N P C L R D M MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA

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3 N P C L R D M MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA

4 Rua Tobias de Macedo Junior, 319 Santo Inácio CEP Curitiba PR Brasil Supervisão Editorial Prof.ª M e. Lindsay Azambuja Análise de Informação Jerusa Piccolo Revisão de Texto Schirley Horácio de Gois Hartmann Capa Denis Kaio Tanaami Projeto Gráfico Bruno Palma e Silva Diagramação Regiane de Oliveira Rosa C346m Castanheira, Nelson Pereira Matemática financeira aplicada / Nelson Pereira Castanheira, Luiz Roberto Dias de Macedo. Curitiba : Ibpex, p. ISBN Matemática financeira Problemas, exercícios etc. I. Título CDD ed. Informamos que é de inteira responsabilidade do autor a emissão de conceitos. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização do autor. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei n /98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.

5 Ao elaborar o texto deste livro, estivemos atentos à necessidade que as pessoas em geral têm em conhecer os fundamentos básicos da matemática financeira e, simultaneamente, à dificuldade que comumente encontram quando lêem uma obra sobre esse tema cuja linguagem seja demasiadamente rebuscada. Procuramos, então, produzir um material de fácil compreensão e com exemplos resolvidos a fim de possibilitar o estudo da matemática financeira sem que seja necessária a presença permanente de um professor ou profissional da área para auxiliar na aprendizagem. Temos a certeza de que, utilizada como livro-texto nas disciplinas de Matemática Financeira, Análise de Investimentos e Análise Financeira, esta obra poderá contribuir com alunos e educadores no desenvolvimento de suas práticas em sala de aula. Nossa experiência mostrou, ainda, que a iniciação aos princípios da matemática financeira deve ocorrer por meio do esclarecimento quanto à utilização das fórmulas algébricas. Só posteriormente cabe ensinar o uso da calculadora financeira, ferramenta indispensável para o profissional que necessita de agilidade na resolução de problemas matemático-financeiros no dia-a-dia. Optamos por oferecer explicações quanto ao manuseio da calculadora HP-12C. Caso o leitor sinta alguma dificuldade nesse sentido, poderá consultar o apêndice A desta obra. Assim, do modo como a organizamos, o leitor poderá desenvolver-se nessas duas habilidades, obtendo o máximo de aproveitamento dos seus estudos.

6 Tivemos a intenção também de atender a quem deseja aprender matemática comercial. Para tal, importantes conceitos foram acrescentados nos Apêndices B, C e D proporcionalidade, grandezas proporcionais, regra de três simples e regra de três composta. Dessa forma, ampliamos o alcance deste material e esperamos expandir os benefícios que podemos trazer ao leitor interessado. Os Autores.

7 Sobre os autores Nelson Pereira Castanheira é graduado em Eletrônica pela UFPR (1974) e em Matemática, Física e Desenho Geométrico pela PUC (1976). É especialista em Análise de Sistemas Processamento de Dados, em Administração Financeira e em Informatização. Concluiu seu mestrado (2002) em Administração de Empresas com ênfase em Recursos Humanos (UEX/Espanha) e atualmente cursa o doutorado em Engenharia da Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina. Atuou como professor e coordenador da Escola Técnica Federal do Paraná, como gerente de produtos e serviços da Telebahia, como instrutor e analista de dados da Telepar, como professor da Uniandrade, em Curitiba, e como professor e assessor da coordenação do Curso de Administração da Universidade Tuiuti do Paraná. É professor e coordenador pedagógico do Instituto Brasileiro de Pós-Graduação e Extensão Ibpex e professor da Faculdade de Tecnologia Internacional, Fatec onde também atua como professor de ensino a distância. No total são 35 anos de experiência no magistério e, em paralelo, 30 anos na área empresarial. Nos últimos dois anos, publicou seis livros. Luiz Roberto Dias de Macedo é licenciado em Matemática pela UFPR (1981). Atua profissionalmente como professor de Matemática há 24 anos, tendo ministrado essa disciplina em todas as séries da segunda fase do ensino fundamental 5ª a 8ª séries e nas três séries do ensino médio, tanto em escolas e colégios públicos quanto na rede privada.

8 É especialista em Magistério da Educação Básica pelo Instituto Brasileiro de Pós-graduação e Extensão Ibpex (1998) e mestre em Educação pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná PUCPR, onde defendeu a dissertação de mestrado A aprendizagem significativa dos conceitos matemáticos e seus reflexos em alunos dos cursos de Administração de Empresas (2004). Desde 2001, é professor do ensino superior e já lecionou as disciplinas de Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico; Matemática Aplicada; Matemática Financeira; Estatística Aplicada e Métodos Quantitativos. Atua como professor da disciplina de Estatística Aplicada na Faculdade Internacional de Curitiba - Facinter e na Faculdade de Tecnologia Internacional Fatec Internacional, sendo que nesta última trabalha nas modalidades presencial e a distância, além de ser membro atuante da Assessoria da Direção Acadêmica. Possui outras obras publicadas pela Editora Ibpex: Matemática Aplicada e Dados numéricos da empresa: análise e interpretação, ambas em Participa de diversos eventos, seminários e congressos com apresentação de artigos que enfocam o ensino e a aprendizagem da Matemática.

9 Porcentagem 11 Operações financeiras 15 Capitalização simples 21 Desconto simples 39 Capitalização composta 51 Taxas 69 Desconto composto 81 Rendas ou séries uniformes 91 Taxa interna de retorno e valor presente líquido 121 Correção monetária e indicadores 129 Depreciação 139 Operação de arrendamento mercantil - leasing 149 Debêntures 153 Amortizações 163 Referências por capítulo 205 Referências 207 Respostas 215 Apêndices 215

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11 capítulo Porcentagem

12 Capítulo 1 1 Porcentagem Sabemos que um por cento indica que dividimos o inteiro em 100 partes iguais e consideramos apenas uma dessas partes. Representamos isso da seguinte forma:, que chamamos de ou de e se lê. Usualmente, utiliza-se o símbolo % para representar porcentagem. No exemplo anterior, representaríamos um por cento da seguinte forma: 1%. Note que cem por cento corresponde ao todo e 100% = =1. Assim, chama-se 100% de. Chamemos P de principal, ou seja, o todo que temos ou que queremos. Porcentagem é uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo. Chamemos, agora, i de taxa, ou seja, parte da unidade. A notação i%, que se lê i por cento, é usada para representar a fração de : Então, para determinarmos uma porcentagem x, basta aplicarmos uma regra de três simples, conforme vemos a seguir: Grandeza 1 Grandeza 2 P 100 x i Então: 1.1 Cálculo da porcentagem O cálculo de uma porcentagem é extremamente simples. Veja o exemplo 1. E 1 Imaginemos que desejo determinar quanto é 8% (que se lê 8 por cento) de Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

13 Primeiramente, lembre-se de que o símbolo % informa que devemos dividir por 100. Então, queremos determinar quanto vale de 250. Isso significa que transformamos 8% em uma razão porcentual. A seguir, substitua a preposição de pelo sinal de multiplicação. Assim, teremos: Porcentagem 8% de 250 = Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção Teríamos então: 100. x = x = 20 Simples e fácil, você não achou? 1.2 Transformação de uma razão qualquer em razão centesimal (ou razão porcentual) A transformação de uma razão qualquer em razão centesimal tem como objetivo descobrir a quantos por cento corresponde a razão dada. Veja o exemplo 2. E 2 Desejamos saber a quantos por cento corresponde a razão. Escrevemos que 4. x = x = 75 Então, ou 75% Matemática Financeira Aplicada 13

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15 capítulo Operações financeiras

16 Capítulo 2 2 Operações financeiras Em qualquer país em que estejamos, seja ele um país de economia bem desenvolvida ou não, tenha ele uma moeda forte ou fraca, operações são realizadas com a utilização de dinheiro (moeda), com o propósito de auferir lucro. Naqueles países considerados em desenvolvimento, como é o caso do Brasil, suas economias são abertas visando receber investimentos externos e, em conseqüência, gerando novos empregos e contribuindo para o progresso do país. Essas operações, denominadas, requerem os conhecimentos que serão mostrados ao longo desta obra. 2.1 Regimes de capitalização A incorporação do juro ao capital que o produziu é denominada de -. Para que possamos compreender com facilidade esse conceito, é necessário, primeiro, entendermos o que é e o que é. 2.2 Capital Qualquer valor expresso na moeda corrente de um país e disponível para uma operação financeira denomina-se. Nós o representaremos por C. Temos outros sinônimos para capital, a saber: valor atual, valor presente ou principal. 2.3 Juro Num conceito bastante simples, porém abrangente, é a remuneração do capital. Nós o representaremos por J. O regime de capitalização é que determina a forma de se acumularem os juros. Caso o juro incida somente sobre o capital inicial, trata-se de, e o regime de capitalização correspondente denominamos de -. Caso o juro incida sobre o capital mais o juro acumulado anteriormente, trata-se de, e o regime de capitalização correspondente denominamos de. O conceito de, conforme Castanheira & Serenato 1, pode ser introduzido por meio das expressões: ~ dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição; 16 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

17 ~ remuneração do capital empregado em atividades produtivas; ~ remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado; ~ remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Devemos ressaltar que o juro simples cresce linearmente ao longo do tempo, enquanto o juro composto cresce exponencialmente. Para melhor visualizar esse comportamento, observe o quadro 1. Consideramos uma pessoa que tenha obtido um empréstimo de R$ 100,00 em uma instituição financeira que utiliza uma taxa de juro de 80% ao ano. Qual será a sua dívida no final de quatro anos? Operações financeiras QUADRO 1 Cálculo do juro simples e do juro composto a partir de uma taxa de juro de 80% ao ano Ano Saldo no início de cada ano Juro de cada ano Saldo no final de cada ano Capitaliz. Capitaliz. Capitaliz. Capitaliz. Capitaliz. Capitaliz. simples composta simples composta simples composta 1 100,00 100,00 0,8x100=80,00 0,8x100,00= 80,00 180,00 180, ,00 180,00 0,8x100=80,00 0,8x180,00=144,00 260,00 324, ,00 324,00 0,8x100=80,00 0,8x324,00=259,20 340,00 583, ,00 583,20 0,8x100=80,00 0,8x583,20=466,56 420, , Taxa de juro Falamos em taxa de juro. Afinal, o que é essa taxa? O juro é calculado por intermédio de uma taxa percentual aplicada sobre o capital e que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, bimestre, mês, dia. Nós a representaremos por i. Veja os exemplos de 3 até 8. Observe, nos mesmos exemplos, como se representa a unidade de tempo (a. a., a. s., entre outros). E 3 i = 48% ao ano = 48% a. a. E 4 i = 22% ao semestre = 22% a. s. E 5 i = 15% ao trimestre = 15% a. t. E 6 i = 9% ao bimestre = 9% a. b. Matemática Financeira Aplicada 17

18 Capítulo 2 E 7 i = 4% ao mês = 4% a. m. E 8 i = 0,3% ao dia = 0,3% a. d. E 9 Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a: 36% de 5.000,00 = 36/ ,00 = 1.800,00 E 10 Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 2% ao mês proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a: 2% de 5.000,00 = 2/ ,00 = 100,00 Mas esse é o valor do juro após um mês. Como desejamos calcular o juro ao final de um ano, devemos multiplicar esse resultado por 12 (um ano tem 12 meses) e obtemos: J = 1.200,00 Que cuidados devemos ter ao resolver esses exemplos? Dois são os cuidados. Primeiro, observe que, para o cálculo do juro simples sobre um capital C, é necessário transformar a taxa de juro em uma fração decimal. Ou seja, 2% é igual a 0,02 (2 dividido por 100). Depois, devemos cuidar para que a taxa e o tempo sejam considerados na mesma unidade de tempo. Isso quer dizer que, se a taxa é apresentada ao mês, o tempo deve ser expresso em meses; se a taxa é apresentada ao semestre, o tempo deve ser expresso em semestres; e assim por diante. Se no problema apresentado isso não ocorrer, podemos tanto transformar a taxa quanto o tempo para a obtenção da homogeneidade entre ambos. 2.5 Por que se cobra juro? É comum questionarmos por que se cobra uma taxa de juro tão elevada nas operações financeiras. A composição da taxa de juro leva em conta que o possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprestar seu patrimônio, está atento para os seguintes fatores: ~ nem sempre o tomador do empréstimo paga sua dívida ao possuidor do dinheiro (risco de crédito); 18 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

19 ~ é possível que o tomador do empréstimo atrase o pagamento da sua dívida (risco de liquidez); ~ o possuidor do dinheiro deseja ter lucro ao emprestar o seu patrimônio; ~ o possuidor do dinheiro precisa precaver-se quanto a uma possível desvalorização do capital ao longo do tempo, em função de um processo inflacionário (risco de mercado); ~ todo empréstimo implica despesas operacionais, contratuais e tributárias tais como impostos; Operações financeiras ~ há a possibilidade do não-retorno de investimento em função de problemas operacionais da instituição onde os recursos foram aplicados (risco operacional); ~ existe a possibilidade de perdas em função da situação econômica do país (risco-país). 2.6 Risco-país Outro fator responsável pela elevação ou pela diminuição da taxa de juro é o -. O nível do risco-país mostra a confiança que os investidores (em nível mundial) têm quanto ao fato de o país honrar ou não suas dívidas. Quanto maior for a incerteza ou o risco associado a uma aplicação financeira, maior é a taxa de juro exigida pelo investidor. Quanto mais alto for o risco-país, maior é a possibilidade, no ponto de vista do investidor, de que o país pode dar calote. Em conseqüência, quanto maior a possibilidade do calote, maior é o valor do juro que o país deve oferecer para convencer os investidores a comprar seus títulos. Caso tenhamos duas aplicações financeiras com riscos diferentes, ambas oferecendo o mesmo retorno (a mesma taxa de juro), parece-nos óbvio que os investidores optem pela aplicação menos arriscada. Para o cálculo do risco-país, é feita uma comparação entre o juro que um país paga por títulos de sua dívida e o que o Tesouro dos Estados Unidos da América paga pelos seus, pois ele é considerado como risco zero de calote. Imaginemos, como exemplo, que o risco-país do Brasil está em pontos. Isso quer dizer que os títulos da dívida brasileira pagam 10% acima dos juros pagos pelos Estados Unidos da América 2. Matemática Financeira Aplicada 19

20 Capítulo Montante Verificamos que um capital, ao longo do tempo, precisa ter seu poder de compra mantido. Para tal, investimos o capital com o propósito de recebermos juro. Com a soma do capital ao juro, obtemos um valor a que denominamos e que representaremos por M. Temos, então, a fórmula para o cálculo do montante: M = C + J 2.8 Período ou prazo Ao tempo sobre o qual um capital C ou recebe ou paga um juro J denominamos de ou e o representaremos por n. Em outras palavras, n indica o número de vezes que o capital será acrescido de juro. Pode ainda se referir à quantidade de parcelas de uma renda, como veremos adiante. 20 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

21 capítulo Capitalização simples

22 Capítulo 3 3 Capitalização simples Denominamos de o regime de capitalização em que a taxa de juro utilizada é simples. Nesse caso, o juro é calculado, sempre, sobre o valor do capital inicial. Observe que é indiferente se o tomador do empréstimo pagará o juro periodicamente (por exemplo, mensalmente) ou o pagará em uma parcela única ao final do período contratado, uma vez que ele é constante e proporcional ao capital sobre o qual incide. Como para cada intervalo (período ou prazo) a que corresponde a taxa de juro temos um mesmo valor de juro, se quisermos saber o total no período, basta multiplicar o valor de cada intervalo pelo número de intervalos. Já havíamos demonstrado esse fato no exemplo 10. Temos, então, a fórmula do Juro Simples: J = C. i. n Já mostramos que: M = C + J Então: M = C + C. i. n M = C. (1 + i. n) Essa é a fórmula geral da capitalização simples. Mas onde é utilizado o juro simples? Com que tipo de juro trabalha o mercado financeiro? O mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas operações. A calculadora financeira HP-12C está preparada para tal situação. O juro simples é utilizado, por exemplo, na aplicação denominada, que é um empréstimo diário e renovável, com juros comerciais e com taxas mensais, ou em descontos de cheques ou de duplicatas. Veremos adiante que, quando saldamos uma dívida em que temos períodos que não são inteiros (por exemplo, temos uma taxa de juro ao mês e atrasamos uma dívida por 23 dias), nos é cobrado o juro simples por ser mais danoso. Não podemos esquecer, ainda, a utilização do juro simples em contas vinculadas por saldo devedor (juro simples postecipado). Para a fixação de todos esses conceitos, precisamos analisar alguns exemplos resolvidos. 22 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

23 E 11 Imaginemos um empréstimo de R$ 5.000,00 que será quitado em uma parcela única cinco meses após, a uma taxa de juro simples de 2% ao mês. De quanto será o montante ao final do quinto mês? Mês Saldo inicial Juros Saldo final (m) , , , , , ,00 x 0,02 = ,00 x 0,02 = ,00 x 0,02 = ,00 x 0,02 = ,00 x 0,02 = , , , , , ,00 Capitalização simples Resolvendo esse problema pela fórmula geral da capitalização simples, teremos: M = C. (1 + i. n) M = 5.000,00. (1 + 0,02. 5) M = 5.000,00. (1,10) M = 5.500,00 Vamos, a partir de agora, utilizar a calculadora financeira HP-12C. Para a utilização da calculadora financeira HP-12C em operações de juro simples, é necessário atentar para o fato de que o período deve ser fornecido, sempre, em dias. A taxa de juro simples, por sua vez, deve ser fornecida, sempre, ao ano. Vejamos, então, como seria resolvido o exemplo 11. f REG limpa os registradores (memórias) financeiros f 2 duas casas decimais no visor 150 n introduz o período em dias (observar que consideramos o ano comercial, ou seja, 360 dias) 24 i taxa ao ano 5000 CHS PV capital inicial (data zero) com sinal de fluxo de caixa f INT valor do juro simples (500,00) + valor do montante (5.500,00) Matemática Financeira Aplicada 23

24 Capítulo 3 E 12 Um valor de R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 2% ao mês, durante oito meses. Qual é o valor do juro simples? Como resolver pela fórmula? J = C. i. n C = 5.000,00 i = 2% a. m. = 0,02 a. m. n = 8 m J = 5.000,00. 0,02. 8 J = 800,00 Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C? f REG limpa os registradores financeiros f 2 queremos duas casas decimais CHS PV capital com sinal de fluxo de caixa 2 ENTER 12 x i taxa de juro ao ano 8 ENTER 30 x n período em dias (ano comercial = 360 dias) f INT valor do juro simples (800,00) E 13 Qual o rendimento de R$ 3.200,00 em quatro meses, a uma taxa de juro simples de 36% ao ano? Resolvendo pela fórmula: C = 3.200,00 i = 36% a. a. = 36/12 % a. m. = 3,0% a. m. = 0,03 a. m. J = C. i. n J = 3.200,00. 0,03. 4 J = 384,00 24 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

25 Por que dividimos a taxa fornecida por 12? Porque o período fornecido é uma quantidade de meses e necessitamos manter a homogeneidade nos tempos das grandezas (n) e (i). Optamos por transformar a taxa anual em taxa mensal. Poderíamos ter mantido a taxa ao ano e transformado o período em anos (4 meses = 4/12 ano). Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C? f REG limpa os registradores financeiros Capitalização simples f 2 queremos duas casas decimais 3200 CHS PV capital com sinal de fluxo de caixa 36 i taxa fornecida ao ano 4 ENTER 30 x n período fornecido em dias f INT valor do juro simples (384,00) 3.1 Juro ordinário O juro é quando trabalhamos com o ano comercial, ou seja, quando consideramos que o ano tem todos os seus meses com 30 dias. Assim, o ano comercial tem 360 dias. 3.2 Juro exato O juro, como o nome sugere, considera o número exato de dias que tem cada mês do ano civil. O ano tem, portanto, 365 dias. No caso do ano bissexto, consideram-se 366 dias. Lembramos que, para a utilização da HP-12C, caso o tempo não esteja em dias, devemos transformá-lo; se a taxa fornecida não for ao ano, devemos transformá-la. E 14 Calcular o juro exato e o juro ordinário de um capital de R$ ,00 que foi aplicado durante os meses de julho e agosto, a uma taxa de 48% ao ano. a) Juro ordinário (ano comercial): C = ,00 i = 48% a. a. = 0,48 a. a. Matemática Financeira Aplicada 25

26 Capítulo 3 n = 2 meses = 2/12 anos J = C. i. n J = ,00. 0,48. 2/12 J = 800,00 Pela calculadora HP-12C: f REG f CHS PV 48 i 2 ENTER 30 x n f INT juro ordinário (800,00, considerando n = 60 dias) b) Juro exato (ano civil): C = ,00 i = 48% a. a. = 0,48 a. a. n = 62 dias = 62/365 anos J = C. i. n J = ,00. 0,48. 62/365 J = 815,34 Pela calculadora HP-12C: f REG f CHS PV 48 i 62 n f INT juro ordinário (826,67, considerando n = 62 dias) 26 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

27 R tecla roll down: mostra no visor o principal x >< y juro exato (815,34) Você observou nesse exemplo que a calculadora financeira HP-12C calcula, ao mesmo tempo, o juro ordinário e o juro exato. Para visualizar os dois, basta pressionar as teclas na seqüência mostrada no exemplo 14. E 15 Capitalização simples Calcular o montante acumulado ao final de 40 dias, a partir de um capital de R$ 1.000,00, com juro simples de 48% ao ano, nas hipóteses de ano comercial e de ano civil. a) Juro ordinário (ano comercial): M = C. (1 + i. n) M = 1.000,00. (1 + 0,48/ ) M = 1.053,33 Pela calculadora HP-12C: f REG f 2 40 n 48 i 1000 CHS PV f INT juro ordinário (53,33) + montante (1.053,33) b) Juro exato (ano civil): M = C. (1 + i. n) M = 1000,00. (1 + 0,48/ ) M = 1.052,60 Pela calculadora HP-12C: f REG f 2 Matemática Financeira Aplicada 27

28 Capítulo 3 40 n 48 i 1000 CHS PV f INT juro ordinário (53,33) R x >< y juro exato (52,60) + montante (1.052,60) E 16 Calcular o juro exato de um capital de R$ ,00 aplicado durante 60 dias, à taxa de 24% ao ano. C = ,00 i = 24% a. a. = 0,24 a. a. n = 60 dias = 60/365 anos J = C. i. n J = ,00. 0,24. 60/365 J = 1.972,60 Pela calculadora HP-12C: f REG f CHS PV 24 i 60 n f INT juro ordinário (2.000,00) R x >< y juro exato (1.972,60) 28 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

29 3.3 A regra do banqueiro Podemos ainda calcular o valor do juro simples utilizando a -. Para tal, ao se estabelecer a homogeneidade entre o período e a taxa de juro, é usado o ano comercial (360 dias) como no juro ordinário, mas o período (número de dias) segue o princípio do juro exato, ou seja, segue o calendário do ano civil. E 17 Capitalização simples Determinar o juro, pela regra do banqueiro, gerado por um capital de R$ ,00 aplicado durante o mês de março, a uma taxa de juro simples de 24% ao ano. C = ,00 i = 24% a.a. = 0,24 a. a. n = 31 dias = 31/360 anos J = C. i. n J = ,00. 0,24. 31/360 J = 1.033,33 Pela calculadora HP-12C: f REG f CHS PV 24 i 31 n f INT juro do banqueiro (1.033,33) E 18 Uma letra de câmbio de valor nominal de R$ 7.000,00, resgatável daqui a dois anos, está à venda. Por quanto devo comprá-la, sabendo que desejo um juro mínimo de 30% ao ano? O que é? Trata-se do valor expresso no documento. No caso, expresso na letra de câmbio. É, portanto, o valor de uma dívida da data do seu vencimento. Matemática Financeira Aplicada 29

30 Capítulo 3 Caso queiramos antecipar o pagamento da dívida, devemos calcular o da mesma. Valor atual é, portanto, o valor da dívida a qualquer momento antes da data do seu vencimento. C =? (valor atual) M = 7.000,00 (valor nominal) i = 30% a. a. = 0,30 a. a. n = 2 anos M = C. (1 + i. n) 7.000,00 = C. (1 + 0,30. 2) C = 4.375,00 Devo comprar a letra de câmbio por, no máximo, R$ 4.375, Juro do cheque especial Para o cálculo do juro aplicado no saldo devedor de um correntista, no seu cheque especial, os bancos utilizam-se de um método conhecido como. Consideremos diversos capitais (C 1, C 2,..., C n ) aplicados por diferentes prazos (n 1, n 2,..., n n ), utilizando-se uma taxa i, constante, de juro simples. Já sabemos que o juro simples é determinado pela fórmula J = C. i. n Então, o cálculo do juro devido em cada período n k, com k variando de 1 até n, é: J 1 = C 1. i. n 1 J 2 = C 2. i. n 2... J n = C n. i. n n Sabemos que o valor total do juro a ser pago ao final de certo prazo é: J = J 1 + J J n J = C 1. i. n 1 + C 2. i. n C n. i. n n 30 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

31 J = i. (C 1. n 1 + C 2. n C n. n n ) Então: J = i. C k. n k com k variando de 1 até n. Exemplo 19 O extrato de um correntista empresarial apresentou os seguintes saldos em determinado mês: Capitalização simples SALDO R$ ,00 + R$ ,00 R$ ,00 + R$ ,00 DIAS Calcule o valor do juro pago por essa empresa, nesse mês, para uma taxa de juros simples igual a 3% ao mês. J = 0,03. (58.000, ,00. 10) J = 0,03. ( , ,00) J = ,00 Observe que o cálculo do juro devido é efetuado considerando-se apenas os dias em que o saldo é negativo. 3.5 Saldo médio Para o cálculo do saldo médio (S m ) de um correntista, basta determinar a média aritmética ponderada entre os saldos do período considerado. Por exemplo, como determinar o saldo médio de um mês com 30 dias? Consideremos diversos capitais (C 1, C 2,..., C n ) aplicados por diferentes prazos (n 1, n 2,..., n n ), respectivamente. Então: S m = C 1. n 1 + C 2. n C n. n n n 1 + n n n Matemática Financeira Aplicada 31

32 Capítulo 3 E 20 O extrato de um correntista empresarial apresentou os seguintes saldos credores em determinado mês: SALDO DIAS R$ ,00 6 R$ ,00 2 R$ ,00 10 R$ ,00 12 Calcule o saldo médio dessa empresa nesse mês. S m = , , , , S m = , , , ,00 30 S m = ,33 Agora que você já analisou 20 exemplos resolvidos, está na hora de exercitar para melhor fixar os conceitos transmitidos até o momento. Vem aí uma série de 50 exercícios propostos. Resolva-os e confira as respostas encontradas. Você verá que é fácil. Mãos à obra! Lembre-se: Quando falamos de dinheiro, nossa moeda é o e só trabalhamos com centavos no nosso dia-a-dia. Então, devemos sempre considerar apenas duas casas após a vírgula. Entretanto, ao trabalhar com taxa de juro, devemos considerar, no mínimo, cinco casas após a vírgula. Isso porque, ao longo do tempo, um arredondamento na taxa de juro pode significar grandes perdas de dinheiro para alguma das partes envolvidas. E como fazer o arredondamento? A regra, na matemática, é simples. Ela vale também para as calculadoras financeiras, que, sozinhas, fazem esse arredondamento. 32 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo

33 Considere os algarismos de 0 a 9 divididos em duas partes iguais: 0 a 4 e 5 a 9. Caso o algarismo que você deseja eliminar esteja no primeiro intervalo (0 a 4), apenas ignore o algarismo. No entanto, se esse algarismo estiver no segundo intervalo (5 a 9), ao eliminá-lo, não se esqueça de somar 1 (um) ao algarismo imediatamente anterior. Vejamos um exemplo. Queremos dividir 54 por 365 e apresentar o resultado com seis casas após a vírgula. Na divisão, obtivemos 0, Como queremos representar com seis casas após a vírgula, devemos eliminar as três últimas (a parte em negrito). Então, olhamos para o primeiro algarismo após a sexta casa: é um 2. Logo, para eliminar tudo a partir desse 2, basta ignorar os algarismos eliminados, pois o 2 encontra-se no intervalo de 0 a 4. Suponhamos, entretanto, que queiramos representar o resultado dessa divisão com apenas três algarismos após a vírgula. Então, devemos eliminar todos os algarismos a partir do 7. Como após o 7 temos um algarismo que pertence ao segundo intervalo (é um algarismo 9), ao eliminar esses algarismos (945205), devemos somar uma unidade ao algarismo imediatamente anterior ao 9. O resultado, portanto, será 0,148 (somamos 1 ao 7). Capitalização simples Matemática Financeira Aplicada 33

34 Capítulo 3 1. Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital de R$ ,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano? 2. Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apresentou, após 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ ,00? 3. Uma caderneta de poupança rendeu, em determinado mês, R$ 48,30. Supondo-se que nesse mês a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, quanto estava depositado nessa poupança antes de ser creditado o rendimento? 4. Uma pessoa investiu R$ ,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao mês, pelo período de cinco meses. Qual foi o montante obtido? 5. Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu R$ ,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês? 6. Qual será o valor do juro a ser pago, correspondente a um empréstimo de R$ ,00, sendo a taxa de juro de 2,4% ao mês, por um período de cinco meses, no regime de capitalização simples? 7. Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 por 125 dias, a uma taxa de juro simples de 3% ao mês. Calcule o juro e o montante obtidos. 8. Foram aplicados R$ 8.000,00 pelo período de 183 dias, que renderam R$ 1.024,80 de juro. Quais foram as taxas de juro simples mensal e anual aplicadas? 9. Qual foi o valor do juro obtido por um investidor que aplicou R$ ,00 pelo período de 40 dias, a uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês? 10. Qual será o capital necessário para obter um montante de R$ ,00 daqui a seis anos, a uma taxa de juro simples de 25% ao ano? 11. Qual o montante de uma aplicação de R$ 7.500,00 pelo prazo de 20 dias, a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês? 12. Qual será a taxa mensal de juro simples que fará um capital de R$ ,00 formar um montante de R$ ,00 daqui a 12 meses? 13. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 2.400,00 a uma taxa de juro simples de 30% ao ano, durante nove meses. 34 Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo