ÁREA DE INTERESSE: TEORIA ECONÔMICA E MÉTODOS QUANTITATIVOS

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1 ÁREA DE INTERESSE: TEORIA ECONÔMICA E MÉTODOS QUANTITATIVOS TÍTULO: ECONOMETRIA NÃO PARAMÉTRICA E EXPECTATIVA DE VIDA NOS MUNICÍPIOS DO NORDESTE: UMA APLICAÇÃO DO ESTIMADOR DE NADARAYA-WATSON. Palavras-Chaves: Regressão Não-Paramétrca, Estmador de Nadaraya-Watson; Expectatva de Vda; Regão Nordeste. AUTORES: ANDREI GOMES SIMONASSI DOUTORANDO EPGE/FGV-RJ Endereços: smonass@fgvmal.br Escola de Pós-Graduação em Economa Fundação Getulo Vargas Praa de Botafogo 90, o andar CEP: Fax: (55-2) tel.: (55-2) JOSÉ OSWALDO CÂNDIDO JÚNIOR DOUTORANDO EPGE/FGV-RJ ECONOMISTA DO IPEA Endereços Eletrôncos: canddo@fgvmal.br j.oswaldo@uol.com.br Endereço Resdencal: Rua Tonelero, 68 Apto.603 Copacabana Ro de Janero-RJ CEP: Tel.: (02) Escola de Pós-Graduação em Economa Fundação Getulo Vargas Praa de Botafogo 90, o andar CEP: Fax: (55-2) tel.: (55-2)

2 RESUMO: Os métodos de Econometra Não-Paramétrca anda são pouco explorados como ferramenta de análse econômca. Esse artgo traz uma breve dscussão sobre regressão não-paramétrca, em partcular, sobre o estmador de Nadaraya-Watson. Aplca-se tal técnca para nvestgar a relação entre a esperança de vda ao nascer e as condções sóco-econômcas dos muncípos nordestnos a partr de varáves como renda per capta, proporção de domcílos com água canalzada e proporção de domcílos com acesso a rede de esgotos. Identfca-se que as varáves renda per capta, proporção de domcílos com água encanada e com acesso à rede geral de esgotos apresentam uma relação postva com a esperança de vda ao nascer em regressões com apenas um regressor. Entretanto, com exceção da varável água encanada, a relação entre as varáves não obedece uma relação de lneardade e a aplcação de uma técnca nãoparamétrca mostra-se superor aos modelos de regressão paramétrca tradconas. Os resultados também apontam que os benefícos socas na expectatva de vda são mas elevados nos muncípos menos desenvolvdos. ABSTRACT The methods of Nonparametrc Econometrc are yet to be more exploted as an nstrument of economc analyss. Ths artcle reles on a short dscusson about nonparametrc regresson, focusng prmarly the Nadaraya-Watson estmator. The method s appled to a relatonshp between lfe expectancy and the socal economc envronment n the Brazl northeastern muncpaltes, takng the followng set of explanatory varables: per capta ncome, rato of resdences that has pped water and rato of proporton of resdences provded by sewerage system. The emprcal evdences dentfy a postve correlaton between each explanatory varable and lfe expectancy. That s no evdence toward lnearty n the models, what demonstrate the superorty of a nonparametrc technque over a parametrc one. The results also pont out that socal benefts n lfe expectancy are hgher for the less development muncpaltes.

3 ECONOMETRIA NÃO PARAMÉTRICA E EXPECTATIVA DE VIDA NOS MUNICÍPIOS DO NORDESTE: UMA APLICAÇÃO DO ESTIMADOR DE NADARAYA-WATSON. INTRODUÇÃO Andre Gomes Smonass José Oswaldo Cânddo Júnor A dferença básca entre um modelo de regressão paramétrco e um outro não paramétrco envolve a quantdade de suposções que o econometrsta estara dsposto a fazer e qual peso ele pretende dar aos dados por s mesmos. Dado um conjunto de pontos ( X ) n, Y, amostra aleatóra de duas varáves X e = Y, o nteresse consste em nvestgar uma relação funconal entre as duas varáves na forma: Y = g( ) + ε (.) X Um modelo paramétrco assume que g (X ) é uma função desconhecda em um número fnto de parâmetros, de forma que a tarefa consstra em estmar os parâmetros desconhecdos, por exemplo por mínmos quadrados. Em um modelo não paramétrco a relação funconal entre as duas varáves vve num espaço de funções muto mas amplo: assummos apenas que g (X ) esta num espaço de funções segundo algumas restrções convenentes e buscamos uma combnação lnear de funções desse espaço que aproxmem bem g (X ). Dentre os métodos utlzados para regressão não paramétrca destacam-se o método de Kernel e o va Splnes. Este prmero será objeto deste trabalho, que consstrá em uma aplcação smples do estmador de núcleo conhecdo como estmador de Nadaraya-Watson. Neste contexto este artgo pretende nvestgar, a partr de um contexto não paramétrco, a relação entre a esperança de vda ao nascer nos muncípos nordestnos e suas condções sóco-econômcas. A pror, espera-se que essas condções determnem as taxas de mortaldade por dade e conseqüentemente as expectatvas de vda nos muncípos. Para representar essas condções sóco-econômcas foram utlzados um ndcador de renda, que determna a capacdade das famílas terem acesso aos bens que preservaram suas condções de vda, tas como acesso a médcos, remédos, almentação adequada, lazer, dentre outros e dos ndcadores representatvos das condções socas dos muncípos: o percentual de domcílos com acesso à água canalzada e o percentual de domcílos com rede geral de nstalações santáras, ou seja, com acesso a uma rede geral de esgoto. O IBGE, segundo dados do Censo 2000, dentfcou.59 muncípos brasleros com taxas de mortaldade nfantl acma de 40 óbtos por ml nascdos vvos. Desses muncípos, 93,7% estão na Regão Nordeste, o que certamente rá afetar a varável esperança de vda ao nascer, que é determnada pelo conjunto das taxas de mortaldade

4 por dade. Por outro lado, anda segundo o Censo de 2000, dos 0,4 mlhões de domcílos brasleros com esgotamento santáro nadequado, cerca de 4 mlhões estão na regão Nordeste. Além dsso, em 2000 a taxa naconal de mortaldade de cranças menores de cnco anos que moram em domcílos adequados (aqueles com água e esgoto) fo de 26, por ml. Já para as cranças que resdem em domcílos nadequados, a taxa atngu a 44,8 por ml, alcançando o patamar de até 66,8 por ml no Nordeste. Portanto, esses dados sugerem que os ndcadores de acesso à água canalzada e esgotamento santáro têm mportânca crucal sobre as expectatvas de vda da população, sobretudo da nfantl. E esse grau de mportânca se acentua da regão Nordeste que apresentou os mas elevados ndcadores de mortaldade nfantl. 2. ASPECTOS METODOLÓGICOS O método de Kernel é um método não paramétrco para estmação de curvas de densdade onde cada observação é ponderada pela dstânca em relação a um valor central, o núcleo. A déa é centrar em cada observação x, onde se quera estmar a densdade, uma janela b, que defne a vznhança de x e os pontos que pertencem a estmação. Tal método pode ser generalzado, entretanto, para o caso de uma regressão, bastando para sso observarmos que no modelo descrto em (.), o que procuramos é uma estmatva (X ) E Y X = x. Pela defnção de esperança condconal temos: g de ( ) ( X x) E Y y f ( x, y) dy = = y f ( y x) dy = (.2) Y / X f( x) Pelo método do Kernel para estmação de densdades, já temos uma estmatva para o denomnador da expressão ndcada em (.2): onde: b Janela ou parâmetro de suavzação; N : Número de observações K: Núcleo. N X x fˆ ( x) = K (.3) Nb = b Para estmar o numerador dessa expressão note que podemos estmar a densdade conjunta através de um núcleo multplcatvo, de forma a obter: fˆ b N = N ( x, y) K ( X x) K ( Y y) = b Para obter o valor esperado de Y, a regressão não-paramétrca pondera os valores observados de Y, os Y, pela dstânca de cada X em relação à x. Ademas, regressão de Nadaraya-Watson utlza uma ponderação normalzada para Y que soma um e que atrbu maor peso sobre a observação Y, se o correspondente regressor X está mas próxmo de x. Substtundo a densdade conjunta por essa estmatva no numerador da equação (.2) e fazendo algumas manpulações algébrcas temos o estmador de Nadaraya-Watson: b2

5 N Y K ( ) = N = b x = Wb ( x). N N X x = K N = X x onde W b ( x) é o peso sobre a observação Y tal que: fˆ Y (.4) b Wb K = b N Kb = ( X x) ( X x) Tomando algumas suposções não muto restrtvas sobre a dstrbução dos erros ε e sobre a dervabldade e contnudade das funções de densdade de X e Y, mostra-se que o estmador proposto em (.3) converge em probabldade para a função g (X ) do modelo descrto em (.), desde que b 0 e Nb quando N. Ademas, destaca-se que exstem váras funções núcleo, dentre as quas a utlzada no processo de estmação pelo programa EasyReg (Berens, 2004) é a Gaussana (Normal) descrta abaxo: fˆ N, com; Ω ˆ = N ( ) = k ( ) ( ) x Nb 2π det Ωˆ.exp ( X x) Ωˆ ( X x) N ( X X )( X X ) = 2Nb N X = X = N e onde k refere se à dmensão do vetor X. 2. Seleção da Janela Vale ressaltar que um aspecto delcado desse método de regressão é a escolha do parâmetro de suavzação b. Assm como no método de Kernel para estmação de densdades, o parâmetro de suavzação tem uma nfluênca decsva na estmatva obtda da função de regressão. Não há, entretanto, nenhum método ótmo para a escolha de b, sendo comum na lteratura a utlzação de métodos de valdação cruzada ou de mnmzação do erro de predção. Caso se conheça a verdadera relação entre Y e X, ou seja, a verdadera função g (X ), então se pode escolher a janela ótma tal que mnmze o erro quadrátco médo ou o erro quadrátco médo ntegrado. A escolha de b depende do tamanho da amostra N e do que denomnamos constante de proporconaldade c, então o valor ótmo de b que mnmza o erro quadrátco médo ntegrado é dado por: 2 ;

6 b N = cn k +4 No programa EasyReg (Berens,2004) para o caso de densdades unvaradas (k=) ou bvaradas (k=2) a regra ótma determna c=.06 para k= e c= para k=2. Então, caso não se explcte será usado c=, que é o valor de default do programa e está adequado para as regressões não-paramétrcas realzadas neste trabalho. 3. BASE DE DADOS O processo de estmação será conduzdo a partr de dados cross secton do peadata (IPEA) para os muncípos do Nordeste no ano de As varáves são assm defndas : Esperança de Vda ao Nascer Número de anos de vda que uma pessoa nascda hoje esperara vver, se todas as taxas de mortaldade por dade se mantvessem dêntcas ao que são hoje. Domcílos com água canalzada rede geral: Porcentagem da população que vve em domcílos com água canalzada. Domcílos com nstalações santáras rede geral (esgoto) Porcentagem da população que vve em domcílos com nstalações adequadas de esgoto, ou seja, com nstalações santáras não compartlhadas com outro domcílo e com escoamento através de fossa séptca ou rede geral de esgoto. Renda per Capta Razão entre o somatóro da renda per capta de todos os ndvíduos e o número total desses ndvíduos. A renda per capta de cada ndvíduo é defnda como a razão entre a soma da renda de todos os membros da famíla e o número de membros da mesma. Valores expressos em reas de º de agosto de RESULTADOS 4. Estmação da Densdade da Varável Esperança de Vda ao Nascer A estmação da densdade da varável Esperança de Vda ao Nascer (EVN) usando a função núcleo normal é mostrada na fgura abaxo. A estmação da densdade não-paramétrca é comparada com uma densdade normal. A constante de proporconaldade da janela escolhda fo gual a e o formato da densdade sugere uma assmetra à dreta, sugerndo que observações próxmas a 70 anos apresentam baxa freqüênca na amostra, dado que a méda do nono quantl é de 67,92. A dstrbução anda apresenta dos pcos de freqüênca em torno de 59 anos e 63 anos.

7 FIGURA ESTIMATIVAS DE DENSIDADE DA ESPERANÇA DE VIDA AO NASCER Na fgura 2 a densdade da EVN é estmada alterando-se a regra de seleção da janela em que a constante de proporconaldade sobe para 3,978, segundo uma regra de bolso, que leva em consderação o desvo-padrão da amostra. A densdade nãoparamétrca passa a apresentar um formato smétrco e em relação à normal e gera-se uma curtose, orunda de caudas grossas. Isto sugere uma concentração de valores (em relação à dstrbução normal) nos extremos de baxa e alta esperança de vda ao nascer. FIGURA 2 ESTIMATIVAS DA DENSIDADE DA ESPERANÇA DE VIDA AO NASCER JANELA MAIS AMPLA

8 4.2 Regressões não Paramétrcas a) Com um regressor Nesta seção serão mplementadas regressões não-paramétrcas da varável Esperança de Vda ao Nascer (EVN) usando apenas um regressor (varável econômca ou socal). A seleção da janela utlzará o método de valdação cruzada. Todas as regressões seram comparadas com modelo lnear estmado por Mínmos Quadrados Ordnáros. A tabela resume as estatístcas de ajustamento das três regressões do modelo não- paramétrco e do modelo lnear (OLS). Em termos de R-Quadrado, o modelo nãoparamétrco apresentou um ajustamento superor ao de OLS, quando a varável ndependente é a renda per capta. Para demas as regressões, os dos modelos geraram valores próxmos em termos de R-Quadrado. Tabela Muncípos da Regão Nordeste - Ano: 2000 Esperança de Vda ao Nascer - Varável Dependente Varável Independente Renda Per-Capta % Domíclos com Água Encanada % Domíclos com Rede de Esgoto. Modelo Não Paramétrco Constante de proporc. da Janela Desvo-Padrão,07E+0,29E+0,33E+0 R-Quadrado 0,238 0,086 0, Modelo Lnear - OLS Desvo-Padrão 3,37E+00 3,58E+00 3,65E+00 R-Quadrado 0,866 0,0924 0,0547 As próxmas três fguras comparam grafcamente as lnhas de regressão do modelo não-paramétrco com o modelo lnear de OLS. A regressão não-paramétrca sugere que os efetos da renda per capta sobre a varável EVN apresentam um comportamento não-lnear, sobretudo para os níves ntermedáros e elevados de renda. Para níves de renda mas baxos, a regressão não paramétrca sugere que o efeto da renda é postvo, mas margnalmente decrescente. O modelo lnear aproxmara razoavelmente bem nestes casos, no entanto para níves elevados de renda o ajustamento do modelo lnear é precáro. FIGURA 3 ESPERANÇA DE VIDA AO NASCER x RENDA PER CAPITA

9 A regressão de EVN contra a proporção de domcílos com água encanada em termos não-paramétrcos tem comportamento extremamente próxmo daquele prevsto pelo modelo lnear. Ambos modelos sugerem um mpacto postvo desse ndcador sobre a varável EVN, ao longo de toda amostra (fgura 3). Já na regressão de EVN contra a proporção de domcílos com rede de esgoto, a estmatva não-paramétrca é próxma da lneardade quando essa proporção vara de 0 a 50%, ou seja, espera-se um crescmento da EVN se há um aumento da proporção de domcílos com rede geral de esgotos. Por outro, lado, a partr de valores acma de 50% o comportamento nãoparamétrco sugere uma função osclatóra para representar a relação entre as duas varáves. FIGURA 4 ESPERANÇA DE VIDA AO NASCER x DOMICÍLIOS COM ÀGUA ENCANADA FIGURA 5 ESPERANÇA DE VIDA AO NASCER x DOMICÍLIOS COM REDE GERAL DE ESGOTOS

10 b) Com dos regressores À medda que se aumenta a dmensonaldade das varáves explcatvas, é necessáro que se aumente exponencalmente o número de observações para que as regressões não-paramétrcas desempenhem uma análse estatstcamente sgnfcante ( maldção da dmensonaldade ). No entanto, para o caso de dos regressores e com um número de observações (787) relatvamente elevado, pode-se anda utlzar esse método de estmação. Com dos regressores, geram-se gráfcos de superfíces que rão mostrar os efetos das varáves renda per capta e proporção de domcílos com água encanada (Água) ou rede de esgoto (Esgoto) sobre a varável EVN. A prmera regressão reúne renda per capta e a varável Água, como varáves explcatvas para EVN. O gráfco de superfíce permte algumas nterpretações nteressantes. Mantda fxa a varável Água, o efeto da renda per capta sobre o EVN é postvo e próxmo do lnear, para níves de renda mas baxos. A partr de níves ntermedáros e elevados de renda o efeto da renda é aproxmada por uma função degrau. Portanto, o efeto margnal da renda é nulo para trechos de valores ntermedáros e de valores elevados para varável Água. Smlarmente à varável renda per capta, a varável Água tem efeto postvo e próxmo da lneardade sobre EVN nos seus níves mas baxos. Posterormente, a EVN rá crescer rapdamente com valores elevados de Água. Além dsso, para níves ntermedáros de renda o efeto margnal de Água sobre EVN é decrescente, voltando a ser crescente nos níves mas elevados de renda per capta. Conclusvamente, é possível aumentar a Esperança de Vda ao Nascer quando se parte de níves muto baxos para níves ntermedáros de renda per capta e da proporção de domcílos com água encanada. No entanto, os ganhos em EVN novamente serão sgnfcatvos para níves mas elevados de renda e com a quase unversalzação dos domcílos com acesso à água canalzada. O valor médo da EVN cresce exponencalmente para aumento nos níves mas baxos de renda per capta e da proporção de domcílos com rede geral de esgoto. Esse efeto é smlar ao encontrado na regressão anteror. Por outro lado, os efetos da varável Esgoto sobre EVN permanecem postvos para níves ntermedáros dessa varável. No entanto, para níves mas elevados de renda, o efeto margnal da varável esgoto é nulo. Além dsso, para trechos ntermedáros e elevados da varável esgoto, o efeto margnal da renda sobre a EVN é nulo, apresentando degraus entre esses níves. Portanto, a Esperança de Vda ao Nascer nos muncípos nordestnos pode crescer substancalmente com elevação da proporção de domcílos com acesso a rede de esgoto, e esse efeto somente rá cessar nos muncípos com níves mas elevados de renda per capta, onde provavelmente o ganho com EVN está assocada a outras varáves não tratadas neste trabalho, como a volênca e doenças típcas dos centros urbanos maores, que na amostra detém maor renda per capta.

11 FIGURA 6 ESTIMATIVAS DA MÉDIA DA ESPERANÇA DE VIDA AO NASCER COMO FUNÇÃO DA RENDA PER CAPITA E DA PROPORÇÃO DE DOMICÍLIOS COM ÁGUA ENCANADA.

12 FIGURA 7 ESTIMATIVAS DA MÉDIA DA ESPERANÇA DE VIDA AO NASCER COMO FUNÇÃO DA RENDA PER CAPITA E DA PROPORÇÃO DE DOMICÍLIOS COM REDE GERAL DE ESGOTO. 5. CONCLUSÕES O método de regressão não-paramétrca é nstrumental útl para nvestgações empírcas sobretudo nos casos em que não se tem uma defnção teórca precsa sobre as relações entre as varáves. Portanto, nestes casos, assumr uma especfcação lnear e/ou hpóteses comportamentas smplfcadoras sobre o comportamento das varáves pode ser extremamente restrtvo. Na econometra não-paramétrca os dados devem falar por eles mesmos e com sso ganha-se em termos de flexbldade funconal e poder predtvo. Segundo o IBGE, as maores taxas de mortaldade nfantl se concentram nos muncípos da regão Nordeste, o que nfluenca dretamente a esperança de vda ao nascer. No exercíco nvestgado neste trabalho dentfca-se que as varáves renda per capta, proporção de domcílos com água encanada e com acesso à rede geral de esgotos apresentam uma relação postva com a esperança de vda ao nascer em regressões com apenas um regressor para os muncípos nordestnos. No entanto, com exceção da varável água encanada a relação entre as varáves não obedece uma relação de lneardade ao longo da amostra, o que sugere um ajustamento da regressão não-

13 paramétrca superor aos modelos de de regressão lnear de Mínmos Quadrados Ordnáros. Portanto, os efetos de aumento de renda, de acesso à rede de esgoto e de água canalzada podem produzr ganhos sgnfcatvos na esperança de vda ao nascer nos muncípos onde há uma carênca maor desses servços. As estmações sugerem que polítcas públcas destnadas a realzar nvestmentos nesses muncípos mas carentes devem obter um retorno socal elevado em termos de expectatva de vda. Quando utlzam-se dos regressores, os resultados contnuam, de um modo geral, sugerndo que ganhos na esperança de vda ao nascer ocorrem para níves baxos e ntermedáros das varáves explcatvas. Os gráfcos de superfíce permtem comparar os ganhos margnas de uma varável explcatva, enquanto se mantém a outra constante, o que em termos de polítca públca é um ndcatvo de como os recursos podem ser combnados de forma ótma para alcançar o objetvo de aumento de esperança de vda dos muncípos nordestnos. Por exemplo, a expectatva de vda nos muncípos nordestnos pode crescer substancalmente com elevação da proporção de domcílos com acesso à rede de esgoto, e esse efeto somente rá cessar nos muncípos com níves mas elevados de renda per capta. É provável que os ganhos margnas para expectatva de vda em muncípos de mas elevada renda per capta estejam assocados a outras varáves não tratadas neste trabalho, tas com a volênca nos centros urbanos ou ncdênca de doenças típcas dessas cdades. Desse modo, as polítcas públcas devem ter um foco dferencado para grupos de muncípos com níves de renda per capta dferencados (baxos x elevados, por exemplo), quando se trata de elevar a esperança de vda ao nascer. Portanto, essas são possíves extensões do trabalho e que foram dentfcadas graças ao método de estmação não-paramétrca. 6. REFERÊNCIAS Berens, H. J. (994), Topcs n Advanced Econometrcs, Cambrdge, UK, Cambrdge Unversty Press. Berens, H. J. (2004), "EasyReg Internatonal", Department of Economcs, Pennsylvana State Unversty, Unversty Park, PA Epanechnkov, V. A. (969) Nonparametrc Estmates of a Multvarate Probablty Densty. Theory of Probablty and ts Applcatons Flôres, R. G. (2005) Notas de Aula do Curso de Econometra II. IBGE. Censo Demográfco de IBGE. (2005). Pesqusa de Informações Báscas Muncpas MUNIC- Suplemento de Meo Ambente. Ipea Data: Dados Macroeconômcos e Regonas. Kweon, Y. e Kockelman, K. (2004). Nonparametrc Regresson Estmaton of Household VMT. Paper Submtted for Presentaton & Publcaton at the 2004 Annual Meetng of the Transportaton Research Board.

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