Filtragem no Domínio da Frequência

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1 Filtragem no Domínio da Frequência Disciplina: Tópicos em Computação (Processamento Digital de Imagens) 1 / 48

2 Algumas considerações A frequência é diretamente relacionada a taxas espaciais de variação; Não é difícil associar intuitivamente frequências na transformada com padrões de variações de intensidade em uma imagem; O componente de variação mais lenta (µ = ν = 0) é proporcional à intensidade média de uma imagem; 2 / 48

3 Algumas considerações À medida que nos distanciamos da origem da transformada, as baixas frequências correspondem aos componentes de intensidade de variação lenta em uma imagem; mudanças suaves de intensidade na parede e no piso da imagem de uma sala À medida que nos distanciamos da origem da transformada, as frequências mais altas começam a corresponder a variações de intensidade cada vez mais ráapidas; bordas de objetos e outros elementos, mudanças abruptas de intensidade Kelson Aires Tóp. em Computação - Filtragem Frequência 3 / 48

4 Algumas considerações As técnicas de filtragem no domínio da frequência se baseiam na modificação da transformada de Fourier para atingir um objetivo específico e calcular a DFT inversa para retornar ao domínio da imagem; 4 / 48

5 Visualização da Transformada em 2D A transformada de Fourier Discreta bidimensional é frequentemente visualizada como uma função de intensidade; Para facilitar a visualização, ao invés de se apresentar F(µ, ν), o que se apresenta é a função: D(µ, ν) = clog[1 + F(µ, ν) ], onde c é uma constante arbitrária. 5 / 48

6 Filtragem no Domínio da Frequência Consiste em modificar a Transformada de Fourier (DFT) de uma imagem e depois calcular a transformada inversa (IDFT) para obter o resultado processado; Dada uma imagem digital, f(x, y), de tamanho M N, a equação básica de filtragem tem a forma: g(x, y) = I 1 [H(µ, ν)f(µ, ν)] onde I 1 é a IDFT, F(µ, ν) é a DFT da imagem de entrada e H(µ, ν) é uma função filtro \ (função de transferência\ ). 6 / 48

7 Filtragem no Domínio da Frequência Graficamente: H(u,v) f(x,y) DFT X IDFT g(x,y) H(u,v) G(u,v) 7 / 48

8 Filtro Básico: Notch Um dos filtros mais simples é um filtro H(µ, ν) que é 0 no centro da transformada e 1 em todos os outros termos de F(µ, ν); Tem a propriedade de zerar o termo dc \ (responsável pela intensidade média da imagem): uma média zero implica a existência de intensidades negativas H(µ, ν) = { 0 se (µ, ν) = (0, 0) 1 c.c. 8 / 48

9 Filtros Básicos Filtro Passa-Baixas (FPB) Baixas frequências estão relacionadas a intensidades de variação lenta FPB tem a propriedade de borra uma imagem Filtro Passa-Altas (FPA) Altas frequências estão relacionadas a mudanças abruptas de intensidade Realçam detalhes abruptos de uma imagem 9 / 48

10 Filtros Básicos: exemplos de FPB e FPA 10 / 48

11 O Erro de wraparound A convolução: 11 / 48

12 O Erro de wraparound A convolução considerando a periodicidade implícita da DFT: 12 / 48

13 O Erro de wraparound Para contornar o problema, acrescentam-se zeros (zero padding): 13 / 48

14 O Erro de wraparound 14 / 48

15 O Erro de wraparound 15 / 48

16 Zero Padding em Filtros 16 / 48

17 FIltragem no Domínio Espacial e da Frequência: relação 17 / 48

18 FIltragem no Domínio Espacial e da Frequência: relação 18 / 48

19 FIltragem no Domínio Espacial e da Frequência: relação 19 / 48

20 Filtro Passa-Baixa Ideal (ILPF) Um filtro passa-baixa 2D que deixa passar, sem atenuação, todas as frequências em um círculo de raio D 0 a partir da origem e "recorta"todas as frequências fora desse círculo; Determinado pela função: H(µ, ν) = { 1 se D(µ, ν) D0 0 se D(µ, ν) > D 0 sendo que D 0 é uma constante positiva, e D(µ, ν) é a distância entre um ponto (µ, ν) no domínio da frequência e o centro do retângulo de frequência. 20 / 48

21 Filtro Passa-Baixa Ideal (ILPF) 21 / 48

22 Filtro Passa-Baixa Ideal (ILPF) 22 / 48

23 Filtro Passa-Baixa Ideal (ILPF) 23 / 48

24 Filtro Passa-Baixa Butterworth A função de transferência do filtro passa-baixa Butterworth (BLFP) de ordem n, e com frequência de corte a uma distância D 0 da origem é definida como H(µ, ν) = 1 1+[D(µ, ν)/d 0 ] 2n onde D(µ, ν) é a distância entre um ponto (µ, ν) no domínio da frequência e o centro da função de frequência; Diferente do filtro ideal, a função de transferência BLFP não tem uma descontinuidade abrupta que resulta em um corte bem definido; 24 / 48

25 Filtro Passa-Baixa Butterworth 25 / 48

26 Filtro Passa-Baixa Butterworth 26 / 48

27 Filtro Passa-Baixa Butterworth Comparando com os resultados do ILFP: Transição suave do borramento em função do aumento da frequência de corte; Nenhum ringing é visível em qualquer uma das imagens processadas; 27 / 48

28 Filtro Passa-Baixa Gaussiano Os filtros passa-baixa gaussianos (GLPF) de duas dimensões têm a forma: H(µ, ν) = e D2 (µ,ν)/2d 2 0 sendo D(µ, ν) a distância a partir do centro do triângulo de frequência e D 0 a frequência de corte. quando D(µ, ν) = D 0, o GLPF é reduzido para 0, 607 de seu valor máximo A transformada inversa do GLPF também é uma gaussiana; Não apresenta efeito de ringing. 28 / 48

29 Filtro Passa-Baixa Gaussiano 29 / 48

30 Filtro Passa-Baixa Gaussiano 30 / 48

31 Filtros Passa-Baixa: resumo 31 / 48

32 Filtragem Passa-Baixa: exemplos adicionais 32 / 48

33 Filtragem Passa-Baixa: exemplos adicionais 33 / 48

34 Filtragem Passa-Baixa: exemplos adicionais 34 / 48

35 Filtros Passa-Alta Aguçamento de imagens: realça componentes de alta frequência da imagem; Os filtros passa-alta são obtidos a partir dos filtros passa-baixa: Filtro passa-alta ideal: Filtro passa-alta Butterworth: H IHPF = 1 H ILPF Filtro passa-alta gaussiano: H BHPF = 1 H BLPF H GHPF = 1 H GLPF 35 / 48

36 Filtros Passa-Alta 36 / 48

37 Filtros Passa-Alta 37 / 48

38 Filtro Passa-Alta Ideal Um filtro passa-alta ideal 2D é definido como: { 0 se D(µ, ν) D0 H(µ, ν) = 1 se D(µ, ν) > D 0 onde D 0 é a frequência de corte. 38 / 48

39 Filtro Passa-Alta Butterworth Um filtro passa-alta Butterworth 2D de ordem n é definido como: onde D 0 é a frequência de corte. 1 H(µ, ν) = 1+[D 0 /D(µ, ν)] 2n 39 / 48

40 Filtro Passa-Alta Gaussiano Um filtro passa-alta gaussiano 2D é definido como: onde D 0 é a frequência de corte. H(µ, ν) = 1 e D2 (µ,ν)/2d / 48

41 Filtros Passa-Alta: resumo 41 / 48

42 Filtros Rejeita-Faixa 42 / 48

43 Filtro Passa-Faixa Gaussiano 43 / 48

44 Filtro Passa-Faixa Butterworth 44 / 48

45 A Transformada Rápida de Fourier - FFT Implementar as equações da DFT não constitui tarefa simples; FFT proporciona uma redução nos cálculos envolvidos; Ex.: Transformada de Fourier de uma imagem DFT-2D: + 1 trilhão de operações FFT: aprox. 20 milhões Matlab: fft 45 / 48

46 A Transformada Rápida de Fourier 46 / 48

47 Filtragem no Domíinio da Frequência: implementação 47 / 48

48 Filtragem no Domíinio da Frequência: implementação 48 / 48

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