CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional Uma metodologia híbrida Colônia de Formigas - Busca Tabu - Reconexão por Caminhos para resolução do Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo Dissertação de Mestrado, submetida ao Curso de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Aluno: Marcelo Caramuru Pimentel Fraga Engenheiro Mecânico CEFET-MG Orientador: Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza (CEFET-MG) Co-Orientador: Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza (UFOP) Belo Horizonte, agosto de 2006.

2 F811m FRAGA, Marcelo Caramuru Pimentel Uma metodologia híbrida Colônia de Formigas-Busca Tabu-Reconexão por Caminhos para resolução do problema de roteamento de veículos com janelas de tempo. Belo Horizonte: CEFET-MG, p. Dissertação (Mestrado) Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais CEFET/MG. 1. Pesquisa Operacional. 2. Metaheurística. 3. Roteamento de veículos. 4. Colônia de Formigas. I. Título. CDD:

3 Agradecimentos A dúvida é o princípio da sabedoria. Aristóteles A realização deste trabalho só foi possível mediante a contribuição de muitas pessoas. A elas, gostaria de deixar algumas palavras de reconhecimento. Inicialmente, agradeço ao prof. Sérgio Ricardo de Souza, por confiar em minha capacidade e me dar a chance de participar do curso de mestrado, pelo empenho em minha orientação e, por fim, por se tornar, além de professor orientador, um amigo. À Tatiana Alves Costa, irmã de mestrado, pela amizade inestimável que surgiu durante o curso, pela paciência e dedicação em me ensinar e desvendar áreas de conhecimento inéditas para mim e, com tudo isso, tornar possível a conclusão deste trabalho. Ao prof. Marcone Jamilson, pela co-orientação ao trabalho e o aporte para minha formação acadêmica e profissional. Aos colegas de mestrado, pelo companheirismo, especialmente aos que se tornaram grandes amigos: Ricardo Soares, Marcos Medeiros, Alessandra Coelho, Paulo Isnard, Rodrigo Coimbra, Márlon Oliveira, Eliézer Guimarães, Moysés Alberto, Júlio Pacheco, Alcir Reis, Gabriel Silva e Jefferson Chaves. Aos demais professores e funcionários do mestrado do CEFET-MG, pelas diversos auxílios dados a mim, inclusive quanto às minhas formações profissional e pessoal, especialmente a: Henrique Borges, Paulo Almeida, Gray Farias, Maria das Graças, Fausto de Camargo, José Evaristo, João Francisco, Elenice Biazi e Ester Naves, Clayston Damião, Cristiano CCC e Bruno Santos. Aos amigos de fora do CEFET, responsáveis por momentos de diversão e descontração: Henrique Habib s, Guilherme Juvenal, Eduardo Feio, Gustavo Barrosão, Gilberto Peposo, Rosklin Metralha, Paulo Puliça, Fernanda Japinha, Carlos, Rosinha Jaburu e Aninha Causos. À minha namorada, Renata, que participou da reta final de minha caminhada com paciência e compreensão. À prof. Maria José, pelo carinho, amizade e investimento com que acompanhou minha educação e formação pessoal. Por fim, a meus pais, Rosa Helena e Fernando Caramuru, por proporcionarem condições que me permitiram concluir o curso da melhor forma possível; e aos meus irmãos, Cláudia, Beto e Bruno, além de minha sobrinha Priscilla, por estarem juntos a mim nos momentos em que mais preciso. Aos demais amigos e familiares pelo apoio e incentivo. À CAPES, pelo provimento das bolsas. A todos vocês, meus sinceros e humildes agradecimentos. iii

4 Resumo Neste trabalho, uma metodologia híbrida, chamada Ant-TPR, é proposta para resolução do Problema de Roteamento de Veículos com Janela de Tempo (PRVJT). O PRVJT é uma variação do Problema de Roteamento de Veículos Capacitados (PRVC) na qual, além das restrições inerentes ao PRVC, o atendimento a cada consumidor deve ser iniciado em um intervalo de tempo denominado janela de tempo. Neste trabalho, a solução para esse problema consiste em, primeiramente, encontrar o número mínimo de veículos capaz de atender a todos os consumidores e, em segundo lugar, determinar um conjunto de rotas que minimize a distância total percorrida pelos veículos. O PRVJT é um problema NP-Difícil, logo, o uso de métodos heurísticos, que exigem menor custo computacional, têm sido amplamente utilizados, sofrendo, no entanto, das dificuldades inerentes à indefinição da qualidade da solução determinada. A metodologia Ant-TPR combina o uso das metaheurísticas Colônia de Formigas e Busca Tabu à técnica de intensificação de resultados Reconexão por Caminhos. A metaheurística Colônia de Formigas (ACO) se alimenta, em parte, dos próprios resultados, contribuindo, a cada iteração, para convergência e precisão dos resultados gerados. A Busca Tabu (BT) é uma estratégia que depende fortemente da solução inicial e, por isso, a associação com a metaheurística ACO, capaz de produzir boas soluções, potencializa o resultados de ambas. Periodicamente, a técnica Reconexão por Caminhos (RC) é aplicada, de forma a tentar inserir bons atributos das melhores soluções encontrada nas soluções correntes. A metodologia foi avaliada nos problemas-teste criados por Solomon para o Problema de Roteamento de Veículos com Janela de Tempo e gerou resultados que diferem em menos de 3% acima do resultado do melhor método existente. Palavras-Chave: Colônia de formigas, Reconexão por Caminhos, Roteamento de veículos. iv

5 Abstract In this work, it is presented an hybrid methodology called Ant-TPR to solve the Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW). The VRPTW is a variation from the Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) in which, beyond the inherent restrictions to the CVRP, the attendance of each consumer must be initiated in a time interval called time window. In this work, firstly, the solution to this problem consists of finding the minimum number of vehicles able to attend all the consumers. Secondly, the solution consists in determining a set of routes that minimizes the covered distance of the vehicles. The VRPTW is a NP-Hard problem, i.e., there are no exact algorithms able to guarantee the global optimum can be found in viable computational cost for greater instances. On the other hand, heuristic methods, demanding less computational cost, have been widely used, suffering, however, the inherent difficulties from the imprecise quality of the founded solutions. The Ant-TPR methodology combines two metaheuristics, Ant Colony Optimization (ACO) and Tabu Search (TS), with the Path Relinking intensification technique. The ACO metaheuristic feeds itself, partially from its own results, leading to convergence and precision of the generated results. Tabu Search strongly depends of a good initial solution and the association with ACO, capable of producing good solutions, improves both results. Periodically, the Path Relinking technique (PR) is applied to insert good attributes from the best solutions found in the current solutions. The developed methodology was benchmarked in Solomon s VRPTW instances, generating some isolated better results than those found in literature and remaining less than 3% above the best existing methodology. Keywords: Ant Colony, Tabu Search, Path Relinking, Vehicle Routing, Metaheuristic. v

6 Conteúdo 1 Introdução Organização do Trabalho Problema de Roteamento de Veículos Caracterização do Problema de Distribuição de Produtos Problema de Roteamento de Veículos Capacitados Formulações Matemáticas do PRVC Modelo de Fluxo de Veículos Modelo de Fluxo de Veículos com Três Índices Modelo de Fluxo de Mercadorias Modelo de Particionamento de Conjuntos Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo Uma Revisão de Métodos Heurísticos Métodos Heurísticos Heurísticas Construtivas Heurísticas de Refinamento Método da Descida Descida com Primeiro de Melhora Metaheurísticas Inteligência Coletiva Algoritmos de Colônia de Formigas Algoritmo Ant System Algoritmo Ant Colony System Ant Colony Optimization - Considerações Gerais Comparação entre Formigas Reais e Formigas Artificiais Metaheurística Busca Tabu Reconexão por Caminhos Metodologia Ant-TPR para Resolução do PRVJT Metodologia Ant-TPR Forma de Representação das Soluções Funções de Avaliação Movimentos de Realocação Algoritmo Ant-TPR vi

7 5 Resultados Computacionais Implementação da Metodologia Ant-TPR Comparação entre o Algoritmo Ant-TPR e Algoritmos da Literatura 52 6 Conclusões Gerais e Trabalhos Futuros Conclusões Gerais Trabalhos Futuros Referências Bibliográficas 61 vii

8 Lista de Tabelas 3.1 Principais aplicações da metaheurística ACO Principais aplicações da metaheurística Busca Tabu no PRVJT Forma de representação de uma solução Formato das instâncias Solomon para o PRVJT Comparação entre as funções de avaliação propostas Resultados da metodologia Ant-TPR nas instâncias C Melhores resultados da metodologia Ant-TPR nas instâncias C Melhores resultados da metodologia Ant-TPR nas instâncias R Melhores resultados da metodologia Ant-TPR nas instâncias R Melhores resultados da metodologia Ant-TPR nas instâncias RC Melhores resultados da metodologia Ant-TPR nas instâncias RC Comparação da eficiência da metodologia Ant-TPR com outras Comparação entre Ant-TPR e MACS Comparação entre Ant-TPR e BBB Ant-TPR vs. outras metodologias viii

9 Lista de Figuras 2.1 Conjunto de rotas para o PRVC Heurística Construtiva Gulosa - Pseudo-código Heurística de Refinamento - Pseudo-código Comportamento de uma heurística de refinamento Método da Descida - Pseudo-código Descida com Primeiro de Melhora - Pseudo-código Comportamento de formigas reais Parâmetro Visibilidade Parâmetro Rastro de Feromônio Pseudo-código do Ant System aplicado ao PCV Pseudo-código do Ant Colony System aplicado ao PCV Ciclagem na Busca Tabu Pseudo-código da Busca Tabu Idéia geral da técnica Reconexão Por Caminhos Pseudo-código Path Relinking Instância fictícia de 7 cidades Movimento de realocação Intra-rota Movimento de realocação Inter-rotas Pseudo-código Ant-TPR Instância do PRVJT a ser solucionada A formiga analisa suas opções de movimento Após movimentar-se, a formiga analisa suas novas opções de movimento A formação da rota continua, enquanto gerar soluções factíveis Ao final da excursão da formiga, são adicionadas ligações ao depósito Uma nova formiga é posicionada e o processo continua Solução completa e factível gerada pelas formigas O consumidor 1 isolado em uma rota Solução prejudicada pelo consumidor Ant-TPR: O consumidor 1 momentaneamente isolado em uma rota Ant-TPR: Formiga integra o consumidor 1 à nova rota formada ix

10 Lista de Siglas PRV PRVC PRVJT BT ACO AS ACS RC PR IS PCV FA FO LTPNNF LRCC LTGF VGR VRF LTF Problema de Roteamento de Veículos Problema de Roteamento de Veículos Capacitado Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo Busca Tabu Ant Colony Optimization Ant System Ant Colony System Reconexão por Caminhos Path Relinking Inteligência Swarm Problema do Caixeiro Viajante Função de Avaliação Função Objetivo Lista Tabu Para Nascimento de Novas Formigas Lista Restrita de Consumidores Candidatos Lista Tabu Geral das Formigas Vetor Geral de Rotas Vetor de Rotas da Formiga Lista Tabu da Formiga x

11 Capítulo 1 Introdução A atividade de transporte representa 2,53% do PIB brasileiro (IBGE (2001)) e é um serviço que torna viável os demais setores do país, influenciando a segurança, a qualidade de vida e o desenvolvimento econômico. O transporte é responsável, dentre outras coisas, pelo fornecimento de matéria-prima às indústrias, pelo envio de produtos essenciais aos consumidores e, de certa forma, por manter o país em funcionamento. O Brasil é um país de dimensões continentais, com uma infraestrutura de transporte precária e que tem, em sua malha rodoviária, o principal meio de transporte de cargas. Tudo isto demonstra a importância e a necessidade de estudos sobre como realizar a distribuição de produtos de forma eficiente. A partir deste contexto, este trabalho foi proposto e desenvolvido de forma a abordar uma parte do processo de distribuição de produtos, representada pelo Problema de Roteamento de Veículos com Janela de Tempo (PRVJT). O PRVJT é uma variação do Problema de Roteamento de Veículos clássico e pode ser descrito como um problema no qual uma frota de veículos, inicialmente situada em um depósito, deve atender a um conjunto de consumidores que possuem diferentes demandas por produtos a serem distribuídos utilizando-se a frota. O atendimento a cada consumidor deve ser iniciado em um intervalo de tempo denominado janela de tempo. A solução para esse problema pode variar de acordo com o objetivo a ser seguido. Geralmente, a solução por métodos exatos procura encontrar a distância mínima percorrida, capaz de atender a todos os consumidores; e a solução por métodos heurísticos é feita em duas fases, de tal modo que, inicialmente, é feita a determinação do número mínimo de veículos capaz de atender a todos os consumidores; em seguida, é feita a minimização da distância percorrida. O PRVJT é classificado como um problema NP-Difícil, logo métodos heurísticos têm sido amplamente utilizados para a solução de problemas-teste de diversas ordens, sofrendo, no entanto, das dificuldades inerentes à indefinição da qualidade da solução determinada. Uma revisão de métodos heurísticos pode ser encontrada em Blum e Roli (2003). Este trabalho aborda o estudo da solução do Problema de Roteamento de Veículos com Janela de Tempo (PRVJT), através de uma metodologia híbrida entre as metaheurísticas Colônia de Formigas e Busca Tabu, aliadas ainda à técnica Reconexão por Caminhos (Path Relinking) de intensificação dos resultados. Os algoritmos de Colônia de Formigas (ACO ou Ant Colony Optimization) foram

12 1.1 Organização do Trabalho 2 desenvolvidos a partir da observação do comportamento de formigas reais na natureza e têm sido aplicados em problemas de diversas classes, como ao Problema do Caixeiro Viajante, apresentado em Gambardella e Dorigo (1996) e Stutzle e Dorigo (1999); Problema de Roteamento de Veículos, mostrado em Gambardella et al. (1999a); Problema de Alocação Quadrática, discutido em Gambardella et al. (1999c); Problema de Alocação Bi-quadrática de Recursos, ilustrado por Taillard (1998), dentre outros. De acordo com Dorigo et al. (1999), os algoritmos ACO são um dos mais eficientes algoritmos baseados em inteligência coletiva (Swarm Intelligence). Uma revisão recente da metaheurística ACO pode ser encontrada em Dorigo e Blum (2005). A Busca Tabu (BT) é uma metaheurística robusta, mas que depende fortemente da solução inicial para obter bons resultados. Associada à metaheurística ACO, que é auto-catalítica, atuam de forma simbiótica e podem potencializar seus resultados. A metaheurística ACO, por sua capacidade de ser influenciada pelos próprios resultados, pode proporcionar soluções iniciais cada vez melhores para a Busca Tabu que, por sua vez, é mais eficiente na busca pelo espaço de soluções. A partir de um ponto inicial mais avançado, a BT tem maiores chances de encontrar boas soluções do que o algoritmo de Colônia de Formigas atuando sozinho, que parte da construção até a solução final e, diante do grande número de soluções possíveis, tem mais chances de ficar preso a ótimos locais ou regiões planas. A integração entre essas metaheurísticas permite ainda que as soluções encontradas pela Busca Tabu influenciem as próximas fases de construção, contribuindo para a convergência e melhora nos resultados de Colônia de Formigas. Reconexão por Caminhos é uma estratégia de intensificação da busca sobre resultados gerados, explorando trajetórias que conectam soluções elite, à procura de uma solução de melhor qualidade. A partir de uma solução-corrente e em direção a uma solução-guia, busca agrupar em uma única solução bons atributos encontrados em ambas soluções. O foco deste trabalho é apresentar a metodologia Ant-TPR, desenvolvida a partir da junção entre as metaheurística ACO e Busca Tabu e associadas à técnica de Reconexão por Caminhos, de forma a produzir resultados competitivos com os melhores encontrados na literatura para a classe de problemas PRVJT. 1.1 Organização do Trabalho Este trabalho está organizado da seguinte forma: o capítulo 2 apresenta a caracterização do Problema de Roteamento de Veículos e da variação a qual este trabalho se aplica, qual seja, o Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo. Uma revisão de métodos heurísticos empregados no trabalho pode ser vista no capítulo 3. No capítulo 4 é apresentada a metodologia desenvolvida. No capítulo 5 são demonstrados os resultados computacionais. Por fim, a seção 6 mostra as conclusões a respeito do trabalho desenvolvido e propostas de continuidade do mesmo.

13 Capítulo 2 Problema de Roteamento de Veículos Este capítulo apresenta a caracterização do Problema de Roteamento de Veículos e algumas de suas variações. Inicia-se, na seção 2.1, com uma abordagem geral do Problema de Distribuição de Produtos. Em seguida, na seção 2.2, o Problema de Roteamento de Veículos Capacitado (PRVC) é descrito. As principais formulações matemáticas para o PRVC são revistas na seção 2.3. Por fim, a variação para o qual este trabalho se aplica, chamada de Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo, é discutida em sua formulação matemática na seção Caracterização do Problema de Distribuição de Produtos A distribuição de produtos é um processo que envolve um número muito elevado de variáveis a serem determinadas. Dentre elas, pode-se citar o número necessário de veículos; que tipo de veículo é o mais adequado ao atendimento de cada cliente; como criar rotas de forma eficiente, minimizando custos e/ou tempo de entrega, dentre outras questões relevantes que determinam as escolhas a serem efetuadas na solução do problema. A malha rodoviária que os veículos percorrem pode ser descrita através de um grafo, no qual os arcos representam as rodovias e os vértices, as cidades. Os arcos podem ser ou não direcionados, assim como as estradas podem ou não ser trafegadas nos dois sentidos. Cada arco está associado a um custo, que geralmente varia com seu comprimento, e a um tempo de viagem, que pode variar com o tipo de veículo, tipo de estrada ou o horário em que o arco será atravessado. Cada consumidor pode possuir características totalmente diferentes dos demais, porém, todos devem ser atendidos. Não será levado em consideração nesse trabalho o estudo da viabilidade econômica de cada consumidor, sendo assumido que todos eles geram lucro para a distribuição. Os consumidores podem possuir diversos atributos diferentes, como: localização: representada pelas coordenadas geográficas; demanda: quantidade e tipo de produtos necessários; janela de tempo: intervalo no qual o consumidor está disponível para receber a visita do veículo; 3

14 2.2 Caracterização do Problema de Distribuição de Produtos 4 tempo de serviço: tempo necessário para carregar ou descarregar os veículos; tipo de veículo adequado para atendimento: o atendimento a cada consumidor pode exigir, por razões as mais diversas, um veículo diferente. Por exemplo, devido a problemas de acesso pelas estradas, tamanho das instalações ou tipo de carregamento e descarregamento que um certo veículo oferece e é mais adequado aos interesses do cliente. Já uma frota de veículos pode possuir características diversas como: cada veículo tem um depósito como origem, mas que não necessariamente será seu destino, no caso de múltiplos depósitos; a capacidade de carga pode variar com o tamanho, peso ou volume; possível subdivisão do compartimento de carga em compartimentos menores e específicos para cada produto; dispositivos para carregamento e descarregamento das mercadorias; subconjunto de arcos em que os veículos podem ser empregados. Em uma instância real, varia de acordo com o terreno ou o tipo de estrada; custo associado à utilização do veículo (por distância, por tempo, por rota, por tipo de veículo utilizado, etc.). Além dos veículos, os motoristas condutores também possuem particularidades a serem observadas, como número de horas trabalhadas por dia, horários regulares para refeições, intervalos de descanso, dentre outros, e isso também acarreta novos custos para a distribuição. As rotas geradas para atender aos consumidores devem iniciar e terminar em um depósito, cuja representação no grafo é, também, um vértice. Cada depósito possui uma capacidade de estocar produtos e uma frota, que pode variar na capacidade e na quantidade de veículos. As rotas devem satisfazer uma série de restrições, que variam com a natureza dos produtos transportados, qualidade do serviço prestado e características dos consumidores e veículos. Para cada conjunto de rotas gerado, que respeite todas as restrições operacionais, está associado um custo total, que serve de parâmetro de controle. São objetivos a serem atingidos ao se solucionar uma instância do Problema de Roteamento de Veículos: minimização do custo de transporte, envolvendo todos os fatores associados, incluindo a distância total percorrida (e o tempo de viagem) e os custos de utilização relacionados a cada veículo; minimizar o número de veículos (e/ou motoristas) necessários para atender a todos os consumidores; equilibrar as rotas, de acordo com o tempo de viagem e a carga do veículo; minimizar, caso existam, as penalidades pelo atendimento parcial a um cliente.

15 2.2 Problema de Roteamento de Veículos Capacitados Problema de Roteamento de Veículos Capacitados O Problema de Roteamento de Veículos (PRV) foi introduzido na literatura em 1959 por Dantzig e Ramser (1959), para solucionar um problema da distribuição de gasolina entre postos de abastecimento. O PRV é um nome genérico, dado a uma classe de problemas na qual um conjunto de rotas para uma frota de veículos deve ser determinado para atender um número de cidades ou consumidores dispersos. A solução para o PRV consiste em encontrar as rotas que satisfazem aos consumidores ou cidades envolvidos, respeitando-se as restrições existentes. O Problema de Roteamento de Veículos Capacitados (PRVC) é a forma mais simples do PRV. Neste problema, uma frota de veículos, localizada inicialmente em um depósito, deve atender a um conjunto de consumidores com diferentes demandas de produtos a serem distribuídos por essa frota. A única restrição presente no PRVC é a capacidade de carga dos veículos. As demandas são conhecidas a priori e não podem ser fracionadas em sua entrega, ou seja, cada consumidor não pode ser visitado mais de uma vez para entrega de produtos. Todos os veículos possuem a mesma capacidade de carga e suas rotas iniciam e terminam no depósito. A figura 2.1 ilustra um conjunto de rotas do PRVC. O retângulo maior representa o depósito e os pequenos quadrados representam os consumidores. Depósito Figura 2.1: Conjunto de rotas para o PRVC. Conforme Toth e Vigo (2002), o PRVC pode ser descrito da seguinte forma: seja G = (V, A) um grafo completo, no qual V = {v 0,v 1,...,v n } é o conjunto dos vértices, que representam cidades ou consumidores, e A = {a ij = (v i,v j ) : v i,v j V, v i v j } é o conjunto de arcos, que ligam os vértices (v i,v j ). O vértice v 0 representa o depósito, mas, em algumas formulações, o depósito pode estar representado pelo vértice (n+1). Um valor não negativo c ij é associado a cada arco e representa o custo de se viajar do consumidor i para o consumidor j. Normalmente, o uso de arcos fechados não é permitido e, para evitá-los, faz-se o custo do arco a ii como infinito, ou seja, c ii = +.

16 2.3 Formulações Matemáticas do PRVC 6 Se o grafo G for direcionado, sua matriz de custos é assimétrica, ou seja, o custo de viagem entre duas cidades varia com o sentido a ser seguido, de modo que c ij c ji. Nesse caso, o PRVC é chamado de Problema de Roteamento de Veículos Capacitados Assimétrico (PRVCA). Por outro lado, se o grafo G for não-direcionado e possuir uma matriz de custos simétrica, na qual o custo de viagem independa do sentido a ser seguido, ou seja, c ij = c ji, então o PRVC é denominado Problema de Roteamento de Veículos Capacitados Simétrico (PRVCS). Cada consumidor é associado a uma demanda não-negativa q i, e o depósito v 0 é associado a uma demanda fictícia q 0 = 0. Uma frota de K veículos, com igual capacidade Q, é disponibilizada no depósito e, para assegurar a factibilidade do problema, é determinado que a demanda de cada consumidor seja menor ou igual à capacidade do veículo, ou seja, q i Q. Cada veículo da frota deverá fazer, no máximo, uma rota. O PRVC consiste, então, na determinação de um conjunto de, no máximo, K rotas, cada uma associada a um veículo específico, com o menor custo possível, respeitando-se as seguintes restrições: (i) todas as rotas têm início e término no depósito; (ii) cada consumidor é visitado uma única vez; (iii) a demanda total de qualquer rota não deve superar a capacidade Q do veículo envolvido na mesma. 2.3 Formulações Matemáticas do PRVC Esta seção apresenta quatro modelos matemáticos básicos, utilizados para representar o PRVC. É baseada em Toth e Vigo (2002), referência na qual outras formulações podem ser encontradas. Não é objetivo do presente trabalho exaurir a apresentação e discussão de modelos matemáticos para o PRVC. São apresentados os modelos: Modelo de Fluxo de Veículos; Modelo de Fluxo de Veículos com três índices; Modelo de Fluxo de Mercadorias; e Modelo Particionamento de Conjuntos. Em todos os modelos, está sendo utilizada a seguinte notação: V : conjunto dos vértices (cidades ou consumidores); V\{0} : conjunto dos vértices V, com exceção do vértice 0; A : conjunto de arcos que ligam dois vértices; K : número total de veículos disponíveis na frota; Q : capacidade de cada veículo da frota;

17 2.3 Formulações Matemáticas do PRVC 7 q i : demanda do vértice i. As demais variáveis envolvidas serão detalhadas junto a cada modelo Modelo de Fluxo de Veículos Esta é a formulação mais utilizada para caracterizar as versões básicas do VRP. As variáveis de decisão x ij são variáveis inteiras, associadas com cada arco do grafo, que demonstram o número de vezes que o veículo atravessa o arco em questão ou, no caso de inteiras binárias, se o arco é ou não utilizado para o roteamento. O modelo é dado, então, por: min c ij x ij i V j V sujeito a x ij = 1, j V\{0} i V x ij = 1, i V\{0} j V x i0 = K i V x 0j = K j V x ij r(s), S V\{0}, S i S j S x ij {0, 1}, i,j V (2.1a) (2.1b) (2.1c) (2.1d) (2.1e) (2.1f) (2.1g) Nessa representação, tem-se que: x ij : variável binária que assume o valor x ij = 1, caso o arco a ij faça parte da solução ótima do problema; ou x ij = 0, caso contrário; c ij : custo associado ao arco a ij ; r(s) : representa o número mínimo de veículos necessário ao atendimento do conjunto de consumidores S; A função objetivo (2.1a) busca minimizar o somatório do custo dos arcos pertencentes à solução ótima. As restrições dadas pela expressão (2.1b) impõem que apenas um veículo pode partir de uma cidade qualquer i para uma cidade j, ou seja, qualquer arco que termine em j deve ser utilizado apenas uma vez (com exceção do arco associado ao depósito). As restrições (2.1c) impõem que apenas um veículo pode chegar a uma cidade qualquer j a partir de uma cidade j, ou seja, qualquer arco que inicie em j deve ser utilizado apenas uma vez (com exceção do arco associado ao depósito). As restrições (2.1d) e (2.1e) exigem que, respectivamente, todos os K veículos devem terminar e iniciar suas rotas no depósito. As restrições (2.1b)-(2.1e) são denominadas restrições de grau. As restrições (2.1g) exigem que as variáveis x ij sejam binárias.

18 2.3 Formulações Matemáticas do PRVC 8 As restrições dadas por (2.1f) asseguram a não-violação da capacidade dos veículos e a conectividade da solução encontrada. São chamadas de restrições de corte de capacidade, em conseqüência. Seu tratamento é uma questão central na solução de problemas postos na formulação de fluxo de veículos. Devido às restrições de grau, tem-se que: x ij = x ij, S V\{0}, S (2.2) j S i S i S j S Assim, pode-se escrever (2.1f) como: x ij r(v \S), S V, 0 S (2.3) i S j S Uma forma alternativa para (2.1f) pode ser obtida através da mudança da restrição de corte de capacidade em função das restrições de grau, gerando as restrições de eliminação de sub-rotas, dadas por: x ij S r(s), S V\{0}, S (2.4) i S j S Essas restrições impõem, segundo Toth e Vigo (2002), que, no mínimo, r(s) arcos partem de cada subconjunto S de consumidores. As restrições (2.1f) e (2.4) crescem exponencialmente em número, de acordo com o número de consumidores. Isso torna praticamente impossível a solução do problema proposto em (2.1) através de relaxação linear. Uma forma alternativa ao uso das restrições (2.1f) (ou (2.4)) e com cardinalidade polinomial é a utilização das restrições de eliminação de subrotas apresentadas em C. E. Miller e Zemlin (1960) e Desrochers e Laporte (1991): u i u j + Qx ij Q q j, i,j V\{0}, i j, desde que q i + q j Q (2.5) q i u i Q, i V\{0} (2.6) Nessa expressão, u i representa a carga do veículo após visitar o consumidor i. As restrições (2.5) e (2.6) impõem limites na capacidade e na conectividade do PRVC Modelo de Fluxo de Veículos com Três Índices A finalidade da construção de modelos em três índices é a necessidade de explicitamente definir quais veículos atravessam um certo arco. Nesse caso, duas classes de variáveis de decisão são necessárias: x ijk : variável binária que assume o valor 1, caso o arco a ij faça parte da rota do veículo k; ou 0, caso contrário; c ij : custo associado ao arco a ij ; y ik : variável binária que assume o valor 1, caso o consumidor i seja servido pelo veículo k na solução ótima do problema, ou 0, caso contrário;

19 2.3 Formulações Matemáticas do PRVC 9 O modelo é, então, dado por: min suj. a K c ij i V j V k=1 x ijk K y ik = 1, i V\{0} k=1 K y 0k = K k=1 x ijk = x jik = y ik, i V, k = 1,...,K j V j V q i y ik Q, k = 1,...,K i V u ik u jk + Qx ijk Q q j, i,j V\{0}, i j, desde que q i + q j Q, k = 1,...,K q i u ik Q, i,j V\{0} y ik {0, 1}, i V, k = 1,...,K x ijk {0, 1}, i,j V, k = 1,...K (2.7a) (2.7b) (2.7c) (2.7d) (2.7e) (2.7f) (2.7g) (2.7h) (2.7i) Nessa formulação do (PRVC), a função objetivo (2.7a) busca minimizar o somatório do custo dos arcos pertencentes ao conjunto de rotas dos veículos. O conjunto de restrições guarda semelhança com o apresentado em (2.1), referente à formulação em fluxo de veículos de dois índices. A restrição (2.7b) assegura que todo consumidor, com exceção do depósito, seja visitado uma única vez, por um único veículo. A restrição (2.7c) garante que todos os veículos devem iniciar suas rotas no depósito. Já (2.7d) assegura a continuidade da rota, ou seja, todo veículo que chega a um determinado consumidor, com exceção do depósito, deve partir após a realização do serviço. A restrição (2.7e) impõe que a demanda da rota não ultrapasse a capacidade do veículo responsável por esta rota. A restrição (2.7g) assegura que a carga atual do veículo seja maior que a demanda do consumidor i e menor que sua capacidade máxima. Além disso, as restrições (2.7h) e (2.7i) indicam que y ik e x ijk são variáveis binárias. As restrições (2.7f) têm papel semelhante às restrições (2.1f) no caso do modelo em dois índices. Ela garante a eliminação de sub-rotas e impõe a conectividade da rota realizada pelo veículo k. Deve-se ressaltar que são versões generalizadas de (2.5) e (2.6). É importante enfatizar, ainda, que os modelos em três índices representam generalizações dos modelos em dois índices, permitindo maior flexibilidade à representação do problema de roteamento de veículos Modelo de Fluxo de Mercadorias Os modelos de fluxo de mercadorias foram, inicialmente, introduzidos por Garvin et al. (1957) e posteriormente por Gavish e Graves (1979) e Gavish e Graves (1982).

20 2.3 Formulações Matemáticas do PRVC 10 Esta formulação requer, além das variáveis usadas na formulação de fluxo de veículos de dois índices, um novo conjunto de variáveis a serem associadas aos arcos, as quais representam o fluxo de demanda entre eles. Além disso, este modelo requer um grafo estendido G = (V, A ), que é obtido de G, adicionando-se o vértice n + 1, que é uma cópia do vértice-depósito. As rotas agora partem do vértice zero para o vértice n + 1. Duas variáveis não-negativas de fluxo, y ij e y ji, são associadas a cada arco a ij = (i,j) A. Quando um veículo viaja do consumidor i para o consumidor j, y ij e y ji representam, respectivamente, a carga do veículo e a capacidade residual do veículo ao longo do arco, ou seja, y ji = Q y ij. As regras se invertem, caso o veículo viaje de j para i. Portanto, para simplificar, a melhor formulação é: y ij + y ji = Q, para qualquer arco a ij = (i,j) A. Para qualquer rota de uma solução factível, as variáveis de fluxo definem dois caminhos direcionados. Um caminho parte do vértice zero para o vértice n+1 e suas variáveis representam a carga do veículo. O outro caminho parte do vértice n + 1 para o vértice zero e suas variáveis representam a capacidade residual do veículo ao longo do caminho. Estes caminhos descrevem um veículo que parte do vértice zero com sua capacidade de carregamento completa, realiza entregas em cada consumidor da rota, de acordo com suas demandas, e chega vazio ao vértice n + 1. Em seguida, o veículo parte vazio do vértice n+1 e coleta, em cada consumidor, uma quantidade de mercadoria igual à sua demanda, retornando ao vértice zero com a capacidade de carregamento completa. O modelo é apresentado, então, como: min c ij x ij (i,j) A suj. a (y ji y ij ) = 2q i, i V \{0,n + 1} j V y 0j = q (V \{0,n + 1}) j V \{0,n+1} j V \{0,n+1} j V \{0,n+1} y j0 = KQ q (V \{0,n + 1}) y (n+1)j = KQ y ij + y ji = Qx ij, (i,j) A (x ij x ji ) = 2, i V \{0,n + 1} j V y ij 0, (i,j) A x ij {0, 1}, i,j V (2.8a) (2.8b) (2.8c) (2.8d) (2.8e) (2.8f) (2.8g) (2.8h) (2.8i) Nesse modelo, tem-se que: x ij : variável binária que assume o valor 1, caso o arco a ij faça parte da solução ótima do problema; ou 0, caso contrário; c ij : custo associado ao arco a ij ;

21 2.3 Formulações Matemáticas do PRVC 11 y ij e y ji : carga do veículo e capacidade residual do veículo ao longo do arco direcionado a ij. A função objetivo (2.8a) minimiza o somatório do custo dos arcos pertencentes à solução ótima. A restrição (2.8b) regula o fluxo de mercadorias nos vértices. O fluxo de entrada menos o fluxo de saída em um consumidor é igual a duas vezes à demanda desse consumidor. Já a restrição (2.8c) assegura que a soma das cargas do veículo na saída do depósito zero seja igual à demanda dos consumidores da rota. A restrição (2.8d) garante que a soma da capacidade residual do veículo na volta ao depósito zero seja igual à diferença entre a capacidade do veículo e a demanda da rota. A restrição (2.8e) assegura que a soma das cargas do veículo na saída do depósito n + 1 seja igual à capacidade total da frota. A restrição (2.8f) define a relação entre o fluxo de veículos e mercadorias. Quando um determinado veículo atravessa o arco a ij, a capacidade deste veículo é dada pela soma entre sua carga atual e a sua capacidade residual. A restrição (2.8g) define o grau dos vértices do grafo G como 2, ou seja, em cada vértice i V, com exceção dos depósitos zero e n + 1, entram e saem exatamente dois arcos, de modo que seja assegurada a existência do caminho em duas direções. A restrição (2.8h) assegura que a carga no veículo será sempre maior ou igual a zero. Por fim, a restrição (2.8i) indica que x ij é uma variável binária Modelo de Particionamento de Conjuntos A formulação em particionamento de conjuntos foi introduzida, pela primeira vez, por Balinski e Quandt (1964). Considere que H = {H 1,...,H q } seja uma coleção de todos as rotas ou circuitos do grafo G, cada uma correspondendo a uma rota factível, para q = H. Os termos associados são, então, definidos como: c j : custo associado a cada rota H j, representando o custo de se utilizá-la na solução final do problema; a ij : coeficiente binário que assume o valor 1, caso o vértice i seja coberto ou visitado pela rota H j ; e 0, caso contrário; x j : variável binária que assume o valor 1, se a rota H j é selecionada na solução ótima do problema; e 0, caso contrário. O modelo associado é, então, dado por: q min z = c j x j suj. a j=1 q a ij x j = 1, i V\{0} j=1 q x j = K j=1 x j {0, 1}, j = 1,...,q (2.9a) (2.9b) (2.9c) (2.9d)

22 2.4 Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo 12 Nesse modelo, a função objetivo (2.9a) representa o custo mínimo associado à escolha ótima de rotas que o determinam. A restrição (2.9b) requer que cada cliente i seja visitado (ou coberto) por exatamente uma única rota ou circuito, selecionado do conjunto H. A restrição (2.9c) exige que K rotas ou circuitos sejam selecionados. A principal desvantagem dessa formulação é a exigência de geração de todas as possíveis rotas factíveis de uma dada instância, impraticável para casos de maior porte. 2.4 Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo O Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo (PRVJT) é uma extensão do PRVC na qual, além da restrição de capacidade, são adicionadas restrições relacionadas ao horário em que cada consumidor exige ser atendido. Para cada consumidor i, é associado um intervalo de tempo [a i,b i ], chamado de Janela de Tempo, que indica o horário em que deve ser iniciado o atendimento, e um tempo de serviço s i, que indica o período de tempo que o veículo deve aguardar a conclusão das tarefas. O horário em que o veículo parte do depósito é adicionado ao tempo de viagem de cada arco percorrido e ao tempo de serviço em cada consumidor visitado. No caso do veículo ter chegado mais cedo ao consumidor, é permitido que ele aguarde o início da janela de tempo no local. O tempo de serviço só inicia-se dentro da janela de tempo e assim que o veículo chega. Logo, o PRVJT consiste, então, em encontrar um conjunto de rotas, com o menor custo possível, respeitando-se as seguintes restrições: (i) : todas as rotas têm início e término no depósito; (ii) : cada consumidor é visitado por apenas uma rota; (iii) : a demanda total de qualquer rota não deve superar a capacidade Q do veículo; (iv) : para cada consumidor i, o início do atendimento deve estar compreendido no período de tempo dado por [a i,b i ]; (v) : o veículo deve aguardar o fim do tempo de serviço s i. Os termos associados, utilizados no modelo matemático, são: x ijk : variável binária, que assume o valor 1 caso o veículo k percorra o arco (a ij ); e assume o valor 0, caso contrário; t i : tempo de chegada do veículo no vértice i; w i : tempo de espera do veículo no vértice i; K : número total de veículos disponíveis; N : número total de consumidores;

23 2.4 Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo 13 d ij : distância euclidiana entre os vértices i e j; c ij : custo de viagem associado ao arco a ij ; t ij : tempo de viagem entre os vértices i e j; q i : demanda do consumidor i; Q k : capacidade do veículo k; a i : tempo inicial da janela de tempo; b i : tempo final da janela de tempo; s i : tempo de serviço no consumidor i; r k : tempo máximo de duração permitido para a rota executada pelo veículo k. A formulação matemática, proposta por Tan et al. (2001b) para o PRVJT com frota heterogênea, é a seguinte: min suj. a: N i=0 K N j=0 j i k=1 j=1 K c ij x ijk k=1 N x ijk K, i = 0 N x ijk = j=1 K k=1 K k=1 N x jik 1, i = 0, k {1,...,K} j=1 N x ijk = 1, i {1,...,N} j=0 j i N x ijk = 1, j {1,...,N} i=0 i j N N q i x jik Q k, k {1,...,K} i=1 N i=0 j=0 j 1 N x ijk (t ij + s i + w i ) r k, k {1,...,K} j=0 j i t 0 = w 0 = s 0 = 0 K N x ijk (t ij + s i + w i ) t j, j {1,...,N} k=1 i=0 i j a i (t i + w i ) b i, i {1,...,N} x ijk {0, 1} (2.10a) (2.10b) (2.10c) (2.10d) (2.10e) (2.10f) (2.10g) (2.10h) (2.10i) (2.10j) (2.10k)

24 2.4 Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo 14 A função objetivo (2.10a) minimiza o somatório dos custos dos arcos pertencentes à solução ótima, visitados por cada veículo. A restrição (2.10b) exige que todas as rotas se iniciem no depósito. O número de veículos que parte do depósito deve ser menor ou igual ao número total de veículos disponíveis. Caso a restrição esteja em forma de igualdade, todos os veículos são utilizados na solução; caso contrário, nem todos os veículos são utilizados na solução do problema. A restrição (2.10c) requer que todas as rotas devem terminar no depósito. Todo veículo que deixa o depósito deve retornar a ele após a execução da rota. Caso a restrição esteja em forma de igualdade, o veículo k foi utilizado na solução do problema; caso contrário, o veículo não está sendo usado. Já as restrições (2.10d) e (2.10e) atuam em conjunto, implicando que cada consumidor deve ser visitado uma única vez e por um único veículo. Além disso, garantem a continuidade da rota, ou seja, quando um veículo visita um consumidor, deve partir após o término do serviço. A restrição (2.10f) representa a limitação da capacidade de cada rota à capacidade de carga dos veículos. As restrições (2.10g), (2.10h), (2.10i) e (2.10j) definem as restrições de tempo para as rotas. A restrição (2.10g) exige que o somatório do tempo das rotas percorridas não ultrapasse o tempo máximo permitido para a duração da rota. A restrição (2.10h) requer que os tempos de partida, de serviço e de viagem do depósito sejam iguais a zero. Já a restrição (2.10i) impõe que o somatório do tempo dos consumidores percorridos não deva exceder o tempo limite da janela de tempo do próximo consumidor. Por fim, a restrição (2.10j) garante que o início do atendimento (tempo de chegada mais o tempo de espera) deverá estar dentro da janela de tempo do consumidor.

25 Capítulo 3 Uma Revisão de Métodos Heurísticos Neste capítulo é feita a caracterização dos métodos heurísticos, suas aplicações, vantagens, desvantagens e principais métodos heurísticos aplicados ao Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo. A seção 3.1 descreve as principais características dos métodos heurísticos. Na seção 3.2 é apresentado o comportamento das heurísticas construtivas. Já na seção 3.3 pode ser visto a forma de atuação das principais heurísticas de refinamento. A seção 3.4 faz a descrição geral do que são metaheurísticas. Os algoritmos baseados em colônia de formigas são vistos na seção 3.5. Uma abordagem da metaheurística de Busca Tabu é encontrada na seção 3.6. Por fim, na seção 3.7 a técnica de Reconexão por Caminhos é revisada. 3.1 Métodos Heurísticos Uma heurística pode ser definida como uma técnica de procura por boas soluções em um problema de otimização a um custo computacional compensatório, sendo, contudo, incapaz de assegurar a qualidade da solução encontrada ou a distância da solução até o ótimo. Um problema de otimização combinatória pode ser definido pelo par (S,f), no qual: S: conjunto de soluções s possíveis para o problema; f : S R: função objetivo que associa cada solução s S a um valor real f(s). A solução para o problema consiste em se determinar a solução ótima s S, que satisfaça à relação f(s ) f(s), s S (para um problema de minimização) ou f(s ) f(s), s S (para um problema de maximização). Os principais métodos utilizados para solucionar o Problema de Roteamento de Veículos são os métodos de programação matemática, os métodos aproximativos e os métodos heurísticos. A princípio, um método de programação matemática (ou exato) é sempre capaz de determinar a solução ótima para um problema, mas, para isso, pode exigir um tempo computacional muito alto. De acordo com Cormen et al. (2002), alguns problemas nem mesmo possuem algoritmos exatos e, dentre os que possuem, o tempo computacional necessário pode tornar inviável a utilização do método. 15

26 3.1 Métodos Heurísticos 16 Os métodos aproximativos são capazes de buscar soluções com desempenho e tempo consideráveis, além de serem viáveis à maioria dos problemas para o qual são utilizados. De acordo com Cormen et al. (2002), os algoritmos aproximativos, a cada iteração, se aproximam da solução ótima, e a qualidade de solução alcançada está diretamente relacionada ao tempo de execução. Os métodos heurísticos são capazes de encontrar soluções viáveis em tempo de execução polinomial, mas não garantem a qualidade da solução encontrada, ou seja, seu caráter de otimalidade ou não. Este trabalho se atém à discussão da aplicação de métodos heurísticos na busca de soluções para o PRV. Portanto, os métodos de programação matemática não serão objeto de análise. O capítulo 3 apresenta uma revisão a respeito de métodos heurísticos. O Problema de Roteamento de Veículos (PRV) é classificado como um problema de complexidade NP-Difícil e, com isso, o emprego de métodos exatos para sua resolução é restrito. Em contrapartida, métodos heurísticos têm sido amplamente utilizados em problemas de diversas ordens, sofrendo, no entanto, das dificuldades inerentes à indefinição da qualidade da solução encontrada. Uma revisão de métodos heurísticos é apresentada em Blum e Roli (2003). A maioria dos métodos exatos desenvolvidos para o PRV procura relaxar as restrições do modelo matemático, transformando-o em problemas mais simples e que podem ser resolvidos em tempo polinomial. A resolução do PRV através de um método exato necessita que o problema seja expresso através de um modelo matemático. Na seção 2.3 são vistas as formas mais utilizadas de representação matemática deste tipo de problema. Os problemas combinatoriais classificados como NP-Difíceis de maior porte não possuem métodos eficientes capazes de assegurar a otimalidade da solução encontrada. Logo, os métodos heurísticos são utilizados, pois têm uma boa relação entre os resultados gerados e tempo computacional necessário. O Problema de Roteamento de Veículos com Janela de Tempo (PRVJT) também é classificado como NP-Difícil. Por isso, a procura da solução ótima através da verificação de todas as soluções é inviável em problemas de maior porte, devido ao custo computacional necessário. Um exemplo de problema de complexidade NP- Difícil é o Problema do Caixeiro Viajante (PCV), em que um viajante de negócios (ou caixeiro viajante) deve visitar um conjunto de n cidades, passando por cada cidade uma única vez e retornando à cidade origem, percorrendo a menor distância possível. O número de soluções possíveis, assumindo que a distância de uma cidade à outra seja simétrica (a distância de ida seja igual a distância de volta), é dado pela fórmula (n 1)!/2. Para uma instância de 20 cidades do PCV, o número total de soluções possíveis seria da ordem de Um computador capaz de calcular uma solução em 10 8 segundos gastaria 19 anos para encontrar a melhor solução usando um método que enumere todas as soluções possíveis. Os métodos exatos possuem técnicas que otimizam a busca, reduzindo o número de soluções, diminuindo o esforço computacional e, conseqüentemente, o tempo, permitindo a aplicação em instâncias de maior porte. Ainda assim, a partir de certa dimensão, o problema se torna inviável para um método exato e a escolha de um novo método capaz de gerar boas soluções é justificada.

27 3.3 Heurísticas Construtivas 17 Os métodos heurísticos podem ser classificados da seguinte forma: heurísticas construtivas: as soluções são construídas elemento a elemento, seguindo algum critério de classificação, até que se tenha uma solução viável; heurísticas de refinamento: partem de uma solução inicial viável qualquer e tentam melhorá-la através de operações diversas, até que não seja mais possível ou exista algum outro critério de parada; heurísticas híbridas: combinam estratégias de duas ou mais heurísticas; metaheurísticas: heurísticas inteligentes, capazes de escapar de ótimos locais e áreas planas, além de serem mais flexíveis em sua aplicação. 3.2 Heurísticas Construtivas Uma heurística construtiva gera uma solução de forma incremental, de modo que, a cada iteração, um novo elemento é escolhido para integrar a solução. O elemento escolhido varia de acordo com a função de avaliação utilizada e com o problema abordado. A forma mais comum de escolha é a gulosa, na qual os elementos são classificados de acordo com a função avaliação e o elemento melhor classificado é o escolhido. A função de avaliação costuma ser específica para cada problema. Os métodos aleatórios são heurísticas construtivas, nos quais os elementos são adicionados de forma aleatória à solução até que esta esteja completa. De acordo com Stutzle e Dorigo (2000), as soluções geradas por um algoritmo de construção gulosa geralmente são melhores que as obtidas de forma aleatória. A desvantagem da construção gulosa é que o número de soluções possíveis é pequeno. A figura 3.1 apresenta um pseudo-código de uma heurística de construção gulosa. procedimento Heurística Construtiva Gulosa; 1 s p = ; 2 enquanto s p não estiver completa 3 e = Função Gulosa( ); 4 s p = s p e; 5 fim-enquanto; 6 retorne s p ; fim Heurística Construtiva Gulosa; Figura 3.1: Heurística Construtiva Gulosa - Pseudo-código. Os algoritmos de construção gulosa são, na maioria das vezes, os métodos de construção mais rápidos e quase sempre geram soluções que não se aproximam da ótima. A aplicação de uma heurística de refinamento geralmente melhora os resultados. São exemplos de heurísticas construtivas para problemas de roteamento de veículos: Vizinho mais próximo, Clark e Wright, Inserção mais barata, etc.