Estudando Cônicas e Quádricas com o auxílio dos softwares GeoGebra e Maple

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1 Estudando Cônicas e Quádricas com o auxílio dos softwares GeoGebra e Maple Studying Conics and quadrics with the aid of software GeoGebra and Maple Ermínia de Lourdes Campello Fanti * Augusto Sergio Furquim 1 José Antonio Silveira Camargo Depto de Matemática, IBILCE, UNESP 1 Bolsista do Progr. Ciência na UNESP Projeto: A Informática e o Ensino de Matemat. Bolsista do Projeto do Núcleo de Ensino - UNESP - ProGrad * Profa. Dep. Matemática Coordenadora dos Projetos/Orientadora

2 Sumário Introdução Introdução ao Estudos das Cônicas com o GeoGebra Cônicas introdução 0 1. GeoGebra noções básicas Atividades como o GeoGebra 09. Introdução ao Estudos das Quádricas com o Maple 13.1 Quádricas introdução 13. Maple noções básicas 14.3 Atividades como o Maple 18 Referências 3

3 Introdução Os softwares Geogebra e Maple são ferramentas poderosas no estudo de vários conteúdos matemáticos. O objetivo deste trabalho é utilizar mais diretamente o software Geogebra no estudo das cônicas e o Maple no estudo das quádricas (porém o Maple pode também ser usado no estudo das cônicas). O GeoGebra é um software livre, enquanto que o Maple não. Chama-se Cônica ao conjunto dos pontos P = (x,y) em E tais que: G(x,y) = ax² + by² +cxy + dx + ey + f = 0, onde a, b, c, d, e, f, são números reais com a² + b² + c² > 0. É fácil obter a partir da equação anterior exemplos de cônicas dadas por um ponto, o conjunto vazio, uma elipse ou circunferência, a reunião de duas retas concorrentes, uma hipérbole, uma parábola, uma reta ou duas retas paralelas. De fato, prova-se que estes são todos os tipos possíveis de cônicas. Chama-se Quádrica ou Superfície Quádrica ao conjunto dos pontos P = (x,y,z) em E 3 tais que G(x,y,z) = ax² + by² +cz +dxy + exz + fyz + gx + hy +iz + j = 0, onde a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, são números reais, com a, b, c, d, e, f, não simultaneamente nulos. Os exemplos mais interessantes de quádricas são o elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico ou sela. Usando os recursos dos softwares podemos visualizar melhor as cônicas e quádricas e observar suas propriedades. Em algumas situações pode-se notar também certa limitação dos softwares. O primeiro capítulo será dedicado ao estudo das cônicas com o GeoGebra. No segundo capítulo trataremos das quádricas e o software utilizado será o Maple. Palavras chaves: Cônicas, Quádricas, softwares Geogebra e Maple, Ensino de Matemática 1

4 Capítulo 1- Introdução ao Estudos das Cônicas com o GeoGebra 1.1 Cônicas Apresentamos uma breve introdução ao estudo das cônicas - incluindo o Teorema de Classificação e alguns exemplos. O leitor interessado poderá ver mais detalhes em Boulos e Camargo [1], Cap. e 3. Lugares geométricos: Denominamos lugar geométrico (l. g.) a um conjunto de pontos tais que todos eles e só eles possuem uma dada propriedade. Elipse: A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos distintos F 1 e F é uma constante a (maior que a distância entre os dois pontos fixos). Mais precisamente, consideremos um plano π e dois pontos F 1 e F (de π) tais que d(f 1,F ) = c > 0. Seja a > c. Ao conjunto de pontos P π tais que d (P, F 1 ) + d (P, F ) = a (1) dá - se o nome de elipse. Os pontos F 1 e F são denominados focos da elipse. Equação reduzida : Tomando um sistema ortogonal, considerando os focos F 1 = (-c, 0) a c, deduz- e F = (c, 0) (isto é, sobre o eixo OX), P = (x, y) e considerando b = se, da igualdade (1), a equação na forma reduzida : x y + = 1 (*). a b Esboço da Elipse: Primeiro obtemos as interseções da elipse com os eixos coordenados. Interseções com OX: fazendo y = 0, obtemos x = + a, logo os pontos de interseção com o eixo x são A 1 = (-a, 0), A = (a, 0). Com OY: fazendo x = 0, vem y = + b, logo os pontos de interseção com o eixo y são B 1 = (0, - b), B = (0, b). Graças à simetria, podemos restringir-nos ao 1 o b quadrante, onde y = a x, a 0 x a. Atribuindo valores a x entre 0 e a e calculando y, obtemos o esboço, onde a = b +c. Esboço: Figura Elipse Nomenclaturas: F 1, F : focos (já mencionados), c : distância focal (= d (F 1, F )), A 1 A : eixo maior (é o segmento de comprimento a e contém os focos), B 1 B : eixo menor (B 1 B A 1 A no seu ponto médio), O : centro (é o ponto médio do segmento F 1 F ), A 1, A, B 1, B : vértices,

5 F 1 F : segmento focal. Observação: 1) Se adotamos um sistema ortogonal em que F 1 e F estão no eixo OY, então (1) fornecerá, de modo análogo, a seguinte equação reduzida: x y + = 1, (b = a c ). b a y x y Por exemplo, a elipse x + = 1 tem focos no eixo OY, e a elipse + = 1 tem 4 4 focos no eixo OX. x y ) Quando a = b, a elipse (centrada equação reduzida + = 1) nada mais é a a do que a circunferência de centro na origem e raio a: x + y = a. Hipérbole: Consideremos num plano π dois pontos F 1 e F (chamados focos), distantes c > 0 entre si. Seja 0 < a < c. Ao conjunto dos pontos P π tais que d(p,f 1 ) d(p,f ) = a se dá o nome de hipérbole. Equação reduzida: Tomando um sistema ortogonal e supondo que F 1 =(-c, 0) e F = (c, 0), isto é estão sobre o eixo dos x, como no caso da elipse, obtém-se que P = (x,y) x y está na hipérbole se e somente se = 1. Considerando b = c a a c a temos 0 < b < c e c = a + b. A equação na forma reduzida fica assim : x a y = 1 (**). b Esboço da hipérbole: Ao acharmos a interseção com os eixos vemos que neste caso, o eixo OY não intercepta a curva enquanto que o eixo OX a intercepta nos pontos A 1 = (-a, 0) e A = (a, 0). Novamente graças à simetria, podemos restringir-nos ao primeiro quadrante, e aí b a y = b a b x a, x a. As retas r : y = x e s : y = - x são denominadas assíntotas da hipérbole. As a assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais, à medida que os pontos se afastam dos focos. Atribuindo valores a x entre 0 e a e calculando y, obtemos o esboço, onde c =a + b. Esboço: Figura Hipérbole 3

6 Nomenclaturas: F 1, F : focos, c : distância focal, A 1 A : eixo transverso, B 1 B : eixo conjugado, O : centro ( é o ponto médio do segmento F 1 F ), A 1, A : vértices, F 1 F : segmento focal, r e s : assíntotas. Observação: Se adotar um sistema ortogonal em que F 1 e F estão no eixo OY, x y obteremos a equação reduzida é da forma - + = 1, onde b = c a ; r: y= b a a a x e s: y = - x são, neste caso, as assíntotas da hipérbole. b b x y Exemplo: x y = representa uma hipérbole com focos em OX e - + = representa uma hipérbole com focos em OY. Parábola: Consideremos num plano π um ponto F e uma reta r, tal que F r, fixos. A parábola é o lugar geométrico dos pontos de π equidistantes de F e r. O ponto F chama-se foco e a reta r chama-se reta diretriz. Chamamos parâmetro da parábola, e representamos por p, a distância entre o foco F e a reta r. Equação reduzida: Tomemos um sistema ortogonal OXY e suponhamos que F esteja sobre o eixo OX, que r seja paralela ao eixo OY, que a origem O seja o ponto médio de HF, onde H é a projeção ortogonal de F sobre r (ou seja, O é o vértice da parábola) e que F esteja à direita de r. Daí, como p = d (F, r), temos, nesse caso, que F = (p, 0) e r : x = - p. Então x + p = 0. Logo, P = (x,y) está na parábola se e somente se d (P,F) = d (P, r), isto é, x + p ( x - p) + y = que é equivalente a (elevando ao quadrado e simplificando), a: y² = 4px (***) Esboço da parábola (no caso y² = 4px, F=(p,0) e r: x=-p). ): Figura Parábola 4

7 Observação: São também equações reduzidas da parábola: y = - 4px, (quando F=(- p, 0) e r: x=p, i.é, V = O, F ao eixo OX e está a esquerda de r), 1 y = x, (quando F=(0, p) e r: y = - p, i.é, V=O, F ao eixo OY e está acima de r), 4p 1 y = x, (quando F=(0, -p) e r : y = p, i.é, V=O, F ao eixo OY e está abaixo de r). 4p Definição (caso geral): Chama-se Cônica ao conjunto dos pontos P = (x, y) em E, onde E denota o plano euclidiano, tais que: g(x, y) = ax² + by² +cxy + dx + ey + f = 0, sendo a, b, c, d, e, f números reais com a² + b² + c² > 0. Exemplos de cônicas: 1- O conjunto vazio: g(x,y) = x² + y² + 1 = 0. - Um ponto: g(x,y) = x² + y² = Uma reta: g(x,y) = (x+y)² = x² + xy + y² = Reunião de duas retas paralelas: g(x,y) = (x+y)(x+y+1) = x² +xy+y²+x+y = Reunião de duas retas concorrentes: g(x,y) = (x+y) (x-y) = x² - y² = Elipse: g(x,y) = x + y 1 = Hipérbole: g(x,y) = x y 1 = Parábola: g(x,y) = x y = Circunferência: g(x,y) = x² + y² - 1 = 0. De fato, estes são todos os tipos possíveis de cônicas, mais precisamente, tem-se: Proposição: Fixemos um sistema ortogonal de coordenadas (O, r i, r j ) em E. Seja Ω um subconjunto de E. Então Ω é uma cônica se e somente se Ω é de um dos tipos listados acima (Boulos e Camargo [1], Apêndice C). 1. GeoGebra noções básicas A Interface do software é constituída de uma janela inicial (figura abaixo) que se divide em uma área de trabalho (à direita que referiremos também às vezes como parte geométrica), uma Janela de Álgebra (à esquerda, que pode ser fechada se necessário) e um campo de Entrada (que fica abaixo). Figura 1..1 Tela inicial do GeoGebra 5

8 O Geogebra é um software gratuito e pode ser obtido facilmente em sites de busca ou nos endereço O campo de Entrada é usado para escrever as coordenadas de pontos a serem marcados/representados na tela, equações, comandos e funções, diretamente; e esses objetos serão mostrados na área de trabalho, imediatamente após pressionar a tecla Enter. Observamos que no Geogebra, o sistema decimal usa ponto ao invés de vírgula, assim usa-se (na caixa de entrada) 3.4 ao invés de 3,4. A área de trabalho possui um sistema de eixos cartesianos onde o usuário pode fazer as construções geométricas (diretamente, com o uso do mouse, ou usando a Entrada) e ao mesmo tempo as coordenadas e equações correspondentes são mostradas na janela algébrica. Ao clicar em um dos itens/comandos do menu: Arquivo, Editar, Exibir, Opções, Ferramentas, Janela, ou Ajuda (que tem em geral funções coerentes com o próprio nome) e mantendo o botão do mouse apertado aparecerão sub-comandos que podem ser selecionados para serem aplicados. Por exemplo, se a janela de álgebra não esteja ativada, para ativá-la basta clicar em Exibir, no menu, e selecionar Janela de Álgebra. Neste mesmo item (Exibir) podemos também, ativar/desativar os Eixos, a Malha, além de outras funções: Figura 1.. Explorando o comando Exibir A barra de ferramentas inicial é composta de 11 caixas de ferramentas (ícones) cada uma delas é indicada por um quadradinho com uma figura, e é de fato composta de outras ferramentas/ícones relacionadas com a função inicialmente descrita na figura. Figura Barra de ferramentas - inicial Para fins didáticos enumeraremos as caixas de ferramentas, da barra inicial, de 01 a 11 (da esquerda para a direita). Para ter acesso a uma das ferramentas (comandos/ ícones) dentro de uma caixa de ferramentas, basta clicar na seta do canto inferior direito de cada caixa de ferramenta\ícone e manter o botão esquerdo do mouse pressionado deslizando para baixo até o ícone/ferramenta de interesse. Mostramos abaixo as ferramentas/comandos do ícone Polígono (caixa de ferramenta n o. 5): Figura 1..4 Ícone/caixa de ferramenta Polígono 6

9 É interessante observar que ao selecionar uma ferramenta/ícone obtemos no lado direito da Barra de ferramenta inicial a informação de qual é a função desse ícone, por exemplo, se selecionamos no penúltimo caixa o ícone, aparecerá à informação: Inserir Texto Clique na área de trabalho ou em um ponto para criar um texto, como mostra a figura: Figura 1..5 Detalhes Ícone Texto Outro ícone, ainda na penúltima caixa, é o Seletor, que é mostrado na figura seguinte. Esse ícone é muito usado para descrever, por exemplo, uma função que depende de um parâmetro a que pode variar num certo intervalo. Mais especificamente, após representar na área de trabalho um Seletor nomeado, suponhamos de a (com as especificações desejadas), podemos definir, por exemplo, na Entrada, a função y= a*x+, ou o ponto (a, 0) e conforme movimentamos o Seletor a, os objetos também se movimentam, de acordo com o intervalo selecionado (para a variar). Figura 1..6 Ícone Seletor Motivados por essa facilidade, não descreveremos aqui cada uma das ferramentas/ícones, mesmo porque não é nosso objeto fazer um estudo dos comandos/ícones do Geogebra, mas sim utilizá-lo no estudo de certos conteúdos matemáticos como polígonos, funções reais, e cônicas, como já citado no início. Ressaltamos também que em Ajuda obtemos importantes informações para o estudo/desenvolvimentos de atividades com o GeoGebra. Figura 1..7 Menu: Ajuda Para mudar a cor e/ou espessura de um objeto: Clique sobre o objeto com o botão direito do mouse, a seguir clique em Propriedades e em Cor, para mudar sua cor, e em Estilo (selecionado a seguir o nível de espessura) para mudar a espessura do objeto: Figura 1..8 Sobre Cor e Espessura 7

10 Observamos que essa janela também é obtida no menu - Editar Propriedades). Podemos adequar a área de trabalho para melhor visualização de uma construção/figura apresentada, usando a ferramenta Zoom. Para isso clique na tela (na parte geométrica) com o botão do mouse direito e aparecerá uma tela como a da Figura 8, selecione então a melhor aproximação. Figura 1..9 Janela de Visualização - Ferramenta Zoom Às vezes, para melhor visualização da área de trabalho (parte geométrica) é interessante também deslocar os eixos, para tanto devemos selecionar Deslocar Eixos na última caixa de ferramentas e depois clicar na área de trabalho e, mantendo o botão esquerdo do mouse apertado, deslocamos a tela/área de trabalho" de modo conveniente. Observamos que para obter grande parte dos elementos/representações geométricas com o GeoGebra como, por exemplo, pontos, retas, polígonos, basta selecionar o ícone adequado, na barra de ferramentas de acesso rápido e em seguida clicar na parte geométrica da janela inicial do GeoGebra, que facilmente o elemento desejado seja representado. Para representar o gráfico das funções, e em geral, em atividades de Geometria Analítica Plana, necessitamos de um sistema cartesiano ortogonal. Para obter isso procedemos do seguinte modo (já mencionado antes): Para obter os eixos: Clique em Exibir no menu e logo depois em Eixos. Para obter a malha ou grade: clique novamente em Exibir e selecione agora Malha. Na tela, na parte geométrica, irá aparecer uma grade (com distância de 1 cm entre os seus pontos consecutivos alinhados que pode ser alterada se usamos a ferramenta Zoom), como mostra a figura: Figura Eixos e Malha 8

11 Observação: Podemos copiar um trabalho feito na tela do GeoGebra e colar num arquivo do Word, ou Paint, por exemplo. Isso pode ser feito abrindo o arquivo desejado do GeoGebra, clicando em Arquivo, Exportar e selecionado, na tela que aparece, Copiar para a Área de Transferência (Ctrl+Shift+C). Depois no arquivo (que se pretende copiar Word, por exemplo) use Ctrl+V para colar. 1.3 Atividades com o GeoGebra: Atividade 1: Representar geometricamente as cônicas dadas pelas equações: x y (x -1) (y - ) (a) reduzida: + = 1, (b) + = (a): Figura Elipse (dada por equação reduzida) Conhecendo os focos e um ponto da elipse, podemos usar o ícone/ferramenta Elipse para obter a sua representação geométrica. No caso os focos são F 1 =(- 5,0) e F =( 5,0), e tomaremos como ponto da elipse o vértice B=(0,). Para representar os focos entre na Janela Algébrica com os pontos (-sqrt(5),0) e depois (sqrt(5),0). Para renomear os pontos (ou objetos) clique com o botão do mouse direito na letra/nomenclatura existente, selecione Renomear na caixa que irá abrir e em seguida digite o novo nome/ letra desejada. Os focos (vértices) podem ser ainda obtidos digitando no campo Entrada Foco[c] (Vértice [c]), onde c é a letra que indica/nomea a elipse na tela de trabalho. Vejamos (b): Figura 1.3. Elipse (transladada) 9

12 Atividade : Representar geometricamente as cônicas dadas pelas equações: x y x y (x -1) (y- ) (a) reduzida: = ( ) = 1, (b) = a c a 9 4 (a): 4 = b = c -a = c 9 c = =13 c ~ 3.61 (b): Figura Hipérbole (dada por equação reduzida) Figura Hipérbole (transladada) Atividade 3: Representar as cônicas dadas pelas equações: (a) reduzida: y -5x = 0, (b) (y-) -5(x -1) = 0. (a): 10

13 Figura Parábola (dada por equação reduzida) Note que a equação é do tipo y² = 4px, e diretriz x = - p. Assim o foco é F= (5/4, 0) e a reta diretriz é x = -5/4. Tendo o foco e vértice, a parábola pode ser então obtida usando a ferramenta Parábola na caixa de n o 7. (b): Figura Parábola (transladada) Atividade 4. Dada a parábola de equação y - 8x - 6y - 3 = 0. Represente geometricamente: (1) usando a equação algébrica, () usando o ícone/ferramenta Parábola, e o foco e a diretriz (para isso complete quadrados: y - 8x -6y 3 = 0 y -6y = 8x+3 y - 6y + 9 = 8x+3+9 (y-3) = 8(x+4) V=(- 4, 3), foco F = (-,3) =(,0)+(- 4,3) e diretriz r: x = - 6 = - +(-4)). 11

14 (aqui usamos a ferramenta Zoom) Figura Parábola Atividade 5. Representar e classificar a cônica de equação: 3x + 1xy + 8y 18x 8y + 11 = 0. Figura Cônica (hipérbole) Pelo gráfico observamos que a cônica é uma hipérbole. Alguns exercícios gerais Representar e classificar as cônicas de equação: 1. x 1xy + 7y + 8x + 0y 14 = 0,. 9x 4y 18x 16y 7 = 0, 3. 16x 4xy + 9y 38x 34y + 71 = 0, 4. 35x xy + 35y 34x 34y 89 = 0, 5. 4x 4xy + y x + y + 1/5 = 0. 1

15 Capítulo - Introdução ao estudo de Quádricas com o Maple..1 Quádricas uma introdução Chama-se Quádrica ou Superfície Quádrica ao conjunto dos pontos P = (x,y,z) em E 3 tais que G(x,y,z) = ax² + by² +cz +dxy + exz + fyz + gx + hy +iz + j = 0, onde a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, são números reais, com a, b, c, d, e, f, não simultaneamente nulos. Os exemplos mais interessantes de quádricas são o elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico ou sela. Segundo Boulos e Camargo ([1], cap. 5), o nome quádrica vem do fato que as equações que as descrevem são equações do segundo grau, ou equações quadráticas. São exemplos de quádricas: 1. Elipsóide: Um subconjunto S de E 3 é um elipsóide se existe um sistema ortogonal de coordenadas e números a, b e c positivos tais que: S = { P = (x,y,z) ; x /a + y /b + z /c = 1 }. No caso particular em que a =b =c, temos a equação de uma superfície esférica: x + y + z = a..hiperbolóide de uma folha: Um subconjunto S de E 3 é um hiperbolóide de uma folha se existe um sistema ortogonal de coordenadas e números a, b e c tais que: S = {P = (x,y,z) ; x /a + y /b - z /c = 1 }. São também equações de hiperbolóide de uma folha, -x /a + y /b +z /c = 1 e x /a - y /b + z /c = 1 (um dos sinais é negativo). 3. Hiperbolóide de duas folhas: Um subconjunto S de E 3 é um hiperbolóide de duas folhas se existe um sistema ortogonal de coordenadas e números a, b e c positivos tais que: S = { P = (x,y,z) ; -x /a + y /b - z /c = 1 }. Como no caso de h. de 1 folha têm-se outras equações similares para o de folhas. 4. Parabolóide elíptico: um subconjunto S de E 3 é um parabolóide elíptico se existe um sistema ortogonal de coordenadas e números a e b positivos tais que: S= { P = (x,y,z) ; z = x /a + y /b }. Quando a=b, o parabolóide elíptico é um parabolóide de rotação. 5. Parabolóide hiperbólico: um subconjunto S de E 3 é um parabolóide hiperbólico (ou sela) se existe um sistema ortogonal de coordenadas e números a e b positivos tais que: S= { P = (x,y,z) ; z = -x /a + y /b }. 6. Cone elíptico (ou quádrica cônica elíptica): é uma superfície quádrica cuja equação padrão é da forma: x /a + y /b - z /c = 0 (ou equivalentemente, x /a 1 + y /b 1 = z (Quando a = b, obtém-se uma quádrica cônica de rotação. Também é equação de um cone elíptico uma equação do tipo x /a - y /b - z /c = 0 ou -x /a y /b - z /c = 0 (ou seja nem todos os sinais do lado esquerdo são iguais). 7. Quadricas cilíndricas: uma quádrica S é cilíndrica elíptica (também referida como cilindro elíptico) ou cilíndrica hiperbólica (cilindro hiperbólico) ou cilíndrica parabólica (cilindro parabólico) se existem números reais positivos e um sistema 13

16 ortogonal de coordenadas em relação a qual S pode ser descrita, respectivamente, pelas equações: x /a + y /b =1 (a b); x /a - y /b =1; y = cx. Se na primeira equação consideramos a = b (a equação fica x + y = a ) e obtemos a quádrica é denominada quádrica cilíndrica de rotação (ou cilindro reto ou circular). Outros exemplos de quadricas (chamadas degeneradas): 1- O conjunto vazio: G(x,y,z) = x² + y² + z + 1 = 0. - Um ponto: G(x,y,z) = x² + y² +z = Uma reta: G(x,y,z) = x² + y² = Um plano G(x,y,z) = x² = Reunião de dois planos paralelos: G(x,y,z) = x² - 4=0. 6- Reunião de dois planos transversais: G(x,y,z) = x²/4 - y² /9= 0. De fato, os exemplos de quádricas apresentados anteriormente, juntamente com estes de quádricas degeneradas nos dão todos os tipos possíveis de quádricas (Boulos e Camargo [1], cap. 5, p. 48). Pela rotação ou translação do sistema coordenado de E 3, é possível transformar uma equação geral de uma quádrica em certas formas padronizadas, de modo a reconhecê-la.. Maple noções básicas O Maple é um software com vários recursos que pode auxiliar muito no ensino e aprendizagem de Matemática do ensino básico à universidade, além de ser muito útil em pesquisas. Não é um software gratuito como o GeoGebra. Para iniciar o Maple clique duas vezes no ícone Maple. Para sair do Maple, clique em Arquivo (file) e, em seguida, clique em Sair (exit). Para salvar o conteúdo, após o término das tarefas, proceder da seguinte maneira: * clicar em Arquivo/(file); * clicar em Salvar como/ save us; * nomear o arquivo; * escolher a unidade de disco desejada; * Para terminar, clicar em OK. Observação: Sempre que alterado o conteúdo, deve-se usar a opção Salvar/Save para salvar as alterações. Já existem várias versões do MAPLE. O MAPLE possui um sistema de ajuda ao usuário. Para acessar basta clicar na barra de menu em Ajuda (Help) e, em seguida, em um dos tópicos. No Maple 16, tem-se, por exemplo: Ajuda do Maple, Excursão pelo Maple, Referência Rápida, Ajuda Rápida. Para ser mais específico na busca, clique em Ajuda do Maple e, no espaço reservado para busca a esquerda, sabendo o nome do comando sobre o qual se tem dúvidas, digite "?nome" onde "nome" é o nome do comando desejado e em seguida a tecla enter (por exemplo, digitando?plot e selecionando procurar por texto, obtemos vários itens relacionados ao comando plot). Uma descrição completa das opções do comando plot pode ser obtidas através do Ajuda digitando-se?plot[options]. Símbolos: + Adição, - Subtração, * Multiplicação, / Divisão, ^ Potenciação, sqrt(x) x (Raíz quadrada de x), Pi Número Irracional π, exp(1), Número de Euler e, abs(x) Valor absoluto de x ( x ),! Fatorial. Definindo Variáveis: Para fazer a variável x receber um valor n, onde n é um número qualquer, digitamos o comando de atribuição := (dois pontos seguidos do sinal de igual). 14

17 > x:=5; x:= 5 Para remover o valor atribuído à variável x, digitamos o comando unassign. > unassign('x'); Observação: As letras E e I não podem ser usadas para definir novas variáveis pois elas já representam números pré-definidos. Expressões Algébricas: x As operações básicas que podem ser feitas numa calculadora podem também ser feitas no MAPLE V. Observe: > x:=1; x: = 5 > y:=; y: = > z:=-; z:= - > z^y; 4 > sqrt(y); Como visto, um comando só é executado quando finalizado por ";" (ponto e vírgula) ou ":" (dois pontos). No caso dos ":", o resultado não é exibido na tela, fica armazenado. Isso é útil para economizar espaço quando se tem vários comandos ou quando se faz um programa. Podemos digitar vários comandos numa mesma linha. > x+y; y-z; x*z; Em uma expressão numérica a ordem de resolução das operações deve ser explicitada pelo uso de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, se necessário. > (x+z)*y; - Comando Restart: Este comando "limpa" os comandos anteriores o que é importante para não sobrecarregar a memória do computador.o comando restart, no início, permite por exemplo, que você use a mesma letra para definir uma nova função. > restart; Gráficos de Funções de uma Variável: Gráficos de funções reais de uma variável real são obtidos no Maple com o comando plot. Na sua forma mais simples, uma chamada do comando plot é assim: > plot(f(x), x=a..b); onde f(x) é a função e a..b especifica o intervalo [a,b] do eixo horizontal no qual f será desenhada. A escala no eixo vertical será tomada pelo Maple de modo a oferecer uma melhor visualização, sendo em geral diferente da escala no eixo horizontal. É claro que a função f deve ser conhecida do Maple. Existe uma série de funções que fazem parte do programa e podem ser usadas livremente. Por exemplo, a função cos(x) é conhecida pelo MAPLE, assim podemos usar > plot(1+cos(x), x=-6..6); Para a função seno, usa-se sin(x). Quando a função não é conhecida pelo Maple, isto é, não faz parte do pacote de funções do Maple, ela precisa ser definida. Por exemplo, a função f(x) = x - 1/x, pode ser assim definida : > f:=x->x-1/x: > plot(f(x),x=0..5); 15

18 Algumas opções do comando plot aparecem numa barra de menu exibida quando o gráfico é selecionado. Por exemplo, para ver o gráfico com os eixos na mesma escala, basta clicar no ícone [1:1] que aparece quando se seleciona o gráfico através de um clique do mouse na região do mesmo. No entanto, a maioria das opções, deve (e pode) ser colocada dentro do comando plot. Usando por exemplo a opção scaling=constrained dentro do comando plot, o gráfico também será mostrado com as mesmas escalas nos dois eixos. Exemplo: > f: = x -> x-1/x: > plot(f(x), x=0..5, scaling =constrained); (aqui uma função f(x) deve ser dada). Devemos ter muita atenção/cuidado, pois o Maple é muito sensível à sintaxe. Não se pode colocar, por exemplo: > plot(f(x), x=a..b), sem especificar um dos valores para a ou b, que aparecerão mensagens de erro. Também o Maple não aceita x=a...b (três pontos), novamente uma mensagem de erro será dada. É interessante observar que, a não observação cuidadosa da escala vertical pode levar a interpretações errôneas do comportamento da função. Às vezes é necessário alterarmos a escala vertical, introduzindo a variação no eixo vertical y para melhorarmos a visualização do gráfico como no exemplo: > plot(f(x),x=0..5,y=0..9); Quando as informações dadas a..b que especificam o intervalo [a,b] do eixo horizontal x, e c..d do eixo vertical y, não são bem escolhidos a representação geométrica fica prejudicada; torna-se necessário uma nova escolha. Vejamos uma situação interessante: > plot(3+sin(x), x=-pi..pi); nos fornece: > plot(3+sin(x), x=-pi..pi, y= -1..5); nos dá a representação: Gráfico de relações: Relações entre as variáveis x e y na forma implícita são desenhadas usando o comando implicitplot. O comando implicitplot (precedido do comando plot) é usado no caso bi-dimensional, como por exemplo, para representar as cônicas: 16

19 > implicitplot(expr, x=a..b, y=c(x)..d(x), options) onde expr indica uma expression or equation depending on x and y. Representando uma elipse: > restart: with(plots): > implicitplot(x^/9+y^/4=1, x=-5..5,y=-5..5,thickness=); ou simplesmente, > implicitplot(x^/9+y^/4=1, x=-5..5,y=-5..5,thickness=); O comando implicitplot3d (precedido do comando plot) é usado no caso tridimensional, como por exemplo, para representar as quádricas: >implicitplot3d(expr, x=a..b, y=c..d, z=p..q, options) onde expr indica uma expression or equation depending on x, y e z. Outras opções (importantes) do comando plot: 1) numpoints=n Especifica o número de pontos n a ser tomado para gerar o gráfico. Às vezes é preciso aumentar o número de pontos para se ter uma melhor avaliação do gráfico (ver por exemplo, atividade 3, exemplo 5, abaixo), como mostra o exemplo seguinte: > plot(sin(x), x = 0..4*Pi, y=-1..1, numpoints = 300); ) Style=estilo. O estilo usado em geral (para representação de curvas) é o line, em que os pontos usados para gerar o gráfico são ligados por uma curva. Um outro possível é point, em que só os pontos são mostrados. No caso de superfícies podemos usar, por exemplo, style=patchnogrid, style=wireframe, style=contour, 3) title= titulo Especifica o título do gráfico. O padrão é sem título. O titulo deve ser um conjunto de caracteres colocados entre dois acentos graves. Exemplo: > plot(f(x), x=-.., style=point, title = Gráfico de f(x) ); 4) thickness= n Especifica a grossura da linha do gráfico. O padrão é n=0, e outros valores possíveis vão de 1 a 15 para exibição no vídeo (imprimível até n=5). 5) color=cor Especifica a cor do gráfico. É útil quando se quer obter várias funções num mesmo gráfico. A cor padrão é red. Algumas possíveis cores são aquamarine, black, blue, cyan, brown, gold, green, gray, khaki, magenta, maroon, orange, pink, sienna, turquoise, violet e yellow. Outras tonalidades podem ser criadas, consultando a Ajuda/Help através do comando?plot[color]. 6) tickmarks=[m,n] Especifica o número de marcas numeradas nos eixos horizontal (m) e vertical (n), além da marca da origem. Pode-se usar ainda as opções xtickmarks=m ou ytickmarks=n para alterar as marcas apenas em um dos eixos. 7) axesfont=[fonte, n] Define o tipo de fonte e o tamanho n usados na numeração dos eixos ou no título do gráfico. fonte pode ser times, courier, helvetica ou symbol. Admite ainda as opções bold e italic. 8) linestyle=n Indica o estilo da linha do gráfico. Os valores possíveis para n vão de 1 (linha sólida, que é o padrão) até 4 (interrompida-pontilhada). 17

20 9) axes=eixo Especifica o sistema de coordenadas. O padrão é eixo normal (no caso de figuras planares). Já em superfície, em geral não aparecem os eixos. Algumas possibilidades interessantes são axes=boxed e axes=framed. Se clicamos sobre uma superfície/figura apresentada pelo Maple, aparecerá na barra acima várias ferramentas, dentre elas (que nos fornecerá os vários estilos - Estilo de eixo em caixa (boxed), em moldura (framed), normal e nenhum estilo de eixo). Clicando nessa ferramenta, e selecionado um dos estilos, esse será aplicado/incorporado imediatamente na figura que estava representada. No caso de representação no plano, o procedimento é similar..3 Atividades com o Maple: Usando os recursos do Maple podemos visualizar melhor as quádricas e observar determinadas propriedades. Analisaremos também algumas seções cônicas em quádricas. Atividade 1: Representar o elipsóide dado pela equação abaixo (colocar título): x y z + + = Comandos: >restart; with(plots): implicitplot3d(x^/4 + y^/5 + z^/ = 15, x= , y = , z = , title = Elipsoide, thickness = 1, numpoints = 4000); ou simplesmente: > implicitplot3d(x^/4 + y^/5 + z^/ = 15, x= , y = , z = , title = Elipsoide, thickness = 1, numpoints = 4000); Observação: ao digitar x^/4 + y^/5 + z^/ = 15, na tela do Maple 16, aparecerá x y z + + = Figura Elipsóide (Os eixos foram obtidos, clicando no elipsóide e selecionando na caixa, como já mencionado o item corresponde ao eixo axes=boxed). Exercícios: 1) Representar o elipsóide de equação x /4+y /5+z /16=15, utilizando a mesma variação para x, y e z do exemplo anterior, o que ocorre com a superficie? 18

21 ) Representar o elipsóide de equação x /4+y /5+(z-4) /=15. Comparar com o primeiro elipsóide, o que ocorreu? Atividade : Representar o hiperbolóide de uma folha dado pela equação x /+y /-z /3 = 0. Comandos: > implicitplot3d(x^/+y^/-z^/3 = 0, x = , y = , z = , title = Hiperboloide1folha, thickness =, numpoints = 1000); Figura.3. Hiperbolóide de uma folha Atividade 3: Representar o hiperbolóide de duas folhas dado pela equação -x /+y /-z /3 = 0. Comandos: > restart; with(plots):implicitplot3d( -x^/ + y^/ z^/3 = 0, x = , y = , z = , title = Hiperboloidefolhas, thickness =, numpoints = 4000); Figura Hiperbolóide de duas folhas Atividade 4: Representar o parabolóide elíptico dado pela equação x /5+y /6 = z. Comandos: > restart; with(plots):implicitplot3d(x^/5 + y^/6 = z, x= , y = , z = , title = ParaboloideEliptico, thickness =, numpoints = 4000); 19

22 Figura Parabolóide elíptico Atividade 5: Representar o parabolóide hiperbólico dado pela equação -x /+y /=z. Comandos: > restart; with(plots):implicitplot3d(-x^/ + y^/ = z, x = , y = , z = , title = ParaboloideHiperbolico, thickness =, numpoints = 4000); Figura parabolóide hiperbólico (ou sela) Exercício: Represente o parabolóide hiperbólico acima, usando style= patchnogrid e color=blue. Atividade 6: Representar o cone elíptico dado pela equação x /5+y /6-z /3=0. Comandos: > restart; with(plots):implicitplot3d(x^/5 + y^/6 z^/3 = 0, x = , y = , z = -0..0, title = Cone, thickness =, numpoints = 4000); Figura.3.6 Cone Elíptico 0

23 Observe a falha do Maple (a figura inicialmente apresentada (1 a ) não parece um cone). Repita, porém usando agora a opção numpoints= (ª Figura). Atividade 7: Representar o cilindro elíptico dado pela equação x^/6 + y^/16 = 1. Comandos: > restart; with(plots):implicitplot3d(x^/6 + y^/16 = 1, x = -5..5, y = -5..5, z= , title = Cilindro eliptico, numpoints = 4000); Figura.3.7 cilindro elíptico Seções em quádricas: Usaremos as potencialidades do software Maple para poder visualizar algumas seções em quádricas. As seções de uma superfície são as curvas de interseção da superfície com planos paralelos aos planos coordenados. Por exemplo, as equações das seções paralelas ao plano yz, são obtidas fazendo x = k, sendo k uma constante. Seguem abaixo alguns exemplos de seções em quádricas. Para tanto temos que plotar dois gráficos num mesmo sistema de coordenadas. Podemos obter também seções intersectando com outros planos. 1) Seção em um elipsóide: comandos: > with(plots): graficos := implicitplot3d(x^/4 + y^/16 +z^/9 = 1, x = -.., y = , z = -4..4, numpoints = 4000), implicitplot3d(z = 0, x = -3..3, y = -5..5, z = -5..5, thickness = 5, color = blue): display ([graficos]); Figura.3.8 seção em um elipsóide As interseções pode ser obtidas também utilizando os comandos como no exemplo seguinte: 1

24 > fig1: = implicitplot3d((x^/4 + y^/16 +z^/9 = 1, x = -.., y = -4..4, z = -4..4, axes=boxed, style=patchnogrid): fig:= implicitplot3d(z = 0, x = -3..3, y = -5..5, z = -5..5, style=patchnogrid, thickness = 5, color = yelow): display ({fig1,fig}); 1) Seção em um hiperbolóide de uma folha: No exemplo que segue abaixo plotamos dois gráficos num mesmo sistema de coordenadas, sendo um dos quais um hiperbolóide de uma folha e outro um plano. Vêse que a interseção dos dois gráficos produziu uma hipérbole Comandos: > graficos := implicitplot3d(x^/4 + y^/5 z^/7 = 1, x = -7..7, y = -7..7, z = -7..7, numpoints = 4000), implicitplot3d(x+*y = 1, x = -7..7, y = -7..7, z = -7..7, thickness = 5, color = grey): display ([graficos]); Figura.3.9 seção de um plano em um hiperbolóide de uma folha Mudando sensivelmente a inclinação do plano interceptor notamos que a interseção obtida é uma elipse. Comandos: > gráficos:= implicitplot3d(x^/4 + y^/5 z^/7 = 1, x = -9..9, y = -9..9, z = -9..9, numpoints = 4000), implicitplot3d(y+z = 1, x = -7..7, y = -7..7, z = -9..9, thickness = 5, color = grey, numpoints = 1500): display(graficos]); Figura.3.10 seção de um plano em um hiperbolóide de uma folha Alguns exercícios gerais 1. Representar os hiperbolóides de uma folha e analisar características existentes entre eles: -x /4 +y /4 + z /4 1 = 0; x /4 - y /4 + z /4 1 = 0; x /4 +y /4 -z /4 1 = 0.. Representar e classificar as quádricas de equação:

25 (1) 4x +4 y +4 z +4xy + 4xz+4yz-8 = 0, () 5x +11 y + z +16xy + 0xz-4yz-36 = 0, (3) x +y + z 4yz 1 = 0, (4) xy+z=0. 3. (a) Represente um cilindro hiperbólico. (b) Represente uma quádrica degenerada dada por dois plano paralelos e uma outra dada por dois planos transversais 4. Represente um cone e seções cônicas de modo a obter elipse, hipérbole e parábola. 5. Usando o comando animate do Maple, observe no exemplo seguinte, como a variação do sinal de A, nos dá hiperbolóides de uma folha (para A > 0), um cilindro, (para A=0) e elipsóides (para A>0). > with(plots):animate(implicitplot(x^/4 + A*y^/4+z^/4 =9, x = -9..9, y = -9..9, z = -9..9), A = -..4, scaling=constrained, style patchcontour); (para obter a animação, clique na figura e depois na setinha a esquerda movimente ). ou Referências [1] P. Boulos, I. Camargo, Geometria Analítica: Um Tratamento Vetorial. Prentice Hall, São Paulo, 005. [] E.L.C. Fanti, Utilizando o software GeoGebra no ensino de certos conteúdos matemáticos, V Bienal da SBM, UFPB, C3, 010. [3] E.L.C. Fanti, Introdução ao Maple - notas de aula - Disciplina Informática no ensino de Matemática 011. [4] E.L. Lima, P.C.P Carvalho, Coordenadas no Plano. Rio de Janeiro,