INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS EM ESTOCÁSTICA

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1 INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS EM ESTOCÁSTICA LIA MARQUES MAROCCI, JOYCE FURLAN (UNIVERSIDADE SÃO FRANCISCO). Resumo Este trabalho consiste em um relato de experiência em sala de aula, voltado para a exploração de conceitos de estocástica, desenvolvido com alunos de 8ª série do ensino fundamental e 3º série do ensino médio. Utilizamos atividades de cunho investigativo na perspectiva da resolução de problemas. A iniciativa de se trabalhar com este tema, partiu de um grupo colaborativo de pesquisa em Educação Matemática da Universidade São Francisco (campus de Itatiba), GRUCOMAT (Grupo colaborativo de matemática), sob a orientação das professoras Adair Mendes Nacarato e Regina Célia Grando. Para a realização das atividades, primeiramente, os alunos foram separados em grupos e foram desenvolvidas tarefas que lhes proporcionassem o contato com a linguagem em estocástica e com a estimativa de medidas de chances na ocorrência de determinados eventos. Essas atividades iniciais permitiram às professoras reconhecerem os conhecimentos prévios dos alunos sobre o assunto. Dando continuidade à sequência de atividades os alunos trabalharam com o jogo A travesisa do rio ( APM Associação de Professores de Matemática de Portugal). Além das regras do jogo, os alunos receberam também algumas atividades de intervenção sobre o jogo, com possibilidades de início do jogo, a fim de possibilitar a análise de jogo. Tais atividades foram elaboradas conjuntamente pelos participantes do GRUCOMAT e os alunos foram motivados a experimentá las e discuti las. No decorrer das atividades foram realizadas situações de socialização das idéias produzidas pelos alunos. As análises das atividades e do jogo possibilitaram reconhecer como os estudantes manifestam e se apropriam dos conceitos relacionados à probabilidade, envolvendo sua linguagem, medida e formas de representação (distribuição normal, construção de histograma). Palavras-chave: Educação Matemática, Investigações Matemáticas, Estocástica. "Primeiros contatos" com as investigações matemáticas em estocástica. Iniciamos nossa1 carreira docente por volta de 2004 e desde o começo nos deparamos com indagações que nos incomodam, provenientes de situações correntes em nossas salas de aula. Como fazer nossos alunos realmente aprenderem matemática? Como despertar o interesse de nossos alunos para a matemática? De que maneira mostrar sentido na matemática? Na busca para sanar nossos questionamentos, encontramos o GRUCOMAT - Grupo Colaborativo de Matemática - da Universidade São Francisco, sob a orientação das docentes Adair Mendes Nacarato e Regina Célia Grando. Esse se reúne para estudar, elaborar situações para sala de aula, discutir, analisar e registrar experiências do ensino de matemática. Em 2009 o grupo vem se dedicando ao estudo de atividades investigativas em estocástica (Estatística e Probabilidade), aplicadas à sala de aula. Percebemos a importância da inserção da estocástica no ensino da Matemática, pois este tema é muito relevante à formação dos alunos. Nesse sentido, compreendemos tal como Lopes (2008:58):

2 O estudo desses temas torna-se indispensável ao cidadão nos dias de hoje e em tempos futuros, delegando ao ensino da matemática o compromisso de não só ensinar o domínio dos números, mas também a organização de dados, leitura de gráficos e análises estatística. Concordamos com essa necessidade do ensino da estocástica, pois acreditamos que assim ajudamos o aluno a entender e preparar-se para situações presentes no mundo que vive. Tais perspectivas também presentes nas discussões do GRUCOMAT, nos permitiram refletir criticamente sobre nossas práticas pedagógicas, uma vez que tivemos contato com "novas" metodologias para o ensino de matemática. O grupo elaborou, coletivamente, uma sequência de tarefas sobre estocástica para a sala de aula da escola básica. A princípio, foi proposto que a Joyce as aplicasse com seus alunos do último ano do ensino fundamental, e depois Lia aderiu à ideia de trabalhar com seus alunos do último ano do ensino médio. E nós aceitamos o desafio. A escola, os alunos e a escolha das salas Gostamos de trazer atividades diferentes para nossos alunos e todos os projetos somente são possíveis de serem realizados, pois temos o apoio da coordenação e da direção da E.E. "Professor Joaquim Antonio Ladeira", escola onde trabalhamos. É uma escola localizada na região central do município de Louveira, interior de São Paulo e por esse motivo recebe alunos de vários bairros adjacentes e também da área rural da cidade. Atende aos três períodos (matutino, vespertino e noturno) frequentados por alunos do Ensino Fundamental II, Ensino Médio, EJA (Ensino de Jovens e Adultos) e Tele-Cursos. Não seria uma tarefa fácil caracterizar nossos alunos, afinal de contas não dá para generalizar, no entanto, como todo aluno (humano), eles são brincalhões, riem, choram, brincam, estudam, brigam, perdoam, amam. Enfim, esses são nossos alunos. Nada de novidade, não é? Quanto às salas escolhidas, para a Joyce foi um desafio, pois ela optou por realizar as tarefas com seus alunos da 8ª Série do Ensino Fundamental, uma sala, com alunos pouco participativos, pouco questionadores, no entanto considerada pela maioria dos professores que lecionam nesta classe, como uma sala comprometida, que realiza todas as atividades propostas. O 3º ano do ensino médio foi escolhido pela Lia para que pudéssemos observar as diferenças e semelhanças no desenvolvimento do mesmo projeto em salas de "níveis" distintos. Os alunos desta sala são considerados em sua maioria, desenvoltos, participativos e questionadores, porém não gostam muito de produzir respostas escritas. Da "falação" para a ação O trabalho proposto consiste em uma sequência de tarefas que visam explorar e expandir a linguagem oriunda de conhecimentos prévios sobre probabilidade, além de possibilitar o desenvolvimento do pensamento estocástico em um processo de construção do conhecimento.

3 Registramos as aulas através de vídeo e áudio gravações. As tarefas eram distribuídas e explicadas aos alunos, que em grupos discutiam e escreviam suas conclusões. Quase sempre ao terminar a discussão nos grupos, abríamos espaço para uma nova discussão mediada pelas professoras, agora entre toda a sala. Consideramos este, um momento de muita importância, visto que permite a comunicação de ideias, onde os alunos podem argumentar sobre seu ponto de vista e convencer ou ser convencido sobre uma nova ideia. Ao terminar a socialização de opiniões não temos uma única resposta. Nossa postura, enquanto mediadoras da discussão foi a de valorizar todos os caminhos criados pelos alunos, tentado fazêlos enxergar que não há "certo ou errado", mas o importante é que tenha algum sentido, não seja algo absurdo. Tomamos essa postura para valorizar o processo de construção do conhecimento e não apenas o produto final. Uma das primeiras dificuldades foi com relação à filmagem das aulas. No início, contamos com um colega do GRUCOMAT; no entanto, sua inserção na sala de aula, causou incômodo para os alunos. Assim, optamos por solicitar a um aluno da classe que nos ajudasse. Outra dificuldade foi à forma de conduzir as aulas, principalmente durante as socializações, pois não estávamos acostumadas a aulas nessa perspectiva. Foi difícil achar as perguntas certas, e mais difícil ainda aceitar que não as tínhamos feito, quando ao assistir às gravações percebíamos como poderíamos ter feito diferente. Criticamos-nos bastante quanto a isso. No entanto, ao explicar ao GRUCOMAT essa sensação incômoda, nossos colegas ajudaram-nos a entender que isso faz parte do processo e essa reflexão sobre nossas aulas, é o que nos permitiria melhorá-las. Nesse sentido, compartilhamos com Freire (1996:98): "Por isso é que, na formação permanente dos professores, o momento fundamental é o da reflexão crítica sobre a prática. É pensando criticamente a prática de hoje ou de ontem que se pode melhorar a próxima prática". Com relação às tarefas, quatro delas priorizavam a linguagem estocástica, tentando explorar o vocabulário que os alunos possuíam sobre o assunto e ampliá-lo. As outras seis trabalhavam as medidas de chance. Algumas atividades, algumas discussões... Na primeira tarefa apresentada aos alunos, buscando explorar a linguagem, os grupos deveriam decidir como ligar expressões com significados equivalentes (ou próximos) dispostas em duas colunas. (1) Não pode ocorrer (2) Não ocorre muito (3) Ocorre com frequência (4) Ocorre quase sempre (A) Muito provável (B) Improvável (C) Provável (D) Pouco provável Desta atividade resultaram discussões muito interessantes; os alunos têm diferentes idéias no que se refere ao sentido das expressões. Alguns defendiam que "Ocorre com frequência" e "Muito provável" deveriam ser ligados assim como "Ocorre quase sempre" e "Provável", enquanto outros argumentavam que o inverso deveria ser feito. Buscaram o dicionário, conversaram bastante. Então surgiu a questão: com que frequência você vai ao dentista? Sempre?

4 A maioria ponderou que ocorrer com frequência não significa ocorrer sempre, como por exemplo, ir ao dentista a cada seis meses e por isso, decidiram que a melhor relação para eles seria "Ocorre com frequência" com "Provável" e "Ocorre quase sempre com "Muito provável". Ninguém mais quis argumentar a partir desse ponto. Após a realização de algumas tarefas envolvendo a exploração do vocabulário estocástico, as professoras aplicaram com seus alunos atividades que abordavam conceitos de medidas de chance; descreveremos a seguir. Tarefas - Fichas no saco Vou colocar uma ficha azul e uma amarela em um saco e pedir para você tirar uma sem olhar. Qual você pensa que seja mais provável de sair? a) b) c) d) a azul a amarela ambas tem a mesma possibilidade de sair não sei E se eu colocar duas fichas azuis dentro do saco e uma amarela; qual é a mais provável que saia? a) b) c) d) a azul a amarela ambas tem a mesma possibilidade de sair não sei Com duas fichas azuis e uma amarela dentro do saco, a probabilidade de tirar uma vermelha: a) b) c) d) é certa pouco provável impossível não sei Na sala de aula da professora Joyce muitas discussões apareceram nesta fase das tarefas. Apesar de, numa tarefa anterior termos trabalhado com a probabilidade de sair cara ou coroa em uma moeda, as respostas dos alunos foram variadas, e cada um defendeu "suas teorias". No momento da socialização, a professora perguntou a um dos grupos como haviam respondido as questões propostas pelas atividades "fichas no saco", já que as três foram desempenhadas simultaneamente, e ficou

5 surpresa com a resposta, pois um grupo havia respondido "não sei", e quando questionado pela professora, disseram que dependia do número de sorteios realizados, argumentando que se a quantidade de sorteios fosse um número par, ambas teriam a mesma possibilidade de sair, mas se o número fosse ímpar, uma teria mais chance do que a outra. A professora sentiu a necessidade de colocar para a sala de aula a conclusão do grupo e alguns alunos se manifestaram a favor das colocações feitas pelos colegas. Incomodada precisou intervir de uma maneira que não "estragasse" o pensamento do grupo de alunos, e sendo assim, questionou se alguém da sala tinha respondido diferente. Um outro grupo se manifestou, dizendo que ambas teriam a mesma possibilidade se sair, ou seja, tanto poderia sair uma ficha quanto a outra, logo as chances são iguais.. Percebemos então que alguns alunos já estavam construindo o pensamento probabilístico, e outros se detinham muito à questão da sorte, pois na tarefa posterior, ocorreram as seguintes discussões: Professora: E quanto à segunda atividade, o que vocês responderam? Grupo de alunos A: Que ambas têm a mesma possibilidade. Professora: Como vocês pensaram? Grupo de alunos A: Da mesma forma que eu posso tirar uma das azuis eu posso tirar uma amarela, mesmo sendo minoria. Professora: Então quer dizer que se eu tiver em um saco cem fichas, e noventa e nove forem azuis e uma for amarela, e sortear ao acaso, ambas terão a mesma possibilidade de sair? Grupo de alunos A: Sim, porque depende da sorte. Professora: Todos concordam? Grupo de alunos B: será maior, pois tem mais. Não concordamos, pois a probabilidade de tirar azul Infelizmente fomos interrompidos pelo sinal da troca de aulas e nossa aula teve que ser finalizada no "auge" das discussões, no entanto a professora disse que as retomaria nas aulas seguintes. Antes de retornar às discussões na sala de aula, Joyce levou suas angústias para o GRUCOMAT, pedindo ajuda em como conduzir as aulas seguintes para que permitisse que os alunos avançassem e não ficassem estagnados no conhecimento. Foi sugerido a ela, que propusesse aos alunos uma tarefa experimental, já que um dos grupos tinha sentido a necessidade de realizar tal experimentação. A professora iniciou a aula pedindo o auxílio de dois alunos no sorteio das fichas. Mostrou à sala que o saco estava vazio. Colocou então uma ficha de E.V.A. azul e uma amarela. Iniciada a sessão de sorteios com a ajuda de duas alunas, saiu primeiro a ficha amarela, e num segundo sorteio com reposição novamente a cor amarela.

6 Sentindo a necessidade de ir para a lousa, a professora decidiu colocar as possibilidades, ou seja, as combinações possíveis nos sorteios das fichas, até para responder as indagações do grupo que tinha respondido na aula anterior que dependia do número de vezes que se realizava o sorteio. No caso de um sorteio apenas, os alunos disseram que poderia sair uma ficha azul ou uma amarela. No caso de dois sorteios consecutivos os alunos concluíram que poderia sair as seguintes combinações: 1 Sorteio 2 Sorteio Amarela Amarela Azul Azul Amarela Azul Amarela Azul Realizamos a mesma experimentação com três sorteios consecutivos, no entanto sem de fato efetuarmos a retirada das fichas do saco, pois a professora solicitou aos alunos que dissessem as possíveis combinações, como mostra a tabela abaixo: 1 Sorteio 2 Sorteio 3 Sorteio Amarela Azul Azul Azul Amarela Amarela Amarela Amarela Azul Amarela Amarela Amarela Azul Azul Amarela Azul Azul Azul Azul Amarela Azul Amarela Azul Amarela Após estes ensaios experimentais, a professora indagou à sala de aula, quanto às conclusões do grupo de alunos A, que relacionou as chances dos sorteios ao número de vezes que estes eram realizados e pediu para que alguém explicasse se as colocações do grupo faziam, ou não, sentido. Foi preciso muitas intervenções da professora até que se chegasse a um consenso de que a hipótese levantada pelo grupo de alunos e a questão proposta na tarefa eram coisas distintas, pois a tarefa na realidade estava se referindo a um único sorteio. E entretanto, como a colocação do grupo foi muito interessante, a professora aproveitou o "gancho" para discutir um pouco de análise combinatória, já que o momento era propício para tais questionamentos. Pediu para que os alunos observassem na lousa o que estava acontecendo, ou seja, que quando foi realizado um único sorteio, haviam duas possibilidades de retirada, no caso de dois sorteios consecutivos, com reposição, havia quatro combinações possíveis, e quando foram feitos três sorteios em sequência, eram oito possíveis combinações. Nesse momento a professora acredita que a aula investigativa foi muito rica, pois os alunos começaram a levantar hipóteses quanto à presença de números pares nas combinações. Foi então que a professora aproveitou o momento para questionar, quantas seriam as combinações possíveis na realização de quatro sorteios consecutivos, e após alguns instantes de reflexão e discussão, um dos alunos disse que seriam dezesseis. Questionou como ele havia pensado, e ele disse que as possibilidades estavam sendo multiplicadas por dois. Ela não pôde esconder sua satisfação com a resposta e, pediu para que os alunos colocassem no papel as combinações possíveis referentes aos quatro sorteios, que puderam verificar que a conjectura do colega era verdadeira.

7 Joyce acredita que essa atividade, assim como as outras, foi muito rica, pois permitiu que os alunos pensassem matematicamente, construindo significados, o que talvez em uma aula dita "tradicional", não aconteceria. Jogando A Travessia do Rio [1] - Colocando em prática os conceitos apreendidos Após realizarmos a sequência de tarefas, os alunos jogaram "A travessia do rio", jogo retirado da página na Internet da APM (Associação de professores de matemática de Portugal). O jogo é composto por um tabuleiro simulando um rio e suas margens, dois conjuntos com doze fichas sendo cada um de uma cor e dois dados cúbicos numerados de um a seis. Escolhidas as cores para cada participante, estes devem dispor suas fichas pelas casas numeradas de um a doze situadas em suas respectivas margens, podendo pôr mais de uma ficha na mesma casa deixando outras vazias. Os jogadores lançam os dois dados alternadamente calculando a soma, e se a soma corresponder a uma casa que contenha alguma ficha em sua margem o jogador então, atravessa o rio com a ficha. O objetivo é atravessar todas as fichas para a margem oposta; portanto, vence quem atingi-lo primeiro. No entanto, antes de deixar os alunos jogarem livremente, o GRUCOMAT estabeleceu algumas situações, em que a posição das fichas já estava determinada. Na primeira delas as fichas azuis estavam distribuídas nas casas 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 11, enquanto as vermelhas estavam nas casas 1, 2, 3, 7, 8, 10, 11 e 12. Então distribuímos os tabuleiros para que os alunos, em grupos de quatro jogassem, uma dupla para cada cor. Na sala da Lia assim que recebeu a atividade, uma garota reclamou com a professora: "O vermelho nunca vai ganhar, tem uma pecinha no um". Mesmo assim, como sua própria dupla havia escolhido a cor vermelha, ela começou a jogar. Os demais alunos levaram um tempo maior para perceber que não seria possível a vitória do vermelho, pois jogando com a soma dos resultados de dois dados nunca teremos o número um. À medida que percebiam ficavam um tanto quanto revoltados, mas ninguém desistiu do jogo. Após três rodadas diferentes com as peças estabelecidas, chegou a hora de escolherem onde seria melhor posicionar suas fichas e jogar, e assim o fizeram. Pudemos observar algumas situações interessantes nas escolhas feitas pelas duplas, por exemplo, o fato de várias duplas colocarem suas peças na casa de número 12, mas não na casa de número 2. Essa situação gerou o seguinte diálogo entre Lia e uma das duplas: Professora: Por que vocês colocaram uma peça no 12? Alunos: Porque o 12 sai bastante. Professora: E por que não colocaram no 2? Alunos: Porque o 2 nunca sai. Professora: Mas quais são as chances de sair o 2? Alunos: Só se sair 1 nos dois dados. Um sexto[2]

8 Professora: E o 12? Alunos: Se sair 6 e 6. Um sexto também. Mas o 12 sai mais do que o dois. Acreditamos que justificam dessa maneira, pois se baseiam nas outras jogadas que fizeram, ou por atribuírem essa questão à sorte, outros dizem que o 12 sai mais por que é maior. Também algumas duplas colocaram várias peças nos 6, 7, 8 e 9, também justificando que são números que saem bastante. A opinião sobre o primeiro jogo foi unânime, jogo injusto, já que o vermelho estava em desvantagem por possuir uma peça na casa de número 1. Enquanto jogavam da última vez, os alunos deveriam anotar todas as somas encontradas ao jogar os dados, para que mais tarde pudessem construir um gráfico. Organizando esses valores em tabelas calcularam as frequências e daí construir um histograma representando-as.[3] Posteriormente aos jogos, os grupos de alunos organizaram em uma tabela todos os resultados possíveis de se obter somando os resultados no lançamento de dois dados, isto é, descreveram o espaço amostral. Em seguida fizeram o cálculo das chances de se obter cada valor de um até doze neste mesmo lançamento. Após realizarmos todas as tarefas, pedimos para que os alunos fizessem por escrito algumas reflexões, questionando se o jogo "A travessia do rio" era de sorte ou se ele permitia alguma estratégia para vencer. O intuito era verificar o que havia ficado do jogo para eles, e quais as impressões que tiveram do mesmo. Alguns alunos disseram que era um jogo apenas de sorte; outros, que permitia estratégias, justificando que não se poderia apostar fichas no número 1, pois seria impossível tirar um com dois dados; outros ainda que ocorriam ambas as situações. Houve ainda os que disseram que seria mais fácil vencer se a maioria das apostas se concentrassem nos números 6, 7,8 e 9, pois são os números, que segundo o registro deles, mais saem. Os alunos da Joyce também escreveram cartas endereçadas ao GRUCOMAT[4], contando suas experiências sobre o jogo e o estudo sobre probabilidade. Foi um trabalho demorado, quase um bimestre trabalhando com essa sequência de tarefas. As professoras e os alunos trabalharam bastante. Pensamos que em alguns momentos o trabalho foi um pouco cansativo, talvez pelo modo como foi conduzido, ou pelo fato de muitas vezes sermos interrompidos pelo fim da aula, ou ainda pela "quebra" do modelo de ensino que os alunos e professoras estavam acostumados, mas valeu a pena, pois percebemos que pudemos participar de momentos de muita reflexão e (com)partilhamento, e isso foi muito significativo para nós. O que ficou... Foi difícil deixar para trás a "viciosa" prática de corrigir as tarefas na lousa, adotando "a resposta correta". A ideia de que o professor tem certeza de tudo e é dono da resposta final colocada na lousa e todos os alunos copiam, aceitando-a, mesmo não concordando ou não entendendo. Seria pretensioso da nossa parte, concluir que deixamos isso totalmente no passado, pois sabemos que este é um processo gradativo, mas sabemos que demos o complicado ponto de partida. Essa (des)construção da verdade do professor foi de fato o que mais "mexeu" conosco

9 enquanto professoras. Essa sensação desconfortável não apenas "assombrou" nossos pensamentos como também desconcertou aos próprios alunos, pois em um dos momentos ocorridos em sala de aula da Lia, uma aluna disse "professora, você está me deixando confusa". Este ocorrido foi levado ao GRUCOMAT, pois tais palavras a deixaram incomodada, no entanto a mesma foi imediatamente acalmada pela Adair, com as palavras "é impossível aprender sem ficar confuso" (Schön, 1995 : 85). Este projeto nos proporcionou sair da rotina da "tradicional" aula de matemática e tentar algo diferente; interessou a um maior número de alunos que se envolveu e participou de boas discussões. Percebemos a mudança de comportamento dos alunos a princípio tímidos, inseguros e que, aos poucos, mesmo sem perceber, já estavam participando, falando, opinando, questionando, levantando hipóteses, refutando-as e validando-as num processo de idas e vindas, de comunicação de ideias. Pudemos notar também o quanto "saber ouvir" o aluno, ou seja, dar voz a ele possibilita ricos momentos de reflexão sobre a aprendizagem, e conduz o aluno à construção autônoma de seu conhecimento. Os alunos aprendem por si só, e nós aprendemos com eles e, é nesse ambiente múltiplo de construção de saberes que acreditamos. Outra consideração importante é com relação às contribuições do GRUCOMAT, pois o grupo muito colaborou para que pudéssemos refletir criticamente sobre nossas práticas, nossas condutas e; sobre todo o processo de ensino e aprendizagem. Foram nas discussões que se deram no grupo que fomos capazes de "enxergar" pontos positivos e negativos e acreditar no verdadeiro "fazer matemática", rompendo com aquele suposto modelo "cristalizado" de aulas que vínhamos adotando. Constatamos, nessa experiência, que muitas são as maneiras dos alunos expressarem-se, onde alguns, como os do Ensino Médio se saem melhor na oralidade, outros, na escrita, como os alunos do Ensino Fundamental. Concordamos então, que não existe apenas um modo de verificar a aprendizagem do aluno, tudo irá depender da melhor forma como ele se expressa, ou seja, aquela com que eles mais se identificam. Devemos então, enquanto professoras respeitar essas diferentes formas de expressões e nesse sentido, acreditamos que a aula investigativa é um ambiente propício para isso. O jogo proporcionou o contato com uma situação prática de probabilidade. Entreteu os alunos, ao passo que estimulou o aprendizado e pôs "à prova" se as tarefas realizadas anteriormente tinham produzido algum significado. Compreendemos que o jogo "movimentou" o pensamento probabilístico dos alunos e promoveu uma troca de ideias e um momento bastante interativo, mesmo tendo havido momentos cansativos para alguns grupos. Cremos que o jogo foi uma forma interessante de estimular o pensamento probabilístico, pois este permitiu a elaboração de estratégias, favoreceu a criatividade e propiciou a simulação de situações-problema. Possibilitou a participação dos alunos em grupo, promovendo além da conquista cognitiva, a interação social e o respeito aos colegas. Sendo assim, nos identificamos com as colocações de Grando e Marco (2006): a utilização dos jogos no ensino da Matemática, quando intencionalmente definidos, pode não apenas promover um contexto estimulador e desafiante para o movimento de formação do

10 pensamento do ser humano, de sua capacidade de cooperação, mas também torna-se um auxiliar didático na produção de conhecimentos matemáticos. (p.116) Apesar de nossas limitações, tanto em relação à experiência com aulas investigativas quanto à estocástica, acreditamos que o desafio de "mudarmos" e "inovarmos" nossas aulas foi gratificante. Não dá para se dizer com certeza qual é a melhor maneira de promover a aprendizagem de nossos alunos, mas devemos valorizar que aulas investigativas aproximam o aluno do professor, os alunos de seus colegas e os alunos do conhecimento matemático. Sabemos que alunos esperam muito mais do professor, do que este dos alunos, por isso a necessidade de se buscar "novas" formas de ensinar. Companheiros desta narrativa (Referências bibliográficas) FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: Saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, GRANDO, Regina Célia, MARCO. Fabiana F. de. O movimento da resolução de problemas em situações com jogo na produção de conhecimento matemático. In: MENDES, Jackeline M., GRANDO, Regina C. (org). Múltiplos Olhares. São Paulo: Musa Editora, 2007, p LOPES, Celi. E. O ensino da estatística e da probabilidade na educação básica e a formação dos professores. Cadernos CEDES (UNICAMP). Campinas. vol. 28. n.74. jan./abr p SCHÖN, Donald. Formar professores como profissionais reflexivos. In: NOVÓA, A. (coord.). Os professores e sua formação. Lisboa: Publicações Dom Quixote/Instituto de Inovação Educacional, 1995, p Docentes da rede pública estadual. joyce.furlan@hotmail.com e liammarocci@hotmail.com [1] Ver anexo 1 [2] Os alunos da Lia já haviam tido contato com o cálculo das probabilidades no 2º ano do ensino médio. [3] Ver anexo 2 [4] Ver anexo 3