Curso Wellington Matemática Permutação e Princípio Fundamental da Contagem Prof Hilton Franco

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1 1. Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões. a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas? b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas? c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A? 2. O perfil lipídico é um exame médico que avalia a dosagem dos quatro tipos principais de gorduras (lipídios) no sangue: colesterol total (CT), colesterol HDL (conhecido como bom colesterol ), colesterol LDL (o mau colesterol ) e triglicérides (TG). Os valores desses quatro indicadores estão relacionados pela fórmula de Friedewald: CT = LDL + HDL + TG/5. A tabela abaixo mostra os valores normais dos lipídios sanguíneos para um adulto, segundo o laboratório SangueBom. Indicador CT LDL HDL TG Valores normais Até 200 mg/dl Até 130 mg/dl Entre 40 e 60 mg/dl Até 150 mg/dl a) O perfil lipídico de Pedro revelou que sua dosagem de colesterol total era igual a 198 mg/dl, e que a de triglicérides era igual a 130 mg/dl. Sabendo que todos os seus indicadores estavam normais, qual o intervalo possível para o seu nível de LDL? b) Acidentalmente, o laboratório SangueBom deixou de etiquetar as amostras de sangue de cinco pessoas. Determine de quantos modos diferentes seria possível relacionar essas amostras às pessoas, sem qualquer informação adicional. Na tentativa de evitar que todos os exames fossem refeitos, o laboratório analisou o tipo sanguíneo das amostras, e detectou que três delas eram de sangue O + e as duas restantes eram de sangue A +. Nesse caso, supondo que cada pessoa indicasse seu tipo sanguíneo, de quantas maneiras diferentes seria possível relacionar as amostras de sangue às pessoas? 3. Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: a) 20 Página 1 de 15

2 b) 15 c) 12 d) A prefeitura de certo município solicitou ao Governo Federal uma verba para a execução das seguintes obras: saneamento básico; calçamento de ruas; construção de uma escola; construção de uma creche; construção de casas populares. O Governo Federal aprovou a concessão da verba solicitada, na condição de que fosse estabelecida uma ordem na execução das obras, de modo que, tendo sido liberada a verba para a primeira obra, a verba para a segunda só seria liberada após a conclusão da primeira, e assim sucessivamente até a execução da última obra. Nesse contexto, considere o planejamento feito pela prefeitura: a primeira obra escolhida foi a construção das casas populares; o calçamento das ruas só poderá ser executado com o saneamento básico concluído. Atendendo às condições estabelecidas pelo Governo Federal e ao planejamento da prefeitura, é correto afirmar que o número de maneiras possíveis e distintas para a realização dessas 5 obras é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) Considerando um sorteio de n objetos, sorteados um a um, em uma coleção de m objetos distintos (onde m é estritamente maior que n, e ambos são maiores ou iguais a dois), analise as afirmativas e conclua. ( ) Se o sorteio for feito sem reposição dos objetos sorteados, a quantidade de sorteios possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é levada em consideração (combinações) é, independentemente dos valores de m e n, estritamente maior que a quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos sorteados é relevante (arranjos). ( ) Se o sorteio for feito com reposição dos objetos sorteados, a quantidade de sorteios possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é levada em consideração (combinações) é, independentemente dos valores de m e n, estritamente maior que a quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos sorteados é relevante (arranjos). ( ) Se o sorteio for feito sem reposição dos objetos sorteados, a quantidade de sorteios possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é levada em consideração (combinações) é, independentemente dos valores de m e n, estritamente menor que a quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos sorteados é relevante (arranjos). ( ) Se o sorteio for feito com reposição dos objetos sorteados, a quantidade de sorteios possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é levada em consideração (combinações) é, independentemente dos valores de m e n, estritamente menor que a quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos sorteados é relevante (arranjos). ( ) Independentemente, se o sorteio for feito com ou sem reposição dos objetos sorteados, a quantidade de sorteios possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é levada em consideração (combinações) é, independentemente dos valores de m e n, estritamente menor que a quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos sorteados é relevante (arranjos). 6. a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9?

3 b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5? c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4? 7. Um grafo é uma figura constituída de um número finito de arestas ou arcos, cujas extremidades são chamadas vértices. Em um grafo, a ordem de um vértice é o número de extremidades de arestas ou arcos que se apoiam naquele vértice. A figura 1 é um grafo cujos vértices A e C possuem ordem 3 (o vértice A é o apoio de um arco cujas extremidades coincidem) e os demais vértices possuem ordem 2. Além disso, dizemos que um grafo admite um passeio de Euler se existir um caminho do qual façam parte todas as arestas ou arcos desse grafo, sendo possível desenhá-lo sem tirar o lápis do papel e passando-o uma única vez em cada aresta ou arco. Na figura 1 é possível fazer um passeio de Euler partindo-se apenas dos vértices A ou C. Por exemplo, um possível passeio pode ser representado pela sequência de vértices dada por: AABCDEFC. Consideres os grafos: Os que admitem um passeio de Euler são apenas: a) I e III. b) I e IV. c) I, II e V. d) I, III e IV. e) I, IV e V. 8. Um marcador digital é formado por sete segmentos no formato de um 8. Para formar um Página 3 de 15

4 símbolo, cada segmento pode ficar iluminado ou apagado, com pelo menos um segmento iluminado. Dizemos que um símbolo é conexo se não existe segmento iluminado isolado dos demais. Por exemplo: os três símbolos representados na figura 1 a seguir são conexos e distintos; já o símbolo da figura 2 não é conexo. Os símbolos ilustrados têm, todos, três segmentos iluminados. Desenhe TODOS os símbolos conexos formados por três segmentos iluminados. 9. No aniversário de 20 anos de uma escola, seu fundador fez a seguinte declaração: Nesses 20 anos, formamos 25 alunos que hoje são professores desta casa e 30 alunos que hoje são médicos. Entretanto, em nenhum ano formamos mais do que dois desses médicos e nem mais do que três desses professores. É correto afirmar que, certamente, a) em todos os anos formou-se pelo menos um dos professores. b) em todos os anos formou-se pelo menos um dos médicos. c) em pelo menos um ano não se formou nenhum médico e nenhum professor. d) em pelo menos um ano formou-se pelo menos um médico e pelo menos um professor. e) em pelo menos um ano formou-se pelo menos um médico e nenhum professor. 10. Muitos consideram a Internet como um novo continente que transpassa fronteiras geográficas e conecta computadores dos diversos países do globo. Atualmente, para que as informações migrem de um computador para outro, um sistema de endereçamento denominado IPv4 (Internet Protocol Version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço é constituído por quatro campos, separados por pontos. Cada campo, por sua vez, é um número inteiro no intervalo [0, 2 8-1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é Um novo sistema está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada endereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0, ]. Com base nessas informações, é correto afirmar que

5 a) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4. b) existem exatamente 4.(2 8-1) endereços diferentes no sistema IPv4. c) existem exatamente 2 32 endereços diferentes no sistema IPv4. d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços diferentes do sistema IPv4. e) existem exatamente (2 8-1) 4 endereços diferentes no sistema IPv Dois times de basquete, cada um deles representando uma Etec, vão disputar um torneio. As regras do torneio são as seguintes: o primeiro que ganhar dois jogos seguidos ou um total de três jogos vence o torneio. Por exemplo, considerando as Etecs A e B, tem-se que: se A vence o primeiro e o segundo jogos, então A vence o torneio ou se B vence o primeiro; A, o segundo; B, o terceiro; A, o quarto e B, o quinto jogo; então B vence o torneio. Supondo que não haja empates, o número de modos distintos pelos quais o torneio pode se desenvolver até a final é a) 12. b) 10. c) 6. d) 5. e) 3. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Observe a ilustração: 12. Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: a) 5 b) 13 c) 31 d) 40 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um país possui de eleitores, divididos igualmente entre 10 estados. A tabela a seguir mostra o resultado final da votação para a escolha do novo presidente, quando todos os eleitores votaram. Candidato Percentual dos eleitores X 52% Y 25% Página 5 de 15

6 Z 20% Votos brancos e nulos 3% 13. Analisando o percentual de votos recebidos pelo candidato X na eleição, é correto afirmar que a) os votos recebidos por ele foram dados em pelo menos 6 estados diferentes. b) ele foi necessariamente o mais votado em todos os estados do país. c) ele necessariamente recebeu votos em todos os estados do país. d) é possível que ele não tenha sido primeiro colocado em nenhum dos 10 estados. e) é possível que ele não tenha recebido votos em 5 estados diferentes. 14. A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos de baixo para cima ou da esquerda para a direita. O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é: a) b) c) 924. d) 792. e) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades. Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar

7 os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de a) 60 min. b) 90 min. c) 120 min. d) 180 min. e) 360 min. 16. Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir: A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de cabo de guerra. Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a a) 60. b) 150. c) 600. d) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 5 algarismos distintos. Entre eles, são divisíveis por 5: a) 120 números. b) 30 números. c) 60 números. d) 20 números. e) 180 números. 18. Identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) Sabe-se que uma matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que AB = BA = I n, onde é a matriz I n é a matriz unidade de ordem n. A inversa da matriz 2 2. ( ) Um restaurante típico da região do litoral oferece as seguintes entradas: casquinha de siri, panqueca de siri, ostras, saladas, caranguejo. Os pratos principais são: peixe com gengibre, indaiá, caldeirada, filé de linguado. As sobremesas disponíveis são bolinho de polvilho, bolo de pinhão, mbojape (bolo de milho), canjica, arroz doce, milho. Com toda Página 7 de 15

8 essa variedade, um cliente pode escolher de noventa formas diferentes uma entrada, um prato principal e uma sobremesa. ( ) Se numa pesca típica no estuário de Guaratuba um pescador pesca seis garoupas, dois robalos e dez betaras, e se um peixe destes for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele não ser betara é igual à probabilidade de ele ser robalo ou garoupa. π =. ( ) É verdadeira a igualdade sen 8 2 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo. a) V F V F. b) V F F F. c) V F V V. d) F V F F. e) F V V V. 19. Identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F). 1 x f ( x ) = log, então f ( 2) + f ( 3) = log ( 6 ). ( ) Dada a função 1+ x i são ± i. 2 2 ( ) As raízes do número complexo 2 i são ( ) Para que ( ) ( ) 2 n! = 1, 2n! 10 n deve ser igual a 4. ( ) É correta a igualdade = Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo. a) F V F V. b) V F F V. c) V F V V. d) V V V F. e) F V F F. 20. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01) Em O homem que calculava, de Malba Tahan, pseudônimo do professor Júlio César de Mello e Souza, o leitor não somente aprende Matemática como também belos exemplos de ensinamentos morais, apresentados ao longo das histórias que compõem o livro. Um dos problemas mais conhecidos é o da divisão dos 35 camelos que deveriam ser repartidos por três herdeiros, do seguinte modo: o mais velho deveria receber a metade da herança; o segundo deveria receber um terço da herança e o terceiro, o mais moço, deveria receber um nono da herança. Feita a partilha, de acordo com as determinações do testador, acima 17 referidas, ainda haveria a sobra de um camelo mais 18 de camelo. 02) Considere a operação Ψ que aplicada a um par (x, y) nos dá a raiz quadrada da soma de x com y, ou seja, x Ψ y = x + y Se x = 3a + 1 e y = a + 15 e aplicarmos a operação Ψ, obteremos 2 a ) Na tabela seguinte está representada a distribuição, por turno, dos alunos da última fase do curso de Matemática de uma universidade. Diurno Noturno Mulheres 9 4 Homens 5 2

9 Três alunos do curso são escolhidos ao acaso para formarem a comissão de formatura. A probabilidade de que a comissão seja composta por duas pessoas do noturno e uma do diurno é de 7/38. 08) Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de ) Formados e colocados em ordem alfabética os anagramas da palavra AMOR, a posição correspondente à palavra ROMA é a 23ª. Página 9 de 15

10 Gabarito: Resposta da questão 1: a) 14! versões diferentes da prova b) As questões serão assim dispostas: PPPPPPP MGMGGGM PPPPPPP MGGMGGM PPPPPPP MGGGMGM PPPPPPP GMGMGGM PPPPPPP GGMGMGM PPPPPPP GMGGMGM 7!, 4!. 3!. 6 = c) P = 7!.4!.3! 6 = 7!.7! 35 Resposta da questão 2: a) Sabendo que a dosagem de colesterol total é igual a 198 mg dl e que a de triglicérides é igual a 130 mg dl, temos: = LDL + HDL + HDL = 172 LDL. 5 De acordo com a tabela, para indicadores normais devemos ter: HDL = 172 LDL LDL 130 LDL 130 LDL 130 e e 40 HDL LDL LDL LDL 130. Portanto, o intervalo possível para o nível de LDL é [112,130]. b) Sem qualquer informação adicional, é possível relacionar as amostras às pessoas de P5 = 5! = 120 maneiras. Se cada pessoa indicasse seu tipo sanguíneo, seria possível relacionar as amostras de sangue O+ de P3 = 3! = 6 maneiras, enquanto que as amostras de sangue A + poderiam ser relacionadas de P2 = 2! = 2 maneiras. Desse modo, pelo PFC, o resultado pedido é 6 2 = 12. Resposta da questão 3: [B]

11 O menor caminho será formado por dois lados inclinados (decidas) e quatro lados horizontais. 2,4 6! P 6 = 2!.4! = 15 Resposta da questão 4: [C] 4! 12 2 = (foi divido por 2 pois o saneamento básico deve aparecer antes do calçamento) Resposta da questão 5: F F F V F. (F) O número de combinações é menor ou igual ao número de arranjos; (F) O número de combinações é menor ou igual ao número de arranjos; (F) O número de combinações é menor ou igual ao número de arranjos; (V) Verdadeiro. (F) O número de combinações é menor ou igual ao número de arranjos. Resposta da questão 6: Resposta da questão 7: [E] Os únicos grafos que admitem um passeio de Euler são o I (ABCDEFA), o IV (CDEFDACBB) e o V (DEFDABCA). Resposta da questão 8: São 16 símbolos conexos com três segmentos iluminados. Resposta da questão 9: [D] Como em nenhum ano a escola formou mais do que 3 professores, em pelo menos 9 anos foram formados professores. Por outro lado, em nenhum ano a escola formou mais do que 2 médicos. Logo, em pelo menos 15 anos foram formados médicos. Portanto, como = 24 > 20, temos que em pelo menos um ano formou-se pelo menos um Página 11 de 15

12 médico e pelo menos um professor. Resposta da questão 10: [C] Há (2 1) 0 + 1= 2 números inteiros no intervalo [0, 2 1]. Logo, pelo PFC, existem exatamente = 2 endereços diferentes no sistema IPv4. Resposta da questão 11: [B] Há 10 modos distintos pelos quais o torneio pode se desenvolver: BABAA AA BB BAA ABB BABB ABAA BABAB ABABA ABABB Resposta da questão 12: [C] Inserindo 3 10 = 30 moedas ainda teríamos a possibilidade de obtermos exatamente 3 bolas de cada cor. Logo, para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, deverão ser inseridas = 31 moedas. Resposta da questão 13: [A] = De acordo com o enunciado, cada estado do país possui 10 eleitores. Logo, como o candidato X obteve 0, = votos, pelo Princípio das Gavetas de = 6 Dirichlet, temos que ele recebeu votos em pelo menos estados. Obs.: [x] é o maior inteiro menor do que ou igual a x. Resposta da questão 14: [D] D = para direita C = para cima Em qualquer caminho mais curto a pessoa terá que se deslocar 7 vezes para direita e 5 vezes para cima, em qualquer ordem. Exemplo DDCDCDDCCDCD logo o número de percursos será dado por:

13 12! = 7!.5! 7,5 12 = P 792 Resposta da questão 15: [B] 5! = 120 sequências possíveis para se visitar as 5 cidades. Desconsiderando as simétricas, termos 60 sequências para visitar, logo o tempo necessário será de 1,5. 60 = 90 minutos. Resposta da questão 16: [D] Cinco crianças para cinco posições. P 5 = 5! = 120 Resposta da questão 17: [A] O números divisíveis por 5, utilizando os algarismos acima, deverão terminar em 5. Logo, teremos 5! números possíveis, isto é, 120. Resposta da questão 18: [A] = (Verdadeira) 2 2 (Falsa) = 120 (Verdadeira) eventos complementares. (Falsa) π 2 π 2 π cos = cos sen π 2 π cos = 1 2sen π = 1 2sen 2 8 π 2 2 sen = 8 2 Resposta da questão 19: [B] log + log = log log = log6 = log6 (Verdadeira) log = (o gabarito oficial considerou esta questão como certa, mas não existe logaritmo de número negativo. A passagem assinalada contraria a definição. (Falsa) 3 i 3 3i + = Página 13 de 15

14 (Falsa) Fazendo n = 4 temos 4! 1 = 8! 1680 ( 1+ 3 ) 2 = = (Verdadeira) Resposta da questão 20: = = 01) (verdadeira), pois ) (falsa) 3a + 1+ a + 15 = 4a + 16 = 4.(a + 4) = 2 a = )(verdadeira) 2 08) (falsa) = ) (falsa) começando por: A ! M-----3! O ----3! RA...2! RM...2! ROAM ROMA (vigésima quarta posição)

15 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 20/09/2011 às 18:24 Nome do arquivo: Permutação Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo Matemática...Fuvest/ Analítica Matemática...Unicamp/ Analítica Matemática...Uerj/ Múltipla escolha Matemática...Ufpb/ Múltipla escolha Matemática...Upe/ Verdadeiro/Falso Matemática...Fuvest/ Analítica Matemática...Unesp/ Múltipla escolha Matemática...Ufrj/ Analítica Matemática...Insper/ Múltipla escolha Matemática...Uff/ Múltipla escolha Matemática...G1 - cps/ múltipla escolha Matemática...Uerj/ Múltipla escolha Matemática...Insper/ Múltipla escolha Matemática...Unesp/ Múltipla escolha Matemática...Enem/ Múltipla escolha Matemática...Uemg/ Múltipla escolha Matemática...Unemat/ Múltipla escolha Matemática...Ufpr/ Múltipla escolha Matemática...Ufpr/ Múltipla escolha Matemática...Ufsc/ Somatória Página 15 de 15