Universidade da Beira Interior. Mestrado em Engenharia de Sistemas de Produção e Conservação de Energia MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

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1 Universidade da Beira Interior Mestrado em Engenharia de Sistemas de Produção e Conservação de Energia MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA Paulo Jorge Pimentel de Oliveira 1999/

2 Conteúdo página 1. Análise de erros Interpolação Raízes de equações não-lineares Sistemas de equações lineares Integração numérica Equações diferenciais ordinárias Equações às derivadas parciais...79 Bibliografia e fontes Numerical Methods for Engineers, S. C. Chapra e R. P. Canale, 2 a edição, McGraw-Hill, Singapore (1989). Numerical Methods for Engineering Applications, J. H. Ferziger, Wiley, New York (1981). Computational Methods for Fluid Dynamics, J. H. Ferziger e M. Peric, Springer (1996). Métodos Numéricos, M.R. Valença, INIC, Braga (1990). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge Univ. Press (1986). -2-

3 Capítulo 1. Análise de Erros 1.1 Tipo de Erros (a) Erros de modelização - inerentes à matematização do fenémeno físico usando um modelo matemático; limitações devidas ao nosso desconhecimento do fenómeno, ou por desejo de limitar as influências em causa, de forma a simplificar o estudo. Exemplos: aproximação da mecânica clássica em comparação com a mecânica relativista, para Ð?Î-Ñ 2 1. modelos de turbulência: 2-equações; tensões de Reynolds, etc. modelos usados em economia (onde se desprezam sempre alguns efeitos). (b) Erros de dados (ou erros iniciais) - inerentes aos aparelhos de medida (precisão finita desses instrumentos) e à utilização de números irracionais ( 1, r/,, etc) ou fraccionários. (c) Erros de método ou de truncatura - resultam da substituição de um modelo matemático (que poderia ser exacto) por um processo de cálculo aproximado. Dependem do processo de cálculo ou algoritmo utilizados. Exemplos: substituição de derivadas por razões incrementais; substituição de integrais por somatórios; substituição de séries por somas finitas de termos; (d) Erros de arredondamento - inerentes à limitação dos aparelhos de cálculo, que terão de usar um número finito de algarismos para representar um resultado numérico. Do mesmo modo, depois de uma operação aritmética elementar (,,, Î) existe sempre um arredondamento do resultado. Dependem do instrumento de cálculo. Exemplo 1: Cálculo do perímetro duma circunferência, :œ 1V. O algarismo é um número exacto com representação exacta. A constante 1 é um número exacto com representação limitada. O raio V depende da precisão da medição: para uma fita métrica graduada em centímetros vem Vœ"Þ' m. Como o erro de V é de 1 cm (arrendodamento por corte) é óbvio que não faz sentido dar o valor do perímetro com uma precisão melhor que 1 cm. Assim é inútil usar muitas casas decimais para 1, pois o resultado virá com muitos algarismos desprovidos de significado. Se 1 œ$þ"%"', vem :œ(þ*"')$ m, em que os algarismos depois do * não têm significado. -3-

4 Exemplo 2: Influência da precisão do instrumento de medida. Calcular a área duma sala rectangular com comprimento Pœ3 m e largura Lœ4 m. A área será de, aproximadamente, E P Lœ$ %œ" m. 2 Se a medição dos comprimentos for feita com uma régua graduada em metros, teremos uma imprecisão de!þ& m e o valor da área será:: EœÐ$!Þ&Ñ Ð%!Þ&Ñœ" $Þ(& m. Com uma régua graduada em cm, a imprecisão é de!þ& cm e o valor da área será agora: EœÐ$Þ!!!Þ!!&Ñ Ð%Þ!!!Þ!!&Ñœ"Þ!!!Þ!$& m. com uma precisão muito maior. Bœ ( ) œ œ Cœ œ œ Exemplo 3: Influência do processo de cálculo (erro de método). Dados +œ"þ%',,œ$þ*" e -œ$þ"%, calcular Bœ+Ð, -Ñe Cœ+, +-, usando uma máquina com 2 casas decimais: Como se vê os resultados são ligeiramente diferentes ficando demonstrado que a propriedade distributiva não se verifica no cálculo aproximado. Podemos dizer que o resultado B é mais preciso que C. Iremos ver que o mesmo acontece com a propriedade associativa, não sendo indiferente a ordem pela qual é efectuada uma soma de vários termos (isto é Bœ+ Ð, -Ñ é diferente de CœÐ+,Ñ -números). podendo essa diferença ser grande quando se somam muitos É conveniente distinguir os dois conceitos seguintes (dados aqui em inglês), relacionados com imprecisão ou erro : Precision dum resultado ou duma medida: o intervalo de incerteza é menor (erro entre 2 medições é pequeno). Accuracy (precisão; exactidão) dum resultado: está perto do resultado exacto (o erro verdadeiro é pequeno). 1.2 Conceitos Fundamentais Sendo Bum valor exacto e B- uma representação aproximada, chamamos -4-

5 Erro absoluto: IœlB Bl w - (1.1) Majorante do erro absoluto: I Iw, tal que: B IŸBŸB I - - (1.2) Normalmente B não é conhecido pelo que o valor exacto do erro absoluto não pode ser determinado. Assim é natural ter de se estimar o valor máximo que esse erro pode tomar (limite superior de I w ) e muitas vezes, por abuso de linguagem, chama-se erro absoluto ao seu majorante, I. O erro absoluto pode não ser um bom indicador da precisão dum resultado, não possibilitando a comparação de resultados diferentes. Por exemplo, se a distância entre duas cidades for.œ$! " km, e a distância entre dois pontos for medida como. AB œ cm, ficamos sem saber qual destes valores tem melhor precisão. Para resolver esta dificuldade introduz-se a noção de: e Erro relativo : % w Iw lb Bl - œ lbl œ lbl (com BÁ! ) (1.3) Majorante do erro relativo : % % w. (1.4) No exemplo acima temos que para a distância entre cidades o (majorante do) erro relativo é aproximadamente % "Î$!œ3.3 %, e o erro relativo da distância entre A e B é % 0.5Î3.5œ14.3%. Portanto neste caso concluímos que a precisão do primeiro resultado é superior à do segundo. Como para o caso dos erros absolutos, é também comum denotar por erro relativo o que de facto é o majorante do erro relativo. I w Relações entre majorantes Primeiro problema: temos um valor aproximado saber o erro relativo. Por definição: -B e o seu erro absoluto I, e pretendemos % % w œ I lbl w Majorando o numerador IŸI w, e minorando o denominador B IŸB -, obtemos a relação pretendida: % œ B I - I (1.5) Segundo problema: conhecido um valor aproximado -B e respectivo erro relativo %, determinar o erro absoluto. Por definição: w I I œ % B w -5-

6 Majorando as duas parcelas deste produto obtemos: Iœ % ÐB IÑ - que dá a relação pretendida: Iœ % % " B-. (1.6) Como normalmente os erros são pequenos quando comparados com os valores aproximados, recorre-se frequentemente às seguintes aproximações: I I % œ ( I B- B I - B - ) (1.7) % Iœ - - " % B % B (% " ). (1.8) Observe-se que as relações exactas entre majorantes do erro não são interdependentes (não se pode obter uma a partir da outra) mas que as relações aproximadas são inter-dependentes. Com estas relações exactas, os valores dos erros relativos no exemplo anterior seriam, para a distância entre cidades % œ"î*œ3.4% (em vez de 3.3%), e entre os pontos A e B, % œ0.5î3.0œ16.7% (em vez de 14.3%). Algarismos significativos Um algarismo de um número aproximado é significativo se o erro absoluto desse número for inferior ou igual a meia unidade da casa decimal em que o algarismo se encontra. Um algarismo significativo não pode ser zero a não ser que, à esquerda desse algarismo, exista um outro algarismo significativo não nulo. Exemplos: (i) Bœ Iœ 0.05 algarismo posição meia unidade da pos. comparação com I Conclusão significativo significativo significativo œ 0.05 significativo não é signif. -6-

7 (ii) Bœ Iœ algarismo posição meia unidade da pos comparação com I Conclusão I I I I não é signif. significativo significativo não é signif não é signif. O algarismo significativo mais à esquerda é o mais significativo, e o mais à direita é o menos significativo. Algarismos exactos: são aqueles que se mantêm invariáveis em todo o intervalo de variação da grandeza. Exemplo: Bœ Ê 28.7 ŸBŸ Assim, o algarismo 2 é exacto mas o 9 já não é, embora seja significativo. 1.3 Representação dos Números e Erros de Arredondamento A representação de números inteiros não oferece dificuldade e pode ser feita exactamente desde que a máquina de cálculo possa guardar todos os algarismos que compõem o número. Para números reais a representação pode ser em vírgula fixa, por ex , , (Nota: aqui e em todo o texto usa-se o ponto. para representar a vírgula). Neste tipo de representação é predefinido o número de dígitos da parte inteira e da parte decimal da quantidade em causa. É óbvio que este tipo de representação pode não garantir a ordem de grandeza dos números. Por exemplo, o valor não pode ser representado em vírgula fixa, sem que ocorra uma deturpação da sua ordem de grandeza, numa máquina que só retenha 4 dígitos para a parte inteira. Por esta razão a representação mais comum é a de vírgula flutuante, ou floating-point, também chamada de representação científica: -Bœ7, / (1.9) Aqui 7 é a mantissa (com : dígitos),, a base (iremos usar sempre a base 10, nos cálculos manuais) e / o expoente (com ; dígitos, tipicamente 2). Para se definir completamente esta -7-

8 representação é preciso ainda dizer qual o tipo de arredondamento, simétrico ( E) ou por corte ( X, por vezes chamado truncatura). Esta representação costuma denotar-se sinteticamente por JÐ:;,E,,, ) ou J:;,X (,,, ). Por exemplo, representar 1 œ em J(5,2,10, E): Se fosse J(5,2,10, X), seria Em ambos os casos o número está numa representação normalizada, o que quer dizer que o primeiro algarismo da mantissa é diferente de zero. Por ex., $ escreve-se & em representação normalizada. Desta forma temos sempre 0.1 Ÿ7Ÿ1 (na base 10). No caso mais comum um número real não é representável exactamente num sistema de vírgula flutuante. Para a sua representação aproximada recorre-se ao arredondamento, que pode ser simétrico (o ultimo algarismo da mantissa é arredondado para o valor mais próximo: ou fica igual, ou vem somado de uma unidade; se estiver a igual distância, deve ficar par), ou por corte (desprezam-se os algarismos a mais na mantisssa). Das operações aritméticas em vírgula flutuante podem também resultar números não representáveis que terão de ser arredondados. Na soma, o número com menor expoente deve ser desnormalizado de forma a ficar com um expoente igual ao da outra parcela. Por exemplo, considere-se a soma de B1 œ135.7 e B2 œ24 num sistema J(4,2,10, X) (isto é com 4 dígitos na mantissa e arredondamento por corte). 1- o Normalizar as parcelas: B1 œ B œ (repare-se que neste caso os números poderam ser representados exactamente; não foi introduzido nenhum erro de arredondamento) 2- o Desnormalizar a mantissa do número com menor expoente: B1 œ B œ Somar o as mantissas: B œb B œ

9 Neste caso não foi introduzido nenhum erro de arredondamento devido à representação do resultado em vírgula flutuante. O normal, no entanto, é que apareça esse tipo de erro como se vê dos dois exemplos seguintes. Exemplo (a) Somar B œ e B œ A representação normalizada de cada parcela é: Na desnormalização de 3 B1 œ B œ Ê B œ (3) 10 B o último algarismo é perdido (por corte). A soma fica: B œb B œ com um erro de arredondamento exacto de ( Ÿ ). Exemplo (b) Somar B1 œ95.74 e B2 œ A representação normalizada de cada parcela é: e a soma fica: B1 œ B œ B œb B œ Este número não está normalizado. A normalização implica: 2 2 B œ (7) 10 œ Neste caso o erro exacto devido ao arredondamento por corte é ( Ÿ ). Observa-se que o erro de arredondamento é sempre menor que 1 10 > :, onde > é o expoente do número em causa (2 no exemplo acima). É fácil verificar que o majorante do por: I corte œ"! > : erro absoluto em arredondamento por corte é dado (1.10) e em arredondamento simétrico é metade deste valor: I simétrico œ " > : 10. (1.11) -9-

10 Neste caso a mantissa será dada por 0.xxx... (x representa um algarsmo não nulo) e um minorante é 0.1; deste modo o majorante do erro relativo vem: e % corte œ 10 % simétrico œ " " : 10 " : > : > > : t " : (pois 10 Î 0.xxx Î œ10 ) (1.12) (1.13) Como se vê o erro relativo máximo de arredondamento (simétrico ou corte) não depende do tamanho dos números envolvidos, mas somente da base, do tipo de arredondamento e da capacidade da máquina (número de dígitos da mantissa, :). A esse valor costuma chamar-se unidade de arredondamento da máquina,?; assim,?œ 10 " : (em arredondamento por corte) ou?œ 5 10 : (em arredondamento simétrico). Na prática a unidade de arredondamento pode ser determinada fazendo o algoritmo: Bœ" 1 +œb " if( +Ÿ" ) then?œb else BœBÎ"! go to 1 end if print *,'?œ',? ) 16 Tipicamente a unidade de arredondamento é de 10 para precisão simples e para precisão dupla. "! Para terminar este parágrafo chamamos a atenção para o fenómeno do cancelamento subtractivo, que dá lugar aos mais graves problemas de perda de algarismos significativos e aparecimento de erros no cálculo numérico. Temos: Exemplo (c) Subtrair os números B œ e B œ B œb B œ œ Os três zeros que aparecem à direita do algarismo 1 não têm significado, embora em operações que se possam seguir esses zeros sejam tomados como algarismos significativos. Se B 1 fosse igual a o resultado da subtracção teria sido igual, devido ao arredondamento por corte de B 1. O resultado correcto, usando dupla precisão para reprentar as parcelas, teria sido B œ œ (e agora o resultado está já expresso com

11 algarismos na mantissa). Ou seja, esta subtracção de dois números muito parecidos deu azo a um erro relativo de 50%! NOTA 1. Da definição de algarismos significativos, torna-se claro que todos os dígitios duma mantissa obtida por arredondamento simétrico dum dado número exacto são significativos. NOTA 2. Existem dois teoremas que permitem relacionar os algarismos significativos com os erros relativos e que são aqui dados sem demonstração: Teorema-1: Se um número aproximado -Bœ7 10 > : tem 8 algarismos significativos (mantissa com : dígitos), então um majorante do erro relativo é % œ 1 10 " 8 2 œ& "! 8. Teorema-2: Se -Btem erro % Ÿ então tem, pelo menos, 8algarismos significativos 1.4 Propagação de Erros de Arredondamento A questão é saber como se propagam os erros existentes nos números que fazem parte de um cálculo aritmético. Interessa saber se esses erros vão ser ampliados ou reduzidos, e quais as operações do cálculo que maior influência têm na amplificação dos erros. Um exemplo típico já mencionado, que aparece frequentemente, é o da subtracção de dois números aproximadamente iguais; mesmo que esses números estejam afectados de erros pequenos, esses erros irão ser desproporcionalmente aumentados depois dessa subtracção. O fórmula fundamental do cálculo da propagação de erros pode ser obtida do teorema do valor médio, ou do teorema de Taylor. O primeiro permite escrever, para uma função contínua de várias variáveis, 0ÐB, B,..., BÑ, a seguinte expressão: ÐB 2, B 2,..., B 2Ñ 0ÐB, B,..., BÑœ! 0ÐB w ) 2Ñ œ" onde!ÿ) Ÿ". Esta expressão é equivalente, para o caso unidimensional, a afirmar que entre dois pontos + e,, existe um ponto -tal que 0w Ð-ÑœÐ0Ð,Ñ 0Ð+ÑÑÎÐ, +Ñ. A representação 0ÐBÑ `0Î`B w 3 3 indica a derivada parcial em relação a Bi. Se considerarmos os acréscimos 2 como erros em B (? B), e o acréscimo de 0 no lado esquerdo da igualdade acima como o correspondente erro de 0 (? 0), temos: 8? 0 œ! 0ÐB w ) 2Ñ? B, 3œ" ou, majorando ambos os termos, œ" œ" l? 0lœl! 0ÐB w ) 2Ñ? BlŸ! l0wðb ) 2Ñl l? Bl, -11-

12 que podemos escrever como: I œ! l0w l I 0 8 3œ" B3 Q B3. (1.14) onde Q representa um majorante das derivadas parciais. Esta é a fórmula fundamental do cálculo de erros. Uma maneira expedita de nos recordarmos desta fórmula é através da diferenciaçâo total duma função de várias variáveis, ), 0ÐB 3! `0 `B 3 3 d 0 œ d B. Assumindo que diferenças representam erros e majorando a soma, obtemos: `0 B 3 3 I0 œ! l`b l Q I 3 (1.15) Exemplo: Calcular a precisão com que é medida a área dum círculo com raio Vœ1.25 m. A área será obtido de: Eœ1 V œ œ m. Assumindo arredondamento simétrico, temos a seguinte estimativa dos erros envolvidos: Vœ m 1 œ Aplicando a fórmula fundamental de propagação de erros, obtemos: I œð VÑ I ÐVÑI œ E 1 Q V 1 œð Ñ0.005 Ð1.255Ñ œ m, onde se usou uma máquina sem limitações na aritmética. Com este erro para o valor da área E dado acima, vemos que o algarismo 9 ainda é significativo, mas o 0 que se segue já o não é. Deste modo pode escrever-se: E m, ou mesmo E m

13 A estimativa da propagação do erro também se poderia ter feito sem majoração das parcelas (na prática essa majoração pode ser difícil de se conseguir). Neste caso obteríamos: $ E 21 VV V $ $1 œ œ m uma estimativa igual à aproximação utilizada antes para I E. A fórmula de propagação de erros permite ainda ver quais são os termos responsáveis pelo erro final. No presente exemplo o error na medição do raio contribui em 93% para o erro final. Aplicação da fórmula de propagação de erros às operações elementares (a) Soma: CœB B " Obtemos: I œi I C B" B IC B" B e % œ C œð B B Ñ% Ð B B Ñ% " " C B" B Conclui-se que, no caso da soma, o error absoluto é a soma dos erros das parcelas e o erro relativo está afectado por factores de peso que dependem dos valores das parcelas. Fazemos notar que o erro aqui deduzido inclui o efeito dos erros das parcelas mas não inclui o erro de arredondamento decorrente da operação propriamente dita. Esta induz um erro relativo de arredondamento, que deve ser acrescentado ao erro relativo dado acima (ver secção seguinte). (b) Diferença: CœB B (assume-se que B B ) Obtemos: I œi " " I C B" B (igual à soma) B" B e % œ Ð B B Ñ % Ð B B Ñ % " " C B" B Quando B" é só ligeiramente superior a B, os erros das parcelas são grandemente aumentados (amplificação dos erros relativos): fenómeno de cancelamento subtractivo. (c) Produto: CœB B " Obtemos, aproximadamente: e I œðbñ I ÐBÑ I B I B I C Q B" " Q B B" " B B B" % œ Ð B B ÑI Ð B B ÑI œ % % " " C B" B B" B -13-

14 (d) Quociente: Cœ B B " Obtemos: e " B" I œl B l I l I B l C B" B % œ % % C B" B. Uso de grafos para calcular a propagação de erros O estudo de propagação de erros, no caso de operações complexas, faz-se mais facilmente recorrendo a grafos. Nestes, os nós representam as operações que se pretendem efectuar, começando de baixo para cima. Os primeiros nós, fazem a introdução dos valores das parcelas (, B C, D, etc). Os ramos, que unem os nós, transportam não só os valores dos resultados das operações, como também os erros relativos que vão sendo transportados. O cálculo dos erros relativos faz-se simplesmente anotando pesos nos ramos, que multiplicados pelos valores dos erros a transportar, dão o erro total. Nos nós, deve ser adicionado um erro relativo devido à operação em si. Os pesos nos ramos são obtidos facilmente das expressões para as operações elementares, obtidas acima. Assim, para um nó, onde chegam valores vindos dum nó Be um outro C, o ramo para o primeiro deve estar anotado com um peso BÎÐB CÑ, e o segundo com CÎÐB CÑ. Para um nó multiplicativo, ou divisão ƒ, os pesos são simplesmente ". Exemplo-a: propagação de erros no cálculo de?œðb CÑ D O resultado é: x/(x+y) x z y/(x+y) B C %? œ" Š Ð B C Ñ% B Ð B C Ñ% C % " " % D %, y u -14-

15 onde %" é o erro introduzido na soma, e % o erro introduzido na multiplicação. Este erros são tipicamente iguais à unidade de arredondamento do instrumento utilizado no cálculo (por exemplo, para arredondamento simétrico, com : algarismos signicativos, fica % œ% œ!& "!. : " œ& "! : ). " Exemplo-b: propagação de erros na soma de 4 números exactos, = œb B B B " $ % (x 1 +x 2 +x 3 )/(x 1 +x 2 +x 3 +x 4 ) (x 1 +x 2 )/(x 1 +x 2 +x 3 ) x 3 /(x 1 +x 2 +x 3 ) + + x 1 /(x 1 +x 2 ) x 2 /(x 1 +x 2 ) x 1 x 2 + x 3 x 4 s x 4 /(x 1 +x 2 +x 3 +x 4 ) O erro absoluto da soma, considerando que os números estão inicialmente desprovidos de erros (isto é, % B3 œ! ), é I= œð$b" $B B$ BÑ & "! $ % onde o instrumento usa $ algarismos na mantissa. Este resultado é importante porque mostra que os primeiros números a serem somados contribuem mais para o erro total do que os últimos. Por isso, as somas devem começar com os números mais pequenos. Algumas técnicas para evitar o cancelamento subtractivo "Î "Î " (a) ÐB "Ñ B œ "Î (para valores grandes de B) (1.16) ÐB "Ñ B"Î (b) sinðb % Ñ sin Bœ sin ÐB % ÎÑsin ÐÎÑ % (para % pequeno) (1.17) +, +, (esta fórmula vem de: sin+ sin,œ cos sin ) (c) sinb B B % B ' B œ" $x &x (x... Ð "Ñ Ð8 "Ñx B 8 8 " (para Bpequeno)(1.18) (por desenvolvimento assimptótico de sin B) -15-

16 B (d) ln ÐR BÑ ln ÐRÑ R B (para Bpequeno) (1.19) (do teorema do valor médio, 0Ð w B B 0ÐB " Ñ 0ÐB" Ñ Ñ B B ) " Problema inverso da propagação de erros O problema directo, considerado até aqui, pode ser enunciado assim: dada uma função (que representa um problema, ou um algoritmo), 0ÐBÑœ! 3, em que cada B3está afectado dum erro I3, determinar o efeito destes I3sobre o erro do resultado 0: 8 `0?0 Ÿ I œ! l `B l Q I œ" (1.20) O problema inverso é saber qual a precisão requerida aos instrumentos (de medida, ou de cálculo), os I, para garantir determinada precisão ao resultado final, I (dado): `0 I! l `B l Q I œ" Este problema é indeterminado porque temos 8 incógnitas (os I 3 ) mas uma só inequação. A sua resolução necessita de hipóteses adicionais, sendo usual adoptar algum dos seguintes critérios: (i) erros iguais: I" œi œþþþœi8 medidas com o mesmo instrumento). (por exemplo, se estas quantidades tiverem sido (ii) contribuições iguais, de cada parcela para o erro total, isto é: `0 I0 l `B lq I3 Ÿ 3 8 (1.21) (iii) contribuições ponderadas; como o anterior, mas cada parcela está afectada dum peso diferente, que dependerá do problema e da avaliação de quem o resolve. Estudo estatístico dos erros de arredondamento Devido às muitas majorações que se efectuam no estudo de propagação de erros, a estimativa obtida através da lei fundamental tende a ser conservativa. A compensação de erros em cáculos repetidos tende a provocar cancelamento dos mesmos e menor erro total. Uma abordagem diferente do problema de avaliar o erro dum cálculo complexo, é através de métodos estatísticos. Damos de seguida um só resultado, respeitante à estimativa dos erros numa soma de 8 parcelas. -16-

17 Se for assumida uma distribuição Gaussiana para os erros de arredondamento, pode ser demonstrado que o erro provável na soma de 8 números vem dado por:!þ'( Iº È 8 " È Ou seja, o erro provável é proporcional à raiz quadrada do número de parcelas, enquanto que o método anterior, com majorantes, dá uma estimativa do erro proporcional a 8. Para 8 grande, a diferença nestas duas estimativas do erro vai ser substancial. 1.5 Estabilidade Numérica e Acondicionamento Já se viu que alguns cálculos numéricos são muitos sensíveis a erros de arredondamento, enquanto outros são menos sensíveis (exemplo: cancelamento subtractivo) Diz-se que um cálculo é numericamente instável se erros nos valores iniciais forem aumentados (amplificados) pelo cálculo, de forma que o erro final é muito grande. A condição, ou número de condição, mede a sensibilidade de um determinado processo de cálculo à propagação e amplificação de erros. Em geral diz-se que um problema é bem condicionado se pequenas perturbações nos dados de partida provocarem pequenas perturbações nos resultados. Número de Condição RG duma função Seja um determinado cálculo representado por uma função 0ÐBÑ. Se expandirmos esta função em série de Taylor de primeira ordem em torno do valor aproximado -B obtemos 0ÐBÑ 0ÐBÑ - 0ÐBÑÐB BÑ w - -. Uma estimativa do erro relativo de 0 é dada por: 0ÐBÑ 0ÐBÑ - 0ÐBÑÐB BÑ w - - % 0 œ 0ÐBÑ - 0ÐBÑ - e como o erro relativo da variável indepedente (os dados) é obtemos % B œ B B - B- -17-

18 0ÐBÑB w - - % Š 0ÐBÑ - % 0 B. (1.22) Chama-se número de condição ( RG) à razão entre estes 2 erros relativos: 0ÐBÑB w - - RG œ l 0ÐBÑ - l Ê % œrg % B. (1.23) Se RG œ1, então o erro relativo da função é idêntico ao de B(não há amplificação de erros); Se RG ", então o erro relativo é amplificado; Se RG ", então o erro relativo é atenuado; Se RG ", então a função é mal-condicionada. Exemplo: 0ÐBÑœ tg ÐBÑ para BœÐ1 ÎÑÐ" % B Ñ Do gráfico desta função observa-se que 0ÐBÑ tende para mais infinito à esquerda de 1Î, e para menos infinito à direita. A derivada da função vai ser extremamente elevada perto de 1Î, e de acordo com a definição acabada de dar, espera-se que o número de condição seja elevado. Temos 0ÐBÑ w œ"îcos B B ÐBÑ, e RG œ œ tg Bcos B sin BcosB Para % Bœ!Þ" obtemos RG œ""þ, e para % Bœ!Þ!", RG œ"!", confirmando o mau condicionamento desta função, perto de 1Î - erros de 1 % em Bsão amplificados 100 vezes, resultando em erros de 100% no valor final de 0. Por analogia com esta definição, diz-se que um algoritmo representado por um funcional Cœ0ÐBÑ + ( 0+ é a função aproximada, e inclui possíveis erros) é estável se lb Bl - % Ê l0+ ÐBÑ 0ÐBÑl + - $, e instável no caso contrário, É preciso distinguir entre condicionamento de um problema e instabilidade de um método. Um problema é bem condicionado ou mal condicionado. Se for mal condicionado, não há algoritmo nenhum que consiga bons resultados. No entanto, um problema pode ser resolvido por diversos algoritmos, alguns estáveis e outros instáveis. Exemplo (relacionado com cancelamento subtractivo): O cálculo da diferença das raízes de dois números grandes consecutivos pode ser feito directamente, 0ÐBÑœÐB "Ñ "Î B "Î -18-

19 mas desta forma é instável, devido ao cancelamento subtractivo. Esta expressão pode ser escrita como 0ÐBÑ œ " "Î ÐB "Ñ B "Î e agora o cálculo já é estável, pois não surge a dificuldade inerente a subtracções de números quase iguais. Assim, este problema era bem condicionado, mas o algoritmo para o resolver podia ser estável ou instável. Vejamos qual o número de condição de 0ÐBÑ: e w " "Î " "Î 0ÐBÑœ ÐB "Ñ B B0w "Î ÐBÑ BÐÐB "Ñ B "Î Ñ RG œl 0ÐBÑ l œl "Î l œ ÐÐB "Ñ B"Î ÑÑ "Î "Î BÐÐBÑ ÐB "Ñ Ñ B "Î " œl œ para Bgrande. B"Î "Î "Î l ÐB "Ñ ÐÐB "Ñ B"Î "Î Ñ ÐB "Ñ Portanto o número de condição é até menor do que ", indicando atenuação dos erros, logo 0ÐBÑ é bem condicionada para Bgrande. 1.6 Erros de Truncatura, ou de Método. Séries de Taylor. Uma vez que o método numérico é uma aproximação do processo matemático exacto irão aparecer os chamados erros de truncatura. Um exemplo é a aproximação duma derivada pela conhecida fórmula de diferenças ascendentes: d????ð> 3 " Ñ?Ð> 3Ñ d >? > œ > > 3 " 3 Esta aproximação tem um erro de truncatura que pode ser estimado usando o desenvolvimento em série de Taylor, como se mostrará no fim desta secção. O método mais comum para aproximar uma função num ponto genérico + é o desenvolvimento em série de Taylor: 0ÐBÑ 0Ð+Ñ 0Ð+ÑÐB +Ñ w 0wwÐ+Ñ 0Ð8Ñ 2 Ð+Ñ 8 x ÐB +Ñ... 8x ÐB +Ñ ÞÞÞ (1.24) Exemplos comuns e muito úteis de aproximações assimptóticas de desenvolvimento em série de Taylor: -19-

20 / B B B$ œ" B x $x... B$ B& B( sin BœB $x &x (x... B B% B' cos Bœ" x %x 'x... " " B $ % œ" B B B B... " B " 8 8Ð8 "ÑB 8Ð8 "ÑÐ8 ÑB$ Ð" BÑ œ" 8B x $x... lbl " $ % ÐB "Ñ ÐB "Ñ ÐB "Ñ ln BœÐB "Ñ $ %...! BŸ B B$ B% ln Ð" BÑœB $ %... "ŸBŸ" Na prática não se podem reter todos os termos destas séries infinitas e assim é necessário truncá-las isto é, desprezar os termos acima duma dada ordem (daí o nome de erros de truncatura). A convergência desta série é estabelecida pelo teorema de Taylor: Se a função 0ÐBÑ tem derivadas contínuas de ordem 1,2,.., 8 " num intervalo fechado MœÒ+ß,Ó então para qualquer + em M, pode escrever-se: 8 0Ð5ÑÐ+Ñ 0ÐBÑœ! 5 Š 5x ÐB +Ñ V 5œ! 0 Ð8 "Ñ ÐÑ 0 8 " com: V8 " œ Ð8 "Ñx ÐB +Ñ onde B Me 0 œ0ðbñ Ò+BÓ,. 8 " (1.25) O valor de 0 depende de B. A V8 " chama-se o resto (ou o erro) de ordem 8 ". Este teorema permite estimar o erro entre a função 0 e a sua série de Taylor truncada. Para que a série de Taylor convirja é necessário e suficiente que o resto tenda para zero quando 8 tende para infinito, lim. É usual escrever o desenvolvimento de Taylor usando o passo 8p_ V 8 œ! 2œB +, ou seja: 8 0Ð5ÑÐ+Ñ 0ÐBÑœ! Š 25 5x V8 " 5œ! com (1.26) -20-

21 0 Ð8 "Ñ ÐÑ 0 V8 " œ 28 " œsð28 " Ð8 "Ñx Ñ 0 ÒBßB 2Ó. A ultima igualdade indica que o resto de ordem 8 " tende para zero com a mesma rapidez que 28 ", quando 2p!. Mais concretamente, indica que existe uma constante G tal que V8 " ŸG2 8 ", quando 2p!. Teorema para séries alternadas: uma série com termos alternadamente positivos e negativos, W œ! Ð "Ñ + œ (com + 0) 8 8 5œ" 5 " 5 " $ % 5 converge se lim + 8 œ!, 8p_. O erro de truncatura cometido é menor que a magnitude do primeiro termo omitido, isto é lw WlŸ+ onde W é a soma da série. 8 8 " Em aproximações sucessivas duma função, quando se passa do ponto ( 2œB B), diz-se que a aproximação é de: 3 " 3 B para B 3 3 " ordem zero, se: 0ÐB Ñ 0ÐBÑ 3 " 3 (a variação é constante) 1 a ordem, se: 0ÐB Ñ 0ÐBÑ 0ÐBÑÐB w BÑ (a variação é uma recta) 3 " " 3 2 a 0wwÐBÑ 3 ordem, se: 0ÐB3 " Ñ 0ÐBÑ 0ÐBÑÐB " BÑ 3 x ÐB3 " BÑ 3 etc... w (a variação é quadrática, a segunda derivada captura alguma curvatura) É fácil deduzir que um polinómio de grau 8 é representado exactamente por uma série de Taylor do mesmo grau, uma vez que o resto V œ! (pois a derivada 0Ð8 "Ñ 8 " œ0). Exemplo: aproximar a seguinte função em série de Taylor, com grau progressivamente maior, de B œ0 até Bœ1:! 0ÐBÑœ 0.1B% 0.15B$ 0.5B 0.25B 1.2 Neste caso podemos calcular os valores exactos, 0Ð!Ñœ1.2 e 0Ð"Ñœ0.2, e as derivadas necessárias: 0ÐBÑ w œ 0.4B$ 0.45B 1.0B ww ÐBÑ œ 1.2B 0.9B 1.0 0wwwÐBÑ œ 2.4B 0.9 0w@ ÐBÑ œ

22 Usando como passo 2œB B œ1, obtêm-se os valores dados na seguinte tabela (onde 0 -! denota a aproximação a 0 ), para várias ordens de aproximação: 8-0ÐB3 " Ñ - 0Ð"Ñ % [%] $ $ % Como 0ÐBÑ é um polinómio, a série de Taylor de ordem 4 representa-o exactamente. Neste exemplo o erro relativo decai muito devagar porque o passo escolhido é demasiado grande. Se o valor de 2 fosse sendo progressivamente dividido por 2, o erro na estimativa de 0Ð"Ñ iria decair depressa, mas seria necessário mais esforço de cálculo. Uso de série de Taylor para estimar erros de truncatura Para o caso da derivada duma velocidade?ð>ñ, que se considerou no ínico desta secção, a série de Taylor de primeira ordem é:?ð> Ñœ?Ð>Ñ?Ð>ÑÐ> w 3 " " >Ñ V 3 ou, explicitando a derivada, w?ð>ñœ 3?Ð> 3 " Ñ?Ð> 3Ñ V > > 3 " 3 > 3 " > 3 ww 3 " 3 como o resto de segunda ordem é dado por V œ?ðñð> 0 truncatura na avaliação da derivada fica: V?ÐÑ ww 0 IX œ > > œ Ð> 3 " >Ñ 3 3 " 3 sendo portanto de primeira ordem no passo no tempo. >ÑÎ, temos que o erro de -22-

23 Capítulo 2. Interpolação É o processo de obter valores a partir dos dados de uma tabela, ou de ajustar uma curva suave a um conjunto de pontos dados. Tem interesse por ser prática usual a interpolação de dados de tabelas (por exemplo, obter valores de entalpia em tabelas de vapor de água, para cálculos termodinâmicos). Existe também algum interesse teórico porque muitas fórmulas em diferenciação ou integração numérica são obtidas directamente da função interpoladora. Podemos distinguir dois tipos de problema relacionados com interpolação: 1- Standard: dados vários pontos, determinar uma curva que passe sobre todos eles. 2- Mínimos quadrados: os pontos estão afectados dum certo erro e pretende-se determinar a curva que passa suficientemente perto deles. Iremos aqui considerar apenas o primeiro tipo de interpolação. Neste tipo existem tantos parâmetros na determinação da curva interpoladora como pontos. No tipo 2, o número de parâmetros é tipicamente muito menor do que o número de pontos. Por exemplo, um conjunto grande de pontos pode estar distribuído de forma aleatória em torno duma certa linha recta mas o resultado será a equação dessa recta, que é descrita por somente dois parâmetros + e,, Cœ+B,. Definição do problema Para um conjunto de 8 " pontos dados ( B3, C3) 3œ!ßÞÞÞß8 determinar uma função interpoladora, suficientemente suave ( smooth), 0ÐBÑ, que coincida com os pontos dados. Os requisitos devem ser: 1. A função interpoladora coincide nos pontos dados, 0ÐBÑœC 3 3, 3œ!ßÞÞÞß8. 2. A função 0ÐBÑ deve ser fácil de calcular. 3. Deve também ser fácil de integrar e diferenciar. 4. Deve ainda ser linear nos parâmetros ajustáveis. 2.1 Interpolação com Polinómios de Lagrange Um tipo de função que respeita todos estes requisitos é um polinómio; assim 0ÐBÑ polinómio de grau 8(para 8 " pontos dados): vai ser um 8 0ÐBÑœ! + B4 œ + +B +B +B$... +B8 (2.1) 4œ! 4! " $ Pode-se demonstrar que para 8 " pontos distintos, o polinómio interpolador tem grau Ÿ8, existe e é único. Por exemplo, sendo dados 2 pontos não coincidentes, ( BßCÑ " " e ( B, C ), sabemos que por eles passará uma só recta, que podemos obter de: 8-23-

24 y y 2 y 1 x 1 x 2 x ou C C" B B" C C " C C œ B B Ê CœC" B B ÐB BÑ " " " " C C " C C " Cœ+! +B " com +! œc" B B B " e + " œ " B B " Um recta é um polinómio do primeiro grau ( pontos: grau igual a "œ"). Se escolhessemos outro ponto situado sobre essa recta, o polinómio interpolador continuava a ser dado pela mesma recta, apesar de termos agora 3 pontos. Por 3 pontos não colineares podemos fazer passar um polinómio quadrático (ou uma parábola; grau ) - deste modo, com 3 pontos podemos captar alguma curvatura. y y 3 y 2 y 1 x 1 x 2 x 3 x A questão que se põe, no caso geral, é como determinar de forma fácil e/ou computacionalmente eficiente os parâmetros + 4 do polinómio interpolador. A maneira mais directa de calcular esses parâmetros é escrever as 8 " equações que representam o facto do polinómio coincidir com os pontos dados: 8 + B œc para 3œ!ßÞÞÞß8. (2.2)! 4œ! Isto representa um sistema de 8 " equações lineares para as 8 " incógnitas + 4 que poderá ser resolvido por algum método numérico. No entanto esta operação é impossível de ser feita manualmente quando 8 é grande; na prática para 8 maior que cerca de 4 ou 5 torna-se necessário utilizar um computador. Um outro factor que impede esta abordagem é que a matriz deste sistema é particularmente mal-condicionada impossibilitando de todo a resolução correcta para mais de 7 pontos (os erros de arredondamento serão ampliados de forma catastrófica). -24-

25 Uma abordagem diferente é construir polinómios P 5 tais que: 8 0ÐBÑœ! PÐBÑ C 5œ! 5 5 (2.3) Estes PÐBÑ 5 são designados polinómios de Lagrange de grau 8. Como estes polinómios não dependem de C, podemos fazer sucessivamente Cœ1 e Cœ0 para 6Á3, vindo: PÐBÑ 4 3 œ$ 34 (2.4) onde $ 34 é o delta de Kronecker ( $ 34 œ1 se 3œ4, e $ 34 œ! se 3Á4). Deste modo os PÐBÑ 4 vão ser polinómios de grau 8 com zeros em BœB!, B",..., B4 ", B4 ",..., B8, e iguais a 1 para BœB 4. Devem portanto ter a seguinte forma: PÐBÑ 4 œgðb BÑÐB BÑ 4! "... ÐB B4 " ÑÐB B4 " Ñ... ÐB BÑ 8 [ÐBÑ 8 œg 4 onde [ÐBÑœ ÐB B Ñ ÐB BÑ 5 4 5œ! (2.5) A constante G é obtida pela condição de normalização PÐB Ñœ", vindo: G œ " 4 4! 4 " " 4 4 " ÐB B ÑÐB B Ñ ÐB B ÑÐB B Ñ ÐB B Ñ Podemos finalmente escrever os polinómios de Lagrange da seguinte forma compacta: PÐBÑ œ 5 4Á5 8 ÐB B4 Ñ ÐB B Ñ 5 4 (2.6) A lógica destes polinómios fica assim bem clara: se BœB4 ( 4Á5), o valor do polinómio é zero; se BœB 5 o valor do polinómio é 1. Deste modo a coincidência do polinómio com os pontos dados fica assegurada, ver Eqs. (2.3) e (2.4). Por outro lado é óbvio de (2.6) que estes polinómios têm ordem 8, e deste modo representam o único polinómio interpolador procurado. Exemplo para 2 pontos: Pela definição, os polinómos de Lagrange para este caso têm ordem 1, e são: PÐBÑœ " ÐB B Ñ ÐB B Ñ " -25-

26 PÐBÑœ ÐB B" Ñ ÐB B Ñ " O polinómio interpolador fica: ÐB B Ñ ÐB B" Ñ 0ÐBÑœ ÐB B Ñ C ÐB B Ñ C " " " Para BœB", obtemos 0ÐBÑœC " ", e para BœB, obtemos 0ÐBÑœC, de forma que o polinómio coincide com os pontos dados. É fácil também ver que o polinómio pode ser escrito na forma usual da interpolação linear: 0ÐBÑœ BC BC " " BC B" C BC B " " C B? C ÐB" C B " " CÑ "? B œ? B? C œc"? B ÐB BÑ. " onde? BœB B" e? CœC2 C". Fica assim demonstrado que a interpolação linear usual, ou os polinómios de Lagrange de primeira ordem, são equivalentes. Trata-se de chegar por duas vias diferentes ao mesmo resultado final. -26-

27 2.2 Polinómios Interpoladores de Newton Uma maneira diferente de obter o polinómio interpolador, mas que resulta no mesmo polinómio (relembra-se que este polinómio é único), sendo no entanto mais eficiente computacionalmente, é segundo o método de Newton. A lógica deste método é dada de seguida. A interpolação linear entre dois ponto B! e B" é denotada por 0" ÐBÑ (índice " indica primeira ordem, isto é, linear) e definida como: 0ÐBÑ 0ÐB! Ñ B B 0ÐB Ñ 0ÐB Ñ B B " "! œ! "! Esta expressão pode ser escrita como: 0" ÐBÑœ0ÐBÑ! Š 0ÐBÑ 0ÐB Ñ B B! ÐB BÑ! "! ou seja, com: e 0 ÐBÑœ,, ÐB BÑ "! "!, œ0ðbñ!! (2.7) 0ÐB" Ñ 0ÐB! Ñ, " œ B B, (2.8) "! representando uma diferença dividida de primeira ordem. De mesma forma, sendo dados 3 pontos, a interpolação quadrática pode-se escrever: 0 ÐBÑœ,, ÐB BÑ,ÐB BÑÐB BÑ! "!! " (2.9) Fazendo BœB! obtem-se,! œ0ðbñ!, como acima. Fazendo BœB ", deduz-se que," é também dado pelo mesmo valor anterior. O outro coeficiente vem então dado por, œ 0ÐB Ñ 0ÐB" Ñ 0ÐB" Ñ 0ÐB! Ñ B B " B" B! B B! (2.10) uma expressão semelhante aquela para, " (Eq. 2.8), sendo denominada de diferença dividida de segunda ordem. De notar que (2.10) pode ser obtido de (2.8) por recorrência. Em geral, a expressão do polinómio interpolador de ordem 8 será dada por: -27-

28 08 ÐBÑœ,!," ÐB BÑ!, ÐB BÑÐB BÑ! "..., 8ÐB BÑÐB BÑ! "... ÐB B8 " Ñ (2.11) com os coeficientes dados por:, œ0ðb Ñ!!, œ0òbßbó " "!, œ0òbßbßbó "! (2.12)..., œ0òb ßB ßÞÞÞßB Ó "! As diferenças divididas são obtidas pelas relações de recorrência: 0ÒB8ßB8 " ß..., BÓ 0ÒB " 8 " ßB8 ß..., BÓ! 0ÒB8ßB8 " ß..., BÓœ! B B (2.13) 8! A grande vantagem destas fórmulas sobre os polinómios de Lagrange é que, aqui, o polinómio vai sendo construído progressivamente, desde a ordem zero até à ordem adequada à aproximação pretendida, sendo acrescentados sucessivamente termos de ordem superior. Na interpolação de Lagrange, a passagem duma aproximação de ordem 8 para uma outra de ordem 8 " requer a construção completa dos polinómios. Com o método de Newton, basta acrescentar um termo adicional,, 8 " ÐB BÑ!... ÐB BÑ 8 (notando que parte deste estava já disponível, de forma que o seu cálculo é expedito). Isto é uma vantagem essencial, pois à partida não se sabe qual é a ordem de aproximação a ser utilizada num determinado problema. Uma vantagem adicional do método de Newton é a facilidade de se obter uma estimativa do erro, que é dada por: V œ0òb, B,..., BÓÐB BÑÐB BÑ... ÐB BÑ. (2.14) 8 8 " 8!! " Polinómios de Hermite Quando se pretende que o polinómio interpolador tenha uma suavidade maior do que a assegurada pelos polinómios de Lagrange, usam-se os polinómios de Hermite que satisfazem: LÐBÑœC 3 3 w w 3 3 LÐBÑœC (2.15) -28-

29 Isto é, o polinómio passa nos pontos dados e a sua derivada também coincide com os valores da derivada dada. Para 8 " pontos, 3œ!,..., 8, existem 8 condições dadas, e o polinómio de Hermite é de grau 8 ". Os polinómios de Hermite são construídos do seguinte modo: 8 0ÐBÑœ! ÐY ÐBÑC ZÐBÑ CÑ w œ! (2.16) com: e w 5 4 YÐB Ñœ$ ZÐB Ñœ! YÐB Ñœ! 5 4 e ZÐB w 4Ñœ$ 5 45 (2.17) de forma a respeitar as condições (2.15). É fácil verificar que as seguintes funções polinomiais satisfazem estes requisitos: w YÐBÑœÒ" PÐBÑÐB BÑÓPÐBÑ ZÐBÑœÐB BÑPÐBÑ (2.18) Como, para 8 " pontos, PÐBÑ é de grau 8PÐBÑ, será de grau 8, e portanto Y e Z 5 serão de grau 8 " como pretendido. O erro do polinómio interpolador de Hermite é dado por: Ð8Ñ 0 C ÐÑ CÐBÑ 0ÐBÑœ Ð8Ñx J ÐBÑ com B! Ÿ0 ŸB8. (2.19) NOTA: para obter as relações (2.18) é conveniente introduzir os polinómios de primeiro grau VÐBÑe WÐBÑ, tais que: 5 5 YÐBÑ œvðbñ PÐBÑ ZÐBÑ œwðbñ PÐBÑ Para que as condições (2.17) sejam satisfeitas, é preciso (relembrando que PÐB Ñœ$ ): YÐB Ñœ$ ÊVÐB ÑPÐB Ñœ$ ÊVÐB Ñœ"

30 w w w YÐB Ñœ! Ê VÐB ÑPÐB Ñ V ÐB ÑPÐB ÑP ÐB Ñœ! w w 5 5 ÊVÐBÑ œ P ÐB Ñ 5 w De onde se deduz que: VÐBÑœÒ" PÐBÑÐB BÑÓ (polinómio do primeiro grau). As condições (2.17) para Z 5 dão: ZÐB Ñœ!ÊWÐB ÑPÐB Ñœ!ÊWÐB Ñœ! w w w ZÐB Ñœ$ ÊWÐB ÑPÐB Ñ W ÐB ÑPÐB ÑP ÐB Ñœ$ ÊWÐB w Ñœ" 5 5 De onde se deduz que: WÐBÑœÐB BÑ 5 5 (polinómio do primeiro grau). Exemplo: Determinar o polinómio de Hermite que passa nos pontos: B! œ " C! œc œ"! B œ " C œ$cw œ " " " w " Temos % condições, de modo que o polinómio interpolador vai ser de grau Ÿ$. Chamando 2œB B. Os polinómios de Lagrange, e as suas derivadas, para este caso são: PÐBÑœ! PÐBÑœ " B B", PÐBÑ w B B B œ! "! B B "! B B!, PÐBÑœ w B B B "! " B B "! Os polinómios Y e Z, de (2.18), vêm: B B! B B" Y! ÐBÑ œð" ÑÐ Ñ œ " B B B B % Ð BÑÐB "Ñ "! "! B B" B B! Y" ÐBÑ œð" ÑÐ Ñ œ " B B B B % Ð BÑÐB "Ñ "! "! B B ZÐBÑ! œðb BÑÐ! Ñ œ " B B " % ÐB "ÑÐB "Ñ "! -30-

31 B B ZÐBÑ " œðb BÑÐ " Ñ œ " B B! % ÐB "ÑÐB "Ñ "! e o polinómio interpolador fica: " 0ÐBÑœ! ÐY ÐBÑC ZÐBÑ CÑœ w " Ð BÑÐB "Ñ 5œ! $ " " % % % Ð BÑÐB "Ñ ÐB "ÑÐB "Ñ ÐB "ÑÐB "Ñ Este polinómio está representado na figura que se segue, sendo anotados com bolas os pontos dados. Para Bœ!, o valor interpolado é: 0Ð!Ñœ " $ " " % % % œ$. 4 f(x) x Splines Alguns inconvenientes das interpolações de Lagrange e Hermite são: - difíceis de programar de forma eficiente; - dão azo a grandes erros quando o número de pontos é grande; - as versões segmentadas ( piecewise) produzem descontinuidades nos nós de junção. Em geral, um spline WÐBÑ é um polinómio de ordem 7, definido entre dois pontos, e pertencente a G7 " (funções contínuas, com derivadas contínuas até ordem 7 " ). -31-

32 Deste modo, uma curva spline cúbica é definida pelos seguintes critérios: (1) é segmentada e em cada segmento ( BßB 3 3 " ) é uma cúbica (ordem $ em B); (2) passa por todos os pontos dados ( BßCß3œ"ßÞÞÞß8 3 3 ); (3) tanto a " + como a + derivada são contínuas no nós B. O critério (1) implica que a + derivada é linear entre os nós 3e 3 ", devendo ter a forma: 3 B 0wwÐBÑ œ 0ww 3 " B ÐBÑ 0ww B B3 ÐB Ñ 3 3 B B 3 " 3 " 3 B3 " B3 Ð Ñ Ð Ñ (2.20) ww ww onde os valores de 0 ÐBÑ 3 e 0 ÐB3 " Ñ não são ainda conhecidos. Integrando esta equação duas vezes obtemos uma equação cúbica com 2 constantes de integração que são obtidas das condições: 0ÐBÑ œc ÐB ÑœC 3 3 " 3 " (2.21) O resultado é o spline 0ÐBÑ 3, no intervalo 3entre os nós B3e B3 " : $ ÐB 0ÐBÑ œ 0ww 3 " BÑ 3 ÐBÑ 0ww ÐB BÑ 3 $ 3 '? B ÐB3 " Ñ 3 '? B3 (2.22) C3? B3 C Š 0ww 3 "? B3 B ' ÐBÑ ÐB BÑ Š B ' 0ww? 3 3 " ÐB Ñ ÐB BÑ 3? 3 " 3 3 ww com?b3œb3 " B3. Os 0 ÐBÑ 3 podem agora ser obtidos pela continuidade das primeiras derivadas, 0ÐB Ñœ0 ÐB Ñ. (2.23) 3 w 3 " i w " Derivando o spline (2.22), obtemos ÐB BÑ 3 " ÐB BÑ 3 C3 " C3? B3 0ÐBÑ œ 0 ÐBÑ 0 ÐB Ñ Ð0 ÐB Ñ 0 3 3? B 3 " B B ' 3 " 3? 3? 3 ÐBÑÑ 3 w ww ww ww ww e portanto as primeiras derivadas nos nós vêm: 0ÐB w Ñœ0wwÐB Ñ? B3 C3 " C3? B3 Ð0wwÐB Ñ 0wwÐBÑÑ 3 3 " 3 "? B ' 3 " 3 3 e -32-

33 0w ÐB Ñœ 0wwÐB Ñ? B3 " C3 C3 "? B3 " Ð0wwÐB Ñ 0wwÐB ÑÑ 3 " 3 " 3 "? B ' 3 3 ". 3 " Aplicando a condição (2.23) e re-agrupando termos, obtemos o seguinte sistema tri-diagonal que pode ser facilmente resolvido com o algoritmo TDMA de forma a se obter os 0wwÐBÑ:? B3? B 3? B3 "? B3 " C3 C3 " C3 " C3 ' 0wwÐBÑ $ 0wwÐB Ñ ' 0ww 3 3 " ÐB3 Ñœ? B 3 "? B3 (2.24) Faltam 2 condições que são determinadas por condições fronteira. Em geral, as condições nos extremos para as segundas derivadas podem ser escritas como: 3 e ww ww " 0 ÐB Ñœ - 0 ÐB Ñ ww ww 8 8 " 0 ÐB Ñœ - 0 ÐB Ñ Se se escolher - œ0, tem-se a condição denominada natural ; se - œ" tem-se a condição periódica. Tem interesse observar que para espaçamentos uniformes?b, a equação tridiagonal a (de Eq. 2.24) fica simplesmente: Š 0 ÐB Ñ %0 ÐBÑ 0 ÐB Ñ œ C 3 " C C 3 3 "? B " ww ww ww ' 3 " 3 3 " (2.25) mostrando que a matriz é estritamente diagonal superior (a soma em valor absoluto dos elementos duma linha é menor que o elemento da diagonal). Para espaçamento uniforme o erro é dado por: 0ÐBÑ CÐBÑ?B % *' C Ð3@Ñ 7+B (2.26) sendo semelhante ao erro para polinómios de Lagrange cúbicos. -33-

34 Captítulo 3. Raízes de Equações Não-Lineares O problema é resolver a equação genérica 0ÐBÑœ! (3.1) onde 0 é uma função qualquer da variável independente B, sendo a raíz representada por B V. 3.1 Métodos que Enquadram a Raíz Bissecção Arranja-se um intervalo inicial Ò+ß,Ó que contenha a raíz. Esse intervalo vai ser sucessivamente dividido a metade de forma a que os intervalos cada vez mais pequenos contenham sempre a raíz. Este processo iterativo é parado uando o erro (estimado como igual a metade dum intervalo) for suficientemente pequeno. y f(x) a k x k b k x O algoritmo é dado por: (i) Escolher + 5 e, 5 tal que 0Ð+ 5Ñ0Ð, 5ÑŸ!, para 5œ! (contador de iterações). (Nota + + e,,, sendo Ò+ß,Óo intervalo inicial)!! + 5, 5 (ii) Fazer B 5 œ (iii) Se 0Ð+ 5Ñ0ÐB5Ñ! fazer + 5 " œ+ 5,, 5 " œb5 e ir para (ii) Se 0Ð+ 5Ñ0ÐB5Ñ! fazer + 5 " œb 5,, 5 " œ, 5 e ir para (ii) Se 0Ð+ Ñ0ÐB Ñœ! fazer B œb ( a raíz está encontrada). 5 5 V 5 l, 5 + 5l l, +l O erro na iteração Ð5Ñé dado por I5 Ÿ œ (3.2) 5 " -34-

35 B B 5 5 " Uma aproximação para o erro relativo é: % + l B l (3.3) 5 É possível mostrar que o erro relativo verdadeiro é menor que o indicado por esta aproximação, isto é % Ÿ % +, e portanto o uso de % + como critério de paragem é seguro. O número de iterações necessário para satisfazer uma determinada tolerância I >96 (absoluta) pode ser obtido de:, + lbv Bl I 5 >96 Ê I>96 Ê 5 " 5 log Ð, +Ñ log ÐI>96Ñ log (3.4) Falsa Posição (ou interpolação linear) Neste método a raiz também está enquadrada ente + e, mas não se usa o ponto médio, como na bissecção, para a aproximar. Uma melhor aproximação é obtida através do ponto de intersecção da recta que une 0Ð+Ñ e 0Ð,Ñ com o eixo dos B. Isto equivale a aproximar localmente a função 0ÐBÑ por uma recta. Designando essa aproximação à raíz por B 5 (que, na iteração 5, está entre + e, ), temos que a equação da recta é dada por: 5 5 0Ð+ Ñ 0Ð, Ñ B + 5 œ B, Esta equação é óbvia fazendo a equivalência de triângulos (ver figura). y f(b k ) a k x k f(a k ) x R b k x Deste modo a equação de iteração é: B œ, 5 5 0Ð, 5ÑÐ, 5 + 5Ñ 0Ð, Ñ 0Ð+ Ñ 5 5 (3.5) Na iteração seguinte devem escolher-se novos +/, de forma a enquadrar a raiz, tal como no método da bissecção. Faz-se notar que a fórmula de iteração é simétrica em + e,, podendo escrever-se genericamente como -35-

36 0Ð, 5Ñ 0Ð+ 5Ñ B5 œ, 5 0Ò+, Ó + 5 5, œ 5 0Ò+ 5,, 5Ó (3.6) onde 0Ò+ß,Ó Ð0Ð+Ñ 0Ð,ÑÑÎÐ+,Ñ œ0ò,ß+ó são as diferenças divididas. Na maior parte dos casos este método converge mais depressa que o método da bissecção, sendo também de primeira ordem, com um erro dado por: 0ÐB w VÑ I5 " œð" ÑI5 com ÒBVß,Ó (3.7) 0ÐÑ w 0 0 Em casos particulares a convergência pode ser mais lenta. Observe-se que o intervalo Ò+ ß,Ó 5 5 pode não diminuir ao longo das iterações, como acontecia com o método da bissecção. O típico é este intervalo tender para um valor constante. Exemplo: 0ÐBÑœB"! " y a 1 a 2 1 b k x Começando com +œ 0 e,œ"þ$, observa-se que os, 5 ficam fixos em 1.3, e os + 5 se vão aproximando muito lentamente da solução, B œ". V Método de Ridders Este método é uma variante mais poderosa do método da falsa posição. O algoritmo segue os seguintes passos: (i) A raiz está entre ÒB" ßBÓ (ii) Calcula-se 0ÐB$ Ñcom B$ œðb" BÑÎ (iii) Factoriza-se a função exponencial que transforma a função resíduo numa recta: 0ÐBÑ 0ÐB ÑeU 0ÐBÑe U œ! " $ Ê e U œ 0ÐB$ Ñ signð0ðb ÑÑÉ0ÐB$ Ñ 0ÐB" Ñ0ÐB Ñ 0ÐB Ñ -36-

37 (iv) Aplica-se a falsa posição a 0ÐB" Ñ, 0ÐB$ Ñe e 0ÐB Ñe (em vez de se aplicar a 0ÐB" Ñ0ÐB, Ñ0ÐB, $ Ñ, como no método habitual): sign Ð0ÐB" Ñ 0ÐB ÑÑ0ÐBÑ $ B% œb$ ÐB$ BÑ " É 0ÐB Ñ 0ÐB Ñ0ÐB Ñ U $ " Este algoritmo possui duas propriedades vantajosas: (1) enquadra a solução, uma vez que B% ÒB" ßBÓ ; (2) é quadrático (erro a decair como I µi 5 ), mas em cada passo necessita de 2 5 " cálculos da função (para 0ÐB$ Ñ e 0ÐB% Ñ). Faz-se notar que nos métodos anteriores (e também em alguns que se seguem), por cada iteração, era somente necessário efectuar 1 avaliação da função, a parte mais demorada do cálculo. 3.2 Métodos que não Enquadram a Raiz (Métodos Abertos) Iteração simples ou de ponto fixo A equação a resolver 0ÐBÑœ! é escrita na forma Bœ1ÐBÑ, e o processo iterativo é: U B œ1ðb Ñ 5 " 5 (3.8) Um critério de paragem possível consiste em controlar o erro relativo aproximado, % + œlðb5 " BÑÎB 5 5 " l % >96.. O erro na iteração 5 " é obtido subtraindo BV œ1ðbvñ da equação acima: BV B5 " œ1ðbvñ 1ÐB5Ñœ1ÐÑÐB w 0 V BÑ 5 sendo proporcional ao erro na iteração anterior, I ŸQI 5 " 5 (3.9) com constante assimptótica: w Qœl1ÐÑl " 0 ( 0 lb Bl) (3.10) V 5 e portanto a convergência é linear (método de primeira ordem). Para garantir convergência, a constante assimptótica Q (um majorante da primeira derivada de 1ÐBÑ) tem de ser menor do que 1, em valor absoluto. Se assim não for, i.e. se Q ", a equação (3.9) mostra que os erros crescem com as iterações conduzindo a divergência do processo iterativo. A escolha da função 1ÐBÑ deve ser tal que essa condição seja garantida. -37-

38 Exemplo de aplicação: resolver a equação 0ÐBÑœe Bœ!, usando como ponto inicial Bœ!. B y y=x y=exp(-x) A equação escreve-se na forma iterativa Bœ1ÐBÑ como e, e é fácil ver que l1ðbñlœ w e B " para B!. Começa-se o processo iterativo com B! œ! e prossegue-se até se terem 6 algarismos significativos. Os resultados são dados na seguinte tabela. Após 27 iterações temos um valor para a raiz de , com 6 algarismos que já não variam. Sendo conhecida a raiz exacta ( ) é possível calcular o erro relativo verdadeiro % >, que é dado na terceira coluna. O erro relativo aproximado é dado na quarta coluna (obtido de % + œl1ðbñl w % w B + anterior, com 1œe œ ). it 0 B 0 % > 1 % x R ( $ $ $ ' ( x Bœ B -38-