Probabilidades. Ricardo S. Ehlers. Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo.

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1 Ricardo S. Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo.

2 Ricardo Ehlers 1 1 NOÇÕES BÁSICA 1 Noções Básicas Os métodos estatísticos para análise de dados estão associados ao conceito de incerteza. Uma forma de quantificar o grau de incerteza (ou aleatoriedade) é através do conceito de probabilidade. Qual a probabilidade de, ganhar na Mega-Sena? encontrar uma pessoa com uma doença rara em uma população? a TV de 50 polegadas que acabou de comprar durar até a próxima copa do mundo? ocorrer um Tsunami no litoral de Portugal? ocorrer uma onda gigante (onda Draupner) próximo a uma plataforma de petróleo no Mar do Norte. ocorrer uma mutação que dá origem a uma super bactéria? um link de uma rede fique congestionado? um investidor perca todo o seu capital? Algumas aplicações, Cálculo de pensões em ciências atuariais. Precificação de ativos financeiros. Modelagem epidemiológica.

3 Ricardo Ehlers 2 1 NOÇÕES BÁSICA Figura 1: Região de influencia do furacão Rita.

4 Ricardo Ehlers 3 1 NOÇÕES BÁSICA Figura 2: Terremoto de magnitude 8.7 seguido de Tsunami em Lisboa, 1 novembro de Número estimado de mortes:

5 Ricardo Ehlers 4 1 NOÇÕES BÁSICA (a) (b) Figura 3: Ondas gigantes antes consideradas lendas de marinheiros. Hoje sabe-se que é um fenômeno natural nos oceanos.

6 Ricardo Ehlers 5 1 NOÇÕES BÁSICA Contágio Financeiro Aumento significativo da probabilidade de crise em um país condicional a crise em outro país. Por exemplo, a ocorrência de crise cambial em um país aumenta a probabilidade de ataques especulativos em outros países.

7 NOÇÕES BÁSICA Ricardo Ehlers 6 Index FTSE Index CAC40 DAX SP500 NIKKEI

8 Ricardo Ehlers 7 1 NOÇÕES BÁSICA y (a) x Medidas de Associação para Valores Extremos y y x x (b) (c) Figura 5: Diagramas de dispersão de: (a) 1000 valores simulados, (b) os 10 menores valores, (c) os 10 maiores valores.

9 Ricardo Ehlers 8 1 NOÇÕES BÁSICA Intuição, sem base teórica e reflexão em geral resulta em erro. Um modelo é uma simplificação da realidade (e alguns são úteis)

10 Ricardo Ehlers 9 1 NOÇÕES BÁSICA 1.1 Experimento aleatório Definição 1.1 Qualquer experimento cujo resultado não pode ser previsto com certeza absoluta é chamado de experimento aleatório. Alguns exemplos, 1. Em uma linha de produção selecionar lotes de peças e contar o número de defeituosas. 2. Contar o número de chamadas que chegam a uma central telefônica por hora. 3. Medir o tempo de duração de lâmpadas selecionadas de uma linha de produção. 1.2 Espaço Amostral e Eventos Definição 1.2 O espaço amostral é conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório, aqui denotado por S. Definição 1.3 Qualquer subconjunto A S é chamado de evento.

11 Ricardo Ehlers 10 1 NOÇÕES BÁSICA Alguns exemplos, 1. Lançamento de uma moeda e observação da face superior. S = {cara,coroa} A = {cara}. 2. Lançamento de um dado e observação da face superior. S = {1,2,3,4,5,6} A = {2,4,6}. 3. Contagem do número de peças defeituosas em um lote com 100 peças. S = {0,1,2,...,100} A = {0,1,...,10}. 4. Medição do tempo de vida de um equipamento eletrônico em horas. S = (0, ) A = (0,100].

12 Ricardo Ehlers 11 1 NOÇÕES BÁSICA 1.3 Operações com eventos Para dois eventos A e B quaisquer, 1. A união entre eles (A B) ocorre se somente se pelo menos um deles ocorre. Ou seja, se ocorre apenas o evento A, ou ocorre apenas o evento B, ou ambos ocorrem. Podemos dizer ainda que A ou B ocorrem. 2. A interseção (A B) ocorre se somente se ambos ocorrem simultaneamente, ou seja A e B ocorrem. Em particular, se A B = dizemos que A e B são mutuamente exclusivos. 3. Se A não ocorre dizemos que ocorre o seu complementar, A. As operações de interseção e união são comutativas, A B = B A e A B = B A. A e B são iguais se somente se A B e B A. i=1 A i e A i. i=1 As definições valem para um conjunto enumerável de eventos A 1,A 2,... Por exemplo A 1 A 2 A 3 occorre se occorre A 1 ou A 2 ou A 3 ou A 1 A 2 ou A 1 A 3 ou A 2 A 3 ou A 1 A 2 A 3.

13 Ricardo Ehlers 12 1 NOÇÕES BÁSICA Sejam A, B e C eventos quaisquer. 1. (A B) C = (A C) (B C). 2. (A B) C = (A C) (B C). 3. A B = A B. 4. A B = A B.

14 Ricardo Ehlers 13 1 NOÇÕES BÁSICA 1.4 Definições de Probabilidade A cada possível evento A S (espaço amostral) podemos associar um número real P(A) denominado probabilidade do evento A tal que, 1. 0 P(A) 1, 2. P(S) = 1, 3. P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )+P(A 2 ) se A 1 A 2 =.

15 Ricardo Ehlers 14 1 NOÇÕES BÁSICA Definição Clássica de Probabilidade Neste caso, obter P(A) consiste em contar o número de resultados favoráveis ao evento A e dividir pelo número de resultados possíveis do experimento. P(A) = número de resultados favoráveis a A. número de resultados possíveis Esta definição só faz sentido quando o espaço amostral é finito, de modo que possamos fazer as contagens requeridas, e também se todos os possíveis resultados têm a mesma chance de ocorrer.

16 Ricardo Ehlers 15 1 NOÇÕES BÁSICA p n Figura 6: Proporção de caras (p) em n lançamentos de uma moeda honesta em um experimento simulado.

17 Ricardo Ehlers 16 1 NOÇÕES BÁSICA 1.5 Métodos de Contagem Principio Multiplicativo Um experimento é realizado em k estágios sendo n i resultados possiveis no i-ésimo estágio. O número de elementos do espaço amostral é, k Definições, 1. Seja C = {c 1,...,c N }. Um subconjunto A = {a 1,...,a n } é chamado amostra de tamanho n. i=1 n i 2. Se amostras com os mesmos elementos em ordenações distintas forem consideradas diferentes elas são chamadas amostras ordenadas. 3. As amostras podem ser retiradas com ou sem reposição.

18 Ricardo Ehlers 17 1 NOÇÕES BÁSICA Quantas amostras ordenadas sem reposição de tamanho n podemos retirar de um conjunto com N elementos? (N) n = N(N 1) (N n+1). Quantas amostras ordenadas com reposição de tamanho n podemos retirar de um conjunto com N elementos? N n Exemplo 1.1: Retira-se amostras de tamanho n ordenadas com reposição do conjunto C = {c 1,...,c N }. Seja o evento, A= amostra não tem elemento repetido. Então, P(A) = (N) n N n. Permutação Uma amostra ordenada sem reposição de tamanho n retirada de um conjunto com n elementos é chamada permutação. Quantas permutações de n elementos podemos obter? (n) n = P n = n(n 1) (n n+1) = n!

19 Ricardo Ehlers 18 1 NOÇÕES BÁSICA Combinações Para qualquer inteiro positivo N, ( ) N = n (x+y) N = N n=0 N! n!(n n)! = (N) n P n = C N,n é chamado coeficiente binomial. ( ) N x n y N n, x R, y R. n ( ) N é o número de maneiras em que n elementos podem ser selecionados dentre N sendo a ordem irrelevante. n Propriedades, ( ) N 1. = n 2. ( ) N = n ( ) N. N n ( ) N 1 + n 1 ( N 1 n ). Estamos obtendo um subconjunto com n elementos e outro com N n elementos. De quantas maneiras diferentes podemos selecionar 2 peças defeituosas de um lote com 100 peças?

20 Ricardo Ehlers 19 1 NOÇÕES BÁSICA De quantas maneiras podemos selecionar subconjuntos com n 1,...,n k elementos tais que n 1 + +n k = N? Por exemplo, se k = 3, ( )( )( ) N N n1 N n1 n 2 = n 1 n 2 n 3 N! n 1!n 2!n 3!. No caso geral, ( )( ) ( ) N N n1 N n1 n k 1 = n 1 é chamado de coeficiente multinomial. n 2 n k N! n 1!...n k!

21 Ricardo Ehlers 20 1 NOÇÕES BÁSICA 1.6 Propriedades de Probabilidade 1. P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ) se A i A j =, para todo i j. 2. P(A) = 1 P(A) onde A é o complementar de A. 3. P(A A) = 1 e P( ) = Se A B então P(A) P(B). 5. P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). 6. P(A 1 A 2 A n ) = 1 P(A 1 A 2 A n )

22 Ricardo Ehlers 21 1 NOÇÕES BÁSICA 1.7 Probabilidade Condicional Para dois eventos A e B, sendo que P(B) > 0, Todas as propriedades continuam válidas. Por exemplo, P(A B) = P(A B). P(B) P(A B) = 1 P(A B). Regra do produto de probabilidades, P(A B) = P(A B)P(B). P(A B) ou P(A,B) ou P(AB) é a probabilidade conjunta dos eventos A e B. P(A) e P(B) são as probabilidades marginais.

23 Ricardo Ehlers 22 1 NOÇÕES BÁSICA Exemplo 1.2: Duas bolas são retiradas ao acaso de uma urna contendo 2 bolas brancas (B) e 3 vermelhas (V), sem reposição. Neste caso os possíveis resultados do experimento são {BB,BV,VB,VV} e suas probabilidades são, P(B B) = P(B)P(B B) = = 2 20 P(B V) = P(B)P(V B) = = 6 20 P(V B) = P(V)P(B V) = = 6 20 P(V V) = P(V)P(V V) = = Se as retiradas são feitas com reposição a informação sobre a cor da bola na primeira retirada não altera as chances de obtermos uma bola branca na segunda retirada. Então, e dizemos que as retiradas são independentes. P(B V) = P(B B) = P(B)

24 Ricardo Ehlers 23 1 NOÇÕES BÁSICA Regra do produto para n eventos, P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 A 2 A n )P(A 2 A n ) = P(A 1 A 2 A n )P(A 2 A 3 A n )P(A 3 A n ). = P(A 1 A 2 A n )P(A 2 A 3 A n ) P(A n 1 A n )P(A n ) P(A 1 A 2 A n ) = P(A n A 1 A n 1 )P(A 1 A n 1 ) = P(A n A 1 A n 1 )P(A n 1 A 1 A n 2 )P(A 1 A n 2 ). = P(A n A 1 A n 1 )P(A n 1 A 1 A n 2 ) P(A 2 A 1 )P(A 1 ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 ) P(A n 1 A 1 A n 2 )P(A n A 1 A n 1 )

25 Ricardo Ehlers 24 1 NOÇÕES BÁSICA Totais Sejam B 1,...,B n tais que B i B j = e n k=1 B k = S. Para qualquer evento A, A = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B n ). Como os eventos (A B k ), k = 1,...,n são mutuamente exclusivos, n n P(A) = P(A B k ) = P(A B k )P(B k ). k=1 k=1 Ou seja, se as probabilidades P(A B k ) e P(B k ), k = 1,...,n forem conhecidas pode-se calcular P(A).

26 Ricardo Ehlers 25 1 NOÇÕES BÁSICA Teorema de Bayes Em muitas aplicações estaremos interessados em calcular a probabilidade de um dos eventos B i ocorrer dado que A ocorreu, P(B i A) = P(B i A) P(A) = P(A B i)p(b i ). n P(A B k )P(B k ) k=1 Chamamos esta última igualdade de teorema de Bayes ou regra de Bayes, que nos mostra como atualizar a nossa crença no evento A i após receber novas informações (i.e. que A ocorreu). P(B i ) é a probabilidade a priori do evento B i, porque antecede a informação sobre o evento A. P(B i A) é a probabilidade a posteriori do evento B i porque é calculada após termos informação sobre A. Para um valor específico de B, P(A B i ) é chamada função de verossimilhança de B i.

27 Ricardo Ehlers 26 1 NOÇÕES BÁSICA 1.8 Independência Dois eventos A e B são independentes se e somente se P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B) ou equivalentemente, P(A B) = P(AB) = P(A)P(B). O conceito de independência pode ser estendido a um número qualquer de eventos. Por exemplo, A 1,A 2,A 3 são independentes se somente se, P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) P(A 1 A 3 ) = P(A 1 )P(A 3 ) P(A 2 A 3 ) = P(A 2 )P(A 3 ) P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) No caso geral, A 1,...,A n são independentes se somente se, Todos os subconjuntos de tamanho k tem eventos independentes, k = 2,...,n.

28 Ricardo Ehlers 27 1 NOÇÕES BÁSICA Figura 7: Map of relative risk point estimates by district in Curitiba in 2000.

29 Ricardo Ehlers 28 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 2 Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade 2.1 Variáveis Aleatórias Definição 2.1 Uma variável aleatória é uma função definida num espaço amostral que assume valores reais. Exemplo 2.1: Uma moeda é lançada 3 vezes. Sejam os eventos, C: resultado cara, K: resultado coroa, e as funções, X: o número de caras, Y: o número de faces iguais. valores de X valores de Y CCC 3 3 CCK 2 2 CKC 2 2 KCC 2 2 KKC 1 2 KCK 1 2 CKK 1 2 KKK 0 3

30 Ricardo Ehlers 29 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 2.2 Variáveis Aleatórias Discretas Uma variável aleatória discreta X assume valores x 1,x 2,... em um conjunto finito ou infinito enumerável e caracteriza-se por sua função de probabilidade tal que P(X = x i ) = 1. i são somas, para um conjunto A qualquer. P(X A) = x i A P(X = x i ), No exemplo anterior, assumindo que a moeda é honesta e os lançamentos são independentes todos os resultados do espaço amostral tem probabilidade 1/8. Por exemplo, P(CCK) = P(C)P(C)P(K) = = 1 8. Distribuição de probabilidades de X, Valores de X

31 Ricardo Ehlers 30 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE P(X = 3) = P(CCC) = 1 8 P(X = 2) = P(CCK)+P(CKC)+P(KCC) = 3 8 P(X = 1) = P(CKK)+P(KKC)+P(KCK) = 3 8 P(X = 0) = P(KKK) = 1 8 Outras probabilidades podem ser calculadas, por exemplo, P(X 2) = P(X = 2)+P(X = 3) = = 1 2 P(X 2) = P(X = 2)+P(X = 1)+P(X = 0) = = 7 8

32 Ricardo Ehlers 31 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 2.3 Densidades de Probabilidade Definição 2.2 A densidade de probabilidade de uma variável aleatória continua X é uma função f(x) que satisfaz, 1. f(x) 0, x R. 2. f(x)dx = 1. são obtidas calculando-se a integral definida da função f(x). P(a < X < b) = Neste caso, P(X = x) = 0 e portanto segue que b a f(x)dx. P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b).

33 Ricardo Ehlers 32 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE f(x) P(0 < X < 5) x Figura 8: P(0 < X < 5) para uma variável aleatória continua X com função de densidade f(x).

34 Ricardo Ehlers 33 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE f(x) x Figura 9: P( 5 < X < 0) e P(9 < X < 14) para uma variável aleatória continua X com função de densidade f(x).

35 Ricardo Ehlers 34 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Exemplo 2.2: Seja a seguinte função de densidade de probabilidade, f(x) = { k, se x (a,b), 0, caso contrário. Como Portanto, f(x)dx = b a kdx = 1 segue que k = 1 b a. f(x) = 1/(b a), se x (a,b), 0, caso contrário.

36 Ricardo Ehlers 35 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 2.4 Função de Distribuição Definição 2.3 Função de distribuição (acumulada) de uma variável aleatória X, F(x) = P(X x), x R. Propriedades, 1. 0 F(x) F(x) é não decrescente e contínua a direita. 3. lim F(x) = 0 e lim F(x) = 1. x x Exemplo 2.3: Uma moeda honesta é lançada 3 vezes de forma independente e X representa o número de caras. 0, x < 0, 0.125, 0 x < 1, F(x) = 0.5, 1 x < 2, 0.875, 2 x < 3, 1, x 3.

37 Ricardo Ehlers 36 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE F(x) x

38 Ricardo Ehlers 37 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Para uma variável aleatória discreta X que assume valores x 1,x 2,..., F(x) = P(X = x i ). i:x i x Exemplo 2.4: Seja a variável aleatória X tal que, F(x) = 0, x < 0, 0.5, 0 x < 1, 0.6, 1 x < 2, 0.85, 2 x < 3, 1, x 3. P(X = 0) = F(0) = 0.5, P(X = 1) = F(1) F(0) = 0.1, P(X = 2) = F(2) F(1) = 0.25, P(X = 3) = F(3) F(2) = 0.15.

39 Ricardo Ehlers 38 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE F(x) x

40 Ricardo Ehlers 39 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Para uma variável aleatória continua X, F(x) = P(X x) = f(x) = df(x) dx, x P(a < X b) = F(b) F(a), a < b. f(y)dy, Exemplo 2.5: Seja a variável aleatória X tal que, x, se 0 x 1, f(x) = 2 x, se 1 x 2, 0, x < 0 ou x > 2. Para x 0, F(x) = 0. Para 0 x 1, F(x) = x ydy = x 0 ydy = x2 2. Para 1 x 2, F(x) = Para x > 2, F(x) = ydy + x 1 (2 y)dy = 1 2 (2 x) = 1 (x 2)2 2

41 Ricardo Ehlers 40 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE F(x) x Figura 10: F(x) do Exemplo 2.5.

42 Ricardo Ehlers 41 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 2.5 Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Discretas Definição 2.4 Seja uma variável aleatória discreta X que assume valores x 1,x 2,... A esperança matemática denotada por E(X) é dada por, E(X) = x 1 P(X = x 1 )+x 2 P(X = x 2 )+ = x i P(X = x i ). i=1 Exemplo 2.6: Sejam as variáveis aleatórias X e Y com as distribuições de probabilidade abaixo. X P(X=x) Y P(Y=y) 3 1/8-3 4/9 2 3/8-1 1/9 1 3/8 0 2/9 0 1/8 2 2/9 E(X) = 0 1/8+1 3/8+2 3/8+3 1/8 = 12/8 = 1.5. E(Y) = 3 4/9 1 1/9+0 2/9+2 2/9 = 9/9 = 1.

43 Ricardo Ehlers 42 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Defina agora Z = X +Y com a seguinte distribuição, X Y Z P(Z=z) E(Z) = 0.5 = = E(X)+E(Y).

44 Ricardo Ehlers 43 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Lema 2.1 Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que E(X) e E(Y) existem e uma constante c R. Então, 1. E(X +Y) = E(X)+E(Y). 2. E(cX) = ce(x). Podemos estender para variáveis aleatórias X 1,...,X n e constantes c 1,...c n, E(c 1 X 1 + +c n X n ) = c 1 E(X 1 )+ +c n E(X n ). A esperança está sempre compreendida entre os valores extremos da variável aleatória.

45 Ricardo Ehlers 44 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 2.6 Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Continuas Definição 2.5 A esperança matemática de uma variável aleatória continua X é dada por, E(X) = xf(x)dx. Exemplo 2.7: Sejam as variáveis aleatórias X e Y tais que, f(x) = { 2x, 0 < x < 1/2 0, caso contrario e f(y) = { 2y/3+4/3, 1/2 < y < 2 0, caso contrario e queremos obter E(2X 5Y). 1/2 E(X) = 2 x 2 dx = E(Y) = /2(4y 2y 2 )dy = 1 3 = 1 27 (8 16/3 1/2+1/12) = 3 36 [ 2y y3 ] 2 1/2 E(2X 5Y) = 2E(X) 5E(Y) = =

46 Ricardo Ehlers 45 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 2.7 Funções de Variáveis Aleatórias Definição 2.6 Sejam X uma variável aleatória discreta e Y = g(x). Então, 1. P(Y = y) = x:g(x)=yp(x = x), 2. E(Y) = xg(x)p(x = x). Exemplo 2.8: Sejam X o resultado do lançamento de um dado honesto e Y = (X E(X)) 2 variáveis aleatórias discretas. Então, E(X) = 1 ( ) = E(Y) = 6 (i 3.5) 2 P(X = i) = 1 6 i=1 6 (i 3.5) 2 i=1 = 1 6 [(1 3.5)2 +(2 3.5) 2 +(3 3.5) 2 +(4 3.5) 2 +(5 3.5) 2 +(6 3.5) 2 ] = 2.92.

47 Ricardo Ehlers 46 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Definição. A variância de uma variável aleatória X é dada por, σ 2 (X) = E(X E(X)) 2. σ 2 (X) = (x i E(X)) 2 P(X = x i ), i=1 Se X for discreta assumindo valores x 1,x 2,..., e se X for continua, σ 2 (X) = (x E(X)) 2 f(x)dx. Usando a definição de variância e expandindo o quadrado obtém-se que, σ 2 (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Definição. O desvio padrão de uma variável aleatória X é a raíz quadrada positiva de sua variância.

48 Ricardo Ehlers 47 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Exemplo. Sejam as variáveis aleatórias X e Y com as distribuições de probabilidade abaixo. X P(X=x) Y P(Y=y) 3 1/8-3 4/9 2 3/8-1 1/9 1 3/8 0 2/9 0 1/8 2 2/9 Então, E(X) = 1.5, σ 2 (X) = ( 1.5) 2 1/8+( 0.5) 2 3/8+(0.5) 2 3/8+(1.5) 2 1/8 = 0.75, E(Y) = 1, σ 2 (Y) = ( 2) 2 4/9+(0) 2 1/9+(1) 2 2/9+(3) 2 2/9 = 4

49 Ricardo Ehlers 48 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 2.8 Função Geradora de Momentos Definição 2.7 Seja uma variável aleatória X. Define-se o momento de ordem k de X como E(X k ), para k = 1,2,... E(X k ) = x k i P(X = x i), i=1 Se X for discreta assumindo valores x 1,x 2,..., e se X for continua, E(X k ) = x k f(x)dx. Definição 2.8 A função geradora de momentos de uma variável aleatória X é definida como E(e tx ), t R tal que E(e tx ) <. Notação: φ X (t) = E(e tx ). Note que, E(e tx ) é uma função de t. E(e tx ) > 0 t.

50 Ricardo Ehlers 49 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Exemplo 2.9: Seja uma variável aleatória contínua X tal que, Então, f(x) = λe λx, x > 0, λ > 0. φ X (t) = λ e tx e λx dx = λ 0 λ t, t < λ. Exemplo 2.10: Seja uma variável aletória discreta X tal que, Então, P(X = x) = λx e λ, λ > 0, x = 0,1,2,... x! φ X (t) = e λ e tx λ x x! x=0 = e λ (λe t ) x x=0 x! = exp( λ(1 e t )), t R.

51 Ricardo Ehlers 50 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE A partir da função geradora de momentos pode-se obter todos os momentos de uma variável aleatória X (desde que existam). Teorema 2.1 Seja uma variável aleatória X tal que φ X (t) <. Então E(X k ) existe e é dado por, E(X k ) = k φ X (t) t k. t=0

52 Ricardo Ehlers 51 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI 3 Variáveis Aleatórias Discretas Multidimensionais 3.1 Distribuições de Probabilidade Alguns exemplos. 1. Sejam as variáveis aleatórias discretas X 1, X 2 e X 3 representando o número de pousos e decolagens em 3 aeroportos brasileiros. Então X = (X 1,X 2,X 3 ) é uma variável aleatória discreta tridimensional. 2. Emum grupode n pessoascada uma podeounão ser portadoradeuma doença. Sejam as variáveisaleatóriasdiscretas, { 1, se a i-ésima pessoa tem a doença, X i = 0, caso contrário i = 1,...,n. Então X = (X 1,...,X n ) é uma variável aleatória discreta n-dimensional. Definição. A distribuição conjunta de X 1,...,X n consiste de todos os seus possiveis valores x 1,...,x n e suas respectivas probabilidades P(X 1 = x 1,...,X n = x n ).

53 Ricardo Ehlers 52 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI 3.2 Distribuições Marginais Seja (X, Y) uma variável aleatória discreta bidimensional. Então, P(X = x i ) = P(Y = y j ) = P(X = x i,y = y j ) j=1 P(X = x i,y = y j ) i=1 são denominadas distribuições marginais de X e Y. No caso geral de uma variável aleatória n-dimensional X 1,...,X n, P(X = x i ) = P(X 1 = x 1,...,X i 1 = x i 1,X i = x i,x i+1 = x i+1,...,x n = x n ) x 1 x i+1 x n x i 1

54 Ricardo Ehlers 53 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI Exemplo A variável aleatória bidimensional (X, Y) tem a seguinte distribuição de probabilidades, X/Y Então, P(X = 1) = 0.24 P(X = 2) = 0.38 P(X = 3,Y = 4) = = 0.04 P(X = 3) = 0.38 P(Y = 1) = 0.28 P(Y = 2) = 0.3 P(Y = 3) = 0.16 P(Y = 4) = 0.26

55 Ricardo Ehlers 54 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI 3.3 Variáveis Aleatórias Independentes P(X 1 = x 1,...,X n = x n ) = P(X 1 = x 1 ) P(X n = x n ) F(x 1,...,x n ) = F X1 (x 1 ) F Xn (x n ) E(X 1,...,X n ) = E(X 1 ) E(X n )

56 Ricardo Ehlers 55 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI 3.4 Covariância e Coeficiente de Correlação Definição. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional. A covariância de X e Y é definida como, Cov(X,Y) = E[(X E(X))(Y E(Y))] = E(XY) E(X)E(Y) No caso particular de variáveis aleatória discretas, Cov(X,Y) = = [(x i E(X))(y j E(Y))] P(X = x i,y = y j ) i=1 j=1 x i y j P(X = x i,y = y j ) E(X)E(Y) i=1 j=1

57 Ricardo Ehlers 56 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI Para a,b R constantes e as variáveis aleatórias X e Y valem as seguintes propriedades, 1. Cov(X,Y) R. 2. Cov(X,Y) depende da escala de X e Y. 3. Cov(X,X) = σ 2 (X). 4. Cov(aX,bY)= abcov(x,y). 5. Cov(X,a) = Cov(a+X,b+Y) = Cov(X,Y).

58 Ricardo Ehlers 57 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI Definição. O coeficiente de correlação (linear) de X e Y é definido como, Propriedades, ρ(x,y) = Cov(X,Y) σ(x) σ(y). 1. ρ(x,y) ( 1,1). 2. Se ρ(x,y) = ±1, X e Y estão perfeitamente correlacionadas. Embora o coeficiente de correlação seja a medida mais utilizada para quantificar o grau de associação entre 2 variáveis ele pode apresentar sérias deficiencias e as variáveis precisam atender a vários requisitos.

59 Ricardo Ehlers 58 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI No Exemplo obtemos, E(X) = 2.14 E(Y) = 2.4 E(X 2 ) = 5.18 E(Y 2 ) = 7.08 σ 2 (X) = = 0.6 σ 2 (Y) = = 1.32 E(XY) = = Portanto, Cov(X,Y) = 5.04 (2.14)(2.4) = ρ = = 0.11.

60 Ricardo Ehlers 59 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI 3.5 Distribuições Condicionais No Exemplo suponha que o experimento consiste em inspecionar itens manufaturados. As variáveis aleatórias X e Y representam o tipo de defeito (1, 2 ou 3) e o fornecedor do item (1, 2, 3 ou 4). Que proporção de itens produzidos pelo fornecedor 1 deverão apresentar defeito do tipo 2? P(X = 2 Y = 1) =? Se um item escolhido ao acaso apresenta defeito do tipo 3 qual a probabilidade de ter vindo do fornecedor 2? P(Y = 2 X = 3) =?

61 Ricardo Ehlers 60 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI Definição. Dadas as variáveis aleatórias X e Y, é a distribuição condicional de Y dado X. P(Y = y X = x) = P(Y = y,x = x) P(X = x) Analogamente, é a distribuição condicional de X dado Y. P(X = x Y = y) = P(Y = y,x = x) P(Y = y)

62 Ricardo Ehlers 61 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI No Exemplo 3.2.2, P(Y = 1 X = 1) = = 0.42 P(Y = 2 X = 1) = = 0.21 P(Y = 3 X = 1) = = 0.08 P(Y = 4 X = 1) = = 0.29 P(Y = 1 X = 2) = = 0.21 P(Y = 2 X = 2) = = 0.13 P(Y = 3 X = 2) = = 0.26 P(Y = 4 X = 2) = = 0.39 P(Y = 1 X = 3) = = 0.26 P(Y = 2 X = 3) = = 0.53 P(Y = 3 X = 3) = = 0.11 P(Y = 4 X = 3) = = 0.11

63 Ricardo Ehlers 62 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI Definição 3.1 Esperança condicional, E(Y X = x) = Y y P(Y X = x). E(X Y = y) = x x P(X Y = y). No Exemplo 3.2.2, E(Y X = 1) = 1(0.42)+2(0.21)+3(0.08)+4(0.29) E(Y X = 2) = 1(0.21)+2(0.13)+3(0.26)+4(0.39) E(Y X = 3) = 1(0.26)+2(0.53)+3(0.11)+4(0.11) Analogamente para E(X Y = y), y = 1,2,3,4.

64 Ricardo Ehlers 63 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MULTIDIMENSIONAI Lema 3.1 Para as variáveis aleatórias X e Y, E(Y) = E[E(Y X)] = x E(Y X = x)p(x = x). E(X) = E[E(X Y)] = y E(X Y = y)p(y = y).

65 Ricardo Ehlers 64 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO 4 Modelos Probabilisticos Discretos A distribuição Uniforme Discreta Suponha um experimento com um número finito de possíveis resultados, todos com a mesma probabilidade de ocorrer. Defina uma v.a. X cujos possíveis valores {x 1,...,x k } estão associados aos resultados deste experimento. Então, P(X = x i ) = 1 k, i = 1,...,k. Var(X) = 1 k E(X) = 1 k k i=1 x i [ k k ] [x i E(X)] 2 = 1 x 2 i k ke(x)2 i=1 i=1

66 Ricardo Ehlers 65 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO A distribuição de Bernoulli Estamos interessados na ocorrência de um sucesso ou falha com P(sucesso) = p e P(fracasso) = 1 p Definindo-se então X = P(X = x) = { 1, se ocorre sucesso 0, se ocorre fracasso { p x (1 p) 1 x se x = 0,1 0 caso contrário. Dizemos que X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p, X Bernoulli(p), 0 < p < 1. E(X) = 1 P(X = 1)+0 P(X = 0) = p E(X 2 ) = 1 P(X = 1)+0 P(X = 0) = p Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X) = p p 2 = p(1 p).

67 Ricardo Ehlers 66 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO 4.1 A distribuição Binomial Sejam n ensaios de Bernoulli independentes, com n fixo e P(sucesso) = p. Seja X o número total de sucessos obtidos, independente da ordem em que eles ocorrem. A variável aleatória X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p, com função de probabilidade, P(X = k) = X Binomial(n,p), 0 < p < 1. ( ) n p k (1 p) n k = k n! k!(n k)! pk (1 p) n k, k = 0,1,...,n E(X) = n ( ) n k p k (1 p) n k = np k k=0 Var(X) = np(1 p) φ X (t) = (p e t +1 p) n

68 Ricardo Ehlers 67 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO Representação Alternativa Sejam X 1,...,X n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tais que X i Bernoulli(p), i = 1,...,n. Então, X = n X i Binomial(n,p). i=1

69 Ricardo Ehlers 68 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO p = 0.2 p = p = 0.7 p = Figura 11: Gráficos da probabilidades binomiais com n=5, para p =0.2, 0.5, 0.7 e 0.9.

70 Ricardo Ehlers 69 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO p = 0.2 p = p = 0.7 p = Figura 12: Gráficos da probabilidades binomiais com n=20, para p =0.2, 0.5, 0.7 e 0.9.

71 Ricardo Ehlers 70 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO p = 0.2 p = p = 0.7 p = Figura 13: Gráficos da probabilidades binomiais com n=100, para p =0.2, 0.5, 0.7 e 0.9.

72 Ricardo Ehlers 71 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO Em uma linha de montagem estima-se que a proporção de itens defeituosos é aproximadamente 0,1. Assume-se que esta proporção é (aproximadamente) constante ao longo do processo. 20 itens são selecionados de forma independente. Definindo a variável aleatória X como o número de itens defeituosos podemos calcular por exemplo, P(no máximo 2 itens defeituosos) = P(X 2) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) = ( ) 20 0,1 0 0, ( ) 20 0,1 1 0, ( ) 20 0,1 2 0, = 0,1216+0,2702+0,2852 = 0,677. E(X) = np = 2 Var(X) = np(1 p) = 1.8

73 Ricardo Ehlers 72 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO Experimentos não binomiais, 1. Lançar um dado até que apareça o número 6. (Número de repetições não é fixo). 2. Testar itens em um lote até encontrar 5 defeituosos. 3. De um conjunto de 20 prontuários de pacientes dos quais 5 sofreram infarto sortear 3 sem reposição e contar quantos sofreram infarto. 4. De um lote de itens manufaturados retirar 15 itens sem reposição e verificar quantos são defeituosos e não defeituosos. (Ensaios não são independentes). 5. Calcular a probabilidade de ganhar na Mega-Sena (apostador escolhe 7 dezenas dentre 60).

74 Ricardo Ehlers 73 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO 4.2 Distribuição Hipergeométrica Considere um experimento que resulta em ensaios de Bernoulli dependentes. Uma forma de induzir dependência consiste em amostrar sem reposição de uma população finita. Suponha que temos uma amostra e uma população tais que, População: tem M elementos do tipo I, N M do tipo II. Amostra: tem k elementos do tipo I, n k do tipo II. Suponha que itens são sorteados sem reposição. Seja a v.a. X o número de elementos do tipo I na amostra. Dizemos que X tem distribuição hipergeométrica com função de probabilidade, ( )( ) M N M P(X = k) = k n k ( ) N, k = max(0,n (N M)),...,min(M,n). n E(X) = n M N = np Var(X) = n M N N M N ( 1 n 1 ) ( = np(1 p) 1 n 1 ). N 1 N 1

75 Ricardo Ehlers 74 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO Observações, 1. Se n = 1 então k = 0 ou k = 1, P(X = 1) = ( )( ) M N M 1 0 ( ) = M N N, X Bernoulli(M/N) Se os itens forem sorteados com reposição, ( X Binomial n, M ). N

76 Ricardo Ehlers 75 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO Exemplo: Um fabricante garante que produz 10% de itens defeituosos. De um lote com 100 itens serão selecionados 5 ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de nenhum ser defeituoso? População: N = 100, M =10 (itens defeituosos) Amostra: n = 5, k = 0 X: número de defeituosos na amostra. ( )( ) P(X = 0) = 0 5 ( ) 0, E(X) = = ( Var(X) = ) 0,

77 Ricardo Ehlers 76 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO

78 Ricardo Ehlers 77 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO 4.3 Distribuição Geométrica Suponha que ensaios de Bernoulli são realizados de forma independente e com a mesma probabilidade de sucesso (p). Seja X o número de ensaios necessários antes de ocorrer primeiro sucesso. Por exemplo, Número de inspeções necessárias antes de encontrar-se um item defeituoso em um lote. Número de nascimentos antes de nascer um menino. Dizemos que X tem distribuição Geométrica com parâmetro p, com função de probabilidade, X Geometrica(p), 0 < p < 1, P(X = k) = (1 p) k p, k = 0,1,2,... E(X) = 1 p p Var(X) = 1 p p 2.

79 Ricardo Ehlers 78 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO Exemplo: Um motorista vê uma vaga de estacionamento em uma rua. Há 5 carros na frente dele, e cada um deles tem probabilidade 0.2 de tomar a vaga. Qual a probabilidade da vaga ser tomada pelo carro que está imediatamente a frente dele? Seja a v.a. X o número de carros que passam pela vaga antes que ela seja tomada (sucesso). Cada motorista toma a vaga ou não de forma independente. Então, P(X = 4) = (0.8) = E(X) = 0.8/0.2 = 4 Var(X) = 0.8/0.04 = 20

80 Ricardo Ehlers 79 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO p = 0.2 p = p = 0.7 p = Figura 14: Gráficos das probabilidades geométricas para p =0,2, 0,5, 0,7 e 0,9.

81 Ricardo Ehlers 80 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO Lema 4.1 (Falta de memória) Se X é uma variável aleatória com distribuição Geométrica, P(X j +k X j) = P(X k). Definição alternativa. Seja Y o número de ensaios até ocorrer o primeiro sucesso. Então Y = X +1, P(Y = j) = (1 p) j 1 p, j = 1,2,...

82 Ricardo Ehlers 81 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO Distribuição Binomial Negativa Seja X o número de ensaios de Bernoulli independentes antes de ocorrerem r sucessos. X tem distribuição de binomial negativa com parâmetros r e p, denotando-se X BN(r,p). Sua função de probabilidade é dada por, ( ) r +x 1 p(x r,p) = p r (1 p) x, x = 0,1,... x para r 1 e 0 < p < 1. E(X) = r(1 p) p V(X) = r(1 p) p 2. Um caso particular é quando r = 1 e neste caso diz-se que X tem distribuição geométrica com parâmetro p.

83 Ricardo Ehlers 82 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO 4.4 A distribuição de Poisson Usada para modelar o número de ocorrências de um certo fenômeno, durante um intervalo fixo de tempo ou região fixa do espaço. Exemplos: o número de chamadas recebidas por uma central telefônica por hora, o número de defeitos por unidade de comprimento de uma fita magnética, o número de nmetóides encontrados por unidade de superfície de solo, o número diário de novos casos de câncer de mama, etc. Seja a variável aleatória X o número de ocorrências por intervalo fixo (de tempo ou espaço). Dizemos que X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ, X Poisson(λ), λ > 0, com função de probabilidade, P(X = k) = λk e λ, λ > 0, k = 0,1,... k! E(X) = Var(X) = k=0 k=0 k λk e λ k! = λ (k E(X)) 2 λk e λ k! = λ

84 Ricardo Ehlers 83 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO λ = λ = λ = 5 λ = Figura 15: Gráficos das probabilidades Poisson para λ=1, 2, 5 e 15.

85 Ricardo Ehlers 84 4 MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETO Exemplo 4.1: Um vendendor de seguros vende em média 3 apolices por semana. Calcule a probabilidade dele vender 2 ou mais apolices numa dada semana. Definindo a variável aleatória X o número de apolices vendidas por semana e assumindo que X Poisson(λ) segue que λ = 3 e, P(X 2) = 1 P(X < 2) = 1 [P(X = 0)+P(X = 1)] = 1 30 e 3 0! 31 e 3 1! 0.8 Considerando 5 dias úteis na semana, calcule a probabilidade dele vender 1 apólice num dado dia. O número médio de apolices vendidas por dia é 3/5=0.6. Definindo a variável aleatória Y o número de apolices vendidas por dia, e assumindo que Y Poisson(θ) então θ = 0.6 e, P(Y = 1) = 0.61 e 0.6 1!

86 Ricardo Ehlers 85 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO 5 Modelos Probabilisticos Continuos 5.1 Distribuição Uniforme A forma mais simples de modelar um fenômeno aleatório cujos valores ocorrem no intervalo (a,b) da reta dos reais é através de uma v.a. X cuja probabilidade de pertencer a qualquer subintervalo de (a, b) seja proporcional ao comprimento do subintervalo. Matematicamente, se (c, d) (a, b) então P(c X d) d c. Isto significa que função de densidade de probabilidade de X deve ser escrita como Deste modo, f(x) = { 1 b a, a x b 0, caso contrário P(c X d) = d c b a E(X) = (a+b)/2 Var(X) = (b a) 2 /12

87 Ricardo Ehlers 86 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO Exemplo 5.1: Seja X uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo(-1,4). Então a função de densidade de probabilidade de X é { 1/5, 1 x 4 f(x) = 0, caso contrário e também P(0 X 2) = 2/5.

88 Ricardo Ehlers 87 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO 5.2 Distribuição Normal Se uma varável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ 2, sua função densidade de probabilidades é, { } 1 f(x) = exp (x µ)2, µ R, σ 2 > 0, x R, 2πσ 2 2σ 2 sendo a esperança e a variância dadas por E(X) = µ e Var(X) = σ 2 Usaremos a seguinte notação X N(µ,σ 2 ). Pode-se mostrar que, chamada de normal padrão. Assim, P(a < X < b) = Z = X µ σ = b a (b µ)/σ N(0,1) { } 1 exp (x µ)2 dx 2πσ 2 2σ 2 (a µ)/σ 1 2π exp } { z2 dz 2

89 Ricardo Ehlers 88 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO 0.8 N(6,0.25) 0.6 f(x) 0.4 N(0,1) N(3,1) 0.2 N(6,4) x Figura 16: Gráficos da curva normal para alguns valores de µ e σ.

90 Ricardo Ehlers 89 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO Simetria Sendo a distribuição simétria em torno de µ podemos escrever, f(µ a) = f(µ+a), a R, P(X < µ a) = P(X > µ+a), F(µ a) = 1 F(µ+a). Motivação Sejam X 1,...,X n independentes e identicamente distribuidastaisque E(X i ) = µ e Var(X i ) = σ 2. Então, a variávelaleatória S n = X 1 + +X n = n i=1 X i tem distribuição aproximadamente normal com E(S n ) = nµ e Var(S n ) = nσ 2. Exemplo: Em uma linha de produção sabe-se que aproximadamente 10% dos itens são defeituosos. Se 50 itens forem inspecionados sequencialmente de forma independente qual a probabilidade de que 20 sejam defeituosos?

91 Ricardo Ehlers 90 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO p = 0.2 p = (a) (b) p = 0.7 p = (c) (d) Figura 17: Gráficos da probabilidades binomiais com n = 20, para p =0.2, 0.5, 0.7 e 0.9 com a curva normal aproximada.

92 Ricardo Ehlers 91 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO p = 0.2 p = p = p = Figura 18: Gráficos da probabilidades binomiais com n = 50, para p =0.2, 0.5, 0.7 e 0.9 com a curva normal aproximada.

93 Ricardo Ehlers 92 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO 5.3 Alguns Modelos para Tempos de Vida Definição: Função de confiabilidade ou função de sobrevivência, R(x) = 1 F(x) = P(X > x). Definição: Taxa de falha, h(x) = f(x) 1 F(x) Distribuição Exponencial Se uma variavel aleatória X tem distribuição Exponencial com parâmetro λ, sua função de densidade de probabilidade é, f(x) = λe λx, x > 0, λ > 0 Notação: X Exponencial(λ) E(X) = 1/λ Var(X) = 1/λ 2 F(x) = x 0 R(x) = e λx λe λy dy = 1 e λx h(x) = λe λx = λ (taxa de falha constante). e λx

94 Ricardo Ehlers 93 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO Falta de Memória P(X > t+s X > t) = P(X > t+s,x > t) P(X > t) = P(X > t+s) P(X > t) = e λ(t+s) e λt = e λs = P(X > s). Exemplo: O tempo de vida (em horas) de um equipamento segue uma distribuição exponencial com parâmetro 1/100. Qual a probabilidade de que este equipamento dure mais do que a média?

95 Ricardo Ehlers 94 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO f(x) λ = 2 λ = 1 λ = x Figura 19: Graficos das funções de densidade exponenciais com parâmetro λ.

96 Ricardo Ehlers 95 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO F(x) λ = 2 λ = 1 λ = x Figura 20: Funções de distribuição acumulada exponenciais com parâmetro λ.

97 Ricardo Ehlers 96 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO Distribuição Gama Uma variável aleatória X tem distribuição Gama com parâmetros r e λ, se sua função de densidade é dada por para r > 0 e λ > 0. f(x) = λr Γ(r) xr 1 e λx, x > 0, E(X) = r λ V(X) = r λ 2. Casos particulares da distribuição Gama são, distribuição de Erlang, parâmetro r inteiro, a distribuição exponencial, r = 1, a distribuição qui-quadrado com ν graus de liberdade, r = ν/2, λ = 1/2, ( ν X Gama 2, 1 ) X χ 2 2 ν.

98 Ricardo Ehlers 97 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO Sejam X 1,...,X r variáveis aleatórias independentes. Então, 1. Se X i Gama(α i,λ) então, Y = ( r r ) X i Gama α i, λ. i=1 i=1 2. Se X i Exponencial(λ) então, Y = r X i Gama(r,λ). i=1

99 Ricardo Ehlers 98 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO A Função Gama Propriedades, Γ(r) = 0 x r 1 e x dx. Usando integração por partes pode-se mostrar que, Γ(1) = 1. Γ(1/2) = π. Γ(r +1) = r Γ(r), r > 0. Para r um inteiro positivo, Γ(r +1) = r! e ( Γ r + 1 ) ( = r 1 )( r 3 ) π

100 Ricardo Ehlers 99 5 MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO 0.6 f(x) 0.4 λ = 2 λ = 1 λ = x Figura 21: Graficos das funções de densidade Gama com parâmetros r = 2 e λ = 2,1,0.5.

101 Ricardo Ehlers MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO F(x) λ = 2 λ = 1 λ = x Figura 22: Graficos das funções de distribuição acumulada Gama com parâmetros r = 2 e λ = 2,1,0.5.

102 Ricardo Ehlers MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO h(x) λ = 2 λ = 1.5 λ = 1 λ = x Figura 23: Gráficos das taxas de falha Gama com parâmetro r = 2.5.

103 Ricardo Ehlers MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO Distribuição de Weibull Uma variável aleatória X tem distribuição de Weibull com parâmetros β e η se sua função de densidade é dada por f(x) = β ( ) β 1 ( ) } β x x exp{, x > 0, β > 0, η > 0. η η η f(x) β = 2 β = 1 β = x Figura 24: Graficos das funções de densidade Weibull com parâmetro η = 1.5.

104 Ricardo Ehlers MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO Se β = 1 então X Exponencial(1/η). ( E(X) = ηγ 1+ 1 ) β ( Var(X) = η [Γ β { F(x) = 1 exp h(x) = β η ( ) β 1 x η ( ) Γ )] β ( ) } β x η

105 Ricardo Ehlers MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUO h(x) β = 2 β = 1.5 β = 1 β = x Figura 25: Graficos das taxas de falha Weibull com parâmetro η = 1.

106 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI 6 Variaveis Aleatorias Continuas Multidimensionais 6.1 Densidade de Probabilidade Exemplo 6.1: Sejam X e Y com densidade conjunta dada por, { 8xy, 0 < x < 1, 0 < y < 1, x < y f(x,y) = 0, caso contrario y x Figura 26: Contornos da densidade conjunta de X e Y.

107 Ricardo Ehlers 106 z y 6 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI x Figura 27: Densidade conjunta de X e Y em perspectiva.

108 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Exemplo 6.2: Sejam X e Y com densidade conjunta dada por, 3 f(x,y) = 80 (x2 +xy), 0 < x < 2, 0 < y < 4, 0, caso contrario y x Figura 28: Contornos da densidade conjunta de X e Y.

109 Ricardo Ehlers 108 z y 6 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI x Figura 29: Densidade conjunta de X e Y em perspectiva.

110 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Exemplo 6.3: (X,Y)temdistribuiçãonormalbivariadacomparametrosµ 1 = µ 2 = 0,σ 2 1 = 1,σ 2 2 = 4eρ {0.0, 0.8,0.5,0.9}.

111 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI y y x (a) ρ = x (b) ρ = 0.8 y y x (c) ρ = x (d) ρ = 0.9 Figura 30: Contornos da densidade conjunta de (X,Y) para ρ {0.0, 0.8,0.5,0.9}.

112 z z Ricardo Ehlers 111 z z 6 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI y y x x y y x x Figura 31: Densidades conjuntas de (X,Y) em perspectiva para ρ {0.0, 0.8,0.5,0.9}.

113 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI 6.2 Funções de Distribuição

114 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI 6.3 Independencia Exemplo 6.4: (X,Y) tem distribuição normal bivariada com parametros µ 1 = µ 2 = 0, σ 2 1, σ2 2 e ρ =

115 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Exemplo 6.5: (X,Y) tem distribuição exponencial bivariada com parâmetros λ 1 e λ 2, tais que f(x,y) = f X (x)f Y (y) Figura 32: Contornos da densidade comjunta de X e Y para (λ 1,λ 2 ) {(0.5,0.5),(1.5,0.5),(0.5,1.5),(5.5,0.5)}.

116 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI 6.4 Funções de Variáveis Aleatórias Continuas Exemplo 6.6: Sejam X e Y variáveis aleatórias continuas com densidade f X,Y (x,y) conhecida. Qual a distribuição das variáveis aleatórias R e Φ tais que, r = x 2 +y 2 e φ = arctg(y/x). Exemplo 6.7: Sejam X N(0,1)eY N(0,1)independentes. Qual a distribuição conjunta de R e Φ? Qual a distribuição marginal de R?

117 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Seja X = (X 1,X 2 ) uma variável aleatória bidimensional com densidade conjunta f X (x 1,x 2 ) e a transformação Y 1 = g 1 (X 1,X 2 ) Y 2 = g 2 (X 1,X 2 ) sendo g contínua e biunívoca. Então, sendo o Jacobiano da transformação inversa f Y (y 1,y 2 ) = f X (g 1 1 (y 1,y 2 ),g 1 2 (y 1,y 2 )) J x 1 x 1 y 1 y 2 J = x 2 x 2 y 1 y 2 X 1 = g 1 1 (Y 1,Y 2 ) X 2 = g 1 2 (Y 1,Y 2 )

118 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Exemplo 6.8: Sejam X e Y variáveis aleatórias continuas representando coordenadas retangulares com densidade conjunta f X,Y (x,y). As coordenadas polares são as variáveis aleatórias R = ( ) Y X 2 +Y 2 e Φ = arctg. X com transformação inversa Portanto, X = R cosφ e Y = R senφ. x r J = y r x φ y = r φ f(r,φ) = f X,Y (r cosφ,r senφ) r.

119 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Exemplo 6.9: No exemplo anterior, sejam X N(0,1) e Y N(0,1) independentes. A densidade conjunta de R e Φ é, f(r,φ) = f X,Y (r cosφ,r senφ) r { 1 = exp r2 cos 2 } { φ 1 exp r2 sen 2 } φ 2π 2 2π 2 = r } { 2π exp r2 2 r para r > 0 e 0 < φ < 2π. f R (r) = 2π 0 r 2π exp } { r2 dφ = rexp 2 } { r2, r > 0. 2

120 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Exemplo 6.10: Sejam X Gama(α,1) e Y Gama(β,1) independentes e a transformação, U = X X +Y e V = X +Y. A transformação inversa é, Portanto, X = UV e Y = V(1 U). x u = v, x v = u, y u = v, y v = 1 u J = det [ ] v u v 1 u = v f(x,y) = f(u,v) = = f(u) = 1 Γ(α) xα 1 e x 1 Γ(β) yβ 1 e y 1 Γ(α) (uv)α 1 e uv 1 Γ(β) (v(1 u))β 1 e v(1 u) v 1 Γ(α)Γ(β) uα 1 (1 u) β 1 v α+β 1 e v 1 Γ(α)Γ(β) uα 1 (1 u) β 1 0 v α+β 1 e v dv = Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) uα 1 (1 u) β 1,0 < u < 1 U tem distribuição Beta(α, β)

121 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI f(u) Beta(1.5,4) Beta(2,0.5) Beta(7,1.5) Beta(3,3) u Figura 33: Densidades marginais Beta para U.

122 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Obtendo a densidade marginal de V, f(v) = = = 1 1 Γ(α)Γ(β) vα+β 1 e v 1 Γ(α)Γ(β) vα+β 1 v Γ(α)Γ(β) e Γ(α+β) 1 Γ(α+β) vα+β 1 e v 0 u α 1 (1 u) β 1 du Conclui-se que V tem distribuição Gama(α + β, 1). Além disso, f(u)f(v) = Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) uα 1 (1 u) β 1 1 Γ(α+β) vα+β 1 e v = f(u,v) Portanto, U e V são independentes.

123 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Exemplo 6.11: Sejam X U(0,1) e Y U(0,1) independentes e a transformação, Z = 2log(X) cos(2πy) W = 2log(X) sen(2πy). Verifique que Z N(0,1) W N(0,1) Z e Wsão independentes. Este resultado é usado no algoritmo de Box-Mueller para geração de números aleatórias com distribuição normal.

124 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI No caso unidimensional, se X tem densidade f X (x) e Y = g(x) com transformação inversa X = g 1 (Y), f Y (y) = f X (g 1 (y)) dx dy. Exemplo 6.12: Sejam X U(0,1) e Y = log(x). Portanto, f Y (y) = dx dy = e y = e y, y > 0. Conclui-se que Y tem distribuição Exponencial com parametro λ = 1. Exemplo 6.13: Se X U(0,1) então Y = log(x)/λ tem distribuição Exponencial com parametro λ (verifique). Exemplo 6.14: Seja a variável aleatória X definida no intervalo (0,1) e a transformação ( ) X Y = log, 1 X chamada de transformação logito. Verifique que Y assume valores em R e obtenha a densidade de X quando Y N(µ,σ 2 ).

125 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI f(x) N( 1,0.25) N(1,1) N(0,4) x Figura 34: Densidades X sendo Y = log(x/(1 X)) N(µ,σ 2 ).

126 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI 6.5 Distribuições Condicionais Definição: Densidade condicional de uma variável aleatória Y dado que X = x, para cada x fixo e tal que f(x) > 0. Definição: Função de distribuição condicional, f(y x) = f(x,y) f X (x) = F(y x) = y f(x,y), f(x,y)dy f(u x)du. Exemplo 6.15: Seja (X,Y) com densidade conjunta f(x,y) = 21x 2 y 3, 0 < x < y < 1, f(x,y) = 0 caso contrário. Obtenha f(y x). Exemplo 6.16: Seja (X,Y) com densidade conjunta f(x,y) = xe x(y+1), x > 0 e y > 0. Obtenha f(y x). Exemplo 6.17: Seja (X, Y) com distribuição normal bivariada com médias zero, variâncias 1 e coeficiente de correlação ρ. Obtenha f(y x).

127 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Exemplo 6.18: Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas tais que, Verifique que a densidade marginal de X é, f(x) = ) X Y = y N (µ, σ2 y ( ν Y Gama 2, ν. 2) Γ((ν +1)/2) σγ(ν/2)(πν) 1/2 ] (ν+1)/2 [1+ (x µ)2. νσ 2 Dizemos que X tem distribuição t de Student com parâmetros µ, σ e ν. Este é um resultado muito importante em aplicações pois esta distribuição tem caudas mais pesadas do que a distribuição normal.

128 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI f(x) normal t x Figura 35

129 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI Esperança Condicional E(Y X = x) = Note que variando x, E(Y X = x) é uma função de x. yf(y x)dy. Lembrar também que E(Y) = E[E(Y X)] e podemos escrever, Y = E(Y X = x)+ǫ = h(x)+ǫ desde que E(ǫ x) = 0 e E[h(x) ǫ] = 0 para qualquer função h( ) de x. Esperança condicional de uma função, E[g(Y) X = x] = g(y)f(y x)dy. Exemplo 6.19: Se f(x,y) = ye xy /2, x > 0 e 0 < y < 2, obtenha E(e X/2 Y = y).

130 Ricardo Ehlers VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS MULTIDIMENSIONAI 6.6 Variáveis N-dimensionais Seja o vetor aleatório X = (X 1,...,X n ). As definições univariadas de valor esperado e variância se estendem naturalmente ao caso multivariado, bem como suas propriedades. E(X 1 ) E(X) = µ = =. E(X n ) e a matriz de variância n n é dada por σ 11 σ σ 1n Var(X) = E(X µ)(x µ) σ 21 σ σ 2n = σ n1 σ n2... σ nn sendo cada elemento dado por µ 1.. µ n σ ij = Cov(X i,x j ) = E(X i µ i )(X j µ j ) = E(X i X j ) µ i µ j. Há então n médias e n(n+1)/2 variâncias e covariâncias. Exemplo 6.20: Seja o vetor aleatório X = (X 1,X 2,X 3,X 4 ) tal que E(X) = (0,0,0,0) e Obtenha os coeficientes de correlação linear Var(X) =

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