Caderno de Atividades de Matemática Utilizando Modelagem de Fenômenos Físicos

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1 1 Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática Área de Concentração: Matemática Caderno de Atividades de Matemática Utilizando Modelagem de Fenômenos Físicos Mestrando: Daniel Guimarães Silva Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares Belo Horizonte MG 2013

2 2 Apresentação Este caderno de atividades foi elaborado com o objetivo de servir como material de apoio ao estudo das Funções Quadrática, Exponencial e Trigonométrica Seno ou Cosseno no contexto de alguns fenômenos físicos desenvolvidos em laboratório. Ele foi criado no intuito de fornecer uma alternativa de ensino dos conteúdos matemáticos citados, de forma contextualizada e motivadora, por meio da Modelagem Matemática de fenômenos físicos, destinado aos alunos da terceira série do Ensino Médio integrado aos cursos técnicos de Informática e Administração do Instituto Federal do Norte de Minas Gerais, campus Pirapora. Neste material são apresentadas uma introdução relacionada ao processo de Modelagem Matemática, seguida de uma ambientação dos principais equipamentos do laboratório, além de um conjunto de quatro atividades de matemática. As duas primeiras têm como principal objeto de estudo a Função Quadrática, sendo a primeira com a Modelagem do movimento de um corpo com aceleração constante, e a segunda com a Modelagem do movimento de um corpo em queda livre. A terceira está no contexto do estudo da Função Exponencial, modelando matematicamente a carga presente em um capacitor em função do tempo, que está conectado a um resistor num circuito elétrico. A quarta atividade objetiva o estudo das Funções Trigonométricas Seno ou Cosseno, fazendo a Modelagem Matemática de um movimento harmônico simples de um corpo. Além das funções citadas, são estudados os conteúdos Sistemas Lineares, Equações Exponenciais, Logaritmo e Equações Polinomiais. São utilizados os softwares GeoGebra, Excel e o CidepeLab, que é específico para uso de determinados equipamentos do laboratório.

3 3 SUMÁRIO Introdução... 4 Principais Equipamentos do Laboratório... 5 Experimentação... 6 Atividades sobre Função envolvendo Modelagem de Fenômenos Físicos Atividade Atividade Atividade Atividade

4 4 Prezado aluno, este conjunto de atividades é parte integrante de um projeto de pesquisa de Mestrado cujo objetivo é trabalhar o ensino de algumas funções matemáticas utilizando a Física como motivação. Para fazer essa interação entre Matemática e Física, será utilizado um processo denominado Modelagem Matemática. Introdução A palavra Matemática, do grego Mathema, está associada aos termos ciência, conhecimento e aprendizagem. Matemática é a ciência do raciocínio lógico e abstrato, que, além de estudar quantidades, medidas, espaços, estruturas e variações, tem o objetivo de procurar por padrões, formular conjecturas, estabelecendo novos resultados. Assim, outras ciências, como a Física, utilizam a Matemática como linguagem, estruturando seus conceitos, fazendo previsões e conclusões. A Modelagem Matemática é um processo utilizado para a obtenção e validação de Modelos Matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade ou de outras áreas em problemas matemáticos, que são interpretados para a solução de tais situações. Portanto, serão selecionados alguns fenômenos físicos, os quais serão trabalhados matematicamente e, assim, conclusões serão feitas sobre o resultado obtido. Situação Inicial Problema Físico Modelagem Matemática Situação Final Conclusões Obtidas sobre o Problema Físico Uma atividade de Modelagem Matemática envolve algumas fases, que são necessárias para configuração, estruturação e para obter as conclusões sobre a situação estudada. Serão trabalhadas as seguintes fases.

5 5 1 Inteiração Nesta fase, informações são estudadas, objetivando a familiarização com o tema para o desenvolvimento de todo o trabalho. 2 Matematização Nela é feita a formulação do problema por meio da linguagem matemática, levantando hipóteses necessárias para a efetivação da fase seguinte. 3 Resolução Busca-se a construção de um modelo matemático para a solução do problema. 4 Interpretação de resultados e validação É feita uma avaliação sobre o modelo construído, verificando sua eficácia em relação ao que foi proposto inicialmente. Como mencionando inicialmente, será feito um trabalho com o objetivo de estudar o conteúdo matemático função, portanto todas as análises matemáticas serão sobre esse conteúdo. Umas das maneiras de representação de uma função são as fórmulas e gráficos, os quais serão utilizadas neste trabalho. Dessa forma, em todas as atividades temos o objetivo de encontrar uma fórmula e um gráfico que representem a situação estudada. Principais Equipamentos do Laboratório Sensor de posição Obtém a distância entre ele e um objeto em função do tempo, operando numa faixa de 0,4 a 1,5m. Possui um cabo para se interligar à interface. Interface Coleta os dados obtidos pelo sensor de posição, extraindoos para o computador. Conecta-se ao computador via cabo USB. Computador

6 6 Os dados recebidos pelo sensor e captados pela interface são trabalhados no computador por um software denominado CidepeLab. Nele, as informações são organizadas em forma de tabela ou gráfico, cujos dados podem ser exportados para outros ambientes, como o Excel. Experimentação O trabalho com o software CidepeLab e com os equipamentos é bastante simples, vamos fazer uma demonstração de como eles funcionam através de uma experimentação. Equipamentos necessários 01 sensor de posição; 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena; 01 interface; 01 computador. Conexão dos equipamentos 1 Encaixe o sensor de posição na haste. Interligue o cabo do sensor de posição em qualquer uma das 4 entradas frontais 2 da interface. Interligue a interface ao computador pelo cabo USB (a entrada de cabo USB da 3 interface encontra-se na parte traseira). Ligue a interface a uma tomada, observando a tensão da tomada e a permitida pelo equipamento. O conjunto de equipamentos deve ficar semelhante à figura abaixo: 4

7 7 Configuração do software CidepeLab Abra o programa CidepeLab, que possui o seguinte ambiente: Menu principal 1 Janela de configuração Janela de ferramentas Área de Trabalho Para iniciar o experimento, deve-se habilitar o sensor de posição. Para isso, clique no comando Controle de Sensores, presente no menu principal e perceberá que existem duas opções: Habilita Sensor e Desabilita Sensor. Verifique se a opção Habilita Sensor é a que se encontra marcada e observe a 2 lista de sensores disponíveis, como Luminosidade, Posição, Força, Pressão etc. Clique em Posição e, em seguida, na opção Habilita Sensor e você perceberá que a palavra Posição se encontra no espaço direito da janela, ou seja, o sensor já se encontra instalado, portanto clique na opção Fechar. Clique agora no comando Configurar, também presente no menu principal, 3 clicando em seguida na opção Equipamentos. Aparecerá uma janela com 3 seções. 4 Na seção Interface, verifique se o modelo marcado é o LAB200. Na seção Sensores, verifique se o modelo posição, que habilitamos anteriormente, encontra-se ativo e na seção Conexões de Sensores. Clique na palavra Posição, presente na lista de sensores analógicos e, em seguida, 5 selecione o canal 1, 2, 3 ou 4 presente na tabela do lado direito da janela, de acordo com o número da entrada frontal da interface que o sensor de posição foi conectado. Depois de selecionado o canal, clique em Adicionar. Verifique se a palavra posição encontra-se na tabela no canal que foi selecionado. 6 Feche a janela. Para captar algum movimento pelo sensor de posição, deve-se usar a ferramenta Osciloscópio, presente na janela de ferramentas. Para ativar essa 7 ferramenta, arraste a palavra Osciloscópio para a área de trabalho, mantendo pressionado o botão esquerdo do mouse. Observe que uma janela foi aberta.

8 8 O sensor de posição no osciloscópio deve ser habilitado, para isso, clique no símbolo +, à esquerda da palavra Sensores, presente na janela de 8 configuração. Aparecerá a palavra Posição, arraste-a para a janela do osciloscópio que foi aberta. Com isso, o sensor de posição já se encontra habilitado para uso no programa CidepeLab. Para verificar ou modificar as propriedades do sensor de posição, clique no quarto ícone (Propriedades) presente na parte superior da janela do 9 osciloscópio. Clicando nele, aparecerá uma nova janela Parâmetros do Osciloscópio. Clique no espaço destinado ao Nome e altere o título semnome para Atividade 10 Teste. Em Parâmetros de Aquisição, marque 15s (segundos) em Tempo Total e 10ms (milésimos de segundos) em Amostragem. Significa que o experimento terá 11 duração de 10s e que os dados serão coletados a cada 5 milésimos de segundo. E na opção Escala do Sensor, aparecerá o valor mínimo e o valor máximo que o 12 sensor de posição irá captar movimento. Como os alcances mínimo e máximo do sensor são 0,4 e 1,5m, esses dados serão mantidos. 13 Feche a Janela. Realização do experimento. 1 Ligue a interface através do interruptor presente na sua parte traseira. Pegue um objeto qualquer, um livro, por exemplo, posicione alinhado ao sensor 2 de posição a uma distância de 0,4m aproximadamente. Afaste o livro lentamente do sensor de presença, a uma velocidade 3 praticamente constante. Para que o sensor capte esse movimento, é necessário habilitar o osciloscópio, clicando no primeiro ícone da janela do osciloscópio. 4 Salve o experimento clicando no quinto ícone da janela do osciloscópio. Clicando no símbolo +, à esquerda da palavra Curvas, presente na janela de 5 configuração, aparecerá o nome do experimento que você salvou: Atividade Teste. Exportação dos dados do experimento para a tabela ou gráfico Para visualizar a tabela e o gráfico, arraste as palavras Gráfico e Tabela, 1 presentes na janela de ferramentas, para a área de trabalho.

9 9 Arraste o nome do experimento feito, Atividade Teste, para o gráfico e depois 2 para a tabela, obtendo os dados captados. Transferência dos dados da tabela para o Excel Os dados presentes na tabela podem ser copiados para outros ambientes, como o Excel. Vamos selecionar apenas os dados expressivos. Para tanto, devem ser observadas as distorções discrepantes por meio do gráfico, 1 provavelmente no início ou final do movimento. Ou seja, selecione na tabela, apenas a partir dos valores que, no gráfico, se mostram confiáveis, até um valor que você acha importante de ser observado. 2 Clique no quinto ícone presente na parte superior da janela da tabela. 3 Abra o programa Excel e cole os dados normalmente. Crie um gráfico através do Excel, clicando em: Inserir Dispersão. Clique com o botão direito do mouse em cima do gráfico e selecione Adicionar Linha de Tendência, provavelmente o formato de seu gráfico ficou semelhante a 4 uma reta. Portanto, selecione o item Linear, que vai indicar uma reta de tendência dos pontos. Para mostrar a equação dessa reta, marque a opção Exibir Equação no Gráfico na parte inferior da janela. Feche a janela. Foi obtida, então, a equação de uma reta que indica aproximadamente a 5 posição indicada por um corpo em função do tempo. Figuras da representação dos experimentos no CidepeLab e Excel

10 10 Atividades sobre Função envolvendo Modelagem de Fenômenos Físicos Atividade 1 Análise do movimento retilíneo de um corpo com aceleração constante Objetivo Estudar Função através do movimento retilíneo de um corpo com aceleração constante. Metodologia Seja um corpo (carro com aceleração constante), será feita uma análise matemática sobre seu movimento, considerando a posição do objeto em função do tempo. Situação inicial Movimento retilíneo de um corpo com aceleração constante. Inteiração Como já mencionado, nesta etapa acontece a familiarização com a situação. Nela vai ocorrer o primeiro contato com a situação-problema, em que será formulado o problema e definidas as metas almejadas. Recordando na Física O conceito de aceleração está sempre relacionado a uma mudança na velocidade. Se o movimento de um corpo for variado, o valor da velocidade v 1 no instante t 1 será diferente do valor de uma outra velocidade v 2 num instante qualquer t 2. Isto é, durante o intervalo de tempo Δt = t 2 t 1, a velocidade sofreu uma variação Δv = v 2 v 1. Um movimento em que a variação da velocidade em cada intervalo igual de tempo Δt é constante, ou seja, no qual a aceleração é constante, é denominado Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. Livro: Física Ensino Médio Antônio Máximo e Beatriz Alvarenga, São Paulo: Scipione, 2005, p , v. 1. Os componentes necessários para essa experimentação serão 01 computador; 01 sensor de Posição; 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena; 01 interface;

11 11 01 carro de retropropulsão. Serão utilizados os softwares CidepeLab; Excel; GeoGebra. Observações Os cálculos necessários e comentários importantes devem ser explicitados; Todas as etapas realizadas no GeoGebra e Excel devem ser salvas como Atividade 1 ; No tópico opções do GeoGebra, utilize arredondamento de 10 casas decimais. Procedimentos do experimento Posicione o carro de retropropulsão alinhado ao sensor de presença, distante 30cm dele. Veja a figura abaixo. 1 2 Salve a atividade a ser feita como Atividade 1 no software CidepeLab. Inicie a análise dos dados, regulando a aquisição de dados na janela do 3 osciloscópio, de maneira que os dados sejam captados a cada 100ms em um tempo de 10s. 4 Exporte os dados para a tabela. Verbalize a meta dessa atividade. 5 Matematização e resolução Sabendo que está sendo observado o movimento de um corpo com 1 aceleração constante, responda, com base em seus conhecimentos de

12 12 Física, qual tipo de função matemática melhor representa o deslocamento do objeto em relação ao tempo Escreva a fórmula geral desse tipo de Função. Defina as variáveis dependente e independente e indique o que cada uma representa no problema. Variável independente: Variável dependente: Quantos pontos do experimento são suficientes para obter os coeficientes da fórmula geral descrita no item 2? 5 Gere o gráfico do experimento no programa CidepeLab. Observando o gráfico obtido e os dados da tabela, selecione esses pontos do experimento. Faça essa escolha cuidadosamente, não utilizando pontos 6 que fujam do padrão do movimento. Utilize cálculos manuais para obtenção da fórmula desejada. 7

13 13 8 Escreva a lei da Função obtida. 9 Trace seu Gráfico no GeoGebra. Interpretação e validação Observando o gráfico obtido no CidepeLab, desconsidere os pontos iniciais 1 e finais que fogem do padrão e exporte da tabela obtida do CidepeLab para o Excel todos os outros pontos obtidos no experimento. 2 Gere no Excel o gráfico de tendência dos pontos e sua equação. 3 Obtenha no GeoGebra o gráfico da fórmula adquirida no Excel. Compare os dois gráficos no intervalo em que acontece a experimentação. Eles demonstram uma tendência semelhante? Comente sobre os resultados alcançados. 4 5 Retomando os processos de matematização e resolução Faça o mesmo processo, a partir do item 6, utilizando outros pontos e verificando a possibilidade de obtenção de um gráfico mais próximo do elaborado no Excel no intervalo desejado. Sugestões: 5.1 Para agilizar o trabalho, utilize o software GeoGebra para os cálculos do item 7, em que se tem um sistema linear de três incógnitas e três equações. Elimine uma das três incógnitas somando as equações duas a duas, chegando a sistema de ordem dois. Resolva-o no GeoGebra. Descreva abaixo os pontos selecionados e a fórmula obtida por cada conjunto de pontos. 5.2

14 14 6 Escreva abaixo a fórmula cujo gráfico é mais preciso no intervalo desejado. Questões a serem respondidas Através da última fórmula do item anterior, informe a aceleração do objeto. 7.1 Qual distância o objeto percorreria no intervalo de 1 hora? Obtenha a velocidade média do objeto, a partir do instante inicial, se ele tivesse percorrido uma distância em um intervalo de 2min. 7.3 Situação final

15 15 Atividade 2 Análise do movimento de um corpo em queda livre Objetivo Estudar Função através do movimento de um corpo em queda livre. Metodologia Um objeto (bola de plástico) será desprendido de uma estrutura, caracterizando, então, um movimento em queda livre. Será feita uma análise matemática sobre seu movimento, considerando a posição do objeto em função do tempo. Nessa atividade, você desenvolverá o processo de Modelagem Matemática com maior autonomia, descrevendo todo o processo de maneira clara e detalhada. Situação inicial Movimento de um corpo em queda livre. Inteiração Recordando na Física Se um objeto for arremessado para cima ou para baixo e se, de alguma forma, puder ser eliminado o efeito do ar sobre o movimento, pode ser observado que o objeto sofre uma aceleração constante para baixo, conhecida como aceleração em queda livre, cujo módulo é representado pela letra g. O valor dessa aceleração não depende das características do objeto, como massa, densidade e forma; ela é a mesma para todos os objetos. Livro: Fundamentos de Física David Halliday e Robert Resnick, Rio de Janeiro: LTC, 2008, p. 27, v. 1. Os componentes necessários para essa experimentação serão 01 computador; 01 sensor de posição; 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena; 01 interface; 01 cabeçote superior acoplado com 01 retenção eletromagnética; 01 corpo de prova esférico (bola de plástico com ponto de metal). Serão utilizados os softwares CidepeLab;

16 16 Excel; GeoGebra. Observações Os cálculos necessários e comentários importantes devem ser explicitados; Todas as etapas realizadas no GeoGebra e Excel devem ser salvas como Atividade 2. No tópico opções do GeoGebra, utilize arredondamento de 10 casas decimais. Procedimentos do experimento Posicione o cabeçote eletromagnético ao cesto a haste, para que a bola 1 caia exatamente nele. Veja figura abaixo. Alinhe o sensor de posição ao cesto da haste. O conjunto de equipamentos deve ficar semelhante à figura abaixo. 2 3 Salve a atividade a ser feita como Atividade 2 no software CidepeLab. Ligue o sensor de posição e regule a aquisição de dados do osciloscópio 4 para captar os dados a cada 25ms em um tempo de 3s. 5 Ative o osciloscópio e solte o objeto (bola de plástico). 6 Exporte os dados para a tabela. Verbalize a meta dessa atividade. 7

17 17 Matematização e resolução Tomando como base seus conhecimentos em Física, qual tipo de função matemática melhor representa, em relação ao tempo, a posição de um 1 objeto em queda livre? Utilize o mesmo processo da atividade anterior para obter a fórmula que modela a situação do experimento. Orientações: Descreva detalhadamente todas as etapas seguidas. Utilize o GeoGebra para os cálculos, quando necessário. 2 3 Escreva a lei dessa Função. 4 Trace seu gráfico no GeoGebra. Interpretação e validação Faça a análise da fórmula obtida, avaliando sua validade em relação ao problema de queda livre. 1

18 18 Retome os processos de matematização e resolução, se necessário 2 3 Escreva abaixo a fórmula cujo gráfico é mais preciso no intervalo desejado. Questões a serem respondidas Qual o valor da aceleração gravitacional local, de acordo com a fórmula obtida? A partir da equação que modela o fenômeno, em que instante a bola tocaria o solo? Situação final

19 19 Atividade 3 Análise da carga e descarga de um capacitor Objetivo Estudar Função através da análise do carregamento e descarregamento de um capacitor. Metodologia Através de um circuito RC, conectando-se a uma fonte de tensão, um resistor e um capacitor inicialmente descarregado, será feita uma análise matemática sobre a diferença de potencial presente no capacitor ao carregá-lo e ao descarregá-lo. Situação inicial Carregamento e descarregamento de um capacitor num circuito RC. Inteiração Recordando na Física O Capacitor é um dispositivo usado para armazenar energia elétrica. Uma forma de carregar um capacitor é colocá-lo em um circuito elétrico com uma bateria. Circuito elétrico é um caminho fechado que pode ser percorrido por uma corrente elétrica. Um circuito RC em série é formado por um capacitor, uma fonte ideal e uma resistência R. Quando a chave S é colocada na posição a, o capacitor é carregado. Mais tarde, quando a chave é colocada na posição b, o capacitor é descarregado através do resistor. No momento em que o circuito é completado, cargas começam a se mover (surgem correntes) no circuito. Essas correntes acumulam uma carga q cada vez maior nas placas do capacitor e estabelecem uma diferença de potencial V C (= q/c) entre as placas do capacitor. Livro: Fundamentos de Física David Halliday e Robert Resnick, Rio de Janeiro: LTC, 2008, p. 111, 112 e 128, v. 3.

20 20 Os componentes necessários para essa atividade serão 01 quadro eletroeletrônico; 01 resistor de 150kΩ; 01 capacitor de 1000µF; 01 chave liga-desliga; 01 chave de desvio; 04 cabos vermelhos flexíveis com pinos de pressão para derivação; 03 cabos pretos flexíveis com pinos de pressão para derivação; 01 fonte de tensão (tipo EQ030C, EQ030F); 01 cronômetro; 01 multímetro; 01 computador; 01 calculadora científica. Será utilizado o software GeoGebra. Observações Os cálculos necessários e comentários importantes devem ser explicitados; Todas as etapas realizadas no GeoGebra devem ser salvas como Atividade 3. No tópico opções do GeoGebra, utilize arredondamento de 10 casas decimais. Procedimentos do experimento Encaixe no quadro eletrônico o resistor e o capacitor, conforme a figura abaixo. 1 Resistor Entre os bornes D1 e E1. Capacitor Entre os Bornes F1 e F2. 2 As conexões com os outros equipamentos devem ser feitas através dos

21 21 cabos flexíveis, de acordo com a seguinte imagem. Chave liga-desliga Borne 2 da chave interligado ao borne positivo da fonte. Chave de desvio Borne I da chave no borne C1 do painel. Borne III da chave no borne E2 do painel e ao borne negativo da fonte. Voltímetro Conexão vermelha no borne G1 do painel. Conexão preta no borne G2 do painel. A figura abaixo mostra o esquema elétrico do circuito RC O multímetro (ligado na função voltímetro, para medir a diferença de potencial) está conectado de modo a medir a diferença de potencial nos terminais do capacitor. Verifique se o capacitor está totalmente descarregado antes de iniciar o experimento. Coloque a chave de desvio na posição I-II, a chave liga-desliga na posição neutra (posição 1) e ajuste a fonte para 10 VCC. Para realizar a carga do capacitor, o cronômetro deve ser disparado ao mesmo tempo em que a chave liga-desliga.

22 Para observar os dados, serão necessários dois alunos. Um deve observar o tempo no cronômetro a cada 15 segundos e informar ao outro, para que ele anote na tabela apresentada a diferença de potencial presente no capacitor (V C ), mostrada no multímetro naquele instante. Após o tempo de 300 segundos, o aluno que estiver anotando os dados deve rapidamente acionar a chave de desvio para a posição I-III, para que o capacitor comece a ser descarregado. A observação deve continuar no instante seguinte, ou seja, no tempo 315 segundos. Ligue o circuito, juntamente com o cronômetro e anote os dados na tabela seguinte. t (s) V C (V) V C (V) t (s) Carga Descarga

23 23 Verbalize a meta dessa atividade. 10 Matematização e resolução Primeiro será feita a análise do processo de descarga do capacitor. Descarga do capacitor Descreva todos os 21 pontos adquiridos com a descarga do capacitor no 1 GeoGebra. A Função que contém esses pontos é Crescente ou Decrescente? Justifique. 2 3 Dentre as Funções Afim, Quadrática, Exponencial, Logarítmica e Trigonométrica, qual tipo descreve melhor a tendência desses pontos? 4 Escreva a definição do tipo de Função citada no item anterior (fórmula geral e condições de existência). 5 Pela fórmula geral apresentada acima, qual a condição para que a Função seja Crescente ou Decrescente? A Função desejada é originada a partir de uma Função cuja base é o número irracional e. Atribui-se a John Napier ( ) a descoberta do número de Neper. É 6 um número irracional obtido através do valor da expressão 1 1 n n para valores muito grandes de n, sendo e = 2, Esse número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler ( ), um dos primeiros a estudar suas propriedades. Ele é importante em quase todas as áreas do conhecimento: Economia, Engenharia, Biologia, Sociologia.

24 24 A Função Exponencial, e x, cuja base é o número de Neper, modela fenômenos de importância vital nos mais variados campos da ciência: físico-químicas, biológicas, econômicas, agronômicas, geográficas, médicas, sociais. O número e é um número irracional, mas de uma categoria diferente de 2 por exemplo. Enquanto 2 pode ser raiz de um polinômio, o número e não pode ser raiz de polinômios de coeficientes inteiros: diz-se um número irracional transcendente. Pelas suas propriedades particulares, o número e tem sido usado como base de logaritmos privilegiados em Matemática Superior, embora a base 10 seja a mais usada em aplicações práticas. A base de logaritmos inventada por Neper, que era muito complicada, fazia intervir o número e, pelo que este continua a chamar-se número de Neper e os logaritmos de base e logaritmos neperianos ou naturais. Assim, podemos escrever: log x log x e log x ln x 10 e. 7 Livro: Modelagem Matemática na Educação Básica Lourdes Almeida, Karina Silva e Rodolfo Vertuan, São Paulo: Contexto, p. 121 A fórmula da Função que contempla a situação da descarga do capacitor não é puramente a do tipo descrita no item 4. É a fórmula do tipo do item 4, com base e, multiplicada por uma constante a e tendo sua variável independente multiplicada por uma constante b. Escreva, então, com as constantes a e b a fórmula que representa a Função desejada. 8 9 Distinga as variáveis depende e independente e o significado de cada uma no problema. Variável independente: Variável dependente: Dentre os 21 pontos digitados no GeoGebra, selecione a quantidade necessária para adquirir o valor dos coeficientes a e b. Lembre-se de que essa escolha deve ser criteriosa.

25 25 Através de cálculos manuais e com o auxílio da calculadora científica, obtenha os valores de a e b. Observações: A calculadora científica possui as teclas e e ln, que representam respectivamente o número irracional de Neper e o logaritmo de base e. Procure não fazer arredondamentos Escreva a lei da Função obtida. 12 Trace seu gráfico no GeoGebra. Interpretação e validação O gráfico obtido contempla a tendência dos 21 pontos? Se necessário, procure selecionar outros pontos, objetivando encontrar uma fórmula cujo gráfico seja mais preciso, refazendo o item 10 do tópico de matematização e resolução. 1

26 26 2 Faça comentários sobre a fórmula e o gráfico obtidos no contexto do problema (descarga de um capacitor). Matematização e resolução Carga do capacitor Descreva todos os 21 pontos obtidos através da carga do capacitor no 1 GeoGebra. A Função que contém esses pontos é Crescente ou Decrescente? Justifique A fórmula que descreve a carga do capacitor em função do tempo é do tipo y a 1 e a ae bx bx. Sendo a e b constantes e y a variável dependente que representa a carga presente no capacitor em função da variável independente x que indica o tempo. Dentre os 21 pontos digitados no GeoGebra, selecione a quantidade necessária para identificar o valor dos coeficientes a e b. Lembre-se de que essa escolha deve ser criteriosa. 5 Através de cálculos manuais e com o auxílio da calculadora científica e do GeoGebra, obtenha os valores de a e b. Sugestões: Isole a incógnita a nas equações e obtenha uma equação fracionária em função de b. Note que os denominadores de ambos os membros da equação apresentam uma subtração entre um número real e uma potência de base e com expoentes diferentes. Faça com que essas duas potências

27 27 de base e fiquem iguais, decompondo seus expoentes de maneira que se tenha potências iguais b 2b 6b 2b Por exemplo: e e e e e. Faça uma substituição da potência por uma incógnita qualquer, chegando, assim, a uma equação polinomial. b b b Por exemplo: substitua e por x, obtendo: e x e e x Resolva a equação polinomial com o auxílio do GeoGebra (para não atrapalhar o problema, abra uma outra janela). Volte na substituição feita, apresentando os valores de a e b. 6 Escreva a lei da Função obtida. 7 Trace seu gráfico no GeoGebra. Interpretação e validação O gráfico obtido contempla a tendência dos 21 pontos? Se necessário, procure selecionar outros pontos, objetivando encontrar uma fórmula cujo 1 gráfico seja mais preciso, refazendo o item 5 do tópico de matematização e resolução.

28 28 Faça comentários sobre os impactos ocorridos no gráfico da Função Exponencial de fórmula y x e até ela se tornar a Função que modela o problema. Se necessário, explique fazendo esboços de gráficos a cada transformação. 2 3 Faça comentários sobre a fórmula e o gráfico obtidos no contexto do problema (carga de um capacitor). Situação final

29 29 Atividade 4 Análise do movimento harmônico simples de um corpo Objetivo Estudar Função através do movimento harmônico simples de um corpo. Metodologia Seja uma bola de isopor, será feita sua rotação através de um aparelho que mantém a velocidade do giro constante. Apesar de se ter um movimento circular bidimensional da bola de isopor, será feita a análise apenas do movimento em uma dimensão, um estudo sobre um movimento harmônico. Situação inicial Movimento harmônico simples de um corpo. Inteiração Recordando na Física Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de movimento periódico ou movimento harmônico. Livro: Fundamentos de Física David Halliday e Robert Resnick, Rio de Janeiro: LTC, 2009, p. 88, v. 2 Os componentes necessários para essa experimentação serão 01 computador; 01 sensor de posição; 01 tripé universal delta acoplado com uma haste pequena; 01 interface; 01 aparelho para rotação; 01 corpo de prova esférico (bola de isopor). Serão utilizados os softwares CidepeLab; GeoGebra. Observações Os cálculos necessários e comentários importantes devem ser explicitados; Todas as etapas realizadas no GeoGebra devem ser salvas. Procedimentos do experimento

30 Encaixe a bola de isopor no aparelho de rotação, deixando-a mais à esquerda possível do aparelho. Posicione o sensor de posição à esquerda do aparelho de rotação alinhado à bola de isopor distante, 50cm dele. Interligue o sensor de posição à interface e a interface ao computador. O conjunto de equipamentos deve ficar semelhante à figura abaixo. 3 Ao se ligar o aparelho de rotação, obter-se-á a distância que a bola se 4 encontra do sensor de presença em função do tempo. 5 Regule o aparelho de rotação na velocidade seis. Regule a aquisição de dados na janela do osciloscópio, de maneira que os 6 dados sejam captados a cada 100ms, durante um tempo de 15s. Ligue o aparelho de rotação e, em seguida, o osciloscópio no software 7 CidepeLab. Inicie a análise dos dados. 8 Exporte os dados para a tabela. Com a experimentação feita, escreva então a meta dessa atividade. 9 Matematização e resolução Analise os dados da tabela e descreva o que acontece com a posição da bola em relação ao sensor de presença, à medida que se aumenta o 1 tempo. 2 3 Qual tipo de função matemática pode representar esta situação? Faça as seguintes definições sobre a Função que será estudada. Variável independente:

31 31 4 Variável dependente: Para fazer o trabalho de Modelagem Matemática, serão selecionados alguns pontos importantes que descrevem a tendência do movimento. Essa escolha é criteriosa, portanto, deve-se tomar cuidado para não utilizar pontos atípicos, que fogem do padrão esperado. Para que o modelo seja o mais preciso possível, provavelmente, será necessário fazer algumas aproximações nos valores dos pontos, senão, será impossível padronizar o movimento no tipo de Função desejada. Portanto, selecione 3 pontos máximos e 3 pontos mínimos. Não há necessidade de que esses pontos sejam exatamente os da tabela. Faça ajustes (aproximações de valores), para que eles pertençam ao modelo de Função estudada. 5 Trace os 6 pontos no GeoGebra. 6 Qual o conjunto imagem da função que contempla esses pontos? 7 Deve-se, então, procurar a lei de uma Função cujo gráfico siga o comportamento dos pontos assinalados. Para fazer isso, partiremos da função básica citada no item 2. Escreva a lei matemática (fórmula) do tipo de Função citado no item 2. 8 Trace o gráfico dessa Função no GeoGebra. 9 Qual seu conjunto imagem? 10 Chama-se de amplitude desse tipo de função a metade da diferença entre os pontos máximo e mínimo. Então, qual a amplitude dessa Função? 11 Se a lei da Função for multiplicada por uma constante positiva c, qual será a amplitude da Função gerada? (Caso necessário, faça testes com números quaisquer no GeoGebra). 12 E seu conjunto imagem?

32 32 13 Apenas multiplicando a lei da Função do item 7 por uma constante positiva, obtenha a lei de uma Função com mesma amplitude da Função desejada (Função que contempla os 6 pontos selecionados). 14 Trace o gráfico dessa nova Função no GeoGebra. O que deve ser feito com a lei dessa nova Função para que ela atinja a mesma altura da Função desejada? Escreva a fórmula dessa nova Função e trace o seu gráfico no GeoGebra Qual o período dessa Função? O que deve ser feito na lei dessa Função para modificar seu período? Descreva como acontece esse processo Qual o período da Função desejada? Como ficaria a lei de uma outra Função com o mesmo período da Função desejada, aplicando o processo descrito no item 17 na lei da função do item 13? 20 Trace no GeoGebra o gráfico dessa outra Função. Caso o gráfico ainda não contemple os 6 pontos almejados, deve haver um deslocamento horizontal. Ou seja, uma constante k deve ser adicionada na fórmula do item 19. Acrescente essa constante k no local adequado na 21 lei dessa Função e descreva como se procede a alteração (Confirme sua resposta fazendo testes no GeoGebra).

33 33 Obtenha o valor de k substituindo um dos 6 pontos do experimento na fórmula do item anterior Escreva a lei dessa Função. 24 Trace seu gráfico no GeoGebra. Interpretação dos resultados e validação Verifique a validade da fórmula obtida para outros casos. Faça um teste com alguns valores utilizando a fórmula e comparando o resultado com os dados reais presentes na tabela construída com o experimento. 1 Situação final