DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DE COIMBRA LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS

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1 DEPRTMENTO DE ENGENHRI IVIL FULDDE DE IÊNIS E TENOLOGI UNIVERSIDDE DE OIMR LINHS DE INFLUÊNI EM ESTRUTURS HIPERSTÁTIS L.M..SIMÕES 1. INTRODUÇÃO s linhas de influência dos efeitos (esforços ou deslocamentos) causados por uma acção de qualquer tipo (carga ou deformação) numa estrutura podem ser obtidas de uma forma directa: repete-se a análise supondo que uma acção unitária que percorre a estrutura ocupa várias posições. omo cada condição de carregamento permite apenas obter uma ordenada da linha de influência, este método directo só é conveniente quando se pretendem estudar várias secções e se utiliza um computador. Em alternativa pode usar-se o princípio de Muller-reslau. Segundo este princípio, as linhas de influência são representadas por deformadas. Deste modo é possível obter a forma de linha de influência e as zonas da estrutura que, a ser carregadas, produzirão os efeitos mais desfavoráveis.o princípio de Muller-reslau é aplicado ao cálculo das ordenadas de linha de influência de treliças hiperestáticas e pórticos. s primeiras e segundas derivadas da linha de influência de uma acção para uma carga pontual unitária vão produzir duas linhas de influência da mesma acção que correspondem a outros tipos de carregamento. linha de influência correspondente às segundas derivadas tem particular importância em estruturas pré-esforçadas hiperestáticas. 2. DETERMINÇÃO INDIRET DE LINHS DE INFLUÊNI Para desenhar uma linha de influência particular impõe-se um deslocamento unitário na direcção da força positiva. deformada daí resultante tem de ser consistente com as restrições impostas na estrutura. Para a viga contínua representada na Fig.1, a linha de influência da reacção V 1 que corresponde a uma carga unitária que se desloca entre 2 e 3 pode ser determinada substituindo o apoio por uma carga unitária.

2 1 2 x 1 3 R 1 Figura 1 Para se ter um deslocamento constante em 1: b 1 o + f 11 V 1 = 0 supondo que as forças e os momentos são positivos se forem orientados de baixo para cima. Para uma carga unitária numa posição x, tem-se: f 1x (-1) + f 11 V 1 = 0 Pelo teorema da reciprocidade de Maxwell, f 1x = f x1. Então, V 1 = f x1 / f xx onde f x1 é o deslocamento vertical em x devido a V 1 =1; f 11 é o deslocamento vertical em 1 devido a V 1 = 1. Para determinar a linha de influência pretendida, aplica-se um valor unitário V 1 à estrutura e determinam-se os deslocamentos verticais em diversos pontos da viga, bem como a deformação em 1. s ordenadas da linha de influência da reacção V 1 são dadas pelos quocientes entre os valores dos deslocamentos verticais nesses pontos a dividir pelo deslocamento em 1. Para o caso geral do teorema de reciprocidade pode afirmar-se que a deformada da estrutura devida a uma perturbação unitária representa a linha de influência do efeito que corresponde a essa perurbação (Princípio de Müller-reslau). o aplicar este princípio tem de assegurar-se que existe correspondência perfeita quer entre o efeito cujo valor se pretende determinar e a perturbação unitária aplicada, quer entre a carga aplicada que produz o efeito e o deslocamento do ponto de aplicação da carga. lém disso, a escala de distorção tem de ser pequena para que a sua aplicação não cause modificações na geometria essencial da estrutura Determinação de Linhas de Influência Para obter uma linha de influência devida a qualquer acção que actua na estrutura: 1. estrutura é libertada removendo-se para isso a restrição que corresponde à acção considerada.

3 Isto significa que o grau de indeterminação estático da estrutura inicial é portanto diminuido de uma unidade. Então, se a estrutura inicial for isostática a estrutura libertada é um mecanismo. 2. Introduz-se um deslocamento unitário na estrutura libertada no sentido oposto ao sentido positivo de acção. Para obter essa deformação introduz-se uma força (ou um par de forças iguais e sentidos opostos) que correspondem à acção. 3. s ordenadas da deformada são as ordenadas da linha de influência de acção. s ordenadas da linha de influência são positivas se forem no mesmo sentido da carga aplicada Traçado Qualitativo de Linhas de Influência O traçado de linhas de influência qualitativas em estruturas hiperestáticas segue o mesmo princípio das estruturas isostáticas. Em estruturas isostáticas as linhas de influência são constituídas por troços rectos. Deste modo para desenhá-las só é necessário conhecer o valor correspondente a uma ordenada e sua forma. Esta ordenada pode ser obtida a partir da estática utilizando a dualidade estático-cinemática ou atendendo à geometria da linha de influência. Em lugar de segmentos rectos as deformadas de estruturas hiperestáticas são segmentos curvos. Por vezes é necessário obter os valores quantitativos das ordenadas das linhas de influência em vários pontos da estrutura. deformada de uma estrutura hiperestática é normalmente mais difícil de traçar que a de uma estrutura isostática. Fig.2 demonstra como o princípio de Müller-reslau pode ser utilizado para obter a forma genérica da linhas de influência dos momentos flectores e esforços transversos nas secções S 1 e S 2. P=1 S 1 S 2 S 3 D

4 + + F 1 F I Figura 2 Para traçar as linhas de influência dos momentos flectores introduz-se uma rótula e impõe-se uma rotação relativa unitária aplicando um par de momentos na secção a estudar. Enquanto na secção S 2 as ordenadas da linha de influência mantêm o mesmo sinal no tramo central, verifica-se na secção S 1 que o sinal das ordenadas da linha de influência depende da posição da carga móvel neste tramo. Para traçar as linhas de influência dos esforços transversos introduz-se um corte na secção e aplicase um par de forças unitárias de modo a introduzir um deslocamento unitário dos bordos do corte mantendo o paralelismo destes. Verifica-se a existência de dois pontos de inflexão na linha de influência de S 1 e nenhum no caso de S 2. s deformações unitárias da estrutura devem verificar-se sem aplicar qualquer deslocamento noutra direcção. No caso de uma reacção de apoio, a separação vertical das duas partes da estrutura não pode ser acompanhada pela rotação relativa das suas extremidades plicação das Linhas de Influência visualização simples de deformadas permite esquematizar a forma da linha de influência, mesmo sem ter qualquer ideia sobre os valores envolvidos. convenção de sinal adoptada consiste em tomar como positivas as ordenadas da linha de influência no sentido da acção. O valor de um qualquer efeito T, devido a um sistema de cargas concentradas P 1, P 2,..., P n (Fig.3), é obtido através do produto da intensidade da carga pela ordenada da linha de influência no ponto de aplicação da carga.

5 P1 P2 Pn Z1 Z2 Zn Z X P Linha de influência do efeito T Z Z X Linha de influência do efeito T Figura 3 Então, T = z 1 P 1 + z 2 P z n P n = Σ i=1,n z i P i Se a carga vertical for distribuída com intensidade p e estiver aplicada entre e, o valor do efeito será dado por: T = F z p dx Sendo assim, partindo-se do traçado da linha de influência, é possível determinar quais são as situações de carregamento mais desfavoráveis para uma dada secção. Uma vez que se sabe que uma dada carga produz o efeito máximo, um cálculo estático simples permitiria determinar a intensidade do efeito.na presença de comboios de carga ou quando se faz a aplicação indirecta de cargas rolantes, utilizam-se os procedimentos anteriormente descritos no capítulo referente a linhas de influência de estruturas isostáticas. O princípio de Muller-reslau ajuda consideravelmente o traçado das linhas de influência permitindo uma solução simples. Por outro lado serve de base a uma das técnicas de análise experimental nálise Experimental No método directo de análise experimental executa-se um modelo reduzido sendo carregado por cargas inferiores às da estrutura real. Os materiais são normalmente idênticos e os módulos de elasticidade tem o mesmo valor (ou mais reduzido) bem como os coeficientes de Poisson. s medições de deformações e deslocamentos vão estar directamente relacionadas com o comportamento do protótipo.

6 No método indirecto utiliza-se o princípio de Muller-reslau e os efeitos das cargas aplicadas (que é normalmente utilizado para obter os valores das reacções) são calculados a partir das linhas de influência. s distorções unitárias aplicadas se forem grandes podem ser medidas por uma régua, se forem pequenas será necessário utilizar uma lente ou mesmo um microscópio. Neste útimo caso é necessário um grande cuidado na escolha do equipamento a utilizar e as condições de ensaio. No método indirecto assegura-se a semelhança entre o modelo e o protótipo para que o primeiro simule correctamente diferentes aspectos do comportamento do segundo. Se por exemplo a energia de deformação for armazenada na estrutura directamente em consequência de flexão dos membros seria necessário que o modelo de representação do protótipo incluisse comprimentos das barras, momentos de inércia, módulo de elasticidade, ainda que as escalas não tenham que ser necessariamente iguais para cada um dos parâmetros. Se for necessária uma semelhança mais completa com o modelo será mais simples adoptar o método directo de análise de modelos. 3. LINHS DE INFLUÊNI EM TRELIÇS Para a obtenção de linhas de influência das reacções ou esforços nos membros em treliças hiperestáticas pode utilizar-se o princípio da sobreposição de efeitos. Os coeficientes de influência para qualquer acção numa estrutura hiperestática são obtidos adicionando os coeficientes de influência para o mesmo tipo de acção numa estrutura libertada e os coeficientes de influência da redundantes multiplicados pelo valor de acção que corresponde a valores unitários da incógnita hiperestática. Se a estrutura for submetida a um único carregamento a actuar separadamente nas p posições em que os coeficientes de influência são calculados, obtêm-se pela equação de sobreposição dos coeficientes de influência: {T} p x 1 = {Z s } p x 1 + [{Z F1 } {Z F2 } {Z Fα }] p x α x {F α } α x 1 onde α é o grau de hipersestaticidade, {Z f } são as ordenadas da linha de influência da estrutura libertada e os elementos dos vectores {T F } são os coeficientes de influência devido às redundantes. Para usar a equação é necessário calcular a linha de influência de uma treliça isostática, as linhas de influência das redundantes e os valores da acção que correspondem à actuação de valores unitários das redundantes Exemplo Pretende obter-se a linha de influência da reacção em e dos esforços nos membros N 1 e N 2 da

7 treliça representada na Fig.4. carga rolante unitária vai actuar apenas nos nós 1-9. Supõe-se que todos os membros tem o mesmo valor de L/E, onde L é o comprimento dos membros e a área da secção transversal. Figura 4 Para a treliça isostática da Fig.5 as incógnitas hiperestáticas são o esforço axial nos membros N 3 e N 4. Nessa figura estão igualmente representadas as ordenadas que correspondem às linhas de influência Z s de V, N 1 e N 2 para os valores das acções na estrutura libertada. Figura 5 De acordo com o princípio de Muller-reslau a linha de influência de p 1 será obtida aplicando um par de forças iguais e de sentido oposto nas extremidades que correspondem a N 3 na treliça

8 isostática, de modo que se obtenha um deslocamento relativo unitário na linha de acção correspondente à sua barra. deformada assim obtida daria a linha de influência que corresponde a p 1. matriz da flexibilidade da estrutura libertada será: l 57 3 F = E 3 57 estando representados na Fig.6 os esforços nas barras que correspodem à actuação de p 1 = 1. Obtem-se por simetria os esforços normais devidos a p 2 =1. Uma extensão unitária de Z 3 conduz às redundantes p 1 = - 57 E/(405 l) e p 2 = 3 E/(405 l). Estas incógnitas hiperestáticas são os elementos correspondentes à primeira coluna da matriz de rigidez da treliça isostática. om estas redundantes calculam-se os esforços normais em todos os membros e a partir da integração de diagramas as deformadas nos nós 1-9 que correspondem às ordenadas da linha de influência da incógnita hiperstática p 1, igualmente representadas na Fig.6. omo a estrutura é simétrica as mesmas ordenadas por ordem inversa correspondem a p 2. Figura 6 Para obter a linha de influência de reacção em utiliza-se a equação de sobreposição para determinar as coordenadas dos nós 1-9. Os elementos do vector {F α } são as reacções em que

9 D correspodem a p 1 =1 e p 2 =1, tomando-se para sentido positivo as reacções de baixo para cima D D Figura 7 {F α } = T = = s linhas de influência para os esforços nos membros Z 1 e Z 2 são determinados do mesmo modo e os resultados estão representados na Fig LINHS DE INFLUÊNI EM ESTRUTURS RETIULDS

10 Utiliza-se seguidamente a dualidade estático-cinemática (implícita no princípio de Müller-reslau) para obter as linhas de influência dos momentos nas extremidades de uma viga bi-encastrada. partir destes podem obter-se as linhas de influência das reacções, dos momentos e esforços transversos em qualquer secção intermédia através de valores tabelados. Em seguida são resolvidos exemplos de estruturas porticadas pelo método dos deslocamentos e traçam-se as linhas de influência calculando a deformada através da integração de diagramas Viga i-encastrada EXEMPLO 1 Pretende determinar-se a linha de influência dos momentos flectores em e, para uma carga vertical que percorre a viga da Fig.8. Figura 8 Resolução: 1. Dualidade estático cinemática Para a linha de influência do momento em determinada a partir da dualidade estático-cinemática e supondo λ 1 aplicada numa secção S, qualquer de, tem-se: q 11 λ 1 S > X1 relação primal r 11 S δ 1 S < du 1 relação dual onde q 11 = r11 S, ou seja: o momento em devido à carga λ1 =1 aplicada em S, é numericamente igual ao deslocamento em S do mesmo tipo da carga λ 1, quando se aplica uma extensão unitária e positiva do tipo 1 du 1 =1 em. tendendo a que a carga λ 1 percorre toda a estrutura, o momento flector em é proporcional à

11 deformada da estrutura quando se aplica, na secção, uma deformação unitária e positiva do tipo do esforço pretendido (du 1 =1). 2. plicação de du 1 Para obter a linha de influência do momento no encastramento, introduz-se uma rótula em e aplica-se nesse ponto um momento que produza uma rotação unitária nessa extremidade. Du = Figura 9 Surgem os momentos: M = -4EI/L M = 2EI/L expressão que permite calcular a deformada y num membro prismático devido aos momentos nas extremidades M e M, com módulo de rigidez à flexão EI, será: y = [M ( 2 ε 3 ε 2 + ε 3 ) Μ Β (ε ε 3 )] L 2 /6EI onde ε=x/l. Substituindo os valores de M =-4EI/L e M = 2EI/L (sinal dos momentos dado pela convenção da Resistência de Materiais), vem a equação da deformada resultante da aplicação de du 1 = 1: y = L (- ε ε 2 - ε) ε y L L L 0 Para ε=0 e ε=1 são nulos os deslocamentos verticais. linha de influência do momento flector em

12 devido à carga rolante λ 1, será dada por L L L =0 =0.3 =0.5 =0.7 =1 Figura 10 O traçado da linha de influência do momento flector em é em tudo semelhante à resolução anterior. plicando du 1, surgem os momentos: M = 2EI/L M = - 4EI/L Substituindo estes valores na expressão da deformada, obtêm-se: y = L (ε 3 - ε 2 ) ε y L L L 0 linha de influência do momento flector em, devido à carga rolante λ 1, será: L 1 L L =0 =0.3 =0.5 =0.7 Figura 11 Uma vez que a viga é simétrica as ordenadas de influência no momento na extremidade M podem ser calculadas a partir de M modificando o sinal e o ponto de partida. linha de influência de reacção V pode ser calculada a partir de V = V S - (M + M )/L

13 onde V S é a linha de influência da reacção em de uma viga simplesmente apoiada. EXEMPLO 2 Para a viga representada na Fig.12, determinar: a) linha de influência da reacção vertical em, devido a uma carga vertical unitária que se desloca ao longo da referida estrutura. b) linha de influência da rotação em, para uma resultante unitária de extensões du 1 que percorre a viga. 0.4L 0.6L Figura 12 Resolução: a) Estabelece-se em primeiro lugar um par de relações primal/dual ajustadas ao enunciado. 1. Dualidade estático-cinemática rbitrando um sentido para a reacção em, V Figura 13 q 21

14 λ 1 S > X2 relação primal r 12 S δ 1 S < du 2 relação dual omo q 21 = r 12 S, tem-se: X2 = q 21 λ 1 = r 12 S. Portanto, a reacção vertical em devida à acção de uma carga unitária e positiva é numericamente igual ao deslocamento em S do mesmo tipo da carga λ 1, quando se aplica uma extensão unitária e positiva do tipo 2 du 2 =1 em. 2. plicação de du 2 = 1 Note-se que a extensão du2 =1 (deslocamento transversal relativo de duas secções infinitamente próximas em e sem rotação relativa entre elas) na estrutura real, pode se encarada como o resultado de duas situações. São elas: 1º- Extensão du 2 aplicada à barra libertada nas extremidades: du 2 =1 =0 =0.3 =0.5 =0.7 =1 1/L Figura 14 Linha de influência de V para a viga simplesmente apoiada 2º - plicação de momentos M e M que reponham a rotação nula em e (porque se trata de encastramentos)

15 M = 6EI L 2 M = 6EI L 2 Figura 15 Da sobreposição destas situações, resulta: 6EI 2 L 6EI 2 L Figura 16 omo se indicou anteriormente, os deslocamentos verticais originados pelos momentos nas extremidades, são dados por y = 2 ε 3-3 ε 2 + ε O quadro a seguir indicado apresenta algumas ordenadas da linha de influência de V. ε y(du 2 ) y(m,m ) y(total)

16 Figura 17 Linha de influência de V devido uma carga vertical unitária b) 1. Dualidade estático-cinemática r 21 δ 2 < du 1 S relação primal q 12 S λ 2 > X1 S relação dual omo r 21 = q12 S, δ2 = r 21 du 1 S = q 12 S, onde S representa uma secção genérica da viga. Quer isto dizer que a linha de influência da rotação em, devido a uma resultante unitária de extensões du 1 que percorre a viga coincide com o diagrama de momentos resultante da aplicação do momento unitário em. 2. plicação de um momento unitário em (λ 2 =1) 1 0.4L 0.6L Figura 18 Recorrendo a tabelas, o diagrama de momentos para o momento unitário em indicado na Fig.19 coincide com a linha de influência pretendida.

17 Figura Linhas de influência de Estruturas Recticuladas Para obter a linha de influência do momento M no pórtico indicado na Fig.20 pelo princípio de Muller-reslau as ordenadas são idênticas às que corresponderiam à deformada do pórtico produzida por uma descontinuidade angular na extremidade. Supondo que as extremidades se encontram bloqueadas, os momentos nas extremidades que corresponderiam a esta descontinuidade seriam os momentos de encastramento perfeito. Seguidamente permitem-se as rotações (e translacções) dos nós e obtem-se o diagrama de momentos flectores através de um dos métodos estudados na análise de estruturas hiperestáticas. Este diagrama será linear em cada um dos membros. s deformações que dão as ordenadas da linha de influência são calculadas por sobreposição das deformações devidas aos momentos nas extremidades como foi anteriormente indicado. s ordenadas que correspodem aos pilares D na linha de influência permitiriam calcular os valores de M resultantes da aplicação de uma carga horizontal no tabuleiro. EXEMPLO 1 Determinar as linhas de influência: a) Momento flector em para as cargas rolantes λ 1 e λ 2. b) Rotação em para du 2 que percorre.

18 20 D Figura 20 Resolução: a) 1. Dualidade estático-cinemática λ 1 S q 11 > X1 relação primal r 11 S δ 1 S < du 1 relação dual donde X 1 = q 11 λ 1 S = r 11 S λ 1 S λ 2 S q 12 > X1 relação primal r 21 S δ 2 S < du 1 relação dual donde X 1 = q 12 λ 2 S = r 21 S λ 2 S. ssim, para a linha de influência de X1 devido a λ 1, interessa obter os deslocamentos verticais provocados por du 1 =1, enquanto no que diz respeito a λ 1, são necessárias as rotações provocadas por essa extensão.

19 2. plicação de du 1 onsiste nos seguintes passos: 1º- Introdução, na secção, de uma libertação do tipo do esforço aí pretendido (rótula). D Figura 21 2º - plicação de uma rotação unitária e positiva em du 1 =1 D Figura 22 3º - loqueio da libertação introduzida, mantendo a deformação imposta.

20 2EI 2 4EI 2 D Figura 23 4º - Libertação do resto da estrutura, permitindo a distribuição de momentos. 4. álculo dos esforços pelo método dos deslocamentos D 1 D Figura 24

21 Forças de fixação: F 1 = - 2EI/2 = - EI Matriz de rigidez: K 11 = 4 EI/2 + 3 EI/3 + 4 EI/2 = 5 EI Donde se obtem o deslocamento D 1 : D 1 = - F 1 /K 11 = 1/5 Momentos finais (convençãode Grinter): M = - 4 EI/2 + 1/5 2EI/2 = - 9 EI/5 M esq = -2EI/2+1/5 4EI/2 = - 3 EI/5 M dir = 0 + 1/5 3EI/3 = EI/5 M = 0 4. álculo das ordenadas das linhas de influência arra Os deslocamentos verticais em dependem apenas dos momentos nas extremidades, ou seja, y = 22/6EI [-9EI/5 (ε 3-3 ε ε)-3ei/5 (ε 3 -ε)] = - 8/5 ε /5 ε 2-2 ε s rotações devidas aos momentos nas extremidades de uma barra libertada nas extremidades são dadas por (adoptando para os momentos a convenção da Resistência de Materiais): θ = L/6EI [M (3 ε 2-6 ε + 2) - M (3 ε 2-1)] Substituindo os valores de M = -9/5EI e M = 3/5EI, esta expressão toma a seguinte forma θ = -12/5 ε /5 ε - 1 arra Devido aos momentos nas extremidades (M dir e M ), tem-se y = 32/6EI [1EI/5 (ε 3-3 ε ε)] = 3/10 (ε 3-3 ε ε) θ = 3/6EI [EI/5 (3 ε 2-6 ε + 2)] = 1/10 (3 ε 2-6 ε + 2) Daqui resulta: arra ε y θ y θ

22 s linhas de influência de X 1 devido às cargas λ 1 e λ 2 e que correspondem, respectivamente a uma carga rolante vertical e um momento que percorre a viga encontram-se representadas na Fig.25. b) 1. Dualidade estático-cinemática r 22 δ 2 < du 2 S relação primal λ 2 q 22 S > X2 S relação dual r 22 = q 22, donde : δ2 = r 22 du 2 S = q 22 S du 2 S. Ou seja, a linha de influência da rotação em é proporcional ao diagrama de esforço transverso, resultante da aplicação de um momento unitário em ( ) ( )

23 Figura plicação de um momento unitário em 1 D Figura álculo dos esforços pelo método dos deslocamentos Forças de fixação: F 1 = - 1 Matriz de rigidez: K 11 = 5 EI Deslocamento D 1 : D1 = -F1/K 11 = 1/5EI Momentos finais: M = 0 + 1/5EI 2EI/2 = 1/5 M esq = /5EI 4EI/2 = - 3/5 M dir = 0 + 1/5EI 3EI/3 = 1/5 M = 0

24 linha de influência da rotação em será dada por ( du 2 ) + - Figura 27 - Linha de influência da rotação em para uma resultante de extensões du2. EXEMPLO 2 Para a viga contínua indicada na Fig.28, determinar a linha de influência de: a) Reacção no apoio elástico. b) Momento flector em E. em que L = 5.0 m, I = m 4 e E = 10 6 kn/m 2 Figura 28 Resolução: Trata-se de uma estrutura hiperestática submetida a um carregamento indirecto.quando a carga actua num qualquer tramo da viga isostática: o esforço S será: S = R 1 S 1 + R 2 S 2

25 Figura 29 Deste modo, L.I. S = S 1 x (L.I.R 1 ) + S 2 x (L.I.R 2 ) ssim, à semelhança do que se passa em estruturas isostáticas, a linha de influência entre pontos de carga indirecta, obtém-se unindo por uma recta os pontos da linha de influência relativa ao carregamento directo: a) 1. Dualidade estática cinemática λ 1 S q 31 > X3 relação primal r 13 S δ S < du 3 relação dual donde X 3 = q 31 λ 1 S = r 13 S Encarando o apoio elástico como uma barra com a mesma rigidez axial que a rigidez do apoio, e sujeita apenas a esforço axial, a reacção vertical em (ou esforço axial na barra fictícia) causada pela actuação de uma carga transversal, unitária e positiva, é numericamente igual ao deslocamento transversal dessa secção devido a uma extensão unitária e positiva do tipo 3 em. 2. plicação da extensão du 3 Este problema vai ser resolvido pelo método dos deslocamentos.

26 D 1 D 2 D 3 Figura Graus de liberdade a considerar estrutura tem três graus de indeterminação cinemática: 2.2 Matriz de rigidez Rotação imposta segundo o G.L. 1. D 1 =+1 D 3EI L 4EI L 2EI L 3EI L 2 3EI L 2 6EI L 2 6EI L 2 Figura 31

27 Donde, K 11 = 7 EI/L ; K 21 = 2 EI/L ; K 31 =..- 3 EI/L EI/L 2 = 3 EI/L Rotação imposta segundo o G.L. 2. D = EI L 4EI L 3EI L 6EI L 2 6EI L 2 3EI L 2 3EI L 2 Figura 32 Donde, K 12 = 2 EI/L ; K 22 = 7 EI/L ; K 32 = 6 EI/L Translação imposta segundo o G.L. 3.

28 Figura 33 Donde, K 13 = 3 EI/L 2 ; K 23 = 6 EI/L 2 ; K 33 =..15 EI/L 2 + K 2.3. Vector de forças de fixação aplicação da extensão du 3 será decomposta em 3 etapas e considera-se uma barra fictícia com rigidez axial igual a K na posição da mola. Tem-se: D K 1 1º) Liberam-se os nós e e aplica-se du 3 Figura 34

29 du 3 = + 1 Figura 35 2º) Restabelece-se a continuidade em e, mediante a aplicação de momentos e forças de extremidade, solidarizando-se as rótulas introduzidas e bloqueando a estrutura. du 3 = + 1 Figura 36 3º) Liberta-se a estrutura de modo a que por acção dos sistema de forças anteriormente aplicado esta fique em equilíbrio.

30 6EI L 2 3EI 3EI L 3 L 2 6EI 3EI L 2 L 3 12EI L 3 12EI L 3 Figura 37 F 1 = - 3 EI/L EI/L 2 = 3 EI/L 2 F 2 = 6 EI/L 2 F 3 = 3 EI/L EI/L 2 = 15 EI/L Resolução do sistema de equações K D = - F Obtem-se a a solução, D = Momentos finais M = 0 M esq = - 3 EI/L D D EI/L 2 D EI/L 2 = M dir = 4 EI/L D EI/L D EI/L 2 D EI/L 2. = M esq = - 2 EI/L D 1-4 EI/L D 2-6 EI/L 2 D 3-6 EI/L 2..= M dir = 0 D EI/L D D = M D = 0

31 Figura álculo dos deslocamentos O deslocamento total sofrido pelos pontos da viga é a sobreposição de 3 quantidades: a) δ 1 S - Deslocamento devido a movimento de corpo rígido sofrido pelas barras da estrutura com libertações, devido à imposição de du 3 = +1 (Etapa 1. de 2.3.). L L a 1 a 2 S = + 1 a 1 L S = 1- a 2 1 L Figura 39 b) δ 2 S - Deslocamento devido a movimento de corpo rígido sofrido pelas barras, devido à recuperação (D 3 ) de parte do assentamento du 3.

32 S = + a 1 L 2 D S a 3 = ( 1-2 ) D 3 2 L a 1 a 2 Figura 40 c) δ 3 S - Deslocamento devido à deformação elástica das barras, devida aos momentos flectores introduzidos pelo assentamento S = EI d Figura 41 O cálculo de δ 1 S e δ 2 S é imediato e está indicado nas figuras. Para δ 3 S calcula-se q 11, considerando para tal a estrutura isostática:

33 a D L L L Figura 42 O diagrama q 11, para uma carga posicionada numa secção arbitrária S, é igual para os 3 vãos álculo de δ 3 S no vão δ 3 S = F q 11 x 1 /EI dx Este integral é não nulo só em, dando a integração directa por tabelas Figura 43 δ 3 S = I = (0.2 ab) ( ) 5/6 (1 + a/5) x 10-3 δ 3 S = ab ( a) álculo de δ 3 S no vão

34 Figura 44 δ 3 S = (0.2 ab) [ E-03 5/6 (1 + b/5) E-03 5/6 (1 + a/5)] δ 3 S = 0.2 ab [ b a] álculo de δ 3 S no vão D (D) E ab L Figura 45

35 δ 3 S = (0.2 ab) ( E-03) 5/6 (1 + b/5) δ 3 S = ab ( b) Deslocamentos finais Em : δ S = a/l+a/l D ab ( a) = a ab [ a] Em : δ S = 1 - a/l + (1 - a/l) D ab [ b a] = a ab [ b a] Em D: δ S = ( b).ab = ab ( b) 2.7. Linha de influência Tomando valores sucessivos para e nas equações anteriores, obtém-se a seguinte deformada, que representa a linha de influência da reacção no apoio elástico: Figura 46 onsiderando a secção S posicionada sucessivamente nas abcissas, 0, L/n, 2 L/n,..., (n-1) L/n, L traça-se a deformada por pontos discretizando o vão em n intervalos. Para a viga com carregamento indirecto, a linha de influência obtém-se por simples união, por segmentos de recta, dos pontos correspondentes aos de carga indirecta (numerados de 1 a 10). b) 1. Dualidade estático-cinemática q11 E

36 λ 1 S > X1 E relação primal r 11 S δ 1 S < du 1 E relação dual donde X 1 E = q 11 E λ 1 S = r 11 S O momento flector em E, devido à acção de uma carga transversal, unitária e positiva, aplicada em S, é numericamente igual ao valor do deslocamento transversal dessa secção provocado por uma extensão unitária e positiva do tipo 1 em E. E 2. plicação da extensão du 1 matriz de rigidez anteriormente determinada mantém-se inalterada Vector de forças de fixação onsideram-se as 3 etapas seguintes: 1º) Liberação do nó e ponto E e aplicação de du 1 E E E du = Figura 47 2º) Solidarização do ponto E, após a aplicação de du 1 E e reposição da continuidade em, mediante força e momento de fixação.

37 E du = Figura 48 3º) Liberta-se a estrutura que se deforma por acção do sistema de forças anteriormente aplicado. Figura 49 om o mesmo sistema de graus de liberdade da alínea a), vem - 3EI L - 3EI X = 2 L - 3EI 2 L 2 E du = EI ( - ) - 3EI = L 2 2 L 2 Figura 50

38 F 1 = 0 ; F 2-3 EI/(2 L) ; F 3 = Resolução do sistema de equações Obtem-se o seguinte vector de deslocamentos D = Momentos finais M = 0 M esq = - 3 EI/L D D EI/L 2 D 3 = M dir = 4 EI/L D EI/L D EI/L 2 D 3 = M esq = - 2 EI/L D 1-4 EI/L D 2-6 EI/L 2 D 3 = M dir = 0 D EI/L D D 3-3 EI/(2 L) = M D = álculo dos deslocamentos omo anteriormente, o deslocamento final é a sobreposição de 3 quantidades indicadas na Fig.52. Figura 51

39 a L 4 a a ( L - a ) D 3 2 a D L 3 2 ( 1 - a ) L D EI 9 11 d 1 Figura álculo de δ 3 S Vão Figura 53 δ 3 S = (0.2 ab) ( E-03) 5/6 (1 + a/5) δ 3 S = ab ( a) Vão

40 E EI E - 03 ab L Figura 54 δ 3 S = 0.2 ab [ E-03 5/6 (1 + b/5) E-03 5/6 (1 + a/5)] δ 3 S = 0.2 ab [ b a] Vão D ab L 1 EI E Figura 55 δ 3 S = (0.2 ab) ( E-03) 5/6 (1 + a/5) δ 3 S = ab ( b) 2.6. Deslocamentos totais δ S = δ 1 S + δ 2 S + δ 3 S Em : δ S = a D ab ( a) = a ab ( a) Em : δ S = 0 + (1-0.2 a) D ab [ b a] = a ab [ b a] Em D: E: δ S = 0.5 a ab ( b) = 0.5 a ab ( b) ED: δ S = 0.5 (5 - a) ab (1+ 0.2b) = a ab ( b) 2.7. Linha de influência omo anteriormente, para o carregamento indirecto basta unir os pontos correspondentes à posição dos apoios indirectos na viga contínua principal (pontos 1 a 10).

41 D OEFIIENTES DE INFLUÊNI DO PRÉ-ESFORÇO s linhas de influência podem ser utilizadas para analisar o efeito do pré-esforço em estruturas hiperestáticas de betão. Supõe-se que a viga é pós-tensionada por um cabo de pré-esforço com tensão constante P. O cabo está ancorado nas extremidades produzindo forças de compressão no betão. Normalmente o angulo θ que a direcção do cabo faz com o eixo da viga é tão pequeno que a componente axial da força de pré-esforço é a igual a P. Se o cabo mudar de direcção com uma trajectória aproximadamente circular com raio R, o cabo exerce na viga uma força radial uniforme que se pode aproximar por uma força uniformemente distribuída perpendicular ao eixo da viga de intensidade P/R e igual à projecção do arco no eixo. Uma vez que a curvatura do cabo é pequena pode escrever-se: 1/R d 2 e/dx 2 onde e se refere à excentricidade do cabo que é positiva abaixo do centro de gravidade e a curvatura dos cabos produz uma carga transversal de intensidade:

42 q = - P d 2 e/x 2 que é positiva se q for no sentido de e. Os esforços na viga causados pelo pré-esforço são indicados na Fig.56. O diagrama de momentos flectores M s é obtido multiplicando P pela excentricidade. e 0 X P P e 0 e ( 0 ) = e b c P P 0 eam axis P P ( ) 0 P e P P e - + P e P ( ) bc 1 M M Figura 56

43 Se a rotação de extremidade da viga estiver restringida há um momento hiperestático nessa extremidade que provoca um momento adicional M. Designa-se por M o momento secundário devido ao pré-esforço. pesar do nome, o momento secundário pode ter um valor da mesma ordem de grandeza do momento primário (isostático) M s. O momento flector numa secçãopré-esforçada de uma estrutura hiperestática é igual à soma desses dois componentes. O diagrama de momentos total M pode ser obtido aplicando cargas transversais nos pontos em que o cabo muda de direcção e forças de compressão excentricas nas secções em que o cabo está ancorado, efectuando-se a análise da estrutura hiperestática como habitualmente. Experimenta-se um traçados do cabo e verifica-se os momentos e esforços em todos os pontos da estrutura. Modifica-se o traçado por tentativas até se obter um que satisfaz todas as especificações. Para estudar o efeito dos momentos secundários utiliza-se um novo tipo de coeficientes de influência: Os coeficientes de influência devidos ao pré-esforço podem ser obtidos para qualquer tipo de acção, embora seja mais comum os momentos flectores. O coeficiente de influência dos momentos devidos ao pré-esforço em j, z MP é definido como o momento secundário na secção i devido a uma força de pré-esforço aplicada na secção j com excentricidade unitária num membro com comprimento unitário. Figura 57

44 Os coeficientes de influência de pré-esforço dependem apenas da geometria da estrutura de betão e não do perfil dos cabos e valores da força de pré-esforço. utilização desses coeficientes permite entrar com a variação da força de pré-esforço segundo o tendão, obtendo-se uma estimativa rápida dos efeitos do pré-esforço quando se estuda a alteração da posição do cabo durante a fase de projecto. O momento secundário em qualquer secção será: M =... F P e z MP dx onde a integral se estende a todos os membros da estrutura. O cálculo deste integral consiste na determinação dos esforços devidos a uma carga transversal de intensidade Pe. Para pórticos com membros prismáticos a linha de influência é composta por troços rectos. Então, o momento secundário devido ao pré-esforço de uma viga prismática de comprimento l será: M = área do diagrama Pe sobre x ordenadas de influência z MP no o comprimento da viga centro de gravidade do diagrama Pe 5-1. Relações entre as Linhas de Influência O coeficiente de influência z MP para o momento secundário numa secção qualquer devido ao préesforço está relacionado com o coeficiente de influência dos momentos flectores z MQ que correspondem a uma carga transversal através da equação: z MP = - d 2 z MQ /dx 2 z MP em j é o momento secundário na secção i (ou o momento total, em virtude de M s ser nulo em i) devido à força de pré-esforço unitária aplicada em j com uma excentricidade unitária num elemento com comprimento unitário. diferença de rotação entre as secções nas extremidades do membro é 1/EI j em que EI j é a rigidez à flexão da secção j. Deste modo o coeficiente de influência z MP representa o momento flector em i quando se introduz uma descontinuidade angular de 1/EI j em j. Fig.57 representa a linha de influência dos momentos em i devido a uma carga unitária. tendendo ao princípio de Muller-reslau, esta pode ser determinada a partir da deformada provocada pela descontinuidade de 1 rad na secção i. Na secção j a curvatura da deformada é d 2 z MQ /dx 2 e o momento flector correspondente nessa secção é - EI j /(d 2 z MQ /dx 2 ). plicando o princípio de etti ao sistema da Fig.57 e notando que as únicas forças que produzem trabalho são os momentos flectores em i e j: d 2 1 z MP x 1 = (-E I j.z MQ ). dx 2 E I j

45 Do mesmo modo se demonstra que a reacção e o esforço transverso secundários devido ao préesforço estão relacionados com os coeficientes de influência das reacções e esforços transversos devidos a cargas unitárias transversais substituindo M por M, V por V ou R por R. Enquanto que a segunda derivada da linha de influência de uma acção devido a uma carga transversal dá a linha de influência do pré-esforço, pode demonstrar-se que a primeira derivada também constitui uma linha de influência. Por exemplo, se a acção for um momento tem-se: z M = dz MQ /dx onde z M é a linha de influência do momento numa secção devido a um binário oeficientes de Influência de Pré-esforço em Vigas e Pórticos linha de influência z MQ para o momento flector no apoio da viga contínua D está determinada na Fig.5 D 1 MQ - + D m + D m E I = MP - + D Figura 58 onclui-se do princípio de Muller-reslau que esta linha de influência corresponde à deformada da viga sujeita a uma descontinuidade angular em. O momento flector m correspondente a esta

46 deformada varia linearmente e está relacionado com a deformada η MQ através da relação: d 2 z MQ /dx 2 = - m/e I onclui-se que os coeficientes de influência z MP podem ser obtidos dividindo as ordenadas m do diagrama de momentos flectores pela rigidez EI de cada secção. z MP = m/e I Um dos passos da determinação das ordenadas da linha de influência em vigas biencastradas e pórticos consiste no traçado da deformada. partir desta pode ser determinado o diagrama e momentos m Exemplo Determinar a linha de influência do momento de pré-esforço z MP para a secção da viga contínua. secção transversal tem uma forma rectangular com largura constante e altura variável com uma rigidez à flexão EI na extremidade. rigidez rotacional da extremidade da viga é 4.6 E I /l. Efectua-se da forma habitual a distribuição de momentos e na Fig.59 representa-se a variação do momento flector m h h L L m = EI I - 1 L Figura 59

47 s ordenadas deste diagrama são divididas por EI para determinar a linha de influência z MP representada nessa figura onclusões O estudo das derivadas dos coeficientes de influência devido ao pré-esforço introduz dois novos tipos de linhas de influência. primeira derivada da linha de influência de qualquer acção devido a uma carga transversal unitária vai dar a linha de influência para a mesma acção devido a um momento que precorre a estrutura. Este tipo de linha de influência não é normalmente utilizado na prática. ontudo, a segunda derivada da linha de influência de uma acção devido a uma carga transversal dá os coeficientes de influência das redundantes hiperestáticas da acção devido às forças de pré-esforço. Esta linha de influência é útil para a determinação de momentos secundários em estruturas pré-esforçadas com perfil não concordante. Os coeficientes de influência dos momentos secundários devido ao pré-esforço só dependem da geometria da estrutura de betão e não do traçado do cabo ou do valor da força de pré-esforço. Qualquer variação da força de pré-esforço ou uma mudança do traçado do cabo pode ser facilmente estudada utilizando estes coeficientes de influência. Os coeficientes de influência dos momentos secundários são obtidos dividindo as ordenadas do diagrama dos momentos flectores pelo valor da rigidez à flexão das secções. Este diagrama de momentos flectores é simples de obter e decorre da análise de uma linha de influência devida a uma carga transversal unitária.

48 ILIOGRFI OTES, R.., outie, M.G. & Kong, F.K., Structural nalysis, Nelson, DRKOV,.,Structural Mechanics, MIR Publishers, GHLI,. & NEVILLE,.M., Structural nalysis, Intext Educational Publishers, LURSEN, H.I., Structural nalysis, McGraw-Hill, TEIXEIR DE FREITS, adernos de Teoria das Estruturas, EIST, TODD, J.D., Structural Theory and nalysis, MacMillan, 1981.