COMPUTACIONAL. Tarcisio Praciano-Pereira 1. Universidade Estadual Vale do Acaraú Sobral, 26 de janeiro de tarcisio@member.ams.

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1 CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL. Tarcisio Praciano-Pereira 1 Universidade Estadual Vale do Acaraú Sobral, 26 de janeiro de tarcisio@member.ams.org

2 Edições Lab. de Matemática Computacional Universidade Estadual Vale do Acaraú Sobral - Ce copyleft by Tarcisio Praciano Pereira Praciano-Pereira, Tarcisio P496c Cálculo Numérico Computacional. Sobral: UeVA, Sobral, 26 de janeiro de p Bibliografia ISBN: Linguagem - Computação - C/C Cálculo Numérico. I. Título CDD 515.1

3 Sumário 1 A derivada aproximada derivada Quocientes de diferenças de ordem superior Polinômios de Taylor Derivadas parciais Solução de alguns exercicios Vocabulário Raízes aproximadas Raízes por varredura Método computacional básico Busca de raízes por varredura A troca de sinal Análise de um programa Raíz do tipo secante Método da secante Quando a derivada é zero O método da tangente Como funciona o método da tangente Quando o método não funciona A precisão do método Método da busca binária Encontrar raízes, sumário Interseção de gráficos Recursividade exemplos raíz quadrada Fundamentos da convergência de iteradas O algoritmo babibilônio é convergente Exercícios Solução de alguns exercicios ii

4 4 Splines Aproximação polinomial clássica Análise de dois casos particulares A solução geral do problema Interpolação polinomial de Lagrange Funções polinomiais por pedaços sensor aproximação Quase-splines polinomiais Valor médio integral Splines cúbicos convolução suporte compacto Solução de alguns exercicios Vocabulário Integral aproximada soma de Riemann Integração geométrica Somas de Riemann Integral no sentido de Riemann propriedades da integral Cálculo numérico da integral trapésio polinômios Apresentação do método Integral num sub-intervalo quasi-splines E.D.O Método de Euler Método de Taylor segundo grau grau maior do que dois Índice Remissivo Alfabético 211 Bibliografia 211 iii

5 Lista de Figuras 1 Retângulos para aproximar uma integral ix 3 Uma aproximação spline de uma curva xi 1.1 A pedra, quando o cordão se rompe Taxa de variação Dados obtidos com um sensor Dados obtidos por um sensor mais preciso Curva que interpola os dados interpolação não linear Qual pode ser o gráfico de f? grafico de f analisando f Dados amostrais Reta tangente ao gráfico de f Raízes de f no intervalo [α, β] Partição do intervalo I Malha sobre uma região do plano Vários representantes da única raiz O método das secantes Fluxograma - método da secante Num ponto de tangência, tipo parabólico Quando a derivada é zero Uma sequência de retas tangentes Duas tangentes se reproduzindo indefinidamente Interseção de curvas Região cuja área queremos calcular área limitada por duas parábolas área limitada por duas curvas Determinação de Ponto inicial menor do que a Ponto inicial maior do que a Uma reta interpola dois pontos A reta e o fenômeno real iv

6 4.3 Duas soluções do problema homogêneo O teorema do módulo máximo Aproximação linear por pedaços - 1-spline interpolação polinomial dos pontos Polinômio de Lagrange Aproximação de uma função Derivada, tangente e Teorema do Valor médio Uma função positiva cuja integral é Definição geométrica - produto de convolução O significado geométrico de três valores Correção pelo valor médio numa vizinhança de c Média viciada Núcleos ou pulsos unitários quadrado de convolução da função característica splines Comparação: polinômio de Lagrange e splines Comparação: polinômio de Lagrange e splines - quando os nós ficam uniformente próximos Regularização por convolução Trapésios para aproximar área Soma de Riemann R 5.3 retângulos da soma de Riemann para x 2 + 2x área do trapésio é uma média aritmética Gráfico do polinômio por pedaços Modelagem com polinômios por pedaços Uma poligonal-solução aproximada O método de Euler - uma poligonal solução aproximada de y = x y v

7 Introdução Faça apenas uma leitura superficial desta introdução como primeira leitura. Volte a lê-la depois mais algumas vezes até que ela lhe pareça mais clara. No início será difícil entendê-la por completo, porque ela fala de assuntos que serão objeto do trabalho do livro. Mas, ainda assim, o seu lugar é aqui mesmo, no início... O autor deste livro sente responsabilidade leitor@ e quer disponibilizar material complementar que incluir no texto o deixaria demasiado longo. Para isto há uma página na Internet em que o material complementar do livro pode ser encontrado, entretanto os links para páginas na Internet podem mudar e o endereço do autor é mais estável, havendo dificuldade com algum link, me envie um para tarcisio@member.ams.org, mas não se esqueça de que eu não posso lhe dar cursos particulares via , use este recurso de forma cuidadosa. Há duas áreas muito produtivas e com objetivos e métodos diferentes em que se utiliza o computador para fazer Matemática ou para aplicar Matemática: Matemática aplicada e computacional, é a terminologia brasileira, que ainda se chama de computação científica; Um ramo da matemática aplicada e computacional é análise numérica que é onde se encontra a nossa disciplina, o cálculo numérico. O nosso trabalho se enquadra, portanto, nesta área, computação científica e neste caso os programas que usamos como auxiliares, neste livro são scilab, gnuplot, calc, e algumas linguagens de programação como C, C++, Python. Todos estes itens podem ser, em geral, encontrados nas distribuições Linux. Computação algébrica que tenta, com razoável sucesso, substituir o cálculo aproximado pelo cálculo formal. Representantes deste trabalho são Maxima um pacote de computação algébrica de domínio público que em geral é encontrado nas distribuições de GNU/Linux ; Pari um pacote de computação algébrica voltado para Álgebra, de domínio público; MuPad um pacote de computação algébrica publicado por um grupo de matemáticos da Universidade Paderborne (Alemanha) que é distribuido com uma licença amigável para usuários individuais, mas normalmente vendido; Maple um pacote de computação algébrica publicado por um grupo de universidades do Canadá e Estados Unidos, que é vendido por um preço não muito acessível; Reduce que é semelhantes aomupad, do ponto de vista de distribuição; vi

8 e há outros que são francamente comerciais e não vemos razão para citá-los aqui. A sintaxe usada no Maxima, MuPad, Maple é muito semelhantes, de modo que quem já usou algum deles, facilmente migra para outro, e naturalmente, sugerimos que se migre para Maxima que é distribuido sob GPL. Metodologia de comunicação O texto é completado com observações de dois tipos. Um dos tipos se chama claramente observação, o outro são as notas de rodapé. Você deve ler as observações na ordem em que elas aparecerem, mas sem lhes dar muita importância numa primeira leitura. Em geral elas são apresentadas com letra pequena, para salientar o fato de que você lhe deve dar pouca atenção, numa primeira leitura. Para lhe permitir uma busca mais acurada de informações, o livro tem um índice remissivo alfabético, ao final, em que todos os conceitos que surgem nas observações se encontram indexados, de forma que você poderá facilmente retornar a eles quando achar necessário. Também se encontram indexadas todas as palavras-chave do texto. Quando falamos usamos encenação para completar o sentido das palavras usadas no discurso: mexemos as mãos, o corpo e alteramos a entonação da voz. Para suprir um pouco deste teatro usaremos uma convenção tipográfica: texto em itálico representa material que você deve olhar com cuidado, possivelmente não está definido ainda e estamos usando a concepção intuitiva do termo. Quando usarmos texto tipográfico estaremos fazendo referência a um termo técnico já definido anteriormente ou considerado bem conhecido como tal. As palavras da linguagem C serão escritas no estilo tipográfico. Quan-do usarmos letra pequena estamos lhe querendo dizer que o assunto é polêmico e que há muito mais coisa para ser dito do que estamos conseguindo dizer naquele momento. Usamos texto sublinhado para chamar sua atenção de um detalhe que poderia passar desapercebido, tem o mesmo sentido texto em negrito. O que é Cálculo Numérico Acima dissemos que este livro é sobre Cálculo Numérico e queremos agora dizer-lhe qual é o planejamento do nosso trabalho, porque há muitas formas de desenvolver esta disciplina e nós vamos escolher uma que não precisa ser melhor do que qualquer outra, apenas traduz a nossa preferência. Se você gostar do nosso trabalho, insistiremos em que leia outros autores para completar a sua visão. De uma forma simplificada é repetir o Cálculo Diferencial e Integral calculando, aproximadamente, aquilo que é obtido formalmente na outra disciplina; Resolver, numéricamente, algumas questões que o Cálculo consegue apenas mostrar que tem solução; Por exemplo; determinações de valores, números, raizes de equações para os quais o cálculo formal pode ser longo ou muito complexo, isto é feito aqui no capítulo 0. vii

9 criação de modelos semi-formais para representar dados de um fenômeno, este é o objeto do capítulo 0 mas o capítulo 0 também representa este item. cálculo de algumas integrais para as quais não existem fórmulas, este é objeto do capítulo 0. soluções aproximadas de equações diferenciais, isto é feito aqui, muito moderadamente, no capítulo 0, é somente uma introdução. Associar uma linguagem de programação, ou pacotes computacionais para realizar o projeto acima descrito. Vamos discutir detalhadamente cada um dos tópicos que levantamos anteriormente. É preciso lembrar que não é fácil explicar o desconhecido e até poderiamos questionar a validade de uma introdução como esta. A idéia de tentar explicar o que faremos tem sentido ainda assim, porque em parte estamos falando de tópicos que os leitores deste livro já estudaram, no Cálculo Diferencial e Integral e cujos aspectos esta disciplina irá desenvolver com outro objetivo. Mas estamos nos referindo a itens novos também e a razão é lhe oferecer um plano do trabalho. Suas perguntas, entretanto, podem fornecer ao expositor ganchos valiosos na tentativa de deixar as coisas mais claras. O autor também se sentirá agradecido se os leitores tiverem a bondade de lhe mostrar o que não gostaram no texto. Raízes de uma função Este é o assunto do capítulo 0. Para a determinação das raízes de uma função vamos fazer uso de programas que apresentaremos resumidamente no texto. Os programas se encontram disponíveis em endereço citado na biliografia. A busca de raízes é um assunto que não é diretamente discutido nos Cursos de Cálculo. Cálculo de integrais O cálculo de integrais é um dos itens mais importantes do Cálculo Diferencial e Integral. Sua importância supera a própria conceituação da integral, como cáculo de área ou volume. A integral é um método que se insere em outras definições, um exemplo bem simples disto são os conceitos qualificados com quantidade de, como é o caso de quantidade de movimento; quantidade de exposição à irradiação; número de moléculas ou virus em determinado vetor. Aqui há duas versões do problema: há integrais que não sabemos calcular formalmente, viii

10 ou, mesmo sabendo, o cálculo formal é muito complexo ou longo para certas aplicações, como nas telecomunicações, por exemplo. e o resultado é que se torna mais prático calcular estas integrais aproximadamente. Um dos instrumentos para o cálculo aproximado de integrais é a Soma de Riemann. Como instrumento, está longe de ser o melhor, mas os métodos melhores usam-na como método auxiliar. Porisso começaremos por discutí-la. Veja na figura (fig. 1), o que é uma soma de Riemann. 10 Soma de Riemann para f; passo=0.2 data Figura 1: Retângulos para aproximar uma integral Nela você pode ver o domínio de integração subdividido em diversos intervalos e um retângulo associado a cada um destes sub-intervalos. A soma das áreas dos retângulos é uma aproximação para a integral desejada. Que precisamos para fazer este cálculo? Quais são as técnicas envolvidas no cálculo de uma integral usando Somas de Riemann? Uma coleção de retângulos, devidamente dimensionados, representam uma área que aproxima a área de uma determinada função. Um programa de computador permite o cálculo rápido de somas e portanto cria as condições para que usemos retângulos com bases ínfimas o que nos conduz a uma grande aproximação. Análise e controle de variação Um exemplo típico, e bem atual, é o da qualidade da corrente elétrica que uma determinada instituição, um hospital, por exemplo, recebe da rede pública (manipulada por empresas privadas...) Veja o gráfico na figura (fig.??), Como se poderia tratar este problema? Qual é o problema? quais são as ferramentas? Surpreendemente, há uma superposição de técnicas a serem usadas aqui e no problema que discutimos anteriormente. Mas há técnicas novas também. Vamos rapidamente analisar o que precisamos. Deixando de lado a coleta de dados, que deveria ser feita por uma placa apropriada instalada em um computador, vamos resolver o problema a partir ix

11 dos dados colhidos. Estamos indicando ao lado de cada uma das etapas o departamento científico responsável pela mesma. Chamamos isto de divisão do trabalho. 1. Leitura e digitalização de dados analógicos recebidos da placa coletora de dados (a digitalização pode ser trabalho da placa); (Computação, Engenharia Elétrica ) 2. Cálculo da variação da tensão criando uma série temporal com estes dados; (Cálculo Numérico e Estatística) 3. Comparação dos piques de tensão com valores maximais selecionados como suportáveis. (Cálculo Numérico Engenharia elétrica) 4. Decisão, em tempo real, sobre conexão ou desconexão de aparelhos, com desvio para nobreakes ou outro tipo de alimentação de segurança. (Computação e Engenharia Elétrica); 5. O cálculo de uma integral faz o registro do consumo da energia elétrica recebida... (quantidade de energia que passou pela placa controladora), calcula médias, desvios. (Cálculo Numérico Tangente, derivadas. Para que servem. Examine a figura (fig. 1.1), página 2. Tangentes e derivada servem pelo menos para colher mangas maduras de árvores. Mas podemos, partindo deste exemplo, atingir um uso mais sofisticado. Como poderiamos colher mangas maduras usando derivada? Indiretamente, é claro. A figura (fig. 1.1) sugere alguma coisa. Queremos lançar uma pedra, amarrada a um cordão, de modo que o cordão fique preso próximo a um conjunto de mangas. Rodamos a pedra preza ao cordão até que ela atinja uma velocidade angular razoável. Quando a pedra, em seu caminho sobre o círculo se encontrar na posição adequada, soltamos o cordão que irá acompanhar a pedra se alojando entre as mangas. Usamos o coeficiente angular instâneo da pedra percorrendo o círculo para escolher a direção certa. O mecanismo é o mesmo quando um computador vai dirigir a trajetória de um foguete. Com as informações guardadas na memória do computador sobre o mapa da Terra em sua órbita, o computador calcula a cada milésimo de segundo qual deve ser o coeficiente angular relativo do eixo do foguete e desta forma vai corrigindo a rota que levara a nave ao seu destino. O pilôto automático dos grandes aviões comerciais fazem algo parecido. Ao partir o pilôto humano coloca o avião na direção do aeroporto de destino. O piloto automático vai medindo o erros de rota impostos pelo fluxo do ar e calculando a direção para corrigir o erro. Aproximação polinomial de curvas As funções nos fornecem dados dinâmicos sobre diversos fenômenos. Mas nem sempre a natureza se conforma à matemática como nós gostariamos... x

12 A solução é fazermos aproximações para os fenômenos naturais. Há diversos tipos de aproximações vamos analisar uma delas aqui, splines. Splines são uma melhora considerável dos polinômios de Taylor. Precisaremos deste assunto de Cálculo para desenvolver esta forma de aproximação que uma aproximação polinomial por pedaços. A figura (fig. 3) ilustra este tipo de aproximação usando polinômios do primeiro grau o que resulta numa poligonal. O objetivo do curso Discutir os problemas do Cálculo Diferencial e data Integral de modo a encontrar 140 soluções aproxi- 120 madas para este problemas Questionar a validade destas aproximações. 20 Criar a sensação de 0-20 que a solução exata pode ser um mito. Vimos que métodos computacionais são essenciais para desenvolvermos as aproximações. Linguagem de programação Figura 3: Uma aproximação spline de uma curva. Os alunos, seja do curso de Computação, ou do curso de Matemática ou das Engenharias, já deveriam conhecer uma linguagem de programação, a esta altura. Infelizmente isto raramente é verdade. Mas achamos que é preciso forçar a barra, como temos feito com os nossos alunos de Cálculo Numérico, com resultados positivos: ao final do segundo mês de aula a maioria deles já sabe fazer programas e inclusive planejar um pequeno pacote, claro, isto pressupõe que eles tenham acesso a computadores. Na metologia que temos empregado os programas crescem de nível de modo que, se o aluno se empenhar em entendê-los, ficará gradualmente no nível dos mesmos. Nas duas ou tres primeiras semanas temos mantido a preocupação de explicar detalhadamente os programas. Mas aos poucos vamos deixando que o leitor comece a voar sozinho...obviamente, na companhia de um bom livro sobre uma linguagem de programação, e também sob a hipótese de que ele irá encontrar sempre um hacker a sua volta no laboratório de computação de modo a lhe tirar algumas dúvidas (e lhe implantar mais uma dezena...). Vamos adotar a linguagem C, mas ninguém deve se sentir obrigado a nos acompanhar nesta escolha. Use o que houver à sua mão, aquilo que ficar mais fácil, mas que os alunos aprendam a programar. As linguagens de programação de um certo tipo todas se parecem de formas que quando apresentarmos um programa em C facilmente ele poderá ser transformado para a linguagem preferida do leitor. xi

13 Como é que se aprende uma linguagem? Primeiro que tudo metendo a cara, depois perguntando muito a quem já sabe um pouco mais, e sem dar muita importância ao semblante de incomodado que algumas pessoas possam fazer... quem sabe um pouco mais, aprendeu perguntando aos outros. Pergunte! incomode inclusive o professor! use o seu endereço eletrônico para tirar suas dúvidas, mas não se esqueça de que será o seu esforço pessoal que será decisivo. Procure economizar a paciência dos outros, tente descobrir você sozinho como fazer as coisas. Este é seguramente o melhor aprendizado: quando você mesmo descobre. Estamos convencido de que o uso de computação no ensino de Matemática enriquece fortemente a experiência do aluno porque permite introduzir uma dinâmica que giz e quadro nã conseguem mais gerar ante uma nova mentalidade gráfica que está presente em nós todos. Isto vale para qualquer outra profissão e nós não tentariamos convencer os alunos de computação desta verdade. Vamos listar algumas linguagens de programação parecidas com C 1. Pascal, e você certamente vai encontrar [18] na biblioteca que lhe pode conduzir a dominar esta linguagem. 2. Python, é uma linguagem de domínio público que se encontra disponível em todo sistema Gnu/Linux. Nestes sistemas você encontra um tutorial sobre esta linguagem no diretório /usr/doc/python/tutorial. 3. Java, praticamente de domínio público, se encontra disponível em todo sistema Gnu/Linux 4. Computação Algébrica. Domínio público ou relativamente livres MuPad, Reduce, Maxima Comerciais - não aconselhamos! Maple, Derive 5. Cálculo Numérico, domínio público SciLab Octave 6. Cálculo Numérico, comercial MatLab. Scilab, Octave fazem tudo que MatLab faz. Os programas distribuidos sob o GPL, General Public License, são de excelente qualidade. Ninguém mais precisa, hoje, pagar, para ter um computador funcionando, além do preço da máquina... Este livro, todos os programas que o acompanham, todo o trabalho de pesquisa do autor, se desenvolve inteiramente com programas de domínio público rodando em ambiente Linux. xii

14 Capítulo 1 A derivada aproximada A taxa de variação de f é uma das informações mais importantes que podemos ter sobre um fenômeno descrito por f. O Cálculo Diferencial e Integral define a derivada, usando o limite da taxa de variação ou a taxa de variação instantânea A taxa de variação é definida por um quociente de diferenças e esta é a definição básica que iremos usar neste capítulo. 1.1 Quociente de diferenças Uma função f é diferenciável se em cada ponto do domínio o gráfico graf(f) tiver uma reta tangente A reta tangente no ponto (a, f(a) tem um coeficiente angular m e nós diremos que f (a) = m. A função derivada, f é uma outra função que descreve as derivadas de f e portanto as taxas de variação instantâneas de f. No Cálculo dizemos que a derivada define a reta tangente ao gráfico, aqui preferimos inverter a forma de falar porque vamos criar modelos, funções, a partir de dados amostrais e a taxa de variação será frequentemente um desses dados amostrais. Este primeiro capítulo é dedicado a uma revisão do Cálculo Diferencial e Integral e de programação como um alerta daquilo que você precisa saber para o desenvolvimento dos demais capítulos. Observe a figura (fig. 1.1) em que estamos simulando o que acontece com uma pedra que alguém esteja rodando presa a um cordão e que, num certo momento, o cordão (provavelmente podre) se rompa. A pedra memoriza o último coeficiente angular que o seu movimento tinha sobre o círculo e segue em movimento uniforme não acelerado 1 pela reta tangente. Assim o coeficiente angular da reta tangente é o coeficiente angular instantâneo da trajetória da pedra no círculo. 1 falso, obviamente, porque a aceleração da gravidade está presente 1

15 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 2 Aqui se quebrou o cordão Ao se quebrar o cordão, a pedra sai pela tangente Figura 1.1: A pedra, quando o cordão se rompe Se f representar a parte da equação do círculo onde vemos a pedra ainda presa ao cordão, e t 1 for o valor do parâmetro no ponto em que o cordão se rompeu, então f (t 1 ) é a derivada de f no ponto (t 1, f(t 1 ))) (1.1) Para dizer o mesmo que dissemos acima, o professor de Cálculo considera a seguinte figura (fig. 1.2) em que podemos ver uma reta tangente e três retas Tangente e uma sucessão de secantes a a+h (f(a+h) f(a))/h Taxa de variação Figura 1.2: Taxa de variação secantes. As retas secantes são aproximações da tangente. Na figura (fig. 1.2) estão indicados apenas dois valores para o parâmetro a, a + h mas temos alí as secantes correspondentes a três valores: a 1, a 2, a 3 e o o cálculo do coeficiente angular, das secantes, é feito assim: m 1 = f(a 1) f(a) a 1 a (1.2) m 2 = f(a 2) f(a) a 2 a (1.3)

16 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 3 m 3 = f(a 3) f(a) a 3 a (1.4) Quanto mais próximo estiver a i de a mas preciso será o valor do coeficiente angular da secante, relativamente ao desejado coeficiente angular da tangente. Veja mais abaixo onde estamos explicando um método prático para cortar um círculo em um folha de papel como um exemplo do que é aproximação. O coeficiente angular da tangente é o limite das taxas de variação. Como nem sempre podemos calcular o limite, seja recortando círculos em papel (ou colocando foguetes em órbita), muita vezes temos que nos contentar com o coeficiente angular de uma reta secante, tentando minimizar o erro disto decorrente, ou tentando corrigir o erro ao longo do processo. Relembrando a equação da reta tangente f(x 1 ) f(a) x 1 a f(x 1 ) f(a) x 1 a f (a) (1.5) = m = f x = a(f) (1.6) y 1 y 0 = f(x 1 ) f(a) = m(x 1 a) (1.7) f(x) f(a) = f (a)(x a) + o(x a) (1.8) Vamos parar um pouquinho nas últimas equações. f(x) f(a) f (a)(x a) (1.9) y f(a) = f (a)(x a) (1.10) A equação 7 representa a relação entre os lados de um triângulo sobre a reta secante que passa nos pontos (a, f(a)), (x 1, y 1 ). As equações 8 e 9 são equivalentes, representam a aproximação que a reta tangente fornece para os valores de f. Na equação 8 o erro está representado com a notação o(x a), o o pequeno de Landau 2 Na equação 8 estamos indicando com o termo corretor o(x a) que a equação da reta fornece o valor de f(x) com este erro: o(x a) A última equação, 10, é simplesmente a equação da reta tangente: y b = m(x a) ; b = f(a), m = f (a) Escrevemos a equação 8 com o termo corretor, o(x a) porque a expressão y f(a) = f (a)(x a) (1.11) é a equação de uma reta e o gráfico da função não precisa ser uma reta 3 então a igualdade representada pela reta está errada e é isto que estamos representando com o termo de correção o(x a). É uma forma prática de indicar que existe um erro sem precisar entrar no detalhe do valor do erro. 2 A notação dos o s de Landau nos ajudam a falar de aproximação de uma forma prática escondendo a precisão, veja mais a respeito no índice remissivo 3 compare as equações 8 e 10

17 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 4 Observação 1 Porque falar em aproximação Falaremos seguidamente de aproximação, neste livro. Podemos dizer que Cálculo Numérico faz de forma aproximada o que o Cálculo Diferencial e Integral diz que faz exatamente. Porque falar que as secantes são aproximações da tangente? Veja a seguinte experiência que você certamente já fez 4. Suponha que você deseje recortar um círculo em papel. A geometria nos ensina que as tangentes a um círculo são perpendiculares ao raio. Assim, se Posição da tesoura, perpendicularmente, ao raio do círculo quisermos recortar um círculo em papel, devemos marcar o centro e ir mantendo a tesoura a distância constante do centro e sempre perpendicular a uma reta (imaginaria...) que parte do centro. Mas, quando você aciona a tesoura, você corta um pequeno segmento de reta, que dizer que você está na verdade recortando um polígono com um número de lados tão grande que lhe parece que o resultado é um círculo. Você não está cortando tangentes, mas sim secantes. Mas você queria que fossem tangentes. O resultado é uma aproximação e você, em geral, ficará satisfeito com ela. Mas não é apenas uma situação tão simples quanto recortar círculos em papel que nos interessam. Há situações bem mais importantes, como como colocar um satélite em órbita para tornar possível as comunicacações. O método é bem parecido com o da construção de círculos em papel com tesoura. No capítulo final, quando discutirmos equações diferenciais, estaremos mostrando como é parecido, recortar círculos em papel, e colocar um foquete em órbita em que um computador, substituindo a tesoura, estará corrigindo a trajetória do foquete e fazendo-o percorrer pequenos segmentos de reta de algumas centenas de kilómetros. Corrigindo assim a trajetória para que o foguete atinja uma órbita (elíptica ) desejada. Portanto, para aprender a colocar foguetes em órbita no último capítulo, vá logo treinando com papel, tesoura e círculos... O Cálculo Diferencial e Integral algumas vezes deixa uma sensação de que derivadas e integrais podem ser sempre calculadas exatamente. O Cálculo tem a sua função e aqui nós temos a nossa de corrigir o otimismo do Cálculo. Vejamos 4 e se não tiver feito, use a primeira oportunidade para executar a experiência que estamos aqui relatando...

18 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 5 no seguinte exemplo como podemos usar derivadas aproximadas como a única opção disponível. Exemplo 1 Sensor e levantamento de dados Veja na figura (fig. 1.3) página 5, Dados amostrais x 1 x x x x Figura 1.3: Dados obtidos com um sensor Lendo a figura podemos dizer, sobre o fenômeno descrito, que houve um descrescimento de x 1 para x 2 ; de x 2 em diante o fenômeno apenas cresceu; houve um crescimento considerável entre x 3 para x 4 ; o crescimento entre x 4 para x 5 foi relativamente reduzido. Mas esta impresão visual poderia ser tornada efetiva se usassemos um sensor de geração mais recente que fosse capaz de fazer micro medições ao redor de cada ponto, veja na figura (fig. 1.4) página 6, Na figura (fig. 1.4) estamos indicando que, em cada um dos pontos que o sensor mediu, ele também fez três medições a pequenos intervalos de tempo. Estas micro-medições nos permitem calcular a taxa de variação do fenômeno em cada um dos pontos: f(x 12 ) f(x 11 ) x 12 x 11 ; f(x 22 ) f(x 21 ) x 22 x 21 ; f(x 13 ) f(x 12 ) x 13 x 12 (1.12) f(x 23 ) f(x 22 ) x 23 x 22 (1.13)

19 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 6 Dados amostrais refinados x x x x 1 x x x x foram tomadas três medidas medidas em cada um dos pontos: x x x i1 i2 i3 Figura 1.4: Dados obtidos por um sensor mais preciso f(x 32 ) f(x 31 ) x 32 x 31 ; f(x 42 ) f(x 41 ) x 42 x 41 ; f(x 52 ) f(x 51 ) x 52 x 51 ; f(x 33 ) f(x 32 ) x 33 x 32 (1.14) f(x 43 ) f(x 42 ) x 43 x 42 (1.15) f(x 53 ) f(x 52 ) x 53 x 52 (1.16) Além de sabermos o valor no ponto, podemos calcular a derivada aproximada da função que descreve o fenômeno. O Cálculo nos ensina que tudo pode ser descrito por alguma função, e isto é certíssimo, apenas nem sempre as funções tem equações algébricas que possamos derivar. Algumas vezes tudo que sabemos sobre estas funções são valores colidos por um sistema de amostragem, como as figuras que acabamos de comentar indicam. Para terminar o exemplo, vejamos mais duas figuras. A figura (fig. 1.5) página 7, nos apresenta uma interpolação linear dos dados, quer dizer, tudo que sabiamos eram os valores obtidos em cada ponto, e os segmentos de reta alí desenhados nos sugerem qual poderia ser o valor do fenômeno em pontos intermediários entre aqueles em que foram tomados medidas. Veja agora na próxima figura, (fig. 1.6) página 8, em que, usando as taxas de variação obtidas em cada um dos pontos, pudemos traçar uma curva não poligonal 5 interpolante descrevendo melhor o que acontece nos pontos intermediários. 5 retas, são curvas, poligonais, são curvas, e tem curvas que não retas...

20 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 7 Interpolação linear dos dados x 1 x x x x Figura 1.5: Curva que interpola os dados Vamos ver como fazer isto no capítulo 0, esta curvas interpolantes serão pedaços de polinômios. Agora, com as taxas de variação podemos descrever melhor o fenômeno medido. Lendo o gráfico contido na figura (fig. 1.6), podemos dizer Há um ponto de mínimo do fenômeno entre os pontos x 1 e x 2 ; o crescimento abrupto que parecia acontecer entre x 3 e x 4 de fato acontece num pequeno pedaço deste intervalo, a partir do ponto médio. também houve um crescimento abrupto próximo do ponto x 5. Observe que a interpolação linear não nos permitia tecer nenhuma dessas considerações. Sem o conhecimento da taxa de variação em cada um dos pontos, tudo que podemos fazer é uma interpolação linear que descreve um comportamento uniforme entre os pontos em que as medições foram feitas. Este exemplo nos mostra uma situação bem concreta do dia-a-dia em que a derivada formal seria inútil 6. A derivada tem que ser obtida aproximadamente a partir de algumas medições finas tomadas em alguns pontos escolhidos. O exemplo também nos mostra a importância da derivada como informação complementar. 6 mas se você estiver deduzindo que o estudo do Cálculo é inútil, engana-se. Precisamos de teorias formais, para produzir a técnica e as aproximações, mas isto é uma história mais longa, envolva o professor nesta discussão...

21 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 8 Interpolação não linear dos dados x 1 x x x x foram tomadas três medidas em cada um dos pontos: x x x i1 i2 i3 Figura 1.6: interpolação não linear E o qual seria a taxa de variação a ser considerada em cada um dos pontos? Temos três medidas, logo duas taxas de variação. Aqui entra em cena uma decisão típica de quem cria modelos para fenômenos. A média é uma melhor opção, ela corrige possíveis erros de medidas. Um bom sensor tomaria não tres medições mas certamente uma dezena de micromedições o que permitiria uma boa média. Voltaremos a discutir interpolação mais a frente. Resumindo, a (f) = f x representa o coeficiente angular de uma reta secante que desejamos que seja uma aproximação da reta tangente; f (a) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). Usaremos, quando a técnica nos permitir, o valor médio de uma coleção de taxas de variação, obtidas com micro medições, para representar (aproximar) f (a). Nos exercícios seguintes, você será solicitado a calcular a derivada aproximada de funções cuja derivada você sabe calcular exatamente. Desta forma você poderá comprender melhor a derivada aproximada, comparando-a em casos em que temos a derivada exata disponível.

22 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 9 Exercícios 1 Derivada aproximada Notação a (f) = f(a+ x) f(a) x 1. micro medições Considere a função f(x) = (x + 3) (x 4) e no ponto x = 3 considere as micro-medições (3, f(3)), (3.01, f(3.01)),(3.02, f(3.02)). Calcule 3 (f) = f(3.01) f(3) 0.01 e 3.01 (f) = f(3.02) f(3.01) 0.01 e a média aritmética 3 (f) (f). Compare o resultado com f (3) 2 2. micro medições Repita a questão anterior com o ponto x = 4 com x = Sabendo que f( 1) = 3, f ( 1) = 1 qual dos gráficos na figura (fig. 1.7) página 9, corresponde ao gráfico de f. Justifique sua resposta. f f 1 1 Figura 1.7: Qual pode ser o gráfico de f? 4. Calcule a (f) = f x com f(x) = x2 + 3x + 2 no ponto x = a e com os valores de x indicados x = a x x x Complete a tabela, calculando a diferença (o erro) D = f (a) a (f) = f (a) f x x=a com f(x) = x 2 + 3x + 2.

23 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 10 x = a x f (a) a (f) A seguinte listagem de valores foi obtido por um sensor para os valores de a (f) = f na vizinhança de um ponto. Calcule a derivada média. x Um sensor apresenta a seguinte saída de dados em que o primeiro valor é f(a) e os quatro seguintes são a (f) = f x na proximidades do ponto x=a. (a) Construa, gráfica e algebricamente, a interpolação linear dos dados. (b) Construa, gráfica e algebricamente, uma interpolação não linear da amostragem com quatro dados obtidos pelo sensor em cada ponto. a a (f)(1) a (f)(2) a (f)(3) a (f)(4) f(a) Faça um programa que liste os valores de a (f) de de f (a) para alguns valores de um um intervalo. Use um while() para controlar uma lista de valores. solução derivadas.c, [20]. 1.2 Quocientes de diferenças de ordem superior Se calcularmos a diferença entre dois quocientes de diferenças sucessivos 2 a (f) = a+ x(f) a (f) x estaremos obtendo uma aproximação da segunda derivada. Este é um quociente de diferenças de segunda ordem. Como não podemos calcular a derivada formal, em nossos programas de cálculo numérico, resta-nos a tentativa com os quocientes de diferenças. Aqui

24 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 11 vamos discutir os quocientes de diferença de segunda ordem 2 a(f) = a+ x(f) a (f) x = (1.17) f(a+ x) f(a) =)/ x x (1.18) = f(a+2 x) 2 f(a+ x)+f(a) x 2 (1.19) ( f(a+2 x) f(a+ x) x Não havendo dúvida 7 nós usaremos uma notação mais simples para os quocientes de diferença de segunda ordem: 2 (f) = 2 a (f) (1.20) Enquanto que os quocientes de diferenças de primeira ordem são razoavelmente precisos, quando passamos aos de segunda ordem, é preciso ter muito cuidado com os resultados porque a precisão cai. Veja seguinte listagem obtida com a função: f(x) = (1 x 2 )sin(x/4) Usamos um programa feito em calc que tem uma sintaxe semelhante a da linguagem C, é o programa deriva02.calc que você pode encontrar em [20, programas.tgz]. A listagem foi editada e resumida, você pode rodar e alterar o programa para ganhar mais experiência. Não tema extragar os programas, eles estarão na página à sua diposição quando você cometer erros e não souber como corrigí-los, aprenda, tranquilamente, a alterar os programas. O programa derivada02.calc produz uma saída de dados pronta para usar em um texto com L A TEX. Experimente a versão derivada03.calc que produz o resultado no terminal. As funções d2f() e ddf() são idêndticas. ddf() calcula o quociente de primeira ordem da função df(), que calcula o quociente de primeira ordem de f(), corresponde a equação (17), d2f() calcula diretamente o quociente de segunda ordem usando f(), corresponde a equação (19). Intervalo [0, 10], passo 1, Delta = x d2f ddf exata (f), um quociente de diferenças, e f = f(x 2 ) f(x 1 ), uma diferença, como x = x 2 x 1

25 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 12 Podemos ver nesta listagem erros da ordem de 300% no cálculo aproximado da derivada segunda, e o caso quando x = 6 ou de 3289% quando x = 0 o que mostra que não podemos confiar em cálculos aproximados da segunda derivada usando quocientes de diferença. Mas veremos no capítulo 0 que conseguimos modelar com boa precisão dados discretos (obtidos com sensores) usando apenas aproximações da primeira derivada, esta sim, calculada com quociente de diferenças. No capítulo 0 vamos usar do quociente de segunda ordem, apenas o numerador, quando estudarmos o problema, f(x) = 0 veremos que assim é possível contornar o problema deste erro, ao evitar o quociente, No momento certo voltaremos a discutir esta questão. Exercícios 2 Revisão de Cálculo e computação objetivo adquirir familiaridade com questões de Cálculo e de computação, necessárias ao Cálculo Numérico Computacional. Conscientemente, ignore as questões que você domina, o objetivo não é perder tempo, mas ao mesmo tempo, aprofunde e procure outras questões parecidas com as que você não dominar para aumentar a sua prática. O programa gnuplot é um pacote computacional para fazer gráficos, tem também uma versão que roda em windows que pode ser encontrada aqui, [13]. Nas revisões de programação, você pode usar em programas em Pascal, [18], mas os programas que associados a este livro, que estão aqui, [20], foram escritos em C ou em calc. Você quiser rodar programas em Pascal existe um compilador, gpc, para Linux. 1. Equação da reta que passa num ponto (a) teórica Escreva a equação da reta que passa no (a, b) e tem coeficiente angular m. (b) aplicação Escreva as equações das retas que passam no (a, b) com o coeficiente angular indicado, em cada item abaixo. Faça gráficos procurando ser preciso. Você pode usar gnuplot ou xfig para fazer estes gráficos, mas deve indicar por escrito como fez. no ponto (a, b) ( 1, 3) ( 1, 3) coef. angular m 3 1 no ponto coef. angular (a, b) m ( 1, 3) 1 ( 1, 3) 2 (c) teórica Escreva a equação da reta que passa nos pontos (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ). (d) aplicação Escreva as equações das retas que passam nos pontos indicados em cada um dos itens abaixo. Para cada caso faça gráficos precisos. Você pode usar gnuplot ou xfig para fazer estes gráficos, mas deve indicar por escrito como fez.

26 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 13 P 1 P 1 (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) ( 1, 3) (1, 3) ( 1, 3) (3, 3) P 1 P 1 (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (1, 3) ( 3, 1) (1, 3) ( 2, 5) 2. teoria Reta tangente ao gráfico de uma função Fórmula de Taylor. A derivada de uma função nos fornece o coeficiente angular instantâneo da mesma no ponto: f (a) é o coeficiente angular instantâneo de f em (a, f(a)) (a) teórica Fórmula de Taylor - equação da reta Escreva a equação da reta que passa no (a, f(a)) e é tangente ao gráfico da função neste ponto. Observe que você deseja a equação da reta que passa no ponto (a, f(a)), com coeficiente angular f (a). Faça um gráfico genérico mostrando o que acontece. (b) Aplicação - derivada algorítmica Derivar algortmicamente significa, para este exercício, evitar de fazer todas as contas, represente as contas, não as faça totalmente, deixe que a linguagem de programação calcule por você. Para cada item abaixo faça o gráfico da função e da reta tangente no ponto (a, f(a)) indicado. Você pode usar gnuplot ou xfig para fazer estes gráficos, mas deve indicar por escrito como fez. f(x) = (x + 3)(x 4) a = 3 f(x) = (x + 3)(x 4) a = 4 f(x) = (x + 3)(x 4) a = 0.5 f(x) = sin(x)(x + 1) a = 4 f(x) = sin(x)(x 1)(x 5) a = 2 f(x) = cos(x)(x + 3)(x 4) a = Altere o programa ex01.c para imprimir alguns números. Você encontra este programa aqui, [20, programas.tgz]. 4. Altere o programa ex01.c para que ele escreva quatro termos de uma progressão artimética cujo primeiro termo seja 3 a raão 4. solução: ex02.c 5. Faça um programa que escreva de 0 a 10, use um while(). solução: ex03.c 6. Altere ex03.c para escrever os 10 termos de uma progressão aritmética de razão 3. solução: ex04.c 7. Altere ex04.c para escrever os 10 termos de uma progressão geométrica de razão 2. solução: ex05.c

27 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA Altere ex05.c para escrever os 100 termos de uma progressão geométrica de razão , os juros da simplória cadernete de poupança. solução: ex06.c 9. Altere o programa ex06.c colocando um if() dentro do while() controlando um contador para permitir a visualização do sagrado capital sendo transformado na poupança. solução: ex07.c 10. Escreva um programa que (a) Produza uma progressão artimética de razão 0.5, primeiro termo 3 e o número de termos 10; solução: altere ex04.c (b) Produza uma progressão artimética de razão 5, primeiro termo -3 e o número de termos 10; solução: altere ex04.c (c) uma progressão geométrica de razão 7% com primeiro termo 1000 e com 12 termos. Obtenha outra cuja razão seja 0.5%. Uma delas (qual?) mostra como cresce sua dívida se você usar cheque especial ou cartão de crédito. solução: altere ex07.c 11. Derivada aproximada O quociente f x = f(a + x) f(a) x f (a) (1.21) é uma aproximação do valor da derivada de f no ponto x = a quando x for pequeno. Os próximos itens servem para que você desenvolva a sua intuição com respeito a esta aproximação, faça gráficos bem feitos que permitam você se convencer do seu significado, a precisão com que os gráficos serão feitos é parte essencial da questão, um gráfico mal feito não lhe indicará nada, use papel quadriculado (ou milimetrado). Se você usar gnuplot, ele lhe permite um zoom usando o botão direito do ratinho e você poderá ver assim o detalhe entre as duas retas. (a) Considere f(x) = x 2 2x 3 e encontre a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1, f( 1)). Faça o gráfico. solução: derivada02 01.gnuplot, [20]. (b) Use x = 0.2, calcule o valor aproximado da derivada com este erro, e obtenha a equação da reta tangente no ponto ( 1, f( 1)). Faça o gráfico. solução: derivada02 02.gnuplot

28 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 15 (c) Use x = 0.05, calcule o valor aproximado da derivada com este erro, e obtenha a equação da reta tangente no ponto ( 1, f( 1)). Faça o gráfico. solução: altere derivada02 02.gnuplot (d) Com f(x) = x 2 2x 3 e encontre a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 3, f( 3)). Complete o gráfico anterior. solução: altere derivada02 02.gnuplot (e) Use x = 0.2, calcule o valor aproximado da derivada com este erro, e obtenha a equação da reta tangente no ponto ( 3, f( 3)). Complete os gráficos anteriores. solução: altere derivada02 02.gnuplot (f) Use x = 0.05, calcule o valor aproximado da derivada com este erro, e obtenha a equação da reta tangente no ponto ( 3, f( 3)). Complete os gráficos anteriores. solução: altere derivada02 02.gnuplot 12. Faça um programa que imprima a derivada aproximada, por quociente de diferenças, do item anterior. Aprenda a usar função, em C, solução: derivadas.c 13. Para f(x) = x 2 9 (a) Encontre as retas tangentes ao gráfico de f nos pontos ( 4, f( 4)), ( 3, f( 3)), (0, f(0)) Faça os gráficos. solução: altere derivada02 02.gnuplot (b) Use x = 0.05, calcule o valor aproximado da derivada com este erro, e obtenha a equação da reta tangente nos pontos ( 4, f( 4)), ( 3, f( 3)), (0, f(0)) Complete os gráficos anteriores. solução: altere derivada02 02.gnuplot 14. Significado da derivada Considere a função f(x) = x 3 3x 2 9x + 2 (a) Calcule a derivada f. (b) Encontre as raízes de f e deduza os pontos extremos relativos f (c) objetivo: Algumas vezes é mais fácil fazer o gráfico de f que o gráfico de f. Deduza um esboço do gráfico de f do gráfico usando o gráfico da derivada.

29 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 16 Solução 1 A derivada da função f(x) = x 3 3x 2 9x+2 é uma função do segundo grau, cujos zeros sabemos calcular. f(x) = x 3 3x 2 9x + 2 (1.22) f (x) = 3x 2 6x 9 = 0 = x 2 2x 3 (1.23) x = 2± (1.24) x 1 = 2+4 = 3 = 2 (1.25) x 2 = 1 = (1.26) As raízes, x 1, x 2 da derivada são pontos de extremos de f, neste caso com certeza porque são zeros isolados de um polinômio. Temos duas maneiras de determinar se são máximo ou mínimos. Uma consiste em calcular a segunda derivada e verificar o sinal. Outra consiste em verificar a variação em volta do ponto. Vamos usar o teste da segunda derivada. Lembrando a fórmula de Taylor, a segunda derivada representa a concavidade da função e portanto mostra uma parábola que lhe é semelhante no ponto. Se f (x i ) for positiva, então f neste ponto lembra uma parábola com com o vértice para baixo, passando por um mínimo. Se for negativa passará por um máximo. ponto 2a. derivada no ponto diagnóstico valor no ponto f (x 1 ) 12 passa por um mínimo f(x 1 ) = 25 f (x 2 ) -12 passa por um máximo f(x 2 ) = 7 O esboço gráfico de f pode ser visto na figura (1.8) página 17, Comandos do gnuplot usados na resolução desta questão f(x) = x**3-3*x**2-9*x + 2 df(x) = 3*x**2-6*x - 9 ## x**2-2*x - 3 = 0 a1 = (2 + sqrt(4+12))/2.0 a2 = (2 - sqrt(4+12))/2.0 print df(a1) print df(a2) plot df(x),0 ddf(x) = 6*x - 6 print ddf(a1) print ddf(a2) set xrange [a2-2:a1+2] plot f(x),df(x),0 plot f(x),df(x),0 set terminal post enhanced portrait set output derivada_funcao01.eps plot f(x),df(x),0

30 CAPÍTULO 1. A DERIVADA APROXIMADA f(x) df(x) Figura 1.8: grafico de f analisando f 15. Modelo Encontre a equação de uma reta (um tipo de modelo) que melhor represente os dados da tabela na figura (1.9) página 18. Justifique sua solução; Calcule o valor deste modelo no ponto x = 2. Calcule o valor médio que estes dados representam usando a reta como modelo, e admita que o intervalo de observações é [ 10, 10]. solução: calcule o valor médio das taxas de variação e use este valor para a equação da reta. 16. Teste do modelo Faça o gráfico do conjunto de pontos da tabela (1.9) e da reta que você encontrou para modelar os dados com gnuplot e verifique assim se o modelo está adequado. Justifique a sua conclusão.