DIMENSIONAMENTO DE CANAIS DE ATENDIMENTO EM UMA AGÊNCIA BANCÁRIA

Transcrição

1 UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI DANIEL SILVA MORO DIMENSIONAMENTO DE CANAIS DE ATENDIMENTO EM UMA AGÊNCIA BANCÁRIA SÃO PAULO 2010

2 ii DANIEL SILVA MORO DIMENSIONAMENTO DE CANAIS DE ATENDIMENTO EM UMA AGÊNCIA BANCÁRIA Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência parcial para a obtenção do título de Graduação do Curso de Engenharia de Produção da Universidade Anhembi Morumbi Orientador: Professor Hélio Pekelman SÃO PAULO 2010

3 iii DANIEL SILVA MORO DIMENSIONAMENTO DE CANAIS DE ATENDIMENTO EM UMA AGÊNCIA BANCÁRIA Trabalho em: de de Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência parcial para a obtenção do título de Graduação do Curso de Engenharia de Produção da Universidade Anhembi Morumbi Professor Hélio Pekelman Nome do professor da banca Comentários:

4 iv AGRADECIMENTOS À Biblioteca da Universidade Federal de Uberlândia, pela cessão de parte do material para a pesquisa bibliográfica.

5 v RESUMO O presente estudo aplica os modelos da Teoria das Filas em uma agência bancária para melhor se entender os mecanismos que envolvem a formação das filas e assim fundamentar-se uma proposta de dimensionamento dos canais de atendimento. Nosso principal interesse é modelar o tempo médio de espera na fila, que é considerado um importante componente do nível de serviço ao usuário, em função da capacidade do sistema (i.e., número de canais em um dado intervalo de tempo). No caso estudado, existem duas filas e existem três canais de atendimento, dois deles destinados aos usuários comuns e um para o atendimento preferencial (idosos, gestantes e deficientes). As duas filas, comum e preferencial, obedecem a ordem de chegada dos clientes separadamente. Foram coletados os tempos de atendimento para cada caixa e os tempos entre chegadas sucessivas dos clientes durante o expediente bancário, desprezando os cinco minutos após a abertura da agência e verificadas algumas hipóteses previstas na Teoria das Filas. Na agência estudada, fila comum aumentaria indefinidamente se houverem dois ou menos caixas enquanto que na fila preferencial apenas um caixa é suficiente para o atendimento da condição de estabilidade. Palavras Chave: Filas. Teoria das Filas, Pesquisa Operacional.

6 vi ABSTRACT This study applies the models of the Queues Theory in a bank to better understand the mechanisms that involve the formation of queues and so establish a proposal for scaling of channels. Our main interest is model the average queue waiting time, that we consider to be an important component of the user service level against the system capacity (it means, number of channels in a given time). In our case, there are two queues and three channels service, two destined ones to the common attendance, and one for the preferential attendance (old peoples, pregnant ). Were collected call times for each attendant and the times between arrives during working hours banking, excluded the initial five minutes after opening the agency and verified in some cases provided Theory of Queues. In the studied agency two the common line would increase indefinitely will have or little attendant whereas in the preferential line only one attendant is enough for the reach of the stability condition. Key Worlds: Queues, Queues Theory, bank, Operational Research

7 vii LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1: Sistema de 1 fila e canal único...10 Figura 2: Sistema de 1 fila e 3 canais...10 Figura 3: Sistema complexo de filas...11 Figura 4: Intervalos quartílicos...19 Gráfico 1: Balanço entre os custos de atender e de não atender... 6 Gráfico 2: histograma de frequência dos tempos entre chegadas sucessivas na fila comum Gráfico 3: histograma de frequência dos tempos entre chegadas sucessivas na fila preferencial Gráfico 4: dispersão dos tempos entre chegadas sucessivas no 1 o dia de coleta na fila comum Gráfico 5: histograma de frequência dos tempos de atendimento na fila comum Gráfico 6: histograma de frequência dos tempos de atendimento na fila preferencial Quadro 1: Notação Kendall...13 Quadro 2: Distribuição de frequências e frequências acumuladas...17 Quadro 3: Exemplo de cálculo dos valores limite para a identificação de Outliers dos tempos de atendimento Quadro 4: Exemplo de cálculo dos valores limite para a identificação de Outliers dos tempos entre chegadas sucessivas Quadro 5: trecho do relatório de coleta dos dados referentes aos tempos do processo de chegada... 24

8 viii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS FIFO FCFS First in, first out (o primeiro a entrar é o primeiro a sair) First-Come-First-Served (o primeiro a chegar é servido primeiro)

9 ix SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO OBJETIVOS Objetivo Geral Objetivo Específico METODOLOGIA JUSTIFICATIVA REFERENCIAL TEÓRICO A teoria das filas Custos relacionados ao atendimento Características dos processos de filas Padrão de chegada dos clientes Padrões de serviço Disciplina de filas Capacidade do sistema Número de canais de serviço Estágios de serviço O sistema de fila única e múltiplos canais Notação Estatística O processo estatístico Definição do problema a ser estudado Planejamento Coleta Apuração dos dados Apresentação dos dados Análise e interpretação dos resultados Medidas de posição Medidas de tendência central Medidas de dispersão Outras medidas de posição...19

10 x Histogramas de frequência ESTUDO DE CASO Coleta de dados Tratamento dos dados Identificação de Outliers Processo de Chegada Análise da dispersão no processo de chegada Processo de atendimento Disciplina da fila Tamanho médio da fila Tempo médio de espera na fila CONCLUSÕES...32 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...34 GLOSSÁRIO...36 APÊNDICE A Tempos do processo de chegada...37 APÊNDICE B Tempos do processo de atendimento...48 APÊNDICE C Dispersão do tempo entre chegadas sucessivas...53

11 1. INTRODUÇÃO A maioria das pessoas já passou pelo aborrecimento perder muito tempo em filas de banco e apesar de todos os esforços das instituições no sentido de oferecer canais alternativos, como terminais de autoatendimento, internet banking e lotéricos, ainda se faz necessária a figura do caixa para atender as demandas que exigem a conferência de documentos e verificação de assinaturas. Um campo de estudo que busca minimizar os efeitos da espera na fila é o gerenciamento das percepções nas filas de espera (COGAN, 1998). Alguns estudos procuram relacionar a capacidade de serviço (ou atendimento) com o aumento da demanda (ITTIG, 2002). Desta forma, pode-se obter uma relação (compromisso, compensação) entre capacidade de atendimento e volume de negócios, auxiliando na tomada de decisões. Compreender os aspectos motivacionais e comportamentais do consumidor frente às novas tecnologias de autoatendimento também tem sido objeto de pesquisa (DABHOLKAR et al., p apud RINALDI, 2009). Pesquisas que analisam o comportamento dos consumidores em diversas situações que envolvem filas mostram que uma importante variável do nível de satisfação do cliente em qualquer serviço é a espera (DABHOLKAR; BAGOZZI, p apud RINALDI, 2009). É certo que filas podem ocorrer em qualquer parte mundo. Mas é nos países emergentes e com maior contingente populacional é que o problema é crítico, oferecendo maiores oportunidades de negócio e uma certa vantagem competitiva às instituições que fazem um planejamento adequado das filas. No caso dos bancos, a capacidade de atendimento não é ampliada até a eliminação total das filas por um motivo principal: inviabilidade econômica. Desta forma, o que se busca não é extinção das filas a qualquer preço, mas um ponto de equilíbrio entre viabilidade e a satisfação do cliente. A Teoria das Filas tem um papel fundamental na análise e planejamento de serviços e do uso do espaço, utiliza conceitos básicos de processos estocásticos e da matemática aplicada para analisar o fenômeno de formação de filas e suas características. Foi desenvolvida com a finalidade de prever o comportamento das filas de modo a permitir o dimensionamento adequado de instalações, equipamentos e sua infraestrutura (COGAN, 1998, p.37).

12 2 1.1 OBJETIVOS Objetivo Geral O presente trabalho estudou modelos matemáticos que melhor representam o comportamento das filas em uma agência bancária, proporcionando um melhor entendimento de um ponto de equilíbrio no dimensionamento dos canais, que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço Objetivo Específico Identificar (por meio de um estudo de caso aplicando os modelos da Teoria das Filas) o número de canais necessários em uma agência bancária em cada momento do dia, para que o tempo de espera na fila não exceda 10(dez) minutos. Verificar o número de canais de atendimento na fila de atendimento comum e preferencial para que a condição de estabilidade seja satisfeita. Estudar a dispersão dos tempos entre chegadas sucessivas e verificar a existência de pontos fora de curva..

13 3 1.2 METODOLOGIA Para definir o modelo de filas é necessário coletar e analisar os dados referentes às chegadas dos clientes aos caixas, o número dos mesmos dispostos em paralelo e os tempos despendidos para o serviço, assim como o tipo de fila que se forma, que no caso estudado, a fila é única com atendimento seguindo a ordem de chegada dos clientes. A coleta dos dados referentes aos tempos de chegada, espera e atendimento ocorreu de maneira informatizada por um sistema próprio da agência. A retirada de senha (comum ou preferencial) dá início ao tempo de espera na fila e o anúncio da senha no painel de chamada encerra o tempo de espera e dá inicio ao tempo de atendimento. Ao final do atendimento, o caixa comanda no painel o anúncio da senha do próximo cliente, o que encerra o atendimento anterior e inicia um novo. Todos dados de atendimento do dia são armazenados e organizados para a consulta de relatórios em qualquer tempo. A coleta informatizada foi de grande importância neste estudo de caso, pois reduziu-se o tempo para produção de planilhas e relatórios, além de eliminar-se os erros do cronometrista. Para os dados referentes à chegada, foram observados os tempos consecutivos de chegada de clientes na fila, obtendo-se os respectivos histogramas de frequência para as filas comum e preferencial. As coletas ocorreram durante todo o expediente bancário nos dias 1 o (segunda-feira), 02 (terça-feira), 04 (quinta-feira), 05 (sexta-feira) e 10 (quarta-feira) de fevereiro de Os três ou quatro primeiros dias de cada mês são tradicionalmente mais movimentados, daí a razão de coletarse dados no dia 10 (quarta-feira) para representar os dias com menor movimento. Em todos os dias foram desprezados os cinco minutos iniciais pelo fato de formar-se uma fila do lado de fora da agência antes do expediente, o que compromete a análise nos primeiros minutos de atendimento. Pela análise dos dados referentes ao atendimento, calculou-se a média e os desvios padrão dos tempos de atendimento para cada caixa.

14 4 1.3 JUSTIFICATIVA Períodos de expansão econômica em países que possuem elevado contingente populacional têm como reflexo natural o aumento desordenado de suas filas. Mais pessoas abrem contas, fazem empréstimos, financiamentos, vão às compras, pagam boletos etc.. Países como Brasil, China, Índia, estão entre os que mais oferecem oportunidades de negócios (e filas)(costa, 2005). Percebe-se que a espera, de um modo geral, sensibiliza o cliente em seu futuro comportamento. Um consumidor insatisfeito com seu tempo de espera talvez possa não desistir de um negócio naquele momento, entretanto, pode não voltar mais àquele estabelecimento devido à imagem negativa percebida. Esta é uma perda difícil de ser quantificada e, se o problema permanecer durante um longo prazo o estabelecimento terá queda de demanda possivelmente sem descobrir a razão disto (RINALDI, 2009). Atualmente, diversos estudos científicos têm sido publicados com o intuito de minimizar as consequências negativas das filas, pois a falta de um planejamento adequado gera grande transtorno aos usuários de um sistema, além de tornar o estabelecimento passível de multas, em alguns casos. Por outro lado, um bom fluxo de atendimento, com ambiente bem sinalizado e tempos de espera adequados devem ser a meta de qualquer gerente de atendimento. Para tal é preciso conhecer e medir o processo de atendimento.

15 5 2. REFERENCIAL TEÓRICO Para uma melhor compreensão do caso a ser estudado, faz-se necessária uma breve revisão da Teoria das Filas e da Estatística, agora apresentada: 2.1 A teoria das filas Um sistema de filas pode ser descrito como clientes chegando, esperando pelo serviço, se não forem atendidos imediatamente, e saindo do sistema após serem atendidos (Freitas, 2001). Vale ressaltar que o termo cliente, na Teoria das Filas, não se aplica somente a pessoas, mas é uma designação genérica que pode abranger, por exemplo, veículos a na fila do pedágio ou pacotes de dados que chegam a um roteador para serem encaminhados (Moreira, 2007). A teoria das filas foi desenvolvida para prover modelos que retratem previamente o comportamento de um sistema que forneça serviços que possuam demandas que aumentem aleatoriamente. Existem muitas aplicações respeitáveis da teoria, a maioria das quais tem sido documentadas na literatura de probabilidade, pesquisa operacional e engenharia industrial. Alguns exemplos são fluxo de tráfego (veículos, aeronaves, pessoas, comunicações), escalonamento (pacientes em hospitais, programas em computadores) e projetos de atendimentos à serviços (bancos, correios, parques de diversão, restaurantes fast-food).

16 Custos relacionados ao atendimento Para descobrir quando investir na redução das filas, deve-se conhecer os custos envolvidos na melhoria do nível de serviço: O melhor atendimento implica quase sempre custos maiores, que surgem por causa de um treinamento melhor das pessoas, pelo uso maior da tecnologia da informação, pela multiplicação dos postos de trabalho ou ainda pela compra de equipamentos mais sofisticados e, eventualmente, de melhor qualidade. Vale a pena incorrer nesses custos? Talvez sim, se estiver ocorrendo uma grande perda de clientes por causa do não-atendimento e da presença das filas. (MOREIRA, 2007, p.301) Gráfico 1: Balanço entre os custos de atender e de não atender fonte: MOREIRA, 2007 O gráfico 1 mostra, no eixo das abscissas, a medida do nível de serviço e no eixo das ordenadas os custos envolvidos. A reta ascendente intitulada Custo do atendimento indica que quanto melhor o atendimento, maior o custo. Já a curva Custo da fila mostra os custos decorrentes da existência de filas, tais como: perda direta de receita devido aos clientes que vão embora por causa das filas; perda indireta de receita por causa do desgaste da imagem da instituição ou sua associação com ineficiência ou mal atendimento. As perdas indiretas são mais difíceis de mensurar. Porém, podem ser mais importantes que as perdas diretas de receita em um banco.

17 7 A expressão nível de serviço deve ser entendida como maior ou menor excelência no atendimento. Quanto maior o nível de serviço, menor o tempo de atendimento (MOREIRA, 2007) Características dos processos de filas Na maioria dos casos, seis características básicas de processos de filas fornecem uma descrição adequada de um sistema: (1) padrão de chegada dos clientes, (2) padrão de serviço dos servidores, (3) disciplina de filas, (4) capacidade do sistema, (5) número de canais de serviço e (6) número de estágio de serviços Padrão de chegada dos clientes Nos processos de filas comuns, os processos de chegadas são estocásticos, ou seja, desenvolvem-se no tempo e no espaço conforme leis de probabilidade. Assim, é necessário conhecer a distribuição de probabilidade descrevendo os tempos entre as sucessivas chegadas dos clientes (tempos de interchegada). Também é necessário saber se os clientes podem chegar simultaneamente (chegada batch), e se assim, qual a distribuição de probabilidade do tamanho do batch. Quando as chegadas são isoladas ou são uma mistura de chegadas isoladas ou de pequenos grupos, faz-se a suposição que todas as chegadas são isoladas (MOREIRA, 2007, p.305). Essa é a suposição que faremos nesse estudo, o que já restringe a classe de modelos com as quais iremos lidar. A reação do cliente ao entrar no sistema também é importante, de maneira que, um cliente pode decidir esperar sem problema, independente do tamanho da fila, ou, por outro lado, o cliente pode decidir não entrar no sistema caso a fila esteja muito grande. Assim, se o cliente decide não entrar na fila após a chegada, ele é conhecido como decepcionado. Um cliente pode, por sua vez, entrar na fila, mas depois de um tempo perder a paciência e decidir partir. Nos eventos que existem duas ou mais linhas paralelas, os clientes podem mudar de uma fila para outra. Estas situações são exemplos de filas com clientes impacientes. Outro importante fator que deve ser considerado em relação às chegadas é a forma que o padrão varia com o tempo. Um padrão de chegada que não muda com

18 8 o tempo (ou seja, que a distribuição de probabilidade descrevendo o processo de chegada é independente do tempo) é chamado padrão de chegada estacionário. Isto significa que a distribuição probabilística que identifica a chegada é a mesma em qualquer dia. Inversamente, quando a distribuição de probabilidades de um evento varia com o tempo, o sistema é dito em estado transitório ou nãoestacionário (ANDRADE, 2000). Desta forma, a chegada de clientes em uma agência bancária em um dia normal pode ser considerada um processo estacionário. Entretanto, se houver uma iminência de greve ou um boato de falência, por exemplo, a corrida de clientes ao banco levaria o sistema a um estado não-estacionário. Isto significa que a distribuição de probabilidades que caracteriza o evento aleatório normal das chegadas não explicaria as chegadas, em caso de corrida ás agências Padrões de serviço A maior parte da discussão mencionada nos padrões de chegada é válida para discussão dos padrões de serviço. A mais importante é que uma distribuição de probabilidade é necessária para descrever a sequência de tempos de serviços dos clientes. Os serviços também podem ser simples ou simultâneas. O processo de serviço pode depender do número de clientes esperando pelo serviço. Um servidor pode trabalhar mais rápido se a fila estiver aumentando, ou, caso contrário, pode ser tornar confuso é ficar mais lento. A situação na qual o serviço depende do número de clientes na fila é conhecida como serviço dependente do estado. Embora este termo não seja usado na discussão de padrões de chegada, o problema dos clientes impacientes podem ser considerados como chegadas dependentes do estado, desde que o comportamento da chegada dependa da quantidade de congestionamento no sistema. Serviços, como chegadas, podem ser estacionários ou não estacionários com respeito ao tempo. Por exemplo, o aprendizado pode ser considerado um fator de produtividade, de forma que, o serviço pode se tornar mais eficiente quando experiência é obtida, ou seja, não importa o número de clientes na fila (dependência do estado) e sim o período de tempo em atividade (dependência do tempo). Claro,

19 9 que um sistema pode ser ao mesmo tempo não-estacionário e dependente do estado Disciplina de filas A disciplina de filas refere-se a maneira como os clientes são escolhidos para entrar em serviço após uma fila ser formada. A maioria das disciplinas comuns que podem ser observadas na vida diária é FCFS (First-Come-First-Served), ou seja, o primeiro a chegar é o primeiro a ser servido. Existem duas situações gerais em disciplinas de prioridade. No primeiro caso, que é chamado de preemptivo, o cliente com a mais alta prioridade é permitido entrar em serviço independentemente de outro cliente com menor prioridade estar sendo servido, de forma que, o cliente com menor prioridade é interrompido e tem seu trabalho reiniciado mais tarde. Quando reiniciado, ele pode iniciar do ponto onde parou ou reiniciar todo o processo. Na segunda situação de prioridade, chamado caso não preemptivo, os clientes com mais alta prioridade vão para o início da fila, mas só entram em serviço quando o cliente sendo atendido deixa o sistema, mesmo que ele tenha uma prioridade baixa, o que acontece no caixa de atendimento preferencial (idosos, gestantes e deficientes) Capacidade do sistema Em alguns processos de filas existe uma limitação física da quantidade de espaço na fila, de modo que, se as filas alcançarem um certo comprimento, nenhum novo cliente poderá entrar no sistema até que espaço disponível seja obtido com o atendimento de um cliente e a consequente diminuição do tamanho da fila. Estas situações são referidas como sistemas de filas finitos, ou seja, existe um limite finito do tamanho máximo do sistema.

20 Número de canais de serviço Quando o número de canais de serviço são definidos, tipicamente estão sendo determinados o número de estações de serviços paralelos que podem servir os clientes simultaneamente. Denomina-se fila de canal único, um sistema onde todo o atendimento é realizado em um único posto e em apenas um estágio (MOREIRA, 2007), conforme a figura 1: Figura 1: Sistema de 1 fila e canal único Um sistema de filas pode ter mais de um canal de atendimento. Neste caso o sistema é chamado de multicanal. Em uma agência bancária é, geralmente, utilizado um sistema multicanal com fila única, como mostrado na figura 2: Figura 2: Sistema de 1 fila e 3 canais.

21 Estágios de serviço Um sistema de filas pode ter um único estágio de serviço, como no caso de uma fila de caixa, ou pode ter vários estágios, como em um caso onde o cliente precise passar por mais de um setor da agência. Este trabalho somente contempla o setor de caixas da agência. Entretanto, a figura 3 apresenta um sistema multicanal com 2 estágios de atendimento: Figura 3: Sistema complexo de filas O sistema de fila única e múltiplos canais É de particular interesse para este estudo a apresentação das características gerais e equações para o modelo de fila única e múltiplos canais de atendimento. Um modelo de filas conforme apresentado na figura 2, possui as seguintes características gerais: As chegadas acontecem de acordo com a distribuição de Poisson, com média de λ chegadas por unidade de tempo. Os tempos de atendimento, por canal, obedecem a distribuição exponencial negativa, com média 1/µ. O atendimento é feito por ordem de chegada. O número de canais de serviço no sistema é S. O número de clientes é grande o suficiente para que a população seja considerada infinita. O ritmo de serviço é µ. S. A condição de estabilidade é λ < µ. S.

22 12 Aqui serão apresentadas as principais equações do modelo, cujas deduções se encontram em WAGNER (1972 apud ANDRADE, 2000, p.141): - A equação 1 fornece a probabilidade de haver 0 cliente no sistema: P 0 =! S- 1 ρ j j=0 j!!!!!!!! (!!!) (equação 1) com ρ =!! - O cálculo da probabilidade de haver n clientes no sistema obedece às equações 2 ou 3, de acordo com as seguintes situações: a) Quando o número de clientes for menor que o número de canais (n < S): P! = ρ!!!! P! (equação 2) b) Quando o número de clientes for maior ou igual à quantidade de canais de atendimento (n S): ocupados: P! = ρ!!!!!!!! P! - Na equação 4, temos a probabilidade de que todos os canais estejam P!"#$.!"!#$ = P(n S) = (equação 3)!!!!!! (!!!) P! (equação 4) - O número médio de clientes na fila (NF) pode ser calculado pela equação 5: - O tempo médio de espera na fila (TF) é dado por: NF =!!!! P!"#$.!"!#$ (equação 5) TF = NF!! (equação 6) - Para o cálculo do número médio de clientes no sistema (NS) utiliza-se a equação 7: NS = NF + ρ (equação 7) - Tempo médio gasto no sistema (TS): TS = NS!! (equação 8)

23 Notação A notação de processos de filas mais utilizada atualmente foi proposta por Kendall, em 1953, e é descrita por uma série de símbolos, tais como, A/B/m/k/M, onde A indica a distribuição de entre chegadas sucessivas dos clientes, B o padrão de serviço de acordo com uma distribuição de probabilidade para o tempo de serviço, m o número de canais de serviços paralelos (servidores), k a capacidade do sistema e M a disciplina de filas (MOREIRA, 2007). Alguns símbolos padrões para estas características são mostradas no Quadro 1. Por exemplo, a notação M/D/2/ /FCFS indica um processo de filas com tempos entre chegadas exponenciais, tempos de serviço determinísticos, dois servidores paralelos, capacidade ilimitada e disciplina de fila onde quem chega primeiro é atendido antes (First-Come-First-Served ou FIFO). Quadro 1: Notação Kendall Características Símbolo Explicação Distribuição de Tempo de Interchegada ((A) e distribuição de tempo de Serviço (B) Número Paralelo de Servidores (m) Restrição na capacidade do sistema (k) Disciplina da fila (M) M D Exponencial Determinístico E k Tipo k-erlang (k = 1,2,...) H k PH G 1,2,..., 1,2,..., FCFS ou FIFO LCFS RSS PR GD Fonte: MOREIRA, 2007 Mistura de k exponenciais Tipo Fase Geral First Come First Served Last Come First Served Seleção Aleatória por Serviço Prioridade Disciplina Geral

24 Estatística Em diversas etapas do trabalho utilizou-se as ferramentas da estatística para a verificação de como os dados coletados se enquadram nos modelos da Teoria das Filas e assim fundamentar-se o estudo. Apresenta-se então algumas definições e conceitos: Segundo Virgillito (2004 p. 29), a estatística pode ser considerada como a ciência que se ocupa da organização, análise e interpretação de dados experimentais. Sendo assim, podemos dividir a estatística em duas partes: Estatística descritiva, que cuida da descrição dos dados coletados e a Estatística indutiva, que se ocupa da análise e interpretação dos dados O processo estatístico O processo estatístico é um processo lógico de análise que deve ter uma abordagem, um cronograma e um resultado para tomada de decisão (VIRGILLITO, 2004). Um processo estatístico pode ser dividido nas seguintes fases: Definição do problema a ser estudado Exemplo: um gerente de banco quer saber quantas unidades de um novo tipo de consórcio sua agência conseguirá vender naquele mês. Para tanto deverá examinar o número de clientes alvo em sua carteira, preferências, unidades vendidas de um produto semelhante etc Planejamento A etapa do planejamento consiste em determinar o procedimento estatístico necessário para a obtenção dos dados, custo, credibilidade da fonte, tempo de obtenção etc.

25 Coleta Um dos cuidados se deve ter no estudo de um processo estatístico se refere à coleta e organização dos dados. Antes de análise e interpretação, devemos organizar os dados da população e sendo esta muito grande, extrair através de técnicas apropriadas uma amostra que a represente. Para isto utilizam-se as técnicas de amostragem (VIRGILLITO, 2004, p.30) Apuração dos dados A etapa da apuração dos dados consiste no tratamento, ordenação e estudo das relações (média, desvio padrão, mediana) entre os dados obtidos, excluir dados muito discrepantes ou não significativos utilizando métodos estatísticos apropriados Apresentação dos dados Verificação estatística da pertinência, probabilidade de erros, grau de significância dos resultados e outras informações relevantes Análise e interpretação dos resultados Consiste na verificação dos resultados e tomada de decisão Medidas de posição As medidas de posição são indicadores que tentam determinar valores que representem conjuntos de dados (TRIOLA, 1997, p.18) Medidas de tendência central São valores estabelecidos num ponto central em torno do qual os dados se distribuem. As medidas de tendência central que iremos apresentar são a média aritmética, mediana e moda.

26 16 Média aritmética: é a soma de todos os elementos em nosso conjunto de dados multiplicado pelas respetivas frequências absolutas (Fi) dividido pelo total de elementos. Isto é,! =!!!!! Onde n é o total de elementos no conjunto de dados. Entretanto, quando os v (equação 9) Mediana (Md): é o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Ou seja, é o valor que tiver o mesmo número de elementos no seu lado esquerdo e direito. A mediana não é influenciada por valores extremos. Para o cálculo da mediana, no caso de variáveis contínuas, deve-se proceder como descrito em MARTINS (2006, p.41): 1 o passo: calcula-se a ordem n/2 2 o passo: pela frequência acumulada (F ac ), identifica-se a classe que contém a mediana ( classe Md) 3 o passo: Aplica-se a equação 10:!" =!!" +!!!!!!!" (equação 10) Onde:!!" é o limite inferior da classe da mediana n é o tamanho da amostra ou números de elementos! é a soma das frequências anteriores à classe da mediana h é a amplitude da classe da mediana!!" é a frequência da classe da mediana Exemplo: Dada a distribuição mostrada no quadro 2, determinar a mediana.

27 17 Quadro 2: distribuição de frequências (2 a coluna) e frequências acumuladas (3 a coluna) Classes F i F ac Fonte: MOREIRA (2007) Solução: o passo: cálculo da ordem n/2. Como n= 56, temos n/2= o passo: Identificação da classe da mediana pela frequência acumulada (F ac ). Logo, a classe da mediana é a que contém o 28 o elemento (27 37). 3 o passo: aplicação da equação 10. Neste exemplo:!!" = 27;!" = 27 +!= 21; h= 10 e F Md = 20 logo: = 30,5 20 Moda (MO): é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Em um conjunto de dados podemos ter mais de uma moda ou nenhuma. Uma distribuição que possui duas modas chamamos de bimodal.

28 Medidas de dispersão Na definição de TRIOLA (1997, p.18) as medidas de dispersão são números que refletem o grau de variação entre os valores de um conjunto de dados. Entre as medidas de dispersão destaca-se a amplitude, o desvio padrão, desvio médio e a variância. Dentre as medidas de dispersão, será apresentada apenas a formulação que será relevante no estudo de caso: Amplitude total (R): é a diferença entre o maior e o menor dado observado. R = X máx X mín (equação 11) Variância populacional: Variância amostral: Desvio padrão populacional: n 2 ( xi x) 2 i= σ = 1 (equação 12) S 2 = n i= 1 ( x n i x) n 1 n 2 (equação 13) n 2 ( xi x) i= 1 σ = (equação 14) Desvio padrão amostral: S = n i= 1 ( x i x) n 1 2 (equação 15) fonte: Triola,1998 p.40

29 Outras medidas de posição Quartis (Q1 e Q3): são medidas de posição que dividem um conjunto de dados ordenados em quatro partes iguais. Onde: MÍN. Q 1 Q 2 =Md Q 3 MÁX. Figura 4: intervalos quartílicos - O 1 o quartil (Q 1 ) significa que 25% dos dados são inferiores a Q 1, ou que 75% dos dados são superiores a Q 1. - O 2 o quartil (Q 2 ) coincide com o valor da mediana e significa que 50% dos dados são maiores que Q 2. - O 3 o quartil (Q 3 ) significa que 75% dos dados são inferiores a Q 3, ou que 25% dos dados são superiores a Q 3. O procedimento a determinação dos quartis Q 1 e Q 3 é semelhante ao de determinação da mediana. Aqui estão os passos descritos por MARTINS (2006, p.43): Determinação do 1 o quartil: 1 o passo: calcula-se a ordem n/4; 2 o passo: pela frequência acumulada (F ac ), identifica-se a classe que contém a classe do 1 o quartil ( classe de Q 1 ) 3 o passo: Aplica-se a equação 16:!! =!!! +!!!!!!!! (equação 16)

30 20 Determinação do 3 o quartil: 1 o passo: calcula-se a ordem 3n/4; 2 o passo: pela frequência acumulada (F ac ), identifica-se a classe que contém a classe do 3 o quartil ( classe de Q 3 ) 3 o passo: Aplica-se a equação 17:!! =!!! +!!!!!!!!! (equação 17) Histogramas de frequência Para uma melhor compreensão a respeito de um grande conjunto de dados, é conveniente organizá-los e resumi-los, construindo um histograma de frequências. Este recurso gráfico consiste de uma escala horizontal para os valores dos dados a serem representados, uma escala vertical para as frequências e barras para representar os valores das frequência de cada classe ou categoria de valores. Geralmente, a construção de um histograma para representar um conjunto de dados é precedida de uma tabela de frequência completa daqueles valores. Cada barra é delimitada pela fronteira inferior de classe à esquerda e pela fronteira superior de classe à direita. Os gráficos 2, 3, 5 e 6 apresentadas no estudo de caso (item 3) são exemplos de histogramas.

31 21 3 ESTUDO DE CASO A agência bancária, objeto do estudo, situa-se em um bairro do município de Osasco-SP, possui 12 funcionários, entre eles 2 caixas (ambos dedicam-se também ao atendimento preferencial, o que caracterizaria um regime prioritário não preemptivo de atendimento) e um caixa flutuante (para cobrir os horários de almoço dos demais caixas), que realizam juntos aproximadamente 350 autenticações por dia. O horário de atendimento da agência é das 10h00min às 16h00min de segunda à sexta-feira. 3.1 Coleta de dados A coleta dos tempos de chegada e atendimento resultou em uma amostra com 779 tempos de atendimento (778 tempos entre chegadas sucessivas) e estão representados nos apêndices A e B. As amostras foram obtidas no mês de fevereiro de 2010, nos dias 1 o (segunda-feira), 02 (terça-feira), 04 (quinta-feira), 05 (sexta-feira) e 10 (quarta-feira). Alguns tempos de atendimento e de tempos entre chegadas não foram considerados para o cálculo das médias totais por se tratarem de pontos "fora da curva". Assunto que será abordado em Tratamento dos dados (3.2). 3.2 Tratamento dos dados A etapa que sucede a coleta corresponde ao tratamento dos dados. Esta etapa é necessária porque o aproveitamento total e indiscriminado dos dados pode levar o pesquisador a interpretações equivocadas dos fenômenos em estudo. Para realizarmos nosso estudo com maior prudência fizemos uma análise de correlação entre variáveis e também identificamos os pontos fora da curva. Assuntos que será discutido em Identificação de Outliers (3.2.1).

32 Identificação de Outliers Em uma coleta de dados é comum surgirem valores extremos conhecidos como outlier (fora da curva) que devem ser desconsiderados em alguns casos para obtermos resultados mais coerentes ou menos distorcidos. Estes valores ocorrem, geralmente em decorrência de situações atípicas ou erros de coleta (CHWIF, 2006). De acordo com o critério estabelecido por Tukey (1960) identifica-se como outlier o dado cujo valor seja maior que o referente ao terceiro quartil adicionado do valor do intervalo interquartílico multiplicado por 3 (três) ou menor que o valor correspondente ao primeiro quartil subtraído da multiplicação de 3 (três) vezes o intervalo interquartílico. Exemplos de cálculo dos valores limites para identificação dos outliers do tempo de atendimento e do tempo entre chegadas sucessivas estão apresentados nos quadros 3 e 4, respectivamente. Os demais valores limites e a identificação específica dos outliers para cada dia de coleta estão disponíveis nos apêndices A e B. Quadro 3 Exemplo de cálculo dos valores limite para a identificação de Outliers dos tempos de atendimento (valores em minutos). 1º dia (fila comum) Caixa 1 (min) Caixa 2 (min) Caixa 3 (min) 1º Quartil (Q 1 ) 2,20 3,22 2,30 3º Quartil (Q 3 ) 6,36 7,71 7,25 A= Q 3 -Q 1 4,16 4,49 4,94 Linf = Q 1-3A -10,28-10,25-12,52 Lsup= Q 3 + 3A 18,85 21,19 22,09 Fonte: elaborado pelo autor (2010). O quadro 3 mostra, na coluna caixa 1, que o valor do 1 o quartil foi de 2,20 minutos e que o valor do 3 o quartil foi de 6,36 minutos. Desta forma pode-se calcular o valor de A, que é o valor da diferença entre o terceiro e o primeiro quartis (4,16 minutos). O mesmo procedimento é aplicado às colunas caixa 2 e caixa 3. Com os valores de Q 1, Q 3 e A calcula-se os valores dos limites superiores e inferiores para a identificação de dados fora de curva (outliers). O cálculo dos quartis pode ser feito no excel, em equações-estatísticaquartil, abre-se uma janela. No primeiro campo seleciona-se a coluna com os valores dos quais se quer encontrar o quartis e no segundo campo informa-se que quartil se deseja encontrar e no terceiro campo o programa retorna o valor desejado.

33 23 Quadro 4 Exemplo de cálculo dos valores limite para a identificação de Outliers dos tempos entre chegadas sucessivas (hh:mm:ss) 1º dia (fila comum) 1º Quartil (Q 1 ) 00:00:46 3º Quartil (Q 3 ) 00:04:08 A= Q 3 -Q 1 00:03:22 Linf = Q 1-3 A valor negativo Lsup= Q A 00:14:15 Fonte: elaborado pelo autor (2010) Como o limite inferior para detecção de outliers pelo método de Tukey resultou em valores negativos (em nosso caso não tem significado algum), adotouse então um limite inferior para a filtragem de dados que foi de 30 (trinta) segundos. O que é razoável, pois valores menores que este para os tempos de atendimento indicam que ou senha foi anunciada no painel e o cliente já havia desistido do atendimento ou algum cliente pressionou acidentalmente o botão do equipamento que emite as senhas. É válido ressaltar que exclusão dos outliers superiores possui caráter simplificatório do estudo, pois na prática de uma agência bancária atendimentos com 30 (trinta) ou 40 (quarenta) minutos de duração causam grande transtorno ao funcionamento do atendimento. Note também que os dados referentes aos tempos de atendimento estão isentos de erros humanos de cronometria pois a coleta e registro são feitos por meios informatizados.

34 Processo de Chegada Os dados referentes aos tempos entre chegadas sucessivas em cada dia de coleta estão apresentados no apêndice A. Para melhor entendimento, explica-se este apêndice da seguinte maneira: Quadro 5: trecho do relatório de coleta dos dados referentes aos tempos do processo de chegada ( disponível no apêndice A) fonte: elaborado pelo autor (2010) O trecho do relatório de coleta mostra que no 2 o dia de coleta (02 de fevereiro) a primeira chegada (na coluna OC) ocorreu as 10 horas, 14 minutos e 45 segundos e a segunda chegada aconteceu as 10 horas, 14minutos e 56 seg. O que indica um tempo entre chegadas de 11 segundos ( apresentado na coluna TEC). Os tempos entre chegadas que estão em azul ocorreram entre 10 e 11 horas da manhã, em verde entre 11 e 14 horas e em laranja entre 14 e 16 horas. Os tempos que estão em marrom são outliers que foram excluídos dos cálculos da média e do desvio padrão amostral. Para a verificação dos modelos matemáticos que se aplicam ao estudo é necessário o conhecimento da distribuição dos tempos relativos processo de chegada. Para isto, constroem-se histogramas representativos das frequências observadas dos tempos de chegada dos clientes comuns (gráfico 2) e preferenciais (gráfico 3):

35 25 Gráfico 2: histograma de frequência dos tempos entre chegadas sucessivas na fila comum. Fonte: elaborado pelo autor (2010) O gráfico 2 mostra que, no atendimento comum, a maior frequência de tempos entre chegadas sucessivas ocorre em intervalos menores que 30 segundos. A amplitude de classe utilizada no histograma é de 30 segundos e a amplitude total é de 8 minutos. As frequências acima de 8 minutos se aproximam de zero tornando inviável sua representação gráfica. Gráfico 3: histograma de frequência dos tempos entre chegadas sucessivas na fila preferencial. Fonte: elaborado pelo autor (2010)

36 26 O Gráfico 3 mostra que, no atendimento preferencial, a maior frequência de tempos entre chegadas acontece em intervalos menores que 1,5 minuto. A amplitude de classe do histograma é de 1,5 minuto e a amplitude total é de 18 minutos. Amplitudes maiores que as do gráfico 2 porque os tempos entre chegadas na fila preferencial são normalmente maiores devido ao menor movimento. Os gráficos 2 e 3 se assemelham aos modelos de distribuição encontrados na literatura. Logo, valida-se a formulação descrita em nosso referencial teórico. Com as planilhas de frequência que deram origem aos gráficos 2 e 3, aplicase da equação 9 e obtém-se a média amostral dos tempos entre chegadas sucessivas que são de 2,24 minutos (que representa 0,44 chegadas/minuto) para o atendimento comum e 5,63 minutos (0,177 chegadas/minuto) para o atendimento preferencial Análise da dispersão no processo de chegada Para a verificação de como os valores dos tempos entre chegadas sucessivas da amostra se distribuem ao longo expediente, faz-se necessária uma análise da dispersão. Os gráficos de dispersão do estudo mostram, no eixo das abcissas, a ordem em que ocorrem os tempos entre chegadas e no eixo das ordenadas os tempos entre chegadas. Tomando-se como exemplo o gráfico 4, observa-se que o ponto vermelho é um tempo entre chegadas que durou aproximadamente 22 minutos e ocorreu por volta da 38 a chegada.

37 27 Gráfico 4: dispersão dos tempos entre chegadas sucessivas no 1 o dia de coleta na fila comum. Fonte: elaborado pelo autor (2010) No gráfico 4, que mostra a dispersão dos dados da fila comum no 1 o dia, verifica-se que os dados se distribuem de maneira aleatória com exceção dos pontos em vermelho, que pelo critério de Tukey (1960) se caracterizam como outliers dos tempos entre chegadas sucessivas. Comportamento semelhante é observado em todos os dias tanto na fila comum quanto na fila preferencial. Considera-se então, com as devidas ressalvas, a não existência de correlação entre as variáveis em estudo, ou seja, as variáveis são independentes umas das outras. Os gráficos de dispersão que estão no Apêndice C mostram as dispersões dos dados relativos aos tempos entre chegadas sucessivas de usuários comuns e preferenciais. Observe também, no apêndice C, que os pontos fora da curva nos tempos entre chegadas ocorreram por volta das 13h em quase todos os dias de coleta. Fato interessante que pode ser objeto de estudos posteriores.

38 Processo de atendimento A metodologia aplicada ao processo de chegada foi também aplicada ao atendimento e os histogramas que representam os tempos de atendimento (gráficos 5 e 6) sugerem uma distribuição de Poisson. Gráfico 5: histograma de frequência dos tempos de atendimento na fila comum. Fonte: elaborado pelo autor (2010) Gráfico 6: histograma de frequência dos tempos de atendimento na fila preferencial. Fonte: elaborado pelo autor (2010) Verifica-se que as médias totais dos tempos de atendimento (t a ) são 5,03 minutos para o atendimento comum e 4,42 minutos para o atendimento preferencial. O ritmo de atendimento (N µ) foi calculado da seguinte maneira:

39 29 t! = 1 µ Onde: t a é o tempo médio de atendimento da amostra µ é o número de atendimentos por minuto Se houvesse apenas um caixa na fila comum teríamos um ritmo de atendimento de 0,19 clientes/minuto. Se houverem dois caixas na fila comum, haveria um ritmo de atendimento de 0,38 clientes/minuto. Entretanto nestas situações a fila tenderia a aumentar indefinidamente, pois não satisfaríamos a condição de estabilidade λ < µ S:! Ritmo de atendimento= N µ =1 = 0,19 clientes/minuto!,!" Se houverem dois caixas no atendimento comum (N=2) teremos:! Ritmo de atendimento= N µ =2 = 0,38 clientes/minuto!,!" Para que a condição de estabilidade seja satisfeita é necessário que existam ao menos três caixas destinados ao atendimento comum:! Ritmo de atendimento= N µ =3 = 0,57 clientes/minuto!,!" Na fila preferencial apenas um caixa é suficiente para atendermos a condição de estabilidade. Assim temos:! Ritmo de atendimento= N µ =1 = 0,23 clientes/minuto!,!" 3.5 Disciplina da fila Nas datas da coleta de dados, a fila da agência objeto do estudo obedecia a um regime prioritário não preemptivo de atendimento em decorrência do atendimento preferencial. Entretanto, aqui considera-se o atendimento comum e preferencial apenas duas filas separadas. Se não houvesse tal simplificação, o estudo se tornaria muito mais complexo. Além disso, devido ao aumento de volume e ao grande número de reclamações dos clientes, a agência atualmente realiza os atendimentos separadamente, ou seja, um dos caixas é destinado somente ao atendimento preferencial, caracterizando agora duas filas sob regime FCFS.

40 30 Nos caixas comuns temos uma fila que pode ser descrita da seguinte maneira: M/M/2/ /FCFS, quando apenas dois caixas estão atendendo esta fila ou M/M/3/ /FCFS, quando todos os guichês atendem a fila comum. (Observe o item notação) No atendimento preferencial a fila pode ser descrita de uma única maneira: M/M/1/ /FCFS. Enquanto houver clientes na fila preferencial, um dos três caixas, ao encerrar o atendimento corrente, anuncia a senha do próximo cliente preferencial. 3.6 Tamanho médio da fila Para o cálculo do número médio de clientes na fila é necessário primeiro o conhecimento da probabilidade de que todos os canais estejam ocupados (equação 4) e a probabilidade de que haja nenhum cliente na fila (equação 1): Inicia-se pelo cálculo de ρ: ρ=!! ; λ = 0,44 chegadas/min ; µμ = 0,19 clientes/min ρ=!,!!!,!" = 2,31 Tendo-se o valor ρ calcula-se P0: P0 =! S- 1 ρj j=0 j!!!!!!!! (!!!) (equação 1) Como o atendimento na fila comum não atenderia a condição de estabilidade com apenas um caixa, resta somente uma possibilidade com 3 caixas (S=3): P0 = 1 S- 1 j=0 ρj j! + ρ! S 1! (S ρ) P!"#$.!"!#$ = 1 = 0,066 2,31! 2,31! 1 + 2, ! (0,68) ρ! = P(n S) = P S 1! (S ρ)! Considerando o atendimento comum com três canais de atendimento (S=3) temos: P!"#$.!"!#$ 2,31! =P n 3 = 0,066 = 0,59 2! 3 2,31

41 31 Finalmente consegue-se calcular o número médio de clientes na fila pela equação 5: NF =!!!! P!"#$.!"!#$ =!,!"!!!,!" 0,59 = 1,97 clientes No atendimento preferencial apenas um caixa (S=1) é suficiente para satisfazer condição de estabilidade. Assim com na fila comum, os cálculo se iniciam pelo cálculo de ρ: ρ=!! ; λ = 0,17 chegadas/min ; µμ = 0,23 clientes/min ρ=!,!"!,!" = 0,73 O passo seguinte é o cálculo do valor de P0 pela equação 1: P0 = 1 j S- 1 ρ j=0 j! + ρ! S 1! (S ρ) = 1 ρ (somente para filas de canal único) P0 = 0,26 Agora calcula-se a probabilidade de o caixa estar ocupado pela equação 4: P!"#$.!"!#$ = P n S =!!!!!!!!! P! =!,!"!!!!!!!!,!" 0,73 = ρ (logo para o caso de filas com canal único o próprio ρ é a probabilidade de ocupação total) Calcula-se o número médio de clientes na fila preferencial pela equação 5:! NF =!!! P!"#$.!"!#$ =!,!"!!,!" = ρ ( logo para o caso de fila com canal único o valor de ρ representa tanto a probabilidade de ocupação quanto o número médio de clientes fila). 3.7 Tempo médio de espera na fila Pode-se calcular o tempo médio de espera na fila pela equação 6 descrita no referencial teórico: Para o atendimento comum tem-se: TF = NF 1 1 = 1,97. = 4,48!"#$%&' λ 0,44

42 32 Para o atendimento preferencial tem-se: TF = NF 1 λ = 0,73. 1 = 4,29!"#$%&' 0,17 4 CONCLUSÕES A coleta de dados foi realizada em uma agência bancária de Osasco/SP em fevereiro de 2010 e, desta forma, os resultados baseiam-se em um estudo de caso, tendo limitações inferenciais. Na agência estudada, no período que houve a coleta de dados, são necessários pelo menos três caixas destinados ao atendimento comum. Caso contrário, a condição estabilidade não estaria satisfeita e a fila tenderia a aumentar indefinidamente. Apenas um caixa é suficiente ao atendimento na fila preferencial na agência estudada. Todos os pontos fora de curva (outliers) do tempos entre chegadas sucessivas ocorreram por volta das 13 horas. Fato que pode ser objeto de estudos posteriores. A média tempos de atendimento dos clientes preferenciais são ligeiramente menores que os tempos de atendimento dos clientes da fila comum, assim como os respectivos desvios-padrão. Os resultados obtidos neste estudo não esgotam as informações que podem ser extraídas dos dados contidos nos apêndices A, B e C.

43 33 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à pesquisa operacional: Métodos e modelos para a análise de decisão. 2º Ed. Rio de Janeiro: Editora LTC- Livros Técnicos e Científicos S.A, CHWIF, L.; MEDINA, A. Modelagem e Simulação de Eventos Discretos: Teoria & Aplicações. São Paulo: Editora dos Autores, COGAN, Samuel. Gerenciando as Percepções nas Filas de Espera - Para aumentar o Nível de Satisfação dos Clientes. Rio de Janeiro: Editora Qualitymark, COSTA, Luciano Cajado. Teoria de filas e simulação: Teoria de Filas. Disponível em < Acesso em 10 de maio de Teoria de Filas, Apostila do Curso de Ciência da Computação da UFMA. Maranhão, FONTANELLA, G. C. Uma metodologia baseada em teoria de filas para auxiliar no dimensionamento de canais de atendimento de provedores INTERNET. Dissertação de Mestrado Departamento de Engenharia de Produção, UFSCar, São Carlos, FREITAS, P. J. F. Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas. São Paulo: Visual Books Ltda, MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. 3 a ed. São Paulo: Ed. Atlas, MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São Paulo: Thomson Learning, 2007.

44 34 RINALDI, José Gilberto Spasiani et al. A importância da rapidez de atendimento em supermercados: um estudo de caso. Gestão & Produção. vol.16 no.1 São Carlos, Jan./Mar Disponível em: < Acesso em 10 de maio de TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 7 a edição. Trad; Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, TUKEY, J. W. A survey of sampling from contaminated distribution. Contributions to Probability and Statistics. California: University Press Stanford, VIRGILLITO, Salvatore Benito. Estatística Aplicada Sao Paulo: Editora Alfa-Omega ltda, WAGNER, Harvey M. Principles of Operations Research with Applications to Managerial Decisions. Londres: Prentice-Hall, Inc., 1972.