SIMULATED ANNEALING APLICADO NO PROBLEMA DE DESIGNAÇÃO DE TAREFAS DE UM LABORATÓRIO

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1 SIMULATED ANNEALING APLICADO NO PROBLEMA DE DESIGNAÇÃO DE TAREFAS DE UM LABORATÓRIO Alexandre Augusto Massote (FEI) Fernando Perez Tavares (FEI) A designação de tarefas se torna complexa em empresas que possuem o sistema de cross-training, onde múltiplos funcionários são treinados para um determinado trabalho e cada funcionário é treinado em múltiplos trabalhos. Gerar todas as possibilidades de designações resultaria em um problema demasiadamente grande e consequentemente o tempo computacional necessário para gerar todas as possíveis soluções torna-se inviável do ponto de vista prático de uma empresa. Para resolver problemas como este, geralmente são usadas heurísticas e meta-heurísticas. Este trabalho propõe uma metodologia para o problema de designação de tarefas em um laboratório de lubrificantes, sendo composta por uma heurística construtiva desenvolvida para gerar uma solução inicial seguida pela aplicação da metaheurística Simulated Annealing. O modelo é voltado para ser aplicado em pequenas empresas onde a capacidade computacional geralmente é limitada, assim como as informações armazenadas. Atualmente a designação é elaborada manualmente pelo supervisor de produção do laboratório que precisa executar esta difícil tarefa todos os dias. Foi possível verificar que o uso de meta-heurísticas pode trazer benefício na designação de tarefas da empresa em estudo, e que também acompanharia um possível crescimento da empresa. Palavras-chave: Designação de tarefas, Simulated Annealing, Cross-training

2 1. Introdução Uma vantagem competitiva pode ser alcançada colocando-se uma maior importância no elemento humano dentro dos processos de fabricação (NORMAN et al., 2002). A produção enxuta e as células de manufatura exigem o uso do cross-training onde múltiplos funcionários são treinados para um determinado trabalho e cada funcionário é treinado em diferentes trabalhos. Apesar do uso do cross-training trazer benefícios como a flexibilidade na designação e o aumento da utilização dos funcionários, o seu uso em excesso pode aumentar o custo da empresa (INMAN; JORDAN; BLUMENFELD, 2004) e reduzir a qualidade do produto (PINKER; SHUMSKY, 2000). Em pequenas empresas, onde o recurso humano é escasso, o uso do cross-training pode trazer benefícios. Os laboratórios químicos possuem esta característica do cross-training. Para um determinado equipamento é possível encontrar mais de um funcionário que o saiba operar. Como muitos procedimentos são completamente manuais, cada funcionário pode ter uma resposta diferente quanto à produtividade. É de interesse da empresa que seus procedimentos sejam executados o mais rápido possível. Segundo Zolfaghari, El-Bouri e Namiranian (2007), a alocação dos funcionários está diretamente ligada com a produtividade da empresa. Nota-se que designar as tarefas é um procedimento extremamente árduo para ser efetuado manualmente. Além de observar a produtividade dos funcionários é necessário também verificar se o mesmo está disponível naquele horário. Também se deve verificar a ordem de importância dos equipamentos. Em momentos em que a empresa possui mais equipamentos do que funcionários disponíveis, é de interesse da empresa priorizar os equipamentos que restringem a capacidade produtiva. Outro problema que o supervisor enfrenta é o absenteísmo que pode atrapalhar uma designação preparada no dia anterior. Segundo Bard e Wan (2006), a designação de funcionários é um problema NP-completo. Isso 2

3 significa que o tempo computacional para gerar todas as possíveis soluções cresce exponencialmente com o aumento do número de variáveis envolvidas no sistema. A empresa em estudo, assim como diversas pequenas empresas não possuem dados suficientes para realizar a designação de tarefas conforme os modelos propostos por Zolfaghari, El-Bouri e Namiranian (2007), McDonald et al. (2007) ou Bard e Wan (2006). Para reduzir a quantidade de variáveis necessárias, o modelo foi adaptado a partir de problemas de programação de horários de universidades, mas mantendo certas características de modelos de designação de tarefas. Segundo Even, Itai e Shamir (1976), o problema de programação de horários de universidades também é um problema NP-Completo. Assim como no problema de designação de tarefas, a natureza combinatória do problema impede uma investigação de todo espaço de soluções. Para este modelo foi utilizado um sistema de notas de habilidade e de produtividade de cada funcionário para cada equipamento. O supervisor do laboratório é o responsável por colocar em ordem de prioridade os equipamentos. Como não possui dados sobre a demanda, o mesmo controla a prioridade através do tamanho das filas e do tempo de produção médio de cada equipamento. O modelo foi testado em seis diferentes cenários, onde foram variadas as quantidades de funcionários e equipamentos que a empresa possui. 2. Revisão bibliográfica 2.1. Laboratório de análise de lubrificantes Um laboratório de análise de lubrificantes é utilizado pela indústria para analisar amostras de novos lubrificantes, que acabaram de ser produzidos, verificando se estão de acordo com as especificações de projeto ou de amostras de lubrificante usado, verificando a tendência do desgaste do equipamento, possíveis contaminações externas e se o lubrificante ainda possui suas propriedades físico-químicas. A amostra passa por diversos equipamentos dentro do laboratório. A escolha dos equipamentos depende de sua origem e do objetivo da análise. Com isso, a produção diária de cada equipamento vai depender diretamente da demanda dos clientes. 3

4 2.2. Simulated Annealing O Simulated Annealing (SA) é uma meta-heurística baseada no processo de recozimento dos materiais. Na prática, esse processo consiste em aquecer o material a uma alta temperatura e resfriá-lo lentamente. O SA começou com os trabalhos de Nicholas Metropolis (1953) que anos depois foram incrementados computacionalmente por Kirkpatrick (1983). Existe uma grande conexão entre a estatística mecânica e um sistema de otimização combinatória ou multivariada (KIRKPATRICK, 1983). Ele possui duas probabilidades, sendo PA a aleatória e PN a natural que é calculada com a fórmula: (1) Onde Ea é a energia da iteração anterior, Ep a energia da iteração posterior e T a temperatura da iteração. A cada iteração, a temperatura do sistema é reduzida de acordo com a taxa de resfriamento utilizada. Sua principal característica é iniciar o processo com uma alta temperatura e esfriar lentamente. No início o modelo pode escolher como nova solução uma que é pior do que a anterior, evitando ficar preso em soluções locais. Enquanto vai esfriando, a probabilidade de fazer essa troca vai diminuindo Designação de tarefas e programação de horários Zolfaghari, El-Bouri e Namiranian (2007) relatam que após determinar a demanda, os próximos passos para a empresa criar as escalas de trabalho são a programação de turnos de trabalho, a programação de dias de folga, o tour scheduling e a designação das tarefas. Este trabalho tem como objetivo a designação das tarefas. Os turnos já estão montados pela empresa e não é objetivo modificar os horários e as pessoas desses turnos. Outro exemplo que é largamente estudado é da alocação de professores em salas de aula. 4

5 Nesse tipo de modelo existem aulas que devem ser dadas, salas de aula disponíveis e horários disponíveis dos professores. Um dos primeiros trabalhos sobre a programação de horários em universidades foi feito por Broder (1964), onde o seu objetivo era o de minimizar a quantidade total de conflitos dos exames dos estudantes, utilizando como base o método de Monte Carlo. Em 1968, Wood (1968) criou um algoritmo para o agendamento de exames que foi implementado na Universidade de Manchester (Inglaterra). Este algoritmo foi capaz de agendar exames para 1000 cursos, 6000 estudantes e 30 períodos. A interação dos alunos entre os cursos das faculdades era baixa, isto é, havia poucos alunos que faziam matérias de outros cursos. Isto ajudou Wood a estabelecer o seu critério de otimização. Carter (1978) desenvolveu um algoritmo para agendar os exames finais da Universidade de Waterloo (Canadá). Além das outras restrições que os outros algoritmos apresentavam, este possuía uma em que nenhum estudante poderia fazer mais do que duas provas consecutivas. Essa restrição teve de ser liberada muitas vezes quando o algoritmo estava em operação na universidade, pois causava muitos conflitos de agendamento. Desroches, Laporte e Rousseau (1978) mostraram o algoritmo HOREX, que foi uma derivação do francês horaire. Este algoritmo foi implementado na L Êcole Polytechnique de Montréal (Canadá). O problema possuía 160 exames com 24 períodos, um total de exames a serem aplicados e a restrição de 800 estudantes por período. São encontrados diversos trabalhos que utilizam as meta-heurísticas para a solução deste problema como Akjiratikarl, Yenradee e Drake (2007) e Souza, Martins e Araújo (2002). Souza, Moretti e Podestá (2008) utilizam a busca tabu para resolver o problema de alocação de turmas e professores em salas de aula. Eles afirmam que o procedimento proposto foi experimentado com sucesso em escolas públicas brasileiras. Zhang et al (2010) sugerem uma nova estrutura de vizinhança para a resolução do problema de programação de horários de salas de aula utilizando-se o Simulated Annealing. Em busca de uma nova solução o algoritmo faz diversas trocas de horários entre pares de salas. 5

6 3. Metodologia Foi criada uma heurística construtiva que vai gerar uma solução inicial para o problema. Essa solução é o ponto de partida para o Simulated Annealing, que parte em busca de melhores soluções. Outra solução que foi utilizada para o comparativo é a do próprio supervisor do laboratório que faz a designação manualmente. Os resultados foram comparados em seis diferentes cenários. A diferença entre cada cenário está na quantidade de variáveis que cada cenário possui. O objetivo de criar os cenários é de verificar o comportamento do supervisor do laboratório e da metodologia proposta com a variação da quantidade de variáveis presentes no sistema Descrição do problema Atualmente a designação das tarefas é feita manualmente pelo supervisor do laboratório que possui grande experiência na área. A empresa possui a característica do cross-training. São inúmeras as possibilidades de designação que o supervisor pode executar devido à característica combinatória do problema. O supervisor deve procurar alocar o funcionário mais adequado no posto de trabalho. O problema é que quando ele coloca determinado funcionário em um posto de trabalho, não pode colocá-lo em outro e isso pode afetar a produtividade da empresa de um modo global Modelagem do Problema Como o modelo foi desenvolvido com foco em atender pequenas empresas, foi tomado o devido cuidado para evitar o aumento da quantidade de informações necessárias para alimentar o modelo. Não serão utilizados os dados de produtividade de cada funcionário em cada equipamento. A empresa atualmente não possui esses dados e efetuar esse levantamento levaria muito tempo de uma pessoa, o que não é interessante para a empresa no momento. Para substituir os dados de produtividade serão usadas notas atribuídas pelo supervisor. Para modelar o problema foi escolhido utilizar uma matriz com variáveis binárias. Essa matriz 6

7 possui 3 dimensões, sendo elas o horário, o equipamento e o funcionário. Cada célula dessa matriz representa a alocação em uma determinada janela de tempo. Caso esta célula possua o valor igual a 1, significa que o funcionário daquela célula está alocado no equipamento. Analogamente se a célula possuir o valor igual a 0 significa que o funcionário não está alocado. A equação 2 representa a matriz de três dimensões: (2) Onde H respresenta o número de horários disponíveis durante o dia de trabalho, E representa o número de equipamentos disponíveis que devem ser ocupados e P representa o número de funcionários disponíveis na empresa para serem alocados. O objetivo é alocar a maior quantidade possível de pessoas, obedecendo às restrições, priorizando os equipamentos ditos como mais importantes para a produção e alocando a pessoa mais capacitada e produtiva para aquele equipamento. Existem três restrições no modelo, sendo que a primeira impede que uma mesma pessoa esteja em equipamentos diferentes no mesmo horário. (3) Onde p é o índice do funcionário, h é o indice da janela de horário e e é o índice do equipamento. Essa restrição deve ser testada em cada horário (h) de cada equipamento (e) da matriz de alocação A. Caso a restrição não seja obedecida, mesmo que apenas em um local, a solução é considerada como inválida. A segunda restrição impede que em um mesmo equipamento, na mesma janela de horário, estejam dois funcionários alocados. (4) Essa restrição deve ser testada em cada horário (h) de cada funcionário (p) da matriz de alocação A. Caso a restrição não seja obedecida, mesmo que seja em apenas um local, a 7

8 solução é considerada como inválida. A terceira restrição é que o funcionário não pode ser alocado no horário em que não está disponível. Ele se torna indisponível se já foi alocado em outro equipamento ou se em sua matriz de horário de disponibilidade possui o valor igual a zero para aquela janela de tempo. Para a diferença de produtividade entre os funcionários foram criados os pesos de aptidão de cada funcionário em cada equipamento. Também foi necessário priorizar determinados equipamentos dependendo do dia e da demanda. Em momentos em que a quantidade de operadores é insuficiente para cobrir todos os postos de trabalho, o modelo precisa priorizar os equipamentos mais importantes. Para isso foram criados os pesos de importância para cada equipamento. A função objetivo do problema é a somatória de todas as células da Matriz de horário multiplicadas uma a uma pelo peso da importância do equipamento e aptidão entre o funcionário e o equipamento respectivos. (5) Onde representa uma posição da matriz de peso de aptidão do ensaio para o funcionário, representa um vetor com o peso de importância do equipamento e é a posição da matriz de alocação, sendo que pode assumir o valor de 1 se estiver alocado, ou 0 se não estiver alocado. Caso o funcionário não esteja autorizado a operar determinado equipamento, o peso de aptidão será igual a Heurística construtiva A heurística construtiva deste problema foi criada com base na combinação entre os pesos da aptidão dos funconários e o peso da importância dos equipamentos para a empresa. Primeiramente o peso de aptidão é multiplicado com o peso da importância do equipamento para cada funcionário. Com isso cria-se uma matriz de duas dimensões (equipamento e 8

9 funcionário). Após esse passo, são somados todos os valores obtidos na matriz acima para cada equipamento obtendo-se uma matriz de uma dimensão (equipamento). Essa matriz é ordenada de forma decrescente, obtendo-se uma nova matriz com a ordem dos equipamentos. Com essa metodologia, tenta-se obter em ordem de importância os equipamentos que são ao mesmo tempo importantes para a empresa e que também possuam mais funcionários com boas notas de aptidão, sendo esses os primeiros a serem alocados. Para isso, procura-se o funcionário que possui a melhor nota de aptidão para cada equipamento e o mesmo é alocado, sendo seguida a ordem dos equipamentos que foi obtida no passo anterior Criação dos cenários Na Tabela 1 pode-se observar a quantidade de variáveis em cada cenário: Tabela 1 Quantidade de variáveis em cada cenário O motivo de se testar diferentes cenários é verificar o comportamento dos algoritmos e do supervisor do laboratório com diferentes quantidades de variáveis no sistema e evitar que se tire uma conclusão baseada somente no tamanho real da empresa que está sendo usada como base para este estudo. O cenário 2 é a situação atual da empresa. No cenário 1 foram separados alguns dos equipamentos e dos funcionários que estão atualmente na empresa. Os outros cenários criados com simulações aleatórias dos pesos. Na Tabela 2 está um exemplo de disponibilidade de horário de cada funcionário para o cenário 1: 9

10 Tabela 2 - Horário disponível de cada funcionário para o cenário 1 A Tabela 3 possui um exemplo de pesos de aptidão de cada funcionário para cada equipamento para o cenário 1: Tabela 3 - Peso de aptidão de cada funcionário para cada equipamento para o cenário 1 Na Tabela 4 podem ser encontrados os valores do peso de importância de cada equipamento para o cenário 1: Tabela 4 Peso de importância de cada equipamento para o cenário 1 10

11 4. Resultados O supervisor não conhece a heurística construtiva que está sendo usada neste trabalho, sendo que ele teve de alocar os funcionários da mesma maneira que sempre fez. Foi estabelecido um tempo máximo para a designação manual das tarefas. Esse tempo foi determinado juntamente com o supervisor, sendo atribuído o valor de 40 minutos. Os resultados do supervisor para cada cenário podem ser observados na Tabela 5. O supervisor não conseguiu completar a tarefa para os cenários 4, 5 e 6 como será explicado no próximo item. Tabela 5 - Resultados obtidos pelo Supervisor do Laboratório Verificou-se o desempenho da heurística construtiva em cada cenário. Para todos os testes da heurística construtiva e do Simulated Annealing foi utilizado o mesmo computador. Os resultados da heurística constrtutiva podem ser observados na Tabela 6. Tabela 6 - Resultados obtidos pela Heurística Construtiva 11

12 Em seguida executou-se o Simulated Annealing com 500 blocos de temperatura e iterações dentro de cada bloco, totalizando 10 milhões de iterações no modelo. Os resultados obtidos podem ser observados na Tabela 7. Tabela 7 - Resultados obtidos pelo Simulated Annealing 5. Análise dos resultados Nas Figuras 1 e 2 pode-se observar o valor da função objetivo pelo Simulated Annealing para os cenários 1 e 6 respectivamente. É visível que no começo das iterações, a alta temperatura inicial faz o valor da função objetivo oscilar muito. Figura 1 - Gráfico do valor da função objetivo ao longo das iterações SA Cenário 1 12

13 Figura 2 - Gráfico do valor da função objetivo ao longo das iterações SA Cenário 6 Em relação aos valores finais da função objetivo, para o cenário 1, não houve um ganho significativo em seu valor final. Para os cenários 2 e 3 já existe um ganho significativo em relação à alocação manual feita pelo supervisor, conforme pode-se observar na tabela 8. Tabela 8 - Consolidação dos resultados dos cenários 1, 2 e 3 Para o cenário 3, o supervisor do laboratório o resolveu em 25,6 min. Apesar de ter sido estabelecido inicialmente um tempo limite de 40 minutos para a resolução, após cerca de 20 minutos o supervisor encontrava-se visivelmente desgastado com a atividade e aparentou começar a designar as tarefas com menos critério do que no início. Quando questionado sobre isso, o mesmo negou e disse que fez toda a tarefa da mesma forma. A heurística construtiva obteve uma melhora de 52,84% com relação ao resultado do supervisor do laboratório. O SA obteve um resultado 84,75% melhor que o supervisor e 20,88% melhor que a heurística construtiva. Em contra partida, levou 20,6 minutos para obter 13

14 a solução do problema. Para o cenário 4 o supervisor desistiu da tarefa após 28 minutos. Como os cenários 5 e 6 possuem ainda mais variáveis, foi decidido que essas tarefas também não seriam realizadas por ele. Com base nisto, os resultados agora foram comparados entre a heurística construtiva e o SA. Neste cenário o SA obteve praticamente o mesmo resultado que a heurística construtiva, possuindo um valor 0,000012% maior com um tempo de resolução de 52,2 min. Para o cenário 5, os resultados foram melhores quando comparados com o cenário anterior. O SA obteve um resultado 6,67% melhor que a heurística construtiva. Um problema neste cenário foi o tempo de resolução que foi de 97,1 min. Para o cenário 6, os resultados foram muito parecidos com os do cenário 5. O SA obteve um resultado 6,00% melhor do que a heurística construtiva. O tempo foi novamente um problema já que o algoritmo levou 158,8 minutos para apresentar os resultados. Na Tabela 9 encontram-se consolidados os resultados obtidos pelo SA comparados com os resultados obtidos pela heurística construtiva para os cenários 4, 5 e 6. Tabela 9 - Consolidação dos resultados dos cenários 4, 5 e 6 6. Conclusão e recomendações finais Pode-se concluir que para um cenário composto por poucas variáveis, o uso da heurística e da meta-heurística não trouxeram uma grande melhoria nos resultados. Para o cenário atual da empresa (cenário 2) pode-se concluir que o uso da heurística construtiva já traz ganhos significativos para a alocação dos funcionários. Os resultados obtidos com o uso do SA foram ainda melhores. Apesar de levar cerca de 5 minutos, o mesmo obteve um resultado 90% melhor que do supervisor e 58% melhor que a heurística construtiva. Pela complexidade dos cenários 3, 4, 5 e 6, em função do número de variáveis envolvidas, 14

15 torna-se inviável a designação manual. Isso mostra que com o crescimento da empresa, a atual metodologia não conseguirá cumprir esta tarefa com sucesso, sendo necessário o auxílio computacional. Apesar do tempo do SA ser alto, a tarefa de designar não pode ser executada manualmente. Além disso, a tarefa é executada pelo computador, liberando o supervisor para realizar outras tarefas enquanto aguarda os resultados. Nota-se que o SA é uma ótima opção para a empresa atual e para seu futuro. O modelo proposto pode ser facilmente adaptado para outros tipos de laboratórios de análises já que a rotina de trabalho é muito parecida. Outros tipos de laboratórios que poderiam utilizar esta metodologia seriam os laboratórios de ensaios mecânicos, metalografia, exames biológicos e exames clínicos. Pesquisas futuras também podem aplicar outras meta-heurísticas que não foram abordadas neste trabalho. Um novo método para a troca de soluções vizinhas pode ser criado e comparado com o processo atual, verificando se houve uma melhora na designação dos horários críticos. REFERÊNCIAS AKJIRATIKARL, C.; YENRADEE, P.; DRAKE, P. R. PSO-based algorithm for home care worker scheduling in the UK. Computers & Industrial Engineering, USA, v. 53, p , BARD, J. F.; WAN, L. The task assignment problem for unrestricted movement between workstation groups. Journal of Scheduling, USA, v. 9, p , 2006 BRODER, S. Final Examination Scheduling. Communications of the ACM, USA, v. 7, p , CARTER, M. W. Examination Scheduling: Documentation. Internal Report, Data Processing Department, Canadá, University of Waterloo, DESROCHES, S.; LAPORTE, G.; ROUSSEAU, J. M. Horex: A computer program for the construction of examination schedules. Infor, Canadá, v. 16, p , EVEN, S.; ITAI, A.; SHAMIR, A. On the complexity of timetable and multicommodity flow problems. SIAM 15

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