Apoio à Decisão. Aulas 1 e 2. Quem sou eu? Mônica Barros, D.Sc. Programa do Curso Ferramentas de Análise do Excel. Mônica Barros

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1 Quem sou eu? Métodos Estatísticos sticos de Apoio à Decisão Aulas 1 e 2 Mônica Barros, D.Sc. Mônica Barros Doutora em Séries Temporais PUC-Rio Mestre em Estatística University of Texas at Austin, EUA Bacharel em Matemática University of Washington, Seattle, EUA Professora da PUC-Rio (Depto. De Eng. Elétrica) s: puc-rio.br, Home page: Julho de Programa do Curso Nota Instalação das Ferramentas de Análise do Excel Aula Tipo (T-P-C) Tema Descrição Definições básicas: probabilidade, espaço amostral, eventos, propriedades das probabilidades, 1 T Probabilidade: Definições básicas Probabilidade Condicional, Independência;Teorema de Bayes 2 T Probabilidade: Definições básicas Variáveis Aleatórias Contínuas e Discretas, Função de Probabilidade, Função Densidade, Função de Distribuição, Momentos de uma v.a., Média, Variância e Desvio Padrão 3 T Probabilidade: Definições básicas Variáveis Discretas: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa, Poisson; 4 T Probabilidade: v.a. Contínuas Variáveis Contínuas: Uniforme, Exponencial, Gama, Qui-quadrado, LogNormal, Weibull, t, F 5 T Probabilidade: v.a. Contínuas Variável aleatória Normal 6 P Pratica 1 Aula de exercícios - As funções do Excel para cálculo de probabilidades para v.a. Contínuas e discretas 7 T Probabilidade: v.a. Contínuas O teorema central do limite e a importância da distribuição Normal 8 C 9 T/P 10 T/P 11 T/P CASE 1: Simulação - soma de v.a. e o teorema central do limite CASE 2: Otimização de um portfolio O teorema central do limite na prática - soma de variáveis aleatórias e a convergência para a Normal. simulado - propriedades da média Distribuição da soma de v.a. e da média amostral. Propriedades da média e variância de combinações e variância e o uso do Solver lineares de v.a. - o efeito da correlação. O uso do Solver do Excel. Estatística - estimação pontual e Prática 2 Estimação por máxima verossimilhança e métodos de momentos - Exercícios Estatística - estimação por Intervalos de confiança para amostras Normais e proporção Binomial - Exercícios - intervalos de confiança intervalos e Prática 3 empregando o Excel Estatística - testes de hipóteses e Prática 4 Teste de hipótese para amostrais normais e Exercícios Alterações: inclusão de estatística descritiva na aula 1 Muitas das técnicas descritas aqui requerem a prévia instalação do suplemento ( add-in ) Ferramentas de Análise do Excel. O procedimento de instalação é descrito a seguir: No menu Ferramentas, selecione Suplementos e na caixa de diálogo que será aberta marque a opção Ferramentas de análise. Se esta opção não estiver presente, clique procurar para encontrar o arquivo correspondente (em geral chamado Analys32.xll) ou rode novamente o set-up do MS-Office. 3 4

2 Aula 1 Estatística Descritiva Definições básicas Introdução à Probabilidade Probabilidade Espaço amostral Eventos Propriedades das probabilidades Probabilidade Condicional Independência Teorema de Bayes 5 Estatística Descritiva 6 Prá que serve estatística? stica? Porque nos permite entender e lidar com a idéia de variabilidade. Um exemplo típico é: Produção de parafusos. Uma fábrica produz parafusos, que devem diâmetro dentro de certas especificações. Ao medirmos os diâmetros de 100 parafusos produzidos ao acaso existirão variações individuais. Estas variações são importantes? Até que ponto as variações observadas são aceitáveis? Estatística stica Em geral um número em Estatística não é apenas um número! A ele associamos uma medida de incerteza ou variabilidade. População e Amostra População = coleção de todos os elementos cujas características desejamos conhecer. Os elementos (ou "indivíduos") na população não são necessariamente pessoas! Amostra = subconjunto da população cujas características serão medidas. A amostra será usada para descobrir características da população. 7 8

3 Exemplos 1) População = eleitores na cidade do Rio de Janeiro Amostra = 650 eleitores escolhidos aleatoriamente (ao acaso) Característica de interesse: percentual de eleitores que planejam votar num candidato X nas próximas eleições. 2) População = automóveis produzidos no Brasil entre 1997 e 2002 Amostra = carros escolhidos aleatoriamente dentre os sujeitos a recall das montadoras Característica de interesse: verificar se o proprietário do carro respondeu ao chamado de recall da fábrica Exemplos 3) População = todos os domicílios com TV na cidade do Rio de Janeiro Amostra = 1000 domicílios com TV escolhidos ao acaso Característica de interesse = percentual de audiência de cada emissora de TV num certo dia da semana no horário de 18 às 22 horas. Em resumo: A partir de uma amostra coletamos informações que nos permitem em aprender alguma coisa interessante sobre a população Por que fazer isso? É economicamente eficiente! Os custos são infinitamente mais baixos que os de amostrar a população inteira ( censo ). Pode-se provar que, para populações muito grandes, uma amostra de cerca de 600 ou 1000 "indivíduos" fornece resultados bastante confiáveis sobre as características da população. E agora? Você coletou uma amostra e, dentro desta amostra você coletou dados numéricos (por exemplo, o consumo médio mensal em kwh dos domicílios numa certa área da cidade). O que fazer com isso? Existem 2 possibilidades: Você pode simplesmente descrever estes dados numéricos através de gráficos e tabelas. Isto é chamado de estatística stica descritiva. A maioria das pesquisas de mercado faz só isso, que é sem dúvida, muito importante

4 E agora? Você pode tentar tirar conclusões sobre as características da população a partir dos dados observados na amostra. Isso se chama estatística stica inferencial (ou simplesmente estatística!). Para que a gente consiga fazer isso, é necessário ter uma noção bastante abrangente de Probabilidades. E agora? Na verdade, a estatística descritiva surgiu muito antes da estatística inferencial. Esta última depende da especificação de modelos matemáticos baseados numa noção fundamental, que é a de "probabilidade" Estatística stica descritiva Gráficos ("A picture is worth one thousand words") Histograma Diagramas de Pareto Gráficos de dispersão, gráficos da variável ao longo do tempo, gráficos de barras, etc... Medidas Numéricas Média amostral Mediana amostral Desvio padrão amostral Variância amostral Assimetria e Curtose amostrais Percentis Covariância, Correlação amostrais Alguns gráficos da evolução de variáveis veis ao longo do tempo 15 16

5 Consumo Total Energia Elétrica Jan/1979 a Ago/2006 Consumo de Energia Elétrica - Total Brasil (GWh) - Fonte: Eletrobrás EXEMPLO: Preços de Petróleo Brent e WTI dados diários 02/01/1991 a 03/11/2006 Preços de Petróleo (US$/Barril) - Janeiro de 2000 a Novembro de , , , ,000 12,000 7,000 jan/79 jan/80 jan/81 jan/82 jan/83 jan/84 jan/85 jan/86 jan/87 jan/88 jan/89 jan/90 jan/91 jan/92 jan/93 jan/94 jan/95 jan/96 jan/97 jan/98 jan/99 jan/00 jan/01 jan/02 jan/03 jan/04 jan/05 jan/ /1/2000 4/3/2000 3/5/2000 2/7/ /8/ /10/ /12/ /2/ /4/ /6/ /8/ /10/ /12/ /2/ /4/ /6/ /8/2002 Petróleo WTI 20/10/ /12/ /2/ /4/ /6/ /8/ /10/ /12/ /2/ /4/ /6/ /8/2004 9/10/2004 8/12/2004 6/2/2005 7/4/2005 6/6/2005 5/8/2005 4/10/2005 3/12/2005 1/2/2006 2/4/2006 1/6/ /7/ /9/2006 Petróleo Brent 18 EXEMPLO: IPC-FIPE IPE EXEMPLO: IPC-FIPE IPE jan/95 Inflação FIPE (% a.m) e quadrissemanas - 01/1995 a 10/2006 No gráfico anterior exibimos o IPC-FIPE (o Índice de Preços ao Consumidor da FIPE, um dos mais importantes índices de inflação com suas estimativas quadrissemanais) no período entre 01/1995 e 10/2006. As prévias quadrissemanais servem como indicadores da inflação do próximo mês medida pelo IPC-FIPE. No próximo gráfico exibimos os valores mais recentes (desde 2002) do IPC-FIPE. Inflação - IPC - FIPE Inflação - IPC - FIPE - 1a. quadrissemana Inflação - IPC - FIPE - 2a. quadrissemana Inflação - IPC - FIPE - 3a. quadrissemana 19 20

6 IPC-FIPE IPE desde 2002 Inflação FIPE (% a.m)- 01/2002 a 10/ jan/02 abr/02 jul/02 out/02 jan/03 abr/03 jul/03 out/03 jan/04 abr/04 jul/04 out/04 jan/05 abr/05 jul/05 out/05 jan/06 abr/06 jul/06 out/ INFLAÇÃO - IPC - FIPE (% a.m.) ele.puc puc-rio rio.br 21 IBOVESPA Diário a 06/08/2004 rio Julho de 1994 a Índice de ações - Ibovespa - fechamento (07/1994 a 08/2004) 25,000 20,000 15,000 10,000 5, /06/ /01/ /08/ /03/ /10/ /05/ /12/ /07/ /05/ /12/ /07/ /01/ /09/ /04/ /11/ /06/ /01/ /08/ /03/ /10/ /05/ /12/ /07/ /03/ /09/2000 IBOVESPA Diário a 06/08/2004 rio Julho de 1994 a Parece que a bolsa subiu muito durante quase todo o Plano Real. Será que isso é mesmo verdade? Veja o próximo gráfico, em que comparamos o IBOVESPA em R$ e US$. ele.puc puc-rio rio.br 23 ele.puc puc-rio rio.br 22 IBOVESPA Diário a 06/08/2004 rio Julho de 1994 a IBOVESPA em Pontos em Reais e Dólares /07/ /11/ /03/ /07/ /11/ /04/ /08/ /12/ /04/ /09/ /01/ /05/ /09/ /02/ /06/ /10/ /02/ /06/ /10/ /03/ /07/ /11/ /04/ /08/ /12/ /04/ /08/ /12/ /05/2004 IBOVESPA em Dólares IBOVESPA em R$ ele.puc puc-rio rio.br 24

7 Exemplo - IBOVESPA e DólarD Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 12/06/ ,500 Gráfico de Dispersão (uma variável vel versus outra) 14,000 13,500 13,000 12,500 Neste período parece fazer sentido ajustar uma reta e poderíamos estipular um modelo que pudesse prever o IBOVESPA em função da taxa de câmbio 12,000 11,500 11,000 10,500 10,000 9,500 y = x R 2 = , Exemplo - IBOVESPA e Dólar D incorporação de novos dados Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 02/03/2004 Exemplo - IBOVESPA e Dólar D incorporação de novos dados Por que o modelo anterior não funciona? 26,000 24,000 22,000 20,000 18,000 16,000 14,000 Claramente, um modelo linear não é mais apropriado quando levamos em consideração os novos dados (entre junho de 2003 e março de 2004) - OU SEJA: O MODELO MUDOU! y = x R 2 = No período entre junho de 2003 e março de 2004 o dólar permaneceu praticamente estável, enquanto o índice Bovespa subiu consideravelmente, como podemos verificar no próximo gráfico. 12,000 10,000 8,

8 Exemplo - IBOVESPA e Dólar D incorporação de novos dados IBOVESPA - 10/12/2002 a 02/03/ ,000 Junho de ,000 21,000 Exemplo - temperaturas Dados:Temperatura máxima (média das máximas) na estação de Santa Cruz (Rio de Janeiro) entre Jan/1982 e Dez/1991. O que fazer com todos estes 120 números? 19,000 17,000 15,000 13,000 11,000 9,000 10/12/02 25/12/02 09/01/03 24/01/03 08/02/03 23/02/03 10/03/03 25/03/03 09/04/03 24/04/03 09/05/03 24/05/03 08/06/03 23/06/03 08/07/03 23/07/03 07/08/03 22/08/03 06/09/03 21/09/03 06/10/03 21/10/03 05/11/03 20/11/03 05/12/03 20/12/03 04/01/04 19/01/04 03/02/04 18/02/04 29 A coisa mais sensata é fazer um gráfico da temperatura versus o índice de tempo (mês e ano). Este gráfico vai revelar o óbvio, isto é, que as temperaturas no verão são mais altas que no inverno! 30 Exemplo - temperaturas Exemplo - temperaturas Além disso, a gente vai perceber que existe um comportamento sazonal nos dados, ou seja, dentro de cada ano a evolução da temperatura se repete mais ou menos da mesma maneira. O gráfico também nos dá uma idéia do quanto a temperatura está variando em todo o período. Por exemplo, pode-se verificar que a temperatura máxima nestes 10 anos está sempre acima de 22 graus jan/82 mai/82 set/82 jan/83 mai/83 set/83 Temperaturas Máximas a 1991 jan/84 mai/84 set/84 jan/85 mai/85 set/85 jan/86 mai/86 set/86 jan/87 mai/87 set/87 jan/88 mai/88 set/88 jan/89 mai/89 set/89 jan/90 mai/90 set/90 jan/91 mai/91 set/

9 Exemplo - temperaturas O gráfico é muito útil, mas certamente não conta a estória toda... Por exemplo, qual será a temperatura média de todos os meses? Dentre os 120 meses, em quantos a temperatura média esteve entre 28 e 33 graus? Qual o percentual de temperaturas entre 22 e 25 graus? Tomando-se os 120 pontos, quais os valores de temperatura tais que 90% dos meses têm temperaturas entre estes dois valores? Exemplo - temperaturas Podemos pensar nestas, e numa infinidade de outras questões. O fato é que um simples gráfico da temperatura versus o tempo não fornece as respostas. O primeiro passo é fazer a distribuição de freqüência dos seus dados. Isto é simplesmente uma medida mais compacta de representação dos dados. Você divide as temperaturas em intervalos (chamados intervalos de classe) e conta quantas observações caem em cada intervalo Exemplo - temperaturas A escolha do número n de intervalos é meio arbitrária. ria. O importante é garantir que o número de classes não seja nem muito grande nem muito pequeno. Se o número de classes for muito pequeno, fica difícil verificar as diferenças entre as classes. Ao contrário, se o número de classes for muito grande, existirão muito poucas observações em cada classe. O primeiro passo é ordenar os dados pois facilita a colocação dos dados em cada classe. Exemplo - temperaturas Escolha do número de classes num diagrama de frequência Seja n o número de intervalos num diagrama de frequência. Recomenda-se escolher n entre 5 e 20. Quanto maior o número de observações, maior o número de intervalos. Geralmente usa-se se n igual à raiz quadrada do número n total de observações ões, que neste caso seria aproximadamente 11. Para facilitar a visualização em geral usamos intervalos com o mesmo comprimento. Também muitas vezes o primeiro intervalo é descrito como "abaixo de um certo valor" e o último como "acima de um certo valor"

10 Exemplo - temperaturas Neste exemplo usamos n = 7, por uma questão puramente prática, pois este número nos permite encontrar intervalos de classe de comprimento 1.9 em todas as classes, exceto a primeira, e todas as classes terminam com uma temperatura que é um número inteiro e par. Neste caso eu decidi considerar 7 classes para as temperaturas. A primeira vai de 24 a 26 graus, a segunda vai de 26.1 a 28 graus e assim sucessivamente. O diagrama de freqüências encontrado está a seguir. Exemplo - temperaturas Classe Frequência Frequência Relativa Frequência Relativa Acumulada graus 7 7/120 = 5.83 % 5.83% graus 31 31/120 = % 31.66% graus 26 26/120 = % 53.33% graus 26 26/120 = % 75.00% graus 25 25/120 = % 95.83% graus 3 3/120 = 2.50 % 98.33% graus 2 2/120 = 1.67 % 100% Totais % Exemplo temperaturas O diagrama de frequências já nos permite responder a diversas outras questões. Por exemplo, a grande maioria (69.17%) das temperaturas máximas está entre 26.1 e 32 graus. Também percebemos que temperaturas máximas acima de 34.1 graus são incomuns (apenas 5 dentre as 120). Veja que outras conclusões você consegue obter a partir deste diagrama. Exemplo - temperaturas A partir de um diagrama de frequências podemos facilmente construir um histograma. Histograma Gráfico de barras, onde o eixo vertical contém as frequências (ou freqüências relativas) e o eixo horizontal contém os intervalos de classes. Muitas vezes faz-se a área de cada barra igual à freqüência relativa de cada classe, de tal forma que a área total sob o histograma é 1 (100%)

11 Histograma produção no Excel Histograma produção no Excel É automática, mas você precisa ter instalado antes o suplemento ( add-in ) de ferramentas de análise de dados. Aliás, este suplemento será muito útil para nós, portanto instale-o Histograma produção no Excel Células contendo os dados Histograma implementação no Excel em Português Células contendo os limites dos intervalos (não precisam ser especificados) mas geralmente quando não os especificamos o Excel gera uns limites meio feios 43 44

12 Histograma produção no Excel Note que este histograma usa intervalos diferentes dos especificados na tabela de freqüência mostrada anteriormente 35 Histograma Histograma Retorno diário do preço o do petróleo WTI 01/1991 a 08/2006 Histograma - Log Retornos Petróleo WTI a Freqüência Frequency A grande maioria dos retornos diários (variações diárias) nesta faixa, mas também variações extremas acima de % -12.2% -11.3% -10.4% -9.5% -8.6% -7.7% -6.8% -6.0% -5.1% -4.2% -3.3% -2.4% -1.5% -0.6% 0.3% 1.2% 2.0% 2.9% 3.8% 4.7% 5.6% 6.5% 7.4% 8.3% 9.2% 10.0% 10.9% 11.8% 12.7% 13.6% 14.5% More Intervalo Bin Diagrama de Pareto Como fazer um diagrama de Pareto? 1) Faça um gráfico de barras colocando a freqüência de cada tipo de evento no eixo vertical, e arranjando os eventos em ordem decrescente de ocorrência. Assim, a primeira barra corresponde ao evento que ocorre com mais freqüência, a segunda barra diz respeito ao segundo evento mais freqüente, e assim por diante. 2) Crie um eixo vertical no lado direito do seu gráfico contendo as freqüências relativas acumuladas. Faça uma linha juntando as frequências relativas acumuladas e a superponha ao gráfico de barras. Exemplo Consumo Residencial Os dados a seguir representam a distribuição de domicílios residenciais por classe de consumo de energia elétrica na área de concessão de uma certa distribuidora de energia. Os dados referemse a uma pesquisa realizada em dezembro de 1995 com uma amostra de 1122 domicílios. Faixas de consumo número de domicílios freqüência relativa 0-50 KWh /1122 = 11.3 % KWh /1122 = 17.7 % KWh % KWh % acima de 300 KWh % Total:

13 Exemplo Consumo Residencial O diagrama de Pareto para estes dados é: Diagrama de Pareto Medidas Numéricas A partir de agora suponha que os dados observados na amostra são x 1, x 2,..., x n. n é o tamanho da amostra. A partir dos x's vamos encontrar números que resumem as características da amostra. Vamos estar interessados em dois tipos principais de medidas numéricas: as que caracterizam a localização do centro da amostra e as que caracterizam a dispersão dos dados KWh KWh KWh acima de 300 KWh 0-50 KWh Medidas Numéricas Medidas de Localização ou de tendência central dizem onde está o "meio" dos seus dados exemplo: média e mediana amostrais Medidas de Dispersão dizem o quanto os seus dados estão espalhados exemplo: desvio padrão e variância amostrais, amplitude amostral 51 Medidas de Tendência Central Média Amostral No Excel: função Média (...) 1 X = n n X i i= 1 Considere agora a amostra x 1, x 2,..., x n e suponha que você a ordene, de tal forma que x (1) seja o menor elemento da amostra, x (2) seja o segundo menor elemento,..., x (n) seja o maior elemento da amostra. Os valores x (1), x (2),..., x (n) são chamados de estatísticas sticas de ordem da amostra. Outras medidas de tendência central e de dispersão serão definidas a partir das estatísticas de ordem. 52

14 Medidas de Tendência Central Mediana É definida a partir das estatísticas de ordem. X m = X n n n X 2 se n, o tamanho da amostra, é par ou se n, o tamanho da amostra, é ímpar Por exemplo, se existem 10 observações na amostra, a mediana equivale à média entre x (5) e x (6). Se a amostra contém 11 elementos, a mediana é x (5). A mediana amostral é menos influenciada que a média por observações aberrantes ( outliers ). Medidas de Tendência Central Por exemplo, se os seus dados são 1,2,3,4,5, a média amostral é: ( )/5 = 3 e a mediana amostral tem o mesmo valor. Se agora os dados são: 1,2,3,4,45, a média amostral é: ( )/5 = 11, mas a mediana amostral continua sendo 3. Logo, a média amostral foi profundamente influenciada por um único valor, e o mesmo não aconteceu com a mediana amostral. No Excel é a função med(...) Medidas de Dispersão Medidas de Dispersão As medidas de tendência central não são as únicas medidas necessárias para caracterizar uma amostra (ou população) Precisamos também saber o quanto as observações na amostra estão " espalhadas". Por exemplo, no gráfico a seguir as populações têm a mesma média, mas certamente a segunda distribuição tem maior dispersão Tem maior dispersão é mais espalhada 55 56

15 Medidas de Dispersão Variância Amostral É a medida mais comum de dispersão. A variância amostral, denotada por s 2 é definida como: s X 2 1 = n 1 n ( X i X ) i= 1 2 Onde é a média amostral. Note que, por definição, a variância amostral é sempre não negativa!!! A unidade de medida da variância é o quadrado da unidade de medida das observações, o que dificulta a sua interpretação. 57 Medidas de Dispersão Desvio Padrão Amostral O desvio padrão amostral, denotado por s, é definido como a raiz quadrada positiva da variância amostral. Pelos comentários anteriores, notamos que s é expresso nas mesmas unidades de medida que as observações na amostra. s= s = 2 n 2 1 n 1 ( Xi X) i= 1 58 Medidas de Dispersão Coeficiente de variação amostral s CV = X É uma medida adimensional, e serve principalmente para comparar duas amostras que foram coletadas em unidades de medida diferentes, por exemplo, uma em cm e outra em polegadas. Amplitude Amostral A X n X = máx mín = ( ) (1) Como obter estatísticas sticas descritivas no Excel? Opção 1 Use as funções apropriadas, por exemplo, média(..), med(...), máximo(...), mínimo(...), desvpad(...),... Opção 2 Use a ferramenta estatística descritiva dentro das opções de análise de dados, como indicado na tela a seguir. Várias outras estatísticas, como a curtose (que mede o peso das caudas (extremos) e a assimetria, são também fornecidas)

16 Como obter estatísticas sticas descritivas no Excel? Como obter estatísticas sticas descritivas no Excel? Células contendo os dados Indicador de nome da variável na 1a. posição da coluna ou linha Produzir estatísticas descritivas Percentis O percentil x% é o ponto tal que, a probabilidade de estar abaixo dele é x%. O percentil 50% é a MEDIANA de um conjunto de dados, e qualquer percentil entre 0 e 100% pode ser encontrado através da função PERCENTIL do Excel. Quartis Primeiro Quartil: Q 1 é o percentil 25%, ou seja, 25% das observações estão abaixo de Q 1 Segundo Quartil: Q 2 - é a mediana Terceiro Quartil: Q 3 é o percentil 75% 63 64

17 Estatísticas sticas Descritivas Retorno do Petróleo WTI 01/1991 a 08/2006 Percentis Retorno do Petróleo WTI 01/1991 a 08/2006 Estatísticas Descritivas - Retorno WTI a agosto 2006 Média 0.017% Mediana 0.071% Moda 0.000% Desvio Padrão 2.38% Variância Curtose Assimetria Amplitude 0.56 Mínimo % Máximo 15.38% Número de Obs. 3,836 5% dos retornos abaixo de -3.53% 90% dos retornos abaixo de +2.51% Percentis 5% -3.53% 10% -2.53% 25% -1.17% 50% 0.07% 75% 1.28% 90% 2.51% 95% 3.45% Análise dos Retornos do IBOVESPA Considere agora os retornos diários do IBOVESPA no período entre 04 de julho de 1994 e 06/08/2004. Defina o retorno diário entre os dias t e t + 1 como: P t+ 1 R = t+ 1 log Pt Histograma dos Retornos IBOVESPA Freqüência Histograma dos retornos diários do IBOVESPA Onde log denota o logaritmo natural (base e) e P t e P t+1 são, respectivamente, os preços nos dias t e t + 1. O retorno definido acima é chamado de retorno geométrico % -3.00% -3.50% -4.00% -4.50% -5.00% -5.50% -6.00% -6.50% -7.00% -1.50% -2.00% 0.00% -0.50% -1.00% Bloco 3.50% 3.00% 2.50% 2.00% 1.50% 1.00% 0.50% Mais 7.00% 6.50% 6.00% 5.50% 5.00% 4.50% 4.00% 68

18 Percentis dos Retornos Percentil Retorno Correspondente 1.0% -6.75% 5.0% -3.90% 10.0% -2.74% 25.0% -1.24% 50.0% 0.13% 75.0% 1.48% 90.0% 2.69% 95.0% 3.66% 99.0% 6.63% 69 Análise dos Retornos do IBOVESPA Uso da função freqüência Produz a freqüência (número de ocorrências num determinado intervalo). Por exemplo, dentre 2501 retornos diários do IBOVESPA, a referência: FREQÜÊNCIA(E$3:E$2503;G7) significa: Olhe para todos os dados em E$3 a E$2503 (são os retornos diários) e conte QUANTOS estão ABAIXO do valor em G7. O gráfico destas frequências é mostrado na próxima página. 70 Análise dos Retornos do IBOVESPA Análise dos Retornos do IBOVESPA 3,000 2,500 2,000 Frequüências Acumuladas - Retornos Diários Se dividirmos cada uma destas freqüências por 2501 obtemos as freqüências relativas acumuladas veremos mais tarde que isso é uma aproximação para a função de distribuição acumulada. 1,500 1, % -7.00% -6.50% -6.00% -5.50% -5.00% -4.50% -4.00% -3.50% -3.00% -2.50% -2.00% -1.50% -1.00% -0.50% 0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00% 5.50% 6.00% 6.50% 7.00% 20% 30% 71 Veja o próximo gráfico. 72

19 Análise dos Retornos do IBOVESPA Frequüências Relativas Acumuladas - Retornos Diários 100% 95% 90% 85% 80% 75% 70% 65% 60% 55% 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% % -7.00% -6.50% -6.00% -5.50% -5.00% -4.50% -4.00% -3.50% -3.00% -2.50% -2.00% -1.50% -1.00% -0.50% 0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00% 4.50% 5.00% 5.50% 6.00% 6.50% 7.00% 20% 30% 73 Assimetria O coeficiente de assimetria amostral é definido como: n n ( X i X ) n ( X i X ) n i= 1 i= 1 γ 3 = = n 3/ 2 n 3/ ( X i X ) ( X i X ) n i= 1 i= 1 Se o coeficiente é zero, seus dados são simétricos em torno da média. Se o coeficiente é positivo (assimetria positiva), existem valores grandes maiores que a média m => existe uma cauda comprida para a direita. 74 Assimetria Assimetria Na curva A acima a assimetria é positiva, a curva B é simétrica e a curva C tem assimetria negativa. Em geral, se a assimetria é positiva, a média é MAIOR que a mediana. O oposto ocorre se a assimetria é negativa (em geral média MENOR que a mediana). Dados com assimetria positiva Distribution for PLD/B10 Mean= % 90% 5% Values in 10^ -6 Dados simétricos Distribution for DEM REAL/B7 9 8 Mean= Values in Millions 5% 90% 5%

20 Curtose É uma medida do achatamento de uma distribuição de probabilidade. Como a distribuição Normal tem curtose igual a 3, usualmente define-se o excesso de curtose, ou seja, o quanto uma distribuição de probabilidade tem mais curtose que a Normal. Curtose Distribuições de retornos de ativos financeiros geralmente tem a cara de uma Normal, mas com excesso de curtose! Ao lado, a curva B é a Normal padrão e a curva A tem excesso de curtose Curtose A fórmula do excesso de curtose é: n ( i ) n X X = 3 ( Xi X) i= 1 i= 1 κ 4 n Definições básicas Introdução à Probabilidade Note que, se os seus dados são Normais, esta medida é próxima de zero

21 Probabilidades Introdução Probabilidade faz parte do nosso dia a dia, por exemplo: A previsão da meteorologia é de (grande chance de) chuvas ao final do dia O Flamengo possui (MUITAS!!!) chances matemáticas de chegar à final A probabilidade do candidato XYZ chegar ao 2o. Turno das eleições presidenciais é pequena... A probabilidade da taxa SELIC cair na próxima reunião do COPOM é alta Probabilidades Introdução Em resumo: estamos SEMPRE falando sobre probabilidades no nosso dia a dia, resta saber como quantificá-las, e quais os MODELOS mais comuns na prática. Na terminologia usual, a probabilidade reflete a chance de um determinado evento ocorrer. Quanto maior a probabilidade, maior a chance de ocorrência de um acontecimento. IMPORTANTE: probabilidade é um número entre 0 e 1 sempre! 82 Experiência Aleatória E por que é necessário estudar probabilidades? Sempre que lidamos com experiências aleatórias, ou seja, toda vez em que o mundo não é determinístico (quase sempre...) Experiência aleatória Aquela cujo resultado não pode ser conhecido antes da realização da mesma, por exemplo: O resultado da jogada de um dado; O número de carros que passam num posto de pedágio num intervalo de meia hora; A cotação do dólar em 02/03/2005; Os números que vão sair no concurso da Mega-Sena da próxima semana; A carga no Sudeste às 18 horas de amanhã. 83 Experiência Aleatória Mas... note que, embora você não saiba exatamente qual o resultado da experiência aleatória, também m não existe ignorância completa sobre o assunto!!! No exemplo da jogada do dado, é claro que os resultados possíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6}, as faces do dado; No caso da Mega-Sena, o conjunto de valores possíveis são os 6 números sorteados no conjunto {0,..., 50} e nos outros exemplos podemos estabelecer um intervalo de valores máximos e mínimos! 84

22 Espaço Amostral É o conjunto de todos os possíveis resultados de uma experiência aleatória. Total de nomes da lista telefônica do Rio de Janeiro (???) Valores entre R$ 1.50 e R$ 150 (cotação do dólar em 02/03/2007) Uma moeda é jogada 3 vezes, e observamos a seqüência de caras (H) e coroas (T). O espaço amostral é S = { HHH, THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT} Uma lâmpada é fabricada e testada até queimar, e registra-se o tempo de ocorrência deste evento. O espaço amostral é S = { x : x > 0 } O espaço amostral será denotado aqui por S. Evento É um conjunto de possíveis resultados de uma experiência, isto é, um subconjunto do espaço amostral. Nomes na lista telefônica que comecem com P e tenham 5 letras Cotação do dólar entre R$ 3.50 e R$ 8.50 em 02/03/2007. O evento sair 1 cara em 3 jogadas é dado pelo conjunto: { HTT, THT, TTH} O evento lâmpada durar menos de 1000 horas pode ser expresso como: { x : 0 < x < 1000} Evento Da definição segue diretamente que ambos e S são eventos. Se o espaço amostral é finito e possui n elementos, então existem 2 n subconjuntos deste espaço amostral, isto é, existem 2 n eventos. É claro que não podemos dizer quantos eventos existem associados a um espaço amostral infinito. Propriedades de Eventos Se A e B são eventos sua interseção também é um evento! Isso vale também para a interseção entre n eventos. Espaço Amostral Evento A Interseção entre os eventos A e B Evento B 87 88

23 Propriedades de Eventos Se A e B são eventos sua união também é um evento! Esta propriedade é válidade também para a união de n eventos. união entre os eventos A e B Propriedades de Eventos Se A é um evento, o complemento de A, denotado por A C ou A, também é um evento. Espaço Amostral Evento A Evento B A c Espaço Amostral A Eventos mutuamente exclusivos Eventos mutuamente exclusivos os elementos de A não pertencem a B e vice-versa, isto é, A B =. Note que dois eventos complementares são mutuamente exclusivos Definição axiomática de probabilidade A definição axiomática de probabilidade encara probabilidade como uma função cujo domínio é o espaço amostral. A Espaço Amostral B 91 Logo, probabilidade é uma função que sai de S e chega no intervalo [0,1] e por isso precisamos saber lidar com conjuntos, pois o espaço amostral não é necessariamente numérico, como já vimos. 92

24 Definição axiomática de probabilidade Definição axiomática de probabilidade Seja A um subconjunto qualquer do espaço amostral S. Podemos definir uma função P(.) tal que, se A S, então P(A) é a probabilidade de que o resultado da experiência aleatória seja um elemento de A. A probabilidade [0,1] Esta função P(.) "pega" elementos do espaço amostral e os leva num subconjunto dos reais, o intervalo [0,1]. 93 S No entanto, nem toda função que sai de S e chega em [0,1] pode ser chamada de probabilidade, ela tem que satisfazer certas condições. 94 Definição axiomática de probabilidade Seja S o espaço amostral e A um subconjunto qualquer deste espaço. Uma função de probabilidade que atua sobre este espaço amostral satisfaz: i) 0 P(A) 1 para todo A S ii) P(S) = 1 iii) P(A 1 A 2 A 3...) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) +... onde os A i são mutuamente exclusivos. Esta última propriedade é válida, em particular, quando existe um número finito de termos na união. 95 Definição axiomática de probabilidade A versão mais simples da expressão iii) será usada muitas vezes neste curso, e por isso a colocamos em destaque: P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) se A 1 e A 2 forem mutuamente exclusivos. Estas três propriedades definem o tipo de função que pode ser chamada de "probabilidade". A princípio, existem infinitas funções que mapeiam S em [0,1], mas para ser chamada de probabilidade, uma função deve satisfazer os três requisitos anteriores. 96

25 Propriedades das Probabilidades A partir da definição podemos derivar diversas propriedades importantes. Seja A um subconjunto qualquer de S e A c o seu complemento. Seja P(.) uma probabilidade definida em S. As seguintes propriedades decorrem da definição de probabilidade: P(Ø) = 0 Para todo A S, P(A c ) = 1 - P(A) onde A c éo complemento de A Para todo A S, 0 P(A) 1 = P(S) Para quaisquer A 1 e A 2 em S tais que A 1 A 2 então P(A 1 ) P(A 2 ) Propriedades das Probabilidades Esta última propriedade resulta numa certa ordenação" dentro do espaço amostral, e diz simplesmente que, se um evento A 1 está contido noutro, a probabilidade de A 1 é menor ou igual à probabilidade do evento que o contém. A propriedade a seguir é uma das mais importantes na prática, e nos permite calcular a probabilidade da união de eventos que não são disjuntos Propriedades das Probabilidades Para quaisquer A 1 ea 2 em S: Pr(A 1 A 2 ) = Pr(A 1 ) + Pr(A 2 ) - Pr(A 1 A 2 ) Em particular, se A 1 ea 2 são mutuamente exclusivos: Pr(A 1 A 2 ) = Pr(A 1 ) + Pr(A 2 ) Partição do Espaço Amostral É formada por eventos cuja interseção é nula e cuja união é o próprio espaço amostral. Por exemplo, pessoas numa pesquisa de mercado classificadas em classes de consumo (A, B, C, D) as classes formam uma partição do espaço amostral. Espaço Amostral Esta propriedade é às vezes chamada de lei da adição. A B 99 C D 100

26 Em resumo: casos particulares da lei da adição Eventos mutuamente exclusivos P(A B) = P(A) + P(B), pois P(A B) = 0 Eventos complementares P(A A c ) = P(A) + P(A c ) = 1, já que P(A A c )= 0 Partição do espaço amostral (com 3 eventos) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1 Exemplo propriedades das probabilidades Um banco possui 10 fundos de investimento. Desses, 6 são de renda fixa, 4 são corporativos e 2 são de renda fixa e corporativos. Se escolhermos um fundo ao acaso, qual é a probabilidade dele ser de renda fixa ou corporativo? Solução (evento A: renda fixa, evento B: corporativo) Universo = 10 elementos P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A) = 6/10 = 0.6 P(B) = 4/10 = 0.4 P(A B) = 2/10 = 0.2 P(A B) = = 0.8 ou 80% Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Como será que a probabilidade de um evento muda após s sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos leva à idéia de probabilidade condicional. A idéia de probabilidade condicional é uma das mais importantes deste curso e está intimamente relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento. Uma probabilidade condicional nada mais é do que uma probabilidade calculada não mais a partir do espaço amostral inteiro S, e sim a partir de um subconjunto de S. Motivação Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior, 20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de diploma do curso superior e microempresários. Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que ele tem diploma de curso superior. Sejam os eventos: A = { pessoa tem diploma de curso superior } B = { pessoa é um microempresário } Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente. Então:

27 Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Pr( A ) = 40/50, Pr( B ) = 20/50 e Pr( A B ) = 10/50 Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se que ela tem diploma de curso superior. A probabilidade deste evento deve ser diferente da probabilidade da pessoa ser microempresária, por que agora o espaço amostral não consiste mais nas 50 pessoas originais, mas apenas naquelas que possuem diploma de curso superior. A probabilidade condicional de que uma pessoa seja microempresária sabendo-se que ela tem diploma de curso superior é dada por: 105 P(A B) / Pr(A) = 10 /40 = 0.25 Ou, em outras palavras, devemos olhar para as 10 pessoas na interseção dentre as 40 pessoas com diploma de curso superior. O nosso mundo, ao calcular a probabilidade condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso superior, e não mais às 50 pessoas do grupo original. 106 Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Exemplo Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa: 35 são homens e fumantes, Fumantes Homens Homens Fumantes 35 Não fumantes 28 Total são homens e não fumantes, 17 são mulheres fumantes Mulheres Total são mulheres e não fumantes. Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ser fumante, dado que ele é homem? Mulheres Não fumantes

28 Probabilidade Condicional Note que, quando definimos que o evento B ocorreu (o funcionário é homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A (o funcionário é fumante) O novo universo passa a ser o próprio evento B Fumantes Homens Homens Mulheres Total Fumantes 35 Não fumantes 28 Total Probabilidade Condicional Utilizando o número de elementos de cada conjunto, temos: P(A B) = 35/63 = Ou empregando as probabilidades: P(B) = 63/100 = 0.63 P(A B) = 35/100 = 0.35 P(A B)/P(B) = 0.35/0.63 = Mulheres Não fumantes Novo universo P(A B) Probabilidade Condicional Estes exemplos nos fizeram derivar naturamente a probabilidade condicional do evento B dado o evento A. Em geral, a probabilidade do evento B dado o evento A (ou dado que o evento A ocorreu) é: P (B A) = P(A B)/P(A) Analogamente: P (A B) = P(A B)/P(B) Estas definições só são válidas quando os denominadores forem diferentes de zero. 111 Probabilidade Condicional Ao reordenarmos as expressões anteriores encontramos: P(A B) = P (B A). P(A) = P(A B). P(B) Este resultado é também conhecido como Teorema da Multiplicação. Este teorema nos permite escrever uma probabilidade condicional em termos da probabilidade condicional inversa, o que é útil quando uma delas for difícil de calcular. Em particular: P ( ) ( A B) P( B) P B A = P A ( ) 112

29 Eventos Independentes Dois eventos A e B são chamados de independentes se: Pr ( A B ) = Pr ( A ). Pr ( B ) Do contrário, A e B são eventos dependentes. Probabilidade Condicional Para eventos independentes, P(A B) = (P(A). P(B))/P(B) = P(A) Ou seja, se A e B são independentes, a ocorrência de B não traz qualquer informação adicional sobre A. Independência é uma propriedade muito forte e tem um impacto direto sobre as probabilidades condicionais, como veremos a seguir. 113 Analogamente, se A e B são independentes: P(B A) = P(B) Em termos bastante informais, se A e B são independentes, um evento não tem nada a ver com o outro! 114 Independência e Dependência Exemplo Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas num shopping-center com o objetivo de investigar a relação entre renda familiar e posse de cartões de crédito. A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se: existe independência entre renda e posse de cartões de crédito? Independência e Dependência Renda Familiar < R$ 500 R$ 501 a R$1000 R$ 1001 a R$ 2000 > R$ 2001 Núm. Cartões ou mais Se existe independência entre as duas variáveis, então Pr(A i B j ) = Pr(A i ).Pr(B j ) para todos i e j, onde A i indica o nível de renda e B j o número de cartões de crédito. Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMA célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes. Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que:

30 Independência e Dependência Pr(renda abaixo de R$ 500 E nenhum cartão) = 0.26 Mas: Pr(renda abaixo de R$ 500) = 330/1000 = 0.33 Pr( 0 cartões de crédito) = 530/1000 = 0.53 E como 0.26 (0.33)(0.53), segue que as variáveis renda familiar e número de cartões de crédito são dependentes. 117 Exemplo Uma caixa contém R bolas vermelhas e B bolas azuis. Vamos tirar 2 bolas da caixa sem repô-las. Qual a probabilidade p da primeira bola ser vermelha e da segunda ser azul? Solução Sejam A e B os seguintes eventos: A = {1a. bola é vermelha} B = {2a. bola é azul} Se o evento A ocorreu, uma bola vermelha foi tirada da caixa. Como não há reposição, a probabilidade de obter uma bola azul na 2a. retirada é: 118 Exemplo Pr ( B A) B = R + B 1 O evento ( A B ) é o evento {1a. bola é vermelha e a 2a. bola é azul}, e sua probabilidade é: P( A B) = p = P ( A). P( B A) R B =. R + B R + B 1 Probabilidade Condicional Como será que a probabilidade de um evento muda após s sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos leva à idéia de probabilidade condicional. Uma probabilidade condicional nada mais é do que uma probabilidade calculada não mais a partir do espaço amostral inteiro S, e sim a partir de um subconjunto de S. Já vimos que a definição de prob. condicional é: P (B A) = P(A B)/P(A) e, analogamente, P (A B) = P(A B)/P(B)

31 Probabilidade Condicional Estas duas últimas expressões em conjunto nos levam ao resultado conhecido como Teorema da Multiplicação ão: P(A B) = P (B A). P(A) = P(A B). P(B) A partir desta última expressão: P P = ( B A) ( A B) P( B) P( A) Exemplo Numa certa cidade 40% das pessoas são homens e 60% mulheres. Também, 50% dos homens e 30% das mulheres fumam. Ache a probabilidade de que uma pessoa seja homem, dado que esta pessoa é fumante. Solução Pr ( H ) = 0.4 = probabilidade de selecionar um homem Pr ( M ) = 0.6 = probabilidade de selecionar uma mulher Seja S o evento: "uma pessoa é fumante". Então: Pr (S H ) = 0.5 e Pr ( S M ) = 0.3. Desejamos encontrar Pr ( H S ) Exemplo Pela definição de probabilidade condicional: ( H S ) ( H S ) Pr( S ) Pr Pr Pr = = ( S H ) Pr( H ) Pr( S ) Mas Pr (H) e Pr (S H) são conhecidas, e então só é preciso calcular Pr (S) (a probabilidade de um fumante na população). Mas, note que: Exemplo Finalmente: ( H S) Pr( S ) ( S H ) Pr( H ) Pr( S ) ( 0.5)( 0.4) ( 0.38) Pr Pr Pr ( H S) = = = = = = S = (S M) (S H) e os conjuntos (S M) e (S H) são disjuntos Pr ( S ) = Pr ( S M ) + Pr ( S H ) = = Pr ( S H ).Pr ( H ) + Pr ( S M ).Pr ( M ) = = ( 0.5 ) ( 0.4 ) + ( 0.3 ) ( 0.6 ) =

32 Independência Dois eventos A e B são independentes se: Pr ( A B ) = Pr ( A ). Pr ( B ) Se A e B são independentes, então as probabilidades condicionais são iguais às incondicionais, isto é: P(A B) = (P(A). P(B))/P(B) = P(A) P(B A) = P(B) Em outras palavras, se A e B são independentes, A não traz qualquer informação sobre B (e vice-versa). 125 Independência para mais de dois eventos Considere uma coleção de n eventos A 1, A 2,..., A n. Estes eventos são independentes se, e somente se: i) Pr ( A 1 A 2... A n ) = = Pr(A 1 ). Pr(A 2 )... Pr(A n ) e, ii) Toda sub-coleção de eventos contendo mais de dois e menos de n eventos é independente. 126 Independência para mais de dois eventos No caso de 3 eventos A, B e C, a independência ocorre se TODAS as condições abaixo são satisfeitas: Partição do Espaço Amostral Uma partição do espaço amostral é uma coleção de eventos mutuamente exclusivos cuja união é o próprio S (espaço amostral), como nas figuras a seguir. 1) Pr( A B) = Pr(A).Pr(B) 2) Pr( A C) = Pr(A).Pr(C) 3) Pr( B C) = Pr(B).Pr(C) 4) Pr( A B C) = Pr(A).Pr(B).Pr(C) B1 B8 B7 B2 B6 B5 B3 B4 A C B D

33 Partição do Espaço Amostral Em termos formais, os eventos B 1, B 2,..., B k formam uma partição do espaço amostral S se: 1) B i B j = para todo i j 2) B i = S 3) Pr( B i ) > 0 para todo i Partição do Espaço Amostral Suponha que A é um evento qualquer em S e B 1, B 2,..., B 8 formam uma partição de S, como na figura a seguir. B1 B2 B3 Para que serve uma partição? Podemos escrever qualquer evento no espaço amostral em termos das suas interseções com os conjuntos que formam uma partição do espaço amostral. B8 B7 A B6 B5 B Partição do Espaço Amostral Então podemos escrever o evento A em termos das suas interseções com cada elemento da partição (neste exemplo, B 1 a B 8 ). A = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B 3 )... (A B k ) Mas, os (A B i ) são mutuamente exclusivos, e assim é muito fácil calcular a probabilidade da sua união (basta somar as probabilidades). Logo: Pr(A) = Pr (A B 1 ) + Pr (A B 2 ) + Pr (A B 3 ) Pr (A B k ) Mas, cada uma destas probabilidades pode ser escrita em termos de probabilidades condicionais. Teorema da Probabilidade Total É um resultado que decorre diretamente das propriedades de uma partição, como mostrado nas transparências anteriores. Note que: Pr(A) = Pr (A B 1 ) + Pr (A B 2 ) + Pr (A B 3 ) Pr (A B k ) Mas: Pr (A B i ) = Pr( B i ). Pr(A B i ) para i =1, 2,..., k. Combinando estes dois resultados fornece o teorema da probabilidade total

34 Teorema da Probabilidade Total Sejam B 1, B 2,..., B k uma partição de S e A um evento qualquer em S. Então: Pr(A) = Pr(B 1 ).Pr(A B 1 ) + Pr(B 2 ).Pr(A B 2 ) Pr(B k ).Pr(A B k ) O caso mais simples ocorre quando a partição é composta por apenas 2 eventos, B e seu complemento, B c. Neste caso: Pr(A) = Pr(B).Pr(A B) + Pr(B c ).Pr(A B c ) 133 Teorema de Bayes É um resultado muito útil em Probabilidade, que mistura os teoremas da multiplicação e da probabilidade total. Sejam B 1, B 2,..., B k uma partição de S e A um evento qualquer em S. Então: Pr ( ) ( Bi A) Pr( Bi A) Pr( A Bi ) Pr( Bi ) Pr Bi A = = = k k Pr( A) Pr A B Pr B Pr A B Pr B j= 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Para qualquer evento B i na partição e qualquer A. j j j= j j Teorema de Bayes Para que serve? Muitas vezes conseguimos encontrar partições de S que são óbvias ou naturais ; O teorema de Bayes nos permite inverter probabilidades condicionais, escrevendo uma probabilidade condicional que (esperamos!) é difícil de calcular diretamente em termos de probabilidades fáceis de calcular. 135 Teorema de Bayes Cuidados ao usar o Teorema de Bayes ESCREVA OS EVENTOS DE INTERESSE. NÃO TENTE RESOLVER OS PROBLEMAS DE CABEÇA PARA MINIMIZAR SUAS CHANCES DE ERRO! 136

35 Exemplo - Bayes Exemplo - Bayes Os funcionários de uma empresa se dividem em 3 grupos: economistas, engenheiros e analistas de sistemas. Estes funcionários podem ocupar cargos técnicos ou gerenciais. Sabemos que: 40% dos funcionários são economistas, 30% dos funcionários são engenheiros e 30% dos funcionários são analistas de sistemas. O percentual de cada grupo ocupando cargos gerenciais é: 30% dos economistas, 40% dos engenheiros, 10% dos analistas de sistemas. a) Seleciona-se um funcionário aleatoriamente. Qual a probabilidade dele ocupar um cargo gerencial? b) Seleciona-se uma pessoa ao acaso na empresa e sabe-se que ela ocupa um cargo de gerência. Qual a probabilidade dela ter vindo de cada um dos três grupos, ou seja, dado que a pessoa é um gerente, qual a probabilidade dela ser economista, engenheiro ou analista de sistemas? Exemplo - Bayes Solução a) Considere os eventos: A 1 = {economistas}, A 2 = {engenheiros}, A 3 = {analistas de sistemas}, G = {cargo de gerência} Exemplo - Bayes Queremos encontrar Pr(G). Mas: Pr(G) = Pr(G A 1 ) + Pr(G A 2 ) + Pr(G A 3 ) = = Pr(A 1 ). Pr(G A 1 ) + Pr(A 2 ). Pr(G A 2 ) + Pr(A 3 ). Pr(G A 3 ) Sabemos que: Pr(A 1 ) = 0.40, Pr(A 2 ) = 0.30, Pr (A 3 ) = Também: Pr(G A 1 ) = 0.30, Pr(G A 2 ) = 0.40 e Pr(G A 3 ) = A substituição dos valores resulta em: Pr(G) = (0.40)(0.30) + (0.30)(0.40) + (0.30)(0.10) = (0.30)(0.90) = 27 %

36 Exemplo - Bayes Queremos descobrir Pr(A i G) para i = 1, 2, 3. Isto é uma aplicação direta do teorema de Bayes, já facilitada por que conhecemos o denominador (Pr(G)). Pr(G) = 0.27 (já calculado) Pr(A 1 G) = Pr(G A 1 ). Pr(A 1 )/0.27 = (0.30)(0.40)/0.27 = 44.4% Pr(A 2 G) = Pr(G A 2 ). Pr(A 2 )/0.27 = (0.40)(0.30)/0.27 = 44.4% Pr(A 3 G) = Pr(G A 3 ). Pr(A 3 )/0.27 = (0.30)(0.10)/0.27 = 11.2% 141 Exemplo - Bayes Uma empresa de telefonia celular quer saber como funciona a relação entre o uso do telefone e a renda de seus clientes. Uma pesquisa anterior revelou que: 10% dos clientes pertencem à classe A. 21% dos clientes pertencem à classe B. 35% dos clientes pertencem à classe C. 34% dos clientes pertencem à classe D. Dentre os clientes da classe A, 20% usam telefone pré-pago. Dentre os clientes da classe B, 40% usam telefone pré-pago. 142 Exemplo - Bayes Exemplo - Bayes Dentre os clientes da classe C, 90% usam telefone pré-pago. Dentre os clientes da classe D, 98% usam telefone pré-pago. Um cliente é escolhido aleatoriamente e tem o serviço pré-pago. Qual a probabilidade dele pertencer a cada uma das classes? Solução Aqui a partição natural da população já existe - os clientes estão divididos em classes de consumo. Se soubermos que alguém usa um telefone pré-pago, como isso afeta a probabilidade da pessoa estar em cada uma das classes de consumo? 143 Suponha que A, B, C, D indicam, respectivamente, os eventos pertencer à classe A, pertencer à classe B, etc... Seja G o evento usar celular pré-pago. Então, do enunciado do problema: P(A) = 0.10, P(B) =0.21, P(C) = 0.35, P(D) = P(G A) = 0.20, P(G B) =0.40, P(G C) =0.90, P(G D) =

37 Exemplo - Bayes Exemplo - Bayes A probabilidade de um cliente escolhido ao acaso usar celular pré-pago é (pelo Teorema da Probabilidade Total): P( G) = P( G A) P( A) + P( G B) P( B) + P( G C) P( C) + P( G D) P( D) = ( 0.20)( 0.10) + ( 0.40)( 0.21) + ( 0.90)( 0.35) + ( 0.98)( 0.34) = Escolhe-se um cliente ao acaso, e observa-se que ele usa celular pré-pago. Qual a probabilidade dele pertencer a cada uma das classes de consumo? 145 = Agora o Teorema de Bayes entra em ação, mas, como já calculamos o denominador (a probabilidade de alguém ser cliente prépago), o cálculo se resume ao Teorema da Multiplicação. P P P P ( A G) ( B G) ( C G) ( D G) P = P = P = P = ( G A) P( A) ( 0.10)( 0.20) = P( G) ( G B) P( B) ( 0.21)( 0.40) = P( G) ( G C) P( C) ( 0.35)( 0.90) = P( G) ( G D) P( D) ( 0.34)( 0.98) = P( G) = 2.66% = 11.17% = 41.88% = 44.30% 146 Exemplo - Bayes Note que as probabilidades condicionais (dado que o cliente é pré-pago) são diferentes das incondicionais, e então existe DEPENDÊNCIA entre o uso do celular pré-pago e a classe de consumo! Exemplo - Bayes No outro extremo, a probabilidade de um cliente qualquer ser da classe D é 34%. Dada a informação de que o cliente é prépago, a probabilidade dele ser classe D sobe para 44.3%. Por exemplo, a probabilidade de um cliente qualquer ser da classe A é 10%, mas se soubermos que o cliente é um usuário de pré-pago, a probabilidade dele ser de classe A cai para 2.66%

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