SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES

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1 FILAS M/M/n-S COM BLOQUEAMENTO E FEEDBACK BERNOULLI José Gilberto Spasiani Rinaldi FCT/UNESP CP Presidente Prudente/SP Maria Creusa Bretas Salles ICMC/USP CP São Carlos/SP Aylton Pagamisse FCT/UNESP CP Presidente Prudente/SP Resumo A análise teórica do processo que conta o número de usuários no modelo de filas M/M/n-S com Bloqueamento e Feedback Bernoulli tem sido impossibilitada de ser desenvolvida devido à presença de cinco parâmetros (λ, µγ,, pq), e ao bloqueamento, levando a equações globais de equilíbrio muito complexas para serem solucionadas analiticamente. A abordagem então é realizada utilizandose a linguagem de simulação GPSS/H, que permite a coleta de dados nos instantes de interesse, desenvolvendo-se programas com 1, e 3 processadores para 3 conjuntos de parâmetros distintos. São efetuadas 100 replicações de simulações e coletadas observações referentes a cinco processos, analisando-se as densidades de probabilidade dos mesmos através do ajustador de distribuições de probabilidade BestFit 4.0. Avaliou-se o término do período transitório inicial e após isto pode-se obter várias medidas estatísticas para o desempenho do sistema, além de informações sobre sua autocorrelação. Também conseguiu-se, analiticamente, a distribuição de probabilidade do número de vezes que um mesmo usuário utiliza o banco de dados antes de retirar-se do sistema, sendo este resultado válido independentemente do número de processadores. Palavras-chave: simulação estocástica; medidas de desempenho; ajustamento de distribuições de probabilidade Abstract The theoretical analysis of the process that counts the number of users in the M/M/n-S queuing model with Bernoulli Blockade and Feedback has been disabled of being developed due to the presence of five parameters (λ, µγ,, pq), and to the blockade, taking to very complex global balance equations to be solved analytically. The approach then is accomplished using the GPSS/H simulation language, which allows the collection of data in the instants of interest, writing programs with 1, and 3 processors for 3 groups of different parameters. One hundred replications of simulations are made and observations regarding five processes are collected, analyzing their probability density function through the fitter of probability distribution BestFit 4.0. The end of the initial transitory period was evaluated and after this several statistical measures for the performance of the system can be obtained, as well as information about its autocorrelation. It was also obtained, analytically, the probability distribution of the number of times that a same user uses the database before leaving the system, being this result valid independently of the number of processors. Keywords: stochastic simulation; performance measures; probability distribution fitting

2 1 - Introdução Em Engenharia de Software, para construção de um Banco de Dados compartilhado por n Processadores em Paralelo, devem ser respondidas questões que envolvem tamanho e modelo do Banco de Dados (BD), dos processadores, número de processadores adequados para que não haja sub ou super-utilização do BD, entre outras. O modelo de filas aproximado para este sistema considera n servidores em paralelo, representando os processadores, compartilhando um servidor (SBD), com algumas hipóteses simplificadoras como, por exemplo, o bloqueamento dos processadores enquanto são formuladas consultas ao BD e a possibilidade dos processadores terem sala de espera infinitas. Fregueses entram no sistema segundo um Processo de Poisson(λ) e dirigem-se a qualquer um dos servidores (processadores) P i, i = 1,,..., n, com probabilidade 1/n. Ao ser atendido no servidor P i, o freguês pode precisar (com probabilidade q) de informações armazenadas no BD ou não. Enquanto o freguês recebe serviço de SBD o servidor P i fica bloqueado e, saindo do servidor SBD, o freguês volta a ser atendido em P i (com probabilidade 1). Completando o seu atendimento em P i, o freguês pode retornar ao sistema (com probabilidade p) para um novo processamento ou sair deste (com probabilidade 1 p). Desta forma nota-se que a visita ao servidor SBD pode ser repetida um número aleatório de vezes por cada freguês. Consideram-se todos os n + 1 servidores independentes entre si e independentes do processo de chegada. O tempo de atendimento dos servidores são exponenciais com taxas µ (servidores dos processadores P i ) e γ (servidor SBD), com µ >> γ. Consideram-se também os switches para entrada no BD e para o feedback independentes dos processos anteriores. Para este sistema procuram-se atender aos objetivos reais propostos, analisando processos que informem sobre o volume de utilização do BD. A análise do sistema e seus processos A análise teórica do processo {N(t), t > 0}, que conta o número de fregueses no sistema num instante t, analisado em equilíbrio, tem sido impossível de ser desenvolvida, devido à presença de 5 parâmetros (λ, µ, γ, p, q) e ao bloqueamento, levando a equações globais de equilíbrio não triviais. Na literatura sobre Filas com Feedback ( d Avignon & Disney, 1977; Disney, McNickle & Simon, 1980; Disney & König, 1985) encontram-se resultados de equilíbrio para o processo que conta o número de fregueses no sistema e para os processos de fluxos imersos nos instantes de ocorrências de eventos. Por outro lado, para Filas com Bloqueamento os resultados encontrados são parciais, devido à dificuldades analíticas geradas pelo bloqueamento ( Walrand, 1988; Syski, 1986; Perros, 1994). Devido a esta situação optou-se por analisar o sistema através de Simulação Estocástica, coletando dados de cinco processos envolvidos: TEE: O tempo entre entradas, que coleta o tempo entre ocorrências (passagens) dos fregueses que imediatamente se dirigem aos processadores, ou seja, fregueses que chegam mais os que realizam feedback. TEBD: O tempo entre entradas para o banco de dados, que coleta o tempo entre ocorrências (passagens) dos fregueses que imediatamente receberão atendimento do BD, independente de qual processador provém. TES: O tempo entre saídas, que coleta o tempo entre ocorrências (passagens) dos fregueses que imediatamente saíram de algum dos processadores. TEF: O tempo entre feedbacks, que coleta o tempo entre ocorrências (passagens) dos fregueses que imediatamente realizaram feedback. TET: O tempo entre términos, que coleta o tempo entre ocorrências (passagens) dos fregueses que imediatamente se retiram do sistema de fila. Para melhor entendimento do sistema e dos processos nele envolvidos, o sistema de fila M/M/-S está esquematicamente representado na figura 1.

3 A simulação do sistema de fila analisado foi desenvolvida utilizando o software GPSS/H, devido à grande flexibilidade deste software e a possibilidade de coleta de dados nos instantes de interesse. Para análise dos processos imersos foram realizadas 100 replicações para 3 conjuntos de parâmetros bem distintos, obtendo os valores médios do número de fregueses no sistema em equilíbrio, o tempo de permanência de um freguês no sistema e em cada um dos diferentes servidores, o número de vezes que o servidor SBD é acessado por freguês, entre outros, bem como, usando Inferência Estatística, verificar as distribuições dos tempos entre ocorrências de eventos em cada um dos processos analisados, e sua estrutura de autocorrelação. Exp µ p Poisson( λ ) P 1 q TEF 1-p TEBD BD q TEE P TES TET Exp µ Figura 1: Fila M/M/-S, com bloqueamento e feedback Bernoulli mostrando os diferentes pontos de coleta de dados para tempos entre ocorrências. O desenvolvimento do projeto iniciou-se com um único processador P, e posteriormente foi ampliado para dois e três processadores, buscando consistência dos resultados. Para que os resultados da simulação sejam confiáveis uma fase muito importante é a determinação do período transitório inicial, com o objetivo de analisar o sistema de interesse em equilíbrio. Para tanto, foi utilizada uma regra bem apropriada a esse sistema e conhecida da teoria de simulação. 3 - O problema do vício da inicialização Ao iniciar algum processo estocástico (no estado vazio, por exemplo) existe um período, denominado período transitório inicial, onde os valores de estimativas estatísticas mudam significativamente e freqüentemente com o tempo. Após encerrado esse período estas oscilam de forma limitada e então diz-se que o processo entrou em equilíbrio, ou seja, pode ser considerado estacionário. Considerando as observações iniciais, referentes ao período transitório inicial, o vício que estas causam pode ser observado em sua média, provavelmente diferente da média obtida com o sistema de fila em equilíbrio. Desta forma, ao avaliar este período, descartam-se suas observações com a intenção de diminuir o vício da média, que será calculada com outras observações mais adequadas à condição de equilíbrio. Tendo-se decidido pela retirada das observações referentes ao período citado, o problema a se enfrentar é qual regra será aplicada (Pawlikowski, 1990) para avaliar quantas observações precisam ser retiradas. Deve-se então optar por uma regra que possa apontar satisfatoriamente o instante de truncamento.

4 3.1 - A regra de White Esta regra utiliza-se da estratégia de reduzir o vício de inicialização através da retirada das observações iniciais (White, 1997). Contudo, como o comprimento da rodada de simulação é considerado aqui arbitrário, é necessário que haja observações suficientes para que a regra possa ser aplicada adequadamente, ou seja, observações suficientes para que a seqüência estocástica consiga obter equilíbrio, fornecendo o instante de truncamento. Nesta regra, considera-se a simulação de evento discreto gerando seqüências de resultados { Xi ( j) : i = 1,,..., n( j); j = 1,,..., l} onde n( j ) são os comprimentos arbitrários da j-ésima rodada, para um número arbitrário de rodadas l. Pode-se, baseado nestas seqüências, estimar a média do processo estacionário, denotada por µ, pela média amostral de onde foram retiradas as observações iniciais, denominada média amostral truncada, dada por 1 n( j) X nd, ( j) = Xi ( j), para j=1,,...,l n( j) d( j ) i= d( j) + 1 onde d(j) é o número de observações retiradas na rodada j. A razão pela qual estima-se µ usando a sequência truncada { Xi ( j) : i = d( j) + 1,..., n( j)} é que as observações coletadas após as primeiras d(j) são mais representativas do processo em equilíbrio. Utilizando-se da distribuição normal e do intervalo de confiança associado a esta, White mostra que o ponto ótimo pode ser dado por ( ) 1 n j d ( j) = arg min X ( ) [ ( ) ( )], ( ). i j n j d j X nd j n( j) > d( j) 0 [ n( j) d( j )] i= d( j) + 1 Então, para uma dada sequência, d ( j ) será o valor de d(j) tal que a expressão acima assume seu mínimo. Superestimar o resultado obtido por uma única rodada, quando esta regra é aplicada, é extremamente arriscado e, considerando este fato, a média parece ser o critério mais justo a ser aplicado para avaliar o término do período transitório inicial. 3. Aplicação da regra de White para as Filas M/M/n-S, com Bloqueamento e Feedback Bernoulli Para se aplicar a regra de White nas filas M/M/n-S com bloqueamento e feedback Bernoulli é necessário coletar observações de alguma variável selecionada. Independente do número de processadores, resolveu-se utilizar as variáveis tempo entre entradas (TEE) e tempo entre entradas no BD (TEBD) para verificar qual o período transitório inicial. Assim, a simulação foi iniciada com o sistema vazio até que fregueses (ou clientes) se retirassem dele, sendo que as observações das duas variáveis foram coletadas e as regras nelas empregada. Este procedimento foi repetido 10 vezes (com 10 sementes aleatórias distintas) calculando-se o número médio de observações a descartar ( d ( j )) e a média da autocorrelação ( j, j = 1,,3 ). Os conjuntos de parâmetros utilizados (denominados de 1, e 3) estão presentes na tabela 1 e os resultados obtidos podem ser vistos na tabela. Tabela 1: Conjuntos de parâmetros utilizados para simulação. Conjuntos Parâmetros Conjunto 1 1/λ =16; 1/γ = 8; 1/µ = 4; p = 0,4; q = 0,6 Conjunto 1/λ =4; 1/γ = 10; 1/µ = 6; p = 0,; q = 0,7 Conjunto 3 1/λ =3; 1/γ = 0; 1/µ = 5; p = 0,3; q = 0,8 Pela tabela observa-se que o maior valor médio de autocorrelação é 1 = 0,095 para a variável TEBD com processadores, um valor muito baixo. Nota-se então que, mesmo sendo referente ao período transitório inicial, a estrutura de autocorrelação das filas M/M/n-S, com bloqueamento e feedback Bernoulli pode ser considerada fraca. Os valores de d ( j ) encontrados são um reflexo deste fato, sendo seu maior valor 77,7. Isto revela também que, na aplicação da regra de

5 Tabela : Número de observações a serem descartadas utilizando-se a regra de White para o sistema de filas M/M/n-S com Bloqueamento e Feedback Bernoulli. Número de Conjunto 1 Conjunto Conjunto 3 Processadores Parâmetros Variável TEE TEBD TEE TEBD TEE TEBD d ( j )) 77,7 65,9 19,3 1,3 48,7 63, ,008 0,034 0,01 0,059 0,007 0,00 0,017 0,043 0,07 0,055 0,013 0,09 3 0,01 0,00 0,0 0,00 0,013 0,01 d ( j )) 57,1 53, 41,0 34,7 40, 41,7 1 0,06 0,095 0,038 0,071 0,040 0,064 0,045 0,05 0,00 0,037 0,03 0, ,03 0,034 0,016 0,006 0,0 0,035 d ( j )) 47,4 67,7 17,5 6,7 4, 60, ,065 0,09 0,036 0,068 0,041 0,063 0,03 0,056 0,019 0,040 0,04 0, ,034 0,038 0,019 0,018 0,03 0,034 White, os fregueses são suficientes para que o sistema entre em equilíbrio. Observa-se que os valores de j, na grande maioria dos casos, decresce quando j aumenta, fato coerente com a teoria. Assim, sendo os valores de j baixos, os valores de descarte ( d ( j )) também são pequenos, contudo não se deve esquecer que somente duas variáveis foram utilizadas, ainda que estrategicamente escolhidas, essenciais e bem informativas sobre o sistema. Desta forma, sem grande perda de informações, decidiu-se retirar 400 observações (aproximadamente 5 vezes o máximo de d ( j) ) antes de realizar a coleta realmente utilizada para análise. Este valor foi aplicado para todos os conjuntos de parâmetros, independente do número de processadores, o que confere boa margem de segurança para as observações coletadas das replicações realizadas. 4- A simulação do sistema de filas M/M/n-S Neste trabalho avaliou-se o sistema de fila M/M/n-S com bloqueamento e feedback Bernoulli utilizando-se GPSS/H (Banks et al., 1989). Optou-se por esta linguagem de simulação por sua facilidade de uso e rapidez na confecção de programas. Sempre que possível, para um sistema que está sendo estudado, deve-se buscar soluções analíticas pois estas são mais confiáveis, devendo-se utilizar a simulação como um último recurso disponível. Assim, foi possível obter, analiticamente, a distribuição do número de vezes que um freguês utiliza o banco de dados antes de se retirar do sistema. Também, através do software BestFit 4.0, obteve-se informações sobre as distribuições de probabilidade que estão associadas aos diferentes processos envolvidos no sistema. Ainda, foi analisado o comportamento da estrutura de autocorrelação presente no sistema estudado As medidas estatísticas obtidas por simulação Várias medidas foram coletadas na simulação das filas M/M/n-S, com bloqueamento e feedback Bernoulli. Decidiu-se fazer 100 replicações para o sistema de filas com 1, e 3

6 processadores e com os 3 conjuntos distintos de parâmetros, obtendo 9 cenários para a simulação. Para efeito de comparação, em uma replicação i qualquer, para i=1,,...,100, utilizou-se a mesma semente independente do cenário encontrado, havendo então 100 sementes distintas em um mesmo cenário, mas identicamente utilizadas nos outros. Antes de se coletar as observações simuladas foram descartadas 400, relativas ao período transitório inicial, após isto, o simulador recolhia todas informações até que 1.00 fregueses deixassem o sistema, encerrando então a simulação (ou uma replicação). As medidas coletadas do sistema de filas M/M/n-S com bloqueamento e feedback Bernoulli, são especificadas abaixo: MED TEE: média dos tempos entre entradas; MED TES: média dos tempos entre saídas; MED TEF: média dos tempos entre feedback; MED TET: média dos tempos entre términos; MED TEBD: média dos tempos entre entradas no banco de dados; RES TEE: número médio de tempos coletados entre entradas; RES TES: número médio de tempos coletados entre saídas; RES TEF: número médio de tempos coletados entre feedback; RES TET: número médio de tempos coletados entre términos (fixo em 1.00); RES TEBD: número médio de tempos coletados entre entradas no banco de dados; CMS: conteúdo médio do sistema; TMS: tempo médio de residência no sistema; CMFi: conteúdo médio do processador i; TMFi: tempo médio de residência no processador i; ROSVi: fração do tempo em que o servidor do processador i está sendo utilizado; TMSVi: tempo médio no servidor do processador i; ROSBD: fração do tempo em que o servidor do banco de dados está sendo utilizado; TMSBD: tempo médio de serviço de fregueses no banco de dados. Nas tabelas a seguir, para simplificar, as filas M/M/n-S, com bloqueamento e feedback Bernoulli são denominadas simplesmente como fila M/M/n-S. Todas as medidas especificadas acima são, de forma geral, analisadas, estando presentes nas tabelas, com suas médias. Tabela 3: Medidas para a Fila M/M/1-S. Conjunto de Parâmetros 1 3 Variável Média Média Média MED TEE MED TES MED TEF MED TET MED TEBD RES TEE RES TES RES TEF RES TEBD CMS TMS CMF1 TMF1 ROSV1 TMSV1 ROSBD TMSBD 9,88 9,89 4,89 16,59 16,51 003,80 001,90 799,56 106,0 8,95 147,7 8,95 88,41 0,89 8,85 0,49 8,0 19,89 19,93 99,43 4,94 8,36 150, ,38 300, ,60 1,84 45,69 1,84 36,5 0,66 13,10 0,35 10,05 3,18 3,0 77,33 33,14 9, ,3 1713,96 513, ,08 10,75 353,70 10,75 47,48 0,91 1,09 0,69 0,09

7 Comparando-se a média dos tempos entre entradas (MED TEE) e a média dos tempos entre saídas (MED TES) pode-se verificar que são praticamente iguais, levando-se a considerar que o sistema simulado encontra-se equilibrado. Deve-se observar que isto ocorre de forma geral, não importando o número de processadores como também o conjunto de parâmetros. Tabela 4: Medidas para a Fila M/M/-S. Conjunto de Parâmetros 1 3 Variável Média Média Média MED TEE MED TES MED TEF MED TET MED TEBD RES TEE RES TES RES TEF RES TEBD CMS TMS CMF1 TMF1 CMF TMF ROSV1 TMSV1 ROSV TMSV ROSBD TMSBD 9,8 9,77 4,73 16,49 16,40 00,56 003,34 799,56 106,6,15 35,3 1,10 1,44 1,05 0,83 0,5 10,0 0,5 10,7 0,49 8,01 19,56 19,57 97,51 4,48 7, , ,38 300, ,80 1,133 7,69 0,57,45 0,56 1,8 0,37 14,5 0,37 14,5 0,36 10,05,79,78 75,96 3,55 8,48 171, ,96 513, ,98 3,49 113,01 1,78 80,5 1,71 77,85 0,63 8,59 0,6 8,58 0,71 0,08 A fração do tempo em que o servidor do banco de dados está sendo utilizado (ROSBD) praticamente não é alterada quando o número de processadores é ampliado. Isto faz sentido já que estes têm as mesmas características, ou seja, mesmas taxas para atendimento e probabilidades iguais para serem utilizadas, contudo, existe um único banco de dados. O conjunto de parâmetros 3 é o que apresenta maior fração de tempo em que o servidor do banco de dados está sendo utilizado (ROSBD) devido principalmente a tomar 1/γ = 0 (demora no BD) e q = 0,8 (alta probabilidade de utilizar o BD). Entre os conjuntos de parâmetros 1 e, a maior distinção que se pode observar é a probabilidade de se realizar feedback, sendo o dobro para o conjunto 1 (0,4), explicando talvez que este tenha obtido maior fração que o conjunto. Esta análise pode ser estendida para as medidas TMS, CMS, CMFi e TMFi para i = 1,,3 e, para tanto foram confeccionados os gráficos 1 e. O comportamento observado para TMS e CMS é idêntico aos comportamentos revelados pelas medidas CMFi e TMFi para i = 1,,3. Isto ocorre devido a existir igual probabilidade do freguês entrar em qualquer um dos processadores. A única diversidade existente é, portanto, relativa aos conjuntos de parâmetros distintos. Algumas medidas foram calculadas para analisar a validade do simulador. A medida TMSBD, por exemplo, foi calculada para verificar o nível de aproximação desta, fornecida pelo simulador, em relação ao teórico (1/γ), com o objetivo de obter maior segurança em analisar as informações sobre o BD. Pelas tabelas pode-se verificar que esta aproximação é bastante eficaz. Intervalos de confiança foram obtidos para todos os cenários de simulação ressaltando-se que forneceram pouca amplitude, ou seja, demonstraram haver boa precisão.

8 Tabela 5: Medidas para a Fila M/M/3-S. Conjunto de Parâmetros 1 3 Variável Média Média Média MED TEE MED TES MED TEF MED TET MED TEBD RES TEE RES TES RES TEF RES TEBD CMS TMS CMF1 TMF1 CMF TMF CMF3 TMF3 ROSV1 TMSV1 ROSV TMSV ROSV3 TMSV3 ROSBD TMSBD 9,63 9,53 4,14 15,86 15, ,06 019,60 795,4 103,18 1,85 9,54 0,61 17,54 0,63 17,78 0,6 18,00 0,38 11,01 0,39 11,06 0,38 11,00 0,50 8,0 19,33 19,11 96,74 4,0 7, , ,3 98,54 105,44 1,04 5,18 0,35 19,95 0,35 0,06 0,36 0,44 0,6 15,6 0,6 15,14 0,7 15,15 0,37 10,05,7,40 74,86 31,97 8, ,10 171,06 51, ,3 3,3 103,04 1,05 70,97 1,09 7,37 1,10 73,09 0,51 34,45 0,51 34,1 0,51 34,01 0,7 0, A distribuição do número de vezes que um freguês é atendido no banco de dados antes de se retirar do sistema Um resultado que pôde ser obtido por cálculo de probabilidades é a distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta número de vezes que um usuário é atendido no BD antes de se retirar do sistema, denotada simplesmente por K. Deve-se ressaltar que o resultado pôde ser obtido devido a depender unicamente de p e q, ou seja, independe de λ, γ e µ. Desta forma, independe dos tempos de serviço, ficando em função da entrada no banco de dados e da realização do feedback. Condicionando os eventos e considerando todas as possibilidades de saída do sistema, obteve-se j (1- p) q n n 1- p p(1- q) P(K = 0) = [p(1- q)] = p 1-q n> j j p 1-p(1-q) e j n n [p(1- q)], para j = 1,,3... n j j (1- p) q P(K = j) = p 1-q Deve-se observar que o resultado é bastante geral, pois independe do número de processadores e do valor de suas probabilidades de entrada, podendo-se inclusive utilizar probabilidades distintas para cada processador. Para exemplificar o funcionamento da distribuição de probabilidade, foram calculados os seus valores (probabilidades) para os 3 conjuntos de parâmetros distintos, construindo-se o gráfico 3.

9 TMS Proc. Proc. 3 Proc. Conjunto 1 Conjunto Conjunto 3 Processadores Gráfico 1: Tempo médio de residência no sistema em função do número de processadores e dos conjuntos de parâmetros. CMS Conjunto 1 Conjunto Conjunto Proc. Proc. 3 Proc. Processadores Gráfico : Conteúdo médio do sistema em função do número de processadores e dos conjuntos de parâmetros. P[K=j] 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, p=0,4; q=0,6 p=0,; q=0,7 p=0,3; q=0,8 0, Gráfico 3: Análise da distribuição de probabilidade do número de vezes que um freguês utiliza o banco de dados antes de se retirar do sistema. j

10 4.3- A estrutura de autocorrelação do sistema de filas M/M/n-S A estrutura de autocorrelação do sistema de filas M/M/n-S, com bloqueamento e feedback Bernoulli pode ser considerada fraca, o que já era esperado devido a análise realizada anteriormente, na qual, mesmo no período transitório inicial, os valores de autocorrelação obtidos foram muito baixos. Segundo Fishman (1996) uma autocorrelação pode ser desprezada (ou inexistente) se seu valor for abaixo de 0,05 o que ocorre com grande freqüência neste sistema. Considerando-se as variáveis TEE, TEBD, TES, TEF e TET, após o período transitório inicial, ou seja, em equilíbrio, os valores de autocorrelação foram obtidos sendo muito pequenos, mesmo para lag As distribuições de probabilidade dos tempos entre ocorrências A distribuição exponencial é muito utilizada para descrever tempos entre ocorrências de processos imersos em filas, devido suas propriedades, que facilitam bastante as análises realizadas (Mitrani, 1998). Contudo, em várias ocasiões não se consegue ajustar esta distribuição para tempos entre ocorrências, principalmente para sistemas mais complexos, com processos que se misturam, interagindo no sistema que descrevem. Vários software têm sido desenvolvidos com o objetivo de ajustar distribuições de probabilidade a observações que não são reveladas analiticamente. Para tanto, os testes não paramétricos obtidos para esta finalidade, são importantes para estes software, que os utilizam em conjunto, para conseguir maior confiabilidade nos ajustes. Os testes mais utilizados são o Qui- Quadrado (QQ), o Kolmogorov-Smirnov (KS) (Conover, 1980) e o Anderson-Darling (AD). O software utilizado neste trabalho é o BestFit 4.0, adquirido em 000, bastante atual e com possibilidade de ajustar 8 distribuições de probabilidade. Os tempos entre ocorrências coletados na simulação e submetidos aos testes são TEE, TES, TEF,TET e TEBD com 100 rodadas de simulação para cada um dos tempos coletados e em cada um dos cenários. Para se considerar algum dos tempos coletados ajustado a uma distribuição utilizou-se o critério de pelo menos dois dos testes não rejeitarem o ajuste em 95% dos casos. Além disso, o software realiza um rank das distribuições mais prováveis a serem ajustadas, auxiliando na análise. Desta forma, obtiveram-se os resultados que podem ser vistos a seguir. Tabela 6: Resultados dos testes para ajustamentos de distribuições de probabilidade utilizando o software BestFit 4.0, com 95% de confiança. Medida Número de Processadores Conjunto de Parâmetros Distribuição Ajustada TEE 3 Exponencial TEE 3 Exponencial TEE 3 3 Exponencial TET Exponencial TET 3 Exponencial TET 3 1 Exponencial TET 3 Exponencial TET 3 3 Exponencial Verifica-se que somente a distribuição exponencial pôde ser ajustada e sempre para os tempos entre entradas e tempos entre términos. Os outros tempos entre ocorrências se mostraram inconsistentes, ou seja, alternavam as distribuições, ou então rejeitavam todas as distribuições para ajuste. Nota-se também que nenhum tempo entre ocorrências foi ajustado para a fila com 1 processador e que o conjunto 1 de parâmetros aparece uma única vez. São resultados de difícil interpretação visto que nem todos os tempos, para entrada e término, apresentaram a distribuição exponencial. Abaixo coloca-se o gráfico 4, para o ajuste de uma distribuição exponencial pelo BestFit, típica aos dados do sistema analisado.

11 Valores x 10^-5 5 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1 0,5 X <= 560,41,5% Exponencial X <= ,5% Valores em Milhares Gráfico 4: Ajuste exponencial típico para os dados analisados, utilizando-se o software BestFit Conclusões Gerais Tratou-se de simular as filas M/M/n-S com bastante cuidado em relação ao período transitório inicial, ao problema da autocorrelação, ao método de coleta de dados, entre outros. Pôde-se obter várias informações sobre valores médios e sobre a fraca estrutura de autocorrelação do sistema necessitando então de um pequeno descarte de observações relativo ao período transitório inicial. Foi possível também obter um resultado analítico por este não depender dos parâmetros das distribuições de tempo do sistema e ajustar distribuições de probabilidade exponenciais em alguns tempos entre ocorrências. Ainda, conclui-se que a mudança de 1 processador para é bem salutar para o sistema, otimizando seu funcionamento, para os parâmetros utilizados, sendo que utilizar 3 processadores ao invés de não modifica significativamente o desempenho do sistema, como observado nos gráficos 1 e. Como pesquisa futura, pode-se tomar probabilidades distintas para cada um dos processadores que recebem os fregueses que entram nos processadores. Uma outra hipótese, além desta, é de se ampliar o número de bancos de dados mantendo o bloqueamento sempre que todos estiverem ocupados. Também, pode-se ainda utilizar diferentes tempos de atendimento para os servidores dos processadores, tornando o sistema mais interessante de ser analisado. 5- Bibliografia BANKS, J.; CARSON, J.S.; NGO SY, J. Getting started with GPSS/H. Annandale, Wolverine Software Corporation, CONOVER, W.J. Pratical nonparametric statistics. nd ed. John Wiley, New York, d AVIGON, G.R.; DISNEY, R.L. (1977) Queues with Instantaneous Feedback. Manag. Sci, 4, p

12 DISNEY, R.L.; KÖNIG, D. (1985). Queues Networks: a Survey of their Random Processes. SIAM Rev. 7(3), p DISNEY, R.L.; McNICKLE, D.C.; SIMON, B. (1980). The M/G/1 Queue with Instantaneous Bernoulli Feedback. Naval Res. Log. Quart., 7, p FISHMAN, G. S. Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications. Springer-Verlag, New York, MITRANI, I. Probabilistic Modelling. Cambridge University Press, Cambridge, PAWLIKOWSKI, K. Steady-State Simulation of Queueing Processes: A Survey of Problems and Solutions. ACM Computing Surveys v., p.13-69, PERROS, H.G.. Queueing Networks with Blocking. Oxford Univ. Press, SISKY, R. Introduction to Congestion Theory in Telephone Systems. North-Holland, WALRAND, J. An Introduction to Queueing Networks. Prentice-Hall, WHITE, K. P. Jr. An Effective Truncation Heuristic for Bias Reduction in Simulation Output. Simulation. v. 69:6, p , 1997.

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