UNIVERSIDADE DA MADEIRA Departamento de Gestão e Economia. MICROECONOMIA I 1º Semestre 2005/2006. CADERNO DE EXERCÍCIOS Resolução

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1 UNIVERSIDADE DA MADEIRA Departaento de Gestão e Econoia MICROECONOMIA I º Seestre 5/6 CADERNO DE EXERCÍCIOS Resolução

2 A. TEORIA DO CONSUMIDOR A.. A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR A... Defina os seguintes conceitos: a) Cabaz de bens Cobinação de quantidades consuíveis de u conjunto de bens. b) Conjunto de possibilidades de consuo Conjunto de cabazes que pode ser coprados pelo consuidor nu dado oento, gastando parcial ou totalente o seu rendiento onetário. c) Restrição orçaental Lugar geoétrico dos cabazes que pode ser coprados se todo o rendiento do consuidor for gasto. d) Custo de oportunidade de u be uantidade do outro be que é preciso sacrificar para consuir ais ua unidade do be. e) Be nuerário Be e relação ao qual é edido o preço do outro be e o rendiento do consuidor. A... Considere u consuidor que enfrenta os preços e e dispõe de u rendiento M. ara cada u dos casos seguintes, deterine, analítica e graficaente, o conjunto de possibilidades de consuo e a restrição orçaental. a) ; ; M CC: RO: b) ; 5 ; M 5 CC: 5 5 RO: 5 5 c) 5 ; ; M 5 CC: 5 5 RO: 5 5 d), 5 ; 6 ; M 5 CC:,5 6 5 RO:,5 6 5 e) ; 7 ; M 56 CC: 7 56 RO: 7 56

3 A... O que acontece à restrição orçaental se: a) o preço do be X duplica e o do be Y triplica A restrição orçaental torna-se enos inclinada e desloca-se para a esquerda b) o preço do be X quadruplica e o do be Y triplica A restrição orçaental torna-se ais inclinada e desloca-se para a esquerda c) abos os preços duplica A restrição orçaental desloca-se paralelaente para a esquerda d) abos os preços duplica e o rendiento triplica A restrição orçaental desloca-se paralelaente para a direita e) abos os preços triplica e o rendiento duplica A restrição orçaental desloca-se paralelaente para a esquerda f) o preço do be X e o rendiento duplica A restrição orçaental roda para a direita A... O aulo te ua esada de euros que lhe é paga pelos pais. A esada é gasta eclusivaente e jantares e bilhetes de teatro. a) Identifique foralente o conjunto de possibilidades de consuo do aulo, sabendo que cada jantar custa euros e cada bilhete de teatro custa euros. j b b) No ês de Agosto, o aulo será visitado pelos avós que lhe dão sepre euros. Durante esse ês, o aulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8 espectáculos de teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a restaurantes ais baratos, onde o preço édio da refeição é 5 euros? ual é, neste caso, o custo de oportunidade para o aulo de ir a u jantar? M (,b) ( 8,8) 8 8 > (,b) ( 8,8) < j não consegue consuir este cabaz. j consegue consuir este cabaz. 5 CO,5 c) Dadas as fracas notas obtidas nos eaes, os pais do aulo reduzira-lhe a esada para etade e proibira-no de ir a ais de jantares no ês de Agosto (os avós não sabe de nada). Identifique o conjunto de possibilidades de consuo do aulo nesta situação. M 6 6 j b 6 j

4 d) Suponha que o aulo pode beneficiar de % de desconto no preço dos bilhetes de teatro se adquirir o cartão jove. Sabendo que o cartão jove custa euros, deverá o aulo coprá-lo? M 6 5 b,9 9 j 9b 5 j Se adquirir o cartão, o aulo epande o seu conjunto de possibilidades de consuo, logo deverá adquiri-lo. e) Descreva o conjunto de possibilidades de consuo do aulo se o cartão jove lhe possibilitar entradas gratuitas e espectáculos de teatro, adicionalente ao desconto encionado na alínea anterior. M j 9b 68 j 7,5 j f) Durante as férias, o aulo fez u curso de Verão no qual tirou uito boas notas. Consequenteente, os pais decidira levantar-lhe as restrições aos jantares e subsidiare-lhe as idas ao teatro e 5 euros; no entanto, antivera a redução da esada. Aditindo que o aulo não te cartão jove, deterine de novo, analítica e graficaente, o conjunto de possibilidades de consuo do aulo. M 6 6 b 5 5 j 5b 6 A..5. Suponha que a Copanhia de Telefones cobra ensalente euros, o que garante aos seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer inutos de chaadas por ês. Chaadas acia deste liite paga u preço unitário de 5 cêntios. a) Escreva e represente a restrição orçaental de u consuidor representativo que te u rendiento M para gastar e inutos de chaadas telefónicas (T) e nu be copósito (C) cujo preço é igual a.,5t C M,5,5T C M 5,5 M C C M

5 chaadas telefónicas be copósito b) Suponha que a copanhia pondera duas alterações relativas à actual estrutura de preços: i) diinuir para o núero de inutos oferecidos co a assinatura ensal; ou ii) auentar o preço unitário de chaadas acia dos inutos para cêntios. Represente graficaente as restrições orçaentais correspondentes às duas alternativas.,5t C M,5,5T C M 7 i) M C C M,T C M,,T C M ii) M C C M RO inicial alternativa i alternativa ii chaadas telefónicas be copósito A..6. A Ana consoe dois bens, carne (C) e peie (), abos adquiridos no hiperercado, aos preços c 7, 5 e. ara chegar ao hiperercado, a Ana deora 5 inutos. ara adquirir ua unidade de C deora ais 5 inutos, enquanto que para a aquisição de ua unidade de são precisos ais inutos. a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha da Ana, aditindo que esta te u rendiento de 5 unidades onetárias e o seu tepo disponível para copras é de horas e eia.

6 7,5c p 5 5c p 6,5 5 7,5c p 5 5c p 5 peie 5 RO RT 5,5 5 7,5,5 5 7,5,5 carne b) A Ana uda de eprego e passa a não ter tepo para ir ao hiperercado. No seu prédio, há u superercado onde a Ana não perde tepo e enfrenta os preços c e p 5. Neste novo eprego, alé das 5 unidades onetárias, a Ana recebe unidades de C, que não pode vender. Represente o novo conjunto de possibilidades de escolha. c 5p 5 5 p 5 c 5p 55 p 8 peie 6,5 5 7,5,5 5 7,5,5 5 7,5 carne A..7. O João vive e Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde te ua pastelaria. O seu rendiento diário é de euros, que é gasto e bilhetes de autocarro (B) e outros bens (X). O bilhete custa euros, enquanto o preço dos outros bens é de euros. O tepo útil diário do João é de 8 horas, gastando hora na viage Santana Funchal e 5 inutos para adquirir ua unidade de X. a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha do João. b b 8 b) Nos dias e que o João te de fazer ais de duas viagens entre Santana e o Funchal, fica de au huor. Isto reduz-lhe a clientela da pastelaria, 5

7 iplicando ua redução do rendiento diário do João de 5 euros. Represente de novo o conjunto de possibilidades de escolha. b se b b 5 se b > b 8 c) Depois da quarta viage, o João chega a casa depois do superercado fechar. Isso obriga-o a fazer as copras nu outro superercado, onde o estacionaento custa euro. b se b b 5 se < b b 9 se b > b 8 d) Suponha agora que, a partir da segunda passage, o João passa a ir na carrinha da pastelaria. Nesse caso, o tepo necessário para a viage é de eia hora e o custo do cobustível euro. Represente novaente o conjunto de possibilidades de escolha do João, considerando u rendiento de euros. b se b b se b > b 8 se b b 8 se b > 6

8 A.. UTILIDADE E REFERÊNCIAS A... Defina os seguintes conceitos: a) Be econóico roduto (ou serviço) definidos pelas suas características físicas, de localização e tepo, e que proporciona a satisfação de ua necessidade do consuidor. b) Mal econóico roduto (ou serviço) cujo consuo causa ua diinuição na satisfação do consuidor. c) Be neutral roduto (ou serviço) cujo consuo não afecta a satisfação do consuidor. d) Utilidade Fora de edir a satisfação dos desejos do consuidor. Valor atribuído ao uso de u ou ais bens. e) Utilidade arginal de u be Variação na utilidade total de u consuidor quando a quantidade consuida de u be auenta de ua fora infinitesial, antendo-se a quantidade consuida dos outros bens. f) Curva de indiferença Conjunto de cabazes de dois bens e relação aos quais o consuidor é indiferente, isto é, que proporciona o eso nível de utilidade. g) Taa arginal de substituição no consuo de Y por X Mede o núero de unidades de Y que tê de ser sacrificadas por unidade infinitesial a ais de X de fora a que o consuidor antenha o nível de satisfação. A... Enuere e eplique os aioas e hipóteses das relações de preferência e as propriedades das curvas de indiferença. Aioa da eaustão ou da relação copleta Ua orde de preferências é copleta se perite ao consuidor ordenar todas as cobinações possíveis de bens e serviços. Aioa da transitividade Dizer que ua orde de preferências é transitiva significa que, relativaente a três cabazes A, B e C, se o consuidor prefere A a B e B a C, então gostará ais de A que de C. Hipótese da não saciedade ou onotocidade Esta hipótese significa siplesente que, quando todo o resto se anté constante, ua aior quantidade de u be é elhor que ua enor quantidade desse eso be. 7

9 Hipótese da conveidade Seja cabazes, A, B e C tais que B é pelo enos tão bo coo A e C é estritaente preferido a A. A hipótese da conveidade iplica que qualquer cobinação linear dos cabazes B e C é preferível a A. Econoicaente, esta hipótese relaciona-se co a necessidade de u consuidor ser copensado co aiores quantidades de u be, à edida que sacrifica sucessivas unidades de outro. Ou seja: a taa arginal de substituição no consuo entre dois bens é decrescente. Hipótese da continuidade Os cabazes que são preferidos ou indiferentes a u deterinado cabaz e os cabazes que são enos preferidos ou indiferentes fora conjuntos fechados. Esta hipótese é eraente técnica. ropriedade : As curvas de indiferença tê inclinação negativa. ropriedade : As curvas de indiferença nunca se intersecta. ropriedade : Curvas de indiferença para NE representa níveis de satisfação ais elevados. ropriedade : As curvas de indiferença são conveas e relação à orige. ropriedade 5: As curvas de indiferença são densas e todo o espaço de bens. A... Diga, de entre as situações seguintes, aquelas que viola os aioas e hipóteses que rege as preferências. a) A Isabel gosta ais de chocolates que de caraelos e prefere caraelos a rebuçados; as entre rebuçados e chocolates, escolhe os prieiros. Viola o aioa da transitividade b) O Francisco não sabe se gosta ais de duas horas de vela ou três de natação. Viola o aioa da eaustão c) uanto ais toca piano, ais a Catarina gosta de tocar. Viola a hipótese da conveidade d) Depois de quatro horas de estudo, o Diogo já não estuda ais nenhua. Viola a hipótese da onotocidade e) A Beatriz coeçou a gostar ais de ir à praia depois de ir uitas vezes. Viola a hipótese da conveidade A... Represente graficaente os apas de indiferença para os seguintes casos: a) Dois bens econóicos 8

10 be be b) U be e u al econóico be al c) U be econóico e u neutro be neutro d) Eistência de u ponto de saciedade 9

11 e) Bens copleentares f) Bens substitutos A..5. Represente as preferências dos consuidores para os seguintes casos, verificando e cada u se se trata de preferências be coportadas. a) O Gonçalo bebe sepre u café co u copo de água.

12 6 5 copos de água 5 6 cafés b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A pautado e papel A liso. 6 5 liso 5 6 pautado c) Ao aloço, a Maria não consegue coer ais de graas de carne, as bebe toda a Coca-Cola que lhe servire. coca-cola carne d) O edro é indiferente entre jogar ua hora de futebol ou duas horas de ténis.

13 5 ténis,5,5 futebol e) A D. Carlota bebe sepre cada chávena de chá co eio pacote de açúcar. açúcar,5,5,5 5 6 chá f) A Joaninha adora leite co torradas. Ao lanche, não consegue coer ais de torradas, as bebe todo o leite que lhe servire. leite,5,5,5,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 torradas A..6. Considere as seguintes funções utilidade: i.,5 U ii. U iii. U in{, }

14 iv. U ara cada ua delas: a) Indique o tipo de preferências. b) Represente o apa de indiferença. c) Calcule as utilidades arginais. d) Deterine a taa arginal de substituição de por. e) Encontre ua função que represente as esas preferências.,5 U U a) Cobb-Douglas in{,} Substitutos perfeitos U U Copleentares uasi-lineares b) be U U U be U U U be U U U U U U be be be c) d) e),5 Ug,5 Ug Ug Ug Ug Ug Ug Ug TMS, TMS, Não te TMS,,5 V V V in{,} V A..7. A utilidade que u consuidor retira da utilização de gás e de electricidade é dada pela função,5 U e que n.º de litros gás/dia e n.º Kw/hora. a) Identifique as diferentes cobinações de e que perite ao consuidor atingir o nível de utilidade de e. ual o conceito subjacente? U U O conceito aqui subjacente é o de curva de indiferença. b) Adita que este consuidor se encontra actualente a consuir 5 litros de gás por dia e, Kw/hora. ual a quantidade de electricidade que teria de sacrificar, se quisesse consuir u litro adicional de gás, de fora a anter o eso nível de satisfação? ( 5;, ) U 5, 6 6

15 A..8. O António te ua função de utilidade U. a) Suponha que inicialente consoe unidades do be e unidades do be. Se passar a consuir 8 unidades do be, quantas unidades terá de consuir do be de odo a que a sua utilidade de antenha constante? (, ) (,) U b) Calcule a TMS,. O que acontece ao valor desta taa quando o António auenta o consuo do be? Ug TMS, TMS, > Ug c) Responda novaente às alínea a) e b) aditindo que as preferências do António são descritas por U ln. (,) (,) U ln 6, 8 6,8 ln8, TMS Ug Ug TMS,, O consuo do be não influencia a taa a que o António se dispõe a trocar os bens. d) De entre os seus aigos, que te as esas preferências que o António? Considere o quadro abaio e a função utilidade inicial. Ana Filipa V W Z / F G / H Sofia ( ) Margarida Teresa Bernardo ( ) Ana Filipa Sofia Margarida Teresa Bernardo TMS, TMS, TMS ( ) ( ), TMS, TMS, TMS, A Teresa e o Bernardo não tê as esas preferências do António.

16 A..9. Coente as seguintes afirações: a) Não é possível que duas curvas de indiferença «be coportadas» se cruze. A frase é verdadeira. ara prová-lo assuaos que a frase é falsa ou seja que duas curvas de indiferença be coportadas se pode cruzar, confore ostrado na figura. A C BD U U or definição, diferentes curvas de indiferença representa diferentes níveis de utilidade. E ua curva de indiferença be coportada é aquela que respeita, entre outros, o aioa da transitividade e a hipótese da onoticidade. Se, no gráfico, as preferências não violare o aioa da onoticidade, então C será preferido a A porque te o eso de u dos bens, as ais do outro. Coo C e B estão na esa curva de indiferença são, por definição, indiferentes entre si. Então B deveria, sendo as preferências transitivas, ser preferível a A. Mas B e A estão sobre a esa curva de indiferença, significando isso que são indiferentes. Ou seja, duas curvas de indiferença que se intersecte viola o aioa da transitividade e a hipótese da onotocidade, logo não pode ser be coportadas. b) Se as preferências fore onotónicas, então a linha diagonal (no espaço dos bens) que passa pela orige cruza cada curva de indiferença apenas vez. Considereos que a frase é falsa. Se é falsa é porque a linha diagonal (no espaço dos bens) que passa pela orige pode cruzar cada curva de indiferença ais que vez. Vaos aditir que a cruza e dois pontos distintos, A e B. Se A e B estão sobre a diagonal, então u destes pontos te de estar acia e à direita do outro. Mas se está acia e à direita, então representa u cabaz co ais de abos os bens o que, pela hipótese da onotocidade, iplica ua utilidade superior. Mas se te utilidade superior não pode, por definição, estar sobre a esa curva de indiferença. Então, a frase te de ser verdadeira. c) Se dois bens fore substitutos perfeitos então a taa arginal de substituição ou é igual a zero ou é infinito. Se dois bens são substitutos perfeitos, então a utilidade arginal associada a cada u deles é constante. Logo, tabé é constante a taa arginal de substituição. 5

17 Se esta for zero ou infinito é porque ua das utilidades arginais é zero ou infinito. Mas isso não faz sentido. ortanto, a frase é falsa. d) A conveidade estrita das preferências pode ser entendida coo ua epressão foral de ua preferência dos consuidores por diversificação. A conveidade das curvas de indiferença decorre da hipótese de taa arginal de substituição (TMS) decrescente. Esta hipótese estabelece que, ao longo de qualquer curva de indiferença, quanto aior a quantidade de u be u consuidor possuir, tanto ais eige receber desse be, para renunciar a ua unidade do outro be. Ou seja, os consuidores estão, geralente, dispostos a prescindir de bens que já possue e grande quantidade, para obtere ais unidades daqueles que, naquele oento, detê e enor quantidade. Mas isso significa ua preferência dos consuidores por diversificação. e) ara que a taa arginal de substituição no consuo seja decrescente, é preciso que a utilidade arginal seja decrescente. Frase falsa coo facilente se constata pela análise do seguinte contra-eeplo. Ug TMS,. Se tiver ua utilidade arginal constante, para que a taa Ug arginal de substituição seja decrescente a utilidade arginal de terá de ser crescente. 6

18 A.. A ESCOLHA ÓTIMA DO CONSUMIDOR A... ara cada u dos consuidores i. deduza as funções procura de abos os bens; ii. deterine a escolha óptia; iii. calcule o nível de satisfação; e iv. avalie a taa arginal de substituição no ponto óptio. a) Consuidor A:,5 U 5 ; ; ; FUNÇÕES ROCURA a U 5, s.a. Γ 5 λ ( ) Γ Γ Γ λ 5 λ 5 λ,5 λ,5 λ,5 λ,5 λ ESCOLHA ÓTIMA 5 5 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U ,9 TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Ug 5 TMS,, ( 5;5 ) Ug ( ) 5 5;5 b) Consuidor B:,,6 U ; ; 6 ; 5 FUNÇÕES ROCURA,,6 a U, s.a. Γ,,6 λ ( ) 7

19 8 λ λ λ λ λ Γ Γ Γ,,8,6,,,,6,6,,,6,6 λ λ,5,,8,,,6,6,,6,5,5,5,5 ESCOLHA ÓTIMA 5, 5 6 5,6 5 6 NÍVEL DE SATISFAÇÃO 7, 5 U,6, TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO ( ) ( ) 6 5 Ug Ug TMS ;5 ;5, c) Consuidor C: U ; 5, ; ; 5 FUNÇÕES ROCURA ( ) s.a. U a, λ Γ λ λ λ λ λ Γ Γ Γ λ λ,6, p p ESCOLHA ÓTIMA 8,5 5,6,5 5, 5,5 NÍVEL DE SATISFAÇÃO 898,5 8 U TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO

20 Ug,5 TMS,,75 ( 8;,5 ) Ug ( ) 8 8;,5 d) Consuidor E: U ; ; ; 6 FUNÇÕES ROCURA a U, s.a. ESCOLHA ÓTIMA 6 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U 6 > ; < 6 6 TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Ug TMS, ( 6;) Ug ( ) 6; e) Consuidor F: U 5 ; ; ; FUNÇÕES ROCURA a U 5, s.a. ESCOLHA ÓTIMA NÍVEL DE SATISFAÇÃO U 5 5 > 5 ; 5 < TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Ug 5 TMS, ( ;) Ug ( ) ; f) Consuidor G: U ; 6 ; 8 ; 5 ; 5 ; > < > 5 5 < FUNÇÕES ROCURA 9

21 a U, s.a. ESCOLHA ÓTIMA NÍVEL DE SATISFAÇÃO U 5 75 > ; < [ ;5] [ ;8,75] TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Ug TMS, Ug g) Consuidor H: in{,5} U ; ; ; 7 ; > < FUNÇÕES ROCURA a U in,5, s.a.,5,5 { } 5,5,5 p,5 ESCOLHA ÓTIMA 7, 7 7,8,5 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U in ;5,8 { } p TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Não faz sentido h) Consuidor I: in{, } U ; 6 ; ; 8,,5 FUNÇÕES ROCURA { } a U in,, s.a. p p ESCOLHA ÓTIMA

22 NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } ; in U TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Não faz sentido i) Consuidor H: { }, in U ; ; ; FUNÇÕES ROCURA { } s.a., in U a, p p ESCOLHA ÓTIMA,5 5 NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 5,5; 5 in U TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Não faz sentido j) Consuidor K: ln U ; ; ; 5 6, FUNÇÕES ROCURA ( ) ln s.a. ln U a, λ Γ λ λ λ λ λ Γ Γ Γ λ λ p ESCOLHA ÓTIMA

23 ,5 6,5 6,5 6 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U 6 ln,5,9 TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Ug TMS, ( 6;,5 ) Ug ( 6;,5 ),5 k) Consuidor L: U ; 6 ; ; 8 FUNÇÕES ROCURA a U, s.a. solução de canto : u u > u > > se se ESCOLHA ÓTIMA 6 8 > 8 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U ( ) ( ) se se TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Ug TMS, ( ;) Ug ( ) ; u l) Consuidor M: U ; ;, 5 ; FUNÇÕES ROCURA a U, s.a. Γ Γ Γ λ λ 6 λ λ 6 λ Γ λ ( ) λ 6 λ

24 ESCOLHA ÓTIMA 6 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U 6 98 TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO ONTO ÓTIMO Ug TMS, ( ;6) Ug ( ;6) 6 6 A... A Joana te a seguinte função de utilidade:,5 U e aufere euros por seana que gasta no consuo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivaente, e, abos denoinados e euros. a) Suponha que a Joana deté hoje,5 unidades do be X e 75 unidades do be Y. ual a TMSY, X nesse cabaz de dotações iniciais? Coo se copara co os preços relativos? Se a Joana puder realizar trocas no ercado, que trocas tenderá ela a fazer? Eplique a lógica do seu raciocínio. Ug X TMS, 6 > (,5;75) Ug ( ) (,5;75),5;75 Y A Joana dispõe-se a trocar 6 unidades de Y por de X. No ercado, para ter unidade adicional de X, eige unidades de Y. Logo, a Joana trocará Y por X. b) ual o cabaz seanal óptio da Joana? a U, s.a. Γ Γ Γ λ Γ 5 λ 5 λ λ 5 λ 5 λ ( ) 5 λ 5 λ

25 c) ual a utilidade arginal do rendiento da Joana? λ λ λ,5 U A... Suponha que, para u deterinado consuidor, a taa arginal de substituição avaliada na cobinação de consuo é TMS ( ), 5,. Sabendo que p / p, diga se este cabaz será escolhido pelo consuidor. E caso de resposta negativa, indique que tipo de trocas estará ele disposto a efectuar. Se para este consuidor os bens e fore substitutos perfeitos, então pode ser a escolha do consuidor desde que corresponda a u cabaz e que todo o rendiento é gasto no be. Caso contrário, não será o cabaz óptio e este consuidor dispõe-se a trocar o be pelo be. A... U consuidor te preferências descritas pela função utilidade U, adquire os bens aos preços e e dispõe de unidades onetárias de rendiento. a) Indique, se efectuar cálculos, a escolha óptia de consuo. ara este consuidor, os bens e são substitutos. O be te aior utilidade arginal e te enor custo, logo o cabaz óptio será afectar todo o rendiento ao consuo do be : (,) (,). b) Suponha que ua guerra obriga a u esquea de racionaento do be X, de acordo co o qual cada consuidor só pode adquirir 5 unidades desse be. ual é a escolha óptia do consuidor? O consuidor continua a escolher o áio que puder de, portanto o cabaz óptio será (,) ( 5). c) Responda de novo à questão anterior aditindo que, e vez do esquea de racionaento, o preço do be X sobe para unidades onetárias. TMS >,,5, A solução óptia continua a ser gastar todo o rendiento e : ( ) A..5. Seja o José edro co a seguinte função de utilidade U. a) Deterine os consuos óptios de X e Y, sujeitos à restrição orçaental 5.,

26 a U, Γ λ ( 5 ) s.a. 5 Γ 5λ 5λ 5λ Γ λ λ λ Γ λ 5 5 5,5,5,5,5 5 5,5 b) Suponha, agora, que o José edro está sujeito a u sistea de racionaento. Os preços das senhas de X e Y são e 6, respectivaente, eistindo u racionaento total de 8 senhas. Deterine os novos consuos óptios. oderá resolver-se a questão pelo étodo dos ultiplicadores de Lagrange? orquê? Serão abas as restrições activas no cabaz óptio? a U, 6 s.a. 8 Γ λ ( 6) μ( 8 ) As restrições sobre as variáveis não se pode epriir co equações. Assi, não se pode recorrer ao étodo dos ultiplicadores de Lagrange. Te de se fazer uso das condições de Kuhn-Tucker: () : λ μ ( ) : 6λ μ ( ) : 6 ( ) : 8 () 5 : λ( 6) ( 6) : μ( 8 ) ( 7) : λ ( 8) : μ Se λ () : μ μ ( ) μ : μ μ μ Substituindo e (6) ve: μ ( 8 μ μ) μ μ 8 μ não é solução μ viola (), não é solução. Se μ () : λ λ ( ),5 : 6λ 6λ λ Substituindo e (5) ve: λ ( 9λ 9λ) λ λ 8 μ λ não é solução, já se viu anteriorente λ 5

27 5 5 5 λ 5 não viola () 8 5 λ, μ > () 5 : λ( 6) 6 ( ) ( ) 6 : μ 8 8 Tabé não é solução. ortanto, (,) ( 5,5 ) 8 e μ, ou seja, a restrição do racionaento total de 8 senhas não é activa. c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios X X RO a) RO b) RO b) U5 U77, A..6. Coente as seguintes afirações: a) A escolha óptia do consuidor caracteriza-se pela igualdade entre a taa arginal de substituição e o rácio dos preços. A frase é falsa. Ebora seja verdadeira para preferências be coportadas, não se aplica, por eeplo, a bens substitutos perfeitos. b) Dois indivíduos co cabazes de consuo idênticos tê certaente preferências idênticas. Considere-se dois consuidores cujas preferências são dadas por U e U e que dispõe abos de u.. Os preços são e. ara abos os consuidores a escolha óptia será e. Ou seja, eles escolhe o eso cabaz. No entanto, não apresenta a esa TMS pelo que as suas preferências não são idênticas. ortanto, este eeplo deonstra que a frase é falsa. α β c) Se a função utilidade de u consuidor é do tipo U (, ) percentage de rendiento gasta no consuo do be Y é sepre igual a β., a 6

28 7 A frase é falsa, pois co ua função utilidade do tipo ( ) β α, U a percentage de rendiento gasta no consuo do be Y será sepre igual a α β β. assando a deonstrar: ( ) s.a. U a, λ Γ β α β α λ β λ α λ β λ α λ Γ Γ Γ β α β α β α β α α β β α λ λ β α β α β α α β α β α β α β α β α β p p α β α α β β α β α α β α α β α β α β α β d) Se dois bens são copleentares perfeitos, o consuidor vai sepre escolher coprar igual quantidade de abos. Se dois bens são copleentares perfeitos serão consuidos sepre na esa proporção o que não significa que se consua igual quantidade de abos. Coo eeplo toe-se as alíneas g)-i) do eercício A... A frase é, então, falsa. e) uando as preferências são quasi-lineares, a escolha do consuidor é sepre ua solução de canto. Ua solução de canto é aquela e que o rendiento é gasto e apenas u dos bens. A frase é, obviaente, falsa: basta ver o eeplo das alíneas j)-l) do eercício A... f) Se dois bens são substitutos perfeitos e, TMS >, o consuo de X é nulo. A frase é verdadeira. Se a, TMS é aior que o preço relativo de, então, TMS é enor que o preço relativo de. Coo, TMS é o rácio da utilidade arginal de e de, dizer que aquela é enor que o rácio dos preços de e de significa que te u custo relativo superior à satisfação relativa que proporciona. E, coo tal, não copensa coprá-lo.

29 A.. ANÁLISE DE ESTÁTICA COMARADA A... Defina os seguintes conceitos: a) Curva consuo-rendiento Lugar geoétrico dos cabazes de equilíbrio do consuidor correspondentes a diferentes níveis de rendiento. b) Be noral Be cujo consuo varia proporcionalente enos ou na esa proporção do rendiento onetário. c) Be inferior Be cujo consuo varia inversaente co o rendiento. d) Curva de Engel Representação da relação entre a quantidade consuida de u be e o rendiento do consuidor. e) Curva consuo-preço Lugar geoétrico dos cabazes de equilíbrio de u consuidor que resulta de variações no preço de u be. f) Be de Giffen Be cuja procura varia directaente co o seu preço. g) Efeito substituição Variação na quantidade procurada de u be, resultante da variação no preço desse be, antendo-se constante o rendiento real do consuidor (se esse rendiento real estiver epresso e teros de poder de copra(nível de satisfação), te-se a abordage à Slutsk(Hicks)). h) Efeito rendiento Variação na quantidade procurada de u be, resultante da alteração do rendiento real do consuidor (se esse rendiento real estiver epresso e teros de poder de copra(nível de satisfação), te-se a abordage à Slutsk(Hicks)). A... Mostre que u be de Giffen é necessariaente inferior. A variação no consuo de u be devida a ua alteração do respectivo preço pode ser desdobrada e dois efeitos, o substituição e o rendiento: Δ Δ s Δ n ( p,) ( p,) [ ( p,) ( p,) ] [ ( p,) ( p,)] Enquanto o efeito substituição te de ser negativo isto é, por efeito substituição, a variação no consuo te sinal oposto ao da variação no preço o efeito rendiento pode ser negativo ou positivo. 8

30 U be de Giffen é aquele cuja procura ordinária varia directaente co o seu preço, ceteris paribus. ortanto, a variação total te de ter sinal positivo. Ora, para que a soa de ua parcela negativa co outra seja positiva, esta outra parcela te de ser positiva. Logo, para que u be seja de Giffen, o efeito rendiento te de ter sinal positivo. Mas u be só te efeito rendiento de sinal positivo se for inferior. Concluindo: u be de Giffen te de ser necessariaente inferior. A... Considere o espaço de consuo de bens, X e Y, relativo a u deterinado consuidor. Apresente ua interpretação gráfica dos efeitos substituição e rendiento nua situação e que o preço do be X diinui. O be X é u be noral. Efectue as eplicações que entender necessárias para acopanhar a leitura do gráfico. Reporte-se às abordagens de Hicks e Slutsk. ABORDAGEM DE HICKS ara decopor a variação total e efeito substituição e efeito rendiento, Hicks deterina a quantidade consuida de X nu cenário e que o preço deste be diinui, as o be-estar do consuidor anté-se. Ou seja, Hicks encontra ua restrição orçaental (a verde) co o eso declive que a restrição orçaental final (a azul claro) as que seja tangente à curva de indiferença que tabé o é à restrição orçaental inicial (a azul escuro). E E RO inicial RO final RO interédia CI ES ER EI ABORDAGEM DE SLUTSKY ara decopor a variação total e efeito substituição e efeito rendiento, Slutsk deterina a quantidade consuida de X nu cenário e que o preço deste be diinui, as o poder de copra do consuidor anté-se. Ou seja, Slutsk encontra ua restrição orçaental (a verde) co o eso declive que a restrição orçaental final (a azul claro) as que passa pelo cabaz inicial. Dada essa restrição orçaental (a verde), Slutsk calcula a quantidade óptia de X. 9

31 RO inicial RO final RO interédia ES ER E E EI A... Deterine e represente as curvas i. consuo-rendiento ii. consuo-preço do be X iii. consuo-preço do be Y iv. de Engel do be X v. de Engel do be Y para as seguintes situações: a),5 U 5 ; ; ; CURVA CONSUMO-RENDIMENTO TMS,, CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X TMS, 5 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y TMS, 5 CURVA DE ENGEL DO BEM X CURVA DE ENGEL DO BEM Y

32 b) c),,6,5 U ; ; 6 ; 5 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO, TMS,,6 6 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X TMS,,, CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y, TMS,,5,6 5 5,5,5 5 CURVA DE ENGEL DO BEM X,,, CURVA DE ENGEL DO BEM Y,6,6 6, U ;, 5 ; ; 5 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO,5 TMS, CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X TMS, ,5 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y,5 TMS,,5 5,5 5 8 CURVA DE ENGEL DO BEM X,6,6,5, CURVA DE ENGEL DO BEM Y 6 5,5 5

33 ,,, d) U ; ; ; 6 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO < TMS, CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X se < 8 se 8 5 se > 8 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y se <,5 se,5 se >,5 CURVA DE ENGEL DO BEM X CURVA DE ENGEL DO BEM Y e) U 5 ; ; ; CURVA CONSUMO-RENDIMENTO > 5 TMS, CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X se <,5 se,5,5 se >,5 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y se <, se, se >,,5 CURVA DE ENGEL DO BEM X CURVA DE ENGEL DO BEM Y f) U ; 6 ; 8 ; 5 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO É todo o espaço dos bens. CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X se < 6 se 6 8,75,75 se > 6 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y se < 8

34 se 8 se > 8 8,75,75 CURVA DE ENGEL DO BEM X É todo o espaço dos bens. CURVA DE ENGEL DO BEM Y É todo o espaço dos bens. g) in{,5} U ; ; ; 7 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 5, CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X 5, CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y 5, CURVA DE ENGEL DO BEM X,, 6 CURVA DE ENGEL DO BEM Y,5,5 5 h) U in{, } ; 6 ; ; 8 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y CURVA DE ENGEL DO BEM X 6 CURVA DE ENGEL DO BEM Y 6 i) U in{, } ; ; ; CURVA CONSUMO-RENDIMENTO CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y CURVA DE ENGEL DO BEM X,5 CURVA DE ENGEL DO BEM Y j) U ln ; ; ; 6, 5 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

35 k) l) TMS,,5 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X TMS, 6,5 6,5 6,5 6,5 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y TMS,,5 6,5 6,5,5 6,5 6,5 CURVA DE ENGEL DO BEM X,5 CURVA DE ENGEL DO BEM Y,5 U ; 6 ; ; 8 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO Se 6 < 8 Se 6 6 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X Se 8 8 Se 8 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y Se Se 8 7 CURVA DE ENGEL DO BEM X Se 6 Se 6 6 CURVA DE ENGEL DO BEM Y Se 6 Se 6, U ; ;, 5 ; CURVA CONSUMO-RENDIMENTO TMS, 6 6 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM X TMS, 6

36 CURVA CONSUMO-REÇO DO BEM Y TMS, 6 ( 5 ) CURVA DE ENGEL DO BEM X 6 CURVA DE ENGEL DO BEM Y 6 A..5. Calcule: i. efeito substituição e efeito rendiento à Slutsk ii. efeito substituição e efeito rendiento à Hicks iii. variação no ecedente iv. variação copensatória v. variação equivalente para as seguintes situações:,5 a) U 5 ; ; ; ; 5 i 5 i 5 5 f f 5 5 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY i i ,5 5 7 ES 7,5 5 7,5 ER 7,5 7,5 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 5

37 b) U i , ES 5,8 5 9, ER 5,8 5,8 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ΔXC XC f XCi d 5 5 ln ln ln 5 ln 5, [( ) ( )] 8 VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC VARIAÇÃO EUIVALENTE 5 5 U f VE 6 7,,6 U ; ; 6 ; 5 ; d 5 5 ln, 5,6 5 6 i i 5 6 5, 5,6 5 f f 7,5 5 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 5 i i,6 6 ES 6 5 ER 7,5 6,5 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 5 5 [ ] 5[ ln ] 6

38 c) U i,, 5,6,,,6,,5,6,6,6 9 5,85 9 ES 5,85 5,85 ER 7,5 5,85,65 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 6 5 7,5 7,5 ΔXC XC f XCi d 7,5 ln7,5 ln ln5 ln, [( ) ( )] 6 VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC 9 5 VARIAÇÃO EUIVALENTE U f,,,6,,6, 7,5,, VE 6 5,6,6, 5 9 5, 6 U ;, 5 ; ; 5 ;,6,, d 5 6 ln 7,5,5,6 5, 5 i 8 i,5,5 5,6 5, 5 f 9 f,5 5 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 8,5 7 i i,6 7,8 7 ES,8 8 7, ER 9,8,8 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS,6, U i 8,5,6,6,,,6,6 7,5 5 [ ] [ ln ],,6 6,6 7

39 8,5,, 5,6 68,6 68 ES,6 8, ER 9,6,6 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 7 7, ΔXC XC f XCi d 9 7 ln 9 ln ln8 ln 8, [( ) ( )] 7 VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC 68 5 VARIAÇÃO EUIVALENTE U f,6, 5 9 8,5 7 d 8,5 7 ln,6,5 9,5,, VE 5 5 d) U ; ; ; 6 ; 6 i 6 i 6 6 f f 5 6 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 6 8 i i 8 ES 6 6 ER, EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS Ui ES [ ] 7[ ln ] 8

40 ER VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 6 se < 8 [ ;,5 ] se 8 se > 8 6 ΔXC XCf XCi,5 VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC ,5 6 d 6 6 ln VARIAÇÃO EUIVALENTE Uf 5,5 VE,5 6 7,5 e) U 5 ; ; ; ;, 8 i i,8 f f 5,8 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY,8 9,6 i i,8 9,6 ES ER 5 9,6,8 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS Ui 5 5 5,8 9,6,8 9,6 ES ER 5 9,6,8 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE se <, [ ;] se, se >,,8 5 6 [ ] 6( ln6 ln,5 ) 58, 85,5 9

41 5 ΔXC XCf XCi d VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC 9,6, 5 ( 5 ),8 (,8 ) [ ln ] ( ln5 ln), 68 VARIAÇÃO EUIVALENTE Uf VE 5 f) U ; 6 ; 8 ; 5 ; 6 8 i [ ;5] i [ ;8,75] f 5 f 6 5 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY Indeterinado EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS Indeterinado VARIAÇÃO NO EXCEDENTE Indeterinada VARIAÇÃO COMENSATÓRIA Indeterinada VARIAÇÃO EUIVALENTE Indeterinada g) U in{,5}; ; ; 7 ; i i,8,, f 8 f 7,, 5 5,5 7 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 5,8 8 i i 8 5,8 5,5 8 ES,8,8 ER 7,,8, EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS

42 Ui in,5 8,,5, 5 8 5,8 5,5 8 ES,8,8 ER 7,,8, VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ,8 5 7, 7,,8 7 7 ΔXC XC f XCi 5 d 7, 5 5 d,8 7, 7,,8,8 [ ] [ 5] 6 7[ ln ] [ 5] 7 ln 8 ( ln7, ln,8 ) 5 ( 7,,8 ) 9, 7 VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC 8 7 VARIAÇÃO EUIVALENTE Uf in,5 8 8,,5, VE U in, ; 6 ; ; 8 ; h) { } i i f,8 f, 8 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY i i ES ER,8,8 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS Ui in,

43 ES ER,8,8 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ,8,8 8 8 ΔXC XC f XCi 6 d,8 6 d 6,8,8 [ ] [ 6] 9, 8[ ln ] [ 6] 8 ln ( ln,8 ln ) 6 (,8 ),8 8, 75 8 VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC 8 8 VARIAÇÃO EUIVALENTE Uf in,,8 57,6 6 VE 57,6 8 9,6 U in, ; ; ; ; 5 i) { } i,5 i 5 5 f f EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 5,5 5,5 i i 5,5,5 5,5 ES,5,5 ER 9,5 5 8 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS Ui in, 5 5,5 5,5,5 5,5 ES,5,5

44 ER 9,5 5 8 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE,5 5 9 ΔXC XC d 5 9 9,5 f XCi d,5 9 9,5,5 [ ] [ ] 5 9 [ ln ] [ ] ln 5 ( ln 9 ln,5 ) ( 9,5 ) 5 9 VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC,5,5 VARIAÇÃO EUIVALENTE U in, 9 8 VE 9 9 j) U ln ; ; ; 6, 5 ; f 6,5 i 6 i,5 6,5 6,5 f 6 f,5 6,5 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 6,5 65 i i,5 65 ES,5,5,5 ER,5,5 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS,5 U i ln 6 ln,5, ln,5,5 6, ES,5,5,5 ER,5,5 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE, ,

45 k),5,5,5,5 ΔXC XC f XCi d,5,5 ln,5 ln ln,5 ln, [( ) ( )] 7 VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC 6, 6,5,7,5,5 d,5,5 ln VARIAÇÃO EUIVALENTE,5 U f ln 6 ln,5, ln,5 VE 6,77 6,5,7 U ; 6 ; ; 8 ; 6 8 i i 8 f 7 f EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 8 i i 8 ES 7 7 ER EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS Ui o 5, 8 ES 5, 5, ER 7 5,,7 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 8 se se 6 7 ΔXC XCf XCi d VARIAÇÃO COMENSATÓRIA,5,5 [ ],5 [ ln ] 8 6,77 7 ( 7 8 ) 8[ ln ] ( 7 8 ) 8 VC 8 8 6,8

46 l) VARIAÇÃO EUIVALENTE Uf VE 8 U ; ;, 5 ; ; i i i 9 i EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY 6 66 i i 66 ES 58 ER 9 58 i EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 6 6 Ui i 5 58 ES 5 6 ER 9 5 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ( ) 6 ( ) d ( 9 ) ( ) ΔXC XCf XCi ln 6 57, VARIAÇÃO COMENSATÓRIA VC 58 VARIAÇÃO EUIVALENTE 5

47 Uf 9 6, VE 8 8 A..6. Coente as seguintes afirações: a) A curva de Engel de u be de Giffen é positivaente inclinada. U be de Giffen é necessariaente inferior. U be inferior é aquele cuja quantidade consuida varia inversaente co o rendiento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consuida e rendiento, a curva de Engel, é negativaente inclinada. ortanto, a frase é falsa. b) A probabilidade de u be ser inferior para u dado consuidor auenta à edida que auenta o seu nível de rendiento. referências quasi-lineares iplica que a procura de u dos bens não dependa do rendiento. Se não depende do rendiento, tabé não te efeito rendiento. E se não te efeito rendiento não pode ser inferior. ortanto, a frase é falsa. c) A curva consuo-preço de u be noral nunca pode ser decrescente. A curva consuo-preço de u be é o lugar geoétrico dos cabazes de equilíbrio que resulta de variações no preço desse be. Aditaos, se perda de generalidade, que o be e questão é o X e é noral. Se é noral, terá de ser ordinário. U be ordinário é aquele cuja quantidade consuida varia inversaente co o seu preço. ortanto, à edida que o preço de X baia, a quantidade consuida vai estar cada vez ais à direita. Dizer que a curva consuo-preço não pode ser decrescente significa, neste conteto, que a quantidade consuida de Y ou não varia ou auenta. Mas não há nada que garanta que assi seja. Logo, a frase é falsa. d) ara u orçaento inteiraente gasto e dois bens, u auento no preço de u deles causará necessariaente u descréscio no consuo de abos, a não ser que pelo enos u dos bens seja inferior. Falso. Basta pensar e preferências Cobb-Douglas. Nenhu dos bens é inferior e, no entanto, quando o preço de u deles auenta, o consuo do outro não se altera. ortanto, apenas u dos bens vê o seu consuo reduzido. e) uando o efeito rendiento é superior ao efeito substituição as de sentido contrário a este, estaos na presença de u be de Giffen. A variação no consuo de u be devida a ua alteração do respectivo preço pode ser desdobrada e dois efeitos, o substituição e o rendiento: Δ Δ s Δ n ( p,) ( p,) [ ( p,) ( p,) ] [ ( p,) ( p,)] O efeito substituição te sepre sinal negativo. Se o efeito rendiento for positivo e de aior agnitude que o efeito substituição, o efeito total que é a 6

48 soa dos dois será positivo. Mas u efeito total positivo significa que a quantidade consuida varia positivaente co o preço. E isso é a definição de u be de Giffen. A frase é, pois, verdadeira. f) U be inferior é necessariaente u be de Giffen. A frase é falsa. A variação no consuo de u be devida a ua alteração do respectivo preço pode ser desdobrada e dois efeitos, o substituição e o rendiento: Δ Δ s Δ n ( p,) ( p,) [ ( p,) ( p,) ] [ ( p,) ( p,)] U be inferior é aquele cuja quantidade consuida varia inversaente co o rendiento. ara estes bens, o efeito rendiento é positivo. Ou seja, te sinal oposto ao do efeito substituição. Obviaente, o sinal do efeito total dependerá da agnitude dos dois efeitos referidos, podendo o be ser de ordinário ou de Giffen. g) Se u be é noral para qualquer nível de rendiento, então a curva de Engel é negativaente inclinada. U be noral é aquele cuja quantidade consuida varia positivaente co o rendiento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consuida e rendiento, a curva de Engel, é positivaente inclinada. ortanto, a frase é verdadeira. h) A variação copensatória é, e teros absolutos, sepre superior à variação equivalente. Ebora geralente a variação copensatória seja, e teros absolutos, superior à variação equivalente, tal não sucede, por eeplo, co as preferências quasilineares, caso e que as duas edidas tê sepre o eso valor absoluto. Logo, a frase é falsa. 7

49 A.5. ROCURA DE MERCADO A.5.. Deterine a função procura do ercado do be X dadas as seguintes funções procura individuais: i,p i, K, p j j, K, 5 t 5,6p t, K, 5 i,p i p p j j 5 p j p 5,6 p 5,6 8,7 t X X 5 t 5 j i t j i 5 j i j i i t se 5,6 < p se < p i se p 5,6 5 ( 5,6 p) 5 ( 5 p ) (,p ) se p 5 5 ( 5 p ) (,p ) se 5,6 < p (,p ) se < p ( 65 76,5p ) ( 75,5 ) ( p) se p 5,6 ( 75,5p ) ( p) se 5,6 < p X p se < p 8 8 p se p 5,6 X 75,5p se 5,6 < p p se < p,6 A.5.. O edro e o Carlos são irãos co preferências usicais idênticas. A procura individual de CDs pode ser epressa pela função p 5. a) Deterine a função procura agregada dos dois. p 5 i i 5 p X i ( 5 p) p Suponha que cada CD custa u.. b) Calcule a elasticidade-preço da procura individual p d i p p ε ( ) i dp 5 p 5 p p ε c) Calcule a elasticidade-preço da procura agregada p dx p p ε ( ) X dp p 5 p p ε i 8

50 d) Copare e analise os resultados obtidos nas alíneas b) e c). A elasticidade-preço da procura individual é a esa da procura agregada. A.5.. Considere a seguinte função procura linear: p. a) Represente a função e indique e que zonas a procura é elástica, rígida e unitária. p 6 5 elástica rígida unitária p d p p ε dp p p ( ) p, 5 p >,5 ε > <,5 ε < b) Identifique o ponto da recta que corresponde ao áio da despesa total. DT p p ( p) p a DT DT p p p,5 A.5.. Seja a função de utilidade U. ara a copra de X e Y, o consuidor individual dispõe de u nível de rendiento M. Calcule: a) A elasticidade procura-preço do be X. d ε d b) A elasticidade procura-preço do be Y. d ε d c) A elasticidade procura-preço cruzada do be X e relação ao be Y. d ε d d) A elasticidade procura-preço cruzada do be Y e relação ao be X. d ε d e) A elasticidade procura-rendiento do be X. d η d f) A elasticidade procura-rendiento do be Y. 9

51 η d d g) Verifique que ε ε η, onde ε, ε e η representa, respectivaente, a elasticidade procura-preço directa do be X, a elasticidade procura-preço cruzada entre o be X e o be Y e a elasticidade procura-rendiento do be X. ε ε ηx 5

52 B. TEORIA DO RODUTOR B.. TECNOLOGIA B... Defina os seguintes conceitos: a) Factor produtivo b) rodutividade édia roduto total por unidade de factor. c) rodutividade arginal Acréscio do produto total por unidade adicional do factor, antendo-se o outro constante. d) Lei dos rendientos arginais decrescentes Lei segundo a qual se auentaros a quantidade de u dos factores produtivos, antendo fias as quantidades dos restantes, os resultantes acréscios do produto são cada vez enores, podendo atingir-se ua região de acréscios do produto negativos. e) Rendientos crescentes à escala Tecnologia e que o acréscio de % na utilização de todos os factores produtivos perite obter u acréscio do produto superior a %. f) Rendientos constantes à escala Tecnologia e que o acréscio de % na utilização de todos os factores produtivos perite obter u acréscio do produto igual a %. g) Rendientos decrescentes à escala Tecnologia e que o acréscio de % na utilização de todos os factores produtivos perite obter u acréscio do produto inferior a %. B... Deterinada epresa te a seguinte função de produção: L K L, e que K e L são factores de produção e é a quantidade produzida. A epresa encontrase a produzir na diensão K 8. a) Deterine a epressão analítica do produto total, produtividade édia e produtividade arginal do factor L. roduto total: 8L L rodutividade édia: 8L L L rodutividade arginal: 6L L L 5

53 b) Represente graficaente as funções encionadas, acopanhadas do respectivo estudo, e eplicando os zeros e andaento de tais funções. 8 6 T Me Mg L - A função produto total apresenta dois zeros, para L e L 8. É crescente até L ; neste ponto te u áio e a partir daí é decrescente. Os zeros da produtividade édia são tabé os da função produto total ( L e L 8 ). A função é crescente até L ; neste ponto te u áio e a partir daí é decrescente. A produtividade arginal apresenta dois zeros, para L e L. É crescente até L 6 ; neste ponto te u áio e a partir daí é decrescente. c) Faça a leitura geoétrica da produtividade édia e produtividade arginal do factor L a partir do gráfico da produção total. Os zeros da produtividade édia são os esos do produto total. Ou seja, produto total e produtividade édia tê o eso sinal. O prieiro zero da produtividade arginal coincide co o prieiro zero do produto total; o segundo ocorre no ponto e que o produto total é áio. ortanto, a produtividade arginal é positiva enquanto o produto total for crescente. d) Estabeleça as relações entre as funções produto total, produtividade édia e produtividade arginal do factor L. Os zeros do produto total e da produtividade édia coincide. O andaento da função produto total é dado pelo coportaento da sua derivada, que corresponde à produtividade arginal. Assi, a função produto total te u áio quando a produtividade arginal é zero. À esquerda desse ponto, a produtividade arginal é positiva, logo a função produto total é crescente; à sua direita, a produtividade arginal é negativa, pelo que a função produto total é decrescente. O áio da produtividade édia ocorre no ponto e que a curva desta intersecta a curva da produtividade arginal. À esquerda deste ponto, a 5

54 produtividade arginal é superior à produtividade édia, logo esta é crescente; à direita, a produtividade arginal é inferior à produtividade édia, portanto esta é decrescente. e) A partir de que nível de utilização do factor L se coeça a verificar a lei dos rendientos arginais decrescentes? Justifique. A partir de L 6, o auento da quantidade de trabalho resulta e acréscios do produto cada vez enores. O que corresponde ao estabelecido pela lei dos rendientos arginais decrescentes. f) ual o volue de produção para o qual é áia a produtividade édia do factor fio? e K K. Coo K está fio, a sua produtividade édia será áia quando o produto total for áio, o que ocorre para L. α β B... Ua função de produção Cobb-Douglas é dada por f (, ) A. O tipo de rendientos à escala desta função vai depender dos valores de αβ. Relacione-os co os diferentes tipos de rendientos à escala. f α β α α β β αβ α β αβ ( t,t) A( t) ( t) At t t ( A ) t f(,) Se α β < te-se rendientos decrescentes à escala (DRS). Se α β te-se rendientos constantes à escala (CRS). Se α β > te-se rendientos crescentes à escala (IRS). B... Considere a epressão genérica da função de produção do tipo Cobb-Douglas co dois factores, trabalho (L) e capital (K): α β AL K. a) Deterine as epressões algébricas da produtividade édia e da produtividade arginal de abos os factores. α e L L AL K β α g L L αal K e K K AL α K β g K K βal K α β β b) Verifique se se trata de ua função hoogénea. uais as condições que se tê de verificar para que o processo de produção que ela traduz adita rendientos constantes, decrescentes ou crescentes à escala? α β αβ α β αβ ( tl,tk) A( tl) ( tk) t ( AL K ) t ( L,K) fç hoogénea de grau αβ α β < função hoogénea de grau inferior a DRS α β função hoogénea de garu CRS α β > função hoogénea de grau superior a IRS 5

55 B..5. Caracterize as seguintes funções de produção quanto a rendientos à escala e produtividades arginais: a),5 K L ( tk,tl) ( tk) ( tl) t ( K, L) K K L K ( L K ) 5 L L L K ( K L ) 5 g CRS g Abas as produtividades arginais são positivas e obedece à LRMD. b) αk βl ( tk,tl) α( tk) β( tl) t g K K αk g L L βl IRS Abas as produtividades arginais não obedece à LRMD. O seu sinal depende dos parâetros α e β. c) in{ ak,bl} ( tk,tl) in{ atk,btl} t CRS g K g L Abas as produtividades arginais são nulas, não obedecendo à LRMD. d) K L ( tk,tl) tk tl t CRS g K K g L L Abas as produtividades arginais são positivas e não obedece à LRMD. e),5,6 K L,6, ( tk,tl) ( tk) ( tl) t ( K, L) IRS,6 K K L K ( L K) L,, L L,6L K,,,6 ( K L) K g g Abas as produtividades arginais são positivas e obedece à LRMD. B..6. Coente as seguintes afirações: a) Desde que seja usado u só factor na produção de u be e que a tecnologia apresente rendientos decrescentes à escala, a produtividade arginal do factor é decrescente. Considereos a seguinte função de produção f( L). O Teorea de Euler estabelece que se f(,, K, ) n é ua função n hoogénea de grau α, então i α. No caso da função de produção i i considerada ve L α. Coo a tecnologia é DRS, < α < pelo que L L <. Dividindo tudo por L fica < ou seja g L < el. L L L 5

56 Mas se g L < el, então a produtividade arginal é decrescente. ortanto, a frase é verdadeira. b) Se a tecnologia apresenta rendientos constantes à escala então duplicar a quantidade usada de u factor de produção duplica a quantidade produzida. Falso, coo se coprova pelo seguinte contra-eeplo.,5 K L é ua função de produção que eibe CRS. Se K e L 9, então 6. Duplicando apenas a quantidade de K, ve 8, 85 que não é, obviaente, o dobro da quantidade produzida inicial. c) Se a tecnologia apresenta rendientos decrescentes à escala, então ao duplicar a produção, passaos para ua isoquanta inferior. Falso. As isoquantas são lugar geoétrico das várias cobinações de factores que perite produzir ua esa quantidade. Se a tecnologia é DRS, para se duplicar a produção, ter-se-á de ais que duplicar as quantidades utilizadas de factores. Se se está a auentar as quantidades de factores, então está-se nua isoquanta superior. d) Se a tecnologia eibir rendientos constantes à escala, então a produtividade arginal dos factores é constante. Falso. Basta toar coo contra-eeplo a alínea a) do eercício B

57 B.. MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS B... Defina os seguintes conceitos: a) Custo fio Custo que não varia co o nível de produção e que a epresa te de suportar ainda que nada produza. b) Custo variável Custo que varia co o nível de produção c) Custo total Soa dos custos variáveis e custos fios. d) Custo fio édio Custo fio por unidade produzida. e) Custo variável édio Custo variável por unidade produzida. f) Custo total édio Custo total por unidade produzida. g) Custo arginal Acréscio no custo total por produzir ais ua unidade. B... Eplique porque é que a curva de custo arginal intersecta as curvas de custo total édio e custo variável édio nos respectivos pontos ínios. Adita-se que se está a produzir nua zona e que o custo édio é decrescente. Então, nesta zona, o custo arginal te de ser inferior ao custo édio: a única fora de baiar ua édia é adicionando-lhe núeros que lhe são inferiores. Analogaente, se o custo édio é crescente, o custo arginal te de lhe ser superior. Sabe-se, então, que a curva do custo arginal fica abaio da do custo édio à esquerda do ínio desta; e acia à direita. O que iplica que no ponto ínio as duas curvas se intersecta. Este eso arguento se aplica ao caso da curva do custo variável édio. B... Os custos de ua epresa são ostrados parcialente na tabela abaio. Coplete os espaços que estão e branco. CT CF CV CTMe CFMe CVMe CMg