A Matemática dos Labirintos
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- Aurélio Rijo da Rocha
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1 1/ 113 Escola de Verão de Matemática, Estatística e Computação A Matemática dos Labirintos José Félix Costa 1 1 Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa de julho
2 As Pontes de Königsberg 2/ As Pontes de Königsberg
3 As Pontes de Königsberg 3/ 113 Leonhard Euler
4 As Pontes de Königsberg 4/ 113 Leonhard Euler
5 As Pontes de Königsberg 5/ 113 Leonhard Euler
6 As Pontes de Königsberg 6/ 113 Problema das pontes de Königsberg
7 As Pontes de Königsberg 7/ 113 Problema das pontes de Königsberg
8 As Pontes de Königsberg 8/ 113 Problema das pontes de Königsberg C A D B Figura: Problema das pontes de Königsberg. O problema concreto (à esquerda) é resolvido depois de interpretado por grafo modelo (à direita).
9 As Pontes de Königsberg 9/ 113 Poema de William Thomas Tutte ( ) Poema de homenagem a Euler Some citizens of Koenigsberg Were walking on the strand Beside the river Pregel With its seven bridges spanned. O, Euler come and walk with us Those burghers did beseech We ll walk the seven bridges o er And pass but once by each. It can t be done then Euler cried Here comes the Q. E. D. Your islands are but vertices, And all of odd degree.
10 As Pontes de Königsberg 9/ 113 Poema de William Thomas Tutte ( ) Poema de homenagem a Euler Some citizens of Koenigsberg Were walking on the strand Beside the river Pregel With its seven bridges spanned. O, Euler come and walk with us Those burghers did beseech We ll walk the seven bridges o er And pass but once by each. It can t be done then Euler cried Here comes the Q. E. D. Your islands are but vertices, And all of odd degree.
11 As Pontes de Königsberg 9/ 113 Poema de William Thomas Tutte ( ) Poema de homenagem a Euler Some citizens of Koenigsberg Were walking on the strand Beside the river Pregel With its seven bridges spanned. O, Euler come and walk with us Those burghers did beseech We ll walk the seven bridges o er And pass but once by each. It can t be done then Euler cried Here comes the Q. E. D. Your islands are but vertices, And all of odd degree.
12 As Pontes de Königsberg 9/ 113 Poema de William Thomas Tutte ( ) Poema de homenagem a Euler Some citizens of Koenigsberg Were walking on the strand Beside the river Pregel With its seven bridges spanned. O, Euler come and walk with us Those burghers did beseech We ll walk the seven bridges o er And pass but once by each. It can t be done then Euler cried Here comes the Q. E. D. Your islands are but vertices, And all of odd degree.
13 As Pontes de Königsberg 10/ 113 Os teoremas de Euler Leonhard Euler, letter of April this type of solution bears little relationship to mathematics, and I do not understand why you expect a mathematician to produce it, rather than anyone else, for the solution is based on reason alone, and its discovery does not depend on any mathematical principle. Leonhard Euler, letter of March 1736 This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in that neither geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficient to solve it.
14 As Pontes de Königsberg 10/ 113 Os teoremas de Euler Leonhard Euler, letter of April this type of solution bears little relationship to mathematics, and I do not understand why you expect a mathematician to produce it, rather than anyone else, for the solution is based on reason alone, and its discovery does not depend on any mathematical principle. Leonhard Euler, letter of March 1736 This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in that neither geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficient to solve it.
15 As Pontes de Königsberg 10/ 113 Os teoremas de Euler Leonhard Euler, letter of April this type of solution bears little relationship to mathematics, and I do not understand why you expect a mathematician to produce it, rather than anyone else, for the solution is based on reason alone, and its discovery does not depend on any mathematical principle. Leonhard Euler, letter of March 1736 This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in that neither geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficient to solve it.
16 As Pontes de Königsberg 11/ 113 Os Teoremas de Euler Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G é euleriano se e só se G é conexo e todo o vértice de G é par. Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G é atravessável se e só se G é conexo e tem exatamente dois vértices ímpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano de G começa num dos vértices ímpares e termina no outro dos vértices ímpares. Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G com 2n vértices ímpares pode ser descrito por n atalhos disjuntos. (Note-se que o número de vértices ímpares é necessariamente par.)
17 As Pontes de Königsberg 11/ 113 Os Teoremas de Euler Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G é euleriano se e só se G é conexo e todo o vértice de G é par. Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G é atravessável se e só se G é conexo e tem exatamente dois vértices ímpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano de G começa num dos vértices ímpares e termina no outro dos vértices ímpares. Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G com 2n vértices ímpares pode ser descrito por n atalhos disjuntos. (Note-se que o número de vértices ímpares é necessariamente par.)
18 As Pontes de Königsberg 11/ 113 Os Teoremas de Euler Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G é euleriano se e só se G é conexo e todo o vértice de G é par. Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G é atravessável se e só se G é conexo e tem exatamente dois vértices ímpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano de G começa num dos vértices ímpares e termina no outro dos vértices ímpares. Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G com 2n vértices ímpares pode ser descrito por n atalhos disjuntos. (Note-se que o número de vértices ímpares é necessariamente par.)
19 As Pontes de Königsberg 11/ 113 Os Teoremas de Euler Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G é euleriano se e só se G é conexo e todo o vértice de G é par. Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G é atravessável se e só se G é conexo e tem exatamente dois vértices ímpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano de G começa num dos vértices ímpares e termina no outro dos vértices ímpares. Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer) Um multigrafo G com 2n vértices ímpares pode ser descrito por n atalhos disjuntos. (Note-se que o número de vértices ímpares é necessariamente par.)
20 As Pontes de Königsberg 12/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
21 As Pontes de Königsberg 13/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
22 As Pontes de Königsberg 14/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
23 As Pontes de Königsberg 15/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
24 As Pontes de Königsberg 16/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
25 As Pontes de Königsberg 17/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
26 As Pontes de Königsberg 18/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
27 As Pontes de Königsberg 19/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
28 As Pontes de Königsberg 20/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
29 As Pontes de Königsberg 21/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
30 As Pontes de Königsberg 22/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
31 As Pontes de Königsberg 23/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
32 As Pontes de Königsberg 24/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
33 As Pontes de Königsberg 25/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
34 As Pontes de Königsberg 26/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
35 As Pontes de Königsberg 27/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
36 As Pontes de Königsberg 28/ 113 Os teoremas de Euler v 0 C v 1 u 1 = v i u 0 u n v 2 u2 C 1 u 3 u l
37 As Pontes de Königsberg 29/ 113 As pontes do rio Madison
38 Plantas e Redes 2. Plantas e Redes 30/ 113
39 Plantas e Redes 31/ 113 Plantas, vide [Cha85] D E A B C R D E A B C R
40 Plantas e Redes 32/ 113 Plantas, vide [Cha85] D E A B C R D E A B C R
41 Plantas e Redes 33/ 113 Plantas, vide [Cha85] A B C D E F R
42 Plantas e Redes 34/ 113 Plantas, vide [Cha85] A A B C D E F 1 1 R B C E F R D
43 Plantas e Redes 35/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
44 Plantas e Redes 36/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
45 Plantas e Redes 37/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
46 Plantas e Redes 38/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
47 Plantas e Redes 39/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
48 Plantas e Redes 40/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
49 Plantas e Redes 41/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
50 Plantas e Redes 42/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
51 Plantas e Redes 43/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
52 Plantas e Redes 44/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
53 Plantas e Redes 45/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
54 Plantas e Redes 46/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
55 Plantas e Redes 47/ 113 Plantas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
56 Plantas e Redes 48/ 113 Doodleling Casa do Pai Natal Quais das seguintes figuras podem ser desenhadas sem levantar a caneta do papel, iniciando o desenho num dos vértices e sem repetir arestas?
57 Plantas e Redes 49/ 113 Doodleling
58 Plantas e Redes 50/ 113 Casa do Pai Natal
59 Plantas e Redes 51/ 113 Casa do Pai Natal
60 Plantas e Redes 52/ 113 Casa do Pai Natal
61 Plantas e Redes 53/ 113 Casa do Pai Natal
62 Plantas e Redes 54/ 113 Casa do Pai Natal
63 Plantas e Redes 55/ 113 Casa do Pai Natal
64 Plantas e Redes 56/ 113 Casa do Pai Natal
65 Plantas e Redes 57/ 113 Casa do Pai Natal
66 Plantas e Redes 58/ 113 Casa do Pai Natal
67 Plantas e Redes 59/ 113 Casa do Pai Natal
68 Plantas e Redes 60/ 113 Casa do Pai Natal
69 Plantas e Redes 61/ 113 Casa do Pai Natal
70 Plantas e Redes 62/ 113 Casa do Pai Natal
71 Plantas e Redes 63/ 113 Doodling a lot : Pitágoras, Maomé e Tutte (vide [BC87])
72 Plantas e Redes 64/ 113 Quantas vezes é necessário levantar a caneta do papel? (Vide [BC87])
73 65/ 113 Labirintos 2. Labirintos
74 Labirintos 66/ 113 Catedral de Notre Dame d Amiens
75 Labirintos 67/ 113 Catedral de Notre Dame d Amiens
76 Labirintos 68/ 113 Catedral de Notre Dame de Chartres
77 Labirintos 69/ 113 Labirinto de Hever Castle
78 Labirintos 70/ 113 Labirinto de New Hampton
79 Labirintos 71/ 113 Labirinto de Wiltshire (Somerset)
80 Labirintos 72/ 113 Labirinto de Reignac sur Indre (França)
81 Labirintos 73/ 113 Labirinto de New Hampton
82 Labirintos 74/ 113 Labirinto de New Hampton (vide [BLW06])
83 75/ 113 O Labirinto de Dédalo 4. O Labirinto de Dédalo
84 O Labirinto de Dédalo 76/ 113 O labirinto de Dédalo
85 O Labirinto de Dédalo 77/ 113 O Labirinto de Dédalo
86 O Labirinto de Dédalo 78/ 113 O labirinto de Dédalo
87 O Labirinto de Dédalo 79/ 113 Labirinto de Creta
88 O Labirinto de Dédalo 80/ 113 O labirinto de Dédalo
89 O Labirinto de Dédalo 81/ 113 O labirinto de Dédalo
90 O Labirinto de Dédalo 82/ 113 O labirinto de Dédalo
91 O Labirinto de Dédalo 83/ 113 O labirinto de Dédalo
92 O Labirinto de Dédalo 84/ 113 O labirinto de Dédalo
93 O Labirinto de Dédalo 85/ 113 O labirinto de Dédalo na Eneida de Virgílio Eneida, Livro V, trad. João Franco Barreto Como já na alta Creta o monstruoso Labirinto se diz teve tecido Um caminho tão cego, e portentoso, Com outros mil caminhos dividido; Que era assaz intrincado e duvidoso Error, e tão confuso e incompreendido, Que aos que entravam nele era impossível Sair daquela confusão terrível:
94 O Labirinto de Dédalo 86/ 113 Labirinto da Quinta da Regaleira em Sintra
95 O Labirinto de Dédalo 87/ 113 O labirinto de Dédalo nas Metamorfoses de Ovídio Metamorfoses, Livro VIII, trad. Paulo Farmhouse Alberto Celebérrimo pelo seu talento na arte da arquitetura, Dédalo encarrega-se da obra, baralha os sinais e faz o olhar enganar-se em retorcidas curvas e contracurvas de corredores sem conta. Tal como na Frígia o Meandro nas ĺımpidas águas se diverte fluindo e refluindo num deslizar que confunde, e, correndo ao encontro de si próprio, contempla a água que há-de vir, e, voltando-se ora para nascente, ora para o mar aberto, empurra a sua corrente sem rumo certo, assim enche Dédalo os inumeráveis corredores de equívocos. A custo ele próprio logrou voltar à entrada: de tal modo enganador era o edifício.
96 O Labirinto de Dédalo 88/ 113 Labirinto de Avaris
97 O Labirinto de Dédalo 89/ 113 Labirinto romano
98 O Labirinto de De dalo Labirinto romano 90/ 113
99 O Labirinto de Dédalo 91/ 113 Labirinto moderno (vide [BC87])
100 O Labirinto de Dédalo 92/ 113 Pesquisa em profundidade Pesquisa em profundidade Seja G um grafo conexo e v 0 um vértice de G. A árvore de cobertura de G obtida por pesquisa em profundidade constrói-se da seguinte maneira: 1 Toma-se u = v 0 como vértice corrente da pesquisa e n = 0. T 0 é a árvore que contém somente o vértice v 0. 2 Escolhe-se, caso exista, um vértice v n+1 ainda não incluído em T n adjacente a u; toma-se para T n+1 a árvore que expande T n com a nova aresta v n v n+1 ; toma-se u := v n+1 e n := n Repete-se o passo 2 até que o vértice corrente u não seja adjacente a nenhum vértice de G ainda não visitado. Se a árvore obtida T n cobre todo o grafo, então a pesquisa termina; se não, retrocede-se para o vértice corrente anterior, i.e. toma-se u = v n 1 e n := n + 1; repete-se o passo 2.
101 O Labirinto de Dédalo 93/ 113 Pesquisa em profundidade v 0
102 O Labirinto de Dédalo 94/ 113 Pesquisa em profundidade v 0 v 1 e 0
103 O Labirinto de Dédalo 95/ 113 Pesquisa em profundidade v 2 v 3 e 2 e 1 v 0 v 1 e 0
104 O Labirinto de Dédalo 96/ 113 Pesquisa em profundidade v 4 v 2 v 3 e 3 e 2 e 4 e 1 v 6 v 5 v 0 v 1 e 5 e 0 e 6 v 7
105 O Labirinto de Dédalo 97/ 113 Pesquisa em profundidade v 4 v 2 v 3 e 3 e 2 e 4 e 1 v 6 v 5 v 0 v 1 e 5 e 6 e 7 e 0 v 7 v 8 e 8 v 9
106 O Labirinto de Dédalo 98/ 113 Pesquisa em profundidade v 4 v 2 v 3 e 3 e 2 e 4 e 1 v 6 v 5 v 0 v 1 e 5 e 6 e 7 e 0 v 7 v 8 v 12 e 8 e 9 e 11 v 9 v 10 v 11 e 10
107 O Labirinto de Dédalo 99/ 113 Pesquisa em profundidade v 4 v 2 v 3 e 3 e 2 e 4 e 1 v 6 v 5 v 0 v 1 e 5 e 6 e 7 e 0 v 7 v 8 v 13 v 12 e 8 e 9 e 12 e 11 v 9 v 10 v 11 e 10
108 O Labirinto de Dédalo 100/ 113 Pesquisa em largura Pesquisa em largura Seja G um grafo conexo e v 0 um vértice de G. A árvore de cobertura de G obtida por pesquisa em largura constrói-se da seguinte maneira: 1 Toma-se u = v 0 como vértice corrente da pesquisa, n = 0 e m = 1. T 0 é a árvore que contém somente o vértice v 0. 2 Escolhe-se, caso exista, um vértice v n+1 ainda não incluído em T n adjacente a u; toma-se para T n+1 a árvore que expande T n com a nova aresta v n v n+1 ; toma-se n := n Repete-se o passo 2 até que não existam mais vértices não visitados adjacentes a u. Se a árvore obtida T n cobre já todo o grafo, então a pesquisa termina; se não, toma-se o primeiro dos vértices v m que ainda não foi vértice corrente e toma-se m := m + 1; repete-se o passo 2.
109 O Labirinto de Dédalo 101/ 113 Pesquisa em largura v 0
110 O Labirinto de Dédalo 102/ 113 Pesquisa em largura v 3 v 2 e 2 e 1 v 4 v 0 v 1 e 3 e 0 e 4 v 5
111 O Labirinto de Dédalo 103/ 113 Pesquisa em largura v 6 v 3 v 2 e 5 e 2 e 1 v 4 v 0 v 1 e 3 e 0 e 4 v 5
112 O Labirinto de Dédalo 104/ 113 Pesquisa em largura v 6 v 3 v 2 e 5 e 2 e 1 v 7 v 4 v 0 v 1 e 6 e 3 e 0 e 7 e 4 v 8 v 5
113 O Labirinto de Dédalo 105/ 113 Pesquisa em largura v 6 v 3 v 2 e 5 e 2 e 1 v 7 v 4 v 0 v 1 e 6 e 3 e 0 e 7 e 4 v 8 v 5 e 8 v 9
114 O Labirinto de Dédalo 106/ 113 Pesquisa em largura v 6 v 3 v 2 e 5 e 2 e 1 v 7 v 4 v 0 v 1 e 6 e 3 e 0 e 9 e 7 e 4 v 10 v 8 v 5 e 8 v 9
115 O Labirinto de Dédalo 107/ 113 Pesquisa em largura v 6 v 3 v 2 e 5 e 2 e 1 v 7 v 4 v 0 v 1 e 6 e 3 e 0 e 9 e 7 e 4 v 10 v 8 v 5 e 10 e 11 e 8 v 11 v 12 v 9
116 O Labirinto de Dédalo 108/ 113 Pesquisa em largura v 6 v 3 v 2 e 5 e 2 e 1 v 7 v 4 v 0 v 1 e 6 e 3 e 0 e 9 e 7 e 4 v 10 v 8 v 5 v 13 e 10 e 11 e 8 e 12 v 11 v 12 v 9
117 O Labirinto de Dédalo 109/ 113 Labirinto de Gopal R S T U J K L M N P Q D E F G H A C B
118 O Labirinto de Dédalo 110/ 113 Labirinto de Gopal K R S U Q L J D M TG P A F E NC H B
119 O Labirinto de Dédalo 111/ 113 Algoritmo dos labirintos Algoritmo dos labirintos 1 Sempre que chegar a um vértice não visitado, siga pela aresta ainda não percorrida nele incidente que lhe aprouver; 2 Sempre que, por aresta ainda não percorrida, chegar a vértice já visitado ou a vértice de grau 1 (beco sem saída), recue pela mesma aresta até ao vértice precedente; 3 Sempre que por aresta já percorrida chegar a vértice já visitado, siga por nova aresta, se esta existir; 4 Uma aresta já percorrida duas vezes não pode mais ser mais usada.
120 O Labirinto de Dédalo 112/ 113 O tema do labirinto na poesia (vide compilação em [Fer08]) Miguel Torga, Diário VII Perdi-me nos teus braços, alamedas Onde o tempo caminha e descaminha. Pus a força que tinha Na instintiva defesa De encontrar a saída, a liberdade. Mas agora Teseu era um poeta, E Ariane a poesia, o labirinto. Desajudado, Só me resta cantar, deixar marcado O pânico que sinto.
121 O Labirinto de Dédalo 113/ 113 Bibliography I [BC87] W. W. Rouse Ball and H. S. M. Coxeter. Mathematical Recreations and Essays. Dover Publications, Inc., New York, thirteenth edition, 1892, 1974, [BLW06] N. L. Biggs, E. K. Lloyd, and R. J. Wilson. Graph Theory Clarendon Press, Oxford, 1976, 1986, [Cha85] Garry Chartrand. Introduction to Graph Theory. Dover Publications, Inc., New York, 1977, [Fer08] José Ribeiro Ferreira. Labirinto e Minotauro, Mito de Ontem e de Hoje. UI&D Centro de Estudos Clássicos e Humanísticos da Universidade de Coimbra, 2008.
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