Matemática e suas Tecnologias Matemática Alexmay Soares, Cleiton Albuquerque, Fabrício Maia, João Mendes e Thiago Pacífico

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1 Universidde bert do Nordeste e Ensino Distânci são mrcs registrds d Fundção Demócrito Roch. É proibid duplicção ou reprodução deste fscículo. ópi não utorizd é rime. Mtemátic e sus Tecnologis Mtemátic lem Sores, leiton lbuquerque, Fbrício Mi, João Mendes e Thigo Pcífico 08

2 ro Estudnte necessidde de compreender o comportmento de fenômenos, descrever regulriddes, estbelecer relções de interdependênci, qulificr, quntificr e generlizr conduziu, grdulmente, humnidde o moderno conceito de função. Tl conceito é um form mis precis e de mior utilidde do que noção comum de fórmul mtemátic. Neste fscículo, bordremos lgums ds principis funções mtemátics: função qudrátic, funções eponenciis, funções logrítmics e s trigonométrics. ons estudos! Objeto do onhecimento Função Qudrátic s plicções d função qudrátic brngem situções do meio socil, relções de mercdo e cpitl, engenhri, economi, súde, trnsportes, indústris, rtes, energi, problems de otimizção etc. Definição Tod função f: R R definid por f() = + b + c, em que, b e c são números reis e 0, recebe o nome de função qudrátic. Pode-se interpretr função qudrátic como sendo um trnsformção do número rel no número rel + b + c. Em símbolos: + b + c Rízes d função qudrátic s rízes de um função são os vlores que vriável pode ssumir de modo que f() = 0. Geometricmente, s rízes de um função representm s bscisss ds coordends dos pontos nos quis o gráfico d função intersect o eio-. Um função qudrátic, cujo gráfico é um prábol, pode possuir té dus rízes reis, gerlmente designds por e. Seus vlores podem ser obtidos trvés d fórmul de hskr. O vlor de = b 4c determin, portnto, o número de rízes reis de um equção do º gru e, por esse motivo, é chmdo discriminnte d equção. Interpretção do discriminnte º cso: se > 0, então hverá dus rízes reis diferentes. º cso: se = 0, então s dus rízes serão reis e iguis. 3º cso: se < 0, então não hverá rízes reis. Resumo gráfico om > 0 (nesse cso, dizemos que prábol possui concvidde voltd pr cim ). < 0 = 0 = > 0 om < 0 (nesse cso, dizemos que prábol possui concvidde voltd pr bio ). < 0 = 0 > 0 = Pr o trçdo do gráfico de funções qudrátics, é útil lembrr que s coordends do vértice d prábol são dds por: Vértice = b, 4 Form ftord Se os vlores e representm s rízes de um função qudrátic = + b + c, então podemos reescrevê-l n form ftord: = ( ) ( ), em que é denomindo coeficiente dominnte. Ess form é especilmente útil pr determinr função qudrátic em estudo qundo possuímos s sus rízes. Determinr s relções de interdependênci entre s vriáveis é um ds hbiliddes mis cobrds pelo Enem. compnhe no eemplo como utilizr form ftord pr obter função qudrátic desejd. 4

3 Eemplo: figur mostr um rco prbólico de ltur M = 6 cm, sobre um bse de 40 cm. M é o ponto médio de. º cso: < 0 ponto máimo M Tomndo o ponto como origem de um sistem crtesino, teremos figur bio: < 0 Nesse cso, como concvidde d prábol está voltd pr bio, seu vértice V = b, 4 represent um ponto de máimo, o ponto mis lto d prábol. Dess form, V represent o mior vlor d função, ddo por: (0, 6) (0, 0) M (0, 0) (40, 0) ssim, s rízes de tl função são 0 e 40. Dess form, pode-se plicr form ftord: = ( ) ( ) = ( 0) ( 40) = ( 40). omo f(0) = 6, temos: 6 = (0 40 0) 6 = 400 = 5 Logo, função procurd é: = =. 8 ( 40 ) Máimos e mínimos em função qudrátic Pr função f() = + b + c, temos dois csos considerr com relção o coeficiente. º cso: > 0 ponto > 0 mínimo Nesse cso, como concvidde d prábol está voltd pr cim, seu vértice V = b, 4 represent um ponto de mínimo, o ponto mis bio d prábol. Dess form, V represent o menor vlor d função, ddo por: Observção importnte: Interpretr corretmente o teto é essencil pr responder com sucesso questão. ssim, observe que bsciss do vértice d prábol, isto é, não represent nem o máimo, nem o mínimo vlor d função. O vlor está relciondo à condição necessári pr se tingir o etremo d função (máimo ou mínimo). Isto é, é condição (ou circunstânci) pr termos o máimo (ou mínimo) vlor d função. compnhe o qudro-resumo bio. = represent o mínimo, se > 0 V 4 represent o máimo, se < 0 condição pr se tingir mínimo, se > 0 = b represent o V represent condição pr se tingir o máimo, se < 0 Por fim, note que se o eercício cobrr o máimo (ou mínimo) vlor d função qudrátic, você deve clculr. Entretnto, se questão perguntr sobre um condição (ou circunstânci) em que se obtém o máimo (ou mínimo) vlor d função qudrátic, você deve clculr Em qulquer cso, prábol que represent função = + b + c intersect o eio- no ponto de coordends (0, c) e present um simetri em relção à ret verticl que pss por seu vértice (ou sej, ret cuj equção é ). compnhe ilustrção seguir. (0, c) 0 v eio de simetri: = b v v Universidde bert do Nordeste 5

4 Eemplo: Um posto de combustível vende litros de álcool por di R$,50 cd litro. Seu proprietário percebeu que, pr cd centvo de desconto que concedi por litro, erm vendidos 00 litros mis por di. Por eemplo, no di em que o preço do álcool foi R$,48, form vendidos 0 00 litros. Dess form, considerndo o vlor, em centvos, do desconto ddo no preço de cd litro, o vlor V, em R$, rrecddo dirimente com vend do álcool, pode ser obtido pel relção: (,50 /00): preço do litro de combustível, em reis. ( ): quntidde vendid dirimente. Então: ( Um vez que o vlor rrecddo (receit) é um função qudrátic com concvidde voltd pr bio, receit terá um vlor máimo, e o desconto necessário pr que receit sej máim é, isto é, se o proprietário conceder 5 centvos de desconto por litro de combustível e, consequentemente, vendê-lo R$,5, obterá mior receit possível, ou sej, tingirá o vlor máimo que é [ ] Questão omentd 5-H Um pequen loclidde é bstecid com águ etríd de 6 poços, cd um possuindo um vzão de 00 litros de águ por hor. Dess form, vzão totl é de litros de águ por hor. prefeitur dess cidde pretende umentr o número de poços. Porém, pr cd poço dicionl perfurdo, estim-se que vzão por poço diminui em 5 litros por hor. Por eemplo, com um poço dicionl perfurdo, vzão de cd um dos 7 poços fic em 075 litros por hor, ssim, vzão totl pss ser 7 55 litros de águ por hor. quntidde de poços dicionis serem perfurdos de modo que vzão totl sej mior possível é: ) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 Pr Fir 5-H0 0. luz não influi n respirção ds plnts. Mntendo-se plnt em mbiente com O e tempertur constnte, respirção é mesm ns váris hors do di. fotossíntese é influencid pel quntidde de luz que plnt recebe. Medindo-se o volume de O que plnt produz, obtém-se curv d fotossíntese indicd dinte. volume de gás elimindo Hors do di Sej t [0, 4), opção que contém função qudrátic que melhor model o volume V(t) de O produzido trvés d fotossíntese o longo do di é: ), em que k é um constnte rel e negtiv. b) V(t) = k(t + 4t + ), em que k é um constnte positiv. c), em que k é um constnte rel e negtiv. d) V(t) = k(t + 4t + 44), em que k é um constnte negtiv. e), em que k é um constnte rel e positiv. 5-H 0. Um distribuidor de produtos limentícios, ind não implntd, desej fornecer seus produtos pr s ciddes,, e D, situds o longo d mesm rodovi. cidde está situd no quilômetro 0 d rodovi; cidde, no quilômetro 0; cidde, no quilômetro 80 e cidde D, no quilômetro 30. km 0 km 0 km 0 km 80 km 30 Solução comentd: De cordo com os ddos, podemos escrever vzão totl como ; Vzão totl = (quntidde de poços) (vzão de cd poço). Sej n quntidde de poços dicionis, temos: Vzão totl = (00 5n) (6 + n) Vzão totl = 5n + 950n Trt-se de um função qudrátic e seu gráfico é um prábol de concvidde voltd pr bio, ssim, hverá um ponto de máimo. quntidde de poços dicionis serem perfurdos de modo que vzão totl sej mior possível represent um condição pr se tingir o máimo e, dess form, devemos clculr o. Logo, n = = 9 poços. Respost corret: d D Os custos do trnsporte d distribuidor pr s ciddes,, e D são ddos respectivmente por ( 0), ( 0), ( 80) e ( 30), em que é posição (medid em quilômetros, prtir do Km 0) onde deverá ser instld futur distribuidor. onsiderndo que o proprietário desej minimizr os custos com trnsportes, o quilômetro onde distribuidor deverá ser construíd é: ) 0 b) 0 c) 60 d) 80 e) 00 6

5 Fique de Olho NtENs, rdres, fróis E prábols Qundo um stélite rtificil é colocdo em um órbit geoestcionári, ele emite um conjunto de onds eletromgnétics que podem ser cptds por ntens ou rdres n Terr. O que tlvez você não sib é que esses objetos são construídos tendo prábol como referênci, isto porque tl curv possui proprieddes geométrics etremmente úteis. N construção de ntens prbólics, rdres ou fróis, propriedde mis eplord é refleiv. Qundo um feie de rios luminosos incide prlelmente o eio de simetri de um superfície prboloide espelhd, su refleão ocorre de form fzer convergir os rios em um único ponto. D grnde quntidde de clor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco (em ltim focus signific fogo). omo os sinis recebidos (onds de rádio ou luz) são muito frcos, é necessário cptá-los e concentrá-los em um único ponto pr que sejm nturlmente mplificdos. Portnto, superfície d nten ou do espelho deve ser tl que todos os sinis recebidos de um mesm direção sejm direciondos pr um único ponto pós refleão. plic-se o mesmo princípio n construção de espelhos pr telescópios, ntens de rdr, ntens prbólics e fróis. gui direcionl O prto curvo focliz s onds de rádio que chegm pr gui direcionl. secção de um frol de um utomóvel tem o formto de um prábol ( superfície espelhd é um prboloide). lâmpd situd no foco, qundo ces, emite rios luminosos que, pós incidirem sobre prábol, serão refletidos num mesm direção, segundo rets prlels o eio de simetri d prábol. Sup. espelhd Frol de um utomóvel F Secção de um frol Objeto do onhecimento Função Eponencil e Logrítmic s funções eponenciis e logrítmics ocupm lugr de destque em tods s áres do conhecimento, desde estudos reltivos ts de crescimentos, nscimentos e morte de indivíduos de um populção (nimis ou plnts) té propgção de doençs em sistems epidemiológicos, todos constituem csos típicos de situções cuj modelgem é feit trvés de funções logrítmics e eponenciis. º cso: se b >, então função é crescente, isto é: > b > b Gráfico Definição d função eponencil função f: R R dd por f() = b (com b e b > 0) é denomind função eponencil de bse b e definid pr todo rel. Se = 0, então = b 0 =, isto é, o pr ordendo (0, ) stisfz lei = b. Isso quer dizer que o gráfico de qulquer função desse tipo intersect o eio no ponto de ordend. om relção à bse b, há dois csos considerr: 0 f é crescente Universidde bert do Nordeste 7

6 º cso: 0 < b <, então função é decrescente: > b < b Gráfico 0 f é decrescente Um generlizção são s funções com form. Nesss funções o coeficiente é frequentemente ssocido o vlor inicil d função, pois Por su vez, pr cd umento de k uniddes no vlor de, função é multiplicd pelo ftor b. Ess compreensão dos coeficientes ds funções do tipo é de fundmentl importânci pr montgem rápid de modelos eponenciis. compnhe o eemplo seguir. Eemplo: Um gricultor está sofrendo com infestção de determind espécie de formig que está destruindo su plntção. pós buscr jud de um especilist, este recomend plicção de certo inseticid, eplicndo que, pós seu uso, populção desss formigs será reduzid à metde cd 5 dis. populção inicil de formigs é estimd em espécimes. prtir desss informções, podemos escrever populção de formigs em função do tempo t, medido em dis, trnscorrido pós plicção do inseticid. Ness função temos = (populção inicil), temos tmbém desss formigs é reduzid à me tde b= (pois populção ). Portnto, populção de formigs poderá ser estimd pel lei P(t) = Logritmos Definição Ddos os números reis N, e, com N > 0, > 0 e, o epoente que colocmos n bse pr obtermos o número N é chmdo logritmo de N n bse. Em símbolos: nomencltur usd é seguinte: N logritmndo ou ntilogritmo bse (qundo bse é omitid, diremos que bse é 0) logritmo Eemplos º) log 6 = 4, pois 4 = 6 º) log 3 9 =, pois 3 = 9 3º) log 7 = 0, pois 7 0 = Decorrêncis d definição lguns logritmos, pelo fto de que vmos encontrá-los muits vezes, devem ter seus vlores rpidmente reconhecidos. São logritmos cujos resultdos decorrem de mneir imedit d definição. onsiderds stisfeits tods s condições de eistênci, temos: ª decorrênci: log = 0 Pois qulquer que sej bse elevd o epoente 0, present resultdo igul. ª decorrênci: log = Pois qulquer que sej bse elevd o epoente, present resultdo igul. 3ª decorrênci: log = Pois é justmente o epoente que devemos colocr n bse pr obtermos o resultdo. 4ª decorrênci: log N = N Pois log N é, por forç de definição, justmente o epoente que devemos colocr n bse pr obtermos o resultdo N. Proprieddes prtir d definição, podemos desenvolver lgums utilizções frequentes dos logritmos e trnsformá-ls em proprieddes que pssremos estudr. onsiderndo os números reis positivos, N e M, com : P: P: P3: P4: P5: Mudnç de se, onde é um bse convenientemente escolhid. Função Logrítmic Definição É tod função f: R * R n form f() = log, em que, + > 0 e. Pr >, tl função é crescente. compnhe o gráfico n págin seguinte. 8

7 = log ( > ) Solução comentd: De cordo com fórmul o vlor d luminosidde n superfície é 000 lues. omo o mergulhdor não consegue trblhr sem luz rtificil qundo ess luminosidde fic inferior 0% de seu vlor n superfície, então devemos ter: Respost corret: d Pr 0 < <, tl função é decrescente. compnhe o gráfico bio. = log (0 < < ) Logritmo nturl O logritmo nturl ou logritmo neperino é o logritmo cuj bse é o número irrcionl e, que é proimdmente igul, Tl logritmo é normlmente representdo por Ln. Isto é: l n é equivlente log e Pr Fir 5-H 03. O vlor de certo equipmento, comprdo por R$ ,00, é reduzido à metde cd 5 meses. ssim, equção V (t) = , onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o vlor em reis, represent vrição do vlor desse equipmento. om bse nesss informções, é correto firmr que o vlor do equipmento pós 45 meses de uso será igul : ) R$ 3 750,00 b) R$ 7 500,00 c) R$ 0 000,00 d) R$ 0 000,00 e) R$ 5 000,00 5-H0 e H- 04. inflção nul de um pís decresceu no período de sete nos. Esse fenômeno pode ser modeldo por um função eponencil do tipo f() = b, conforme o gráfico seguir. = f() 960% Questão omentd 5-H dmitindo-se que luminosidde L() d luz solr metros bio do nível do oceno sej dd, em lues, por L() = 000 e que um mergulhdor não consig trblhr sem luz rtificil qundo ess luminosidde fic inferior 0% de seu vlor n superfície, então mior profundidde, em metros, que o mergulhdor pode tingir sem ter de usr luz rtificil é igul : Ddo: Ln0,3 ) 4,6 b),3 c) 0,3 d) 3 e),5 7,5% (nos) t de inflção desse pís, no qurto no de declínio, foi de: ) 60% b) 50% c) 40% d) 30% e),5% Universidde bert do Nordeste 9

8 Fique de Olho OmO se reliz prov do crbono-4 pr conhecer IddE dos restos ENcONtrdOs por pleontólogos? Fósseis podem ser dtdos com o teste do crbono-4 técnic do crbono-4 foi descobert nos nos qurent por Willrd Libb. Ele percebeu que quntidde de crbono-4 dos tecidos orgânicos mortos diminui um ritmo constnte com o pssr do tempo. ssim, medição dos vlores de crbono-4 em um objeto fóssil nos dá pists muito ets dos nos decorridos desde su morte. Ess técnic é plicável à mdeir, crbono, sedimentos orgânicos, ossos, conchs mrinhs ou sej todo mteril que conteve crbono em lgum de sus forms. omo o eme se bsei n determinção de idde trvés d quntidde de crbono-4 e que est diminui com o pssr do tempo, ele só pode ser usdo pr dtr mostrs que tenhm entre 50 mil e 70 mil nos de idde. rdiotividde do crbono-4 Libb, que er químico, utilizou em 947 um contdor Geiger pr medir rdiotividde do -4 eistente em vários objetos. Este é um isótopo rdiotivo instável, que deci um ritmo perfeitmente mensurável prtir d morte de um orgnismo vivo. Libb usou objetos de idde conhecid (respldd por documentos históricos) e comprou est com os resultdos de su rdiodtção. Os diferentes testes relizdos demonstrrm vibilidde do método té cerc de 70 mil nos. O -4 se produz pel ção dos rios cósmicos sobre o nitrogênio-4 e é bsorvido pels plnts. Qundo ests são ingerids pelos nimis, o -4 pss os tecidos, onde se cumul. o morrer, este processo se detém e o isótopo começ desintegrr- -se pr converter-se de novo em nitrogênio-4. prtir desse momento, quntidde de -4 eistente em um tecido orgânico se dividirá pel metde cd nos. erc de 50 mil nos depois, ess quntidde começ ser pequen demis pr um dtção precis. Depois de um etrção, o objeto dtr deve ser protegido de qulquer contminção que poss mscrr os resultdos. Feito isso, lev-se o lbortório onde se contrá o número de rdições bet produzids por minuto e por grm de mteril. O máimo são 5 rdições bet, cifr que se dividirá por dois por cd período de nos de idde d mostr. Disponível em: < EI46,00.html>. Objeto do onhecimento Trigonometri e sus plicções Situções relcionds com medição de ldos e ângulos de triângulos derm início à Trigonometri, que com o pssr do tempo, trnsformou-se num genuín ferrment n resolução de um considerável número de problems relciondos com mecânic, topogrfi, nvegção e sobretudo nos cálculos stronômicos. ssim, est bordgem tem como objetivo principl plicção de conceitos trigonométricos em situções que envolvm triângulos e eplorção de fenômenos periódicos reis, recorrendo às funções trigonométrics. Vle slientr que eficáci dest ferrment, ns plicções que iremos presentr, eigirá nturlmente um rzoável domínio lgébrico e geométrico do leitor. Trigonometri no triângulo retângulo onsidere um ângulo gudo = med(â). onstruindo perpendiculres o ldo prtir dos pontos,, 3 etc., os triângulos retângulos obtidos,, 3 3 etc. serão semelhntes por terem o ângulo comum. 3 onsiderndo que é mplmente conhecid proporcionlidde dos ldos homólogos em triângulos semelhntes, então podemos escrever s seguintes proporções: Ests constntes k, k e k 3 dependem pens do ângulo e não dos comprimentos dos ldos envolvidos. É oportuno dr nomes esss constntes que dependem de (gudo). 3 0

9 ssim, considerndo o triângulo retângulo e findo um ângulo gudo, podemos definir: Logo, se tivermos s medids de h e (vlores cessíveis) e um tbel de senos, podemos trnquilmente determinr o rio d Terr: hipotenus c cteto djcente b cteto oposto Eemplo : Um outr situção-problem, pr mostrr importânci d Trigonometri n resolução de problems relciondos com ângulos e ldos de um triângulo, é questão do topógrfo que desej medir ltur de um montnh e pr tl tom como referênci o ponto P, no pico. prtir de um ponto no solo, clcul medid do ângulo que o segmento P form com horizontl locl e, fstndo- -se km té o ponto, mede o ângulo θ de P com horizontl. Fzendo um desenho ilustrtivo, encontrmos: P h Os benefícios que Trigonometri propici à fcilitção ns resoluções de problems prentemente difíceis é incontestável. θ P Eemplo : Pr mostrr um plicção, suponh que se quer medir o rio r d Terr, que é um comprimento impossível de ser obtido pelo cálculo direto. Um processo, usdo desde os gregos, é o seguinte: Sobe-se um torre de ltur h e mede-se o ângulo que fz ret do horizonte de com verticl O do lugr. onsiderndo Terr esféric, temos ilustrção: Temos que: Substituindo (I) em (II), encontrmos: h Torre Portnto, ltur desejd é dd por: Linh do horizonte R O R Terr Trigonometri num triângulo qulquer Em vist ds numeross plicções em que se considerm triângulos quisquer, vmos presentr dus leis de grnde relevânci n Trigonometri. Usndo s rzões trigonométrics presentds, encontrmos: Lei dos senos: Em todo triângulo, s medids dos ldos são diretmente proporcionis os senos dos ângulos opostos, onde constnte de proporcionlidde é igul o diâmetro d circunferênci circunscrit. Universidde bert do Nordeste

10 Demonstrção: Lei dos cossenos: Em todo triângulo, o qudrdo de um ldo é igul à som dos qudrdos dos outros dois ldos, menos o dobro do produto desses dois ldos pelo cosseno do ângulo formdo por eles. P O R Lei dos cossenos: ^ = b + c bc cos ^ b = + c c cos ^ c = + b b cos O teorem dos senos estbelece que sen( ) é constnte. c compnhe: I. Sej O o circuncentro do D; II. Prolongndo o segmento O té encontrr circunferênci, obtemos o diâmetro P; III. Observe que o triângulo P é retângulo em Ĉ, pois P é um diâmetro; IV. Os ângulos inscritos  e P são iguis (rco cpz); V. No triângulo retângulo P, temos: sen  = sen P = R = R sen Portnto, podemos escrever: b c = = = R sen sen sen Eemplo: Pr mostrr um plicção, suponh que um nvio, vijndo em linh ret, vist um frol em F, 45º à direit; pós ter cminhdo 0 km, vist o mesmo frol num direção que form 75º com su trjetóri, como mostr figur. 0 km 45º 75º b Observção: Esss fórmuls são de fácil demonstrção e muito úteis n determinção dos ângulos de um triângulo, conhecendo s medids dos ldos. Eemplo: Pr eplorr o potencil turístico de um cidde, conhecid por sus bels pisgens montnhoss, o governo pretende construir um teleférico, ligndo o terminl de trnsportes coletivos o pico de um morro, conforme figur seguir m 00 m 50º N 0º P Nesse ponto, distânci do nvio o frol pode ser clculd fcilmente. Evidentemente, medid do ângulo F é igul 60º. Portnto, plicndo lei dos senos, temos: F Pr construção do teleférico, há dus possibiliddes: o ponto de prtid ficr loclizdo no terminl de trnsportes coletivos (ponto ), com um prd intermediári (ponto ), e o ponto de chegd loclizdo no pico do morro (ponto ); o ponto de prtid ficr loclizdo no ponto e o de chegd loclizdo no ponto, sem prd intermediári.

11 Sendo, = 00 m, ÂP = 0º e N = 50º, distânci entre os pontos e, pode ser fcilmente clculd prtir d lei dos cossenos. compnhe: Temos: 0º m Simplificndo, obtemos: d = 700 metros. d 50º 00 m Pitágors e relção fundmentl d Trigonometri trdição é unânime em tribuir Pitágors (geômetr grego, nscido por volt de 57.. n ilh egei de Smos) descobert independente do teorem sobre triângulos retângulos, hoje universlmente conhecido pelo seu nome que o qudrdo sobre hipotenus de um triângulo retângulo é igul à som dos qudrdos sobre os ctetos. É sbido que esse teorem er conhecido pelos bbilônios dos tempos de Hmurbi, mis de um milênio ntes, ms su primeir demonstrção gerl pode ter sido dd por Pitágors. Desde os tempos de Pitágors, muits demonstrções desse teorem form presentds. Vejmos um demonstrção utilizndo s rzões trigonométrics: θ b m H h θ 50º Somndo (I) e (II), obtemos: c + b = n + m = (n + m) = =. Logo, c + b = (Pitágors). n c P N Por outro ldo, tem-se: Somndo (III) e (IV), obtemos: cos + sen = c + b (cos + sen ) = Logo, cos + sen = (R. Fundmentl), gudo. Funções trigonométrics: Seno e osseno s seis rzões trigonométrics presentds té o momento vrim conforme o ângulo que se referem. São perfeitmente determinds pr cd um dos ângulos compreendidos entre 0º e 90º e cd ângulo, nesse intervlo, corresponde pens um vlor pr cd rzão. s rzões trigonométrics são, pois, funções dos ângulos que se referem e costummos nomeá-ls de funções trigonométrics. No entnto, s definições cim podem ser generlizds pr qulquer ângulo d seguinte form: mplição do domínio ds funções trigonométrics tod ret rel fz-se recorrendo à circunferênci trigonométric. El é definid por um circunferênci de rio unitário (rio = ) centrd n origem dos eios crtesinos. 80º (,0) (0,) 90º p O 70º (0, ) + (rcos positivos, sentido nti-horário) P( p, p ) 0º = 360º p (,0) (rcos negtivos, sentido horário) Dess form, podemos definir o seno e o cosseno do ângulo pr todos os vlores de e não somente pr queles entre 0º (ou 0 rdinos) e 90º (ou rdinos). Vejmos: ssim, s coordends do ponto P são: P( p, p ) = (cos, sen ). onsequentemente, temos: De modo semelhnte, pr o ângulo = p rdinos (mei-volt n circunferênci), temos cos(p) = e sen(p) = 0, pois o ponto ( p, p ) = (0, ). e e Universidde bert do Nordeste 3

12 Qundo = p rdinos, voltmos ter o ponto (, 0), o que nos dá cos(p) = e sen(p) = 0. Prosseguindo pr outros vlores, verificmos que s funções trigonométrics se repetem cd vez que dicionmos p rdinos o ângulo primitivo. D mesm form que temos vlores possíveis pr o seno e o cosseno qundo > 0, tmbém é possível tribuir vlores às funções trigonométrics qundo < 0. Nesses csos, temos ângulos descritos no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário). Portnto, s dus funções, seno e cosseno, ficm bem definids pr todos os vlores de n ret rel. Observção: É possível definir função tngente do ângulo de modo semelhnte. Representção geométric ds funções seno, cosseno e tngente n circunferênci trigonométric. 80º (,0) 90º P II Q sen III Q eio dos senos O (0,) I Q eio ds tngentes 0º = 360º eio dos cossenos cos (,0) IV Q 70º (0, ) P T tg Pr se ter um idei do comportmento gerl de um função trigonométric, é conveniente construir o seu gráfico. princípio, seri necessário conhecer todos os pontos pr obter o gráfico, entretnto, o conjunto de pontos notáveis discutidos nteriormente permite construir um figur bstnte próim do gráfico desejdo. Gráfico d função seno Utilizndo os pontos (, ) d tbel bio, onde = sen, construímos o gráfico d função seno no intervlo de 0 p. 0 - Proprieddes D(f) = R. Im(f) = { R } = [ ; ]. f é função ímpr, pois sen( ) = sen, R. f é limitd, pois f(), R. f é periódic, de período p = p Gráfico π 6 π π 4 3 π π Gráfico d função cosseno Utilizndo os pontos (, ) d tbel bio, onde = cos, construímos o gráfico d função cosseno no intervlo de 0 p. 3π = cos 0 p/6 3 / p/4 / p/3 / p/ 0 p 3p/ 0 p Proprieddes D(f) = R. Im(f) = [ ; ]. f é função pr, pois cos( ) = cos, R. f é função limitd, pois f(), R. f é periódic, de período p = p. Gráfico π = sen 0 0 p/6 / 0 π 6 π 4 π 3 π π 3π π p/4 / - p/3 3 / p/ p 0 3p/ p 0 Gráfico d função tngente Utilizndo os pontos (, ) d tbel seguir, onde = tg, com tngente no intervlo de 0 p., construímos o gráfico d função 4

13 Proprieddes = tg 0 0 p/6 3 / 3 p/4 p/3 3 p/ p/3 3 3p/4 5p/6 3 / 3 p 0 p 0 Questão omentd -H8 e 3-H Três ilhs, I, I e I 3, precem num mp, em escl :0 000, como n figur o ldo. Ds lterntivs, que melhor proim distânci entre s ilhs I e I é: I 30º 05º I cm ),3 km b), km c),9 km d),4 km e),7 km Solução comentd: Pr encontrr distânci entre s ilhs I e I, podemos recorrer à lei dos senos, pois clrmente medid do ângulo = 45º, o que nos permite escrever: I 3 D(f) =. Im(f) = R. f é função ímpr, pois tg( ) = tg, D. f não é limitd. f é periódic, de período p = p. Gráfico 0 π π 3π π Eemplo: Um equipe de mergulhdores, dentre eles um estudnte de iêncis Ets, observou o fenômeno ds mrés em determindo ponto d cost brsileir e concluiu que o mesmo er periódico e podi ser proimdo pel epressão:, omo o mp está n escl :0 000, podemos entender que cm no mp equivle cm n relidde. Portnto, distânci entre s ilhs I e I é igul 7 vezes cm, isto é,,7 km. Respost corret: e Pr Fir -H8 05. Do lto de prédios circundntes, form feits medições de ângulos e outrs, com vist determinr ltur d 45º 60º Torre Eiffel. Tendo em cont tods 47,4 m s medições presentds n figur, ltur totl d torre, incluindo nten, é, proimdmente, igul : (considere ) ) 7 m b) 79 m c) 30 m d) 39 m e) 400 m -H8 06. Um brco nveg n direção, próimo um frol P, conforme figur bio. 0 m P onde t é o tempo (em hors) decorrido pós o início d observção (t = 0) e P(t) é profundidde d águ (em metros) no instnte t. Evidentemente, P(t) será mimizdo qundo tomrmos onsequentemente,, com k inteiro. Dí, podemos grntir que, depois de 4,5 hors (k = ), ocorreu primeir mré lt pós o início d observção. 30º 000 m No ponto, o nvegdor verific que ret P, d embrcção o frol, form um ângulo de 30º com direção. pós embrcção percorrer 000 m, no ponto, o nvegdor verific que ret P, d embrcção o frol, form um ângulo de 60º com mesm direção. Seguindo sempre direção, menor distânci entre embrcção e o frol será equivlente, em metros, : ) 500 b) c) 000 d) e) º Universidde bert do Nordeste 5

14 Fique de Olho FOrmULÁrIO TrIgONOmÉtrIcO Fórmuls d dição sen(b + ) = sen b cos + sen cos b cos(b + ) = cos cos b sen b sen tg β + tg tg( β + ) = tg β tg dmitindo-se que sen() = 3 e que o brco se proimou 5 do frol e um nov observção foi relizd, n qul o ângulo pssou etmente pr, nov distânci que o brco se encontrrá d bse do frol pode ser clculd fcilmente usndo fórmul do rco duplo: Fórmuls d subtrção sen(b ) = sen b cos sen cos b cos(b ) = cos b cos + sen b sen tg β tg tg( β ) = + tg β tg rco duplo sen() = sen cos cos() = cos sen. tg tg( ) = tg. tg tg = tg Ilustrção 36 m Sib que lguns problems de geometri eigem utilizção de lgums desss fórmuls. onsttção: Um frol loclizdo 36 m cim do nível do mr é vistdo por um brco um distânci d bse do frol, prtir de um ângulo, conforme figur: 3 3 sen = tg = I 5 4 ( ) tg 36 tg( ) = = ( II) tg Substituindo (I) em (II), encontrmos: 36 m = = 0,5 m. Eercitndo pr o Enem 5-H 0. Sob determinds condições, o ntibiótico gentmicin, qundo ingerido, é elimindo pelo orgnismo à rzão de metde do volume cumuldo cd hors. Dí, se K é o volume d substânci no orgnismo, pode-se utilizr função pr estimr su eliminção depois de um tempo t, em hors. Nesse cso, o tempo mínimo necessário pr que um pesso conserve no máimo mg desse ntibiótico no orgnismo, tendo ingerido 8 mg num únic dose, é de: ) hors e mei. b) hors. c) 0 hors e mei. d) 8 hors. e) 6 hors. 5-H 0. O corpo de um vítim de ssssinto foi encontrdo às hors. Às h e 30 min, o médico d políci chegou e imeditmente tomou tempertur do cdáver, que er de 3,5 º. Um hor mis trde, tomou tempertur outr vez e encontrou 3,5 º. tempertur do mbiente foi mntid constnte 6,5 º. dmit que tempertur norml de um pesso viv sej 36,5 º. O médico sbe que o resfrimento do corpo d vítim segue um modelo eponencil do tipo: 6

15 Em que: t é o tempo, em hor; D o é diferenç de tempertur do cdáver com o meio mbiente no instnte t = 0; D(t) é diferenç de tempertur do cdáver com o meio mbiente num instnte t qulquer e; k é um constnte positiv. Os ddos obtidos pelo médico form colocdos n tbel seguinte. Hor Tempertur do corpo (º) Tempertur do qurto (º) Diferenç de tempertur (º) t =? Morte 36,5 6,5 D(t) = 0 t = 0 h 30 min 3,5 6,5 D(0) = D 0 = 6 t = 3 h 30 min 3,5 6,5 D() = 5 onsiderndo os vlores proimdos log 5 =,3 e log 3 =,6, pode-se estimr hor em que pesso morreu como sendo: ) 9 h 5 min b) 9 h 30 min c) 9 h 45 min d) 0 h 00 min e) 0 h 5 min 5-H0 03. Thoms Mlthus ( ) ssegurv que, se populção não fosse de lgum modo contid, dobrri de 5 em 5 nos, crescendo em progressão geométric, o psso que, dds s condições médis d Terr disponíveis em seu tempo, os meios de subsistênci só poderim umentr, no máimo, em progressão ritmétic. nlise os gráficos e ssinle lterntiv em que Lei de Mlthus está representd. ) ) b) b) Número de pessos Número de pessos rescimento populcionl nos rescimento populcionl c) rescimento populcionl Número de pessos d) d) rescimento populcionl Número de pessos nos e) e) rescimento populcionl Número de pessos nos nos Tonelds Tonelds Tonelds Tonelds Tonelds Produção de limentos Produção de limentos nos Produção de limentos Produção de limentos nos nos Produção de limentos nos 5-H3 04. populção de peies em um lgo está diminuindo devido à contminção d águ por resíduos industriis. lei n(t) = t fornece um es timtiv do número de espécies vivs n(t) em função do número de nos (t) trnscorridos pós instlção do prque industril n região. Um ONG divulgou que, se nenhum pro vidênci for tomd, em um décd ( pr tir do início d instlção d indústri) não hverá mis peies no lgo. om bse nos ddos presentdos, podemos firmr corretmente que: ) tl informção não procede, pois sempre hverá peies no lgo. b) tl informção é egerd, pois hverá um redução do número de peies no lgo, ms não ponto de etingui-los. c) tl informção procede, pois em nove nos já não hverá mis peies. d) tl informção é egerd, pois levri mis de 0 nos pr etinguir os peies. e) tl informção é procedente, pois em cinco nos já não hverá mis peies. 5-H 05. Um clh será construíd prtir de folhs metálics em formto retngulr, cd um medindo m por 40 cm. Fzendo-se dus dobrs de lrgur, prlels o ldo mior de um desss folhs, obtém-se três fces de um bloco retngulr, como mostr figur d direit. 40 cm m om relção o volume que esse bloco retngulr poderá ter, podemos firmr corretmente que: ) seu máimo vlor será m 3. b) seu máimo vlor será m 3. c) seu máimo vlor será m 3. d) seu mínimo vlor será m 3. e) não dependerá d vriável. 5-H 06. Um grupo de estudntes decidiu vijr de ônibus pr prticipr de um encontro ncionl. o fzer um pesquis de preços de pssgens, os estudntes receberm de um empres um propost, n qul o preço de cd pssgem dependeri do totl de pssgeiros que s comprssem. d pssgem custri R$ 90,00, ms seri cobrd um mult individul no vlor de R$ 5,00 por cd lugr que, eventulmente, ficsse vgo no ônibus. onsiderndo que o ônibus tem 5 lugres, é correto firmr que máim receit dess empres ocorrerá se vigem for relizd com: ) 39 pssgeiros. b) 38 pssgeiros. c) 37 pssgeiros. d) 36 pssgeiros. e) 35 pssgeiros. m m Interbits nos nos Universidde bert do Nordeste 7

16 5-H0 07. foto seguir mostr um túnel cuj entrd form um rco prbólico com bse = 8 m e ltur centrl O = 5,6 m. O Observe, n foto, um sistem de coordends crtesins ortogonis, cujo eio horizontl O é tngente o solo e o verticl O represent o eio de simetri d prábol. o entrr no túnel, um cminhão com ltur P igul,45 m, como ilustrdo cim, toc su etremidde P em determindo ponto do rco prbólico, distânci do ponto P o eio verticl O é igul : ) 3 m b) 3,5 m c) 4 m d) 4,5 m e) 5 m -H6 e H Pr representr s loclizções de pontos estrtégicos de um cmpmento em construção, foi usdo um sistem de eios crtesinos ortogonis, conforme mostr figur bio, em que os pontos F e M representm os locis onde serão construídos os respectivos dormitórios feminino e msculino e R o refeitório. F R (metros) P,45 m 30º M (30,0) (metros) Se o escritório d coordenção do cmpmento deverá ser equidistnte dos dormitórios feminino e msculino e, no sistem, su representção é um ponto pertencente o eio ds bscisss, quntos metros ele distrá do refeitório? ) 0 3 b) 9 3 c) 8 3 d) 0 e) 9 5-H9 e H- 09. s mrés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificdmente, pel função seno. Suponhmos que, pr um determind mré, ltur h, medid em metros, cim do nível médio, sej dd, proimdmente, pel fórmul: em que t [0, 4) represent o horário de ferição. O período do di em que um nvio de 0 m de cldo (ltur necessári de águ pr que o nvio flutue livremente) pode permnecer nest região está compreendido entre: ) e 8 hors. b) 6 e hors. c) e 0 hors. d) 0 e 8 hors. e) e 0 hors. -H8 0. Um rolmento, peç lrgmente utilizd n indústri, pode ser descrito de mneir bem simplificd como um conjunto de dois cilindros de bses concêntrics e mesm ltur, lém de váris esfers idêntics, colocds entre s superfícies lteris dos dois cilindros. figur o ldo mostr o esquem R r de um rolmento: os rios ds bses dos dois cilindros medem r e R, respectivmente, e s esfers são tngentes entre si e tmbém tngentes às superfícies lteris dos cilindros. s esfers ocupm todo o espço entre os cilindros, ms pens cinco dels estão desenhds n figur. 5º 0º 5º 0º 5º sen O totl de esfers eistentes em um rolmento em que r = 33 mm e R = 47 mm, usndo, se necessário, s proimções fornecids n tbel, é igul : ) 0 b) c) 4 d) 6 e) 8 Pr Fir c b d b Eercitndo pr o Enem b b c c e d c e tenção!! Inscrev-se já e tenh cesso outros mteriis sobre o Enem no Epediente Presidente: Lucin Dummr oordenção d Universidde bert do Nordeste: Sérgio Flcão oordenção do urso: Fernnd Denrdin e Mrcelo Pen oordenção Editoril: Sr Rebec guir oordenção cdêmico-dministrtiv: n Pul ost Slmin oordenção de Design Gráfico: Degluc Jorge Teieir ISN Projeto Gráfico: Dhr Sen e Suzn Pz p: Suzn Pz Editorção Eletrônic: ntônio Nilton Ilustrções: ldenir rbos, io Menescl e João Lim Revisão: Mri Sárvi, Rosemeire Melo, Sr Rebec guir e Ton Sles poio Prceri Relizção Promoção