APRESENTAÇÃO...4 INTRODUÇÃO Números Proporcionais...7

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3 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO...4 INTRODUÇÃO Números Proporcionais Operações sobre Mercadorias Preços de custo e venda: Lucros e Prejuízos: Taxa de Juros Homogeneidade entre tempo e taxa: Juro Exato e Juro Comercial: Inflação Capitalização Simples Juros Simples: Desconto Simples: Capitalização Composta Juros Compostos: Montante Composto: Desconto Composto:...36 BIBLIOGRAFIA BÁSICA...40 QUESTÕES...41 GABARITO

4 APRESENTAÇÃO Esta apostila foi elaborada para contribuir com a honrosa profissão de Corretor de Imóveis já fazia parte de meus projetos, antes mesmo, de receber o nobre convite do COFECI. Desde pequeno eu acompanhava o trabalho do meu pai, um corretor de imóveis que conta hoje com praticamente quarenta anos de profissão, e que sempre se preocupou em oferecer um excelente serviço ao cliente, para assim, efetuar a venda do produto o imóvel. O serviço prestado ao cliente pode ser classificado como, a parte das relações humanas, no processo de venda. É nesta etapa que devemos mostrar o conhecimento da linguagem da Matemática Financeira, informando, orientando e trazendo segurança para o comprador. Nossa apostila começa com uma matemática básica e fundamental, necessária para a construção de um alicerce bem estruturado, passando pelas operações sobre mercadorias, pelas taxas de juros, pela inflação, até chegarmos aos regimes de capitalização. Vários autores foram pesquisados na tentativa de se obter bons conteúdos. No primeiro tópico - Números Proporcionais - foi utilizado como referência o livro Matemática Comercial e Financeira com complementos de matemática e introdução ao cálculo, de Nicolau D ambrósio e Ubiratan D ambrósio. Nessa bibliografia capturamos os fundamentos das razões equivalentes, das proporções, da divisão em partes proporcionais, da divisão em partes inversamente proporcionais e das porcentagens. Esses conhecimentos serão de grande valia para o entendimento e a resolução de alguns exercícios no final da apostila. No segundo tópico- Operações sobre Mercadorias são feitos estudos (através de exemplos), mostrando-se o cálculo de lucros e prejuízos, referenciando-se nos preços de compra e venda. Os livros aqui adotados, Matemática Financeira: noções básicas, de José Lineu Marzagão e Matemática Comercial e Financeira, de Rogério Gomes de Faria, foram de grande valia, pois proporcionaram uma visão esclarecedora de vários casos de negociações de vendas e compras. 4

5 No terceiro tópico- Taxas de Juros- procurou-se informar como se utiliza o tempo de aplicação e a taxa de juros em fórmulas de matemática financeira, bem como, a diferença entre juro exato e juro comercial. Novamente, os autores Nicolau D ambrósio e Ubiratan D ambrósio são nossos esteios na elaboração desta lição que, possui também, exemplos resolvidos para a obtenção de um melhor entendimento sobre o assunto. É importante compreendermos as taxas, pois as mesmas estão presentes nos investimentos e empréstimos. O assunto Inflação (quarto tópico) utiliza-se de uma linguagem bem tranqüila, baseada no livro Guia da inflação para o povo, de Paul Singer, possibilitando ao leitor um entendimento geral deste, dito terror, do mundo econômico. O estudo do regime de Capitalização Simples é o nosso cenário principal no quinto tópico da apostila. Aqui, são abordados a conceituação de juros simples, montante simples, desconto simples, cálculo de taxa acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos. Na seqüência, o sexto tópico, é feito o estudo da Capitalização Composta. Neste regime de capitalização são analisados os juros compostos, o montante composto e o desconto composto. São também estudados o cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos e a equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta. Sabendo-se que todas as negociações financeiras têm como suporte um dos regimes de capitalização, procurou-se dar ênfase aos dois últimos tópicos, estando os seus respectivos exemplos de aprendizagem, digitados no estilo passo a passo. A bibliografia, aqui utilizada, foi o livro Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira, de Benjamin Cesar de Azevedo Costa que, muito nos auxiliou na formatação das etapas finais destes estudos. Através dos conteúdos abordados, a presente apostila tem por objetivo, dar ao aluno uma melhor visão dos conceitos matemáticos, possibilitando-o executar transações financeiras e também prepará-lo para o exame de proficiência do COFECI na disciplina em questão. O estudo deve ser uma constante na vida do aluno, pois, aquele que conseguir aliar fundamentação teórica à prática, terá um poderoso instrumento de trabalho nas mãos, além é claro, de clientes para efetuar negócios. 5

6 INTRODUÇÃO O Capitalismo começou após o enfraquecimento do Feudalismo, por volta do décimo segundo século depois de Cristo, constituindo-se em um novo sistema econômico, social e político. Como importantes características do Capitalismo podemos citar: a combinação de três centros econômicos (produção, oferta e consumo) formatando a economia de mercado; o surgimento das grandes empresas; as relações de trocas monetárias; a preocupação com os rendimentos; e principalmente, o trabalho assalariado. Durante o seu desenvolvimento, o Capitalismo passou por quatro fases, sendo atualmente chamado, nos países de primeiro mundo, de Capitalismo Financeiro. Nesta fase, as grandes empresas financeiras são as detentoras do maior volume do capital em circulação. Sobre as outras três etapas do Capitalismo podemos, assim, enumerar: 1ª)Pré-Capitalismo: fase de implantação desse sistema (séculos XII ao XV); 2ª)Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos lucros (séculos XV ao XVIII); 3ª)Capitalismo Industrial: o capital é investido nas indústrias, transformando os industriais em grandes capitalistas (séculos XVIII, XIX, XX). É bom lembrar que esta terceira fase ainda acontece. Então, para existir um melhor entendimento entre as relações de troca, para a utilização das melhores taxas em empréstimos e investimentos, para se fazer previsões de movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros, montante, descontos, dentre outros, a matemática foi sendo gradativamente aplicada ao comércio e às finanças; Conseqüentemente, originando o seu ramo específico, chamado Matemática Financeira. A Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois, em um mercado econômico que não é estático, o conhecimento e a informação representam um grande poder para a execução de serviços. 6

7 1 Números Proporcionais 7

8 Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, definimos a razão entre a e b, nesta ordenação, como o quociente entre a e b. a Então, escrevemos: b seu valor, diferente de zero. ou a : b. Observação: A grandeza que se encontra no denominador deve possuir, o a b ( a é o numerador e b é o denominador). Exemplo: Calcule a razão entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28. Solução: a = 32, então 32 = 16 = 8. Essas três frações são Razões b Equivalentes pois dividindo-se, o pelo denominador, em cada uma das três frações, obteremos o mesmo resultado. Resposta: a 8 =. b 7 A igualdade de duas razões equivalentes é chamada de Proporção. Exemplo 1: 16 = 8, 16 e 7 são os extremos da proporção e 14 e 8 são os meios da proporção Propriedade Fundamental: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo 2: As razões e 4 são iguais, logo: =, então: 3 x 16 = 4 x = 48. Vamos trabalhar agora, com a Divisão em Partes Proporcionais, através da análise do exemplo a seguir: Exemplo: Dividir o número 850 em partes proporcionais aos números 1, 4 e 5. 8

9 Observação: como a divisão é proporcional à três números, o número 850 será dividido em três partes. Solução: vamos supor que as três partes do número 850 sejam representadas, respectivamente, pelas letras X, Y e Z. 850 X= *1 = Y= * 4 = Z= *5 = Somando-se os números 85, 340 e 425 obteremos o número 850, provando assim, que a divisão em partes proporcionais está correta. No cálculo de cada uma das letras ( X, Y e Z ), devemos sempre dividir o número principal ( neste caso o número 850 ), pelo somatório das partes proporcionais ( no exemplo foram os números 1, 4 e 5), e em seguida, multiplicar o resultado desta divisão por cada uma das partes proporcionais. Divisão em Partes Inversamente Proporcionais utilizando uma exemplificação: 2 e 4. Exemplo: Dividir o número em partes inversamente proporcionais aos números 1º passo: Deve-se inverter os números, tornando-os 2 1 e º passo: Deve-se agora, colocar as frações em um mesmo denominador (denominador comum). Vamos fazer o mínimo múltiplo comum e depois dividir, o mínimo múltiplo encontrado, pelo denominador. Em seguida multiplicaremos o resultado desta divisão pelo numerador, lembrando que, estes cálculos estão acontecendo com as 1 1 frações e. Como o valor do mínimo múltiplo comum será 4, as frações se modificarão 2 4 para 2 e º passo: Um novo problema aparecerá, pois agora serão utilizados apenas 9

10 os numeradores das novas frações encontradas no item 2º passo. A partir daqui teremos uma resolução semelhante à divisão em partes proporcionais, pois o número principal ( neste caso o número ) será dividido pelo somatório das partes ( números 2 e 1 ), sendo o resultado desta divisão multiplicado por cada uma das partes º parte: * 2 = º parte: *1 = º passo: Somando-se os números 800 e 400 obteremos o número 1.200, provando assim que, a divisão em partes inversamente proporcionais está correta. Nesta parte, vamos estudar noções básicas que serão de grande valia no trabalho com porcentagens (percentagens). Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitária. Solução: devemos dividir a taxa por ,45 14,45% = 14,45 = 0, ,1445 é a forma unitária Exemplo 2: Colocar a fração 4 3 na forma percentual. Solução: devemos utilizar as Razões Equivalentes e a propriedade fundamental das Proporções que estão citadas no início deste tópico. 3 x = x = x = 300 x = 75, então 3 = 75 = 75%

11 Exemplo 3: Calcular 27% de 270. Solução : transformar 27% na forma unitária e depois multiplicar o número encontrado por % = 27 = 0,27. Assim: 0,27 x 270 = 72, ,9 corresponde a 27% de

12 2 Operações sobre Mercadorias 12

13 2.1 - Preços de custo e venda: Vamos trabalhar, nesta seção, com problemas de porcentagens relacionados às operações de compra e venda. Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuízo, sendo que os mesmos, podem ser calculados sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda da mercadoria em questão. Fórmula básica : PRV = PRC + LC Onde: PRV = Preço de Venda; PRC =Preço de Custo ou Preço de Compra; LC = Lucro obtido na Venda Lucros e Prejuízos: O estudo desta seção será feito com base nos exemplos a seguir: Exemplo 1: Lucro sobre o custo. Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$3.850,00. Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra. Solução: PRC = PRV = PRV = PRC + LC % 850 X LC = PRV - PRC LC = X = LC = 850 X = 28,333% 13

14 Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%. Exemplo 2: Lucro sobre a venda. Uma mesa de escritório foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00. Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda. Solução: PRC = 550 PRV = 705 PRV = PRC + LC % 155 X LC = PRV PRC 705. X = LC = X = 21,986% LC = 155 Obs.; O lucro sobre o custo foi de 21,986%. Exemplo 3: Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de 15% sobre o preço da venda, calcule o mesmo. Solução: % X 15% 100. X = X = 64,5 O lucro foi de R$64,50. Sendo o lucro calculado sobre o preço da venda, este terá o valor de 100%. Exemplo 4: Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o lucro, em porcentagem, sobre o preço de custo. 14

15 Solução: PRV = PRC + LC PRC = PRV LC % 152 X PRC = PRC = X = X = 29,344%. Sendo o lucro calculado sobre o preço de custo, este terá o valor de 100%. Exemplo 5: Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um prejuízo de 42%, sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. Solução: 142% % X 142. X = X = 739,44. O preço de venda é R$739,44. Como o prejuízo é de 42% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá então a 142%. Exemplo 6: Uns móveis de escritório foram vendidos com prejuízo de 15% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$445,00. Solução: 115% % X 15

16 115. X = X = 386,96 O preço venda de é R$386,96. Como o prejuízo é de 15% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá a 115%. Exemplo 7: Utilização de índices. Em uma operação de compra e venda, a taxa de prejuízo para o preço de venda foi de 4 para 8. Determine o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$2.500,00. Solução: Custo Prejuízo Venda P 4 PRV = PRV PRV = PRV = 1666,67. O preço de venda é R$1.666,67. A relação de proporcionalidade entre o prejuízo e o preço de venda é estabelecida pela taxa 4 para 8. Temos assim 8 unidades de preço de venda para 4 unidades de prejuízo e, conseqüentemente, para cada 12 unidades de custo, neste exercício. 16

17 3 Taxa de Juros 17

18 Quando pedimos emprestado uma certa quantia, a uma pessoa ou a uma instituição financeira, é normal, após um certo tempo, pagarmos a quantia que nos foi emprestada, mais uma outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo. Essa outra quantia, citada acima, representa o juro; ou seja, representa o bônus que se paga por um capital emprestado. O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo ( ao ano, ao mês, ao dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja taxa se chama Taxa de Juros Homogeneidade entre tempo e taxa: Sempre o prazo de aplicação (representado pela letra n) deve estar na mesma unidade de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros (representada pela letra i ). Considerações Importantes: 1º) - O mês comercial possui 30 dias; - O ano comercial possui 360 dias; - O ano civil possui 365 dias. 2º) Normalmente, a taxa de juros i está expressa na forma percentual, assim, para usá-la em qualquer fórmula de matemática financeira, deve-se antes, transformá-la para a forma unitária. Ex.: i = 25,8% forma unitária i = 0,

19 Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se ano comercial, equivale a quantos % (por cento) ao dia? Solução: ano comercial = 360 dias. 18% i = = 0,0 5% ao dia. resposta: 0,05% ao dia. 360 Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano, equivale a quantos % (por cento) ao mês? Solução: i = 12% ao ano. i = 1 2% = 1% ao mês. resposta: 1% ao mês. 1 2 Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se o mês comercial, equivale a quantos % (por cento) ao dia? Solução: mês comercial = 30 dias. 3% i = = 0,1% ao dia. resposta: 0,1% ao dia. 3 0 ano? Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao mês, equivale a quantos % ( por cento) ao Solução: ( 4,5% ao mês) x 12 = 54% ao ano. i = 54% ao ano. resposta: 54% ao ano. Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia, equivale a quantos % ( por cento) ao ano, levando-se em consideração o ano civil? Solução: ( 0,03% ao dia ) x 365 = 10,95% ao ano. i = 10,95% ao ano. resposta: 10,95% ao ano. 19

20 3.2 - Juro Exato e Juro Comercial: Geralmente, nas operações correntes, a curto prazo, os bancos comerciais utilizam o prazo n ( tempo ) expresso em dias. Assim, no cálculo do juro exato, teremos a taxa de juros i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado é o ano civil. Já, no cálculo do juro comercial, teremos a taxa de juros i dividida por 360 dias, pois o ano utilizado é o ano comercial. i Juro Exato J = C x 365 Juro Comercial x n. i J = C x 360 x n. Obs: As fórmulas do juro exato e do juro comercial serão abordadas no tópico capitalização simples. Por enquanto, basta compreender que as divisões feitas nas duas fórmulas foram necessárias para que, a unidade de tempo, entre n e i, fossem iguais. 20

21 4 Inflação 21

22 (O presente tópico visa dar ao aluno um conhecimento básico sobre o problema inflacionário). De uma maneira global, a inflação é caracterizada por um aumento geral e cumulativo dos preços. Esse aumento geral não atinge somente alguns setores, mas sim, o bloco econômico como um todo. Já o aumento cumulativo dos preços acontece de forma contínua, prolongando-se ainda, por um tempo indeterminado. O Estado em associação com a rede bancária aumenta o volume do montante dos meios de pagamento para, atender à uma necessidade de demanda por moeda legal; mas associado ao aumento do montante, acontece também, um aumento dos preços. O aumento dos preços gera a elevação do custo de vida, popularmente chamado de carestia. O custo de vida apresenta-se com peso variado nas diferentes classes econômicas. Uma família pobre tende a utilizar, o pouco dinheiro conseguido, para comprar gêneros alimentícios. O restante do dinheiro geralmente é utilizado para o pagamento de serviços de água, luz e esgoto. Em uma família abastada, além dos gastos com alimentos, água tratada e eletricidade, costuma-se também gastar com roupas, carros, viagens, clínicas de beleza e estética, entre outras coisas mais. Assim, um aumento nos preços dos produtos de beleza e rejuvenescimento, terá peso zero no custo de vida da família pobre e um acréscimo no orçamento da família rica. Em suma, o custo de vida aumenta, quando um produto que possui um determinado peso nas contas mensais, sofre também um aumento. Exemplo para um melhor entendimento do aumento do custo de vida: Um casal gasta de seu orçamento mensal 12% com alimentação, 10% com vestuário, 8% com plano de saúde e 5% com o lazer. Acontece então uma elevação geral nos preços, acrescentando um aumento de 3% nos gastos com alimento, 5% nos gastos com vestuário, 4% nos gastos com plano de saúde e 2% nos gastos com o lazer. Calcule o aumento do custo de vida no mês. 22

23 Solução: Produtos Gasto no orçamento Gasto no orçamento na forma unitária Aumento dos produtos Aumento dos produtos na forma unitária Alimentos 12% 0,12 3% 0,03 Vestuário 10% 0,10 5% 0,05 Plano de Saúde 8% 0,08 4% 0,04 Lazer 5% 0,05 2% 0,02 Para o cálculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se multiplicar o gasto no orçamento na forma unitária com o aumento dos produtos na forma unitária. Alimentos: 0,12 x 0,03 = 0,0036. Vestuário: 0,10 x 0,05 = 0,005. Plano de Saúde: 0,08 x 0,04 = 0,0032. Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001. Produtos Aumento do custo do produto na forma unitária Aumento do custo do produto na forma percentual Alimentos 0,0036 0,36% Vestuário 0,005 0,50% Plano de Saúde 0,0032 0,32% Lazer 0,001 0,10% Com o somatório dos aumentos de cada produto na forma percentual obtemos o aumento do custo de vida no mês em questão: 0,36% + 0,50% + 0,32% + 0,10% = 1,28%. Nesse mês, o aumento no custo de vida para a família do exemplo foi de 1,28%, devido à elevação dos preços de quatro produtos utilizados pelo casal. 23

24 5 Capitalização Simples 24

25 No regime de capitalização simples temos, a taxa ( i ) incidindo somente sobre o capital inicial ( C ), proporcionando-nos obter assim, juros simples, ao final do período de tempo( n ) Juros Simples: Juro produzido pelo capital C ao final de um período de tempo: J = C x i. Juro produzido pelo capital C ao final de n ( vários ) períodos de tempo: J = C x i x n. Fórmula Básica: J = C x i x n Onde: J = juros simples. C = capital inicial ou principal. i = taxa de juros. n = tempo de aplicação ou prazo de tempo. Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, à taxa de 2% ao mês, qual será o valor dos juros simples? Solução: J = C x i x n C = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2 i = 2% ao mês = 0,02 J = 353 n = 2 meses J = R$353,00 Obs: i e n estão na mesma unidade de tempo. Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9% ao ano, qual será o valor dos juros simples? Solução: J = C x i x n. C = % i = 9% ao ano = 0,75% ao mês = 0, n = 4 meses. 25

26 J = 550 x 0,0075 x 4. J = 16,50. J = R$16,50. Exemplo 3: Calcule o capital necessário para que haja um rendimento de R$650,00, sabendo-se que a taxa utilizada é de 5% ao mês e o período de tempo igual a 6 meses. Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C temos, C = J i. n J = 650. i = 5% ao mês = 0, C = 0,0 5 * 6 n = 6 meses. C = 2166,67. C = R$2.166,67. Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi aplicado durante 6 meses, rendendo R$105,00 de juros simples. Calcule a taxa mensal i. J Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i temos, i =. C.n J = C = 425. i = 425*6 n = 6 meses. i = 0,04117 i = 0,04117 está na forma unitária. Para colocarmos o resultado na forma percentual devemos multiplicar i por 100, ficando então como resposta, i = 4,117% ao mês. Na taxa i a unidade de tempo utilizada foi o mês porque o período de aplicação estava, em meses. 26

27 5.2 - Montante Simples: À soma dos juros simples (relativo ao período de aplicação) com o capital inicial ou principal dá-se o nome de montante simples. Fórmulas: S = J + C ou S = C x i x n + C S = C x ( i x n + 1) Onde: S = Montante Simples. J = Juros Simples. i = Taxa de Juros. n = Período de Aplicação. Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um período de 8 meses, à taxa de 24% ao ano, no regime de capitalização simples. Calcule o montante. Solução: S = J + C C = i = 24% ao ano 2 4% = 2% ao mês = 0, n = 8 meses. J = C x i x n. J = 1550 x 0,02 x 8. J = 248. S = J + C. S = S = S = R$1.798,00. Exemplo 2: Calcule o tempo, no qual, devo aplicar uma quantia de R$ ,00, para obter um montante simples de R$ ,00, à taxa de 16% ao mês. 27

28 Solução: C = S = C x (i x n + 1) S = i = 16% ao mês = 0,16. ( i x n + 1 ) = C S (i x n + 1) = (i x n + 1) = 1,8. i x n = 1,8 1. i x n = 0,8. 0,16 x n = 0,8. n = 5 meses A unidade utilizada para n foi meses, devido ao fato, de i também estar em meses Desconto Simples: Toda vez que se paga um título, antes da data de seu vencimento, obtemos um desconto (abatimento). Algumas considerações: Valor Nominal (VN) é o valor indicado no título, na data de seu vencimento. Valor Atual (VA) é o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou seja, antes da data de vencimento. D =VN VA Onde D = Desconto. Desconto Racional ou Por Dentro : Equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, à taxa utilizada e ao período de tempo correspondente. V A D R V N Fórmula: = = 1 i. n 1 + i. n Onde: DR = Desconto Racional; 28

29 VA = Valor Atual; VN = Valor Nominal; i = taxa; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um título com valor atual de R$16.000,00, à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 meses para o vencimento. Solução: V A D R 1 = VA = i. n i = 2,6% ao mês = 0,026 n = 3 meses. DR = VA x i x n DR = x 0,026 x 3 DR = DR = R$1.248,00 Exemplo 2: Se um empréstimo com valor atual de R$750,00, calcule o desconto racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 12% ao ano e o prazo é de 5 meses para o vencimento. Solução: V 1 A D R = VA = 750. i. n 12% 12 i = 12% ao ano = 1% ao mês = 0,01. DR = VA x i x n DR = 750 x 0,01 x 5 DR = 37,5 DR = R$37,5. Desconto Bancário ou Comercial ou Por Fora : Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e ao período 29

30 de tempo correspondente. Fórmula: V A 1 i. n = D B i. n V N = 1 Onde: DB = Desconto Bancário; VA = Valor Atual; VN = Valor Nominal; i = Taxa; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Calcule o desconto bancário para um compromisso de valor nominal igual à R$2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento. (Considerar o ano comercial). Solução: D B V N = VN= % i. n 1 = 0,05 i = 18% ao ano 360 % ao dia = 0,0005. DB = VN x i x n DB = 2700 x 0,0005 x 33 DB = 44,55 DB = R$44,55. Exemplo 2: Calcule o desconto por fora para um pagamento antecipado, à taxa de 5,8% ao mês e prazo de 5 meses, sabendo-se que o valor nominal é de R$42.000,00. Solução: D B V N = VN = i. n 1 i = 5,8% ao mês = 0,058. DB = VN x i x n DB = x 0,058 x 5 DB = DB = R$12.180,00. 30

31 Considerações finais dentro da capitalização simples: meses: -Como se calcular uma taxa acumulada (ao ano) que é aplicada pelo período de n Exemplo: No regime de capitalização simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao ano, aplicada durante 8 meses. Solução: 1º) Verifica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano; 2º) Verifica-se o número de meses de aplicação, neste exemplo são 8 meses; 3º) Calcula-se o valor da taxa i no mês; ex.: 36% ao mês. 12 4º) Multiplica-se a taxa encontrada pelo número de meses; ex.: 3% x 8 = 24%. 5º) Resultado Final: 24%. 31

32 6 Capitalização Composta 32

33 Inicialmente temos o capital principal; após um período, esse capital sofre uma remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim, formarem um novo capital (1º montante). Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração (juros), sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um segundo montante. (E assim por diante). Então as remunerações acontecerão sempre, em cima do montante do período anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta Juros Compostos: [ 1+ 1] n Fórmula: j = C x ( i ) Onde: j = Juros Compostos; C = Capital Inicial; ( 1+i ) = Fator de Capitalização; i = Taxa de Juros; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização composta, por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro obtido? [ [ ] 1] Solução: C = 829,30. j = C x ( 1+ i ) n 1 i = 2,4% ao mês = 0,024. j = 829,30 x ( 1 0,024) 3 [ + n = 3 meses. j = 829,30 x ( 1,024) 1] 3 j = 829,30 x [ 1, ] j = 61,15 j = R$61,15. 33

34 Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56, aplicado à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses. Solução: C = 777,56. [ ] 6% i = 6% ao ano = 0,5% ao mês = 0,005. j = C x ( 1+ i ) n 1 12 [ n = 2 meses. j = 777,56 x ( 1 + 0,005) 2 [ j = 777,56 x ( 1,005) 1] 2 j = 777,56 x [ 1, ] j = 7,80 j = R$7, Montante Composto: Fórmula: s = C x ( 1+i ) Onde: s = Montante Composto; C = Capital Principal; ( 1+i ) = Fator de Capitalização. i = Taxa de Juros; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses. Solução: C = 627,43. i = 2% ao bimestre = 0,02. n = 6 meses Como 6 meses correspondem a três bimestres, o n será igual a 3, pois o período de capitalização é bimestral. 34

35 s = C x ( 1+i ) s = 627,43 x (1+0,02) s = 627,43 x (1,02) s = 627,43 x (1,061202) s = 665,83 s = R$665,83. Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado à taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses. Solução: C = ,70. s = C x ( 1+i ) i = 7,2% ao mês = 0,072. s = ,70 x (1+0,072) n = 4 meses. s = ,70 x (1,072) s = ,70 x (1,320623) s = ,64. s = R$20.602,64. Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à taxa de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses. Solução: s = 7656,70. 18% i = 18% ao ano = 1,5% ao mês = 0, n = 4 meses. 35

36 Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga gerar um montante de R$4.800,00, em um período de 2 meses. Solução: C = 300. s = n = 2 meses s = C x (1+i ) (1+i ) = C s (1+i ) 2 = (1+i ) = 16. (1+i ) = i = 4 i = 4 1 i = 3 i = 3 representa a taxa na forma unitária; Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%; Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de tempo n está sendo usado em meses. Resposta: i = 300% ao mês Desconto Composto: No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual. Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal. 36

37 Fórmula: VN = VA x ( 1 + i) n D = VN - VA Onde: VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual; D = Desconto Composto. Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de 1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Solução : VN = 1.250,52. i = 1,7% ao mês = 0,017. n = 2 meses. VN = VA x ( 1 + i) n V N VA = ( 1 + i) n 1.250,52 VA = ( ) , ,52 VA = ( ) 2 1,017 VA = 1.250,52 1, VA = 1.209,06. D = VN VA D = 1.250, ,06 D = 41,46 D = R$41,46. Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano, 3 meses antes do vencimento. Solução: VN = 753,53. 37

38 Considerações finais dentro da capitalização composta: Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos: Fórmula: M = Dep x ( 1+ i ) n 1 i Onde: M = Montante; Dep = Depósitos. Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$230,00 cada um, efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito. Solução: Dep = 230. i = 2% ao mês = 0,02. 38

39 Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta: Fórmula: ( ) ( ) i a = 1 + im + Onde: i = Taxa anual composta; i = Taxa mensal composta. Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%. Solução: ( ) ( ) i a = 1 + im ( 1 + i ) = ( 1 + 0,03) 12 a ( 1 + i ) = ( 1,03) 1 2 a ( 1 i ) = ( 1,425760) + a i = 1, i = 0, Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-se o valor da referida taxa na forma percentual, ficando o valor igual a 42,5760%.. 39

40 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ARRUDA, J. J. A (1988) História Moderna e Contemporânea. 3ª Ed. São Paulo: Editora Ática, 263p. COSTA, B. C. A (1996) Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira. 2ª Ed. Rio de Janeiro: Oficina do Autor, 206 p. Saraiva. CRESPO, A A. (1991) Matemática Comercial e Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora D AMBRÓSIO, N. & D AMBRÓSIO, U. (1977) Matemática Comercial e Financeira com complementos de matemática e introdução ao cálculo. 25ª Ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 287 p. FARIA, R. G. (1979) Matemática Comercial e Financeira. Belo Horizonte: Editora Mc Graw-Hill do Brasil, 219 p. MARZAGÃO, L. J. (1996) Matemática Financeira: noções básicas. Belo Horizonte: Edição do Autor, 173 p. SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N. & GRECO, S. E. (2003) Matemática. Série Novo Ensino Médio Volume Único. São Paulo: Editora Ática, 424 p. SINGER, P. (1983) Guia da Inflação para o povo. 9ª Ed. Petrópolis: Vozes, 80 p. 40

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