UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica ( PGMEC) DIOGO YOSHIKAZU UJIHARA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica ( PGMEC) DIOGO YOSHIKAZU UJIHARA OBTENÇÃO DE UM MODELO DE ROTOR FLEXÍVEL SUSTENTADO POR MANCAIS MAGNÉTICOS ATIVOS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Niterói, RJ 2011

2 DIOGO YOSHIKAZU UJIHARA OBTENÇÃO DE UM MODELO DE ROTOR FLEXÍVEL SUSTENTADO POR MANCAIS MAGNÉTICOS ATIVOS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica. Área de Concentração: Automação e Controle. Orientador: Prof. Dr. JOSÉ ANDRÉS SANTISTEBAN LARREA Niterói 2011

3 Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

4 DIOGO YOSHIKAZU UJIHARA OBTENÇÃO DE UM MODELO DE ROTOR FLEXÍVEL SUSTENTADO POR MANCAIS MAGNÉTICOS ATIVOS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica. Área de Concentração: Automação e Controle. Aprovada em março de BANCA EXAMINADORA José Andrés Santisteban Larrea, D.Sc. - Orientador Universidade Federal Fluminense Roberto Firmento de Noronha, Ph.D Universidade Federal Fluminense Antônio Lopes Gama, D.Sc. Universidade Federal Fluminense Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.Ing. Universidade Federal do Rio de Janeiro Niterói 2011

5 DEDICATÓRIA A Deus, inteligência suprema e causa primária de todas as coisas, pela minha existência. Aos meus guias espirituais, por terem me guiado nos momentos mais decisivos e difíceis de minha vida.

6 AGRADECIMENTOS À minha família, pelo incentivo e pelo apoio financeiro ao longo de toda a duração do mestrado. A todos os alunos e professores da UFF e da UFRJ que contribuíram para a realização deste trabalho. Ao meu orientador, pelo interesse e apoio dedicados a esta dissertação.

7 RESUMO Um protótipo de motor elétrico suportado com mancais magnéticos tem sido operado com relativo sucesso, sendo que o projeto dos seus controladores de posição foi baseado em um modelo de rotor rígido. Até o momento a velocidade de rotação foi baixa, 6000 rpm, mas como se pretende aumentar consideravelmente a mesma, uma modelagem mais acurada se faz necessária. Neste trabalho, será apresentado o procedimento para obter, através do método dos elementos finitos, um modelo mecânico de rotor flexível. Para validar este novo modelo, serão apresentadas simulações computacionais confrontadas com medições experimentais. Palavras-Chave: Dinâmica de Rotores; Método dos Elementos Finitos; Mancais Magnéticos Ativos.

8 ABSTRACT One induction motor whose rotor is supported with active magnetic bearings has been tested with some success. Until now, the displacement controllers were designed considering that a rigid body approach was enough to establish a mechanical model of the rotor. As the maximum speed of operation achieved was 6000 rpm, this was not a drawback. Nevertheless, intending higher speeds, the principal objective of this work is to show the proceeding in order to have an improved mechanical model of the rotor, using as a tool the finite elements method. To validate the improved model, some simulations, related to the vibration modes, are compared with experimental data. Key-Words: Rotor Dynamics; Finite Elements Method; Active Magnetic Bearings.

9 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1.1 Peças do protótipo. 15 Figura Protótipo montado em bancada. 15 Figura Coordenadas da posição dos mancais magnéticos. 19 Figura Deformação de uma viga de Timoshenko no plano yz. 23 Figura 2.3 Referenciais para elemento de disco 25 Figura 2.4 Coordenadas de um ponto B arbitrário dentro do elemento de eixo. 28 Figura 2.5 Modelo do mancal 33 Figura 2.6 Exemplo de sistema de coordenadas 36 Figura 2.7 Funções Interpoladoras 38 Figura 2.8 Elemento de viga 39 Figura 2.9 Divisão do rotor em nós 49 Figura 2.10 Montagem das Matrizes Globais 50 Figura 2.11 Diagrama de Campbell 53 Figura 3.1 Elementos de um Mancal Magnético Ativo 56 Figura 3.2 Fluxo magnético e ângulo. 58 Figura 3.3 Mancal magnético ativo operando em modo diferencial 59 Figura Sistema de realimentação por malha fechada. 61 Figura 3.5 Diagrama de blocos do modelo do rotor considerado rígido 63 Figura Diagrama de blocos do modelo do rotor considerado flexível 68 Figura 4.1 Modelo de viga equivalente 80 Figura 4.2 Divisão do rotor completo em elementos 81 Figura 4.3 Geometria da discretização do rotor de aço 83 Figura 4.4 Fluxograma do algoritmo para cálculo das frequências naturais. 85 Figura 4.5 Primeiro modo de vibração natural ( 587 Hz ) 88 Figura Segundo modo de vibração natural ( 1108 Hz ) 89 Figura 4.7 Diagrama de Campbell do Rotor ( Flexível ) 89 Figura Diagrama de Campbell do Rotor ( Rígido ) 90 Figura 4.9 Diagrama de Campbell ( modelo flexível, rigidez não nula ) 90 Figura 4.10 Diagrama de Campbell ( modelo rígido, rigidez não nula ) 91 Figura 4.11 Variação da Freq. Natural versus Rigidez Equivalente (amortecimento e rotação nulos) 91 Figura 4.12 Variação da Freq. Natural versus Amortecimento Equivalente (rigidez e rotação nulos) 92 Figura 4.13 Configuração para determinação da frequência natural de uma barra de aço 94 Figura 4.14 Esquemático do experimento 95 Figura 4.15 Resposta em Frequência ( Excitação aplicada na parte de baixo do rotor ) 95 Figura Resposta em Frequência (Excitação aplicada na parte do meio do rotor ) 96 Figura Resposta em Frequência (Excitação aplicada na parte de cima do rotor ) 96 Figura 4.18 Montagem do experimento para o rotor de alumínio 97 Figura 4.19 Resposta em Frequência ( Excitação aplicada na parte esquerda ) 98 Figura 4.20 Resposta em Frequência até 1 khz ( Excitação aplicada na parte do meio ) 98 Figura Resposta em Frequência até 2 khz (Excitação aplicada na parte do meio ) 99 Figura Resposta em Frequência até 1 khz (Excitação aplicada na parte direita ) 99 Figura Resposta em Frequência até 2 khz (Excitação aplicada na parte direita ) 100 Figura 4.24 Discretização do rotor de alumínio 101 Figura 4.25 Posição no sistema antigo a 628 rad/s 103 Figura 4.26 Posição no sistema novo a 628 rad/s 103 Figura 4.27 Força no sistema antigo a 628 rad/s 104 Figura 4.28 Força no sistema novo a 628 rad/s 104 Figura Posição no sistema antigo a rad/s 105 Figura Posição no sistema novo a rad/s 105 Figura 4.31 Força no sistema antigo a rad/s 106 Figura Força no sistema novo a rad/s 106

10 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 Convenção para matrizes elementares 48 Tabela 4.1 Parâmetros para modelagem do rotor 82 Tabela 4.2 Parâmetros para a modelagem do rotor de alumínio 102

11 SUMÁRIO 1 - INTRODUÇÃO APRESENTAÇÃO OBJETIVO DO TRABALHO DESCRIÇÃO DO PROTÓTIPO SUMÁRIO DA DISSERTAÇÃO 16 2 MODELAGEM DO ROTOR INTRODUÇÃO MODELAGEM CONSIDERANDO O ROTOR RÍGIDO EQUAÇÕES MODELAGEM DE ROTORES FLEXÍVEIS APLICANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) PROCEDIMENTO PARA OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO GLOBAL DO SISTEMA PELO MEF CÁLCULO DE ENERGIA DOS ELEMENTOS DO ROTOR Teoria de viga de Timoshenko Energia potencial do elemento de disco Energia cinética do elemento de disco Energia potencial do elemento de viga Energia cinética do elemento de viga Trabalho virtual dos mancais ESTABELECIMENTO DAS MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS Funções Interpoladoras Formulação das matrizes elementares para o disco Formulação das matrizes elementares para o eixo Formulação das matrizes elementares para os mancais MONTAGEM DA EQUAÇÃO GLOBAL SOLUÇÃO HOMOGÊNEA DA EQUAÇÃO GLOBAL DO SISTEMA CONTROLE PARA ROTOR SUPORTADO POR MANCAIS MAGNÉTICOS INTRODUÇÃO MANCAIS MAGNÉTICOS PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DOS MANCAIS MAGNÉTICOS FORÇAS NOS MANCAIS MAGNÉTICOS ATIVOS (MMA) TEORIA DE CONTROLE PARA MANCAIS MAGNÉTICOS CONTROLADOR PARA ROTOR RÍGIDO CONTROLADOR PARA ROTOR FLEXÍVEL ANÁLISE DA DINÂMICA DO ROTOR SUPORTADO POR MANCAIS MAGNÉTICOS 70 4 RESULTADOS INTRODUÇÃO PROBLEMÁTICA DA MODELAGEM DO LAMINADO 79

12 4.3 DISCRETIZAÇÃO DO ROTOR EM ELEMENTOS FINITOS DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS DESENVOLVIDOS RESULTADOS OBTIDOS ATRAVÉS DOS ALGORITMOS VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS EXPERIMENTO COM UMA BARRA DE AÇO OBTENÇÃO EXPERIMENTAL DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO DO ROTOR ALVO _ EXPERIMENTO COM UM ROTOR DE ALUMÍNIO COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO DO SISTEMA DE CONTROLE COM OS MODELOS MECÂNICOS RÍGIDO E FLEXÍVEL DO ROTOR CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: APÊNDICES ALGORITMOS DESENVOLVIDOS LISTA DE VARIÁVEIS DE ENTRADA COMUM AOS ALGORITMOS ENTRADA COMUM A TODOS OS ALGORITMOS PARTE COMUM DOS ALGORITMOS DESENVOLVIDOS ALGORITMO PARA O CONTROLADOR ALGORITMO PARA PLOTAGEM DO DIAGRAMA DE CAMPBELL ALGORITMO PARA PLOTAGEM DOS MODOS DE VIBRAÇÃO ALGORITMO PARA PLOTAGEM DA VARIAÇÃO DA FREQUÊNCIA NATURAL VERSUS RIGIDEZ EQUIVALENTE ALGORITMO PARA PLOTAGEM DA VARIAÇÃO DA FREQUÊNCIA NATURAL VERSUS AMORTECIMENTO EQUIVALENTE ALGORITMO PARA CÁLCULO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DESENHO DO ROTOR DE ALUMÍNIO 134

13 1 - Introdução 1.1 Apresentação A tecnologia dos mancais magnéticos tem como característica principal a ausência de atrito e lubrificação, o que permite a obtenção de altíssimas velocidades de rotação. A capcidade de atuar ativamente e mudar os próprios parâmetros durante operação ( mancal ativo ) confere capacidades únicas a este tipo de mancal, por exemplo controlar ativamente o nível de vibração e atuar como sistema capaz de auto diagnóstico ( sistema inteligente ). Isto faz dele atualmente objeto de pesquisas para aplicações na área militar, biomédica, usinagem de alta velocidade, entre outros ( RODRIGUES e SANTISTEBAN, 2006 ). Para rotores suportados por mancais magnéticos que operam com baixas velocidades de rotação, podem-se ignorar os efeitos da flexibilidade e considerar o rotor rígido. As estruturas de controle bem como o modelo mecânico para esse caso são de ordem relativamente pequena. Entretanto, para rotores suportados por mancais magnéticos que operam com altas velocidades de rotação, devem ser considerados alguns fenômenos tais como a flexibilidade o rotor, problemas de vibração, de ressonância, de estabilização, entre outros. O modelo de rotor rígido, neste caso, pode não ser adequado, dependendo da ordem de grandeza dos fenômenos comentados. É neste contexto que surge a necessidade de aprimorar o modelo mecânico do rotor, através de métodos mais complexos como, por exemplo, pelo Método dos Elementos Finitos. Embora a ordem de grandeza do modelo obtido através desta modelagem seja muito maior, sua acurácia também é maior e permite prever de forma mais realista a dinâmica o rotor, especialmente em altas velocidades de rotação, podendo assim melhorar a qualidade do controle de posição do rotor, entre outros benefícios.

14 14 Na última década, na UFF tem se trabalhado com um protótipo de rotor suportado por mancais magnéticos, cujo objetivo básico é alcançar um nível de desenvolvimento mais próximo de um produto final. Para tanto, considerou-se um sistema cujo rotor estivesse disposto na posição horizontal e que fosse mantido em total levitação, requerendo assim o controle sobre cinco graus de liberdade. Pretende-se, com este trabalho, aprimorar o modelo do rotor do protótipo e, com isto, permitir um adequado projeto de sistema de controle de posição para altas velocidades de rotação. 1.2 Objetivo do trabalho O objetivo deste trabalho consiste em aprimorar o modelo mecânico considerado até hoje para o projeto do sistema de controle de um rotor suportado por mancais magnéticos e assim, possibilitar melhor nível de controle de posição em altas velocidades de rotação. O aprimoramento do modelo mecânico será feito através do Método dos Elementos Finitos. Esta abordagem permite considerar os efeitos da flexibilidade do rotor que ocorrem em altas velocidades de rotação, os quais não são perceptíveis com um modelo onde se considera o rotor rígido. Para isto, será criado um algoritmo para o cálculo dos parâmetros do novo modelo mecânico. Para a validação do novo modelo serão apresentadas simulações realizadas com auxilio do software Matlab e em seguida serão comparadas com medições experimentais. Finalmente, será comparado, através de simulações, o comportamento dinâmico do sistema de controle de posição quando é substituído o modelo de rotor considerado rígido pelo modelo de rotor construído através do MEF. 1.3 Descrição do protótipo O protótipo utilizado neste trabalho ( PEDROSA et al. (2004); CHAPETTA et al (2002) ) é um motor assíncrono trifásico, de dois pólos e com potência de 2HP, fabricado pela empresa WEG. Visando facilitar a transferência de tecnologia para a indústria nacional este protótipo foi utilizado como referência para aplicações práticas de mancais magnéticos. O desenvolvimento do projeto foi concebido de tal forma que foram mantidas as características elétricas e magnéticas do motor, resultando num protótipo simples e robusto. Fotos do protótipo e de suas peças internas são mostrados na Figura 1.1 e na Figura 1.2.

15 15 Para implementar o controle da posição do rotor foram desenvolvidos diversos componentes tais como tampas, bobinas e circuitos eletrônicos. Além disso, foram realizadas adaptações nas tampas e no rotor para alocar sensores de posição do tipo eddy currents. Vale ressaltar que, além de serem observados os critérios de economia de energia e confiabilidade, também foi contemplada a disponibilidade, no mercado nacional, de todos os componentes utilizados. Para suportar os esforços radiais e axiais aplicados no rotor, foram construídos mancais magnéticos em cada lado do motor, sendo que os pacotes laminados ( girantes ) em que os eletromagnetos dos mancais radiais e axial atuam ficaram fisicamente integrados nas laterais do eixo. Por outro lado, os seus estatores ( eletromagnetos ) são solidários com o estator do motor e são controlados de forma independente. Figura 1.1 Peças do protótipo. Figura Protótipo montado em bancada.

16 16 Como já mencionado, até o momento a estrutura de controle de posição do rotor supõe que o rotor seja rígido. Desta forma, o sistema de controle foi projetado levando-se em consideração essa hipótese. 1.4 Sumário da dissertação Esta dissertação encontra-se dividida em cinco capítulos: Introdução, Modelagem do rotor, Controle para rotor suportado por mancais magnéticos, Resultados e por último Considerações finais. O segundo capítulo, Modelagem do rotor, mostra toda a fundamentação teórica necessária para a modelagem do rotor: pelo método atual onde o rotor é considerado rígido e pelo Método dos Elementos Finitos. É mostrada a dedução das equações usadas, a forma de aplicação e a solução das equações. No terceiro capítulo, Controle para rotor suportado por mancais magnéticos, primeiramente é feita uma breve apresentação do mancal magnético: suas vantagens e limitações. Em seguida é mostrado de forma resumida o princípio de funcionamento do mancal magnético e suas características operativas. Por fim, parte-se para a teoria de controle necessária para a substituição do antigo modelo mecânico pelo novo modelo, bem como as equações necessárias para transformar a equação de movimento do rotor ( MEF ) na forma do espaço de estados. O quarto capítulo, Resultados, mostra tudo o que foi desenvolvido e obtido neste trabalho e, além disso, faz uma breve discussão da problemática da modelagem do conjunto laminado do rotor. São mostrados o princípio de funcionamento de cada algoritmo de forma esquemática, a discretização realizada no rotor para aplicação do MEF e os resultados obtidos através dos algoritmos para análise da dinâmica do rotor. A validação dos resultados e do modelo mecânico obtido foi realizada através de simulações no software Matlab e de testes experimentais. O último capítulo versa sobre perspectivas futuras e faz uma pequena análise do trabalho como um todo.

17 2 Modelagem do Rotor 2.1 Introdução Para o controle de mancais magnéticos é muito importante o conhecimento da dinâmica do sistema rotativo. Existem diversas formas de modelar um rotor, entre elas métodos analíticos e métodos numéricos como o Método dos Elementos Finitos, que é hoje uma das técnicas mais poderosas existentes para análise de problemas reais de engenharia. Rotores flexíveis possuem distribuição de massa e rigidez contínua e variante ao longo do eixo axial, sendo por isso necessário o uso de sistemas de equações mais complexos para sua análise. Neste capítulo serão considerados dois tipos de modelagens: uma considerando o rotor rígido, e outra considerando o rotor flexível. Para baixas rotações, a primeira modelagem é suficiente para descrever o movimento do rotor, no entanto, para altas rotações tal modelagem falha, por desconsiderar os efeitos da flexibilidade. 2.2 Modelagem considerando o rotor rígido Para a modelagem do rotor considerando-o rígido, são necessárias algumas hipóteses simplificadoras: Rotor com simetria axial e rigidez infinita; Deslocamentos pequenos quando comparados com as dimensões do rotor; A posição do rotor é caracterizada por dois sistemas de coordenadas, um fixo no rotor e outro inercial, com eixos posicionados de forma conveniente; Velocidade angular constante;

18 Equações Nesta parte do trabalho, a modelagem para o rotor segue de acordo com SCHWEITZER et al. (1994) e será muito brevemente descrita. As matrizes M e G que caracterizam o rotor, considerado rígido, são respectivamente: ( 2.1 ) ( 2.2 ) Nessas matrizes, o valor de m é a massa do rotor, I x, I y e I z representam os momentos de inércia, transversais e axial, respectivamente, associados ao rotor ( com relação ao centro de gravidade ), e a velocidade angular de rotação do eixo. Para se chegar a uma equação que descreve o movimento do rotor e que facilite o projeto dos controladores, é necessário o uso de uma matriz T B representando a conversão das coordenadas do centro de massa para as coordenadas dos mancais radiais. Considera-se a existência de dois mancais, um em cada extremidade do rotor, sendo que a e b representam as distâncias desde o centro de massa até cada mancal, conforme ilustra a Figura 2.1. De acordo com a referência aqui adotada, o valor da distância b é positivo e o da distância a é negativo. ( 2.3 )

19 19 Figura Coordenadas da posição dos mancais magnéticos. Fazendo uso da matriz T B em conjunto com as matrizes M e G chega-se finalmente as matrizes que descrevem comportamento do rotor: ( 2.4 ) ( 2.5 ) Assim, a equação de movimento do sistema, sem excitação externa, é descrita a seguir: ( 2.6 ) onde z B e f B representam vetores colunas z B = Coordenadas x e y da posição em cada extremidade do eixo; f B = Forças atuantes sobre o eixo nas posições dos mancais, geradas pela atração eletromagnética dos mesmos.

20 20 ( 2.7 ) ( 2.8 ) 2.3 Modelagem de Rotores Flexíveis aplicando o Método dos Elementos Finitos (MEF) O Método dos Elementos Finitos (MEF), é um método matemático computacional que visa simular o comportamento de uma estrutura através de um conjunto de elementos interconectados, de tal forma que cada elemento obedeça às condições de equilíbrio e as condições de compatibilidade geométrica estejam asseguradas. O método permite que a peça em estudo tenha forma geométrica, carregamento e condições de contorno quaisquer. Para aplicar o método, a estrutura é submetida a um processo de discretização, ou seja, divisão em pequenos subdomínios, chamados de elementos finitos. Cada elemento possui extremidades chamadas de nós, que conectam-se ao elemento seguinte. A equação de movimento para cada elemento é então determinada e resolvida. As soluções das equações dos elementos são aproximadas por uma combinação linear de polinômios de baixa ordem. Cada uma das soluções polinomiais individuais são compatibilizadas com a solução adjacente, chamada condição de continuidade, nos nós comuns a dois elementos. Estas soluções são, então, reunidas através de um procedimento, resultando em matrizes globais de massa, rigidez, amortecimento e giroscópica, que descrevem a estrutura como um todo. O vetor de deslocamentos associados com a solução global do modelo de elementos finitos descreve o movimento. Para determinar as equações de movimento do sistema eixo-rotor-mancal, cada componente é tratado separadamente. Desse modo, os elementos acoplados ao eixo são considerados como discos rígidos, o eixo como um sistema elástico discretizado pela aplicação do método dos elementos finitos, e os mancais como elementos de suporte, linearizados com coeficientes de rigidez e amortecimento direcionais. A formulação usada neste trabalho é baseada no conhecimento das parcelas de energia cinética e potencial do sistema, bem como do trabalho virtual e da energia de deformação (LALANNE e FERRARIS, 1998).

21 Procedimento para obtenção da equação global do sistema pelo MEF. Os elementos básicos de um rotor na modelagem por elementos finitos são o eixo, os discos e os mancais. Os mesmos serão modelados através de elementos de viga, de disco e de mancal, respectivamente. O desbalanceamento, embora importantíssimo, não será considerado neste trabalho; no entanto, as matrizes elementares (do elemento de eixo, de disco e de mancal) mostradas e deduzidas neste trabalho continuam válidas mesmo que exista desbalanceamento no sistema. Caso fosse considerado o desbalanceamento, o mesmo seria modelado como uma força externa excitadora síncrona ( rotação ), que modificaria a equação global do sistema ( sistema formado pelo rotor e pelos mancais ); ou seja, seria adicionado um vetor de forças. Para a modelagem do rotor é necessário o conhecimento das expressões de energia cinética, potencial, trabalho virtual e energia de deformação dos elementos do mesmo. Expressões de energia cinética serão primeiramente calculadas e posteriormente utilizadas para a formulação das matrizes elementares do elemento de viga e do elemento de disco. Uma expressão para a energia de deformação do eixo é necessária para o estabelecimento da matriz elementar de rigidez do elemento de viga. Para o elemento de mancal, primeiro será calculado o trabalho vitual a partir das forças que os mancais geram. Em seguida, serão obtidas as forças atuantes no eixo, provocadas pelos mancais. De forma geral, será usado o seguinte procedimento: serão determinadas a energia cinética T e a energia de deformação U do sistema rotativo, e o trabalho virtual das forças externas; em seguida, um método numérico é aplicado, sendo que neste trabalho o método empregado é o de elementos finitos; por fim, as equações de movimento serão determinadas através das Equações de Lagrange, que estão na seguinte forma (LALANNE e FERRARIS, 1998; TENENBAUM, 2006; NETO, 2007) : ( 2.9 )

22 22 Onde: 1 i N, sendo N o número de graus de liberdade; q i = coordenadas generalizadas; Fq i = forças generalizadas associadas a q i. Por último, faz-se a discretização do rotor a ser modelado, aplicam-se as matrizes elementares do MEF para cada elemento e monta-se a equação global do sistema, como será demonstrado posteriormente Cálculo de energia dos elementos do rotor. Nesta parte da dissertação serão calculadas expressões para a energia cinética e potencial dos elementos, bem como a expressão do trabalho dos mancais. Será feito um breve comentário sobre a Teoria de viga de Timoshenko, a fim de esclarecer sua vantagem em relação à Teoria de viga de Euler-Bernoulli, também muito utilizada na área de dinâmica de rotores Teoria de viga de Timoshenko. A teoria de vigas de Timoshenko, a princípio, baseia sua formulação na teoria de Euller-Bernoulli, porém leva em conta o efeito da deformação por esforço cortante (TIMOSHENKO e WEAVER, 1937). Desta forma, a hipótese que as seções planas permanecem planas após as deformações continua válida, entretanto não sendo mais perpendicular ao eixo deformado, como mostra a Figura 2.2. Na figura, representa a deformação cisalhante transversal. Para o elemento de viga de Timoshenko consideram-se as seguintes hipóteses: a existência de um eixo neutro (eixo y), onde a viga não sofre tração nem compressão; seções planas e perpendiculares ao eixo neutro da viga permanecem planas mas não necessariamente perpendiculares após a deformação; deflexões laterais são pequenas em relação a espessura da viga; material elástico linear e homogêneo;

23 tensões normais ao eixo neutro são negligenciadas, ou seja, a espessura da viga não varia devido a ação de tensões normais ao eixo neutro. 23 Figura Deformação de uma viga de Timoshenko no plano yz. A energia potencial armazenada, segundo a viga de Timoshenko, se deve a duas parcelas: uma devido a flexão e outra devido ao cisalhamento. Assim, a inclinação da viga deformada depende destes dois fatores. Para estruturas esbeltas, o comportamento dinâmico é bem representado utilizando o modelo de Euler-Bernoulli, mas quando a relação entre dimensões torna-se menor, é necessário utilizar o modelo de Timoshenko. No modelo de Timoshenko, a flexão da viga (excluindo-se neste caso o cisalhamento) causa não somente translação para cada seção transversal, mas também a rotação das mesmas. O efeito do cisalhamento é fazer a distorção diferente de zero, o que leva a um acréscimo da curvatura de flexão e é muito significativo quando se trata de vigas curtas, vigas com baixo módulo de elasticidade transversal ou quando se necessita determinar a linha elástica de forma mais precisa. Para isso reduz-se a rigidez da viga segundo um pequeno fator, aumentando-se então os deslocamentos nodais. Na análise numérica do comportamento dinâmico de rotores são empregados, usualmente, para a representação do eixo, elementos finitos de viga com funções de interpolação de continuidade C 1 (polinômios de Hermite). Com essas funções modelam-se vigas de Euler-Bernoulli (vigas e eixos esbeltos). Ainda utilizando funções do tipo C 1 pode-se

24 24 adaptar a formulação do modelo de Euler-Bernoulli para o modelo de Timoshenko, o qual considera o efeito do cisalhamento transversal, através da introdução de um fator de correção na matriz de rigidez. Uma das formas de se obter este fator é através de uma formulação híbrida que satisfaça as equações diferenciais de equilíbrio para vigas (relação entre momento fletor e esforço cortante). O modelo utilizando a teoria de Timoshenko pode ser aplicado à vigas e eixos moderadamente espessos, visto que neste caso o efeito do cisalhamento transversal e da inércia rotacional tornam-se importantes. Em altas rotações (maiores modos de vibração) esta formulação também prediz com maior acurácia o comportamento real de rotores Energia potencial do elemento de disco. Considera-se neste trabalho que a contribuição da energia potencial de deformação do disco é nula, ou seja que o disco possui uma rigidez infinita, sendo não deformável. Assim, o disco é caracterizado somente por sua energia cinética Energia cinética do elemento de disco. O elemento de disco está montado em um eixo flexível com rotação e a expressão para sua energia cinética irá fazer uso de dois referenciais, como mostrado na Figura 2.3. A energia cinética de um elemento de um rotor em flexão pode ser determinada a partir da definição do campo de deslocamentos e das velocidades angulares instantâneas. Para tal, definem-se: R 0 ( XYZ ) é um referencial inercial e R ( xyz ) é um referencial fixo no disco. O sistema de coordenadas xyz está relacionado ao sistema XYZ através dos ângulos, e. O vetor de velocidade angular instantânea do referencial xyz é: ( 2.10 ) A representação da rotação de cada elemento do rotor, em relação a um sistema de coordenadas fixa, utiliza os ângulos de Euler, sendo o vetor total dado pela combinação das rotações: precessão, nutação e giro (para atingir a orientação do disco são feitas as seguintes rotações em sequência: em torno do eixo Z; em torno do novo eixo x, denominado x 1 ;

25 em torno do eixo y). Uma explicação detalhada sobre os ângulos de Euler pode ser encontrada em livros clássicos de dinâmica (TENENBAUM, 2006). 25 Figura 2.3 Referenciais para elemento de disco Onde, e são os vetores unitários nas direções dos eixos Z, x 1 e y, respectivamente. A energia cinética do disco em relação ao centro de massa é calculada usando-se o referencial R. Neste sistema de coordenadas o vetor de velocidade angular tornase: ( 2.11 ) Sejam u e w as coordenadas do centro de massa do disco no referencial R 0, em relação aos eixos X e Z respectivamente, e a coordenada ao longo do eixo Y constante. Adicionalmente, considere-se a massa do disco M D e seu tensor de inércia, tendo as direções principais ao longo dos eixos do sistema xyz e origem no centro de massa, como:

26 26 ( 2.12 ) A energia cinética T D do disco pode então ser expressa como: ( 2.13 ) A equação anterior pode ser simplificada uma vez que o disco é simétrico ( I Dx = I Dz ), os ângulos e são pequenos e a rotação é constante ( ). Assim, a equação ( 2.13 ) torna-se: ( 2.14 ) A primeira parcela representa a energia devida ao movimento de translação no plano do disco, a segunda é a rotação em torno dos eixos x e z, e a terceira é a rotação em torno do eixo y de simetria incluindo-se o efeito do momento giroscópico resultante do acoplamento de e com. Na expressão anterior, pode-se observar que o termo representa a energia do disco girando a uma velocidade angular é uma constante que. O último termo representa o efeito giroscópico Energia potencial do elemento de viga. A energia potencial U 1 ( energia de deformação, escalar ) pode ser calculada da seguinte forma:

27 27 ( 2.15 ) Sendo: = Tensão (vetor na equação acima); = Deformação (vetor na equação acima); = Volume. Na equação acima são escalares. Considerando termos de segunda ordem, a deformação do ponto genérico B(x, z) da seção transversal do elemento de viga representado na Figura 2.4 pode ser escrita como segue ( é um escalar daqui em diante): ( 2.16 ) Sendo que C é o centro geométrico do eixo e que suas coordenadas nos eixos x, z são u * e w *. A relação anterior também pode ser expressa por uma combinação de termos lineares e não lineares: ( 2.17 )

28 28 Figura 2.4 Coordenadas de um ponto B arbitrário dentro do elemento de eixo. Utilizando a proporcionalidade entre a deformação e a tensão, expressa mediante a lei de Hooke, sendo E o módulo de Young ( é um escalar na equação abaixo): ( 2.18 ) tem-se: ( 2.19 ) que: Dada a simetria da seção transversal do eixo com respeito aos eixos x, z; verifica-se ( 2.20 )

29 29 O terceiro termo dentro da integral da equação ( 2.19 ) é de segunda ordem e é desprezado. Então, a expressão para calcular a energia potencial resulta: ( 2.21 ) Ou seja: ( 2.22 ) Sendo: S = Área da seção transversal; L = Comprimento do elemento de viga. Devido a simetria que possui a seção transversal do eixo, o terceiro termo da expressão integral anterior é nulo. Os momentos de inércia de área da seção transversal com respeito aos eixos x e z são,respectivamente, ( 2.23 ) ( 2.24 )

30 Introduzindo as equações ( 2.23 ) e ( 2.24 ) na equação ( 2.22 ) para a energia potencial, tem-se: 30 ( 2.25 ) Para um eixo sujeito a uma força axial constante F 0 existe uma outra contribuição para a energia de deformação, dada por: ( 2.26 ) Devido a simetria do eixo, a primeira parcela da integral será nula. Assim, usando as equações ( 2.16 ) e ( 2.17 ), a equação ( 2.26 ) torna-se: ( 2.27 ) A energia total de deformação é a soma das equações ( 2.25 ) e ( 2.27 ): ( 2.28 ) Será visto posteriormente que caso as equações para o elemento de mancal sejam deduzidas em relação ao referencial R, haverão termos periódicos, função explicitamente do tempo, em suas matrizes; as mesmas, quando utilizadas para a montagem da equação global do sistema, levam a dificuldades numéricas na resolução. Uma forma de evitar tais dificuldades é expressar as equações dos elementos em função dos deslocamentos u e w

31 medidos na referência R 0 ; utilizam-se as seguintes relações, as quais podem ser deduzidas através da Figura 2.4: 31 ( 2.29 ) ( 2.30 ) Desta forma, a equação ( 2.28 ) pode ser escrita como: ( ) Desenvolvendo a integral, e pela simetria do eixo (I x = I z = I), a expressão para energia potencial se reduz a: ( 2.32 ) Energia cinética do elemento de viga. A seguinte expressão para a energia cinética do elemento de viga é uma extensão da equação ( 2.14 ) para a energia cinética de um elemento de disco. A energia cinética em cada elemento de comprimento L de eixo é dada por:

32 32 ( 2.33 ) A primeira parcela representa a expressão clássica da energia cinética de uma viga em flexão, a segunda parcela representa o efeito secundário da inércia rotacional ( viga de Timoshenko ); a terceira parcela é uma constante ( esta não terá nenhuma influência nas matrizes elementares, como será demostrado a seguir ), representa a energia do eixo que gira a uma velocidade angular em torno do eixo y de simetria; por fim, a última parcela representa o efeito giroscópico resultante do acoplamento de e com Trabalho virtual dos mancais. Os mancais são considerados, de uma maneira simplificada, como elementos de suporte, dispostos discretamente ao longo do eixo, e representados por matrizes de rigidez e de amortecimento associados aos deslocamentos u e w no apoio. O efeito é considerado no modelo numérico adicionado-se ao sistema de equações as condições de vinculo elástico e amortecimento entre eixo e apoio rígido. Os mancais são representados por coeficientes k xx, k zz, k xz, k zx, que são de rigidez e c xx, c zz, c xz e c zx que correspondem a elementos de amortecimento. Os mancais foram modelados conforme o esquema representado na Figura 2.5 Os valores dos coeficientes de rigidez e amortecimento são previamente calculados de acordo com o tipo de mancal, o qual é descrito no capitulo seguinte. As direções tomadas como referência estão indicadas na Figura 2.5, sendo que: k xx, k zz, c xx e c zz são rigidezes e amortecimentos nas direções X e Z do eixo. k xz, c xz são coeficientes de rigidez e amortecimento que caracterizam a geração de forças na direção X a partir de deslocamentos e velocidades, respectivamente, medidos na direção Z. k zx, c zx são coeficientes de rigidez e amortecimento que caracterizam a geração de forças na direção Z a partir de deslocamentos e velocidades, respectivamente, medidos na direção X.

33 Os quatro últimos termos são denominados termos de acoplamento, entre as direções X e Z no plano do mancal. 33 Figura 2.5 Modelo do mancal O trabalho virtual das forças agindo sobre os mancais é dado por: ( ) Onde e são os deslocamentos virtuais nas direções X e Z respectivamente. Também pode-se escrever desta forma: ( 2.35 ) Sendo F u e F w os componentes da força generalizada atuante sobre o eixo. Em formato matricial, pode-se escrever:

34 34 ( 2.36 ) Utilizando o referencial R e considerando nulos os coeficientes de acoplamento, a expressão para trabalho virtual é: ( ) Ou de forma equivalente: ( ) Para evitar a complexidade da solução desta equação, =, o que acontece quando se utiliza o referencial inercial R Estabelecimento das matrizes de elementos finitos. Tendo as expressões de energia cinética, de energia potencial e de trabaho virtual já calculadas para todos os elementos, procede-se para a aplicação das equações de Lagrange. Desta forma, serão obtidas as clássicas matrizes elementares de elementos finitos para cada elemento do rotor: eixo flexível, disco, mancal e massa desbalanceadora. A dedução das matrizes elementares dos elementos de viga torna necessário o uso de funções interpoladoras (funções Hermitianas neste caso), devido à discretização do rotor. Uma das maneiras de deduzir estas funções é a aplicação do método de separação de variáveis à uma equação que satisfaça os deslocamentos estáticos (planos) da viga no espaço. No entanto, tais funções interpoladoras também podem ser deduzidas independentemente para

35 35 planos ortogonais entre si. No próximo item, será mostrada somente a dedução das funções interpoladoras para o plano yz. A dedução das funções interpoladoras para o plano xy segue procedimento análogo Funções Interpoladoras. As coordenadas usadas para a dedução das funções interpoladoras do plano yz, ilustrado na Figura 2.6 são as duas coordenadas lineares w i (t) e w i+1 (t) e duas coordenadas angulares θ i (t) e θ i+1 (t), necessárias para descrever o movimento de cada nó. Embora cada nó possua quatro graus de liberdade, nesta dedução serão usados apenas dois por nó, correspondentes ao plano yz. O deslocamento estático transversal deve satisfazer ( INMAN (2000); TIMOSHENKO (1937) ) : ( 2.39 ) Para valores constantes de EI, a equação acima torna-se: ( 2.40 ) que, integrando, leva a: ( 2.41 ) onde c i (t) são as constantes de integração. Será suposta uma solução final da forma: ( 2.42 )

36 36 Figura 2.6 Exemplo de sistema de coordenadas onde A equação acima é usada para interpolar os deslocamentos dentro de um elemento, são componentes da função cúbica de interpolação, também chamada de função Hermitiana (descrita por Euller-Bernoulli). A função Hermitiana interpola, simultaneamente, valores intermediários do deslocamento w(y,t) a partir das quatro coordenadas generalizadas do vetor de deslocamento nodal, que definem a posição dos pontos de um elemento de eixo. Os deslocamentos e ângulos w i (t), w i+1 (t), θ i (t) e θ i+1 (t), respectivamente, devem satisfazer as condições de contorno: ( 2.43 ) Estas relações são substituídas na equação ( 2.41 ) e resolvidas para as constantes de integração c i, levando a: ( 2.44 )

37 37 Substituindo a equação ( 2.44 ) na equação ( 2.41 ), e rearranjando os termos como coeficientes de deslocamentos nodais desconhecidos, leva ao resultado exato do deslocamento w(y,t) para o elemento de viga, expresso por: ( ) Analogamente, seguindo um procedimento semenlhante ao aplicado para a função w(y,t), obtemos para a função u(y,t): ( ) Os polinômios entre parênteses são as funções interpoladoras que serão usadas para o cálculo das matrizes elementares de massa, rigidez e giroscópica do elemento de viga. Na Figura 2.7 foram plotados os valores dos polinômios interpoladores para a função w(y,t), usando comprimento de elemento L = 1 m. Nesta figura, cada polinômio é identificado na forma de componente interno da Equação ( 2.57 ), mostrada mais adiante. Pode-se ver claramente que as funções interpoladoras para u(y,t) e w(y,t) são quase idênticas, diferindo apenas em sinal para os termos que acompanham ângulos.

38 38 N 2 (1,1) N 2 (1,3) N 2 (1,2) N 2 (1,4) Figura 2.7 Funções Interpoladoras Formulação das matrizes elementares para o disco. Na solução do problema através do método dos elementos finitos, considera-se que cada nó do rotor possui quatro graus de liberdade: dois deslocamentos u e w nas direções Z e X, respectivamente e dois giros e em torno dos eixos X e Z, respectivamente. Sendo assim, para um nó i o vetor deslocamento nodal do centro do disco se escreve como: ( 2.47 ) Deste modo, é possível expressar a energia cinética de um disco e, a partir das equações de Lagrange, montar a equação do movimento do disco. A aplicação das equações de Lagrange na equação ( 2.14 ) fornece: ( 2.48 )

39 39 Na equação acima, no primeiro termo à direita, pode ser identificada a clássica matriz de massa e no segundo termo a matriz Giroscópica. Dependendo do ponto de fixação do disco e da sua espessura com relação ao diâmetro do eixo, pode-se considerar que sua influência sobre o sistema ocorre somente em um nó. Assim a participação do disco na matriz de massa é dada pela equação acima, colocada na matriz global de forma coerente com o nó onde está o disco. O disco também contribui com a matriz giroscópica através da expressão acima, também colocada na matriz global de forma coerente com o nó onde está o disco Formulação das matrizes elementares para o eixo. Na formulação mediante elementos finitos, o eixo se divide em n elementos de comprimento L. Cada elemento possui uma seção circular constante, não sendo necessariamente iguais os diâmetros do eixo entre elementos distintos; e, como citado anteriormente, cada nodo possui quatro graus de liberdade: dois deslocamentos u e w, dos giros e em torno dos eixos X e Z respectivamente, com graus de liberdade de rotação e de deslocamentos transversais independentes, ou seja, o modelo de viga usado é do tipo Timoshenko e com discretização Hermitiana, conforme ilustra a Figura 2.8. As matrizes são de oitava ordem, diferentemente das matrizes para o elemento de disco, que eram de quarta ordem; isso se dá em razão da flexibilidade do elemento de viga. Figura 2.8 Elemento de viga são: Se os deslocamentos u e w são pequenos, as relações entre deslocamentos e os giros

40 40 ( 2.49 ) ( 2.50 ) Um vetor deslocamento nodal, sobre o elemento de viga i, é definido, de acordo com a notação utilizada na figura: ( 2.51 ) onde os deslocamentos e correspondem aos movimentos nas direções X e Z, respectivamente, ( 2.52 ) ( 2.53 ) As variáveis u e w são representada do seguinte modo: ( 2.54 ) ( 2.55 )

41 41 Onde N 1 (y) e N 2 (y) são funções de interpolação: ( 2.56 ) ( 2.57 ) Introduzindo as equações ( 2.49 ) e ( 2.50 ) na equação ( 2.33 ) da energia cinética do eixo e obedecendo as relações ( 2.54 ) e ( 2.55 ), tem-se: ( ) A equação anterior pode ser simplificada. O produto forma uma matriz de dimensão 4 x 4, segundo a equação ( 2.56 ), N 1 é um vetor com quatro elementos (quatro funções, uma para cada deslocamento na direção X contidos em ). Logo, ( ) Sendo:

42 42 ( 2.60 ) Aplicando as equações de Lagrange na energia cinética do elemento de viga dada pela equação ( 2.59 ), obtém-se ( 2.61 ) onde é o vetor de deslocamento do elemento dado pela equação ( 2.51 ), M C surge de M 1 e M 2, M S de M 3 e M 4 e G C de M 5. A seguir são descritas estas três matrizes:

43 43 ( 2.62 ) ( 2.63 ) ( 2.64 ) M C é a matriz de inércia de translação devido a energia cinética, que é simétrica e positiva, e M S é a matriz de massa devido à inércia diametral I do elemento de eixo também chamado de massa de efeito secundário de Rayleigh. A matriz da equação ( 2.64 ) é associada ao efeito giroscópico do eixo (anti-simétrica) devido à energia cinética. Aplicando um procedimento análogo ao anterior, pode-se obter a matriz de rigidez do elemento. Substituindo na equação da energia potencial do eixo, a definição das funções u e w, dadas pelas equações ( 2.54 ) e ( 2.55 ), se tem:

44 44 ( ) Escrevendo a equação anterior em forma matricial: ( 2.66 ) A equação acima não leva em consideração o efeito das tensões de cisalhamento. Este efeito pode ser incluído através da introdução (na equação acima) da seguinte quantidade, que o caracteriza ( 2.67 ) onde ( 2.68 ) é o módulo de cisalhamento e: ( 2.69 ) é a área reduzida, através do fator de forma k ff da seção transversal do elemento (Cowper ( 1966 ) ). Para um elemento de viga de seção circular:

45 45 ( 2.70 ) do elemento: Aplicando a equação de Lagrange na energia potencial, obtém-se a matriz de rigidez ( 2.71 ) ( 2.72 ) Onde K é a matriz resultante da soma de duas parcelas, uma devido à flexão K C e outra devido a força axial K F, mostradas abaixo. Ao introduzir os efeitos das tensões de cisalhamento na energia potencial do eixo, se obtém a seguinte matriz de rigidez: ( 2.73 ) sendo a o fator de influência do efeito de cisalhamento, dado pela equação ( 2.67 ).

46 46 ( 2.74 ) Pode ser demonstrado que a influência do cisalhamento que dá uma matriz K s, não mostrada aqui, está incluída na matriz de rigidez K C, através do fator a ( Imbert ( 1979 ) ). Assim, K C é obtida através de K 1, K 2 e K S, K F é obtida através de K 3 e K 4. Fazendo a = 0, anula-se o efeito da matriz K S na matriz K C. Os termos da matriz K 1 são os termos não nulos na primeira, quarta, quinta e última coluna da matriz K C (sem o fator a ); os termos de K 2 são os termos não nulos das demais colunas de K C (também sem o fator a ). Já os termos da matriz K 3 são os termos não nulos na primeira, quarta, quinta e última coluna da matriz K F ; por fim, os termos de K 4 encontram-se nas demais colunas da matriz K F (que são somente os termos não nulos) Formulação das matrizes elementares para os mancais. Sendo F u e F w os componentes da força generalizada atuante sobre o eixo, estas podem ser obtidas através das equações ( 2.34 ) e ( 2.35 ) : ( 2.75 ) ( 2.76 ) Dado que = = 0, devido ao fato do mancal não provocar nenhum momento de flexão sobre o eixo por ser, neste modelo, um elemento pontual, a expressão anterior torna-se:

47 47 ( 2.77 ) A primeira matriz é a matriz de rigidez do mancal e a segunda, a matriz de amortecimento do mancal. Ainda que o mancal origine forças que atuam sobre o eixo, as quais foram analisadas como forças generalizadas, pode-se observar através da expressão anterior que as forças dependem do deslocamento nodal e da velocidade nodal. Portanto, na resolução do sistema matricial, as matrizes de rigidez e amortecimento dos mancais devem adicionar seus termos nas respectivas matrizes globais Montagem da equação global. A partir das matrizes elementares do eixo, do(s) disco(s), e dos mancais correspondentes, obtém-se um sistema de equações globais que governa o movimento de um rotor dinâmico. Considerando o efeito giroscópico e modelando os mancais por matrizes de rigidez e amortecimento, tem-se a seguinte equação global do movimento: ( 2.78 ) Onde: F é o vetor das forças excitadoras do sistema; M G é a matriz de massa global do sistema, obtida a partir das matrizes de massa elementares do disco e do eixo; G G é a matriz giroscópica global antisimétrica do rotor obtida a partir das matrizes giroscópicas elementares do disco e do eixo e somada com as matrizes elementares de amortecimento dos mancais; K G é a matriz de rigidez global simétrica obtida a partir da matrizes de rigidez elementares do eixo e da matrizes de rigidez elementares dos mancais;

48 48, e são os vetores de aceleração nodal, velocidade nodal e deslocamento nodal globais, respectivamente. Ao adotar uma discretização de n elementos, estes vetores possuem uma dimensão 4(n + 1), pois tem-se n + 1 nós e quatro graus de liberdade por nó. Para chegar a equação ( 2.78 ), primeiramente, divide-se o rotor em nós como na Figura 2.9 e decide-se quais elementos serão aplicados em todo o rotor. A seguinte convenção será adotada, dada de acordo com a Tabela 2.1: Tabela 2.1 Convenção para matrizes elementares Tipo de Componentes do vetor de Nó do rotor Elemento deslocamento de cada elemento Viga ( i ) ( i +1 ),,,,,,, Símbolo do vetor de deslocamento Disco j,,, Mancal k, Nesta convenção, embora, e sejam vetores nodais referentes a diferentes tipos de elementos, seus componentes internos são parte do vetor nodal global; os símbolos i, j e k são usados para indicar diferentes nós do rotor, pois elementos de mancal e de disco estão sempre em número menor em relação aos elementos de viga. Em outras palavras, por exemplo os componentes internos u 3 e w 3 são os mesmos para e, bem como para o vetor nodal global de deslocamento; são independentes do tipo de vetor de deslocamento. Os elementos de viga consideram flexibilidade, por isso tem 8 nós cada; os elementos de disco são considerados rígidos, por isso tem 4 nós cada; por fim os elementos de mancal só tem 2 nós cada pois os mancais são considerados elementos pontuais, considera-se que os mancais não aplicam momentos no eixo.

49 49 Figura 2.9 Divisão do rotor em nós Como pode ser visto, será necessário calcular, para cada elemento criado, suas respectivas matrizes elementares. Em seguida, deve-se agrupar os termos com vetores nodais em comum, desta forma: ( 2.79 ) Onde: e são as matrizes elementares de inércia do elemento de viga i; é matriz elementar de inércia do elemento de disco j; é a matriz giroscópica elementar do elemento de viga i ; é a matriz giroscópica elementar do elemento de disco j; é matriz de amortecimento elementar do elemento de mancal k; é matriz de rigidez elementar do elemento de mancal k; é matriz de rigidez do elemento de viga i devido a flexão e ao cisalhamento

50 50 As matrizes, e são partes internas das matrizes globais de massa, giroscópica (amortecimento) e de rigidez, respectivamente, que deverão ser agrupadas, juntamente com os vetores nodais globais. Os termos com índices diferentes deverão ser somados apenas quando seus valores forem iguais ( i = j = k ). Por exemplo, se i = 1,2,3,4,5, j = 3 e k = 2, 4, os termos com índice i só se somariam aos termos com índice j quando i=3 e j=3; os de índice k só se somariam com os de índice i se i = 2, 4 e k = 2, 4. Tendo as matrizes, e calculadas, procede-se para o agrupamento das mesmas. O vetor nodal global com dimensão 4(n+1) deve ser montado. Na Figura 2.10 é mostrado um esquema de como se devem agrupar as parcelas das matrizes globais. Cada quadrado representa a i-ésima parte da matriz global, por exemplo. As regiões de intersecção entre os quadrados indicam que termos que acompanham componentes do vetor nodal global em comum para matrizes de diferentes elementos devem ser somados; por exemplo uma parte de deve ser somada com uma parte de, já que ambas tem termos que multiplicam,, e, componentes do vetor nodal global de aceleração. De forma análoga, faz-se o mesmo procedimento para as matrizes e, obtendo assim as matrizes globais M G, G G e K G. As regiões com círculos representam zeros. As matrizes globais são matrizes esparsas. Figura 2.10 Montagem das Matrizes Globais

51 Solução homogênea da equação global do sistema. Para a análise da dinâmica do rotor, é necessário encontrar a solução homogênea da equação ( 2.78 ), ou seja, a solução da equação ( 2.80 ): ( 2.80 ) A equação acima tem solução com a seguinte forma: ( 2.81 ) Onde e são os autovetores e autovalores correspondentes à transformação da equação ( 2.80 ) para o domínio do espaço de estados, que como será mostrado adiante fica na forma: ( 2.82 ) Onde e. Como se pode deduzir, o número de autovalores e autovetores será igual a 2n, com n sendo o número de graus de liberdade. Se considerarmos o número de elementos como sendo n e, então a dimensão dos autovetores e a quantidade de autovalores equivale a 2*4(n e +1). Os autovalores e autovetores terão a seguinte forma: ( 2.83 )

52 52 ( 2.84 ) Onde a barra indica complexo conjugado. Introduzindo os autovalores e autovetores na equação ( 2.81 ) leva a: ( 2.85 ) Que pode ser escrita de forma equivalente como: ( 2.86 ) Na equação acima, e os ângulos de defasagem podem ser determinados a partir das condições iniciais. O sinal de determina a estabilidade do sistema para o respectivo autovalor e é a frequência natural associada. Tirando o fator, a equação ( 2.86 ) fornece os modos de vibração: ( 2.87 ) Da equação ( 2.83 ) é chamada de frequência natural em rad/s. Esta depende da velocidade do rotor. Um diagrama que mostra as frequências naturais em função da velocidade do rotor é denominado de Diagrama de Campbell. A título de exemplo, na Figura 2.11 mostra-se um diagrama com quatro frequências naturais. A linha tracejada permite identificar os pontos de coincidência da velocidade do rotor com as frequências naturais. Estas frequências são denominadas de críticas pois no caso de serem mantidas durante operação poderão causar o contato do rotor com o estator. (ressonância) Observa-se que a velocidade de rotação, própria do rotor, afeta o valor das freqüências naturais do sistema, pois esta aparece na matriz de efeito giroscópico (G G ) na equação ( 2.80).

53 53 A forma anti-simétrica da matriz G implica em 2n freqüências naturais distintas para cada velocidade de rotação do eixo, uma maior e outra menor do que cada uma das n freqüências naturais do sistema sem rotação. Novamente, para o cálculo das velocidades críticas, basta traçar a reta freqüência rotação, cujas interseções com as curvas de Campbell, como na Figura 2.11, definirão os pontos onde a velocidade de rotação coincide com uma freqüência natural (LALANNE e FERRARIS, 1998). Observe-se que nas velocidades de precessão direta, qualquer desbalanceamento do rotor provoca uma excitação síncrona com essa freqüência natural, amplificando ainda mais as amplitudes de oscilação nesse modo de vibração, diz-se então, que o sistema entrou em ressonância. Figura 2.11 Diagrama de Campbell

54 3 Controle para Rotor suportado por Mancais Magnéticos 3.1 Introdução O objetivo deste capítulo é descrever o procedimento para a substituição do modelo mecânico atual do sistema rotor mancal, ou seja, o modelo da planta em termos de teoria de controle. No modelo mecânico atual, supõe-se que o rotor é rígido; pretende-se trocá-lo por um modelo de corpo flexível. A equação de movimento do rotor foi obtida pelo método dos elementos finitos no capítulo anterior. Resta agora transformar a equação para a forma do espaço de estados. No diagrama geral do sistema de controle, somente a planta será modificada; outros elementos permanecerão inalterados, inclusive o controlador. Antes de prosseguir, será feita uma breve apresentação do mancal magnético: vantagens e limitações, princípio de funcionamento e características das forças geradas Mancais Magnéticos Os mancais magnéticos ativos ( MMA ) são dispositivos eletromagnéticos projetados para manter um eixo suspenso dentro do mancal sem que haja nenhum contato mecânico entre ambos. Os mancais magnéticos podem suportar tanto cargas radiais quanto cargas axiais utilizando-se apenas forças magnéticas para a levitação do eixo, diferenciando-se dos mancais fluidodinâmicos ou dos mancais de rolamento que são baseados em forças mecânicas para o suporte. Uma característica singular da tecnologia dos mancais magnéticos ativos é sua capacidade de operar como um sistema de controle ativo de vibrações, uma vez que esse controle tem a capacidade de corrigir, em frações de segundo, o desvio do eixo de sua posição

55 55 centrada dentro do mancal. Para isso contam com os seguintes componentes básicos: sensores de posição do eixo, filtros, eletroimãs, controladores ( PD, PID, etc ) e amplificadores de potência. Os mancais magnéticos apresentam várias vantagens sobre os mancais convencionais por uma variedade de aplicações práticas. As vantagens primárias dos mancais magnéticos são o baixo consumo de potência e a longa vida, tendo em vista que não há contato entre o rotor e o estator, o que acarreta uma redução significativa do aquecimento do sistema mecânico. Desta forma podem operar em velocidades mais altas do que os mancais convencionais, sejam de rolamento ou fluidodinâmicos. A ausência de contato explica a longa vida dos MMA, pois a redução do atrito nas suas peças é significativa. Para efeitos de comparação, pode ser lembrado que em mancais fluidodinâmicos ocorrem elevadas perdas ( energéticas ) por fricção devido ao efeito de cisalhamento do óleo. As perdas ( energéticas ) dos MMA se reduzem ao efeito de alguma resistência do ar entre o rotor e o estator, quando não se encontram no vácuo, e às correntes parasitas ( eddy currents ) e a histerese que acontecem no núcleo ferromagnético. Além do mais, comparando as perdas ( energéticas ) associadas à bomba de óleo, filtros e tubulações dos mancais fluidodinâmicos, estas são muito maiores do que as perdas nos amplificadores de potência dos mancais magnéticos. Além disso, os MMA podem operar em ambientes onde as condições seriam adversas a outros tipos de mancais, como em altas ou em baixas temperaturas que poderiam prejudicar o óleo de lubrificação dos mancais de rolamento ou dos fluidodinâmicos. Em relação à capacidade de carga de um MMA, esta é determinada em função da folga entre o rotor e o estator (entreferro ou airgap ), bem como em função dos efeitos de correntes parasitas e da escolha do material ferromagnético a ser usado. Contudo, os mancais convencionais podem suportar, por alguns instantes, um possível carregamento súbito inesperado (como, por exemplo, na ocorrência da perda de uma pá de uma turbina). Diferentemente, os MMA têm característica muito linear para a capacidade de força e não toleram bem cargas excessivas inesperadas (GUIRÁO (2006) ). Para prevenir cargas inesperadas, os mancais magnéticos devem ser equipados com mancais passivos de auxílio, que entram em ação caso haja uma perda de potência dos mancais magnéticos. Estes mancais auxiliares usualmente são mancais convencionais de rolamento fixados com uma folga entre o eixo e a sua parte interna (diâmetro interno), porém

56 56 esta folga é ligeiramente menor que a folga entre o eixo e a parte estacionária do mancal magnético para evitar o contato. 3.2 Princípio de Funcionamento dos Mancais Magnéticos Como mencionado, os MMA são dispositivos que suportam um eixo em rotação, através de forças que tem sua origem em campos magnéticos gerados por eletroímãs cujas correntes são fornecidas por um sistema de controle de posição em malha fechada. A Figura 3.1 mostra, de forma simplificada, um típico sistema de levitação de uma esfera de aço, que dispõe de um sensor de deslocamento, um controlador, um amplificador de potência e um atuador eletromagnético. Nessa figura o peso age na direção oposta à força magnética. Figura 3.1 Elementos de um Mancal Magnético Ativo O conjunto mostrado na Figura 3.1 funciona basicamente da seguinte forma: o rotor em rotação está sujeito à ação de forças externas que podem tirá-lo de sua posição de equilíbrio. O sensor de deslocamento irá medir este deslocamento do eixo e enviar um sinal ao controlador, que por sua vez, determinará a corrente elétrica necessária a ser enviada ao eletroímã, ou atuador, para que este gere uma força magnética, e com isso recuperar a posição inicial do eixo. Como a corrente elétrica enviada pelo controlador é de pequena grandeza, é necessário que ela passe por um amplificador antes de chegar ao atuador. O controlador, quando é implementado em forma digital, é atualizado periodicamente numa taxa da ordem de kilohertz. No caso de um MMA, um atuador magnético não é suficiente, sendo necessário um par para cada direção controlada, visto que os atuadores eletromagnéticos geram somente forças de atração e não de repulsão. Para isso, em cada direção de controle devem ser montados dois atuadores diametralmente opostos para garantir o total controle da posição do eixo.

57 57 Na maioria dos mancais magnéticos, os atuadores ficam localizados radialmente ao redor de um material ferromagnético que reveste o eixo. Na prática, pelo menos dois pares de atuadores, um para o controle horizontal e outro para o vertical são necessários. Porém, mancais com um número maior de pares de atuadores existem, e assim um número maior de direções são controladas. Há mancais com até 16 pólos atuadores, ou seja, com 8 pares de atuadores controlando 8 direções radiais distintas com espaçamento angular eqüidistante entre elas (SCHWEITZER et al. (2009) ) Forças nos Mancais Magnéticos Ativos (MMA) Em um modelo teórico, para se estudar os mancais magnéticos ativos, é necessário considerar várias hipóteses, as quais são enumeradas a seguir: Os níveis de fluxo magnético estão sempre abaixo do nível de saturação do material ferromagnético; Os movimentos do eixo são pequenos comparados com o tamanho da folga do mancal; A distribuição de fluxo magnético na seção transversal do estator é relativamente uniforme; A perda elétrica é pequena. Desse modelo, se observa que a força magnética mostra uma dependência quadrática proporcional à corrente do MMA e também uma dependência quadrática inversamente proporcional ao entreferro, como se mostra na equação ( 3.1 ). Além disso, observa-se que, para um MMA real, as forças resultantes, ao longo de uma direção, dependem do formato do núcleo do eletroímã, como se ilustra na Figura 3.2. Neste caso, o ângulo é incluído na força magnética da seguinte maneira: ( 3.1 ) Onde:

58 58 ( 3.2 ) Sendo os parâmetros: - Permeabilidade magnética do ar; n - Número de espiras da bobina; - Área efetiva em que ocorre a atração; i - Intensidade de corrente da bobina; s - Entreferro (airgap); - Ângulo formado entre as linhas de fluxo magnético polares e os eixos de coordenadas. Figura 3.2 Fluxo magnético e ângulo. Como se observa, para um só eletroímã, a força tem uma característica não linear. Entretanto, para fins de controle, linear, é necessária uma relação linear; isto é conseguido através de um procedimento de linearização em torno de um ponto de operação do sistema. É importante ressaltar que o sistema representado pela Figura 3.1, sem o bloco controlador, não possui um comportamento estável. Desta forma, somente com a utilização de

59 59 um sistema de controle, em malha fechada, é possível manter constante o valor pré-definido do entreferro da máquina rotativa. A Figura 3.3 ilustra, de forma simplificada, a disposição prática dos eletroímãs em um sistema de posicionamento com MMA radiais. Neste caso se admite que os MMA trabalham em modo diferencial, conforme mostrado. Figura 3.3 Mancal magnético ativo operando em modo diferencial O mancal magnético radial possui quatro bobinas, sendo um par para cada eixo ( eixos x e y ). Na Figura 3.3 estão indicadas as correntes para cada bobina; a parte hachurada representa a parte sólida do eixo e a camada externa vizinha a parte sólida representa o

60 60 laminado ( por onde passa o fluxo magnético ). As quatro forças magnéticas atuantes se opõem em pares: f 2 para f 1 e f 4 para f 3. Esta configuração gera uma composição de forças resultantes atuando em duas direções perpendiculares. A título de exemplo, pode ser demonstrado que a força f x a seguir, representa a força resultante de um MMA, gerada por dois eletroímãs diametralmente opostos, na direção x. Essas forças são obtidas pela imposição das correntes ( i 0 + i x ) e ( i 0 - i x ), onde i x é a corrente de controle. Nestas condições, os deslocamentos respectivos serão ( s 0 x ) e ( s 0 + x ), onde x é o distanciamento da posição de equilíbrio s 0. ( 3.3 ) A linearização de f x em torno de um ponto de operação é obtida com auxilio da série de Taylor. Considerando as derivadas parciais de f x em relação a i x e a x ( avaliados no próprio ponto de equilíbrio ), a força do mancal em torno do ponto de operação pode ser então escrita na forma linearizada: ( 3.4 ) ou de forma compacta: ( 3.5 ) Como observado, a escolha da corrente de bias i 0 e de s 0, que é o valor do entreferro na posição de equilíbrio, determinam os parâmetros k i e k s da força magnética resultante. 3.3 Teoria de Controle para Mancais Magnéticos

61 61 Conforme mencionado, mancais magnéticos são dispositivos de equilíbrio instável, requerendo, para o seu funcionamento apropriado, um sistema de controle em malha fechada ou realimentado, conforme sugerido na Figura 3.4, aplicável ao sistema da Figura 3.1. Figura Sistema de realimentação por malha fechada. Nesta figura, C(s) representa o deslocamento (saída), G(s) a dinâmica do rotor (planta), H(s) a dinâmica do sensor de posição, R(s) o sinal de comando proporcional ao entreferro desejado (referência), e G c (s) o controlador ( OGATA (2003) ). Neste sistema, o sinal de erro atuante, que é a diferença entre o sinal de referência R(s) e o sinal realimentado, é introduzido no controlador C(s) de modo a reduzir o erro e trazer a saída do sistema ao valor desejado. Para plantas modeladas como sistemas que somente possuem uma entrada e uma saída (SISO), a teoria de controle clássica utiliza exclusivamente o conceito de função de transferência. Análise e projeto são feitos no domínio da freqüência. Já no caso de plantas onde existem múltiplas entradas e saídas (MIMO), a teoria de controle moderno cumpre um papel crucial. Esta é baseada no conceito de espaço de estados e utiliza extensivamente a análise vetorial-matricial, onde são analisados e projetados controladores no domínio do tempo. No caso dos rotores suportados por mancais magnéticos, na prática, a planta é constituída por pelo menos cinco graus de liberdade com deslocamento linear: quatro radiais e um axial. Este último, em geral, pode ser considerado desacoplado dos outros, sendo que o seu controlador é projetado de forma independente. Neste trabalho ele não será abordado. Desta forma, a escolha natural do controlador deveria estar baseada na realimentação de estados. Entretanto, para baixas velocidades de rotação, onde o efeito giroscópico é desprezível e, portanto, também o acoplamento, o controlador para cada grau de liberdade pode ser projetado em função de modelos SISO [ SCHWEITZER et al. (1994); VELANDIA

62 62 et a. (2005) ]. Neste trabalho, para o modelo de rotor flexível, serão utilizados conceitos da teoria de controle moderno. A seguir, serão mostrados os modelos mecânicos do rotor correspondentes às abordagens de corpo rígido e corpo flexível. Neste caso são consideradas como entradas quatro forças e suas respectivas saídas (deslocamentos). Note-se que estes modelos fazem o papel do bloco G(s) na Figura 3.4, mudando neste caso para uma matriz de transferência Controlador para rotor rígido Para este tipo de modelagem, a equação que governa o movimento do rotor é dada pela Equação ( 2.6 ). Definindo: ( 3.6 ) ( 3.7 ) Após algumas manipulações, a Equação ( 2.6 ) muda para a Equação ( 3.8 ): ( 3.8 ) montado: O diagrama de blocos para a Equação ( 3.8 ), mostrado na Figura 3.5, pode ser então

63 63 Figura 3.5 Diagrama de blocos do modelo do rotor considerado rígido A seguir, para obter o modelo no espaço de estados define-se o vetor de estados:. ( 3.9 ) E sua derivada:. ( 3.10 ) Que transformam a Equação ( 3.8 ) em:. ( 3.11 ) Onde:. ( 3.12 )

64 64. ( 3.13 ) Mas o vetor f B pode ser obtido a partir de uma generalização da equação ( 3.5 ), da seguinte forma ( RODRIGUES e SANTISTEBAN (2006) ): ( 3.14 ) Onde: ( 3.15 ) ( 3.16 ) ( 3.17 ) Sendo que é o vetor contendo as correntes nos atuadores magnéticos. Substituindo a equação ( 3.14 ) na equação ( 3.8 ) e fazendo algumas manipulações algébricas, mostradas anteriormente, chega-se a seguinte relação: ( 3.18 )

65 65 Que pode ser apresentada no espaço de estados como: ( 3.19 ) Ou seja, de forma equivalente: ( 3.20 ) Onde o vetor é o sinal de controle a ser utilizado. Da teoria de controle moderno, atribui-se a este sinal a forma: ( 3.21 ) Onde é chamada de matriz de realimentação de estado. Para o seu projeto, diversas técnicas existem: alocação de pólos, LQR, LQG, etc (OGATA, 2003). Experiências nesse sentido podem ser encontradas em múltiplas referências, como por exemplo em VELANDIA et al. (2005), LOPES et. al. (2010) e SANTISTEBAN et. al. (2010) Controlador para rotor flexível Nesta parte do trabalho, considera-se que o rotor opera com dois mancais magnéticos A e B (um em cada extremidade). Para prosseguir com o estabelecimento completo das equações de movimento do sistema rotor mancal, serão introduzidas as seguintes relações, primeiramente as forças nos dois mancais magnéticos: ( 3.22 )

66 66 E os deslocamentos locais correspondentes: ( 3.23 ) Os componentes internos dos dois vetores acima se relacionam com os componentes dos vetores das equações ( 2.7 ) e ( 2.8 ) da seguinte forma: u A = x a, w A = y a, u B = x b, w B = y b ; f Au = f ax, f Aw = f ay, f Bu = f bx, f Bw = f by. Portanto, a única diferença entre os vetores mencionados é a organização de seus componentes internos. Notar que as forças nas relações acima são resultantes. Assim, montando-se a equação global do rotor de acordo com o procedimento mostrado no capítulo anterior, tem-se a forma completa da equação de movimento do sistema rotor mancal ( PALAZZOLO e LEI (2008); SCHWEITZER et al. (2009) ): ( 3.24 ) Onde é o vetor global de deslocamentos e f AMB é o vetor global de forças: ( 3.25 ) Sendo uma matriz auxiliar de transformação. A mesma também é usada para descrever o vetor de deslocamento local em termos do vetor de deslocamento global : ( 3.26 ) A seguir, a fim de facilitar estratégias de controle, a equação de movimento do sistema rotor mancal será transformada para a representação de espaço de estados. Para isso define-se o vetor do espaço de estados:

67 67 ( 3.27 ) E sua derivada: ( 3.28 ) Expressando na forma: ( 3.29 ) Chega-se então ao formato clássico da equação que modela o sistema mecânico no espaço de estados: ( 3.30 ) Ou seja: ( 3.31 ) A matriz A S é a matriz de estados do sistema e consiste das matrizes globais de massa, giroscópica e elástica ( M G, G G e K G ). O vetor de saída y é: ( 3.32 )

68 68 de estados. Que é também uma relação clássica dentro da teoria de controle no domínio do espaço ( 3.33 ) O diagrama de blocos para as Equações ( 3.31 ) e ( 3.33 ), mostrado na Figura 3.6, pode ser então montado: Figura Diagrama de blocos do modelo do rotor considerado flexível Neste trabalho, se pretende avaliar o comportamento do rotor, utilizando o modelo de corpo flexível, quando submetido aos controladores já desenvolvidos considerando um modelo de rotor rígido. A equação do sistema que inclui o rotor e as forças geradas pelos mancais magnéticos pode ser escrita a partir da equação ( 3.24 ) como: ( 3.34 ) Foi deduzida anteriormente a equação ( 3.5 ), que mostrava a força ( linearizada ) para uma dada direção de controle dentro de um mancal magnético. Tal equação pode ser generalizada, de maneira análoga a apresentada por SCHWEITZER (2009) e RODRIGUES e SANTISTEBAN (2006) ):

69 69 ( 3.35 ) Onde: ( 3.36 ) ( 3.37 ) ( 3.38 ) Sendo que é o vetor contendo as correntes nos atuadores magnéticos. Substituindo a equação ( 3.35 ) na equação ( 3.34 ) e fazendo algumas manipulações algébricas, mostradas anteriormente, chega-se a seguinte relação: ( 3.39 ) Separando os termos: ( 3.40 )

70 70 A equação acima pode ser apresentada no espaço de estados como: ( 3.41 ) Ou seja, de forma equivalente: ( 3.42 ) Obtendo assim uma expressão clássica dentro da teoria de controle, onde o vetor é o sinal de controle a ser utilizado. Da teoria de controle moderno, atribui-se a este sinal a forma: ( 3.43 ) Onde é chamada de matriz de realimentação de estado. Para o seu projeto, as mesmas técnicas mencionadas para o caso do modelo com rotor considerado rígido, podem ser aplicadas. 3.4 Análise da dinâmica do rotor suportado por mancais magnéticos Nesta parte do trabalho, pretende-se mostrar a influência dos parâmetros do controlador na solução da equação do sistema, com o modelo de rotor flexível, como um todo. Substituindo a equação ( 3.43 ) na equação ( 3.42 ), obtém-se o seguinte resultado: ( 3.44 ) Sendo:

71 71 ( 3.45 ) Para facilitar o entendimento da análise da dinâmica do rotor, alguns conceitos da teoria de análise modal serão comparados com os utilizados na teoria de controle moderno. Como é de conhecimento na teoria de análise modal, a fim de determinar a resposta de um sistema giroscópico a uma excitação há a necessidade de se estabelecer uma base de vetores ortogonais no espaço modal. Simetria das matrizes que constituem a equação de movimento do rotor é pré-requisito para o estabelecimento da dita base ( NETO (2007). ). A solução da equação homogênea ( 3.44 ) adota a seguinte forma: ( 3.46 ) Sendo uma constante e um vetor constante com o mesmo número de linhas de. Substituindo a equação ( 3.46 ) na equação ( 3.44 ) obtemos o problema de auto valor na forma padrão: ( 3.47 ) Pode ser demostrado que a equação ( 3.47 ) admite soluções na forma de auto valores e correspondentes auto vetores, assim como na forma de auto valores e correspondentes auto vetores, que satisfazem às seguintes equações: ( 3.48 ) ( 3.49 )

72 72 Dentro da teoria de análise modal, os autovetores são conhecidos como auto vetores à esquerda de e os autovetores são conhecidos como auto vetores à direita de. Para que a base de auto vetores sirva para diagonalizar a matriz, é necessário que eles sejam ortogonais entre si e em relação a. Entretanto, como não é simétrica, não existe esta relação de ortogonalidade. O mesmo pode ser dito para. Definindo como a matriz que contém os auto vetores à direita e como a matriz que contém os auto vetores à esquerda, dispostos em colunas, pode-se provar a validade das seguintes relações: ( 3.50 ) ( 3.51 ) ( 3.52 ) Onde é a matriz diagonal ( matriz espectral ) contendo os auto valores de e n é a dimensão de. As equações ( 3.50 ) e ( 3.51 ) mostram que os auto vetores à esquerda e os autovetores à direita de uma matriz real não simétrica de diferentes autovalores são ortogonais. Diz-se que os dois conjuntos de autovetores são biortogonais. Também pode ser dito a partir das relações acima que os auto vetores à direita e à esquerda são biortogonais em relação à matriz. Desta forma, pode-se diagonalizar a matriz com a seguinte relação:

73 73 ( 3.53 ) Assim, assumindo que todos os autovalores são distintos, a matriz pode ser diagonalizada por meio desta relação de semelhança. Por outro lado, numa abordagem pela teoria de controle moderno, pode ser feita a seguinte transformação de coordenadas ( PALAZZOLO e LEI (2008) ): ( 3.54 ) Onde é o vetor das coordenadas modais e V uma matriz contendo os auto vetores de, que cumprem a equação ( 3.48 ). Assim, obtém-se: ( 3.55 ) Note-se que V é a própria matriz. A matriz será diagonalizada pré-multiplicando a equação anterior por ; obtendo-se assim a equação do sistema no espaço modal: ( 3.56 ) Sendo que: ( 3.57 ) O que é equivalente à equação ( 3.51 ).

74 74 A solução da equação ( 3.56 ) pode ser escrita como se segue: ( 3.58 ) Sendo a condição inicial, calculada da seguinte maneira: ( 3.59 ) O resultado de é: ( 3.60 ) Isolando na equação ( 3.54 ), igualando o resultado com a equação ( 3.58 ) e utilizando novamente a equação ( 3.54 ) obtém-se: ( 3.61 ) Esta forma é equivalente à obtida com procedimentos clássicos da teoria de controle para a solução da equação ( 3.44 ): ( 3.62 ) O vetor alternativamente pode ser expresso conforme a seguinte equação desacoplada:

75 75 ( 3.63 ) Que pode ser convenientemente manipulada para mostrar o significado físico da equação do sistema: ( 3.64 ) Onde V i são os auto-vetores associados aos auto-valores. ( 3.65 ) Observando a equação ( 3.65 ), fica evidente que o vetor de estados é expresso como uma superposição linear de modos de vibração. Logo, desta apresentação de conceitos serão determinados a rigidez e o amortecimento equivalentes do sistema controlado nas diferentes direções de controle. Para isso, na equação de movimento do rotor, será considerado um vetor generalizado de forças externas F E,como mostrado na equação ( 3.66 ), e será adotado um procedimento análogo ao utilizado por GUIRÁO (2006), com a diferença de que nesta dissertação se trata de uma análise considerando uma matriz de realimentação de estados ao invés de controladores do tipo PID. ( 3.66 ) Utilizando a lei de controle, mostrada na equação ( 3.43 ), esta pode ser escrita de uma forma conveniente como:

76 76 ( 3.67 ) Assim, através de algumas substituições e manipulações algébricas, chega-se a: ( 3.68 ) Ou seja: ( 3.69 ) Que pode ser escrita como: ( 3.70 ) Que se encontra na forma análoga ao de um clássico sistema massa-mola-amortecedor. Desta forma, a rigidez K eq e amortecimento C eq equivalentes resultam como: ( 3.71 ) ( 3.72 ) Este é um resultado útil para o projeto de controladores, pois mostra que é possível atribuir amortecimento e rigidez equivalentes do sistema através da escolha apropriada dos parâmetros do controlador além dos do próprio mancal magnético. Esta característica explica

77 77 a capacidade de mudar, em operação, as freqüências críticas do rotor enquanto é acelerado para atingir sua velocidade final.

78 4 Resultados 4.1 Introdução Neste capítulo são apresentados os resultados da modelagem do rotor, de forma geral, utilizando os procedimentos do capítulo 2. Primeiramente é discutida a problemática da modelagem do laminado do rotor em estudo e a solução adotada. Em seguida, é mostrado o procedimento da discretização do rotor em elementos. Nessa parte são explicados detalhes da modelagem aplicada ao rotor em questão do trabalho. Passa-se então para a descrição dos algoritmos desenvolvidos, implementados no software Matlab ( GILAT (2006) ), para o cálculo das matrizes de estado e de outros resultados de interesse, tais como valores de frequências naturais e diagramas de campbell. A fim de validar o modelo obtido, são adotados alguns procedimentos: cálculo analítico das vibrações em rotação nula, obtenção experimental das frequências naturais do rotor e comparações com a modelagem de um rotor feito de alumínio. Este último procedimento foi feito com o intuito de verificar a validade do algoritmo desenvolvido para o rotor em estudo uma vez que o rotor de alumínio apresenta uma estrutura simples de ser modelada. Por fim é feita uma análise do desempenho do modelo obtido quando inserido dentro da antiga estrutura de controle, ou seja depois de feita a atualização na simulação do sistema de controle. Adicionalmente, foram realizados experimentos para a obtenção das primeiras frequências naturais e os correspondentes modos de vibração na condição livre de apoios, tanto para o rotor em estudo e o rotor de alumínio. Os modelos são então avaliados, comparando-se os valores das frequências naturais obtidas experimentalmente com aquelas calculadas pelo método dos elementos finitos.

79 Problemática da modelagem do laminado Quase todos os rotores de máquinas elétricas girantes são constituídos por um cilindro metálico montado com interferência sobre um eixo. No caso do motor de indução, este cilindro é formado por um conjunto de lâminas de aço de pequena espessura, que são empilhadas e compactadas formando um bloco único chamado de núcleo laminado ou pacote laminado. Esta arquitetura é necessária para diminuir as perdas por correntes parasitas induzidas no material magnético e, com isso, melhorar a eficiência da máquina. O núcleo laminado adiciona uma parcela de rigidez adicional ao sistema mecânico (no caso, à região do eixo que contém o laminado ) e dependendo da forma como o rotor foi construído, bem como de suas características geométricas, este efeito de enrijecimento pode ser maior ou menor. Uma caracterização inadequada deste elemento pode ocasionar grandes erros na previsão do comportamento dinâmico do rotor ( SANTOS (2008) ). Modelar adequadamente o laminado do rotor passa por vários problemas. Um deles é que a interferência entre laminado e eixo (proveniente do processo de fabricação ) influencia o fenômeno de enrijecimento do eixo ( na região do laminado ), e esta interferência não é simples de ser quantificada. Um segundo problema é sobre o módulo de elasticidade a ser usado para modelar o laminado e como determiná-lo; um modelo completo exigiria a capacidade de contemplar a anisotropia do módulo de elasticidade do mesmo. Por fim, existe também a influência da relação geométrica entre o eixo e o laminado, bem como do modo de vibração em análise. Quanto menor o comprimento do laminado em relação ao eixo e maior seu diâmetro ( ou seja quanto mais próximo a um disco ), tanto menor será a influência da rigidez adicional. Além disso, modos de vibração distintos podem afetar a precisão de um modelo de formas diferentes. Neste trabalho, para lidar com a problemática do laminado, será usado o artifício técnico do modelo de viga equivalente. Nesse modelo uma parcela do núcleo laminado é considerada parte do eixo, agregando além de massa e inércia, uma contribuição na rigidez total do rotor. Um acréscimo no valor do diâmetro, no eixo, simula o efeito de enrijecimento do pacote laminado, procedimento semelhante ao que foi apresentado por Lalanne e Ferraris (1990) para considerar discos montados com interferência no eixo. O acréscimo no diâmetro do eixo é aplicado somente na região na qual se situa o laminado, e não no eixo como um todo. Em outras palavras, o elemento de disco na região considerada terá seu diâmetro interno aumentado.

80 Discretização do rotor em elementos finitos Nesta seção será discutida a utilização do modelo de viga equivalente e a modelagem do rotor de interesse deste trabalho. A Figura 4.1 mostra um exemplo de aplicação. Trata-se de uma estrutura simples: um eixo de diâmetro uniforme ao longo de toda a extensão do rotor, com um conjunto laminado montado sobre o mesmo. O procedimento para modelar este rotor pode ser resumido nas seguintes etapas: Divisão do rotor em seções ( elementos ). As linhas verticais tracejadas indicam os locais de divisão entre elementos. Neste caso seriam 9 nós, 8 elementos de eixo e 4 elementos de disco. As posições dos nós estão representadas por círculos; Escolha do aumento do diâmetro do eixo na região do laminado, para simular o efeito de enrijecimento provocado pelo conjunto laminado. Notar que os elementos de disco tem seu diâmetro interno aumentado proporcionalmente; Escolha das posições onde serão concentrados os elementos de disco e de mancal. Por exemplo, os elementos de disco poderiam ser concentrados nos nós 3, 4, 5, 6 ou Figura 4.1 Modelo de viga equivalente

81 81 Desta forma, finalmente o rotor do exemplo é convertido em um sistema de viga equivalente com os parâmetros dos elementos de disco e mancal concentrados. A discretização do rotor de interesse deste trabalho seguirá os procedimentos já descritos. Na Figura 4.2 é mostrada a divisão do rotor completo em elementos e são indicados os números dos nós. No conjunto laminado do rotor do motor são considerados dois anéis. Esta divisão foi escolhida depois de várias tentativas e verificar que as duas frequências naturais mais baixas ficaram sendo mais próximas daquelas que foram medidas experimentalmente. Foram feitas simplificações na geometria do rotor completo, desconsiderando alguns detalhes tais como os chanfros e considerando propriedades médias em cada seção. Rotor do MMA Rotor do Motor Rotor do MMA Figura 4.2 Divisão do rotor completo em elementos A tabela seguinte mostra a discretização usada para modelar o rotor, onde: Nv é o número do elemento de viga, Nesq é o nó à esquerda do elemento de viga, Ndir é o nó à direita do elemento de viga, L e D ( i interno; e externo ) são o comprimento e o diâmetro (mm) do elemento em questão, ρ é peso específico ( kg/m 3 ), E é o módulo de elasticidade (Gpa), Nd é o número de elementos de disco e Nod o nó de aplicação de cada disco. Detalhes sobre a geometria após a discretização podem ser vistos na Figura 4.3. Os diâmetros equivalentes estão indicados com linhas pontilhadas. Nos nós 3 e 13 são considerados os pontos de aplicação das forças magnéticas (meio do rotor de cada MMA).

82 82 Tabela 4.1 Parâmetros para modelagem do rotor Elementos de Viga Elementos de Disco Nv Nesq Ndir L D ρ E ν Nd Nod L Di De ρ Infelizmente, embora o rotor tenha sido construído na própria UFF, alguns dos seus parâmetros são desconhecidos, especialmente os que se referem ao laminado do rotor do motor de indução. Desta forma, algumas das propriedades dadas na tabela anterior tiveram que ser aproximadas.

83 Figura 4.3 Geometria da discretização do rotor de aço 83

84 Descrição dos algoritmos desenvolvidos Foram desenvolvidos algoritmos ( no Matlab ) para o cálculo de frequências naturais, plotagem dos modos de vibração, plotagem de diagramas de Campbell, plotagem de diagramas de frequência natural versus rigidez equivalente e amortecimento equivalente nos mancais (No apêndice 7.1 encontram-se os algoritmos correspondentes). Além destes, o mais importante, do ponto de vista de controle, foi o algoritmo desenvolvido para o cálculo dos parâmetros da equação de movimento do sistema mecânico, do rotor suportado por mancais magnéticos, na formulação de espaço de estados, que leva em conta a flexibilidade do rotor. Embora a integração dos diversos algoritmos desenvolvidos seja possível, optou-se pela criação de vários algoritmos independentes, mesmo tendo estruturas internas muito parecidas. O motivo foi a facilidade de correção e modificação de acordo com as necessidades, juntamente com a vantagem óbvia de se trabalhar com algoritmos com funções distintas um de cada vez, ao invés de trabalhar com um único algoritmo que fornecesse todos os dados ao mesmo tempo. Na Figura 4.4 é mostrado um fluxograma com os procedimentos correspondentes ao algoritmo que calcula as frequências naturais. Entretanto, este fluxograma sofre algumas modificações quando se trata dos outros algoritmos, como será explicado mais adiante. A seguir será feita uma descrição de cada um destes procedimentos.

85 85 Figura 4.4 Fluxograma do algoritmo para cálculo das frequências naturais. Inicialização dos vetores contendo parâmetros do rotor: nesta etapa são inseridos os dados de entrada, tais como parâmetros geométricos e propriedades do rotor, velocidade de rotação, número e tipo de elementos no rotor, propriedades dos mancais e posição de concentração dos parâmetros dos mancais e dos elementos de disco. Os dados de entrada são apresentados como vetores linha ou como escalares, excetuando a matriz de entrada para os diâmetros do elemento de disco, que possui na primeira linha diâmetros internos e na segunda linha diâmetros externos, e as matrizes de rigidez e amortecimento do elemento mancal. Com essa informação são realizados cálculos de áreas e inércias dos elementos, entre outros. Loop para cálculo das matrizes elementares de cada elemento do rotor: após a discretização do rotor, feita fora do algoritmo, são realizados cálculos das matrizes elementares para os elementos de disco e de eixo, com a diferença de que o elemento de disco necessita de um vetor contendo as posições de concentração das inércias ( parâmetros concentrados ). Há um loop para cada tipo de elemento ( eixo