BACHARELADO EM ADMINISTRAÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 BACHARELADO EM ADMINISTRAÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA

2 M ATEMÁTICA F INANCEIRA 1a Edição

3 SOMESB SOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA. WILLIAM OLIVEIRA PRESIDENTE SAMUEL SOARES SUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO GERMANO TABACOF SUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO PEDRO DALTRO GUSMÃO DA SILVA SUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO FTC EAD FACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS ENSINO A DISTÂNCIA REINALDO DE OLIVEIRA BORBA DIRETOR GERAL MARCELO NERY DIRETOR ACADÊMICO JEAN CARLO NERONE DIRETOR DE TECNOLOGIA ANDRÉ PORTNOI DIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO RONALDO COSTA GERENTE ACADÊMICO JANE FREIRE GERENTE DE ENSINO LUÍS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSEN GERENTE DE SUPORTE TECNOLÓGICO ROMULO AUGUSTO MERHY COORD. DE SOFTWARES E SISTEMAS OSMANE CHAVES COORD. DE TELECOMUNICAÇÕES E HARDWARE JOÃO JACOMEL COORD. DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO MATERIAL DIDÁTICO PRODUÇÃO ACADÊMICA JANE FREIRE GERENTE DE ENSINO ANA PAULA AMORIM SUPERVISÃO PRODUÇÃO TÉCNICA JOÃO JACOMEL COORDENAÇÃO MÁRCIO MAGNO RIBEIRO DE MELO REVISÃO DE TEXTO GECIARA DA SILVA CARVALHO COORDENADOR DE CURSO MAURÍCIO PORTO SILVA AUTOR(A) EQUIPE PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO REVISÃO DE CONTEÚDO ADRIANO PEDREIRA CATTAI PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO EDIÇÃO EM L A T E X 2ε ANDRÉ PIMENTA, ANTONIO FRANÇA FILHO, AMANDA RODRIGUES, BRUNO BENN DE LEMOS, CEFAS GOMES, CLÁUDER FREDERICO FILHO, FRANCISCO FRANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, JOHN CASAIS, MÁRCIO SERAFIM, MARIUCHA SILVEIRA PONTE E Copyright c 2008 FTC EAD Todos os direitos reservados e protegidos pela lei de 19/02/98. É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC EAD - Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância.

4 Sumário Bloco 1: A Matemática e o Cálculo Financeiro 7 Tema 1: Fundamentos da Matemática Financeira 7 Conteúdo 01: Revisão de Conteúdos Matemáticos Básicos Porcentagem Exercícios Propostos Razão e Proporção Conteúdo 02: Regimes de Capitalização Regime de Capitalização Simples Taxas Equivalentes em Juro Simples Análise Gráfica - Juros Simples Exercícios Propostos Regime de Capitalização Composta Taxas Equivalentes em Juros Compostos Análise Gráfica dos Juros Compostos Juros Simples Juros Compostos Exercícios Propostos Taxa Nominal Taxa Efetiva Exercícios Propostos Tema 2: Equivalência de Capitais e suas Implicações nas Operações de Descontos 28 Conteúdo 01: Equivalência de Capitais Fluxo de Caixa Equivalência de Capitais Equivalência de Capitais a Juros Compostos Exercícios Propostos Conteúdo 02: Desconto Desconto Racional Simples Exercícios Propostos Desconto Comercial Simples ou Bancário Exercícios Propostos Relação entre os Descontos: Racional Simples e Comercial Simples Desconto Bancário Desconto Racional Composto Exercícios Propostos Desconto Comercial Composto Exercícios Propostos Bloco 2: Operações Financeiras e Análise de Investimentos 41 Tema 3: Série de Capitais, Inflação e Depreciação 41 Conteúdo 01: Série de Capitais 41 MATEMÁTICA FINANCEIRA 3

5 3.1 Série Postecipada Exercícios Propostos Séries Antecipadas Exercícios Propostos Séries Diferidas Postecipadas Exercícios Propostos Séries Diferidas Antecipadas Exercícios Propostos Conteúdo 02: Inflação Atualização de Preços Taxa Nominal e Taxa Real Exercícios Propostos Conteúdo 03: Depreciação Método de Depreciação Linear Plano de Depreciação Exercícios Propostos Tema 4: Sistemas de Amortização e Análise de Investimentos 62 Conteúdo 01: Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Constante - SAC Exercícios Propostos Sistema de Amortização Francês - SAF Exercícios Propostos Sistema de Amortização Americano - SAA Exercícios Propostos Sistema de Amortização Variável - SAV Exercícios Propostos Conteúdo 02: Análise de Investimentos Métodos de Avaliação de Investimentos Método do Valor Presente Líquido - VPL Exercícios Propostos Método da Taxa Interna de Retorno - TIR Exercícios Propostos Método do Prazo de Retorno - PayBack Exercícios Propostos Referências Bibliográficas 88 4 FTC EAD

6 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Prezado(a), Reflexos da saúde financeira que o País atravessa nos revelam que profissionais renomados, que exercem suas profissões no âmbito financeiro, possuem um conhecimento específico nos conteúdos referentes aos temas abordados na Matemática Financeira. Isto significa, dentre outras coisas, que apenas os profissionais da área de finanças, com uma boa formação acadêmica e com um conhecimento específico em conteúdos financeiros estão credenciados ao sucesso profissional. Portanto, me empenhei bastante na elaboração de um módulo de estudos bastante variado, que englobasse todas as necessidades enumeradas anteriormente, sem fugir, é claro, da importância da escrita matemática, além de amenizar as lacunas deixadas ao longo do ensino médio. No Tema 1, Fundamentos da Matemática Financeira, abordaremos alguns conteúdos relativos ao ensino médio, como porcentagem, razão e proporção, que servirão de suporte para a introdução de contextos mais específicos, como as capitalizações simples e composta, que são a base de sustentação para o bom entendimento dos demais conteúdos relativos à Matemática Financeira. No Tema 2, os conceitos sobre descontos e equivalência de capitais também serão abordados através de exemplos, numa forma bastante didática e direcionada. No Tema 3, a inflação, conceito importante, apesar da estabilidade financeira a qual o país se encontra atualmente, será abordado de forma bastante interessante, além, é claro, das séries de pagamentos, que são utilizadas em quase tudo o que se refere a planos de financiamento e compras parceladas. Ainda neste tema, os conceitos sobre depreciação serão tratados com o devido cuidado, utilizando uma importante ferramenta, o software Excel na construção dos planos de depreciação. Finalmente, no Tema 4, assuntos como sistemas de amortização e análise de investimentos, também abordados de forma bastante didática, farão uso do Excel, além de uma calculadora financeira, baseando-se nos conceitos sobre tomadas de decisão para os métodos de análise de investimentos e planilhas de amortização para os sistemas de amortização. Agradecemos pela ajuda de todos os professores que exerceram, de algum modo, influência na construção desse material e, também, aos alunos leitores que nos ajudarão, continuamente, a aprimorá-lo. Uma boa leitura e que Deus o abençoe nesta caminhada. Prof. Maurício Porto Silva MATEMÁTICA FINANCEIRA 5

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8 BLOCO 01 A Matemática e o Cálculo Financeiro Os conhecimentos matemáticos adquiridos ao longo do ensino médio, em que as conexões necessárias entre os assuntos muitas vezes não foram realizadas de forma satisfatória, deixam lacunas, dificultando o entendimento em temas mais aprofundados. Daí se justifica, na elaboração deste módulo de estudos, a preocupação em relembrar alguns destes conteúdos importantes. Neste bloco temático, abordaremos conceitos introdutórios sobre porcentagem, razão e proporção fazendo uma breve revisão através de conceitos, exercícios com resolução comentada, além de exercícios propostos. Noções sobre capitalização simples e composta, através de situações corriqueiras que simulam a incorporação dos juros nos dois sistemas mencionados. Outro fato importante serão as taxas de juro que, na verdade, são razões nas quais o denominador é um número sempre fixo e igual a 100. Em alguns casos, por exemplo, as taxas utilizadas são chamadas de nominais e, desta forma, a sua aparição em qualquer contexto implicará numa análise mais cautelosa. TEMA 01 Fundamentos da Matemática Financeira Conteúdo 01: Revisão de Conteúdos Matemáticos Básicos É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente, quando o homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam normalmente a ideia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro. As tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam claro que o sistema sexagesimal posicional já estava de longa data estabelecido. Há muitos textos desses primeiros tempos que tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas transações. As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de venda e endossos. Há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e medidas. Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de várias tábuas. Das 400 tábuas matemáticas cerca de metade eram tábuas matemáticas. Estas últimas envolvem tábuas de multiplicação, tábuas de inversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de exponenciais. Quanto a estas, provavelmente eram usadas, juntamente com a interpelação, em problemas de juros compostos. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação. Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existentes na Terra. Um dos primeiros indícios apareceu já na Babilônia no ano 2000 a.c. Nas citações mais antigas, os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas. A História também revela que a ideia se tinha tornado tão bem estabelecida que já existia uma firma de banqueiros internacionais em 575 a.c., com os escritórios centrais na Babilônia. Sua renda era proveniente MATEMÁTICA FINANCEIRA 7

9 das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o financiamento do comércio internacional. O juro não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da Matemática Financeira e Economia, mas também seus usos sofreram poucas mudanças através dos tempos. Como em todas as instruções que têm existido por milhares de anos, algumas das práticas relativas a juros têm sido modificadas para satisfazerem às exigências atuais. Mas alguns dos antigos costumes ainda persistem de tal modo que o seu uso, nos dias atuais, ainda envolve alguns procedimentos incômodos. Entretanto, devemos lembrar que todas as antigas práticas que ainda persistem foram inteiramente lógicas no tempo de sua origem. Por exemplo, quando as sementes eram emprestadas para a semeadura de uma certa área, era lógico esperar o pagamento na próxima colheita - no prazo de um ano. Assim, o cálculo de juros numa base anual era mais razoável, tão quanto o estabelecimento de juros compostos para o financiamento das antigas viagens comerciais, que não poderiam ser concluídas em um ano. Conforme a necessidade de cada época, foram criadas novas formas de se trabalhar com a relação tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário, etc). Há tábuas nas coleções de Berlin, de Yale e do Louvre que contêm problemas sobre juros compostos e outras, em Istambul, que parecem ter sido originalmente tábuas de a, para n de 1 a 10 e para a = 9, 16, 100 e 225. Com essas tábuas podem-se resolver equações exponenciais do tipo a = b. Em uma tábua do Louvre, de cerca de 1700 a.c., há o seguinte problema: Por quanto tempo deve-se aplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre? Alguns conceitos matemáticos específicos são de extrema importância e influenciam diretamente a compreensão de temas mais aprofundados, como, por exemplo, a Matemática Financeira. Desta forma, é interessante uma prévia, um tanto quanto detalhada, destes conceitos se um rendimento satisfatório de todo o conteúdo é desejado. 1.1 Porcentagem É muito frequente ouvirmos em nosso cotidiano o uso de expressões como Compre agora o seu automóvel e ganhe um desconto de 40% ou, então, O governo não irá conceder um aumento salarial de 120%. Na primeira expressão, poderíamos interpretar da seguinte maneira: para a compra de um automóvel temos que, para cada R$ 100, 00, houve um desconto de R$ 40, 00. Já na segunda afirmação, percebe-se que, para cada R$ 100, 00, há um acréscimo de R$ 120, 00. Nas duas situações é fácil perceber que a utilização da porcentagem, ou percentagem, indica, simplesmente, um acréscimo ou desconto de uma fração do valor total. 1.1 Definição. Porcentagem, ou percentagem, é a fração de um número inteiro expresso em centésimos. Representa-se com o símbolo % (que se lê "por cento"). Os cálculos de porcentagens são muito usados na indústria, nas finanças e na ciência para avaliar resultados. Nota 1. De uma maneira geral, podemos afirmar que toda fração que representará um percentual possui a forma a 100 = a% Por exemplo, se estamos numa pizzaria e pedimos que a metade da pizza seja do sabor calabresa e a outra metade do sabor portuguesa, em termos fracionários a metade é representada pela fração 1. Se estamos 2 interessados em descobrir qual o valor percentual, basta multiplicar o numerador e o denominador da fração por 50. Isto se faz necessário porque, pela definição de porcentagem, o numerador da fração sempre será igual a 100. Portanto, 1 2 = = = 50% Agora, que compreendemos a definição de porcentagem, vamos à resolução de alguns exercícios elementares. 8 FTC EAD

10 ER 1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1500, 00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago? Solução: O desconto será % = exatamente a diferença = = , 2 = 300. Portanto, o que foi pago será Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco: O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% 20% = 80%). ER 2. Um carro, que custava R$ , 00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar? Solução: O acréscimo será de: % = custar: = = , 1 = Portanto, passará a Dica: O valor inicial do carro era de 100%. Se ele sofreu uma valorização de 10% isso quer dizer que ele passará a custar 110%, ou seja, ( = 110) do seu valor inicial. ER 3. Um computador, que custava R$ 2.000, 00, apresentou um lucro de R$ 100, 00. Que percentual foi o lucro sobre o preço de venda? Solução: Observe que, se o lucro sobre o valor de R$ 2.000, 00 foi exatamente R$ 100, 00, isso significa que existe uma determinada fração x tal que: x 100 = 100. O valor de x é a solução para o problema e este se baseia na própria definição de porcentagem, nada além disso. Portanto, x = x = x = 5%. ER 4. Um comerciante, que não possuía conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$ 200, 00. Acresceu a esse valor 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto e o comerciante concedeu um de 40% sobre o novo preço, pensando, assim, que teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor? Solução: Vamos por etapas. O comerciante comprou a mercadoria por R$ 200, 00 e acresceu 50% sobre esse valor. Logo, a mercadoria passou a custar R$ 300, 00 afinal: = 200 0, 5 = Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda, temos que recalcular o valor, assim: = 300 0, 4 = Portanto o valor repassado ao consumidor depois dos 40% de desconto foi exatamente = 180. Desta forma, como o comerciante comprou a mercadoria por R$ 200, 00 e a vendeu por R$ 180, 00, obteve um prejuízo de R$ 20, 00 e não um lucro de 10%, como imaginava. Dica: Perceba que, neste caso, a álgebra incorreta do comerciante se deu quando, ao oferecer um MATEMÁTICA FINANCEIRA 9

11 desconto de 40% sobre o valor do produto, ele o fez sobre o valor que já possuía o lucro da venda, ou seja, ßÞÐ ßÞÐ aplicou o desconto sobre os R$ 300. Se ele estava interessado num lucro de 10% deveria ter feito da seguinte maneira: Aplicar o lucro de 50% sobre o valor total do produto, resultando num valor final de revenda de R$ 300, após o que aplicaria o desconto de 40% sobre o valor de R$ 200 do produto. desta forma, o valor de revenda seria R$ 100, 00 + R$ 120, 00 = 220, 00(lucro de 10% na venda) lucro de 50% desconto de 40% Os exercícios a seguir servirão para consolidar o que foi abordado sobre os conceitos de porcentagem, muitas das maneiras de se equacionar problemas envolvendo porcentagens já foram abordadas anteriormente e, desta forma, o estudante poderá utilizar muitas destas ideias nas resoluções das atividades propostas abaixo Exercícios Propostos EP 1.1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500, 00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor pago em reais? EP 1.2. Um carro, que custava R$ , 00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0, 12% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar? EP 1.3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000, 00 a uma gráfica. No período de um mês ela apresentou um lucro de R$ 100, 00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de compra? EP 1.4. Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após certo período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo, assim, o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela) EP 1.5. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados. EP 1.6. Uma bolsa é vendida por R$ 32, 00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar? EP 1.7. Certa mercadoria, que custava R$ 24, 00, passou a custar R$ 30, 00. Calcule a taxa percentual do aumento. EP 1.8. Qual o preço de uma mercadoria que custa R$ 50, 00 após dois aumentos sucessivos de 25% e 20%? EP 1.9. Qual o preço da mercadoria que custa R$ 100, 00 após dois descontos sucessivos de 30% e de 20%? EP Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida, anuncia essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preço final de R$ 72, 00. Calcule o valor do preço original P. 1.2 Razão e Proporção A aplicação dos conceitos de razão, proporção e porcentagem é algo constante no nosso cotidiano, abrangendo tanto problemas simples e rápidos, como um desconto numa loja em liquidação, quanto problemas mais complexos relativos à inflação ou a taxa de juros, por exemplo. Vejamos uma revisão básica sobre esses assuntos FTC EAD

12 1.2 Definição. Denomina-se razão de dois números diferentes de zero, o quociente formado por eles. Assim sendo, suponha que numa sala de aula haja 35 estudantes, sendo 28 destes homens. Observe o cálculo da razão entre número de estudantes homens e o total de estudantes da sala. Desta forma, podemos analisar a situação da seguinte maneira, o número total de estudantes é igual a 35 como o número total de homens é exatamente 28, então a razão que representa o número de homens na sala será: = 4 (lê-se 4 para 5). 5 E se estivéssemos interessados em saber a razão que representa o número de mulheres dentro desta sala de aula? Muito simples. Observe que, dentre o total de 35 alunos, 28 são homens. Portanto, os 7 restantes representam os estudantes do sexo feminino. Assim, a razão que representa o número de mulheres é: 7 35 = 1 (lê-se 1 para 5) 5 Observe, ainda, que os conceitos sobre razão e porcentagem possuem uma forte ligação, afinal, quando afirmamos que 4 é a razão que representa a quantidade de homens, podemos também afirmar que 80% do 5 total de estudantes dentro da sala são homens e, desta forma, os 20% restantes representam exatamente o percentual do número de mulheres que foi representado pela razão 1 5. Também é válido pensar em razão utilizando grandezas diferentes. Por exemplo, ao estudarmos cinemática a velocidade é representada por uma razão entre grandezas diferentes, normalmente km/h ou m/s que são as unidades mais utilizadas. Em alguns casos, duas razões podem ser iguais, por exemplo, 1 5 e 2 10 produzem o mesmo resultado 0, 2 quando dividimos os numeradores 1 e 2 pelos respectivos denominadores 5 e 10. Neste caso, significa que existe uma proporcionalidade entre as razões. 1.3 Definição. Denomina-se proporção à igualdade entre duas razões. Considerando a, b, c e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente uma proporção se: a b = c d Nesse caso, a, b, c e d são chamados de termos da proporção, sendo a e d os extremos e b e c os meios. Nas proporções, é valida a seguinte propriedade: Produto dos meios = Produto dos extremos a d = b c Os conceitos citados anteriormente servirão como base para um melhor entendimento dos conteúdos relativos à Matemática Financeira de uma forma geral. Em primeiro lugar, trataremos dos conceitos sobre juros simples e compostos que formam, na verdade, a essência de todo o assunto relativo à Matemática Financeira. Conteúdo 02: Regimes de Capitalização Os conceitos de capitalização simples (Juro Simples) e de capitalização composta (Juro Composto) estão presentes no dia a dia seja de forma direta ou indiretamente. Adquirir um certo bem de consumo em uma loja comercial qualquer, aplicar um certo valor em dinheiro numa caderneta de poupança são exemplos práticos da utilização da Matemática Financeira no cotidiano. Dessa forma, alguns questionamentos importantes se fazem presentes neste momento, como, por exemplo, Qual será a melhor forma de investir o nosso dinheiro? ou então, Será que essa forma de pagamento é a melhor dentre todas as disponíveis? A resposta de tais perguntas não é tão difícil quanto parece, contudo a compreensão dos conceitos e aplicações dos juros simples e compostos serão de fundamental importância para que possamos encontrar as respostas. Os conceitos de juros simples e compostos serão abordados neste tema. Aplicações e exercícios para a fixação de todos os conceitos que serão apresentados se fazem presentes também. A Matemática Financeira possui uma linguagem ou forma de apresentação bastante simples e direta, tornando o estudo mais atrativo e interessante. MATEMÁTICA FINANCEIRA 11

13 1.3 Regime de Capitalização Simples Quando estudamos assuntos relacionados com o ensino médio como velocidade e aceleração suas unidades de medidas são dadas pelo quociente entre duas unidades de medidas, no caso da velocidade a unidade será m s (metros por segundo) com respeito a aceleração temos m (metros por segundo ao quadrado). Existem s2 duas características presentes nas unidades mencionadas, nota-se que ambas são dadas como um quociente entre medidas e a medida situada no denominador da fração é de natureza temporal, ou seja, uma grandeza que mede unidade de tempo. Uma taxa nada mais é do que um quociente entre medidas, onde a medida situada no denominador da fração é de natureza temporal, dessa forma a aceleração e a velocidade são exemplos de taxas. Uma taxa de juros representa um valor monetário qualquer medido em unidade de tempo que poderá ser dias, semanas, meses, anos, semestres e etc. Representaremos a taxa de juros pela letra i admitindo portanto duas formas: Percentual e unitária. Taxa de Juros Forma Percentual Forma Unitária 2 por cento ao dia i = 2% a.d. i = 0, 02 a.d. 24 por cento ao mês i = 24% a.m. i = 0, 24 a.m. 30 por cento ao semestre i = 30% a.s. i = 0, 30 a.s. 5 por cento ao ano i = 5% a.a. i = 0, 05 a.a. Observe na tabela anterior que as taxas possuem uma forma simplificada na escrita, ao invés de escrevermos 10 por cento ao bimestre de forma simplificada representamos por i = 10% a.b. isso faz com que a representação da taxa de juros seja de fácil compreensão. Agora que já sabemos como representar uma taxa em qualquer unidade temporal, podemos então começar a pensar em capitalizar primeiramente em juros simples. Andando pelo centro da cidade um certo individuo se depara com a seguinte proposta. Invista R$ 1.000, 00 durante 4 meses aplicando uma taxa fixa de juros i = 10% am O primeiro questionamento a ser feito nesta situação é saber o quanto irá lucrar utilizando a taxa de juros mencionada? Outra importante pergunta é, como o investimento inicial será capitalizado? O investimento inicial será de R$ 1.000, 00. Assim o capital inicial, que denotaremos a partir deste instante pela letra C, será exatamente o valor de R$ 1.000, 00. Portanto, C = R$ 1.000, 00. O capital inicial sofrerá a ação da taxa de juros i = 10% durante quatro meses que agora chamaremos de número de períodos e representaremos pela letra n. O primeiro período de capitalização sempre será representado por n = 0. Dessa forma, capitalizar durante quatro períodos significará admitir quatro valores naturais começando pelo zero, neste caso n {0, 1, 2, 3}. O juros do período, será representado pela letra J. A simulação é descrita de forma detalhada na tabela abaixo, observe que em cada um dos períodos será calculado o juros, e em seguida o montante representado pela letra M, obviamente o montante será a soma do capital com o juros do período corrente, ou seja: M = C + J É fácil perceber que o juros corrente durante toda a simulação é fixo, exceto pelo período n = 0. Dessa forma podemos afirmar que o juros total será a soma de todos os juros encontrados em cada um dos períodos, chamando de J n o juros do período n com n {0, 1, 2, 3} temos: J = J 0 + J 1 + J 2 + J 3 = , 00 (0, 10) , 00 (0, 10) , 00 (0, 10) 12 FTC EAD

14 Período Capital Juros Montante , 00 0 M = 1.000, = 1.000, , , 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.000, , 00 = 1.100, , , 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.100, , 00 = 1.200, , , 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.200, , 00 = 1.300, 00 Simplificando os cálculos, o juros total da simulação será dado por: J = 1.000, 00 (0, 10) 3. Observe que se tivéssemos uma quantidade maior de períodos a capitalizar, o produto 1.000, 00 (0, 10) se manteria fixo, mudando apenas o número a ser multiplicado pela direita, por exemplo, se capitalizarmos durante 6 períodos, o juros total acumulado será dado por: J = 1.000, 00 (0, 10) 5. Assim para uma capitalização qualquer de um certo capital inicial C submetido a uma taxa de juros i durante um período n, o juros total acumulado pode ser calculado pela expressão: J = C i n De posse da expressão que calcula os juros fixos durante todo o período de capitalização, podemos encontrar a relação entre o montante M, o capital inicial C, a taxa de juros i e o número de períodos n. Observe o seguinte desenvolvimento: M = C + J, comoj = C i ntemosm = C + C i n M = C (1 + i n) Para a simulação descrita anteriormente o montante obtido depois de submeter o capital inicial de R$ 1.000, 00 a uma taxa i = 10% a.m. durante quatro meses de capitalização foi M = R$ 1.300, 00. Observe que este mesmo valor poderá ser calculado utilizando a fórmula M = C (1 + i n) onde C = R$ 1.000, 00, i = 10% e n = 4 meses (verifiquem!!!). 1.4 Definição (Juros Simples). Chamamos de capitalização simples ou regime à juros simples a toda movimentação financeira em que a taxa de juros por período incide sempre sobre o capital inicial. Os juros neste caso verificam a relação J = C i n e além disso o montante M obtido depois de submeter um certo capital C a uma taxa de juros i durante um certo número de períodos n será dado por: M = C (1 + i n) Nota 2. As unidades temporais da taxa de juro i, juntamente com o número de períodos n, devem ser sempre as mesmas. Por exemplo, se i = 4% a.a. o número de períodos deverá necessariamente ser dado em anos. Suponha, neste caso, que n = 12 meses. Como proceder? Em alguns casos mudar a unidade temporal do número de períodos é mais simples do que mudar a da taxa de juro. É fácil perceber que se n = 12 meses, então n = 1 ano e, dessa forma, colocamos a taxa de juro e o número de períodos em sintonia com respeito à unidade temporal de ambos. Como mudaríamos a taxa de juro então? A resposta de tal questionamento é simples de responder. Introduziremos, a partir de agora, o conceito de taxas equivalentes e, desta forma, poderemos alterar a unidade temporal da taxa para qualquer outra unidade que quisermos Taxas Equivalentes em Juro Simples Suponha que tenhamos um certo capital C de R$ 500, 00 e desejamos submeter a um regime de juro simples utilizando duas taxas de juro i a = 12% a.a. e i m = 1% a.m. durante n = 12 meses. Lembrando que n = 12 meses pode ser reescrito como n = 1 ano. MATEMÁTICA FINANCEIRA 13

15 Para a primeira taxa de juros i a = 12% a.a. o montante M 1 obtido será: M 1 = 500 (1 + (0, 12 1)) M 1 = 500 1, 12 M 1 = 560, 00 Para a segunda taxa de juros, ou seja, i m = 1% a.m. o montante M 2 obtido será: M 2 = 500 (1 + (0, 01 12)) M 2 = 500 1, 12 M 2 = 560, 00 Observe que M 1 = M 2. Por que isso aconteceu? A resposta é mais simples do que parece. Observe atentamente as taxas utilizadas nesta simulação, i a = 12% a.a. e i m = 1% a.m., em que a primeira foi dada em anos e a segunda em meses. Além disso, i a = 12 i m ou se preferir, i m = i a 12. As taxas i a e i m são chamadas de taxas equivalentes. Em outras palavras, submetendo um mesmo capital inicial C, num mesmo número de períodos, o montante encontrado será sempre o mesmo. De uma forma geral, suponha que i a seja uma taxa qualquer dada em anos e que desejamos encontrar as taxas equivalentes em semestre (i s ), bimestre (i b ), meses (i m ), quinzenas (i q ) e dias (i d ). Supondo que o capital inicial e o número de períodos são fixos, já sabemos de antemão que os montantes obtidos para cada umas das taxas será o mesmo. Se n = 1 ano podemos afirmar que n = 2 semestres, n = 6 bimestres, n = 12 meses, n = 24 quinzenas e n = 360 dias. Dessa forma: M a = M s = M b = M m = M q = M d (1 + i a 1) = (1 + i s 2) = (1 + i b 6) = (1 + i m 12) = (1 + i q 24) = (1 + i d 360) i a = 2 i s = 6 i b = 12 i m = 24 i q = 360 i d Nota 3. A quantidade de dias em cada mês no regime comercial é sempre igual a 30, não importando se o mês tem 31 dias ou menos de 30 no caso do mês de fevereiro Análise Gráfica - Juros Simples Uma outra forma de analisar o comportamento de um certo investimento submetido ao regime de juros simples seria através da análise gráfica. Observe que, uma vez fixados o capital inicial C e a taxa de juros simples i, a expressão que relaciona essas variáveis juntamente com o montante M e o número de períodos n torna-se uma função de variáveis M (dependente) e n (independente), como definida abaixo. M(n) = C (1 + i n), em que C e i são fixos. O domínio dessa função será restrito apenas ao primeiro quadrante. Isto significa que não estaremos interessados em valores negativos tanto do montante quanto do número de períodos. Dessa forma, D(M) = R +. Outra fato importante é que o gráfico da função juros simples, pelo fato de ser M linear, é representado por uma reta que não passa pela origem. Isto se deve ao fato de que partiremos sempre de um certo capital inicial C. Assim, quando n = 0 temos, no mínimo, o valor do capital inicial C, haja vista que ainda não completamos um C (1 + i) C mês de capitalização para que o juro obtido no primeiro período fosse incorporado 1 n ao montante. ER 5. Quanto se deve aplicar hoje para obter um montante de R$ , 00 daqui a 19 meses a uma taxa de juro simples de 50% a.a? 14 FTC EAD

16 Solução: Não temos o capital inicial C. O montante é M = , 00. O número de períodos é n = 19 meses, que poderá ser transformado em anos através de uma simples regra de três: Ano Meses 1 12 x 19 Dessa forma, 12 x = 19 x = A fórmula do montante para o regime de juros simples é dada por M = C (1 + i n). Portanto, = C 1 + 0, C = 1 + 0, C 5.581, 39 Poderíamos resolver a mesma questão mantendo o número de períodos fixo, ou seja, n = 19 meses, porém alterando a unidade temporal da taxa de juro simples. i a = 12 i m i m = i a 12 = 0, 5 0, 0416 = 4, 16% a.m. 12 Utilizando esta taxa de juro simples mensal i = 4, 16%, temos: = C [1 + (0, )] C = Portanto, o capital procurado é de R$ 5.581, , 39 (1 + (0, )) ER 6. Qual o valor do juro contido no montante de R$ , 00, resultante da aplicação de um certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? Solução: Lembremos, primeiramente, que os juros no regime de capitalização simples são fixos em cada período e a fórmula para calcular o juro total acumulado depende do capital inicial C, da taxa de juro simples i e do número de períodos n. J = C i n Precisamos encontrar o capital inicial C para depois calcular o juro total. Como o montante é de R$ , 00, através da fórmula M = C (1 + i n), podemos, então, encontrar o valor do capital inicial. Observe, ainda, que as unidades temporais da taxa e do número de períodos são incompatíveis, ou trocamos a taxa de juros de anos para meses ou trocamos o número de períodos de meses para anos. Se n = 13 meses então n = anos = C 1 + 0, C = 1 + 0, C , 52 Assim, o capital inicial é de R$ , 52. Calculando o juro total do período, temos que: J = , 52 0, , Poderíamos ter encontrado o valor total dos juros utilizando uma outra relação envolvendo o montante M, o capital inicial C e o juro total J. A fórmula mencionada é dada por: M = C + J J = M C MATEMÁTICA FINANCEIRA 15

17 Assim, bastava subtrair o valor do montante pelo capital e, dessa forma, encontrar o valor para o juros total J. J = , , 52 = , 48 Fica a cargo do leitor responder tal questionamento: O juro total encontrado é o mesmo mantendo o número de períodos igual a 13 meses e transformando a unidade temporal da taxa de juro de ano para meses? ER 7. Uma empresa aplicou R$ 4.000, 00 do dia 15/06/06 ao dia 21/06/06 e gerou um montante de R$ 4.042, 00. Qual foi a taxa mensal de rendimento dessa operação? Solução: Em primeiro lugar, precisamos descobrir o número de períodos existente entre essas duas datas. Seria muito comum que qualquer pessoa afirmasse que entre as datas 15/06/06 e 21/06/06 existem apenas 6 dias e isto infelizmente é incorreto. Quando contabilizamos datas, a data de partida deverá também ser levada em consideração. Dessa forma, não teremos apenas 6 dias. O correto é afirmar que entra as datas 15/06/06 e 21/06/06 existem 7 dias. Assim, o número de períodos é n = 7 dias. Utilizando a fórmula M = C (1 + i n), temos: = (1 + i 7) , = 1 + i 7 1, 0105 = i i = = 0, Portanto, a taxa de juros simples diária é i = 0, 015. Como o exercício pede a taxa de juros mensal, devemos utilizar a equivalência de taxas, i m = 30 i d. Sendo assim, i m = 30 i d = 30 0, 015 = 0, 045 = 4, 5%a.m. ER 8. Depositei a quantia de R$ , 00 em um banco que remunera seus clientes à taxa simples de 36% a.a. Depois de um certo tempo, verifiquei que o meu saldo no banco era de R$ , 00. Por quantos dias deu-se esta aplicação? Solução: A questão pede para encontrarmos o número de períodos em dias, que o capital inicial C = , 00 foi aplicado a uma taxa de juros simples i = 36% a.a., resultando num montante M = , 00. Observe que o número de períodos a ser encontrado deverá estar medido em dias. Dessa forma, devemos fazer uma mudança na unidade temporal de ano para dias da taxa fornecida. Utilizando a fórmula M = C (1 + i n), temos que: i a = 360 i d i d = i a 360 i 0, 36 d = 360 i d = 0, , 00 = , 00 (1 + 0, 001 n) Assim, o número de períodos procurado é n = 25 dias , 00 1, = 0, 001 n n = = , 00 0, Exercícios Propostos EP Uma empresa tomou emprestada a quantia de R$ , 00, se comprometendo a liquidar a dívida em 45 dias, pagando por esta R$ , 00. Qual a taxa mensal de juros simples adotada nesta operação? EP Depositei a quantia de R$ , 00 em um banco que remunera seus clientes à taxa de juros 16 FTC EAD

18 simples de 36% ao ano. Depois de um certo tempo, o meu saldo neste banco era de R$ , 00. Por quantos dias deu-se essa aplicação? EP Uma loja oferece um aparelho por R$ 500, 00 à vista. Na compra deste aparelho a prazo, pede-se 20% do valor à vista como entrada, e mais um pagamento de R$ 550, 00 no prazo de 2 meses. Que taxa de juro simples a loja está cobrando nessa operação? EP Um capital, aplicado por 5 meses, foi elevado a R$ , 00. Caso esse capital tivesse sido aplicado por 10 meses, à mesma taxa de juros simples, teria se elevado R$ , 00. Encontre esse capital e a taxa utilizada. EP Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a 2 3 considerada? de si próprio. Qual foi a taxa de juros simples EP Um capital (C 2 ) supera outro (C 1 ) em 20%. Os dois foram aplicados a juros simples a taxas de 10% a.m. e 7% a.m., respectivamente, e produziram, juntos, em um mesmo prazo, um montante de R$ , 00. Determine esse prazo, sabendo que o juro do capital (C 2 ) supera (C 1 ) em R$ , 00 EP Que taxa de juros simples faz com que um certo capital inicial C triplique de valor em 2 anos e 1 mês? EP A soma de um capital, aplicado durante 110 dias, à taxa de juros simples de 7% a.a., com seu juro, é igual R$ 2.553, 47. Determine o valor do juro, considerando o ano com 360 dias. EP Um comerciante oferece a seus clientes um abatimento de 5% no caso de compras à vista. Em contra partida, nas compras à prazo, suas mercadorias sofrem um acréscimo de 15% e dá-se ao cliente um prazo de 3 meses para efetuar o pagamento. Qual a taxa mensal de juro simples adotada por essa loja? EP Uma pessoa aplicou um certo capital em um banco à taxa de juros simples de 96% a.a. Transcorridos 5 meses, essa pessoa retirou o capital mais o juros e aplicou-os em um outro banco por 3 meses, à taxa de juros simples de 9% a.m. obtendo, com isso, um juro de R$ 4.536, 00. Qual o capital inicial aplicado por essa pessoa? 1.4 Regime de Capitalização Composta Agora que já sabemos lidar com os conceitos de juros simples e equivalência de taxas num regime de juros simples, podemos começar a pensar como se comporta um capital inicial C num regime de juros compostos, submetido a uma taxa de juro composto i durante um número de períodos n. Será que o resultado final, ou seja, o montante M obtido durante a capitalização composta é sempre maior do que a capitalização simples? A matemática nos reserva situações fascinantes e para responder perguntas dessa natureza devemos possuir vasto conhecimento dentro do assunto proposto. Para introduzirmos o conceito de juro composto vamos utilizar como referência a mesma simulação usada para ilustrar o regime de juro simples. A capitalização composta ou simplesmente juro composto é a forma de movimentação financeira mais utilizada no mercado. O simples ato de comprar algum bem de consumo parcelado, ou investir um certo capital inicial numa caderneta de poupança, são exemplos práticos da utilização da capitalização composta no dia a dia. Entender os conceitos e aplicações dos juros compostos é de fundamental importância no decorrer do curso de Matemática Financeira, principalmente no estudo de séries de pagamentos. Lembra do que foi visto com relação a juros simples? Propusemos uma simulação baseada na seguinte frase: Invista R$ 1.000, 00, durante 4 meses, aplicando uma taxa fixa de juros i = 10% a.m. MATEMÁTICA FINANCEIRA 17

19 Naquele instante estávamos interessados em equacionar tanto a fórmula de juros quanto a fórmula do montante para o regime de juros simples. Observe que naquele momento os juros tinham a característica de serem fixos durante toda a capitalização. Vamos mudar a maneira de incidir a taxa de juro. Agora, ao invés de incidir a taxa de juro sempre no capital inicial, incidiremos no montante do período anterior. Utilizaremos a Tabela 1.1, a seguir, de modo a ilustrar e melhorar a sua compreensão. Período Capital Juros Montante , 00 0 M = 1.000, = 1.000, , , 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.000, , 00 = 1.100, , , 00 (0, 10) = 110, 00 M = 1.100, , 00 = 1.210, , , 00 (0, 10) = 121, 00 M = 1.210, , 00 = 1.331, 00 Tabela 1.1: Simulação do Regime de Capitalização Composta Observamos, pela tabela, que nos períodos n = 0 e n = 1 os montantes obtidos foram exatamente iguais aos calculados pelo regime de capitalização simples. No entanto, olhando para os períodos n = 2 e n = 3 nota-se um acréscimo significativo se comparados aos respectivos montantes dos períodos em questão no sistema de capitalização simples. O juro total, neste caso, também será a soma de todos os juros obtidos em cada período, o grande problema é que pelo fato de não ser constante, não existirá uma fórmula para o calcularmos diretamente, assim como foi visto no regime de juros simples. J = J 0 + J 1 + J 2 + J 3 = = 331 Contudo, a fórmula que relaciona o montante M, o capital inicial C e o juro total J continua sendo válida, ou seja, M = C + J M = 1.000, , 00 M = 1.331, 00 Qual será a relação entre o montante M, o capital inicial C, a taxa de juro composto i e o número de períodos n para o regime de capitalização composta? De uma forma geral, suponha que tenhamos um certo capital C submetido a uma taxa de juros composta i durante um número de períodos n. A característica principal do juro composto é que a taxa de juro incidirá sempre no montante anterior ao período em questão. Dessa forma, n = 0 J 0 = 0 M 0 = C + J 0 = C + 0 M 0 = C No período seguinte, a taxa incidirá sobre o montante M 0. Como M 0 = C, a capitalização ainda se comporta de forma idêntica ao juro simples. Assim: n = 1 J 1 = M 0 i = C i M 1 = M 0 + J 1 = C + C i M 1 = C (1 + i) Observe que se n = 2, a capitalização composta começa a ter um comportamento bastante diferente se comparada a simples, pois, neste caso, a taxa de juro i incide sobre o montante anterior e M 1 C, uma vez que M 1 = C (1 + i). n = 2 J 2 = M 1 i = C (1 + i) i M 2 = M 1 + J 2 M 2 = C (1 + i) + C (1 + i) i Podemos simplificar a expressão de M 2, pois o termo C (1 + i) é um fator comum à expressão. Dessa forma, pode ser colocado em evidência. M 2 = C (1 + i) + C (1 + i) i M 2 = C (1 + i) (1 + i) M 2 = C (1 + i) FTC EAD

20 Seguindo essa lógica, é fácil perceber que o montante M 3 é dado por M 3 = C (1 + i) 3. Para um montante qualquer M n, ou se preferir M(n), a expressão para o seu cálculo é: M(n) = C (1 + i) n De modo a simplificar a notação, utilizaremos somente a variável M para representar o montante num período qualquer. Dessa forma, M = C (1 + i) n 1.5 Definição. Chamamos de capitalização composta ou regime de juros compostos a toda movimentação financeira em que a taxa de juros, para cada período, incide sempre sobre o montante do período anterior. O montante M obtido depois de submeter um certo capital C a uma taxa de juros i durante um certo período n é dado por: M = C (1 + i) n Nota 4. Assim como no regime de juros simples, a taxa de juro composto e o número de períodos precisam estar sempre na mesma unidade temporal Taxas Equivalentes em Juros Compostos De forma equivalente ao regime a juros simples, podemos encontrar as taxas equivalentes no regime a juros compostos. A ideia é bastante parecida, exceto pela forma de capitalizar, lembrando que no caso dos juros simples, a relação entre o montante M, o capital inicial C, o número de períodos n e a taxa de juros i é representada pela expressão M = C (1+i n), enquanto que no regime de capitalização composta a expressão obtida para o cálculo do montante foi M = C (1 + i) n. De uma forma geral, suponha que i a seja uma taxa qualquer dada em anos e que desejamos encontrar as taxas equivalentes em semestre (i s ), bimestre (i b ), meses (i m ), quinzenas (i q ) e dias (i d ), supondo que o capital inicial e o número de períodos são fixos. Se n = 1 ano, podemos afirmar que n = 2 semestres, n = 6 bimestres, n = 12 meses, n = 24 quinzenas e n = 360 dias. Dessa forma: M a = M s = M b = M m = M q = M d (1 + i a ) 1 = (1 + i s ) 2 = (1 + i b ) 6 = (1 + i m ) 12 = (1 + i q ) 24 = (1 + i d ) 360 Observe que, no caso dos juros compostos, o isolamento de uma taxa para efetuar os cálculos e, dessa forma, encontrar a respectiva taxa equivalente em uma outra unidade de medida temporal não é tão óbvio. No regime a juros simples, as taxas equivalentes eram proporcionais e, devido a isso, o cálculo se tornou mais simplificado. Neste momento, não temos mais a proporcionalidade, mas isto em nada impedirá de encontrarmos, por exemplo, a taxa de juros compostos bimestral, possuindo a taxa de juros mensal. Como proceder? Devemos isolar a variável i b na igualdade (1 + i b ) 6 = (1 + i m ) 12. Em hipótese alguma desenvolveremos as potências de cada parênteses. Este procedimento é totalmente equivocado. Utilizaremos uma maneira mais inteligente, simples e muito mais elegante. Observe que se o expoente do fator (1+i b ) fosse 1, ao invés de 6, não teríamos problema algum em isolar a variável. Por que, então, não tornamos o expoente igual a 1 utilizando uma propriedade matemática? Lembrando que pelo fato de ser uma igualdade, tudo o que for feito no primeiro membro deverá, necessariamente, ser feito no segundo membro, de forma a preservar o sinal de igualdade entre os dois membros. Dessa forma, (1 + i b ) 6 = (1 + i m ) 12 6 (1 + i b ) 6 = 6 (1 + i m ) 12 (1 + i b ) = 6 (1 + i m ) 12 MATEMÁTICA FINANCEIRA 19

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