que faz a velocidade angular de um corpo mudar. Como, então, explicar que a velocidade angular do martelo dessa Figura permanece constante?

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1 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular QUESTÕES PAA DISCUSSÃO Q0. Ao apertar os parafusos da cabeça do otor de u autoóvel, a grandeza critica é o torque aplicado aos parafusos. Por que o torque é ais iportante que a força efetiva aplicada sobre o punho da chave de boca? Q0. Pode ua única força aplicada a u corpo alterar siultaneaente seu oviento de translação e de rotação? Explique. que faz a velocidade angular de u corpo udar. Coo, então, explicar que a velocidade angular do artelo dessa Figura peranece constante? Figura Q0. Suponha que você puxe o Fio da figura para cia. A energia ecânica seria conservada nesse caso? Explique por quê. Q0. Suponha que você possa escolher qualquer tipo de roda para o projeto de u carro de copetição soapbox (u veículo de quatro rodas se otor que desce ua encosta a partir do repouso). Seguindo as regras do liite áxio para o peso do carro soado co o peso do copetidor, você usaria rodas grandes e pesadas ou rodas pequenas e leves? Você usaria rodas aciças ou rodas ocas co a assa concentrada e u aro na periferia da roda? Explique. Q0.4 A enos que r e F seja ortogonais, existe sepre dois ângulos entre estas forças que fornece o eso torque para valores fixos dos ódulos de r e F. Explique por que. Ilustre sua resposta co u desenho. Q0.5 O eixo da anivela do otor de u autoóvel possui ua roda para auentar o oento de inércia e torno do eixo de rotação. Por que isso e desejável? Q0.6 Quanto ais forteente você pisar no freio enquanto o carro se desloca para a frente, ais para baixo a parte dianteira do carro se ove (e a parle traseira se ove ais para cia). Por que? O que ocorre durante a aceleração? Por que os carros de corrida do tipo dragster não usa apenas direção nas rodas dianteiras? Q0.7 Quando unia acrobata anda sobre ua corda esticada, ela abre e estende seus braços lateralente. Ela faz isso para que seja ais fácil se equilibrar caso tobe para u lado ou para o outro. Explique coo isso funciona. {Sugestão: aciocine usando a Equação: N i I i Q0.8 Quando u otor eletrico é acionado, ele leva ais tepo para atingir sua velocidade final quando existe u eseril ligado ao eixo do otor. Por quê? Q0.9 Se quebrar a casca do ovo, u cozinheiro experiente pode distinguir u ovo natural de outro que já tenha sido cozdo na água fazendo os dois rolare sobre u plano inclinado (se você Fizer a experiência toe cuidado para segurar os ovos na base do plano). Coo isso ê possível? O que se espera concluir? Q0.0 Quando u eseril elétrico e desligado, a roda do eseril leva cerca de u inuto ale parar. Quando ua furadeira elêtrica ê desligada, a broca leva apenas alguns segundos ate parar. Explique a razão dessa diferença. Q0. Sobre o artelo indicado na Figura l atua a força da gravidade, e sabeos que ua torça produz u torque Figura Q0. Ua roda eslá rolando se deslizaento sobre ua superfície horizontal. E u sistea de referência inercial no qual a superfície está repouso, existe algu ponto sobre a roda que possua ua velocidade puraente vertical? Existe algu ponto sobre a roda que possua velocidade co u coponente horizontal co sentido oposto ao da velocidade do centro de assa? Explique. Caso a roda deslize durante o giro, suas respostas seodifica? Explique. Q0.4 Parte da energia cinética da rotação de u autoóvel e oviento esta e suas rodas. Quando você aplica forteente os freios e ua rua co gelo, as rodas fica "bloqueadas", e o carro coeça a deslizar. O que ocorre co a energia cinética da rotação? Q0.5 Você está e pé no centro de u carrossel horizonlal que gira e u parque de diversões. O carrossel gira sobre apoios se atrito, e sua rotação é livre (ou seja, não existe nenhu otor fazendo o carrossel girar). Quando você cainha até a periferia do carrossel, diga o que ocorre co o oento angular total do sistea constituído por você junto co o carrossel. O que ocorre co a velocidade angular do carrossel? Explique suas respostas. Q0.6 Ua partícula descreve u oviento circular unifore. E relação a ua orige no centro do círculo, existe u torque resultante atuando sobre a partícula? Ua força resultante? O que ocorreria se a velocidade da partícula estivesse variando? Explique sua resposta e cada caso. Q0.7 Ua partícula se ove e linha reta

2 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular co velocidade constante e a distância entre a reta e a orige é igual a l. E relação à orige, o oento linear da partícula é igual a zero ou diferente de zero? A edida que a partícula se desloca ao longo da rela seu oento angular e relação à orige varia? precessão coo indicado na Figura. O que ocorrerá se você colocar suaveente algu peso e u ponto o ais afastado possível do pivô. ou seja. na extreidade do eixo do volante? Q0.8 No Exeplo 0. (Seção 0.7) a velocidade angular varia e isto deve significar que existe ua aceleração angular diferente de zero. Poré não existe nenhu torque e torno do eixo de rotação quando as forças que o professor aplica sobre os pesos estão orientadas radialente para dentro. Então pela Equação: N i I i deve ser igual a zero. Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a ua contradição aparente. Q0.9 No exeplo 0. (Seção 0.7) a energia cinética do professor junto co os halteres auenta. Contudo, coo não existe torques externos, não existe nenhu trabalho capaz de alterar a energia cinética da rotação. Então, pela Equação (0.5) a energia cinética deve peranecer constante! Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a ua contradição aparente. De onde ve a energia cinética extra? Figura Q0.0 Confore discutios na Seção 0.7, o oento angular de ua acrobata no circo se conserva à edida que ela se ove através do ar. Seu oento linear se conserva? Explique sua resposta. Q0. Quando você segura durante u intervalo ínio de tepo u ovo fresco que está girando e a seguir o liberta, o ovo coeça a girar novaente. Quando você repete a experiência co u ovo cozido, ele peranece parado. Experiente fazer isso. Explique. Q0. U helicóptero possui u rolor grande principal que gira e u plano horizonlal e ocasiona a força de sustentação. Existe tabé u rotor pequeno na traseira do helicóptero que gira e u plano vertical. Qual é a finalidade do rotor traseiro? (Sugestão: Caso não existisse o rotor traseiro, o que ocorreria quando o piloto fizesse variar a velocidade angular do rotor principal?) Alguns helicópteros não possue rotor traseiro, as possue dois rotores principais grandes que gira e u plano horizontal. Por que é iportante que esses rotores gire e sentidos contrários? Q0. E u projcto cou de giroscópio, o volante que gira e o eixo do volante peranece no interior de ua estrutura leve e esférica, co o volante no centro da estrutura. O giroscópio é a seguir equilibrado no topo de u pivô de odo que o volante fique direlacntc acia do pivô. O giroscópio realiza precessão quando ele é libertado enquanto o volante está girando? Explique. Q0.4 U giroscópio leva.8 s para fazer ua precessão de l.0 revolução e torno de u eixo vertical. Dois inutos depois ele leva.0 s para fazer ua precessão de.0 revolução. Ningué tocou no giroscópio. Explique o que ocorreu. Q0.5 U giroscópio realiza u oviento de

3 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular Exercícios Seção 0. Torque 0. Calcule o torque (ódulo, direção e sentido) e torno de u ponto O de ua força F e cada ua das situações esqueatizadas na Figura 4. E cada caso, a força F e a barra estão no plano da página, o copriento da barra é igual a 4.00 e a força possui ódulo de valor F = 0.0 N. Figura 4 aplicadas tangencialente a ua roda co raio igual a 0.0, confore ostra a figura 7. Qual é o torque resultante da roda produzido por estas duas forças e relação a u eixo perpendicular à roda passando através de seu centro? esolva o caso (b). Figura 7 (a) (b) 0. Calcule o torque resultante e torno de u ponto O para as duas forças aplicadas ostradas na Figura 5. Figura Ua força atuando sobre ua parte de ua áquina é dada pela expressão: F N i N ˆj 5.00 ˆ 4.00 O vetor da orige ao ponto onde a força é aplicada e dado por: r i ˆj 0.45 ˆ 0.5 (a) Faça u diagraa ostrando r F e a orige. (b) Use a regra da ão direita para deterinar a direção e o sentido do torque. (c) Deterine algebricaente o vetor torque produzido por essa torça. Verifique se a direção e o sentido do torque são iguais aos obtidos no ite (b). Figura 8 - egra da ão direita. 0. Ua placa etálica quadrda de lado igual a 0.80 possui o eixo pivotado perpendicularente ao plano da página passando pelo seu centro O (Figura 6). Calcule o torque resultante e torno desse eixo produzido pelas três forças ostradas na figura, sabendo que F = 8.0 N, F = 6.0 N e F = 4.0 N. O plano da placa e de todas as forças é o plano da página. Figura As forças F = 7.50 N e F = 5.0 N são SEÇÃO 0. TOQUE E ACELEAÇÃO ANGULA DE UM COPO ÍGIDO 0.6 O volante de ua certa áquina possui oento de inércia igual a.50 kg. e too do seu eixo de rotação, (a) Qual é o torque constante necessário para que, partindo do repouso, sua velocidade angular atinja o valor de 400 rev/in e 8.00 s? (b) Qual é sua energia cinética final? 0.7 Usando o valor de a calculado no Exeplo 0. (Seção 0.), qual é o valor da velocidade do cabo

4 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular depois que ele foi puxado,0? Copare seu resultado co o obtido no Exeplo 9.8 (Seção 9.5). 0.8 Ua corda é enrolada e torno da periferia de ua roda de raio igual a 0.50, e a corda é puxada por ua força constante de 40.0 N. A corda é ontada apoios se atrito sobre u eixo horizontal que passa e seu centro. O oento de inércia da roda e torno do eixo é igual a 5.00 kg.. Calcule a aceleração angular da roda. 0.9 (a) Calcule o odulo η da força noral para as situações descritas no Exeplo 0. (Seção 0.). (b) Sua resposta do ite (a) é enor do que, igual a, ou aior do que o peso total do cilindro junto co a assa (M + ).g. Explique coo isso ocorre. (c) Suponha que o cilindro esteja inicialente girando no eso sentido dos ponteiros do relógio de odo que a assa suspensa suspensa esteja inicialente se ovendo para cia co velocidade escalar v 0 (o cabo peranece esticado). Qual e o efeito que isso produz sobre a tensão T e sobre a força noral η. Explique. 0.0 (a) Na situação descrita no Exeplo 0. da Seção 0. (Figura 9), a torça noral η exercida sobre o cilindro pelo ancal está orientada para cia e para a esquerda. Explique a razão da força noral possuir essa direção. (b) Deterine o odulo, a direção e o sentido de η. Figura 9 passando e seu centro. O balde é libertado a partir do repouso no topo de u poço e cai 0.0 até atingir a água. Despreze o peso da corda, (a) Qual e a tensão na corda enquanto o balde está caindo? (b) Co que velocidade o balde atinge a água? (c) Qual é o tepo de queda? (d) Enquanto o balde está caindo, qual e a força exercida pelo eixo sobre o cilindro? 0. U livro de.00 kg está e repouso sobre ua superfície horizontal se atrito. Ua corda aarrada ao livro passa sobre ua polia co diâetro igual a 0.50 e sua outra extreidade está presa a outro livro suspenso co assa de.00 kg. O sistea e solto a partir do repouso e os livros se desloca.0 e s. (a) Qual é a tensão e cada parte da corda? (b) Qual e o oento de inércia da polia e torno do seu eixo de rotação? 0.4 Ua barra horizontal fina de copriento L e assa M é articulada e torno de u eixo vertical passando e sua extreidade. Ua força co ódulo constante F é aplicada à outra extreidade, fazendo a barra girar e u plano horizontal. A força é antida perpendicularente á barra e ao eixo da rotação. Calcule o ódulo da aceleração angular da barra. SECAO 0.4 OTAÇÃO DE UM COPO ÍGIDO EM TONO DE UM EIXO MÓVEL 0. U eseril e fora de disco sólido co diâetro de 0.50 e assa de 50.0 kg gira a 850 rev/in. Você pressiona u achado contra sua periferia co ua torça noral de 60 N (Figura 0) e o eseril atinge o repouso e 7.50 s. Ache o coeficiente de atrito entre o achado e o eseril. Despreze o atrito nos ancais. 0.5 U fio é enrolado diversas vêzes e torno da periferia de u pequeno aro de raio e assa 0.80 kg. Se a extreidade livre do rio e antida Fixa e o aro é libertado a partir do repouso (Figura ), calcule: (a) a tensão no fio enquanto o aro desce à edida que o fio se desenrola; (b) o tepo que o aro leva para descer 0.750; (c) a velocidade angular do aro no oento e que ele desceu Figura. 0.6 epita a parte (c) do Exercício 0.5 usando desta vez considerações de energia. Figura U balde co água de 5.0 kg é suspenso por ua corda enrolada e torno de u sarilho, constituído por u cilindro sólido co diâetro de 0.00 e assa igual a.0 kg. O cilindro e pivotado sobre u eixo se atrito 0.7 No Exeplo 0.5 (Seção 0.4) verificaos que para ua casca cilíndrica oca rolando se deslizar sobre ua superfície horizontal, etade da energia cinética total e translacional e a outra etade e relacional. Deterine que tração da energia cinética total e dada pela parte relacional no case do rolaento se desilizaento dos seguintes objetos: (a) u cilindro aciço hoogêneo; (b) ua esfera aciça hoogênea; (c) ua casca esférica, (d) u cilindre eco ce raio externo K e raio

5 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular interno /. 0.8 Ua casca esférica de assa igual a.00 kg rola se deslizar ao longo de u plano inclinado de 8. (a) Ache a aceleração, a força de atrito e e coeficiente de atrito ínio necessário para ipedir o deslizaenlo. (b) Coo suas respostas do ite (a) seria alteradas caso a assa fosse dobrada para 4.00 kg? 0.9 Ua roda de 9 N sai do eixo de u cainhão e oviento e rola se deslizar ao longo de ua estrada inclinada. Na base de u orro ela está girando a 5.0 rad/s. O raio da roda é igual a e seu oento de inércia e too do eixo de rotação é igual a 0.800M. O atrito realiza trabalho sobre a roda a edida que ela sobe o orro até parar, a ua altura h acia da base do orro: esse trabalho possui ódulo igual a 500 J. Calcule h. 0.0 Ua bola subindo ua inclinação. Ua bola de boliche rola se deslizar para cia de ua rapa inclinada de u angulo co a horizontal. (Veja o Exeplo 0.9 na Seçao 0.4.) Considere a bola ua esfera hoogênea e ignore os seus orifícios. (a) Faça u diagraa do corpo livre para a bola. Explique por que a torça de atrito deve possuir sentido para cia. (b) Qual e a aceleração do centro de assa da bola? (c) Qual deve ser o coeficiente de atrito estático ínio para ipedir o deslizaenlo? SECAO 0.5 TABALHO E POTÊNCIA NO MOVIMENTO DE OTAÇÃO 0. U carrossel de u parque de diversões possui raio de.40 e oento de inércia igual a 00 kg. e torno de u eixo vertical passando e seu centro e gira co atrito desprezível. (a) Ua criança aplica ua força de 8.0 N tangencialente a periferia do carrossel durante 5.0 s. Se o carrossel está inicialente e repouso, qual é sua velocidade angular depois deste instante de tepo de 5.0 s? (b) Qual é o trabalho realizado pela criança sobre o carrossel? (c) Qual é a potência édia fornecida pela criança.? 0. O Exeplo 9.5 (Seção 9.4) descreve o projeto da hélice propulsora de u avião. O otor fornece l W para a hélice a ua rotação de 400 rev/in. (a) Qual é o torque fornecido pelo otor do avião? (b) Qual é o trabalho realizado pelo otor e ua revolução da hélice? 0. A roda de u eseril de.50 kg possui fora cilíndrica co raio igual a (a) Qual deve ser o Iorque constante capaz de levá-lo do repouso a ua revolução angular de 00 rev/in e.5 s? (b) Que ângulo ele girou durante esse intervalo de tepo? (c) Use a Equação ( 0.4) para calcular o trabalho realizado pelo torque, (d) Qual é a energia cinética do eseril quando ele está girando a 00 rev/in? Copare sua resposta co o resultado do ite (c). 0.4 Qual e a potência e watts de u otor elétrico que gira a 4800 rev/in e desenvolve u torque de 4.0 N.? 0.5 As extreidades dos dentes de carboneto de ua serra circular estão situadas a ua distância de 8.6 do eixo de rotação, (a) Quando a serra não está cortando nenhu objeto, sua velocidade angular é de 4800 rev/in. Por que sua potência é desprezível quando ela não está cortando nenhu objelo? (b) Quando ela está cortando tábuas, sua velocidade angular se reduz para 400 rev/in e a potência de saída é igual a.47 kw. Qual e a força tangencial que a adeira exerce sobre as extreidades dos dentes de carboneto? 0.6 A hélice propulsora de u avião possui copriento de.08 (de ua extreidade a outra) e sua assa é de 7 kg. Logo no início do funcionaento do otor, ele aplica u torque de 950 N. na hélice, que coeça a se over a partir do repouso, (a) Qual é a aceleração angular da hélice? Considere a hélice coo ua barra fina. {Sugestão: Veja a Tabela 9..} (b) Qual e a velocidade angular da hélice propulsora quando ela atinge 5.00 rev? (c) Qual e o trabalho realizado pelo otor durante as 5,00 rev iniciais? (d) Qual é a potência édia fornecida pela áquina durante as 5.00 rev iniciais? (e) Qual é a potência instantânea do otor no instante e que a hélice propulsora copleta essas 5.00 rev? 0.7 (a) Calcule o torque desenvolvido por u otor industrial co potência de 50 kw para ua velocidade angular de 4000 rev/in. (b) U tabor de assa desprezível co diâetro igual a é ligado ao eixo do otor e a potência disponível do otor e usada para elevar u peso pendurado e ua corda enrolada e torno do tabor. Qual é o peso áxio que pode ser elevado co velocidade constante? (c) Co que velocidade constante o peso sobe? SEÇÃO 0.6 MOMENTO ANGULA 0.8 Ua ulher co assa de 50 kg está e pé sobre a periferia de u grande disco que gira co 0.50 rev/s e torno de u eixo que passa através do seu centro. possui assa de l IO kg e i aio igual a 4,0. Calcule o odulo do oento angular total do sistea ulherdisco. (Suponha que a ulher possa ser tratada coo u ponto.) 0.9 Ua pedra de.00 kg possui ua velocidade horizontal co odulo de.0 /s quando esta no ponto P na Figura (a) Nesse instante, qual é o odulo, a direção e o sentido do seu oento angular e relação ao ponto O?

6 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular (b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu peso, qual é a taxa de variação (ódulo, direção e sentido) do oento angular nesse instante? 0.0 (a) Calcule o odulo do oento angular da Terra considerando-a ua partícula que descreve urna órbita e volta do Sol. A assa da Terra é igual a kg. Suponha que ela descreva u oviento circular unifore co raio de.50.0 e que sua velocidade escalar orbital seja de /s². (b) Calcule o odulo do oento angular da Terra devido a sua rotação e torno do eixo que liga o Pólo Norte co o Pólo Sul. Considere a Terra ua esfera aciça e hoogénea de raio que copleta ua revolução e 4.0 horas. Figura. 0. Ache o ódulo do oento angular do ponteiro dos segundos de u relógio e torno do eixo que passa pelo centro de assa da lace frontal do relógio. Esse ponteiro do relógio possui copriento de 5.0 e assa de 6.00 g. Considere-o ua barra delgada girando co velocidade angular constante e torno de ua de suas extreidades. SECAO 0.7 CONSEVAÇÃO 00 MOMENTO ANGULA 0. Sob deterinadas circunstâncias, ua estrela pode sofrer u colapso e se transforar e u objeto extreaente denso, constituído principalente por nêutrons e chaado estrela de nêutrons. A densidade de ua estrela de nêutrons é aproxiadaente 0 4 vêzes aior do que a da atéria cou. Suponha que a estrela seja ua esfera aciça e hoogênea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela era de k (coparável co o raio do Sol): seu raio final e igual a 6 k. Supondo que a estrela original copletava u giro e 0 dias, ache a velocidade angular da estrela de nêutrons. 0. U pequeno bloco apoiado sobre ua esa horizonlal se atrito possui assa de kg. Ele está preso a ua corda se assa que passa através de u buraco na superfície (Figura ). No início o bloco está girando a ua distância de 0.00 do buraco co ua velocidade angular de.75 rad/s. A seguir a corda e puxada por baixo, fazendo co que o raio do círculo se encurte para O bloco pode ser considerado ua partícula, (a) O oento angular é conservado? (b) Qual é a nova velocidade angular? (c) Calcule a variação da energia cinética do bloco, (d) Qual foi o trabalho realizado ao puxar a corda? Figura. 0.4 U patinador girando. Podeos considerar as ãos e os braços esticados para fora de u patinador que se prepara para girar coo ua barra delgada cujo eixo de giro passa pelo seu centro de gravidade (Figura 4). Quando suas ãos e braços se aproxia do corpo e se cruza e torno do corpo para executar o giro, as ãos e os braços pode ser considerados u cilindro oco co parede fina. A assa total das ãos e dos braços e igual a 8.0 kg. Quando esticadas para tora, a envergadura é de.8 ; quando torcidas, elas fora u cilindro de raio igual a 5. O oento de inércia das parles restantes do corpo e relação ao eixo de rotação é constante e igual a 0,40 kg ². Se sua velocidade angular inicial é de 0,40 rev/s, qual é sua velocidade angular final? Figura Ua ergulhadora pula de u trapoli co braços estendidos verticalente para cia e pernas esticadas para baixo, fornecendo-lhe u oento de inércia e torno do eixo de rotação igual a 8 kg.². Ela então se agacha forando ua pequena bola, fazendo seu oento de inércia diinuir para.6 kg.². Quando está agachada ela realiza ua revolução copleta e.0 s. Caso ela não se agachasse, quantas revoluções faria no intervalo de tepo de.5 s desde o trapoli até atingir a água? 0.6 Ua esa giratória grande gira e too de u eixo vertical fixo, fazendo ua revolução e 6.00 s. O oento de inércia da esa giratória e torno desse eixo é igual a l 00 kg.². Ua criança co assa de 40.0 kg, que estava inicialente e repouso no centro da esa. coeça a correr ao longo de u raio. Qual é a velocidade angular da esa giratória quando a criança está a ua distância de.00 do centro? (Suponha que a criança possa ser considerada ua partícula.) 0.7 Ua esa giratória grande possui fora de disco co raio de.00 e assa igual a 0 kg. A esa giratória esta inicialente a.00 rad/s e torno de u eixo vertical que passa e seu centro. epentinaente, u pára-quedista pousa suaveente e u ponto próxio da periferia da esa. (a) Ache a velocidade angular da esa giratória depois do pouso do pára-quedista. (Suponha que o para-

7 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular qucdista possa ser considerado ua partícula.) (b) Calcule a energia cinética do sistea antes e depois do pouso do pára-quedista. Por que essas energias cinéticas são diferentes? 0.8 Ua porta sólida de adeira co largura de.00 e altura de.00 é articulada e u de seus lados e possui assa total de 40.0 kg. Inicialente ela está aberta e e repouso, a seguir, ua porção de laa pegajosa de assa igual a 0,500 kg, se deslocando perpendicularente à porta co velocidade de,0 /s, colide no centro da porta. Calcule a velocidade angular final da porta. A laa contribui significativaente para o oento de inércia? SEÇÃO 08 GIOSCÓPIOS E PECESSÃO 0.9 (a) Desenhe ua vista de topo do giroscópio da Figura 0.9 indicando letras para, L e. Desenhe dl produzido por. Desenhe L dl. Deterine o sentido da precessão exainando as direções e sentidos de L e L dl. (b) Inverta o sentido da velocidade angular do rotor e repita todas as etapas do ite (a). (c) Mova o pivô para a outra extreidade do eixo. considerando a esa direção e eso sentido da velocidade angular de spin coo na parte (b) e repita todas as etapas, (d) Mantendo o pivô coo na parte (c), inverta a velocidade angular de spin do rotor e repita iodas as etapas O rotor (volante) de u giroscópio de brinquedo possui assa de 0.40 kg. Seu oento de inércia e relação ao seu eixo é igual a kg.². A assa do suporte é de kg. O giroscópio é suportado e u único pivô (Figura 5) e seu centro de assa está situado a ua distância de 4.00 do pivô. O giroscópio possui oviento de precessão u plano horizontal copletando ua revolução e.0 s. (a) Ache a força de baixo para cia exercida pelo pivô. (b) Ache a velocidade angular co a qual o rolor gira e torno de seu eixo, expressa e rev/in. (c) Faça u diagraa, desenhando vetores para ostrar o oento angular do rotor e o torque que atua sobre ele. Figura U giroscópio estabilizador, ü giroscópio esiaii íiuui de u navio é u disco sólido de assa igual a kg; seu raio é igual a,00, e ele gira e too de u eixo vertical co velocidade angular de 500 rev/in. (a) Qual é o tepo necessário para ele atingir essa velocidade, partindo do repouso, co ua potência de entrada de 7.46 x 0 W? (b) Ache o Iorque necessário para fazer o eixo sofrer ua precessão e u plano vertical oscilando co ua taxa de inclinação de.00 /s. 0.4 U giroscópio possui oviento de precessão e too de u eixo vertical. Descreva o que ocorre co a velocidade angular de precessão quando são feitas as seguintes udanças nas variáveis, antendo-se as outras grandezas constantes: (a) a velocidade angular de spin do volante dobra; (b) o peso total dobra. (c) o oento de inércia e torno do eixo do volante dobra; (d) a distância entre o pivô e o centro de gravidade dobra. (e) O que ocorreria se todas as quatro variáveis indicadas nos itens de (a) até (d) dobrasse de valor? 0.4 O período do oviento de precessão da Terra é de anos e o período de sua velocidade angular de spin é de u dia. Estie o ódulo do torque que produz a precessão da Terra. Você pode usar dados do Apêndice F. Faça a estiativa supondo (i) que a Terra seja ua esfera aciça e hoogênea e (ii) que a precessão da Terra seja seelhante ao oviento de precessão do giroscópio indicado na Figura 5. Nesse odelo, o eixo de precessão e o eixo de rotação de spin são perpendiculares. Na verdade, no caso da Terra, o ângulo entre esses dois eixos é de.5 ; isso altera a estiativa do torque de u fator aproxiadaente igual a. POBLEMAS 0.44 U eseril de 55.0 kg é u disco sólido de diâetro igual a Você coprie u achado sobre a periferia co ua força noral de 60 N (Figura 0). O coeficiente de atrito cinético entre a lâina e a pedra do eseril é igual a 0.60 e existe u torque do atrito constante igual a 6.50 N. entre o eixo do eseril e seus ancais, (a) Ache a força que deve ser aplicada tangencialente à extreidade do eixo da anivela de de copriento para acelerar a roda do eseril desde zero até 0 rev/in e 9.00 s. (b) Depois que o eseril atinge a velocidade de 0 rev/in, qual é a força tangencial que deve ser aplicada à extreidade da anivela para anter a velocidade angular constante de 0 rev/in? (c) Quanto tepo o eseril levaria para reduzir sua velocidade angular de 0 rev/in até zero quando a única força atuante for apenas a força de atrito nos ancais? 0.45 Ua roda de bicicleta experiental está sob teste, ontada e u eixo de odo que ela possa girar livreente e torno desse seu eixo. Se u torque de 5.00 N. for aplicado ao pneu durante.00 s, a velocidade angular cresce de zero a 00 rev/in. A seguir o torque externo é reovido, e a roda atinge o repouso e

8 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular 5 s pela ação do atrito e seus ancais. Calcule (a) o oento de inércia da roda e torno do eixo de rotação; (b) o torque do atrito; (c) o núero total de revoluções realizadas pela roda durante o intervalo de tepo de l 5 s U volante co diâetro de é pivotado sobre u eixo horizontal. Ua corda é enrolada na periferia do volante e puxada co ua força estacionária de 40.0 N. O volante coeça a girar a partir do repouso, e u copriento da corda igual a 5.00 é desenrolado e.00 s. (a) Qual é a aceleração angular do volante? (b) Qual é a sua velocidade angular final? (c) Qual é a sua energia cinética final? (d) Qual é seu oento de inércia e relação ao eixo de rotação? 0.47 Ua roda parte do repouso e gira co velocidade angular constante e torno de u eixo fixo. (a) Prove que a potência e qualquer instante é proporcional ao quadrado do torque resultante e torno do eixo. (b) Se a potência para t =.00 s é 500 W co u torque resultante constante de 0.0 N., qual seria a potência para t =.00 s se o torque resultante constante fosse igual a 60.0 N.? (c) Prove que a potência para qualquer deslocaento angular é proporcional ao torque total elevado a / para esse deslocaento angular, (d) Sabendo que a potência depois de ua rotação de 7.5 rad co o torque de 0.0 N. é igual a 500 W, qual seria a potência depois de u deslocaento angular de 7.5 rad co u torque de 60.0 N.? (e) As respostas dos itens (a) e (b) contradize as respostas dos itens (c) e (d)? Tanto na resposta afirativa quanto para a resposta negativa explique por quê Ua viga de copriento l está sobre o eixo +0x co sua extreidade esquerda situada na orige. U cabo puxa a viga na direção do eixo +0y co ua força F cujo ódulo depende do ponto de aplicação na viga F F x l onde F 0 é o ódulo da força aplicada à 0 extreidade esquerda da viga. (a) Qual é a direção e o sentido do torque da força F? (b) Faça u gráfico de F contra x desde x = 0 até x = l. Expresse F e teros de F 0 e x e teros de l. (c) Faça u gráfico do torque contra x desde x = 0 até x = l. Expresse o torque e teros de F 0, x e l e teros de l. (d) Deterine o ponto ao longo da viga no qual a força aplicada produz o torque áxio e qual é o valor desse torque áxio Quando explora u castelo, Exena, a Exterinadora, é surpreendida por u dragão que a persegue pelo corredor. Exena corre para dentro de u quarto e tenta fechar ua porta pesada antes que o dragão entre. A porta está inicialente perpendicular a parede, de odo que ela deve girar a 90 para fechar. A porta possui alutura de.00 e largura de.5, e pesa 750 N. O atrito das dobradiças pode ser desprezado. Se Exena aplica ua força de 0 N a extreidade da porta e ortogonal a ela, quanto tepo leva para fechar a porta? 0.50 Urna barra fina de copriento l repousa sobre o eixo +Ox co sua extreidade direita na orige. U fio puxa a barra co ua força F dirigida a u ponto P situado a ua distancia h acia da barra. Deterine o ponto ao longo da barra onde você deve aarrar o fio para obter o torque áxio e torno da orige se o ponto P estiver situado (a) acia da extreidade direita da barra: (b) acia da extreidade esquerda da barra; (c) acia do centro da barra. 0.5 Ato de equilibrar. Ua pequena esfera de assa M é ligada a extreidade de ua barra longa, fina e unifore de copriento L, e assa M. (a) Localize a posição do centro de assa do sistea barra e esfera. Anote essa posição e u desenho da barra, (b) Você equilibra cuidadosaente a barra no topo de ua esa se atrito, de odo que a extreidade se a esfera fique apoiada verticalente sobre a esa. A seguir a barra e inclinada de u angulo pequeno ; calcule sua aceleração angular nesse instante. Suponha que a extreidade se a esfera peraneça e contato co o topo da esa. {Sugestão: Consulte a Tabela 9..) (c) Você novaente equilibra a barra no topo da esa, pore agora co a extreidade contendo a estera tocando a esa. A seguir a barra e novaente inclinada de u pequeno ângulo ; deterine sua aceleração angular nesse instante. Suponha que a extreidade co a esfera peraneça e contato co o topo da esa. Coo esse resultado se copara co o obtido no ne (b)? (d) U taco de bilhar e ua barra de adeira cónica grossa e ua extreidade e fina na outra. Você pode equilibrar facilente o taco na vertical sobre u dedo quando a extreidade fina fica e contato co esse dedo; esse equilíbrio e uito ais difícil quando a extreidade grossa fica e contato co seu dedo. Explique por quê. 0.5 Você aarra u fio a u ponto na periferia de u disco unifore vertical de raio e assa M. O disco pode girar livreente se atrito e u eixo horiznontal fixo passando e seu centro de assa. Inicialente o disco está e repouso co a conexão do fio no ponto ais elevado do disco. Você puxa o fio co até que a roda lenha feito exataente u quarto de rotação e torno do eixo horizontal que passa e seu centro, e a seguir o sistea é libertado, (a) Achar o trabalho realizado pelo fio. WTot I I (b) Achar o trabalho realizado pelo fio pela equação. Você obté o eso resultado obtido no ite (a)? ua força horizontal F WTot d (c) Ache a velocidade angular final do disco,

9 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular (d) Calcule a aceleração radial (centrípeta) áxia de u ponto sobre o disco. 0.5 O ecaniso indicado na Figura 6 e usado para elevar u engradado de suprientos do depósito de u navio. O engradado possui assa total de 50 kg. Ua corda e enrolada e u cilindro de adeira que gira e torno de u eixo de etal. O cilindro possui raio igual a 0.5 e oento de inércia I =,9 kg.² e torno do eixo. O engradado é suspenso pela extreidade livre da corda. Ua extreidade do eixo está pivotada e ancais se atrito; ua anivela está presa á outra extreidade. Quando a anivela gira. sua extreidade gira torno de u circulo vertical de raio igual a 0.. o cilindro gira e o engradado sobe. Calcule o ódulo da força F aplicada tangencialente ã extreidade da anivela para elevar o engradado co ua aceleração de 0.80 /s². (A assa da corda c o oento de inércia do eixo e da anivela pode ser desprezados.) Figura U bloco de assa = 5.00 kg desliza para baixo de ua superfície honzontal inclinada a 6.9 co a horizonlal (Figura 8). O coeficiente de atrito cinético é 0.5. U fio aarrado ao bloco é enrolado e torno de u volante que pode girar e torno de u eixo passando e O. O volante possui assa de 5.0 kg e oento de inércia de kg.² e relação ao eixo de rotação. O fio puxa a roda se deslizar a ua distância perpendicular ao eixo igual a (a) Qual é a aceleração do bloco para baixo do plano? (b) Qual é a tensão no fio? Figura U grande rolo de papel de 6 kg co raio = 8.0 esta e repouso contra unia parede e e antido no lugar por u suporte ligado a ua barra que passa e seu centro (Figura 7). A barra pode girar se atrito no suporte, e o oento de inércia do papel e da barra e torno do disco e igual a 0.60 kg². A outra extreidade da barra está presa à parede por ua articulação se atrito de odo que a barra faz u ângulo de 0.0 co a parede. O peso da barra e desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede é k = 0.5. Ua força constante vertical F = 40.0 N é aplicada ao papel, e o papel desenrola, (a) Qual é o odulo da força que a barra exerce sobre o papel enquanto ele desenrola? (b) Qual e a aceleração angular do rolo? Figura Dois discos etálicos, u co raio =.50 e assa = 0.80 kg e outro co raio = 5.00 e assa =.60 kg. são unidos por ua solda e ontados sobre u eixo se atrito passando no centro cou dos discos. (a) U fio leve é enrolado e torno da periferia do disco enor, e u bloco de.50 kg é suspenso na extreidade livre do fio. Qual é o ódulo da aceleração de cia para baixo do bloco depois que ele é libertado? (b) epita os cálculos da parte (a), agora supondo que o fio seja enrolado na periferia do disco aior. E qual dos dois casos a aceleração é aior? Sua resposta faz sentido? 0.57 U rolo de cortar graa co fora de ua casca cilíndrica de assa M é puxado horizontalente co ua força constante horizontal F aplicada por u cabo ligado ao eixo. Sabendo que ele rola se deslizar, calcule a aceleração e a força de atrito Máquina de Atwood. A Figura 9 ostra ua áquina de Alwood. Ache a aceleração linear dos blocos A e B, a aceleração angular da roda e a tensão e cada lado da corda supondo que não exista deslizaento entre a corda e a periferia da roda. Os pesoss dos blocos A e B são, respectivaente, 75.0 N e 5.0 N e o oento de inércia da roda e torno do eixo é I e o raio do seicírculo no qual a roda se ove e igual a. Figura 9

10 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular 0.59 U disco sólido rola se deslizar sobre ua superfície horizontal co velocidade constante de.50 /s. (a) Se o disco rola para cia de ua rapa inclinada a 0.0 qual é a distância áxia que ele atinge ao longo da rapa antes de parar? (b) Explique por que sua resposta do ite (a) não depende ne da assa ne do raio do disco O loiô. U ioió é feito usando-se dois discos unifores. cada u co assa e raio, ligados por u eixo leve de raio b. U fio leve e fino e enrolado diversas vêzes e torno do eixo e a seguir antido fixo enquanto o ioiô e libertado do repouso, caindo verticalente à edida que o ioiô desenrola. Calcule a aceleração linear e a aceleração angular do ioiô e a tensão no fio. 0.6 Ua bola de gude hoogênea de raio parte do repouso co seu centro de assa a ua altura h acia do ponto inferior de ua volta copleta de u trilho de raio K. U trilho que possui fora seelhante ao da Figura 7.6. A bola de gude rola se deslizar. O atrito de rolaento e a resistência do ar são desprezíveis. (a) Qual é o valor ínio de h para que a bola de gude não abandone o trilho no topo da circunferência? {Sugestão: O raio não é desprezível e coparação co o raio.} (b) Qual seria a resposta do ite (a) se o trilho fosse be lubrificado, de odo que o atrito se tornasse desprezível? 0.6 A Figura 0 ostra três ioiôs idênticos que estão inicialente e repouso sobre ua superfície horizontal. Para cada ioiô o fio é puxado confore indicado. E cada caso existe atrito suficiente para cada ioiô rolar se deslizar. Desenhe u diagraa do corpo livre para cada ioiô. Qual é o sentido da rotação de cada ioiô? (Tente fazer essa experiência!) Explique suas respostas. Figura Coo indicado na Figura u fio é enrolado diversas vêzes torno da periferia de u pequeno aro de raio e assa igual a 0.80 kg. A extreidade livre do fio e puxada de baixo para cia de u odo exato tal que o aro não se ove verticalente quando o fio é desenrolado, (a) Ache essa tensão exata no fio. (b) Calcule a aceleração angular do aro enquanto o fio se desenrola, (c) Ache a aceleração de baixo para cia ila ão que puxa o fio. (b) Quais as odificações das suas respostas se o aro fosse substituído por u disco aciço co o eso raio e a esa assa? 0.64 E ua experiência de laboratório você faz ua bola hoogênea rolar para baixo de u trilho curvo. A bola parte do repouso e rola se deslizar. Enquanto esta sobre o trilho, a bola desce ua distância h. A extreidade inferior do trilho ê horizontal e se estende para fora da extreidade da esa do laboratório; a bola abandona o trilho se deslocando horizontalenie. Durante a queda livre depois de abandonar o trilho, a bola se ove até ua distância horizontal x e ua distância vertical y. (a) Deterine y e leros de h e de x, desprezando o trabalho realizado pelo atrito, (b) A resposta do ite (a) seria diferente se a experiência tosse feita na Lua? (c) Ao fazer a experiência co uito cuidado, o valor de v edido é enor do que o calculado no ite (a). Por quê? (d) Qual seria o valor de y para o eso h e y do ite (a) se você fízesse ua oeda de u real rolar para baixo do trilho? Despreze o trabalho realizado pelo trilho E ua catapulta de ola, a constante da ola é igual a 400 N/ c a ola sofre ua copressão de 0.5. Quando ela e disparada, 80% da energia potencial elástica arazenada na ola é convertida e energia cinética para ua bola unifore de kg que estava rolando se deslizar na base de ua rapa. A bola continua a rolar se deslizar subindo a rapa co 90% da energia cinética que ela possuía na base convertida e energia potencial gravitacional no oento e que ela pára. (a) Deterine a velocidade do centro de assa da bola na base da rapa, (b) Nessa posição, qual é a velocidade de u ponto no topo da bola? (c) Nessa posição, qual ê a velocidade de u ponto na base da bola? (d) Qual é a altura vertical áxia acia da base da rapa atingida pela bola? 0.66 Quando ua roda rola ao longo de ua superfície horizontal co velocidade constante, as coordenadas de u ponto na periferia da roda são: xt sen t T e yt cos t T onde e T são constantes, (a) Faça u desenho da trajetória do ponto desde t = 0 até t = T. A curva obtida denoina-se ciclóide. (b) Qual é o significado das constantes e T? (c) Deterine os coponentes x e y da velocidade e da aceleração do ponto e função de t. (d) Ache os instantes para os quais o ponto peranece oentaneaente e repouso. Quais são os coponentes x e y nesse instante? (e) Ache o ódulo da aceleração do ponto. Ele depende do tepo? Copare o resultado co o ódulo da aceleração de ua partícula co oviento circular a 4 T unifore,. Explique seu resultado para o odulo da aceleração de u ponto sobre a roda que rola lebrando-se de que o rolaento se deslizaento é ua cobinação de u oviento de rotação e de

11 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular translação Urna criança faz ua bola de basquete de kg rolar para cia de ua rapa longa. A bola de basquete pode ser considerada ua casca esférica. Quando a criança larga a bola na base da rapa, ela possui velocidade igual a 8.0 /s. Quando a bola retorna para a base ela possui velocidade igual a 4.0 /s. Suponha que o trabalho realizado pelo atrito na subida seja igual ao trabalho realizado pelo atnto na descida da bola e que a bola rola se deslizar. Ache a altura áxia atingida pela bola quando ela sobe a rapa Ua roda partindo do repouso gira e torno de u eixo fixo que passa e seu centro de assa de tal odo que = bt, onde b é ua constante positiva co unidades rad/s. (a) Use a equação: W d para ostrar que o trabalho realizado pelo torque resultante sobre a roda quando ela girou de u ângulo é dado por: 9 W I b 4 d (b) Use a equação: li t 0 t dt para calcular a velocidade angular da roda quando ela girou de u ângulo. (c) Use o resultado da parte (b) para calcular a energia cinética da roda depois que ela girou de u ângulo. O teorea do trahalho-energia. A equação é obedecida? Explique U cilindro hoogêneo de assa M e raio esta e repouso sobre o topo de ua esa. U fio é ligado por eio de u suporte duplo preso às extreidades de u eixo se atrito passando através do centro do cilindro de odo que o cilindro pode girar e torno do eixo. O fio passa sobre ua polia e fora de disco de assa M e raio ontada e u eixo se atrito que passa e seu centro. U bloco de assa M é suspenso na extreidade livre do fio (Figura 0). O fio não desliza sobre a superfície da polia, e o cilindro rola se deslizar sobre o topo da esa. Calcule o ódulo da aceleração do bloco quando o sistea é libertado a partir do repouso. Figura Ua barra unifore de kg e copriento de gira e u plano horizontal e torno de u eixo lixo passando e seu centro e perpendicular ã barra. Dois pequenos anéis, cada u co assa de kg, são ontados de fora que eles possa deslizar ao longo da barra. Eles inicialente estão presos por pregadores e distâncias afastadas de do centro da barra, e o sistea coeça a girar co 0.0 rev/in. Se alterar nada no sistea, os pregadores são libertados e os anéis desliza ao longo da barra e sae pelas suas extreidades. (a) Qual é a velocidade angular da barra no instante e que os anéis atinge as extreidades dela? (b) Qual é a velocidade angular da barra depois que os anéis sae pelas suas extreidades? 0.7 Ua barra unifore de copriento L repousa sobre ua superfície horizontal se atrito. A barra possui u pivô, de odo que ela pode girar se atrito e torno de u eixo passando por ua das suas extreidades. A barra está inicialente e repouso. Ua bala se deslocando co velocidade v ortogonal à barra e paralela à superfície atinge o centro da barra e peranece retida e seu interior. A assa da bala é u quarto da assa da barra. (a) Qual é a velocidade angular final da barra? (b) Deterine a razão entre a energia cinética do sistea depois da colisão e a energia cinética da bala antes da colisão. 0.7 A porta sólida de adeira de u ginásio te largura de.00 e altura de.00, sua assa total é igual a 5.0 kg e ela possui ua articulação e u dos seus lados. A porta esta aberta e e repouso quando ua bola de basquete colide Irontalente no centro da porta, aplicando sobre ela ua força édia igual a 500 N durante 8.00 s. Calcule a velocidade angular da porta depois da colisão. (Sugestão: Integrando a Equação i i angular. dl dt, obteos: t t L dt t A integral t t éd dt denoina-se ipulso 0.7 U alvo é constituído por ua placa quadrada de adeira vertical co lado igual a 0.50 e assa de kg, pivotada e u eixo horizontal situado e seu topo. A placa á atingida frontal ente e seu centro por ua bala de assa igual a.90 g que se desloca a 60 /s e que fica relida no interior da placa. (a) Qual é a velocidade angular da placa logo após o ipacto da bala? (b) Qual é a altura áxia atingida pelo centro de assa da placa antes que ela coece a oscilar para baixo novaente? (c) Qual deveria ser a velocidade ínia da bala para que a placa copletasse a rotação passando a girar e torno do eixo depois do ipacto? 0.74 Aceleração repentina de ua estrela de nêutrons. Ocasionalente ua estrela de nêutrons (Exercício 0.) sofre ua aceleração repentina e inesperada conhecida coo glitch. Ua explicação é que

12 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular o glitch ocorre quando a crosta da estrela de nêutrons sofre ua pequena sedientação, fazendo diinuir o oento de inércia e torno do eixo de rotação. Ua estrela de nêutrons co velocidade angular 0 = 70.4 rad/s sofreu u glitch e outubro de 975 que fez sua velocidade angular auentar para = 0 +, onde / 0 = Se o raio da estrela de nêutrons era de k, qual foi sua diinuição na sedientação dessa estrela? Suponha que a estrela de nêutrons seja ua esfera aciça e hoogênea Dois discos A e B são ontados e u disco SS e pode ser conectados ou desligados por eio de ua ebreage C (Figura ). O disco A é feito de u aterial ais leve que o de B, de odo que o oento de inércia de A e torno do eixo é u terço do oento de inércia de B. O oento de inércia do eixo e da ebreage são desprezíveis. Quando a ebreage está conectada, o disco A é levado a ua velocidade angular 0. O torque acelerador é então reovido de A, e a seguir o disco A é acoplado ao disco B pela ebreage. (Despreze o atrito nos ancais.) Nota-se que são produzidos 400 J de energia térica na ebreage quando a conexão é feita. Qual é a energia cinética inicial do disco A? S FIGUA. A C B 0.76 U pequeno bloco de assa 0.50 kg está aarrado por u fio que passa por u orifício e ua superfície horizontal. O bloco está inicialente e u círculo co raio igual a e torno do orifício co velocidade tangencial igual a 4.00 /s. O fio a seguir é puxado por baixo lentaente, fazendo o raio do círculo se reduzir. A tensão de ruptura do fio é igual a 0.0 N. Qual é o raio do círculo quando o fio se rope? 0.77 U disco horizontal de adeira copensada de assa igual a 7.00 kg e diâetro de.00 e pivotado e ancais se atrito e too de u eixo vertical passando e seu centro. Você onta sobre o disco u odelo circular de trilhos co assa desprezível e diâetro igual a U tre de brinquedo co.0 kg ovido por ua bateria está e repouso sobre os trilhos. Para deonstrar a conservação do oento angular, você liga o otor do tre. O tre se ove no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, atingindo logo ua velocidade constante de /s e relação aos trilhos. Ache o ódulo, a direçao e o sentido da velocidade angular do disco e relação a Terra Ua partícula de assa se ove co velocidade constante v e u círculo de raio que está a ua distancia acia do plano xz. Outra partícula de assa se ove do eso odo e co a esa velocidade e outro círculo de raio situado a ua distancia abaixo do plano xz. As duas partículas gira co ua defasage de eia revolução, de odo que quando ua está no ponto (x,, ) a outra está no ponto (-x, -,-z). Assi, o centro de assa das partículas coincide co a orige O, pore o eixo de rotação (o S eixo O não e u eixo de sietria. (a) Faça u esboço dessas partículas no instante e que elas eslão no ponto (,, 0) e (-, -, 0) e ostre os seguintes vetores e relação à orige: posição, velocidade e oento angular. (b) Mostre que e qualquer instante as duas partículas possue o eso oento angular, (c) Qual e o angulo entre (o vetor velocidade angular do sistea das duas partículas) e o vetor oento angular total do sistea? (d) Mostre que o coponente v do oento angular total do sistea e constante e igual a L y = v. (e) Qual e o coponente v do torque resultante que atua sobre o sistea? (f) Ache o ódulo da força resultante que atua sobre cada partícula e o ódulo do Iorque total que atua no sistea. (g) Mostre, usando seu esboço do ite (a), a direção e o sentido do torque resultante sobre o sistea e verifique se esse torque é paralelo ao plano xz u laboratório de Física, você realiza a seguinte experiência de pêndulo balístico. Usando ua espingarda de ola, você dispara ua bala co assa e velocidade v na direçao da horizontal. A bala fica iediataente presa a ua distancia r abaixo de u eixo se atrito por u dispositivo de assa M que a retê e que pode girar se atrito e torno do pivô. O oento de inércia desse dispositivo e torno do pivô ê igual a I. A distância r é uito aior do que o raio da bala. (a) Use a lei da conservação do oento angular para ostrar que a velocidade angular do sistea logo após o oento e que a bala é retida e dada por: v r r I (b) Depois que a bala fica retida, o centro de assa do sistea bala+dispositivo retentor oscila para cia e atinge ua altura áxia h. Use a lei da conservação da energia para ostrar que: M g h r I (c) Sua aiga de laboratório diz que o oento linear é conservado na colisão e deduza relação v= (+M)V, onde V é a velocidade da bala depois da colisão. Ela a seguir usa a lei da conservação da energia para ostrar que: V g h, logo: v M g h Use os resultados dos itens (a) e (b) para ostrar que esse resultado é satisfeito soente no caso particular quando r for obtido da relação I = M r U corredor de 55 kg corre na periferia de ua esa giratória ontada e u eixo vertical se atrito passando seu centro. A velocidade do corredor e relação à Terra possui ódulo de.8 /s. A esa giratória gira e sentido contrário co velocidade angular de ódulo igual a 0.0 rad/s e relação ã Terra. O raio da esa ê de.0 e seu oento de inércia e torno do eixo de rotação ê igual a 80 kg.. Calcule a velocidade angular do sistea quando o velocista fica e repouso e relação à esa giratória. (O velocista pode ser

13 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular considerado ua partícula.) 0.8 Ua bicicleta caindo. O oento de inércia da roda dianteira de ua bicicleta e torno de seu eixo ê igual a kg.², seu raio ê de 0., e a velocidade da bicicleta para a frente é igual a 6,00 /s. Calcule a velocidade angular da roda dianteira torno de u eixo vertical para contrabalançar o torque que tende a fa/er a bicicleta virar produzido por ua assa de 50.0 kg situado a ua distância horizontal de da linha que liga os pontos de conlato das rodas co o solo. (Ciclista: Copare sua resposta co sua própria experiência e verifique se sua resposta é ra/oável.) 0.8 Centro de percussão. U bastão de bola de beisebol está e repouso sobre ua superfície hori/onlal se atrito. O bastão possui copriento de 0,900. assa de 0,800 kg e seu centro de assa está situado a da extreidade do punho do bastão (Figura ). O oento de inércia do bastão e relação ao centro de assa ê igual a kg.². O bastão é golpeado por ua bola de beisebol que se desloca ortogonalente a ele. O ipacto fornece u ipulso t t J Fdt e u ponto situado a ua distância x do punho do bastão. Qual deve ser o valor de x para que a extreidade do punho do bastão peraneça e repouso á edida que o bastão se ove? (Sugestão: Considere o oviento do centro de assa e a rotação e (orno do centro de assa. Ache v de odo que a cobinação dos dois ovientos forneça v = 0 para a extreidade do bastão logo após a colisão. Note tabé que a integração da Equação i i dl dt t fornece L dt t (Problea 0.7).) O ponto que você localizou denoina-se centro de percurssão. Quando ua bola de beisebol colide no centro de percussão, ocorre ua diinuição da força de "picada" que o batedor sente nas ãos. Figura 0.8 Considere u giroscópio co u eixo que não esta na direção horizontal, as possui ua inclinação e relação á horizontal. Mostre que a velocidade angular da precessão não depende do valor de poré é dada pela equação (0.6). POBLEMAS DESAFIADOES 0.84 Ua bola unifore de raio rola se deslizar entre dois trilhos de tal odo que a distância horizontal entre os dois pontos de eontato entre a bola e os trilhos seja igual a d. t éd instante (a) Faça u desenho e ostre que e qualquer v d 4. Discuta essa expressão nos liites d = 0 e d =. (b) Para ua bola unifore partindo do repouso e descendo ua distância vertical h enquanto rola se deslizar para baixo de ua rapa, teos, v ostre que: 0gh 7. Trocando a rapa pêlos dois trilhos, v 0gh 5 d 4 E cada u desses casos, o trabalho realizado pelo atrito foi desprezado. (c) Qual das duas velocidades indicadas na parte (b) e a enor? Por quê? aciocine e teros de coo a energia potencial e dividida entre o ganho da energia cinética da translação e da energia cinética da rotação, (d) Para qual valor da razão d/ as expressões das duas velocidades da parle (b) difere de 5.0% e quando difere de 0.50%? 0.85 Quando u objeto rola se deslizar, a força de atrito de rolaento é uito enor do que a força de atrito quando o ohjelo desliza se rolar; ua oeda de u real rola sobre sua periferia ais rapidaente do que quando ela desliza co sua face voltada para baixo. (Veja a Seção 5.4.) Quando u objeto rola se deslizar ao longo de ua superfície horizontal, podeos desprezar a força de atrito, de odo que a e são nulos e v e são constantes. olar se deslizar iplica v = e a = r. Quando u objeto se desloca sobre ua superfície se obedecer a essas igualdades, o atrito (cinético) de deslizaento está aluando sobre o objeto ã edida que ele desliza até que o rolaento se deslizaento coeça a ocorrer. U cilindro hoogêneo de assa M e raio K. girando co velocidade angular 0 e torno de u eixo passando e seu centro, é lançado sobre ua superfície horizontal sobre a qual o coeficiente de atrito cinético é C. (a) Faça u diagraa do corpo livre para o cilindro sobre a superfície. Pense co cuidado sobre o sentido da força de atrito sobre o cilindro. Calcule a aceleração a do centro de assa do cilindro e a aceleração angular e torno do centro de assa do cilindro, (b) No início o cilindro desliza se rolar, então = 0 as v = 0. O rolaento se deslizaento coeça quando v =. Calcule a distância que o cilindro percorre no oento e que terina o deslizaento, (c) Calcule o trabalho realizado pela força de atrito sobre o cilindro desde o oento e que ele toca a superfície até o oento e que coeça o rolaento se deslizaento U giroscópio de deonstração pode ser construído retirando-se o pneu de ua roda de bicicleta co diâetro de 0.650, enrolando-se u fio de chubo no aro e fixando-o nele. O eixo se projeta 0.00

14 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular para cada lado da roda, e ua garota apoia as extreidades do eixo e suas ãos. A assa do sistea é igual a 8.00 kg; toda a sua assa pode ser considerada concentrada e sua periferia. O eixo é horizontal, e a roda gira e torno do eixo co 5.00 rev/s. Ache o ódulo, a direção e o sentido da força que cada ão exerce sobre o eixo (a) quando o eixo está e repouso; (b) quando o eixo está girando e u plano horizontal e torno do seu centro co rev/s; (c) quando o eixo está girando e u plano horizontal e torno do seu centro co 0.00 rev/s. (d) Co que taxa o eixo deve girar de odo que ele possa ser suportado apenas e ua das suas extreidades? 0.87 U bloco de assa está girando co velocidade linear v, e u círculo de raio r, sobre ua superfície horizontal se atrito. O fio é puxado por baixo até que o raio do círculo no qual o bloco se ove é reduzido a u valor r. (a) Calcule a tensão T no fio e função de r, a distância entre o bloco e o orifício. Dê sua resposta e função da velocidade inicial v e do raio r. r (b) Use a relação W T r dr para calcular o trabalho realizado pela tensão T quando r varia desde r até r. (c) Copare o resultado do ite (b) co a variação da energia cinética do bloco. r

15 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular Capítulo 0 Exercícios resolvidos pares Editora Pearson 0-: (8.00 N)(5.00) 40.0 N, o (.0 N)(.00) sin 0.0 N, onde o torque positivo está no sentido anti-horário, de odo que o torque resultante é 8.0 N, onde o sinal negativo indica u torque sentido horário, ou u torque para dentro da página. 0-4: F F ( F F) (5.0 N 7.50 N)(0.0) 0.76 N. 0-6: (a) rad / s 400 rev / in x 60 rev / in I I (.50kg ).N. t (8.00 s) (b) rad / s I (.50kg ) 400rev / in x.9 x0 J. 60 rev / in 0-8: F 40.0 N)(0.50).00 rad / s I I (5.0 kg ) ( 0-0: (a) O cilindro não se ove, então a força resultante deve ser nula. O cabo exerce ua força horizontal para a direita, e a gravidade ua força para baixo, então a força noral deve ser para cia e para a esquerda confore ostrado na figura Fig. (0-8). (b)n = (9.0 N) ((50kg)(9.80 / s )) 490 N, E u ângulo de arctan 9.0 a partir da vertical (o peso é o. 490 uito aior que a força F aplicada). 0-: Esta é a esa situação apresentada no Exeplo 0-. (a) T = g/( + /M) = 4.0 N. (b) v gh /( M / ).8 / s. Existe uitas foras de se encontrar o tepo de queda. Ao invés de se realizar os cálculos interediários da aceleração, o tepo é a distância dividida pela velocidade édia, ou seja h/(v/) =.69 s. A força noral na Fig. (0--9(b)) é a soa da tensão encontrada na parte (a) e o peso do olinete, u total de 59.6 N (antido os algarisos significativos da parte (a)). 0-4: Fl F Ml. I Ml 0-6: Veja o Exeplo 0-6 e o Exercício 0-7. Para este caso teos: K Mv v gh, v rad / s /.9 0-8: (a) A aceleração ladeira abaixo é: f a g sen sendo que o torque relativo ao centro da concha é dado por: a a f I I M Ma, então f esolvendo siultaneaente relações para a. M a e f encontraos: 5 sen ag o a g sen (9.80 / s )sen8.0.6 / s 5 5 (.00 )(.6 / f Ma kg s )4.8 N A força noral é: Mg cos, e desde que f sn, então finalente teos: Ma g sen f a 5 tan 0.. s N Mg cos g cos g cos 5 (b) a =.6 /s, visto que ela não depende da assa. Contudo, a força de atrito é duas vezes aior, 9.65 N, visto que ela tabé não depende da assa. O valor ínio de tabé não varia. s. 0-0: (a) A velocidade angular da bola deve diinui, e portanto o torque é deterinado pela força de atrito que para cia. (b) A força de atrito resulta e ua aceleração angular, relacionada por : I = f. A equação do oviento é g sin - f =, enquanto que a aceleração angular é relacionada por: = (observe que a aceleração positiva é considerada ser para baixo, e que a relação entre e está correta para ua força de atrito direcionada para cia ). Cobinando as equações acia, teos: I g sin a a(7 / 5), do qual obteos: = (5/7)g sin. (b) Das relações entre f e,, dadas acia, teos: f a 5 g sin g cos, s s 7 da qual obteos: s (/7) tan. 0-: (a) P (75hp)(746W / hp) 59 N. rad / s (400 rev / in) 0 rev / in (b) W = Δ = (59 N)() = 6 J. 0-4: Da Eq. (0-6), a potência de saída é: P = = (4.0 N) rad / s 4800 rev / in x 6W, 60 rev / in ou.9 hp. 0-6: I L (a) (b) (7 kg)(.08) 4. kg 950 N 46. rad / s. I 4. kg (46. rad s )(5.0 rev x rad rev) 5.9 rad s (c) Tanto de coo da Eq. (0-4), W K I W = (950 N)(5.00 rev x rad/rev) = 6. x 0 4 J. (d) O tepo pode ser encontrado da aceleração angular e do ângulo total, enquanto que a potência instantânea é encontrada de P = = 05 kw(4 hp). A potência é etade desse valor, isto é: 5.6 kw. 0-8: Apenas coo interesse, o oento de inércia da ulher co relação ao eixo do disco é, e portanto o oento angular total é: L L L ( I I ) M disk woan disk woan 0 kg 50.0 kg (4.00 ) (0.500 rev / s x rad / rev) 5.8 x0 kg / s. 0-0: Para abas as partes, L = I. Tabé, = v/r, e portanto: L = I(v/r). (a) L = (r )(v/r) = vr L = (5.97 x 0 4 kg)(.98 x 0 4 /s)(.50 x 0 ) =.67 x 0 40 kg /s (b) L = (/5 r )() L = (/5)(5.97 x 0 4 kg)(6.8 x 0 6 ) ( rad/(4.0 hr x 600 s/hr)) = 7.07 x 0 kg /s

16 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular 0-: O oento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, e portanto a velocidade angular será proporcional ao inverso do quadrado do raio, e dessa fora a velocidade angular final é: 5 rad 7.0 x0 k 4.6 x0 rad / s. (0d)(86,400 s / d) 6k 0-4: O oento de inércia inicial do patinador é: I (0.400kg ) (8.00kg)(.80).56kg, e o seu oento de inércia final é: I (0.400kg ) (8.00kg)(5 x0 ) 0.9 kg, portanto da EQ. (0-), teos: I.56kg ( 0.40 rev / s).4 rev / s. I 0.9 kg Observe que a conversão de rev/s para rad/s não é necessária. 0-6: Faça I I 00kg, 0 I I 00kg (40.0 kg)(.00) 60kg. 0 Então da Eq. (0-), I rad 00kg 0.94 rad / s. I 6.00 s 60kg 0-8: Faça a largura da porta ser l; L v( l / ) I (/ ) Ml ( l / ) (0.500 kg)(.00 / s)(0.500) 0. rad / s. (/ )(40.0 kg)(.00 ) (0.500 kg)(0.500 ) Ignorando a assa do barro no denoinador da expressão acia, resulta e = 0.5 rad/s, portanto a assa de barro afeta o oento de inércia e seu terceiro algariso significativo. 0-40: (a) Coo o giroscópio esta trabalhando no plano horizontal, lá não pode ter ua força vertical sobre ele, então a força que o eixo exerce deve ser igual e ódulo ao peso do giroscópio, isto é: F = = g = (0.540 kg)(9.80 /s ) =.7 N, ou.7 N para três algarisos significativos. (b) esolvendo a Eq. (0-6) para, teos: w (.7 N)(4.00 x0 ) 60 rad / s, 4 I (.0 x0 kg )( rad /.0 s) a qual é.5 x 0 rev/in. Observe que nesta ou e outra situação siilar, desde que apareça no denoinador da expressão para, a conversão entre rev/s e rev/in deve ser feita. (c) 0-4: Utilizando a Eq. (0-6) para todas as partes, teos: (a) Copartilhado igualente (b) Dobrado (supondo que o peso adicionado seja distribuído de tal odo que tanto r coo I não se odifique) (c) Copartilhado igualente (supondo que tanto coo r não varia) (d) Dobrado (e) Inalterado. 0-44: (a) O torque resultante deve ser: rad / s 0 rev / in x I I (.86 kg ) 60 rev / in.60 N. t (9.00 s) Este torque deve ser a soa da força aplicada F e os torques de atrito opostos f no eixo, e tabé fr = kr devido a faca. Cobinando essas, teos: F ( r) f k ((.60 N ) (6.50 N ) (0.60)(60 N )(0.60 )) N. (b) Para se anter ua velocidade angular constante, o torque resultante é nulo e, a força é: F = (6.50 N N) = 6.9 N. (c) O tepo t necessário para recuperar a parada é encontrado do ódulo da (0-7), co = f constante, ou seja: rad / s 0 rev / in x (.86kg ) L I 60 rev / in t.6 s. (6.50 N ) f f Observe que este tepo pode tabé se encontrado coo:.60 N t (9.00 s) N 0-46: (a) O oento de inércia não é dado, então a aceleração angular deve ser encontrada através das equações da cineática, isto é: s (5.00) 8.rad / s. t rt (0.0)(.00 s) (b) t = (8. rad/s )(.00 s) = 6.67 rad/s. (c) O trabalho realizado pela corda sobre o volante será a energia cinética final, isto é: K = W = Fs = (40.0 N)(5.0 ) = 00 J. (d) K (00 J ) I.44 kg. (6.67 rad / s) 0-48: (a) Da regra da ão direita, a direção do torque é: iˆ x ˆj kˆ, ou seja a direção +z. (b) (c) (d) O ódulo do torque é F 0(x- x /L), o qual possui seu valor áxio e L/. (e) O valor do torque e x =L/ é F 0L/ : (a) De considerações geoétricas, o braço da alavanca e o seno do ângulo entre F e r são abos áxio se a corda estiver presa no final da haste (b)e teros da distancia x onde a corda está presa, o ódulo da força é: Fxh/ x h. Esta função satisfaz seu áxio no liite quando x = h, então a corda deveria estar presa no lado direito da haste. (c) E função de x, l e h, o ódulo do torque é: xh F. ( x l / ) h Esta fórula ostra que existe dois aspectos ao se auentar o torque: axiizando o braço l da alavanca e axiizando sin. Diferenciando co relação a x e fazendo-se igual a zero teos: x ax = (l/)(+ (h/l) ). Este será o ponto no qual deve-se prender a corda, a não ser que h > l, no qual a corda deveria ser presa e u ponto adicional, a direita, e x = l. 0-5: Na figura (0-9) e Eq. (0-), co o ângulo edido a partir da vertical, sen na Eq. (0-). O torque é então: = F cos. / (a) W Fcos d Fr. 0 (b) Na Eq. (6-4), dl é a dist6ancia horizontal que os pontos se ove, e portanto teos: W = F dl = F, que é o eso resultado encontrado e (a). (c) De K W ( M / r), 4F / M.

17 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular (d) O torque, e por conseqüência a aceleração angular, é aior quando = 0, e no ponto = (/I) = F/M, e portanto a aceleração tangencial áxia é: F/M. (e) Utilizando o valor para encontrado na parte (c), teos: a rad = = 4F/M. 0-54: No ponto de contato as paredes exerce ua força de atrito f direcionada para baixo e ua força nora direcionada para a direita. Esta é ua situação onde a força resultante sobre o cilindro é nula, então torques de equilíbrio não seria correto. Forças verticais de equilíbrio, F rod cos = f + + F, e forças horizontais de equilíbrio, F rod sin = N. Co f = kn, essas equações se torna: F rod cos = kn + F +, F rod sin = N. (a) Eliinando N e resolvendo para F rod teos: F (6.0kg)(9.80 / s ) (40.0 N) F 66 N. rod o o cos sin cos0 (0.5) sin 0 k (b) Co respeito ao centro do cilindro, a corda e a força noral exerce torque nulo. O ódulo do torque resultante é (F f), e f = kn pode se encontrada por inserção do valor encontrado para F rod dentro de abas as relações acia, isto é: f = kf rod sen =. N. Portanto, ( 40.0 N.54 N)(8.0 x0 ) 4.7rad / s. I (0.60kg ) 0-56: Para ua tensão T na corda, teos: g T = a e T = I = a Eliinando T e resolvendo para I. a, teos: g a g, I / I / onde é a assa do peso dependurado, I é o oento de inércia da cobinação do disco ( I =.5 x 0 - kg de acordo co o problea 9-75) e, é o raio do disco onde a corda está presa. (a) Co =.50 kg, =.50 x 0 -, a =.88 /s. (b) Co =.50 kg, = 5.00 x 0 -, a = 6. /s. A aceleração é aior no caso (b); co a corda presa ao disco aior, a tensão na corda é capaz de aplicar u torque aior. 0-58: As aceleração dos blocos A e B terão o eso ódulo a. Coo a corda não escorrega, a aceleração angular sobre a polia será: Denotando as. tensões na corda coo: T A e T B, as equações do oviento são: g T a T g a B A B A A B I T T a, A B onde a últia equação é obtida pela divisão de = I por e substituindo por e teros de a. Soando-se as três equações, eliinaos abas as tensões, resultando e: A B a g I / A B a Então, a aceleração angular é: a A B g I / A B E as tensões pode ser encontradas de: I / A B A T ( g a) g A A I / A B I / B A B T ( g a) g. B B I / A B Coo verificação, pode ser deonstrado que :(T A T B) = I. 0-6: Na prieira situação a forca F e a força de atrito estão e direção opostas, e a força de atrito gera u torque aior o qual tende a gerar u oviento de rotação, para a direita, no iô-iô. A força resultante para a direita é a diferença F f, então a força resultante é para a direita enquanto o torque resultante provoca ua rotação no sentido horário. Na segunda situação, tanto o torque coo a força de atrito tenta girar o iô-iô no sentido horário e, o iô-iô se ovienta para a direita. Na terceira situação, a força de atrito tenta ovientar o iô-iô para a direita e, coo a força aplicada é vertical, o iô-iô se ovienta para a direita. 0-64: (a) A energia cinética da bola quando ela deixa a trilha (quando ela ainda está rolando se deslizar) é : (7/0)v, e este deve tabé ser o trabalho realizado pela gravidade, isto é: W = gh, então v 0gh / 7. A bola fica no ar por u tepo igual a: t y / g, então x vt 0hy / 7. (b) A resposta não depende de g, então o resultado deveria ser o eso sobre a lua. (c) A presença de atrito de enrolaento diinuiria a distancia. (d) Para oeda e dólar, odelada coo u disco unifore, teos: K (/ 4) v, e portanto x 8hy /. 0-66: (a) (b) é o raio da roda (y varia de 0 a ) e T é o período de rotação da roda. (c) Diferenciando, teos: t v cos x T T t v sin y T T t a sin x T T t a cos. y T T t v v 0quando x y (d) T ou qualquer últiplo de, então os tepos são últiplos inteiros do período T. As coponentes das acelerações para estes tepos são: 4 a 0, a. x y T (e) t t 4 a a cos sin. x y T T T T independente do tepo. Este é o ódulo da aceleração radial para u ponto se ovientando sobre u circulo de raio co velocidade angular constante igual a: Para ovientos que consiste deste T. oviento circular sobreposto co u oviento de velocidade constante ( a 0), a aceleração devido ao oviento circular será a aceleração total. 0-68: Diferenciando e obtendo a resposta para a parte (b), teos: / d / / bt b b, dt b / d / / 6bt 6b 6b. dt b (a) 6 9 W I d b / I / d I b. / 4 / (b) A energia cinética é: 9 / 4 / K I I b, o que está de acordo co a Eq. (0-5); o trabalho total realizado é a variação na energia cinética. 0-70: (a) Os anéis e as hastes exerce forças u sobre o outro, as não existe força resultante ou torque sobre o sistea, e portanto o oento angular será constante. Enquanto os anéis desliza na direção final, o oento de inércia varia e, a velocidade angular final é dada pela Eq. (0-), isto é:

18 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular 4 ML r I 5.00 x0 kg, I ML r x kg e portanto, = 7.5 rev/in. Observe que a conversão de rev/in para rad/s não é necessária. (b) As forças e torques que os anéis e a haste exerce utuaente irão desaparecer, as a velocidade angular cou será a esa, isto é: 7.5 rev/in. 0-7: Aditindo que o sopro esteja concentrado e u ponto (ou utilizando u ponto édio escolhido favoravelente), a ua distância r da dobradiça, então: rf ave, e L rf t rj. ave ave A velocidade angular é então: L rf t ( l / ) F t F t ave ave ave, I I l l onde l é a largura da porta. Substituindo os valores nuéricos dados, encontraos: = 0.54 rad/s. 0-74: Moento angular é conservado, então I I, ou, usando o 0 0 fato de que para assas couns o oento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, teos:, ou 0 0 ( ) ( )~, onde os teros e e fora oitidos. Cancelando os teros, teos: : A tensão está relacionada co a assa do bloco, a velocidade e o raio do circulo através de: v T. r O oento angular do bloco co relação ao buraco é L = vr, então e teros de oento angular, teos: v T v r r ( vr) r r L r O raio no qual a corda rope pode ser relacionada ao oento angular inicial através de: L ( v r ) ((0.50kg)(4.00 / s)(0.800)) r, T T (0.50kg)(0.0 N) ax ax para o qual r = : (a), g) (b) Utilizando a fora do produto vetorial para o oento angular, teos: v v e r r, então r x v r x v então o oento angular é o eso., (c) Seja j. Então: v x r ( ziˆ xkˆ), e L r x v ( x)ˆ i ( x y ) ˆj ( x) kˆ. Co x + y =, o ódulo de L é, e L,. e então cos, e. ( )( ) 6 Isto tabé é verdade para L, então o oento angular total faz u ângulo de co o eixo +y. 6 (c) Dos cálculos interediários da parte (c), L y v, então a coponente y total do oento angular é: L y v. (d) L y é constante, então a coponente resultante na direção y do toque é nula. (e) Cada partícula se ovienta e u circulo de raio co velocidade v, e portanto está sujeita a ua força para dentro cujo ódulo é v /. O braço de alavanca dessa força é, então o torque sobre cada te ódulo v. Estas forças estão direcionadas e direção opostas para duas partículas, e os vetores de posição são opostos uns ao outros, portanto os torques possue o esos ódulos e direção, e o torque resultante te ódulo igual a v. 0-80: O oento angular inicial é I v, co o sinal enos indicando que o oviento do corredor é oposto ao oviento da platafora giratória sobre seus pés. O oento angular final é (I + ), então: I v I (80 kg )(0.00 rad / s) (55.0 kg)(.00 )(.8 / s) (80 kg ) (55.0 kg) rad / s, onde o sinal negativo indica que a platafora giratória reverteu a sua direção de oviento (isto é, o hoe tinha inicialente o aior ódulo de oento angular). 0-8:A velocidade do centro de assa irá variar de J v velocidade angular irá variar de J ( x x ) A variação da. I velocidade será J J ( x x ) x v v x. end I Fazendo v 0 perite o cancelaento de J, resultando e I end ( x x ) x, o qual quando resolvido para x é: I (5.0 x0 kg ) x x (0.600) x (0.600)(0.800kg) 0-84: (a) A distância do centro da bola ao centro da linha que une os pontos onde a bola esta e contato co o trilho é: (b), e a ( d / ), então v d / 4. Quando d = 0, isto fica reduzido para v, que é o eso de estar rolando sobre ua superfície plana. Quando d =, o raio de rolaento se aproxia de zero, e v 0 para qualquer. K v I v ( / 5) v ( d / 4) v 5. 0 ( / 4 ) d Igualando isto a gh e resolvendo para v dá o resultado desejado. (c) O denoinador na raiz quadrada da expressão para v é aior do que para a situação quando d = 0, então v é enor. Para ua dada velocidade, é aior do que quando d = 0, portanto ua grande parte da energia cinética é rotacional, daí a energia cinética de translação e por conseqüência v, são enores. (d) Tornando a expressão da parte (b) igual a 0.95 e resolvendo para a razão d/ obteos d/ =.05. Colocando igual a obteos d/ = : Denotando por F L e F as forças para cia exercida pelas ãos,

19 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular as condições que estas forças deve satisfazer são: F F L I F F, L r onde a segunda equação é L, dividido por r. Estas duas equações pode ser resolvidas para as forças, através de, prieiro soando e então subtraindo, o que conduz a: I F L r I F. r Utilizando os valores de = g = (8.00 kg)(9.80 /s ) = 78.4 N e I (8.00kg)(0.5) (5.00 rev / s x rad / rev).7 kg / s r (0.00) obteos: F 9. N (66.4 N s), F 9. N (66.4 N s). L (a) = 0, F L = F = 9. N. (b) = 0.05 rev/s = 0.4 rad/s, F L = 60.0 N, F = 8.4 N. (c) = 0. rev/s =.89 rad/s, F L = 65 N, F = -86. N, coo sinal negativo indicando ua força para baixo. F = 0 obteos = 9. N rad/s, que é o eso que rev/s N s Gabarito Gabarito Exercícios Ípares Exercício Gabarito 0. (a) para fora da página 40N (b) 4.6 N. para fora da página (c) 0 N. para fora da página. (d) 7. N. para dentro da página (e) 0 (f) N. sentido anti-horário 0.5 (c).05n k ˆ 0.7. /s 0.9 (a) g M M (b) enor (c) nenhu efeito (a) 7.7 N na parte horizontal, 8. N na parte suspensa. (b) 0.060kg 0.5 (a) 0.88N (b) 0.5s (c).9 rad/s 0.7 (a) / (b) /7 (c) /5 (d) 5/ (a) 0.09rad s (b) 00J (c) 6.67W 0. (a) 0.8N (d)59j 0.5 (b)65.6n 0.7 (a) 58N 0.9 (b) 60rad (c) 59J (b) 8.8/s (a) para dentro da página (b)para fora da página N (c) 5kg s 5kg 4.70 kg s (b) 7 rad / s 0. (c).0 0 J (d).0 0 J rev 0.7 (a).4rad s (b) 080 antes 500 J depois J ; s 5 (a) 6.8in (b).0 0 N N 0.45 (a) kg ² (b) N (c) 04 rev 0.47 (b) 4500W (d) 600W

20 Exercícios Sears & Zeanski, Young & Freedan Física 0ª Edição Editora Pearson Capítulo 0 Torque e Moento angular Exercício Gabarito s 0.5 (a) L/4 a partir da extreidade co a esfera (b) (9g/8L)sen (c) (g/l)sen N 0.55 (a). /s² (b) 4.0 N 0.57 a = F/; f = F/ 0.59 (a) (a) (7 7r)/0 (b) (5 r)/ 0.6 (a).76n (b) rad s (c) 9.80 s ² (d)t possui o eso valor, os valores de e a dobraria 0.65 (a) 9.4 s (b) 8.7 s (c) 0 (d) g/ 0.7 (a) 6v/9L (b) /9 0.7 (a) 5.60 rad/s (b).7 (c).0.0 /s J rad/s no sentido horário rad/s (a) a g; g (b) C 0 8 C (c) M (a) v C g 0 6 v r r r r (b) (c)resultados iguais.