força ao atravessar uma viga é nuo, aesar e a viga ficar em estao e vibração ivre (e, ortanto, com certa energia cinética) quano a carga já a abanonou. Ee eica o araoo imaginano um equeno isco e massa esreíve que transmite força a uma viga. Aina na écaa e 6, Bootin (1964) estuou uma viga submetia a uma seqüência infinita e carregamentos iênticos e iguamente esaçaos e com veociae constante v. Neste estuo, o eríoo v os carregamentos em movimento foi ientificao como um arâmetro imortante. Frýba (197) aresentou a soução anaítica e robemas e vibração e vigas evio à assagem e iversos moeos reresentano os veícuos e concuiu, ara o mesmo robema e Bootin, que a resosta o regime ermanente em ecorrência a vibração forçaa atingirá seu máimo quano o intervao e temo entre ois carregamentos sucessivos for igua a aguns eríoos a viga em vibração ivre ou a um mútio estes eríoos. Vu-Quoc e Osson (1989) mostram uma formuação etensa e rigorosa as equações e movimento o sistema veícuo-estrutura e roõem um agoritmo comutaciona eficiente ara a anáise a interação entre trens e ata veociae e estruturas feíveis. Em contraição com as aboragens traicionais o robema, neste caso a veociae nomina o veícuo é consieraa como uma variáve esconhecia.

22 O agoritmo roosto eva a resutaos recisos que satisfaem essenciamente o baanço e energia o sistema. A resente formuação reamente resove o araoo e Timoshenko reativo a robemas e carga em movimento. Osson (1991) aresenta o esenvovimento o robema a carga móve. O moeo utiiao ara a estrutura é a viga e Euer-Bernoui, e or isso a reação atura/comrimento a viga eve ser equena. Aemais, se esrea a inércia à rotação no esenvovimento a equação e equiíbrio orque se suõe que os moos sueriores não se ecitam significativamente. O autor inica que esta útima hiótese aenas se verifica se a veociae e asso não é ecessivamente eevaa, mas não á imites inicativos ara a mesma. Uma as concusões obtias mais interessante e intuitiva é o feito e que, quano uma eterminaa veociae aimensiona é maior o que um, a máima resosta se rou quano a carga eia a onte, já que esta se assemeha a um imacto. Yang et a. (1997) estuaram a vibração e vigas simesmente aoiaas submetias a trens em ata veociae. O trem foi moeao como ois sub-sistemas e cargas e roa esaçaos em intervaos constantes. Através e uma aboragem anaítica que consiera a inércia os sub-sistemas em movimento e sua interação com a estrutura, os rinciais arâmetros que governam a resosta inâmica a viga são eterminaos. Para a avaiação o efeito e inércia mencionao foram obtias souções numéricas vaeno-se o métoo e Newmark. Baseao na conição e ressonância e no canceamento as onas geraas eo contínuo movimento as cargas na viga, critérios e rojeto ótimos ara surimir a resosta ressonante são roostos. Neste estuo se concuiu que: a rimeira ressonância reresenta a conição mais crítica e everia ser evitaa em rojetos reais; o efeito a inércia os veícuos em movimento tene a aumentar o eríoo e vibração a viga, faeno com que os icos e ressonância cambiem ara veociaes menores; quanto menor o vão a viga maior será o fator e imacto ara o esocamento a viga; e quano a raão o vão eo comrimento o veícuo iguaa 1,5 não haverá resosta ressonante inuia na viga, ese que a rimeira ressonância tenha sio surimia. Henchi e Fafar (1999) mostram um moeo numérico avançao ara a anáise inâmica as ontes. A eformaa a estrutura é aroimaa meiante uma combinação e funções e forma trigonométricas e hierbóicas, obteno-se uma matri e rigie inâmica que ermite a obtenção as frequências eatas a onte com um único eemento.

23 3 Frýba (1) investigou vibrações e ressonância em ontes ferroviárias sujeitas a trens e ata veociae. Um moeo teórico e onte foi estuao forneceno a estimativa as amitues em vibração ivre. Aém isso, a anáise fornece as veociaes críticas nas quais a vibração e ressonância oe ocorrer. Concui que a vibração e ressonância ocorre or uas raões: ações reetias e eios e carga e a veociae em si. Aonta também que as máimas amitues e vibração e ressonância aarecem no momento em que o útimo eio eia a onte. Eressões anaíticas o fator e amificação inâmica e o esectro e resosta característico foram obtios or Savin (1) ara vigas fracamente amortecias, com várias conições e contorno, e sujeitas a carregamentos ontuais se moveno a uma veociae constante. Esses coeficientes são aos como função o comrimento e ona o carregamento e o quociente o comrimento o vão eo comrimento e ona o carregamento. Esses resutaos são articuarmente úteis no ré-rojeto e ontes ferroviárias e na avaiação os níveis máimos e vibração eseraos em ecorrência a assagem e trens e ata veociae. Cheng et a. (1) roõem um novo eemento enominao onte-trihoveícuo ara reaiar a investigação entre um trem em movimento e o triho e a onte que o suortam. O trem é moeao com ois graus e iberae como uma série e sistemas massa-moa-amorteceor, ocaiaos no eio o veícuo. O eemento ontetriho-veícuo consiste e veícuos moeaos como sistemas massa-moa-amorteceor, um eemento e viga suerior ara moear o triho e um eemento e viga inferior ara moear a onte. Os ois eementos e viga são conectaos or uma série e moas e amorteceores ara moear o astro. Os resutaos mostram que os efeitos o triho na resosta inâmica a onte é insignificante. Por outro ao, o efeito a onte na resosta inâmica o triho é significativa. Goicoea et a. () aontaram que o rojeto e ontes ferroviárias ara trens e ata veociae, em ecorrência a rea ossibiiae e ressonância, requer a consieração e vibração sobre carregamentos móveis. Com esse intuito iversos moeos e anáise são escritos neste artigo, e menor ou maior comeiae. Afirmam também que é imortante aicar estes métoos e anáise ara esenvover métoos e rojeto e normas que sejam suficientemente ráticas, seguras e simes e se usar. A versão não fina as normas IAPF e a versão fina a norma Eurocoe 1 e ações em ontes cobrem aequaamente esta necessiae e anáise inâmica ara inhas e ata veociae.

24 4 Romero () aresentou iversos asectos o comortamento inâmico e ontes isostáticas ferroviárias ara trens e ata veociae. Nesta tese, foram estuaos os fatores mais imortantes ara a reição as resostas inâmicas as ontes, quais sejam os moos e os moeos e veícuos que são consieraos. A rincia concusão este trabaho é a imortância e se ter em conta os fenômenos e ressonância na anáise inâmica e ontes isostáticas, assim como, a conveniência e se emregar moeos e interação. Correa (3) estuou as vibrações em ontes ferroviárias rouias ea assagem e um trem eétrico tíico utiiao nas vias férreas urbanas brasieiras. Os moeos e trem vão ese forças concentraas até sistema massa-moa-amorteceor com seis graus e iberae. É também consieraa a interação trem-trihos-onte, consierano irreguariae nos trihos e roas e astro granuar e eastomérico. O sistema trem-trihos-onte é iscretiao em eementos finitos e as equações integrais e movimento são integraas numericamente eo métoo e Newmark. Yang et a. (5) estuaram novamente a interação inâmica e um veícuo em movimento e a onte que o suorta. Desta ve, através o métoo a suerosição moa, souções eatas foram obtias ara a resosta vertica tanto a onte quanto o veícuo, assumino que a raão a massa o veícuo ea a onte é equena. Yau e Frýba (7) estuaram a vibração e uma onte susensa sujeita à carga móve eqüiistante e e mesmo vaor e a esocamentos ecorrentes e terremoto, enquanto Xia et a. (8) estabeeceram um moeo inâmico e vento-trem-onte e concuíram que o vento tem grane infuência no sistema trem-onte. Correa (8) estuou o robema e vibração inuia em estruturas e aço e ontes ferroviárias evio a assagem e trens, juntamente com sistemas aternativos ara atenuação a vibração or meio e isositivos e controe assivo. As cargas inâmicas os trens são escritas or um moeo mecânico-anaítico com nove graus e iberae. A moeagem numérica triimensiona o sistema mecânico-estrutura e uma onte ferroviária é feita eo Métoo os Eementos Finitos, evano em consieração a interação trem-trihos-ormentes-estrutura e as irreguariaes geométricas, eterminísticas e aeatórias, nas roas e nos trihos. Em trabaho esenvovio no NICAE, no âmbito e um rojeto e esquisa em convênio com a comanhia mineraora Vae S/A, Montoa (9) reaiou a anáise inâmica e ontes sujeitas à assagem e veícuos, através a utiiação o métoo os eementos finitos ara a moeagem biimensiona a onte e a integração numérica a equação iferencia o moeo inâmico veícuo-estrutura vaeno-se o métoo e

25 5 Newmark. Houve consieração e interação veícuo-estrutura, seno o veícuo moeao com vários graus e iberae. Foi construío agoritmo comutaciona em inguagem Visua Basic ara imementação a anáise numérica. O Trabaho esenvovio nesta issertação baseia-se nos trabahos e Cheng et a. (1), Romero (), Correa (3) e Montoa (9). Toos esses trabahos tratam e anáise inâmica biimensiona e ontes. A imementação comutaciona esenvovia abrange tanto anáise bi quanto triimensiona e estruturas (formaas or eementos e barra) sujeitas à carga inâmica e veícuo ferroviário.

26 6 3 Moeagem e veícuos ferroviários 3.1 Descrição os eementos os veícuos ferroviários Em raão a resente issertação faer arte os trabahos o rojeto e esquisa em ontes ferroviárias sujeitas a assagem e trens e carga (em convênio com a Vae S/A), iscorrer-se-á brevemente sobre os comonentes o trem e carga. Entretanto, o rograma comutaciona esenvovio nesta issertação aica-se tanto a ontes ferroviárias como rooviárias e, consequentemente a veícuos ferroviários (e carga e assageiros) e rooviários. Os trens estinaos ao transorte e carga são constituíos or uma ocomotiva, seno a mais usua a Diese-eétrica, e uma grane quantiae e vagões (Figura 3.1). Figura Locomotiva Diese-eétrica. A ocomotiva Diese-eétrica ossui sua fonte e energia motora. Esta energia é usuamente rovia or motores e tração eétricos que acionam os eios. Vagões são a arte o materia roante que é rebocao e também resonsáve ea movimentação a carga (Correa, 8). As roas são fabricaas com aço manganês e são conectaas aos eios formano o roeiro (Figura 3.), que recebe as cargas oriunas as caias o veícuo (ocomotiva ou vagão) através os mancais. Dois conjuntos e roeiros e mais o sistema e susensão formam os truques (Figura 3.3), sobre os quais reousa, no caso o trem e cargas, a ocomotiva e os vagões. Os truques têm como vantagem a reução a base rígia os veícuos, assim como iminuição as vibrações transmitias, evio às imerfeições eistentes nas vias férreas.

27 7 Os truques são constituíos, basicamente or uas susensões, uma rimária, comosta or moas heicoiais; e outra secunária, formaa or bosas e ar fiaas entre caia o veícuo e chassi o truque (Correa, 3). Figura 3. - Roeiro e truque. Figura 3.3 Truque ara vagão e transorte e carga. 3. Formuação matemática básica o movimento os veícuos Os trens são sistemas mecânicos com vários graus e iberae, com moas e comortamento inear e não-inear e, também, amortecimento, que oe ser hiráuico e neumático. Durante a assagem o trem sobre uma estrutura e onte, o seu eso rório combinao com a inércia e sua massa oe causar vibrações que afetam a integriae estrutura a onte. Numa anáise inâmica, estes sistemas são comumente simificaos, eeneno o tio e anáise, biimensiona ou triimensiona, que se roõe reaiar (Battista, 1995, au Correa, 8). Os moeos os veícuos, integrantes o trem, oem ser obtios tanto a artir o rincíio e D Aembert (equiíbrio inâmico e forças) quanto a artir as equações e Euer-Lagrange (equiíbrio em termos e energia). Esta útima forma foi utiiaa ara o esenvovimento as equações e movimento que serão aresentaas nas uas seções seguintes. Foram consieraas certas hióteses ara a anáise e um veícuo: as moas e susensão se comortam inearmente; os esocamentos anguares são equenos e or isso o seno e a tangente e um ânguo e giro são consieraos iguais ao rório ânguo; toos os comonentes o veícuo movem-se na mesma veociae; e é consierao que não ocorre escontinuiae entre a roa e a onte, ou seja, que a roa não se seara o eemento a estrutura sobre o qua ea se movimenta. A equação e Euer-Lagrange aresenta o seguinte formato:

28 8 ( T V ) ( T V ) t q q j j (3.1) one: T é a energia cinética o sistema; V é a energia otencia o sistema; e q j reresenta o j-ésimo grau e iberae o sistema. Denomina-se Lagrangeano L T V à iferença a energia cinética menos a energia otencia e um sistema. A Equação (3.1) foi esenvovia ineenentemente or Euer e Lagrange, aí ser enominaa equação e Euer-Lagrange. Para escrever too o movimento o sistema, eve-se escrever esta equação ara caa um os graus e iberae o sistema. A Equação (3.1) escreve o movimento e um sistema e forma estática, e forma simiar ao Princíio e D Aembert, mas em termos e energia. É ossíve escrever várias formas e funções issiativas, quano o sistema não for conservativo. Quano arte a energia o sistema for issiaa or eementos submetios a forças que sejam roorcionais a sua veociae, é ossíve acrescentar uma arcea à equação e Euer-Lagrange utiiano uma função issiativa, aqui enominaa R (Barbosa, 1999, au Montoa, 9): L L R t q q q j j j (3.) 3.3 Moeos e veícuo biimensionais Moeo e veícuo simuao or carga móve concentraa Nos casos em que o efeito a inércia o veícuo for muito menor que o efeito o seu eso rório, oeno assim ser esreaa, o moeo mais simes é o e cargas verticais móveis aicaas nos ontos e contato as roas com os trihos. As magnitues essas forças são iguais às forças estáticas e se movimentam com veociae constante sobre a estrutura. Não eiste interação entre veícuo e estrutura neste moeo.

29 9 Figura 3.4 Moeo e veícuo D simuao or carga móve concentraa Moeo e veícuo constituío aenas e massa O moeo com eemento e massa é o moeo e interação mais simes, ois a massa tota o veícuo é consieraa como um eemento eterno à estrutura e será acoaa convenientemente à matri e massa a estrutura. Entretanto, este moeo não ossui rigie nem amortecimento. Figura 3.5 Moeo e veícuo D constituío e massa. Os símboos emregaos na Figura 3.5 têm o seguinte significao: r é o esocamento vertica o centro e graviae a roa e um veícuo; e mr é a massa tota e um veícuo (caia + truques + roas). De uma forma gera, as equações e equiíbrio ara quaquer tio e veícuo em vibração ivre que irá interagir com a estrutura oe ser escrita como (Romero, ): M vv uv Cvv Cvr uv Kvv Kvr uv... M u C C u K K u rr r rv rr r rv rr r (3.3) one: M vv, M rr são sub-matries e massa e um veícuo (massas susensas e roas); C vv, C vr, e roas); C rv, C rr são sub-matries e amortecimento e um veícuo (massas susensas K vv, K vr, K rv, K rr são sub-matries e rigie e um veícuo (massas susensas e roas);

30 3 u v, u v e u v são vetores e esocamentos, veociaes e aceerações os graus e iberae as massas susensas (caia e truques) e um veícuo; e u r, ur e u r são vetores e esocamentos, veociaes e aceerações os graus e iberae as massas acoaas (roas) e um veícuo. No caso o moeo e massa ara o veícuo mostrao na Figura 3.5, o esocamento generaiao é reresentao eo único grau e iberae o veícuo r. A equação e Euer-Lagrange que efine o equiíbrio inâmico este veícuo é: L L R t r r r O Lagrangeano o sistema é ao or: (3.5) 1 1 L mr ( r ) mr ( r ) (3.6) A função e issiação e energia R o sistema é nua. Assim, a equação e movimento o veícuo com um grau e iberae é aa or: m (3.7) r r Os termos integrantes a Equação (3.3), teno-se como referência a Equação (3.7), são assim ientificaos: M vv Mrr m r Cvv Crv Cvr C rr Kvv Krv Kvr K rr u v ur r (3.8) Moeo e veícuo e interação simificaa Este moeo é o mais simes que consiera interação o veícuo com a matri e massa, amortecimento e rigie a estrutura.

31 31 Figura 3.6 Moeo e veícuo D simificao. Os símboos emregaos na Figura 3.6 têm o seguinte significao: v é o esocamento vertica o centro e graviae a massa tota susensa e um veícuo; r é o esocamento vertica o centro e graviae a roa e um veícuo; m v é massa tota susensa e um veícuo (caia + truques); m r é a massa tota as roas e um veícuo; k 1 é a rigie tota a susensão (rimária e secunária) e um veícuo; e c 1 é o amortecimento tota a susensão (rimária e secunária) e um veícuo. A Figura 3.7 iustra os graus e iberae este moeo e veícuo e o seu único esocamento generaiao, reresentao eo esocamento reativo entre a massa susensa e a não susensa. Figura 3.7 Desocamento generaiao e graus e iberae o moeo simificao D. Neste moeo e veícuo, tem-se graus e iberae e, ortanto, eistem uas equações e Euer-Lagrange. O único esocamento generaiao é ao or: 1 ( v r) (3.9)

32 3 As equações e Euer-Lagrange que efinem o equiíbrio inâmico este moeo e veícuo são: L L R t v v v L L R t r r r (3.1) O Lagrangeano o veícuo é a iferença a energia cinética ea energia otencia, seno ao or: L mv ( v ) mr ( r ) k 1( 1) (3.11) A função e issiação e energia o veícuo é aa or: 1 ( ) R c 1 1 (3.1) Desenvoveno caa um os termos as Equações (3.1), vaeno-se as Equações (3.11) e (3.1), tem-se as equações e movimento ara o veícuo com ois graus e iberae: m c ( ) k ( ) v v 1 v r 1 v r m c ( ) k ( ) (3.13) r r 1 v r 1 v r Os termos integrantes a Equação (3.3), teno-se como referência as Equações (3.13), são assim ientificaos: Mvv m v Mrr m r Cvv Crr c 1 Crv Cvr c 1 Kvv Krr k 1 Krv Kvr k 1 uv v r r u (3.14) Moeo e veícuo e interação cometa Neste moeo, um veícuo é moeao com 1 (e) graus e iberae. São moeaas a massa a caia, a massa os truques, traseiro e ianteiro, e as massas as roas os quatro eios. As massas a caia e os truques têm as rorieaes e esocar-se verticamente e girar ao reor e seu rório eio. Também é moeao o sistema e susensão, rimário e secunário, ara os quais são efinias as rorieaes e rigie e amortecimento.

33 33 Figura 3.8 Moeo e veícuo D cometo. Os símboos emregaos na Figura 3.8 têm os seguintes significaos: v é o esocamento vertica o centro e graviae a caia e um veícuo; v é a rotação a caia e um veícuo em torno o seu eio transversa; si é o esocamento vertica o centro e graviae o i-ésimo truque e um veícuo; si é a rotação o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio transversa; ri é o esocamento vertica o centro e graviae a i-ésima roa e um veícuo; f é a istância o centro a caia ao centro os truques, no ano cuja norma é transversa ao veícuo; é a istância o centro os truques ao roeiro, no ano cuja norma é transversa ao veícuo; m v é a massa a caia e um veícuo; I v é o momento e inércia a caia e um veícuo em torno o seu eio transversa; m si é a massa o i-ésimo truque e um veícuo; I si é o momento e inércia o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio transversa; m r é a massa as uas roas e um roeiro e um veícuo; k i é o obro a rigie as susensões rimária ou secunária e um veícuo; e c i é o obro o amortecimento as susensões rimária ou secunária e um veícuo. A Figura 3.9 iustra os 1 graus e iberae este moeo e veícuo e os seus 6 esocamentos generaiaos:

34 34 Figura 3.9 Desocamentos generaiaos e graus e iberae o moeo cometo D. Os esocamentos generaiaos são aos or: ( f ) ( v v f s) 1 v v s1 ( ) 4 ( s 1 s1 r ) 3 s1 s1 r1 ( ) 6 ( s s r 4) (3.15) 5 s s r3 As equações e Euer-Lagrange que efinem o equiíbrio inâmico este moeo e veícuo são: L L R t v v v L L R t v v v L L R L L R t s 1 s 1 s 1 t s1 s1 s1 L L R L L R t s s s t s s s L L R L L R t r1 r1 r1 t r r r L L R L L R t r3 r3 r3 t r 4 r 4 r 4 O Lagrangeano este moeo e veícuo é ao or: L mv ( v ) Iv ( v ) ms 1( s 1) Is 1( s1) ms( s) Is( s) mr1( r1) mr ( r ) mr 3( r3) mr 4( r 4) [ k1( 1) k( ) k3( 3) k4( 4) k5( 5) k6( 6) ] A função e issiação e energia o veícuo é aa or: (3.16) (3.17)

35 R c1 ( 1) c( ) c3( 3) c4( 4) c5 ( 5) c 6( 6) (3.18) Desenvoveno caa um os termos as Equações (3.16), vaeno-se as Equações (3.17) e (3.18), tem-se as equações e movimento ara o veícuo com 1 graus e iberae: m c ( f ) c ( f ) k ( f ) k ( f ) v v 1 v v s1 v v s 1 v v s1 v v s I c ( f ) f c ( f ) f v v 1 v v s1 v v s k ( f ) f k ( f ) f 1 v v s1 v v s m c ( f ) c ( ) c ( ) s1 s1 1 v v s1 3 s1 s1 r1 4 s1 s1 r k ( f ) k ( ) k ( ) 1 v v s1 3 s1 s1 r1 4 s1 s1 r I c ( ) c ( ) s1 s1 3 s1 s1 r1 4 s1 s1 r k ( ) k ( ) 3 s1 s1 r1 4 s1 s1 r m c ( f ) c ( ) c ( ) s s v v s 5 s s r3 6 s s r 4 k ( f ) k ( ) k ( ) v v s 5 s s r3 6 s s r 4 I c ( ) c ( ) s s 5 s s r3 6 s s r 4 k ( ) k ( ) 5 s s r3 6 s s r 4 m c ( ) k ( ) r1 r1 3 s1 s1 r1 3 s1 s1 r1 m c ( ) k ( ) r r 4 s1 s1 r 4 s1 s1 r m c ( ) k ( ) r3 r3 5 s s r3 5 s s r3 m c ( ) k ( ) (3.19) r4 r4 6 s s r4 6 s s r4 Os termos integrantes a Equação (3.3), teno-se como referência as Equações (3.19), são assim ientificaos: M vv m v J v m s1 J s1 m s J s M rr m r m r m r m r

36 36 C vv c c ( c c ) f c c ( c c ) f ( c c ) f c f c f c c f c c c ( c c ) ( c3 c4) ( c3 c4) c c f c c c ( c c ) ( c c ) ( c c ) C vr c c c 3 4 c 3 4 c c c 5 6 c 5 6 C C rv T vr C rr c 3 c 4 c 5 c 6 K vv k k ( k k ) f k k ( k k ) f ( k k ) f k f k f k k f k k k ( k k ) ( k3 k4) ( k3 k4) k k f k k k ( k k ) ( k k ) ( k k ) K vr k k k 3 4 k 3 4 k k k 5 6 k 5 6 K K rv T vr K rr k 3 k 4 k 5 k 6 u v v v s1 s1 s u r r1 r r3 r 4 (3.) s 3.4 Moeos e veícuo triimensionais Moeo e veícuo simuao or carga móve concentraa Este moeo consiera que caa roeiro e veícuo é reresentao or uma força concentraa. Esse moeo é simiar ao biimensiona, com a articuariae e que essa

37 37 força se ivie iguamente entre ois eementos finitos araeos a estrutura triimensiona Moeo e veícuo constituío aenas e massa Consiera-se a massa o veícuo como um eemento eterno à estrutura e comosta a massa a caia, os truques e as roas. Esta massa conjunta será acoaa ao sistema convenientemente e aicará uma força e interação à estrutura corresonente ao eso o veícuo. Este moeo e veícuo não ossui rigie e amortecimento. Figura 3.1 Moeo e veícuo 3D constituío e massas. Os símboos emregaos na Figura 3.1 ossuem o seguinte significao: ri é o esocamento vertica o centro e graviae a i-ésima roa e um veícuo; e m r é a metae a massa tota e um veícuo (caia + truques + roas). As equações e Euer-Lagrange que efinem o equiíbrio inâmico este moeo e veícuo são: L L R L L R t r1 r1 r1 t r r r O Lagrangeano e a função e issiação o veícuo são aos or: (3.1) 1 1 L mr ( r1) mr ( r) R (3.) Desenvoveno caa um os termos as Equações (3.1), vaeno-se as Equações (3.), têm-se as equações e movimento ara o veícuo com graus e iberae: m m (3.3) r r1 r r Os termos integrantes a Equação (3.3), teno-se como referência as Equações (3.3), são assim ientificaos: M vv M rr m r m r Cvv Crv Cvr C rr

38 38 Kvv Krv Kvr K rr u v u r r1 r (3.4) Moeo e veícuo e interação simificaa Neste moeo, as massas a caia e os truques são consieraas conjuntamente, enquanto a massa as uas roas é consieraa como acoaa à estrutura, eistino 4 graus e iberae ( v,, v r1 e r ). Consiera-se assim a inércia rotaciona a massa susensa o veícuo em torno o seu eio ongituina. Figura 3.11 Moeo e veícuo 3D simificao. Os símboos emregaos na Figura 3.11 têm o seguinte significao: v é o esocamento vertica o centro e graviae a massa tota susensa e um veícuo; v é a rotação a massa susensa tota e um veícuo em torno o seu eio ongituina; ri é o esocamento vertica o centro e graviae a i-ésima roa e um veícuo; e é a istância o centro a massa susensa tota ao eio as roas, no ano cuja norma é ongituina ao veícuo; m v é massa tota susensa e um veícuo (caia + truques); J v é o momento e inércia a massa susensa tota e um veícuo em torno o seu eio ongituina; m r é a metae a massa tota as roas e um veícuo; k i é a metae a rigie tota a susensão (rimária e secunária) e um veícuo; e c i é a metae o amortecimento tota a susensão (rimária e secunária) e um veícuo.

39 39 A Figura 3.1 iustra os 4 graus e iberae este moeo e veícuo e os seus esocamentos generaiaos: Figura 3.1 Desocamentos generaiaos e graus e iberae o moeo simificao 3D. Os esocamentos generaiaos são aos or: ( e ) ( v ve r) (3.5) 1 v v r1 As equações e Euer-Lagrange que efinem o equiíbrio inâmico este moeo e veícuo são: L L R t v v v L L R L L R t v v v L L R t r1 r1 r1 t r r r (3.6) O Lagrangeano este moeo e veícuo é ao or: L mv ( v ) Jv( v) mr1( r1) mr ( r ) [ k1( 1) k ( ) ] (3.7) A função e issiação e energia o veícuo é aa or: 1 1 R c1 ( 1) c ( ) (3.8) Desenvoveno caa um os termos as Equações (3.6), vaeno-se as Equações (3.7) e (3.8), tem-se as equações e movimento ara o veícuo com 4 graus e iberae: m c ( e ) c ( e ) k ( e ) k ( e ) v v 1 v v r1 v v r 1 v v r1 v v r J c ( e ) e c ( e ) e v v 1 v v r1 v v r k ( e ) e k ( e ) e 1 v v r1 v v r

40 4 m c ( e ) k ( e ) r1 r1 1 v v r1 1 v v r1 m c ( e ) k ( e ) (3.9) r r v v r v v r Os termos integrantes a Equação (3.3), teno-se como referência a Equação (3.9), são assim ientificaos: M vv m v J v M rr m r m r C vv c c ( c c ) e 1 1 ( c c ) e ( c c ) e 1 1 C vr c c e c 1 c e 1 C C rv T vr C rr c 1 c K vv k k ( k k ) e 1 1 ( k k ) e ( k k ) e 1 1 K vr k k e k 1 k e 1 K K rv T vr K rr k 1 k u v v v u r r1 r (3.3) Moeo e veícuo e interação cometa O moeo cometo triimensiona e um veícuo, mostrao na Figura 3.13, contém 17 graus e iberae. Este moeo ermite a moeagem a caia o veícuo e os truques, ianteiro e traseiro, com seus movimentos transaciona vertica e rotacionais, em torno os eios ongituina e transversa.

41 41 Figura 3.13 Moeo e veícuo 3D cometo. Os símboos emregaos na Figura 3.13 têm os seguintes significaos: v é o esocamento vertica o centro e graviae a caia e um veícuo; v v é a rotação a caia e um veícuo em torno o seu eio transversa; é a rotação a caia e um veícuo em torno o seu eio ongituina; si é o esocamento vertica o centro e graviae o i-ésimo truque e um veícuo; si si é a rotação o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio transversa; é a rotação o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio ongituina; ri é o esocamento vertica o centro e graviae a i-ésima roa e um veícuo; f é a istância o centro a caia ao os truques, no ano cuja norma é transversa ao veícuo; é a istância o centro os truques ao roeiro, no ano cuja norma é transversa ao veícuo; s é a istância o centro a caia ao eio a susensão secunária, no ano cuja norma é ongituina ao veícuo; e é a istância o centro os truques ao centro as roas, no ano cuja norma é ongituina ao veícuo; m v é a massa a caia e um veícuo; I v é o momento e inércia a caia e um veícuo em torno o seu eio transversa; J v é o momento e inércia a caia e um veícuo em torno o seu eio ongituina; m si é a massa susensa o i-ésimo truque e um veícuo;

42 4 I si é o momento e inércia o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio transversa; J si é o momento e inércia o i-ésimo truque e um veícuo em torno o seu eio ongituina; mr é a massa e caa roa e um veícuo; k i é a rigie as susensões rimária ou secunária e um veícuo; e c i é o amortecimento as susensões rimária ou secunária e um veícuo. A Figura 3.14 iustra graus e iberae este moeo e veícuo (no tota e 17) e seus esocamentos generaiaos (no tota e 1): Figura 3.14 Desocamentos generaiaos e graus e iberae o moeo cometo 3D. Os esocamentos generaiaos são aos or: ( f s s ) ( v v f vs ss s) 1 v v v s1 s1

43 43 ( f s s ) 4 ( v v f vs ss s) 3 v v v s1 s1 ( b ) 6 ( s 1 s1 s1b r) 5 s1 s1 s1 r1 ( b ) 8 ( s 1 s1 s1b r4) 7 s1 s1 s1 r3 ( b ) 1 ( s s sb r6) 9 s s s r5 ( b ) 1 ( s s sb r8) (3.31) 11 s s s r7 As equações e Euer-Lagrange que efinem o equiíbrio inâmico este moeo e veícuo são: L L R t v v v L L R t v v v L L R t v v v L L R L L R t s 1 s 1 s 1 t s1 s1 s1 t s1 s1 s1 L L R L L R L L R t s s s t s s s t s s s L L R t r1 r1 r1 r r r L L R t r 4 r 4 r 4 r5 r5 r5 L L R L L R L L R t t r3 r3 r3 L L R L L R t t r6 r6 r6 L L R t r7 r7 r7 t r8 r8 r8 L L R O Lagrangeano este moeo e veícuo é ao or: L mv ( v ) Iv ( v ) Jv ( v ) ms1( s1) Is1( s1) J s1( s1) m ( ) I ( ) J ( ) m ( ) m ( ) m ( ) mr 4( r 4) mr 5( r5) mr 6( r 6) mr 7( r 7) mr8 ( r8) [ k1( 1) k( ) k3( 3) k4( 4) k5( 5) k6( 6) k7( 7) k8( 8) k9( 9) k1( 1) k11( 11) k1( 1) ] s s s s s s r1 r1 r r r3 r3 A função e issiação e energia o veícuo é aa or: R c1 ( 1) c( ) c3( 3) c4( 4) c5( 5) c6( 6) c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) (3.3) 3.33) (3.34)

44 44 Desenvoveno caa um os termos as Equações (3.3), vaeno-se as Equações (3.33) e (3.34), tem-se as equações e movimento ara o veícuo com 17 graus e iberae: m c ( f s s ) c ( f s s ) v v 1 v v v s1 s1 v v v s s c ( f s s ) c ( f s s ) 3 v v v s1 s1 4 v v v s s k ( f s s ) k ( f s s ) 1 v v v s1 s1 v v v s s k ( f s s ) k ( f s ) s 3 v v v s1 s1 4 v v v s s I c ( f s s ) f c ( f s s ) f v v 1 v v v s1 s1 v v v s s c ( f s s ) f c ( f s s ) f 3 v v v s1 s1 4 v v v s s k ( f s s ) f k ( f s s ) f 1 v v v s1 s1 v v v s s k3( v v f vs s1s s1) 4 v v v s s f k ( f s s ) f J c ( f s s ) s c ( f s s ) s v v 1 v v v s1 s1 v v v s s c ( f s s ) s c ( f s s ) s 3 v v v s1 s1 4 v v v s s k ( f s s ) s k ( f s s ) s 1 v v v s1 s1 v v v s s k3( v v f vs s1s s 1) 4 v v v s s s k ( f s s ) s m c ( f s s ) c ( f s s ) s1 s1 1 v v v s1 s1 3 v v v s1 s1 c ( e ) c ( e ) 5 s1 s1 s1 r1 6 s1 s1 s1 r c ( e ) c ( e ) 7 s1 s1 s1 r3 8 s1 s1 s1 r 4 k1( v v f vs s1s s 1) k3( v v f vs s1s s 1 k ( e ) k ( e ) 5 s1 s1 s1 r1 6 s1 s1 s1 r k ( e ) k ( e ) 7 s1 s1 s1 r3 8 s1 s1 s1 r 4 I c ( e ). c ( e ) s1 s1 5 s1 s1 s1 r1 6 s1 s1 s1 r c ( e ) c ( e ) 7 s1 s1 s1 r3 8 s1 s1 s1 r 4 k ( e ) k ( e ) 5 s1 s1 s1 r1 6 s1 s1 s1 r k ( e ) k ( 1e ) 4 7 s1 s1 s1 r3 8 s1 s1 J c ( f s s ) s c ( f s s ) s s1 s1 1 v v v s1 s1 3 v v v s1 s1 c ( e ) e c ( e ) e 5 s1 s1 s1 r1 6 s1 s1 s1 r c ( e ) e c ( e ) e 7 s1 s1 s1 r3 8 s1 s1 s1 r 4 k1( v v f vs s1s s 1) 3 v v v s1 s1 s k ( f s s ) s k ( e ) e k ( e ) e 5 s1 s1 s1 r1 6 s1 s1 s1 r k ( e ) e k ( e ) e 7 s1 s1 s1 r3 8 s1 s1 s1 r 4 s r )

45 45 m c ( f s s ) c ( f s s ) s s v v v s s 4 v v v s s c ( e ) c ( e ) 9 s s s r5 1 s s s r6 c ( e ) c ( e ) 11 s s s r7 1 s s s r8 k( v v f vs ss s) k4 v v f vs ss s ( ) k ( e ) k ( e ) 9 s s s r5 1 s s s r6 k ( e ) k ( e ) 11 s s s r7 1 s s s r8 I c ( e ) c ( e ) s s 9 s s s r5 1 s s s r 6 c ( e ) c ( e ) 11 s s s r 7 1 s s s r8 k ( e ) k ( e ) 9 s s s r5 1 s s s r6 k ( e ) k ( ) e 8 11 s s s r 7 1 s s s r J c ( f s s ) s c ( f s s ) s s s v v v s s 4 v v v s s c ( e ) e c ( e ) e 9 s s s r5 1 s s s r6 c ( e ) e c ( e ) e 11 s s s r7 1 s s s r8 k( v v f vs ss s 4 v v v s s ) s k ( f s s ) s k ( e ) e k ( e ) e 9 s s s r5 1 s s s r6 k ( e ) e k ( e ) e 11 s s s r7 1 s s s r8 m c ( e ) k ( e ) r1 r1 5 s1 s1 s1 r1 5 s1 s1 s1 r1 m c ( e ) k ( e ) r r 6 s1 s1 s1 r 6 s1 s1 s1 r m c ( e ) k ( e ) r3 r3 7 s1 s1 s1 r3 7 s1 s1 s1 r3 m c ( e ) k ( e ) r4 r4 8 s1 s1 s1 r4 8 s1 s1 s1 r4 m c ( e ) k ( e ) r5 r5 9 s s s r5 9 s s s r5 m c ( e ) k ( e ) r6 r6 1 s s s r6 1 s s s r6 m c ( e ) k ( e ) r7 r7 11 s s s r7 11 s s s r7 m c ( e ) k ( e ) (3.35) r8 r8 1 s s s r8 1 s s s r8 Os termos integrantes a Equação (3.3), teno-se como referência as Equações (3.35), são assim ientificaos:

46 46 M vv M rr m v I v J v m s1 I s1 J m s1 s I m r s m r m r m m m r r r m r m r J s c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c C c c c vv c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c C c. c. c. c. vr c c c c c. e c. e c. e c. e c c c c c. c. c. c c. e c. e c. e c. e C C rv T vr

47 47 C rr c 5 c 6 c 7 c 8 c c 9 1 c 11 c 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K k k k vv k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K k. k. k. k. vr k k k k k. e k. e k. e k. e k k k k k. k. k. k k. e k. e k. e k. e K K rv T vr K rr k 5 k 6 k 7 k 8 k k 9 1 k 11 k 1

48 48 one: c11 c1 c c3 c 4 ; u v v v v s1 s1 s1 s s s c c c c c f ; ( 1 3 4) u r r1 r r3 r 4 r5 r 6 r 7 r8 c c c c c s ; 33 ( 1 3 4) (3.36) c44 c1 c3 c5 c6 c7 c 8 ; c c c c c ; 55 ( ) c ( c c ) s ( c c c c ) e ; c77 c c4 c9 c1 c11 c 1 ; c c c c c ; 88 ( ) c ( c c ) s ( c c c c ) e ; c1 ( c1 c c3 c4 ) f ; c31 ( c1 c c3 c4) s ; c41 ( c1 c 3) ; c61 ( c1 c3) s ; c71 ( c c 4) ; c91 ( c c4) s ; c3 ( c1 c c3 c4 ) fs ; c4 ( c1 c3) f ; c6 ( c1 c3) fs ; c7 ( c c4) f ; c9 ( c c4 ) fs ; c43 ( c1 c3) s ; c c c s ; ( 1 3) c ( c c ) s ; c c c s ; 93 ( 4) c54 ( c5 c6 c7 c8 ) ; c64 ( c1 c3) s ( c5 c6 c7 c8 ) e ; c65 ( c5 c6 c7 c8 ) e ; c87 ( c9 c1 c11 c1 ) ; c97 ( c c4 ) s ( c9 c1 c11 c1 ) e ; c98 ( c9 c1 c11 c1 ) e ; k11 k1 k k3 k 4 ; k k k k k f ; ( 1 3 4) k k k k k s ; 33 ( 1 3 4) k44 k1 k3 k5 k6 k7 k 8 ; k k k k k ; 55 ( ) k ( k k ) s ( k k k k ) e ; k77 k k4 k9 k1 k11 k 1 ; k k k k k ; 88 ( ) k ( k k ) s ( k k k k ) e ; k1 ( k1 k k3 k4) f ; k31 ( k1 k k3 k4) s ; k41 ( k1 k 3) ; k61 ( k1 k3) s ; k71 ( k k 4) ; k91 ( k k4) s ; k3 ( k1 k k3 k4) fs ; k4 ( k1 k3) f ; k6 ( k1 k3) fs ; k7 ( k k4) f ; k9 ( k k4) fs ; k43 ( k1 k3) s ; k k k s ; ( 1 3) k ( k k ) s ; k k k s ; 93 ( 4) k54 ( k5 k6 k7 k8) ; k64 ( k1 k3) s ( k5 k6 k7 k8) e ; k65 ( k5 k6 k7 k8) e ; k87 ( k9 k1 k11 k1 ) ;

49 49 k97 ( k k4) s ( k9 k1 k11 k1 ) e ; e k98 ( k9 k1 k11 k1 ) e.

50 5 4 Moeagem biimensiona a onte A onte é normamente constituía a aje que recebe iretamente os esforços o eso a via (trihos, ormentes e astro) e iniretamente as ações estática e inâmica os veícuos. A aje a onte geramente se aóia nas transversinas e as transversinas se sustentam estritamente nas ongarinas, que, or sua ve, se aóiam nos iares. Este trabaho consiera que o veícuo se move sobre as ongarinas a onte e que estas são simesmente aoiaas nos iares. A Figura 4.1 é um eemo e onte ferroviária eistente no Brasi. Figura 4.1 Ponte ferroviária. A onte em uas imensões oe ser escrita, or eemo, como uma viga simesmente aoiaa, conforme Figura 4.. Figura 4. Moeo biimensiona e onte ferroviária. Os esenvovimentos anaíticos seguintes aicam-se a quaquer moeo e barras biimensiona. O aoio a esquera é consierao como e seguno gênero e o a ireita e rimeiro gênero. Em termos ráticos, oer-se-ia consierar que os ois aoios são e seguno gênero, ois é suosto que o veícuo não aica esforços na estrutura na ireção o eio, o que é uma simificação.

51 51 Na mecânica as estruturas recorrem-se, or uma questão e simiciae, a teorias e vigas ara escrever o comortamento as barras. São teorias que uniimensionaiam a teoria gera a mecânica os sóios, viabiiaas eo fato e ser o comrimento as barras bem maior o que as imensões e uma seção transversa. A teoria e vigas mais conhecia e toas é a teoria e vigas e Euer-Bernoui. A outra, um ouco menos restritiva, é a teoria e vigas e Timoshenko (Lucena Neto, 9). Sejam u, u e u as comonentes o esocamento e um onto quaquer a viga a Figura 4., referias ao sistema e coorenaas cartesianas iscriminao. É ossíve mostrar, e acoro com a teoria a easticiae, que as comonentes a eformação este onto são aas or (Lucena Neto, 9): u u u u u u u u u (4.1) Consierano que a viga a Figura 4. tem sua eformação restrita ao ano. Nessas conições, u e u ineenem e e u. A hiótese e Euer-Bernoui amite que uma seção ana e norma ao eio a viga antes a eformação ermanece aós a eformação: 1. ana;. norma ao eio eformao; e 3. ineformaa (seção infinitamente rígia) (Lucena Neto, 9). one: A suosição 3 é trauia or: u Portanto, u ineene e e oe ser escrita como: (4.) u (, ) v ( ) (4.3) v ( ) é o esocamento e um onto e uma barra na ireção o eio oca, ocaiao sobre a inha neutra. A suosição 1 imica consierar constante ao ongo a atura. A suosição força essa constante ser nua. Assim, as suosições 1 e e consierano a Equação (4.3): u u v( ) u(, ) f ( ) (4.4)

52 5 one f( ) é a função e integração. Definino-se u( ) u(,), a comonente u no eio e referência, veremos que f ( ) u( ) : (, ) ( ) v ( ) u u (4.5) Assim, o camo e eformações na teoria e vigas e Euer-Bernoui (no ano) é ao or (reações eformação-esocamento): u u( ) v ( ) u ( v( )) u () u u v ( ) v ( ) u u u(, ) () u u u(, ) () (4.6) A eformação oe ser escrita a seguinte forma: one: (, ) ( ) ( ) (4.7) ( ) ( ) u é a eformação aia no eio e referência e uma seção transversa e uma barra; ( ) v ( ) é a curvatura em torno o eio oca e uma seção transversa e uma barra; e e são as eformações generaiaas a seção transversa, ois não variam em. Consierano que o materia a onte seja homogêneo, isotróico e eástico inear, a única comonente não nua a eformação na teoria e vigas e Euer- Bernoui se reaciona com as comonentes e tensão or meio e: one: 1 [ ( )] E (4.8) é a comonente e eformação no ano cuja norma é o eio oca na ireção o mesmo eio; é a comonente e tensão no ano cuja norma é o eio oca na ireção o mesmo eio; é a comonente e tensão no ano cuja norma é o eio oca na ireção o mesmo eio;

53 53 é a comonente e tensão no ano cuja norma é o eio oca na ireção o mesmo eio; E é o móuo e easticiae ongituina o materia; e é o coeficiente e Poisson. Desreano-se na Equação (4.8) a contribuição e e em reação à contribuição e : E (4.9) A tensão, que atua em caa onto a seção transversa a viga (cuja norma é o eio ), oe, na teoria e vigas e Euer-Bernoui, ser associaa a ois esforços internos: N (, ) A M (, ) A (4.1) Substituino a Equação (4.7) na Equação (4.9) e, em seguia, esta nas Equações (4.1), e consierano que o eio e referência asse eo centróie a seção transversa, oe-se emonstrar que: one: A ( ) é a área a seção transversa; e I N (, ) N ( ) EA( ) ( ) M (, ) M ( ) EI ( ) ( ) (4.11) ( ) é o momento e inércia a seção transversa em torno o eio oca. A Figura 4.3 mostra a mesma viga a Figura 4., orém submetia a carregamentos istribuíos q e q e um eemento infinitesima e comrimento. Figura 4.3 Viga simesmente aoiaa submetia a carregamentos istribuíos no ano. A Figura 4.4 mostra o iagrama e coro ivre o eemento infinitesima submetio aos carregamentos eternos e aos esforços internos que estes carregamentos geram no eemento:

54 54 one: Figura 4.4 Eemento infinitesima e viga com carregamentos istribuíos no ano. N é o esforço norma na ireção o eio barra; oca, numa seção transversa e uma M é o momento fetor em torno o eio oca, numa seção transversa e uma barra; e Q é o esforço cortante na ireção o eio barra. oca, numa seção transversa e uma Do equiíbrio e transação o eemento e viga na ireção o eio, tem-se: N N q N N q Do equiíbrio e transação na ireção o eio, tem-se: Q Q q. Q Q q (4.1) (4.13) Do equiíbrio e rotação em torno e um eio araeo a, assano ea etremiae esquera o eemento, tem-se: M M M M ( Q Q ) q Q one se esrea o termo quaquer ossíve contribuição e q. q 4.14), or ser infinitésimo e orem suerior, assim como Na teoria e Euer-Bernoui, or não haver eformação e cisahamento transversa, é comum eiminar Q as Equações (4.13) e (4.14). Substituino-se a Equação (4.14) na Equação (4.13) e aina consierano a Equação (4.1), obtém-se as seguintes equações e equiíbrio:

55 55 N ( ) M ( ) q q (4.15) Assim, as Equações (4.6) e sua substitutiva, a Equação (4.7), a Equação (4.9) e sua substitutiva, a Equação (4.11), as Equações (4.1), (4.13) e (4.14), e sua substitutiva, as Equações (4.15), são as equações eformação-esocamento, constitutivas e e equiíbrio, resectivamente, constituino-se nas equações no níve a seção e um robema a teoria a easticiae. As eformações generaiaas a seção eressas na Equação (4.7) oem ser coocaas na forma matricia como: one: D ( ) ( ) ( ) e órtico ano; ( ) U ( ) (4.16) e D D é o vetor e eformações generaiaas e uma seção e um eemento D é um oeraor iferencia ara eementos e órtico ano utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui; e U e D ( ) u ( ) v ( ) é o vetor e esocamentos e um onto e uma seção e um eemento e órtico ano no seu eio e referência. Escreveno-se a Equação (4.11) em forma matricia e consierano-se seção transversa constante, tem-se: one: S D ( ) N ( ) M ( ) S ( ) k ( ) (4.17) s D D D é o vetor e esforços ou forças internas e uma seção e um eemento e órtico ano; e k s D EA EI é a matri e rigie e seção transversa e um eemento e órtico ano no sistema oca.

56 56 Substituino-se a Equação (4.16) na Equação (4.17) e, em seguia, esta nas Equações (4.15), e consierano-se o caso articuar em que q e tem-se: ( EAu( )) u( ) ( EI v ( )) v ( ) 4 4 q são iguais a ero, (4.18) Integrano a rimeira as Equações (4.18) vees e a seguna as Equações (4.18) 4 vees, tem-se: u( ) a a 1 3 v () b b1 b b3 (4.19) one a, a 1, b, b 1, b, b 3 são constantes e integração a serem eterminaas meiante as conições e contorno o robema. one: X ( ) As Equações (4.19) oem ser organiaas em forma matricia: 1 D 3 1 U ( ) X ( ) (4.) e D D D e 4.1 Formuação o Eemento e órtico ano, utiiano-se a D teoria e vigas e Euer-Bernoui, com ineariae geométrica A Figura 4.5 mostra um eemento etraío e um órtico ano quaquer que sofreu eformação, com suas comonentes e forças e esocamentos noais, em reação ao sistema e coorenaas cartesianas oca este eemento. a a b b b b

57 57 Figura 4.5 Desocamentos e forças noais ocais e um eemento e barra no ano. Teno em vista que os esocamentos e forças noais são efinios em reação ao eio e referência, o camo e esocamentos u e u a teoria e vigas e Euer- Bernoui é simificao ara as seguintes reações: maneira: v ( ) u(,) u( ) u( ) u (,) v ( ) (4.1) Dessa forma, oe-se efinir as conições e contorno geométricas a seguinte u() 1 u() 4 v () v () 5 v () 3 v () 6 (4.) Vaeno-se as Equações (4.19) e as Equações (4.), tem-se: u() 1 a a 1 u() 4 a a1 v () b b b b v () b b b b one: D v b b b () v b b b (4.3) ( ) As Equações (4.3) oem ser escritas em forma matricia: G (4.4) D D D é o vetor e esocamentos noais e um eemento e órtico ano no sistema oca e coorenaas; e

58 58 G D A Equação (4.4) oe ser escrita a seguinte forma: one: G (4.5) 1 D D D Substituino-se a Equação (4.5) na Equação (4.), tem-se: U ( ) X ( ) G U ( ) N ( ) (4.6) e 1 e D D D D D D D N ( ) X ( ) G é a matri e funções e forma o eemento e órtico ano, que 1 D D D e ermite a eterminação os esocamentos U () no interior o eemento, a artir os esocamentos noais D o eemento (no sistema oca e coorenaas). Desenvoveno a Equação (4.6), a matri as funções e forma o eemento e órtico ano, utiiano-se a teoria e Euer-Bernoui e consierano equenos esocamentos, é aa or: 1 N ( ) D D (4.7) Substituino-se a Equação (4.6) na Equação (4.16), tem-se: ( ) U ( ) ( N ( ) ) ( N ( )) e D D D D D D D D D one: ( ) B ( ) D D D (4.8) 1/ 1/ B D ( ) é a matri que reaciona as eformações generaiaas na seção transversa com os esocamentos noais o eemento e órtico ano no sistema oca.

59 59 4. Matries o eemento no sistema oca As conições e contorno mecânicas o eemento a Figura 4.5 são aas or: M () Q () N () 1 N () 4 M () Q () M () 3 M () 6 (4.9) Consieremos agora o mesmo eemento a Figura 4.5, orém submetio a cargas eternas istribuías q e como a viga a Figura 4.3. q (com vaores no sistema oca e coorenaas), ta As equações e equiíbrio, Equações (4.15), e as conições e contorno mecânicas, Equações (4.9), oem ser eressas numa forma integra usano o rincíio os esocamentos virtuais. As emais equações a mecânica os sóios (reações eformação-esocamento, equações constitutivas e conições e contorno geométricas) acham também formas integrais equivaentes em outros rincíios (Washiu, 1975; Pike e Wunerich, 1994; Re,, au Lucena Neto, 7). Otar eo rincíio os esocamentos virtuais em ugar e (4.15) e (4.9) não é equivaente. O uso o rincíio é tão crucia na formuação e soução e robemas que a sua ausência traria sérias imitações à mecânica as estruturas (Lucena Neto, 7). As equações e equiíbrio a forma eressa na Equação (4.15) é chamaa e forma forte as equações e equiíbrio e um eemento e viga e Euer-Bernoui. A forma fraca essas equações e equiíbrio é aa or: 5 one: N ( ) M ( ) {[ q( )] u( ) [ q ( )] ( )} v ue ( ) v ( ) são funções e oneração. (4.3) Reaiano a integração or artes a Equação (4.3) e efinino ( ) u( ), ( ) ( ) v, u() 1, u() 4, v (), v () 5, 3 6 v (), v () 6, tem-se: [ q ( ) u( ) q ( ) v ( )] [ N ( ) ( ) M ( ) ( )] (4.31) i i i 1 Escreveno-se a Equação (4.31) em forma matricia, tem-se:

60 6 T e T T D D D D D D [ U ( ) q ( )] [ ( ) S ( )] (4.3) one: D órtico ano no sistema oca; D oca; é o vetor e esocamentos noais virtuais e um eemento e é o vetor e forças noais e um eemento e órtico ano no sistema U e D ( ) u ( ) v ( ) é o vetor e esocamentos virtuais e uma seção e um eemento e órtico ano no seu eio e referência; e q D ( ) q ( ) q ( ) é o vetor e carregamentos istribuíos sobre um eemento e órtico ano. Esteneno a iéia e esocamentos virtuais ara a equação (4.8), tem-se que: ( ) B ( ) (4.33) D D D Vaeno-se as Equações (4.17), (4.6), (4.8) e (4.33), a Equação (4.3) oe ser escrita: T T T D D D D D [ N ( ) q ( )] T T s D D D D D [ B ( ) k B ( ) ] (4.34) Como D é constante e ineene e, tem-se: T T T s D D D D D D D D { N ( ) q ( ) [ B ( ) k B ( ) ] } (4.35) T Como D é arbitrário, tem-se:

61 61 em que: k eq (4.36) D D D D T s D D D D k B ( ) k B ( ) (4.37) T D D D eq N ( ) q ( ) (4.38) one: k é a matri e rigie e um eemento e órtico ano no sistema oca; e D eq é o vetor e forças noais equivaentes às cargas istribuías num eemento e D órtico ano no sistema oca. caso estático. A Equação (4.36) reresenta o equiíbrio o eemento e órtico ano ara o Consierano que o eemento e órtico ano está em movimento aceerao (com equenos esocamentos), oe-se mostrar que as equações iferenciais e movimento em termos as variáveis noais são aas or (Battista, 1995, au Correa, 3): em que: m ( t) c ( t) k ( t) f ( t ) (4.39) D D D D D D D T s D D D D m N ( ) m ( ) N ( ) (4.4) c m k (4.41) D D D s m D ( ) (4.4) one: m é a matri e massa consistente o eemento e órtico ano no sistema oca; D c é a matri e amortecimento o eemento e órtico ano no sistema oca, a qua é D aqui concebia como roorciona à matri e massa e/ou rigie (amortecimento e Raeigh); e são termos que eenem o fator e amortecimento e e uas freqüências naturais e vibração a estrutura; s m ( ) D é a matri e massa a secção e um eemento e órtico ano no sistema oca;

62 6 é o escaar a massa or uniae e comrimento e um eemento e barra; D() t é o vetor e esocamentos noais e um eemento e órtico ano no sistema oca e coorenaas (eenente o temo); D () t é o vetor e veociaes noais e um eemento e órtico ano no sistema oca e coorenaas (eenente o temo); D () t é o vetor e aceerações noais e um eemento e órtico ano no sistema oca e coorenaas (eenente o temo); e f D() t é o vetor e forças eternas e um eemento e órtico ano no sistema oca (eenente o temo). A matri e rigie e um eemento e órtico ano no sistema oca, utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui com ineariae geométrica (equenos esocamentos), é aa or: k D EA EA 1EI 6EI 1EI 6EI 6EI 4EI 6EI EI EA EA 1EI 6EI 1EI 6EI 6EI EI 6EI 4EI (4.43) A matri e massa consistente e um eemento e órtico ano no sistema oca, utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui, é aa or:

63 63 m D (4.44) 4.3 Matries o eemento no sistema goba As matries aresentaas na seção anterior foram formuaas em reação a um sistema e coorenaas cujo eio coincie com o eio o rório eemento. Entretanto, a fim e reaiar-se a anáise e órticos anos eo métoo a rigie ireta eve-se conceber outro sistema e coorenaas, enominao sistema goba, comum a toos os eementos a estrutura. A Figura 4.6 aresenta os sistemas, oca e goba, e coorenaas ara o eemento e órtico ano, inicano os esocamentos noais em reação a estes ois sistemas: Figura 4.6 Desocamentos e forças noais no sistema oca e goba o eemento e órtico ano. A artir a Figura 4.6 e emregano reações trigonométricas eementares se g obtém as eressões que reacionam as forças no sistema goba D com as forças no sistema oca D :

64 64 one: 1 g 1 cos sin g 1 sin cos 3g 3 4 g 4 cos 5 sin 5g 4 sin 5 cos 6g 6 (4.45) é o ânguo formao entre o eio goba e o eio oca que estão inicaos na Figura 4.6 eo vetor 1g e 1, resectivamente. Estas equações oem ser escritas em forma matricia: one: R D R (4.46) g T D D D cos sin sin cos 1 cos sin é a matri e rotação biimensiona o sin cos 1 sistema goba ara o sistema oca e coorenaas. Poe-se verificar que esta matri é ortogona, ou seja, R R. Dessa forma: 1 T D D vees, tem-se: R (4.47) g D D D De forma anáoga, obtém-se as seguintes reações ara os esocamentos: g T g D R D D D D D R (4.48) Derivano a seguna as Equações (4.48) em reação ao temo uma e uas g g D R D D D D D R (4.49) Substituino-se as Equações (4.49), a seguna as Equações (4.48) e a Equação (4.47) na Equação (4.39) e mutiicano toos os termos a Equação (4.39) or chega-se à equação gera: T R, em que: m ( t) c ( t) k ( t) f ( t ) (4.5) g g g g g g g D D D D D D D m R m R (4.51) g T g D D D D c R c R (4.5) g T g D D D D k R k R (4.53) g T g D D D D m é a matri e massa consistente e um eemento e órtico ano no sistema g D goba;

65 65 c é a matri e amortecimento e um eemento e órtico ano no sistema goba; g D k é a matri e rigie e um eemento e órtico ano no sistema goba; e g D g f D() t é o vetor e forças eternas e um eemento e órtico ano no sistema goba (eenente o temo). 4.4 Matries a estrutura A obtenção a matri e massa, amortecimento e rigie a estrutura ecorre a reação o vetor e esocamentos a estrutura com o vetor e esocamentos os eementos em reação ao sistema goba. Para isto, evem ser consieraos os graus e iberae o eemento e a estrutura conforme Figura 4.7. Figura 4.7 Desocamentos gobais no ano, e um eemento e a estrutura. Para reacionar os esocamentos gobais a barra com os esocamentos a estrutura, oe-se usar uma matri e comatibiiae e esocamentos H formaa or eros e uns, que ermite obter o vetor e esocamentos gobais e um eemento a artir os esocamentos a estrutura D, e ta moo que o número e inhas a g D matri H é igua ao número e graus e iberae o eemento e barra e o número e counas é igua ao número e graus e iberae a estrutura: HD (4.54) g D Derivano-se a Equação (4.54) em reação ao temo uma e uas vees, tem-se: g g D HD D HD (4.55) Utiiano-se o rincíio os esocamentos virtuais mais uma ve ara o caso estático, tem-se que o trabaho virtua eterno e o interno a estrutura são iguais e aos or:

66 66 Wet T D P g T g W ( ) (4.56) int n i 1 i D i D one: P é o vetor e forças eternas a estrutura ana em coorenaas gobais; e n é o número e eementos e barra a estrutura. Substituino-se a Equação (4.54) na seguna as Equações (4.56), iguaano os trabahos virtuais, eterno e interno, e sabeno-se que os esocamentos evem ser arbitrários, ara que se cumra o rincíio os esocamentos virtuais, tem-se: et n n n T g T g T g T T g int ( ) ( ) ( ) i D 1 i 1 i i i D i i D i 1 i D W D P W H D D H n g T T T T T T D P D ( H ) D P D ( H ) i 1 i i i D i 1 i D n T T g T g D [ P ( H ) ] P ( H ) (4.57) i 1 i i i D i 1 i D Utiiano-se a Equação (4.5) ara o i-ésimo eemento a estrutura, sem faer referência à variáve ineenente temo, e substituino-se nea as Equações (4.54) e (4.55), tem-se: g g g g i D i i D i i D i i D n n m H D c H D k H D (4.58) Mutiicano-se a Equação (4.58) or ( H ) T e, em seguia, aicano-se somatório ara toos os eementos a estrutura, tem-se: n n n n g g g g ( H ) T m H D ( H ) T c H D ( H ) T k H D ( H ) T (4.59) i i D i i i D i i i D i i i 1 i 1 i 1 i 1 i D Substituino-se a Equação (4.57) na Equação (4.59), chega-se à seguinte equação gera: i g em que: MeD( t) CeD( t) KeD( t) P( t ) (4.6) n T g M ( H ) m H (4.61) e i 1 n i 1 i i D i D i T g C ( H ) c H (4.6) e n i 1 i g i D i T K ( H ) k H (4.63) e i i

67 67 one: M e é a matri e massa consistente a estrutura; C e é a matri e amortecimento a estrutura; K e é a matri e rigie a estrutura; Dt () é o vetor e esocamentos noais a estrutura (eenente o temo); Dt () é o vetor e veociaes noais a estrutura (eenente o temo); Dt () é o vetor e aceerações noais a estrutura (eenente o temo); e Pt () é o vetor e forças eternas na estrutura (eenente o temo).

68 68 5 Moeagem a onte em 3D A onte em três imensões oe ser escrita, or eemo, como uas vigas simesmente aoiaas conectaas entre si em caa onto noa or outros eementos e barra, conforme Figura 5.1. Figura 5.1- Moeo triimensiona e onte ferroviária. Os esenvovimentos anaíticos seguintes aicam-se a quaquer moeo e barras triimensiona. Os aoios a esquera são consieraos como e seguno gênero e os a ireita e rimeiro gênero. Em termos ráticos, oer-se-ia consierar que os quatro aoios são e seguno gênero, ois é suosto que o veícuo não aica esforços na estrutura na ireção o eio, o que é uma simificação. No caso a onte 3D também será utiiaa a teoria e vigas e Euer-Bernoui. Sejam u, u e u as comonentes o esocamento e um onto quaquer a estrutura a Figura 5.1, referias ao sistema e coorenaas cartesianas iscriminao. É ossíve mostrar que as comonentes a eformação este onto são aas eas Equações (4.1), conforme já escrito no Caítuo 4: A hiótese e Euer-Bernoui amite que uma seção ana e norma ao eio a viga antes a eformação ermanece aós a eformação: 1. ana;. norma ao eio eformao; e 3. ineformaa (seção infinitamente rígia) (Lucena Neto, 9). Anaogamente ao caso no ano, oe-se emonstrar que o camo e esocamentos ara a teoria e vigas e Euer-Bernoui no esaço é ao eas Equações (5.1). Poe-se efinir as rotações em torno os três eios cartesianos, e, seno que na teoria e vigas e Euer-Bernoui a única rotação ineenente e u, v e w é a rotação em torno o eio. v( ) w( ) u(,, ) u( )

69 69 one: u (,, ) v ( ) ( ) u (,, ) w ( ) ( ) (,, ) ( ) (5.1) u ( ) é o esocamento e um onto e uma barra na ireção o seu eio aia (eio oca), ocaiao sobre a inha neutra; v ( ) é o esocamento e um onto e uma barra na ireção o eio oca, ocaiao sobre a inha neutra; w ( ) é o esocamento e um onto e uma barra na ireção o eio oca, ocaiao sobre a inha neutra; e ( ) é a rotação e um onto e uma barra em torno o seu eio aia (eio oca). Assim, o camo e eformações na teoria e vigas e Euer-Bernoui (no esaço) é ao or (reações eformação-esocamento): u u( ) v ( ) w ( ) u u u u u u u v ( ) v ( ) ( ) ( ) w ( ) w ( ) ( ) ( ) u ( ) ( ) (5.) As eformações, e oem ser escritas a seguinte forma: one: (,, ) ( ) ( ) ( ) (,, ) ( ) (,, ) ( ) (5.3) ( ) ( ) u é a eformação aia no eio e referência e uma seção transversa e uma barra; ( ) w ( ) é a curvatura em torno o eio oca e uma seção transversa e uma barra; ( ) v ( ) é a curvatura em torno o eio oca e uma seção transversa e uma barra;

70 7 ( ) ( ) é a rotação or uniae e comrimento em torno o eio oca; e,, e são as eformações generaiaas a seção transversa, ois não variam em e em. Consierano que o materia a onte seja homogêneo, isotróico e eástico inear, a única comonente não nua e eformação aia na teoria e vigas e Euer- Bernoui se reaciona com as comonentes e tensão e acoro com a Equação (4.8), conforme já escrito no Caítuo 4: one: 1 [ ( )] E é a comonente e eformação no ano cuja norma é o eio oca na ireção o mesmo eio; é a comonente e tensão no ano cuja norma é o eio oca na ireção o mesmo eio; é a comonente e tensão no ano cuja norma é o eio oca na ireção o mesmo eio; é a comonente e tensão no ano cuja norma é o eio oca na ireção o mesmo eio; E é o móuo e easticiae ongituina o materia; e é o coeficiente e Poisson o materia. Desreano-se na Equação (4.8) as comonentes e em reação à contribuição a comonente Caítuo 4: one:, tem-se a Equação (4.9), conforme já escrito no As uas outras reações constitutivas não nuas são e cisahamento e aas or: G G (5.4) é a comonente e tensão no ano cuja norma é o eio oca e na ireção o eio oca; é a comonente e tensão no ano cuja norma é o eio oca e na ireção o eio oca; e

71 71 E G é o móuo e eformação e cisahamento transversa o materia. (1 ) A tensão, que atua em caa onto a seção transversa a viga (cuja norma é o eio ), oe, na teoria e vigas e Euer-Bernoui, ser associaas a um esforço norma e ois momentos fetores: N (,, ) A M (,, ) A M (,, ) A (5.5) Substituino-se a rimeira as Equações (5.3) na Equação (4.9) e, em seguia, esta nas Equações (5.5), e consierano que o eio e referência asse eo centróie a seção transversa, oe-se emonstrar que: one: A ( ) é a área a seção transversa; N (,, ) N ( ) EA( ) ( ) M (,, ) M ( ) EI ( ) ( ) M (,, ) M ( ) EI ( ) ( ) (5.6) I ( ) é o momento e inércia a seção transversa em torno o o eio oca; e I ( ) é o momento e inércia a seção transversa em torno o eio oca. As comonentes e tensão e ão origem no tota a ois esforços e cisahamento e um e torção. Os esforços e cisahamento são, or efinição, nuos na teoria e vigas e Euer-Benoui e, ortanto, o único esforço não nuo é o e torção, o qua é ao or: T (,, ) ( ) A (5.7) Substituino-se a seguna e a terceira as Equações (5.3) nas Equação (5.4) e, em seguia, esta na Equação (5.7), tem-se: T G A (5.8) (,, ) ( )( ) No caso e seções transversais circuares ou aneares, a torção torna-se constante ao ongo e uma mesma secção transversa: one: T G r A GJ (5.9) ( ) ( ) ( )

72 7 J r A é o momento e inércia oar a secção transversa circuar ou anear e uma viga. Timoshenko (1936) aresenta uma eressão anaítica ara o cácuo o momento e inércia oar, no caso e seções retanguares. A Figura 5. mostra um eemento o órtico esacia a Figura 5.1, orém submetio a carregamentos istribuíos q, q, q e comrimento. m e um eemento infinitesima e Figura 5. Eemento finito e órtico esacia submetio a carregamentos istribuíos. A Figura 5.3 mostra o iagrama e coro ivre o eemento infinitesima submetio aos carregamentos eternos e aos esforços internos que estes carregamentos geram no eemento: one: Figura 5.3 Eemento infinitesima e órtico esacia com carregamentos istribuíos. N é o esforço norma na ireção o eio barra; Q é o esforço cortante na ireção o eio barra. oca, numa seção transversa e uma oca, numa seção transversa e uma

73 73 Q é o esforço cortante na ireção o eio oca, numa seção transversa e uma barra; M é o momento fetor em torno o eio oca, numa seção transversa e uma barra; M é o momento fetor em torno o eio oca, numa seção transversa e uma barra; e T é o momento torsor em torno o eio oca, numa seção transversa e uma barra. Do equiíbrio e transação o eemento e viga na ireção os eios, e, oe-se emonstrar que: N q Q q Q q (5.1) Do equiíbrio e rotação em torno e eios araeos aos eios, e, oese emonstrar também que: T one se esrea os termos m q e M Q assim como quaquer ossíve contribuição e q. q M Q (5.11), or ser infinitésimo e orem suerior, Na teoria e Euer-Bernoui, or não haver eformação e cisahamento transversa, é comum eiminar Q e Q as Equações (5.1) e (5.11). Substituino-se, a seguna e a terceira as Equações (5.11) nas Equações (5.1), obtém-se as seguintes equações e equiíbrio: N q M q M q T m (5.1) Assim, as Equações (5.) e sua substitutiva, as Equações (5.3), as Equações (4.9) e (5.4) e suas substitutivas, as Equações (5.6) e (5.9), as Equações (5.1) e (5.11) e suas substitutivas, as Equações (5.1), são as equações eformação-esocamento, constitutivas e e equiíbrio, resectivamente, constituino-se nas equações a níve a seção e um robema a teoria a easticiae. As eformações generaiaas a seção eressas na Equação (5.3) oem ser coocaas na forma matricia como: one: ( ) U ( ) (5.13) e 3D 3D

74 74 3D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) é o vetor e eformações generaiaas e uma seção e um eemento e órtico esacia; 3D é um oeraor iferencia ara eementos e órtico esacia utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui; U e 3D ( ) u ( ) v ( ) w ( ) ( ) é o vetor e esocamentos e uma seção e um eemento e órtico esacia no seu eio e referência. Escreveno-se as Equações (5.6) e (5.9) em forma matricia e consierano-se seção transversa constante, tem-se: one: S 3D ( ) N ( ) M ( ) M ( ) T ( ) eemento e órtico esacia; e S ( ) k ( ) (5.14) s 3D 3D 3D é o vetor e esforços ou forças internas e uma seção e um k s 3D EA EI EI GJ é a matri e rigie e seção transversa e um eemento e órtico esacia. Substituino-se a Equação (5.13) na Equação (5.14) e, em seguia, esta nas Equações (5.1), e consierano-se o caso articuar em que q, q, q e a ero: ( EAu( )) u( ) m são iguais

75 75 ( EI v ( )) v ( ) 4 4 ( EI w ( )) w ( ) 4 4 ( GJ ( )) ( ) (5.15) Integrano a rimeira e a quarta as Equações (5.15) uas vees, a seguna e a terceira as Equações (5.15) quatro vees, tem-se: u( ) a a 1 v () b b b b w () c c c c ( ) h h (5.16) 1 one a, a 1, b, b 1, b, b 3, c, c 1, c, c 3, h e h 1 são 1 constantes e integração a serem eterminaas meiante as conições e contorno o robema. one:. X ( ) As Equações (5.16) oem ser organiaas em forma matricia: U ( ) X ( ) (5.17) e 3D 3D 3D D e 3D a a b b b b c c c c h h

76 Formuação o Eemento e órtico esacia, utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui, com ineariae geométrica A Figura 5.4 mostra um eemento etraío e um órtico esacia quaquer que sofreu eformação, com suas comonentes e forças e esocamentos noais, em reação ao sistema e coorenaas cartesianas oca este eemento. Figura 5.4 Desocamentos e forças noais ocais e um eemento e barra no esaço. Teno em vista que os esocamentos e forças noais são efinios em reação ao eio e referência, o camo e esocamentos u, Euer-Bernoui é simificao ara as seguintes reações: maneira: v( ) w( ) u(,,) u( ) u( ) u(,,) v( ) ( ) v( ) u (,,) w ( ) ( ) w ( ) u e u a teoria e vigas e (,,) ( ) (5.18) Dessa forma, oe-se efinir as conições e contorno cinemáticas a seguinte u() 1 u() 7 v () v () 8 w() 3 w () 9 () 4 () w w () 11 v () 6 v () 1 (5.19) () 1 5 Vaeno-se as Equações (5.16) e as Equações (5.19), tem-se: u() 1 a a 1 u() 7 a a1 v () b b b b v () b b b b w () c c c c w () c c c c () 4 h h 1 () 1 h h w c c c () w ( ) 3 11 c1 c c3

77 77 v b b b () v b b b (5.) ( ) As Equações (5.) oem ser escritas em forma matricia: one: G3 D G (5.1) 3D 3D 3D D D é o vetor e esocamentos noais e um eemento e órtico esacia no sistema oca e coorenaas. one: A Equação (5.1) oe ser escrita a seguinte forma: G (5.) 1 3D 3D 3D Substituino-se a Equação (5.) na Equação (5.17), tem-se: 1 3D 3D 3D U ( ) X ( ) G U ( ) N ( ) (5.3) e 1 e 3D 3D 3D 3D 3D 3D 3D N ( ) X ( ) G é a matri e funções e forma o eemento e órtico esacia, e que ermite a eterminação os esocamentos U ( ) 3 no interior o eemento, a artir os esocamentos noais o eemento (no sistema oca e coorenaas). D Reaiano-se a mutiicação as matries X ( ) 3 e D G 1 3D, etermina-se então a matri as funções e forma o eemento e órtico esacia N ( ) 3, utiiano-se a teoria e Euer-Bernoui e consierano equenos esocamentos. Substituino-se a Equação (5.3) na Equação (5.13), tem-se: ( ) U ( ) ( N ( ) ) ( N ( )) e 3D 3D 3D 3D 3D 3D 3D 3D 3D ( ) B ( ) 3D 3D 3D D (5.4)

78 78 one: B ( ) N ( ) é a matri que reaciona as eformações generaiaas na seção 3D 3D 3D transversa com os esocamentos noais o eemento e órtico esacia no sistema oca. 5. Matries o eemento no sistema oca As conições e contorno estáticas o eemento a Figura 5.4 são aas or: M () Q () Q () M N () 1 N () 7 () 3 M () Q () Q () T () 4 T () 1 M () 9 8 M () 5 M () 11 M () 6 M () 1 (5.5) Consiera-se agora o mesmo eemento a Figura 5.4, orém submetio cargas eternas istribuías q, q, q e ta como o eemento a Figura 5.. m (com vaores no sistema oca e coorenaas), Da mesma forma como no caso no ano, as equações e equiíbrio, Equações (5.1) e as conições e contorno estáticas, Equações (5.5), oem ser eressas numa forma integra usano o rincíio os esocamentos virtuais. As equações e equiíbrio a forma eressa nas Equações (5.1) é chamaa e forma forte as equações e equiíbrio e um eemento e viga e Euer-Bernoui. A forma fraca essas equações e equiíbrio é aa or: one: ( ) M ( ) M ( ) ( ) N T q ( ) u( ) q ( ) v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q w m u, ( ) v ( ), w ( ) e ( ) são funções e oneração. (5.6) Reaiano integração or artes a Equação (5.6) e efinino ( ) u( ), ( ) v( ), ( ) w( ), ( ) ( ), u() 1, u() 7, v (), v () 8, w () 3, w () 9, () 4, () 1, w () 5, () 11 w, v () 6, v () 1, tem-se:

79 79 1. [ q ( ). u( ) q ( ). v ( ) q ( ). w ( ) m ( ). ( )] i i i 1 L [ N ( ) ( ) M ( ) ( ) M ( ) ( ) T ( ) ( )] (5.7) Escreveno-se a Equação (5.7) em forma matricia, tem-se: one: T e T T 3D 3D 3D 3D 3D 3D [ U ( ) q ( )] [ ( ) S ( )] (5.8) 3D ; 3D U e ; 3D ( ) u ( ) v ( ) w ( ) ( ) e q3d ( ) q ( ) q ( ) q ( ) m ( ) é o vetor e esocamentos noais virtuais e um eemento e órtico esacia no 3D sistema oca; 3D é o vetor e forças noais e um eemento e órtico esacia no sistema oca e U () 3 D é o vetor e esocamentos virtuais e um eemento e órtico esacia no sistema oca; e q3 D ( ) é o vetor e carregamentos istribuíos sobre um eemento e órtico esacia. ser escrita: Esteneno a iéia e esocamentos virtuais ara a Equação (5.4), tem-se que: ( ) B ( ) (5.9) 3D 3D 3D Vaeno-se as Equações (5.14), (5.3), (5.4) e (5.3), a Equação (5.8) oe

80 8 T T T 3D 3D 3D 3D 3D [ N ( ) q ( )] T T s 3D 3D 3D 3D 3D [ B ( ) k B ( ) ] (5.3) Como 3D é constante e ineene e : T T T s 3D 3D 3D 3D 3D 3D 3D 3D { N ( ) q ( ) [ B ( ) k B ( ) ] } (5.31) Como 3D é arbitrário: T em que: k eq (5.3) 3D 3D 3D 3D T s 3D 3D 3D 3D k B ( ) k B ( ) (5.33) T 3D 3D 3D eq N ( ) q ( ) (5.34) k é a matri e rigie e um eemento e órtico esacia no sistema oca; 3D eq é o vetor e forças noais equivaentes às cargas istribuías num eemento e 3D órtico esacia no sistema oca. caso estático. A Equação (5.3) reresenta o equiíbrio o eemento e órtico esacia ara o Consierano que o eemento e órtico esacia está em movimento aceerao (com equenos esocamentos), oe-se mostrar que as equações iferenciais e movimento em termos as variáveis noais são aas or (Battista, 1995, au Correa, 3): em que: m ( t) c ( t) k ( t) f ( t ) (5.35) 3D 3D 3D 3D 3D 3D 3D T s 3D 3D 3D 3D m N ( ) m ( ) N ( ) (5.36) c m k (5.37) 3D 3D 3D m s 3D ( ) J o A (5.38)

81 81 one: m é a matri e massa consistente o eemento e órtico esacia no sistema oca; 3D c é a matri e amortecimento o eemento e órtico esacia no sistema oca, a 3D qua geramente é concebia como roorciona à matri e massa e/ou rigie; e são termos que eenem o fator e amortecimento e e uas freqüências naturais e vibração a estrutura; s m ( ) 3 D é a matri e massa a secção e um eemento e órtico esacia no sistema oca; é o escaar a massa or uniae e comrimento e um eemento e barra; Jo I I ; A é a área a seção transversa; () 3 D t é o vetor e esocamentos noais e um eemento e órtico esacia no sistema oca e coorenaas (eenente o temo); 3 D () t é o vetor e veociaes noais e um eemento e órtico esacia no sistema oca e coorenaas (eenente o temo); 3 D () t é o vetor e aceerações noais e um eemento e órtico esacia no sistema oca e coorenaas (eenente o temo); e f () 3 D t é o vetor e forças eternas e um eemento e órtico esacia no sistema oca (eenente o temo). A matri e rigie e um eemento e órtico esacia no sistema oca, utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui com ineariae geométrica (equenos esocamentos), é aa or: k 3D k k k k k k 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 1 1 k k k k k 1 k k k 3 44 k k k k k k (5.38)

82 8 one: k 11 EA 1EI ; k 3 1EI ; k33 3 6EI 6EI k1 ; k 1 ; k 3 EI ; k44 ; e k3 GJ EI ; k55. 4EI ; k66 4EI A matri e massa consistente e um eemento e órtico esacia no sistema oca, utiiano-se a teoria e vigas e Euer-Bernoui, é aa or: m 3D one: m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m 3 m m m m m m m m m m (5.39) ; 3 m 11 ; 11 1 m 1 ; 1 13 m ; m m ; m J o 3A ; m 44 ; ; e 3 m Matries o eemento no sistema goba As matries aresentaas na seção anterior foram formuaas em reação a um sistema e coorenaas cujo eio coincie com o eio o rório eemento. Entretanto, a fim e reaiar-se a anáise e órticos esaciais eo métoo a rigie ireta eve-se conceber outro sistema e coorenaas, enominao sistema goba, comum a toos os eementos a estrutura. A Figura 5.5 aresenta os sistemas, oca e goba, e coorenaas ara o eemento e órtico esacia, inicano os esocamentos noais em reação a estes ois sistemas:

83 83 Figura 5.5 Desocamentos e forças noais no sistema oca e goba o eemento e órtico esacia. A artir o i-ésimo eemento escrito no sistema oca, efine-se um vetor v (em coorenaas gobais) contio no ano e não araeo a, o qua everá ser efinio eo usuário a rotina comutaciona e cácuo as matries e rigie, massa e amortecimento a estrutura. Poe-se mostrar que o sistema (, e ) será efinio através as osições em coorenaas gobais os nós I e J, e as comonentes gobais o vetor v que efine o ano. Poe-se mostrar também que a reação entre os esocamentos ocais (ou forças ocais) atuantes sobre um eemento e órtico esacia e os esocamentos gobais (ou forças gobais) é aa or: one: g g 3D R3 D 3D 3D 3D 3D R (5.41)

84 84 g 3D 1g g 3g 4g 5g 6g 7 g 8g 9g 1g 11g 1g g 3D 1g g 3g 4g 5g 6g 7 g 8g 9g 1g 11g 1g é o vetor e esocamentos noais e um eemento e órtico esacia no sistema g 3D goba e coorenaas; é o vetor e esocamentos noais e um eemento e órtico esacia no sistema g 3D goba; e R 3D é a matri e rotação triimensiona o sistema goba ara o sistema oca e coorenaas. A matri R 3D é aa or: R 3D A A A A (5.4) one: A 33 é a matri quaraa 3 3 em que caa inha reresenta um os vetores base o sistema oca (, e ) eresso em coorenaas o sistema goba g, g e g ; 3 3é a matri nua quaraa 3 3. Poe-se verificar que, assim como no caso no ano, a matri e rotação R 3D é ortogona, ou seja, R R. Nesse sentio: 1 T 3D 3D g T g T 3D R 3D 3D 3D R (5.43) Derivano-se a rimeira as Equações (5.39) com reação ao temo uma e uas vees, tem-se:

85 85 g g 3D R3D 3D 3D R (5.44) Substituino-se as Equações (5.43) e (5.44) na Equação (5.35) e mutiicanose toos os termos a Equação (5.35) or R T 3D, chega-se à equação gera: em que: m ( t) c ( t) k ( t) f ( t ) (5.45) g g g g g g g 3D 3D 3D 3D 3D 3D 3D m R m R (5.46) g T 3D 3D 3D 3D c R c R (5.47) g T 3D 3D 3D 3D k R k R (5.48) g T 3D 3D 3D 3D one: m é a matri e massa consistente e um eemento e órtico esacia no sistema g 3D goba; c é a matri e amortecimento e um eemento e órtico esacia no sistema goba; g 3D k é a matri e rigie e um eemento e órtico esacia no sistema goba; g 3D g f () 3 D t é o vetor e forças eternas e um eemento e órtico esacia no sistema goba (eenente o temo). 5.4 Matries a estrutura A obtenção a matri e massa, amortecimento e rigie a estrutura esacia também ecorre a reação o vetor e esocamentos a estrutura com o vetor e esocamentos os eementos em reação ao sistema goba, como foi mostrao ara o caso ano. Para isto, evem ser consieraos os graus e iberae o eemento e a estrutura conforme Figura 5.6.

86 86 Figura 5.6 Desocamentos gobais no esaço, e um eemento e a estrutura. Dessa forma, obtém-se equação e equiíbrio ara a estrutura triimensiona e forma iêntica àquea eterminaa no Caítuo 4: MeD( t) CeD( t) KeD( t) P( t ) (5.49)

87 87 6 Moeagem o sistema veícuo-estrutura Neste caítuo, eõe-se a metooogia ara a construção a equação iferencia que rege o movimento o sistema veícuo-estrutura, bem como se fa menção aos métoos utiiaos ara eterminar as frequências funamentais e vibração a estrutura e ara resover numericamente a equação iferencia o sistema veícuoestrutura. A montagem a equação iferencia o sistema veícuo-estrutura é obtia a artir e um eemento e órtico esacia e Euer-Bernoui com uma roa e um veícuo e interação cometa acoao a esse eemento. eemento. Nas iscussões seguintes, fica imitaa a resença e aenas uma roa em caa Como o veícuo ferroviário é simétrico em reação ao seu eio ongituina, então uma roa e um roeiro o veícuo está em contato com um eemento e barra e assagem a carga e a outra roa este roeiro está acoaa a outro eemento e barra a mesma esécie o anterior. A força e contato f c entre uma roa e veícuo em movimento e um os eementos e assagem e carga oe ser eressa em termos a força estática e contato 1): em que: f w e a variação a força e contato c f, a seguinte forma (Cheng et a., fc fw f c (6.1) fw ( mr ms 4 mv 8) g (6.) one: m é a massa a roa em contato com o eemento e assagem e carga; r m 4 é a orção a massa o truque que é transmitia ao eemento através a roa; s m 8 é a orção a massa a caia o veícuo que é transmitia ao eemento através a v roa; e g é a aceeração evio à graviae. A equação e movimento vertica as massas acoaas e esacoaas, Equação (3.3), oe ser reescrita ara a situação com interação como (Romero, ):

88 88 M vv u C C u K K u v vv vr v vv vr v M u C C u K K u f rr r rv rr r rv rr r c (6.3) Assume-se que as fechas ara cima a estrutura são ositivas e que eas são meias a artir a sua osição e equiíbrio estático vertica. Um vetor N c e imensão 4 1 é efinio e ta forma que contenha as funções e interoação Hermitianas cúbicas ara o eemento e viga avaiao no onto e contato c, como segue (Cheng et a., 1): 1 3( ) ( ) 3 N c N( ) c 1 ( ) ( ) 3( ) ( ) 3 (6.4) ( ) ( ) c one é o comrimento o eemento e viga e assagem e carga. Seja rc ( ) o escaar e irreguariae ongituina e um eemento a estrutura e assagem e carga no onto e contato c, o qua é efinio como o esocamento ara cima ese o eio e referência este eemento. As equações e acoamento nos ontos e contato oem ser escritas ara veícuos sem aceeração (Cheng et a., 1): one: T ur Nc u r c u N u vn u vr T T r c c, c, u N u vn u v N u v r (6.5) T T T r c c, c, c, u é o vetor e esocamentos noais e um eemento a estrutura e assagem e carga; u é o vetor e veociaes noais e um eemento a estrutura e assagem e carga; u é o vetor e aceerações noais e um eemento a estrutura e assagem e carga; r c é o escaar e irreguariae no onto e contato e uma roa com um eemento estrutura e assagem e carga; r c, é o escaar a rimeira erivaa em reação a a irreguariae, no onto e contato e uma roa com um eemento estrutura e assagem e carga; r c, é o escaar a seguna erivaa em reação a a irreguariae, no onto e contato e uma roa com um eemento estrutura e assagem e carga;

89 89 N c, é o vetor a rimeira erivaa em reação a as funções Hermitianas cúbicas; N c, é o vetor a seguna erivaa em reação a as funções Hermitianas cúbicas; e v é a veociae o veícuo cuja roa está em contato com um eemento e assagem e carga. O eemento e viga e assagem e carga está sob a ação a força e contato f c com uma roa. A equação e movimento ara este eemento e viga oe ser assim eressa (Cheng et a., 1): one: mu( t) cu( t) ku( t) Nc f c (6.6) m é a matri e massa consistente o eemento a estrutura e assagem e carga no sistema oca; c é a matri e amortecimento o eemento a estrutura e assagem e carga no sistema oca; e k é a matri e rigie o eemento a estrutura e assagem e carga no sistema oca. Substituino-se as Equações (6.5) na Equação (6.3), tem-se uma eressão ara a variação a força e contato f c, a qua, juntamente com a Equação (6.1) oe ser substituía e vota na Equação (6.6), a fim e encontrar uma outra forma ara a equação e movimento o eemento e barra com interação. Nesta forma, os graus e iberae u r são eiminaos e a equação e movimento o eemento e barra com interação oe ser escrita em forma matricia como: m N M N u c N M vn N C N N C T T T c rr c c rr c, c rr c c rv T M vv uv Cvr Nc Cvv k N M v N N C vn N K N N K T T T c rr c, c rr c, c rr c c rv T T CvrvNc, Kvr Nc Kvv uv Nc fw Krrrc Crrvrc, Mrrv rc, C vr K r vr c, vr c u u u v (6.7) Se esconsierarmos a irreguariae ongituina o eemento e assagem a carga r c, esses termos esaarecem a Equação (6.7) e obtém-se:

90 9 m N M N u c N M vn N C N N C T T T c rr c c rr c, c rr c c rv T M vv uv Cvr Nc Cvv k N M v N N C vn N K N N K T T T c rr c, c rr c, c rr c c rv c w T T CvrvNc, Kvr Nc Kvv u v u N f u u v (6.8) Reete-se o roceimento anterior ara toas as roas e veícuo que estejam em contato com eementos e assagem e carga, seno que os graus e iberae as massas susensas e um mesmo veícuo aenas oem ser comutaos uma única ve. Processos e montagem convenciona oem ser emregaos ara formar a equação goba e movimento ara o sistema veícuo-estrutura, que tomará o seguinte formato: MU CU KU F (6.9) one: M é a matri e massa goba o sistema; C é a matri e amortecimento goba o sistema; K é a matri e rigie goba o sistema; e F é o vetor e carregamento goba o sistema. O métoo utiiao ara a resoução esta equação iferencia foi o e integração ireta e Newmark. Outrossim, a obtenção as freqüências naturais e vibração a estrutura é imresciníve, ois os coeficientes e oneração as matries e massa e rigie os eementos e órtico ano e esacia ( e ), ara a obtenção a matri e amortecimento, têm como base essas freqüências e o fator e amortecimento (vie Equações 4.41 e 5.37). O robema a ientificação as freqüências naturais e vibração e um eterminao sistema é resovio com base na anáise o movimento e vibrações ivres (com ecitação nua) e sem amortecimento. Neste sentio, a equação e equiíbrio inâmico a estrutura aota o seguinte formato (Chora, 1995): M D K D (6.1) Resover o robema e autovaor associao à matri e e K M significa encontrar as freqüências naturais e vibração esta estrutura. O cácuo estes autovaores foi reaiao através e uma rotina contia no rório software MatLab, escrita or eig( ). 1 e e

91 91 Aina e acoro com Chora (1995), os vaores e e são assim efinios (assumino-se iêntico fator e amortecimento ara toos os moos e vibração a estrutura): i j 1 (6.11) i j i j one: é o fator e amortecimento a estrutura; i j é a freqüência natura e vibração o i-ésimo moo; e é a freqüência natura e vibração o j-ésimo moo. 6.1 Irreguariae Longituina A irreguariae ongituina rc ( ) ocorre normamente na suerfície e roagem o triho. Quano o triho está submetio à ação a temeratura, se o conjunto ormente-astro não estiver erfeitamente ancorao a fim e garantir uma resistência à força e retração ou iatação os trihos, a via oe sofrer eformação no seu ano vertica (Correa 3). Uma forma matemática e reresentar a irreguariae no ano vertica é através e uma função senoia, uma função em co-seno ou uma série e Fourier cometa. A Equação (6.1) é uma eressão em seno que reresenta este tio e irreguariae. r ( ) c A sen n n L t (6.1) one: A n é a amitue a irreguariae; n é o número e meias onas em L t ; é a istância horionta entre a origem e a irreguariae; e L t é o comrimento a onte. Os arâmetros A n, n, e L t oem ser aotaos também em reação ao eemento finito e assagem a carga.

92 9 7 Testes e vaiação Reaiar-se-á neste caítuo a eosição e eemos numéricos e casos biimensiona e triimensiona, a fim e vaiar a imementação numéricocomutaciona esenvovia. 7.1 Testes Biimensionais A fim e mostrar a vaiae o rograma comutaciona esenvovio ara a anáise e ontes em (uas) imensões, utiiou-se como eemo uma viga biaoiaa com vão e 15 m e comrimento (Figura 7.1). 15 m Figura 7.1 Moeo biimensiona e onte viga bi-aoiaa com 15 m e vão Teste biimensiona 1 Consiera-se o caso e um único carregamento ontua e magnitue 195 kn, corresoneno ao roeiro e um trem e ata veociae (constante), atravessano a onte a Figura 7.1. Os arâmetros mecânicos restantes a onte são massa or uniae e comrimento = 15. kg/m, móuo e easticiae ongituina E = 1, N/m, momento e inércia à feão transversa I = 5 m 4, freqüência funamenta f = 5 H e fator e amortecimento or Goicoea et a () com o qua será comarao. = %. Este eemo foi também imementao Determinou-se as freqüências naturais e vibração a estrutura, conforme eanao no Caítuo 6. O vaor encontrao ara a frequência circuar funamenta 1 foi e 31,416 ra/s e ara a seguna frequência natura e vibração foi 15,65 ra/s. A frequência funamenta é equivaente à obtia or Goicoea et a (), não haveno informação no trabaho a reseito e outras freqüências naturais. Para o cácuo a matri e amortecimento a estrutura ana este teste, consieramos a Equação 4.41, efinia no Caítuo 4 ( c D m D k D ). Neste

93 Desocamento vertica no meio a viga (m) 93 caso os coeficientes e foram cacuaos, vaeno-se as freqüências e 1 (Equação 6.11). Goicoea et a. () reaiaram anáise inâmica este eemo com a carga e 195 kn à veociae constante v = km/h e obteve o máimo esocamento vertica no centro a onte e,8 mm. Não há informação recisas e como Goicoea et a. () obtiveram a matri e amortecimento a estrutura. O resutao obtio utiiano-se o software e anáise estrutura SAP corresoneu a,814 mm. Os resutaos obtios numericamente com o uso a imementação comutaciona esenvovia (moeo e veícuo: carga concentraa) estão aresentaos na Figura 7.. Consierou-se a onte comosta or 1 (e) eementos finitos e barra e o asso e temo t =,1 s. Esta resosta é quase iêntica à obtia or Goicoea et a. () e à obtia com o uso o rograma SAP Temo (s) Figura 7. Resosta vertica no meio a onte em função o temo, obtia numericamente através os aos e Goicoea et a. (), ara uma carga concentraa D, no asso e temo,1 s. O vaor máimo o esocamento vertica no meio a onte, com o asso e temo e,1 s, foi e aroimaamente,8114 mm. Esse vaor ossui uma iferença e,41% em reação ao vaor obtio or Goicoea et a. () e,8 mm e uma iferença e,9% em reação ao obtio com o uso o rograma SAP. Assim, consierano o asso e temo t =,1 s, a resosta obtia com a resente

94 Desocamento vertica no meio a viga (m) 94 imementação numérico-comutaciona está bem róima a obtia or Goicoea et a. (), assim como acom a resosta obtia com o uso o rograma SAP Teste biimensiona Consiera-se agora o caso e um carregamento e trem moveno-se a uma veociae e 88 km/h, consistino e 1 (e) roeiros e vaor igua ao consierao no teste anterior com uma searação uniforme e 16 m, atravessano a onte simesmente e 15 m e comrimento. Os arâmetros mecânicos restantes a estrutura são também iênticos ao o teste anterior. Este eemo também foi avaiao or Goicoea et a (), com o qua será comarao. O máimo esocamento vertica no meio a onte obtio or Goicoea et a. () foi e aroimaamente,15 m. O histórico e esocamento máimo no meio a onte, obtio com o uso a imementação comutaciona esenvovia (moeo e veícuo: carga concentraa), consierano 1 eementos finitos e asso e,1 s, estão aresentaos na Figura Temo (s) Figura 7.3 Resosta vertica no meio a onte em função o temo, obtia numericamente através os aos e Goicoea et a. (), ara um veícuo e carga concentraa D, no asso e temo,1 s. O gráfico a Figura 7.3 é quase iêntico ao obtio or Goicoea et a. () e o vaor máimo o esocamento vertica no meio a onte, com o asso e temo e

95 95,1 s, foi e aroimaamente 1, m, ossuino uma iferença e 1,31% em reação ao obtio or Goicoea et a. () e,15 m Teste biimensiona 3 O terceiro teste foi anaisao or Chora (1995). Neste consiera-se uma onte simesmente aoiaa com comrimento e és (6,96 m), móuo e easticiae ongituina e 576. kbf/és (, N/m ), momento e inércia e secção e 7 és 4 (6,4 m 4 ), ensiae inear e 11 kbf/g.és (353, b/és = 755,9 1 3 kg/m), sem amortecimento, submetia a uma única carga e.4 kbf (16, N) moveno-se a veociae e 8,67 és/s (4,59 m/s). A resosta anaítica ara este robema (esocamento vertica no meio a onte) foi obtia or Chora e está reresentaa graficamente eas curvas em vermeho na Figura 7.4. e Figura 7.5 Na anáise numérica a onte é comosta or 1 eementos finitos e assos e temo iguais a,1 s e,1 s A resosta numérica (esocamento vertica no meio a onte) está reresentaa eas curvas em au na Figura 7.4.e na Figura 7.5. Com o asso e temo e,1 s as resostas, numérica e anaítica, coinciem aroimaamente até o instante t =,5 s.(figura 7.4). Diminuino-se o asso e temo ara,1 s observa-se que o rograma está convergino ara o resutao anaítico, ou seja, as curvas coinciem em too o intervao e temo e assagem a carga sobre a estrutura (Figura 7.5).

96 Desocamento vertica no meio a viga (és) 96 Figura 7.4 Resostas verticais no meio a onte em função o temo, obtias anaítica e numericamente Teste biimensiona 3, asso e temo t =,1 s Temo (s) Figura 7.5 Resostas verticais no meio a onte em função o temo, obtias anaítica e numericamente Teste biimensiona 3, asso e temo t =,1 s. 7. Testes triimensionais A fim e mostrar a vaiae a imementação comutaciona esenvovia ara a anáise e ontes em 3 (três) imensões, imementou-se o eemo a Figura 7.6. O

97 97 contato a carga inâmica (trem) com a estrutura se á através as inhas e barras em cores au e iás. Figura 7.6 Moeo triimensiona e onte imementao. O comrimento tota a onte é e 15 m e a sua atura é e 3 m. Utiiou-se na anáise 144 eementos. Os eementos contios no ano e na ireção o eio ossuem 1,5 m e comrimento. Os eementos contios no mesmo ano, mas na ireção o eio, ossuem comrimentos e,5 m, 1 m e,5 m, resectivamente, quano se istancia a origem o eio. Os eementos contios no ano ou na ireção o eio ossuem comrimento igua à atura a onte. Toos os eementos finitos foram tomaos como ossuino as mesmas rorieaes geométricas e secção e mecânicas: massa or uniae e comrimento = 7.5 kg/m, móuo e easticiae ongituina E = 1, N/m, área a secção transversa quaraa A = 1 m, momentos e inércia à feão I =,83 m 4 e I =,83 m 4, constante e torção fator e amortecimento = %. J =,14 m 4, coeficiente e Poisson =, e

98 Teste triimensiona 1 O eemo utiiao como teste e vaiação ara a anáise estática consistiu e uma carga e kn aicaa no nó 6 que eqüiista os etremos a onte, como mostra a Figura 7.7. Desconsierou-se o eso rório a estrutura. Figura 7.7 Carga aicaa na onte triimensiona ara a anáise estática. Tabea 7.1 Desocamentos em ois nós a estrutura triimensiona. Nó Desocamento Imementação (m) SAP (m) Diferença (%) U 8, , , U 3, , ,15 6 U -1, , ,1 1, , ,9 -, ,1 1-5,5 1, ,7 1-6, U -4, ,6 1-6, U 4, ,51 1-7, 1 U -1, , , -, , , 1, , ,7-3, , ,

99 99 A Tabea 7.1 contém os vaores os esocamentos nos nós 6 e 1 (escohios aeatoriamente) em ecorrência a força e kn aicaa no nó 6 na ireção contrária ao eio goba, faeno uso a imementação numérico-comutaciona e o rograma SAP. Observa-se que os esocamentos nos nós 6 e 1, utiiano-se a imementação numérico-comutaciona esenvovia, ossuem uma iferença ercentua inferior a,53% em reação aos obtios com o uso o software SAP, satisfaeno assim o teste e vaiação ara a anáise estática. 7.. Teste triimensiona Este teste consiste na anáise moa a estrutura a Figura 7.6. A Tabea 7. contém os vaores as frequências naturais e vibração a estrutura obtias com o uso a imementação comutaciona esenvovia e as obtias com o uso o software SAP. Tabea 7. Frequências naturais e vibração a estrutura triimensiona. Moo e vibração Imementação Imementação (H) SAP SAP Diferença (%) (ra/s) (ra/s) (H) 1 1,37 1,6436 1,37 1,6436, 14,75,41 14,75,41, 3,46 3,477,46 3,477, 4 5,34 4,35 5,34 4,35, 5 34,634 5,511 34,634 5,511, 6 41,675 6,637 41,675 6,637, 7 5,383 8,187 5,383 8,187, 8 54,36 8, ,36 8,6431, 9 6,736 9,9848 6,736 9,9848, 1 77,848 1,33 77,848 1,33, 11 8,35 1,738 8,35 1,738, 1 85,544 13,615 85,544 13,615, Poe-se observar que as oe frequências e vibração a estrutura eterminaas numericamente são iênticas às obtias com o uso o software comercia, satisfaeno assim o teste e vaiação ara a anáise moa. É oortuno estacar que, ara efeito e comaração com o SAP, utiiou-se matri e massa concentraa ao invés e matri e massa consistente. A matri e massa concentraa o eemento e órtico esacia utiiaa corresone a:

100 1 mc 3D Da Figura 7.8 a Figura 7.1 têm-se os cinco rimeiros moos e vibração a estrutura e foram obtias com o uso o software SAP. Figura 7.8 Primeiro moo e vibração natura a estrutura triimensiona.

101 11 Figura 7.9 Seguno moo e vibração natura a estrutura triimensiona. Figura 7.1 Terceiro moo e vibração natura a estrutura triimensiona.

102 1 Figura 7.11 Quarto moo e vibração natura a estrutura triimensiona. Figura 7.1 Quinto moo e vibração natura a estrutura triimensiona Teste triimensiona 3 Neste teste reaia-se a anáise inâmica a estrutura a Figura 7.6 submetia à assagem e uma carga e kn corresoneno a um roeiro e um trem movenose a veociae constante e 18 km/h. O moeo e veícuo utiiao é o e carga concentraa triimensiona, ois é o único que o software SAP é caa e moear, tornano ossíve a comaração com os resutaos numéricos aqui obtios. Como o contato a carga inâmica (trem) com a estrutura se á através as inhas e barras em cores au (nó 1 ao nó 11) e iás (nó 1 ao nó ), então caa inha suorta metae a carga inâmica, isto é, 1 kn. Para o cácuo a matri e amortecimento a estrutura esacia este teste, consieramos a Equação (5.37), efinia no Caítuo 5 ( c 3 3 D m D k 3 D ). Neste caso os coeficientes e foram cacuaos (Equação 6.11), vaeno-se as freqüências e 5 (vie Tabea 7.1), seno estas as rimeiras frequências reacionaas aos moos e vibração e feão na ireção o eio goba, conforme se ereene as Figura 7.8 a Figura 7.1. A Figura 7.13 contém a estrutura a Figura 7.6, orém com a numeração aotaa ara os seus nós.

103 Desocamento vertica nó 6 (m) 13 Figura 7.13 Moeo triimensiona e onte imementao, conteno a numeração os nós. A Figura 7.14 e a Figura 7.15 contêm os gráficos o esocamento vertica nos nós 6 e 17, em função o temo, obtios meiante o uso a imementação comutaciona esenvovia Temo (s) Figura 7.14 Resosta vertica no nó 6 em função o temo, numericamente obtia através a imementação numérico-comutaciona, ara um eio e carga concentraa 3D, no asso Δt =,1 s.

104 Desocamento vertica nó 17 (m) Temo (s) Figura 7.15 Resosta vertica no nó 17 em função o temo, numericamente obtia através a imementação numérico-comutaciona, ara um eio e carga concentraa 3D, no asso Δt =,1 s. A Figura 7.16 e a Figura 7.17 contêm os gráficos o esocamento vertica nos nós 6 e 17, em função o temo, obtios meiante o uso o rograma SAP. Figura 7.16 Resosta vertica no nó 6 em função o temo, numericamente obtia através o SAP, ara um eio e carga concentraa 3D, no asso Δt =,1 s.

105 15 Figura 7.17 Resosta vertica no nó 17 em função o temo, numericamente obtia através o SAP, ara um eio e carga concentraa 3D, no asso Δt =,1 s. Comarano-se os gráficos a Figura 7.14 e a Figura 7.16 e os a Figura 7.15 e a Figura 7.17 verifica-se a ientiae entre ees. A Tabea 7.3 contém os vaores o máimo esocamento vertica nos nós inicaos (escohios aeatoriamente), faeno uso a imementação comutaciona e o rograma SAP. Tabea 7.3 Máimo esocamento vertica em e nós a estrutura triimensiona. Nó Programa imementao (m) SAP (m) Diferença (%) 3 9, , , , , ,8 6 1, , ,9 17 1, , ,36 4 5, , , , , , , , ,3 5 8, , ,6 48 1, , , 55 1, , ,9 Observa-se que as máimas resostas verticais nos nós 3, 15, 6, 17, 48 e 55, obtias com a utiiação a imementação numérico-comutaciona esenvovia, ossuem iferença ercentua inferior a,56% em reação àqueas obtias com o uso o