SIMULAÇÃO DO PROBLEMA DO DEGRAU COM RANS E LES

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1 Revsta Iberoamercana de Ingenería Mecánca. Vol. 9, N.º, pp , 5 SIMULAÇÃO DO PROBLEMA DO DEGRAU COM RANS E LES JOSÉ D. M. ABRUNHO, ANGELA O. NIECKELE Departamento de Engenhara Mecânca, IME Praça General Tbúrco 8 Praa Vermelha, 9-7, Ro de Janero, RJ, Brasl Departamento de Engenhara Mecânca, PUC/Ro R. Marquês de São Vcente 5 Gávea, 45-9, Ro de Janero, RJ, Brasl (Recbdo de abrl de 4, para publcacón 9 de ulo de 4) Resumen No presente trabalho, é realzada a comparação das prevsões do escoamento bdmensonal turbulento em degrau ( backstep ), utlzando-se modelos ε para baxo número de Reynolds (RANS) e o modelo de Smagornsky em uma smulação bdmensonal tpo grandes escalas (LES). Os resultados mostraram que a smulação de grandes escalas utlzando modelagem bdmensonal é nadequada, resultando em prevsões mas pobres das estatístcas de turbulênca, além de requerer um maor esforço computaconal.. INTRODUÇÃO Escoamentos turbulentos com separação têm recebdo uma grande atenção devdo a sua mportânca prátca. Em mutos escoamentos reas, separação da camada lmte é seguda por um reatamento da camada separada com a superfíce sólda. Compreender as característcas do reatamento e o conseqüente desenvolvmento do perfl de velocdade é um mportante problema em mutas aplcações de engenhara. O problema do escoamento turbulento em uma geometra de placas planas com um degrau ( Backward- Facng Step ) tem sdo muto utlzado no estudo dos escoamentos com separação, devdo a smplcdade de sua geometra. Além de permtr o estudo de um escoamento csalhante complexo com separação, esse escoamento é um caso clássco, freqüentemente utlzado na avalação do desempenho dos modelos de turbulênca e das metodologas de solução. Uma avalação crítca dos modelos de turbulênca de duas equações para alto Reynolds fo realzada por Thangam e Spezale [], através da smulação numérca do escoamento turbulento em degrau, a fm de estabelecer a capacdade desses modelos predzerem precsamente escoamentos separados. No mesmo ano, Yakhot et al. [] publcaram uma versão dos modelos -ε renormalzados (-ε RNG) para altos números de Reynolds e, novamente utlzando a geometra do degrau, mostraram a habldade do modelo em predzer escoamentos separados. Já Dutta e Acharya [] e Len e Leschzner [4] testaram modelos de turbulênca de duas equações não lneares empregando a mesma geometra. Contudo, fo na avalação dos modelos para baxo número de Reynolds que o referdo escoamento fo mas utlzado, conforme pode ser vsto em dversos trabalhos [5-]. Slvera Neto et al. [] realzaram uma smulação de grandes escalas do escoamento em degrau, nvestgando as estruturas coerentes após a parede do degrau. Ghosal et al. [4] apontam algumas nconsstêncas matemátcas na formulação orgnal do chamado modelo submalha dnâmco e propõem um novo modelo dnâmco para a smulação de grandes escalas. Os autores também testaram seu modelo através do escoamento turbulento em degrau. Mas recentemente, Neumann e Wengle [5] realzaram uma smulação dreta e de grandes escalas desse mesmo escoamento. Entretanto, merece destaque o estudo conduzdo por Le et al. [6]. Os autores realzaram uma detalhada smulação dreta do escoamento turbulento com dupla expansão e baxo número de Reynolds. Um trabalho que tem sdo utlzado como referênca em mutos outros estudos []. Város trabalhos expermentas também têm sdo realzados sobre esse mportante escoamento [7-]. Todos estes trabalhos permtram se obter um maor e melhor conhecmento das característcas do escoamento em degrau, possbltando anda se verfcar hpóteses sobre algumas propredades da

2 58 J. D. M. Abrunhosa, A. O. Neckele turbulênca. Observou-se que o comprmento de recolamento aumenta com a razão de expansão e com o número de Reynolds até R e, sendo o número de Reynolds baseado na altura do degrau e na velocdade da corrente lvre [6]. A extensão da regão de recrculação dmnu no ntervalo de transção, <R e <66, permanecendo relatvamente constante, quando o escoamento torna-se completamente turbulento (R e >66) [6]. A exstênca da regão de recrculação secundára e o comportamento osclatóro do ponto de recolamento, observados expermentalmente [7], também foram reproduzdos nos expermentos numércos [6]. Detalhes da estrutura da turbulênca, na regão próxma às paredes do degrau, nos quas ncluem-se o campo da energa cnétca turbulenta () e de sua taxa de dsspação (ε), mutas vezes nacessíves às técncas expermentas, estão agora dsponíves. Os dados são anda referentes aos escoamentos turbulentos em baxo número de Reynolds, mas possbltam o exame mnucoso do comportamento dos modelos e da própra metodologa de solução na regão do degrau. Por outro lado, os lmtados resultados obtdos com os modelos de tensão de Reynolds e o contínuo crescmento da capacdade computaconal vem fazendo com que cresça o nteresse pelo uso da metodologa de smulação de grandes escalas. O obetvo da metodologa é smular as grandes estruturas do escoamento turbulento, enquanto se modelam as menores escalas. A dea básca orgna-se da observação que as grandes estruturas do escoamento turbulento varam fortemente de escoamento para escoamento, sendo conseqüentemente dfícl modelá-las de modo unversal. Em contrapartda, as pequenas estruturas de turbulênca são aproxmadamente sotrópcas, muto mas unversas, e assm mas propícas a uma modelagem geral. Portanto, modelos para as pequenas escalas podem ser formulados sem depender fortemente da geometra do escoamento. Embora a smulação de grandes escalas, em relação a smulação numérca dreta (), apresente uma efetva redução do esforço computaconal, este é anda muto alto, quando comparado ao esforço exgdo pelos modelos de turbulênca de duas equações ε. Com o obetvo de reduzr o tempo de computação, alguns trabalhos têm realzado smulações numércas bdmensonas e transentes, tpo smulação de grandes escalas, de escoamentos turbulentos complexos [, ]. Neste contexto, este trabalho se propõe avalar a capacdade de predção e o esforço computaconal despenddo com este tpo de solução, face a resultados obtdos pelos modelos de vscosdade turbulenta de duas equações ε de baxo número de Reynolds, nomeadamente as versões de Launder e Sharma [4] e Sarkar [5].. SITUAÇÃO FÍSICA O problema consderado é o escoamento turbulento de um fludo vscoso e ncompressível, através de um canal com dupla expansão de área. A Fg. mostra o domíno computaconal utlzado. A entrada fo especfcada a uma dstânca de dez vezes a altura do salto (H), a montante do mesmo. Adotou-se um comprmento de canal, após o salto, de trnta vezes a altura do salto (H). O número de Reynolds baseado na velocdade máxma na entrada, u max, e na altura do salto, H, é Re = ρ u max H / µ = 5, onde ρ e µ são a massa específca e a vscosdade dnâmca, respectvamente. O perfl de 6H H H X R H x Fg.. Canal com salto de área.

3 Smulação do problema do degrau com RANS e LES 59 velocdade méda axal na entrada, u (y), é obtdo do perfl de camada lmte, para Re θ = ρ u max θ / µ = 67, onde θ é a espessura da camada lmte da quantdade de movmento. A espessura da camada lmte é δ 99 =, H. Como este escoamento tem se mostrado altamente transente, mesmo sem a ntrodução de pequenas perturbações no perfl de entrada [] e perturbações físcas são dfíces de serem geradas numercamente, optou-se por não serem ntroduzdas perturbações no perfl de entrada, quando da smulação tpo grandes escalas. No caso da smulação com méda de Reynolds, os perfs de energa cnétca turbulenta e taxa de dsspação de energa cnétca turbulenta ε na entrada foram mpostos como =,5 ( u (y)) e ε = 4,. As predções foram comparadas aos resultados da smulação dreta de Le et al. [6].. EQUAÇÕES DE GOVERNO Em smulação de grandes escalas, o procedmento de fltragem das equações de Naver-Stokes defne formalmente o processo de separação das escalas. A operação de fltragem sobre uma função f(x,t), com um fltro de banda constante, é defnda por [5]: f (x,t) = G( x η, t) f( η, t) dη () onde G é a função fltro. A parte fltrada da função, f (x,t), é a varável para a qual é dervada a equação de governo. Na verdade, ao se realzar a operação de fltragem, dvde-se o campo do escoamento turbulento em grandes estruturas ou grandes escalas, a parte fltrada da função, e pequenas estruturas, f (x,t), que correspondem as escalas nferores à dmensão da malha (submalha). Deste modo, a função f(x, t) pode ser escrta como f (x,t) = f (x,t) f (x,t). Os efetos das flutuações das menores escalas sobre o campo resolvdo deverão ser modelados. Como, neste trabalho, fo empregado o método dos volumes fntos, utlzou-se o fltro top-hat, o qual é defndo, para uma malha unforme, como: G(x) / se x x / ou G(x) = se x x > / () = Quando a operação de fltragem é aplcada às equações de Naver-Stokes e da contnudade, para um fludo Newtonano e escoamento de fludo ncompressível, obtém-se as equações de movmento das grandes escalas na forma: onde u = e x u u u t x = p x x υ u τ x x τ é o tensor das tensões à escala submalha, defndo como τ ( u u - u u ) () =, p é a pressão, u são os componentes da velocdade das grandes escalas e υ = µ/ρ é a vscosdade cnemátca. O tensor à escala submalha é uma nova ncógnta e conseqüentemente necessta ser modelado. 4. MODELOS DE TURBULÊNCIA O modelo submalha mas conhecdo é o modelo de Smagornsky, o qual assume que a tensão submalha é dretamente proporconal à taxa de deformação das escalas resolvdas [5]: τ kk = t S τ υ e S = u x u x (4)

4 6 J. D. M. Abrunhosa, A. O. Neckele O problema do fecho das equações é então reduzdo à determnação da vscosdade turbulenta escalar, υ t, como função das varáves do campo resolvdo. A vscosdade turbulenta submalha no modelo de Smagornsky, conforme vastamente documentado na lteratura [5, 6], é dada por υ = ( C f ) S, t s s onde S = S S, é a escala de comprmento espacal assocada ao fltro e fs é uma função de amortecmento. O valor da constante de Smagornsky mas utlzado tem sdo C s =, [5]. Quando a malha tem espaçamento dferente para cada dreção, a escala de comprmento característco ( ) é geralmente defnda como sendo a raz cúbca do volume de malha = ( x y z ) / [5]. No presente trabalho, fez-se z = e f exp[ ( s = y / 5)], onde y = uτ y / υ e u τ = τ w / ρ é a velocdade de atrto, sendo τ w a tensão csalhante na parede. No caso da modelagem com méda de Reynolds, as equações de governo permanecem as mesmas da técnca de smulação de grandes escalas. Contudo a barra sobre as varáves agora sgnfca um processo de méda, conforme proposto por Reynolds, e τ é o tensor das tensões de Reynolds ( τ = u u ). Nos modelos baseados na clássca hpótese de Boussnesq, o tensor de tensões de Reynolds toma a forma: τ = ; ε δ Cµ f µ S S = u x u x (5) onde S é a taxa méda do tensor deformação, ƒ µ é uma função de amortecmento e C µ é uma constante. As equações de governo das quantdades turbulentas, nomeadamente a energa cnétca e a sua taxa de dsspação, podem ser expressas genercamente como: ( u υ ) t = υ ε χ σ P - ; P = τ S (6) t x x x ε t ( u ε ) = x x υ ε t υ σ C x ε P - C f E ε ξ onde E é uma dsspação modfcada, χ e ξ são funções de correção, para a regão da parede, e ƒ é uma função de amortecmento. C, C, σ, σ ε são coefcentes dos modelos. Foram seleconados os modelos - ε de baxo Reynolds de Launder e Sharma [4], referencado por LS e de Sarkar [5], referencado por. Para adotar um valor nulo de ε na parede, Launder e Sharma essencalmente não resolvem a equação (7), para a dsspação ε. A varável resolvda é a pseudo dsspação ε w = = ε υ ( x ). Deste modo, sua condção de contorno é = ε w. Já ε w = υ ( x ) w é adotada por. É a especfcação de todos os parâmetros e funções que estabelecerá os dferentes modelos. Estes parâmetros e funções estão resumdos nas Tabelas e. Os números de Reynolds são defndos como Re t = /υ ε, Re y = y /υ e Re d = (ε υ) /4 y / υ. Na Tabela, ε *, utlzado pelo modelo, é dado por ε * = ε - υ / y. (7) 5. MÉTODO NUMÉRICO As equações de governo foram resolvdas utlzando o método de volumes fntos [7]. Para solução do acoplamento pressão-velocdade utlzou-se o algortmo SIMPLEC de van Doormall e Rathby [8]. Na smulação tpo grandes escalas, os fluxos na dreção axal foram aproxmados pelo esquema de dferença central de quarta ordem, enquanto na dreção transversal (y) utlzou-se o esquema QUICK de nterpolação [9]. A ntegração no tempo das equações fo realzada com o esquema Crank-Ncolson. Na solução do escoamento com modelos ε de baxo Reynolds, os fluxos foram aproxmados pelo esquema

5 Smulação do problema do degrau com RANS e LES 6 Tabela. Funções de correção para a vznhança paretal e constantes dos modelos consderados. Modelo χ E ξ σ σ ε C C C µ LS -υ( x ) ε υ t υ [ / x ( u / xk )],,,44,9,9, ε exp[-(re t /4) ] [-,57 ( ε E ),5(ε * ) / -,5 ε P ],,45,5,8,96 Tabela. Funções de amortecmento dos modelos consderados. Modelo ƒ µ ƒ LS exp[-,4/(,re t /5) ],-,exp(- Re ) /4 ( Re )[ 8exp( - )] [ exp( -Re / 4- Re / ) ] t Re d, d d t da le de potênca. O sstema de equações algébrcas fo resolvdo com o algortmo TDMA lnha por lnha [7]. Para aumentar a velocdade de convergênca utlzou-se o algortmo de correção por blocos []. Uma malha não unforme, com 57 pontos nodas, fo empregada nos cálculos com modelos ε. Concentrou-se os pontos nas regões próxmas da parede, garantndo-se um mínmo de 5 pontos na regão de y < e pontos na regão de y < 5. Para a convergênca da solução numérca, controlou-se os resíduos da equação da contnudade e das equações de conservação de todas as outras varáves. Já na smulação tpo LES, uma malha unforme, com 4 pontos nodas fo empregada. Para a dentfcação da condção estatstcamente permanente, fo montorado o comportamento de convergênca dos coefcentes de atrto e de pressão na parede, do módulo da tensão de csalhamento em três posções, da extensão da regão de recrculação e das velocdades u e v em oto posções. O número de Courant- Fredrch-Lewy fo sempre da ordem de,. 6. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Incalmente serão dscutdas algumas observações que foram extraídas da análse do movmento das grandes estruturas na smulação tpo grandes escalas. A Fg. exbe a localzação do ponto de recolamento, em função do tempo. Para determnar o ponto de recolamento, nvestgou-se a nversão de snal da velocdade no prmero ponto nodal acma da parede. Da análse da fgura, verfca-se que os resultados obtdos mostram um efetvo comportamento osclatóro a baxa freqüênca, como observado nos expermentos de Eaton e Johnston [8], Jovc e Drver [] e Km et al. [7].e prevsto pela smulação dreta de Le et al. [6]. Contudo, o ponto de recolamento médo não é corretamente predto como será vsto posterormente. A Fg. mostra o comportamento da velocdade axal (u) no prmero ponto adacente à da parede nferor após o salto, em duas seqüêncas de passos de tempo. O tempo fo admensonalsado pela velocdade máxma e a altura do canal (t*=t u max / H). Observando-se a fgura, verfca-se ntdamente o processo de formação dos vórtces e contra-vórtces. No tempo admensonal t*=5,7, verfca-se a exstênca de um vórtce postvo ( ω z kˆ ) e o níco da formação de um vórtce negatvo ( ω z kˆ ). Já no tempo t*=,47, é possível ver esse pequeno vórtce negatvo formado, deslocando-se após o vórtce postvo. Os tempos seguntes (t*=5,57 e t*=,67) mostram com mas clareza essas observações. Todo

6 6 J. D. M. Abrunhosa, A. O. Neckele X R /H 5 Xr/H 4 t* 4 Fg.. Ponto de recolamento prevsto LES. t * u.5 a) u.5 b) t*=5,7 t*=,47 t*=5,57 t*=, x/h t*=, t*=7, t*=, t*=7, t*=, x/h 8 Fg.. Velocdade axal (u) no prmero ponto (y()) da parede nferor após salto. esse processo se repete ao longo do tempo. Pode-se observar ntdamente a sucessão de vórtces e contravórtces que se formam e deslocam através da regão de recrculação. Esta seqüênca de curvas também permte ver que o vórtce postvo é dsspado antes do fnal da regão de recrculação, fazendo com que os vórtces negatvos se unam em únco vórtce (t*=7,). Estas curvas confrmam a regão de recrculação com a estrutura observada em expermentos e em smulações numércas dretas [6], ou sea: () um grande vórtce negatvo, na chamada regão de recrculação prncpal; () um vórtce menor, grando em sentdo contráro, sendo esta regão chamada de recrculação secundára; () e um pequeno vórtce unto ao degrau, grando no sentdo do grande vórtce. A análse das lnhas de corrente da smulação de grandes escalas, em város passos de tempo, permtu serem realzadas mportantes observações da dnâmca da regão do degrau, partcularmente quanto a camada de csalhamento e ao comportamento do pequeno vórtce unto à parede vertcal. Na Fg. 4 são exbdos dos dos gráfcos de lnhas de corrente da regão de recrculação, referentes aos tempos admensonas t*=9,55 e t*=44,87. A análse da seqüênca de padrões do escoamento possbltou verfcar o movmento vertcal da camada de csalhamento. O grande vórtce, ao expandr-se e posterormente contrar-se, faz com que a camada de csalhamento tenha um movmento vertcal. Le et al. [6] também constataram este movmento da camada de csalhamento, que apontaram como causa da osclação da posção do ponto de recolamento. Os resultados aqu observados confrmam essa análse. Há uma efetva varação da forma da camada de csalhamento, ndcando uma forte nteração entre as camadas. Fo também estudado o comportamento do pequeno vórtce exstente em contra-rotação unto à parede nferor. Os gráfcos analsados mostraram que o vórtce exstente na parede nferor sofre um processo de deformação, mposto pelo grande vórtce, fazendo com que ele se dsspe e o ponto de recolamento oscle. Por fm, deve-se regstrar que todas estas observações são parcas, tendo em vsta os efetos trdmensonas do escoamento não terem sdo consderados. O ponto de recolamento expermental vara entre 6,H e 6,H, enquanto a smulação dreta obteve, em méda, 6,8H [6]. Neste trabalho, o ponto de recolamento fo localzado de três modos dferentes: utlzou-se a condção de tensão de csalhamento nula (τ w =) na parede, a velocdade axal nula a nível de

7 Smulação do problema do degrau com RANS e LES (a) (b) Fg. 4. Lnhas de corrente na regão do degrau: a) t*=9,55; b) t*=44,87. Tabela. Coordenada do ponto de recolamento. Expermental LS LES-D 5,4 6,4,85 X r /H 6, 6, 6,8,5%,% 8,7% prmero ponto nterno e através das lnhas de corrente. As dferenças percentuas entre estas três formulações foram sempre menores que 4%. Os valores obtdos a partr das lnhas de corrente, com a respectva dferença percentual em relação ao resultado da smulação dreta, estão ndcados na Tabela. A coordenada do ponto de recolamento da smulação tpo grandes escalas é o valor médo entre os tempos admensonas 5 e 5. Pode-se observar dos resultados que a smulação de grandes escalas subavala fortemente a extensão da regão de recrculação. Já o resultado do modelo concorda bem com a smulação dreta de Le et al. [6]. Os perfs médos de velocdade axal (u) resultantes das váras smulações são apresentados na Fg. 5. Da análse da fgura, verfca-se que não há uma efetva correspondênca entre das prevsões obtdas pela smulação de grandes escalas com a smulação dreta e os dados expermentas, especalmente na regão de recrculação e níco da recuperação do escoamento. Em parte, este problema está assocado ao prematuro recolamento obtdo pela smulação. Os resultados obtdos com os modelos de tensão de Reynolds, apesar de também exbrem defcêncas, concordam melhor com a smulação dreta e com os dados expermentas. O coefcente de atrto, defndo como C f = ( uτ / u max ) é mostrado na Fg. 6. Verfca-se que as prevsões dos modelos ε de baxo número de Reynolds aproxmam-se mas do comportamento observado pelos dados expermentas e pela smulação dreta [6]. A smulação tpo grandes escalas apresenta um comportamento bastante nsatsfatóro na regão de recrculação, embora, na regão após a recuperação do perfl de velocdade (x/h>5), o coefcente de atrto sea bem prevsto. O coefcente de pressão fo defndo como C p = ( p pc ) /( ρ umax ), onde p e p c são respectvamente, as médas temporas da pressão ao longo da parede e sobre a lnha de centro na entrada. As varações obtdas para este coefcente, na regão após o salto, são comparadas, nas Fg. 7. Os modelos de tensão de Reynolds LS e apresentam os melhores resultados. O modelo predz muto bem os dados expermentas e o comportamento da smulação dreta a partr de x/h=,5. O modelo LS reproduz melhor o comportamento até x/h=,5, porém na regão próxma ao ponto de recolamento, observa-se um afastamento dos dados prevstos em relação aos dados expermentas. Já a smulação tpo de grandes escalas apresenta um comportamento da pressão, na parede nferor, totalmente nconsstente.

8 64 J. D. M. Abrunhosa, A. O. Neckele x/h = 4 x/h = 6 LS ε LS y/h LES D y/h LES D..5. u/umax..5. u/umax x/h = x/h = 9 ε LS ε LS y/h LES D y/h LES D..5. u/umax..5. u/umax Fg. 5. Perfl de velocdade axal em váras seções..6 Cf ε LS ε LES D 5 5 x/h Fg. 6. Coefcente de atrto na parede nferor.. Cp.. -. LS LES D 5 5 x/h Fg. 7. Coefcente de pressão na parede nferor. 7. CONCLUSÕES Os modelos de tensão de Reynolds, com extensão para a regão da parede, de Launder e Sharma e Sarkar e uma versão bdmensonal do modelo submalha de Smagornsky foram empregados para calcular um escoamento turbulento complexo ( backstep ). Os resultados ndcaram um desempenho muto lmtado da smulação bdmensonal tpo grandes escalas, no que se refere as estatístcas de turbulênca.

9 Smulação do problema do degrau com RANS e LES 65 Os modelos de tensão de Reynolds obtveram um melhor desempenho, com um esforço computaconal cerca de quatro vezes menor. Os autores agradecem apoo recebdo pelo CNPq. AGRADECIMENTOS REFERÊNCIAS [] S. Thangam, C. G. Spezale, Turbulent Flow Past a Backward Facng Step: A Crtcal Evaluaton of Two- Equaton Models, AIAA Journal, vol., nº 5, pp. 4-, (99). [] V. Yakhot, S. A. Orszag, S. Thangam, T. B. Gatsk, C. G. Spezale, Development of Turbulence Models for Shear Flows by a Double Expanson Technque, Phys. Fluds A, vol. 4 (7), pp. 5-5, (99). [] S. Dutta, S. Acharya, Heat transfer and flow past a backstep wth the nonlnear - turbulence model and the modfed - turbulence model, Numercal Heat Transfer, Part A, Vol., pp. 8-, (99). [4] F. S. Len, M. A. Leschzner, Assessment of Turbulence-Transport Models Includng Non-lnear RNG Eddy-Vscosty Formulaton and Second-Moment Closure for Flow Over a Backward-Facng Step, Computers Fluds, vol., no 8, pp. 98-4, (994). [5] A. Sarkar, R. M. So, A Crtcal Evaluaton of Near-Wall Two-Equatons Models Aganst Drect Numercal Smulaton Data, Internatonal Journal of Heat and Flud Flow, 8, pp. 97-8, (997). [6] K. Abe, T. Kondoh, Y. Nagano, A new turbulence model for predctng flud flow and heat transfer n separatng and reattachng flows I. Flow feld calculatons, Internatonal Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 7, pp. 9-5, (994). [7] K. Abe, T. Kondoh, Y. Nagano, A new turbulence model for predctng flud flow and heat transfer n separatng and reattachng flows II. Thermal feld calculatons, Internatonal Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 8, pp , (995). [8] G. H. Rhee, H. J. Sung, A low-reynolds-number, four-equaton heat transfer model for turbulent separated and reattachng flows, Internatonal Journal of Heat and Flud Flow, vol. 8, pp. 8-44, (997). [9] J. W. Ahn, T. S. Park, H. J. Sung, Applcaton of a near-wall turbulence model to the flows over a step wth nclned wall, Internatonal Journal of Heat and Flud Flow, vol. 8, pp. 9-7, (997). [] S. Chen, J. La, J. Mlthorp, N. Mudford, A new modfed low-reynolds-number model, 9th AIAA Flud Dynamcs Conference, AIAA 98-55, (998). [] C. B. Hwang, C. A. Ln, Improved Low-Reynolds-Number ε Model Based on Drect Numercal Smulaton Data, AIAA Journal, Vol. 6, No, pp. 8-4, (998). [] J. Bredberg, S. Peng, L. Davdson, An mproved ε turbulence model appled to recrculatng flows, Internatonal Journal of Heat and Flud Flow, vol., ssue 6, pp. 7-74, (). [] A. Slvera Neto, D. Grand, Et M. Leseur, "A Numercal Investgaton of Coherent Structures of Turbulence Behnd A Backward-Facng-Step, Journal Flud Mechancs, 56, pp -5, (99). [4] S. Ghosal, T. S. Lund, P. Mon, K. Akselvoll, A dynamc localzaton model for large eddy smulaton of turbulent flows, J. Flud Mech., vol. 86, pp. 9-55, (995). [5] J. Neumann, H. Wengle, and LES of Passvely Controlled Turbulent Backward-Facng Step Flow, Flow, turbulence and Combuston, 7, pp. 97-, (). [6] H. Le, P. Mon, J. Km, Drect Numercal Smulaton of Turbulent Flow Over a Backward Facng Step, Journal Flud Mechancs.,, pp.49-74, (997). [7] J. Km, S. J. Klne, J. P. Johnston, Investgaton of a reattachng shear layer: flow over a backward facng step, ASME J. Fluds Eng., Vol., pp. -8, (98). [8] J. K. Eaton, J. P. Johnston, Turbulent flow reattachment: An expermental study of the flow and structure behnd a backward-facng step, Rep. MD-9, Thermoscences Dvson, Dep. of Mech. Eng., Stanford Unversty, (98). [9] J. C. Vogel, J. K. Eaton, Combned Heat Transfer and Flud Dynamc Measurements Downstream of a Backward-Facng Step, Journal of Heat Transfer, vol. 7, No, pp. 9-99, (985).

10 66 J. D. M. Abrunhosa, A. O. Neckele [] D. M. Drver, H. L. Seegmller, Features of a reattachng turbulent shear layer n dvergent channel flow, AIAA Journal, vol., pp. 6-7, (985). [] S. Jovc, D. M. Drver, Backward-facng step measurement at low Reynolds number, NA Tech. Mem. 887, (994). [] A. Horvat, I. Klenak, J. Marn, Two-Dmensonal Large-Eddy Smulaton Of Turbulent Natural Convecton Due To Internal Heat Generaton, Internatonal Journal of Heat ad Mass Transfer, 44, pp , (). [] A. Matos, F. A. A. Pnho, A. Slvera Neto, Large-Eddy Smulaton of Turbulent Flow Over a Two- Dmensonal Cavty wth Temperature Fluctuatons, Internatonal Journal Heat And Mass Transfer, 4, pp 49-59, (999). [4] E. Launder, B. I. Sharma, 974, Applcaton of the Energy Dsspaton Model of Turbulence to the Calculaton of Flow Near a Spnnng Dsc, Letters Heat Mass Transfer,, pp. -8, (974). [5] U. Pomell, Large Eddy Smulaton: Achevements and Challenges, Progress Aerospace Scences 5, pp. 5-6, (999). [6] C. Härtel, L. Kleser, Analyss and Modelng Of Subgrd-Scale Motons n Near-Wall Turbulence, Journal Flud Mechancs, 56, pp. 7-5, (998). [7] S. V. Patankar, 98, Numercal Heat Transfer and Flud Flow, McGraw-Hll, (98) [8] J. P. Van Doormaal, J. P., G. D. Rathby, Enhancements of the Smple Method for Predctng Incompressble Flud Flows, Numercal Heat Transfer, 7, pp. 47-6, (984). [9] B.P. Leonard, A Stable Accurate Convectve Modelng Procedure Based on Quadratc Upstream Interpolaton, Computer Methods n Apped. Mechancs and Engneerng, 9, pp , (979) [] A. Settar, K. Azz, A Generalzaton of the Addtve Correcton Methods for the Iteratve Soluton of Matrx Equaton, Sam Journal of Numercal Analyss,, pp. 56-5, (97). SIMULATION OF THE BACKSTEP PROBLEM WITH RANS AND LES Abstract Comparsons are made of the numercal predctons of the two-dmensonal turbulent flow over a backstep, usng two versons of the low Reynolds ε model and a -D large eddy smulaton (LES) model. The numercal results showed that the use of large eddy smulaton, n two-dmensonal problems, s nadequate, resultng n poor predcton of the turbulent statstcs and spendng a much greater computng effort.