Exploração de Lugares Geométricos Planos com o Software GeoGebra

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1 Exploração de Lugares Geométricos Planos com o Software GeoGebra Elisabete 1 Teresinha Guerato 2 GD4 Educação Matemática no Ensino Superior Resumo do trabalho. Colocam-se como objetivos, neste projeto de Tese de Doutorado em Educação Matemática, desenvolver abordagens que favoreçam a elaboração de conjecturas sobre propriedades de alguns Lugares Geométricos Planos, alavancar a necessidade e estimular a elaboração das demonstrações dessas conjecturas. Colocam-se como questões de pesquisa Construções geométricas, exploradas com um software de geometria dinâmica, favorecem a elaboração de conjecturas sobre propriedades de alguns Lugares Geométricos Planos?, Construções geométricas, exploradas com um software de geometria dinâmica, favorecem a demonstração geométrica de propriedades de alguns lugares geométricos planos? e O uso desse software, em tablets, provoca atitudes diferentes das que ocorrem com o uso em computadores pessoais?. Para atingir os objetivos propostos e responder às questões de pesquisa, pretende-se desenvolver e aplicar, num grupo de alunos de Licenciatura em Matemática, três conjuntos de atividades, com questões que envolvem lugares geométricos planos. Dois deles para serem desenvolvidos com a ajuda do software GeoGebra, um num computador pessoal e o outro, num tablet. E o terceiro, num ambiente do tipo papel e lápis. Todas as atividades serão acompanhadas por observadores neutros. Os dados gerados com os protocolos e as observações escritas serão analisados com base nos pressupostos teóricos, que são a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval e as ideias de De Villiers, Parsysz e Balacheff sobre a demonstração em Geometria. Espera-se que o software GeoGebra, por sua dinamicidade, favoreça a formação de conjecturas e aponte caminhos para demonstrá-las. Palavras-chave Geometria. Demonstração. GeoGebra. Tablet. Introdução Em abril de 2012, finalizei a pesquisa para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, com o tema Tratamento Vetorial da Geometria Analítica Plana, na qual utilizei a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 1993, 1995, 2000, 2003, 2006, 2011), com o objetivo de verificar possibilidades do uso de representações vetoriais no ensino de Geometria Analítica Plana, para alunos do Ensino Médio. Pude observar (Guerato, 2012) que uma das dificuldades encontradas foi a distinção entre os objetos matemáticos e as suas diversas representações. Outra, a transição entre diversas representações de um mesmo objeto matemático, confirmando as ideias de Duval (1993, 1995, 2000, 2003, 2006, 2011). Ao término do Mestrado, surgiu-me a possibilidade de trabalhar com as disciplinas Geometria Euclidiana Plana e Desenho Geométrico, com alunos de um Curso de Licenciatura em Matemática. Na Geometria Euclidiana Plana, são tratadas a teoria e as 1 Professora efetiva do Instituto Federal de São Paulo Campus São Paulo. 2 Universidade Anhanguera de São Paulo, eguerato@globo.com. Orientadora: Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.

2 demonstrações, a partir de postulados, axiomas e teoremas. No Desenho Geométrico, usamos representações figurais dos entes geométricos, por meio de construções com régua e compasso. Com o uso do software GeoGebra, de Geometria Dinâmica, acredito ser possível trabalhar a comprovação de algumas das propriedades demonstradas nas aulas de Geometria Plana e que o uso das ideias da Teoria dos Registros de Representação Semiótica pode fazer a integração entre essas duas disciplinas, talvez diminuindo as dificuldades apontadas em minha Dissertação de Mestrado. A partir dessa crença, engajei-me no Doutorado em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo e pretendo, com essa tese de doutorado, ampliar a pesquisa sobre a utilização dos Registros de Representação Semiótica no ensino de Geometria e de Desenho Geométrico, de forma que as construções geométricas sejam uma conversão das demonstrações utilizadas no estudo da Geometria Plana. Justificativa Um dos grandes problemas sociais brasileiros, nesse momento da História, é a base escolar dada aos alunos na Educação Básica e a experiência mostra que para se ter alunos com melhor formação devemos investir nos cursos que formam os professores desses alunos. Por essa razão, nossa pesquisa tem foco na formação inicial de professores de Matemática de uma instituição pública de ensino, onde pretendemos utilizar as abordagens feitas nas aulas de Geometria Plana e de Desenho Geométrico de modo a integrá-las e, assim esperamos, promover a aprendizagem de conceitos geométricos, fazendo uso da conversão entre os registros na língua materna e algébricos utilizados nas aulas de Geometria e o registro figural das aulas de Desenho Geométrico. Para colocar em prática essa ideia, vamos usar o software GeoGebra, de geometria dinâmica, pois acreditamos que este pode contribuir para essa integração. Acreditamos que as representações figurais favorecem a aprendizagem de Geometria e estas podem ser tanto construções efetivadas por meio da régua sem escala e do compasso ou de um software de geometria dinâmica, ou ainda podem ser esboços feitos a mão livre, utilizados apenas como estratégia para visualizar o que se tem e o que se quer determinar. Os Registros de Representação Semiótica são essenciais para se construir as representações dos conceitos geométricos, pois a partir deles pode-se chegar à noésis, que é a apreensão conceitual do objeto representado, a partir da semiósis, que é a apreensão ou produção de uma representação semiótica do objeto em estudo ou vice versa. Segundo Duval (DUVAL,

3 1993, 1995, 2000, 2003, 2006, 2011) essas operações são inseparáveis: a noésis não acontece sem a semiósis e vice-versa. Para a pesquisa que pretendemos realizar, a Teoria dos Registros de Representação Semiótica será essencial, pois acreditamos que será por meio dela que o sujeito conseguirá relacionar a geometria demonstrativa com as construções geométricas, quer sejam realizadas com o auxílio da régua e do compasso, quer sejam realizadas com o auxílio de um software de Geometria Dinâmica. Segundo De Villiers (2001), os alunos não veem a importância das demonstrações e uma maneira de mostrar isso é por meio de construções feitas com softwares de Geometria Dinâmica, para convencê-los da validade de uma propriedade, antes da demonstração da mesma. A legislação oficial no Brasil, para o ensino na Educação Básica, é regida pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1997) e pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM, 1999). Citaremos ambos, a seguir, considerando suas propostas para o ensino de Geometria. Segundo os PCN (1997), para que os alunos do Ensino Fundamental II possam desenvolver um tipo especial de pensamento, que lhes permita compreender, descrever e representar de forma organizada o mundo em que vivem, é necessário que dominem os conceitos geométricos. Ainda de acordo com os PCN (1997), a aprendizagem da Geometria favorece e estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades. O professor, ao trabalhar a Geometria, deve explorar situações em que sejam necessárias algumas construções geométricas com régua e compasso, a fim de que o aluno consiga visualizar e aplicar as propriedades das figuras geométricas estudadas. Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM/PCN+, 1999/2002) afirmam que os alunos do Ensino Médio devem desenvolver conhecimentos práticos e contextualizados, para suprir as necessidades da vida contemporânea, e conhecimentos mais amplos e abstratos, para formar uma cultura geral e ter uma visão do mundo adequada. Uma das possibilidades para se atingir esses objetivos é desenvolver habilidades que provenham da vivência obtida a partir da conciliação das demonstrações, que são conceitos abstratos, com as construções das figuras geométricas, quer com o uso da régua e do

4 compasso, quer com o uso do computador atrelado a um software de geometria dinâmica e a proposta deste projeto atende a essas necessidades. Segundo o PCN+ (2002), documento que veio complementar o PCNEM (1999), é necessário que o aluno seja capaz de estabelecer estratégias para enfrentar as situaçõesproblema e a nossa proposta, para essa pesquisa, é que o aluno consiga vislumbrar estratégias de demonstração de propriedades geométricas, ao efetuar as construções com o software GeoGebra, principalmente por sua característica de geometria dinâmica. Considerando essas orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais, tanto para o Ensino Fundamental como para o Ensino Médio, podemos concluir que é de importância que façamos a intervenção sugerida por nossa pesquisa, num curso de Licenciatura em Matemática, de modo que possamos formar professores que gostem de ensinar Geometria e que tenham outras ferramentas para cumprir esse objetivo, além das construções com régua e compasso, que fazem parte da disciplina Desenho Geométrico, e das demonstrações formais de propriedades, que em geral são feitas nas disciplinas específicas de Geometria Plana e Geometria Espacial. Em nossa pesquisa de Doutorado, vamos nos ater a alguns lugares geométricos planos importantes, como mediatriz, circunferência e o par de bissetrizes de ângulos suplementares, nas atividades com o GeoGebra no tablet. Para o computador pessoal, pretendemos ampliar esse escopo para outros lugares geométricos não menos importantes, como a elipse, a hipérbole e a parábola, explorando também a conversão entre o registo gráfico e o algébrico, uma vez que as equações desses lugares geométricos podem ser vistos na área chamada algébrica do GeoGebra, em sua versão para o computador pessoal. A partir das considerações feitas, colocamos nossos objetivos de pesquisa. Desenvolver abordagens que favoreçam a elaboração de conjecturas sobre propriedades de alguns Lugares Geométricos Planos. Alavancar a necessidade e estimular a elaboração das demonstrações dessas conjecturas. E elaboramos nossas questões de pesquisa. Construções geométricas, exploradas com um software de geometria dinâmica, favorecem a elaboração de conjecturas sobre propriedades de alguns Lugares Geométricos Planos?

5 Construções geométricas, exploradas com um software de geometria dinâmica, favorecem a demonstração geométrica de propriedades de alguns lugares geométricos planos? O uso desse software, em tablets, provoca atitudes diferentes das que ocorrem com o uso em computadores pessoais? Fundamentos Teóricos Para o desenvolvimento de nossa pesquisa, em princípio vamos utilizar a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 1995, 2000, 2003). Além dessa teoria, cujas principais ideias são apresentadas no que segue, pretendemos usar outras considerações teóricas, que versam sobre o ensino de Geometria, em particular as que se preocupam com a utilização das demonstrações, como é o caso das ideias de Michael D. de Villiers (1993, 2001, 2002), que utiliza um software de geometria dinâmica para ensinar Geometria e provocar a necessidade das demonstrações de propriedades geométricas. Pensamos ainda que são importantes os estudos de Bernard Parsysz (2006) e de Nicolas Balacheff (1987), a respeito das demonstrações em Geometria. As ideias de Duval Duval afirma que o desenvolvimento de atividades cognitivas fundamentais de um sujeito se dá a partir da utilização de diversos registros de representação e que não há atividade matemática sem as representações semióticas. Afirma também que, para não confundir um objeto matemático com uma de suas representações, o indivíduo precisa saber discriminar e utilizar pelo menos dois sistemas diferentes de representação, bem como passar de um para outro. Discriminar, porque o indivíduo tem que saber que existem diferentes sistemas de representação semiótica e precisa fazer escolhas, diante de um problema de Matemática. Utilizar um sistema de representação, o que significa que o sujeito precisa conhecer as regras que permitem formar o registro no sistema escolhido, bem como transformá-lo, sem sair desse sistema, o que Duval chama de tratamento. Passar de um para outro, que Duval chama de conversão e que é saber transformar um registro em outro, mudando o sistema de representação. Por exemplo, no caso da Geometria, ao fazer uma representação de uma figura geométrica pela construção com régua e compasso, estamos utilizando o registro figural; ao representá-la num sistema cartesiano, estamos usando o registro gráfico; e ao representá-la por equações algébricas, estamos utilizando o registro algébrico. Podemos, ainda,

6 descrever a figura com palavras e desta forma estamos utilizando o registro da língua materna. Para passar do registro figural para o registro gráfico, por exemplo, precisamos fazer o que Duval chama de conversão e assim por diante. Duval classifica os tipos de representação semiótica em quatro categorias: o registro figural, o simbólico, o gráfico e o da língua materna e ainda destaca, em cada um deles, dois aspectos: a forma (ou o representante) e o conteúdo (ou o representado). No caso da aprendizagem de Geometria, Duval (2003) afirma que envolve uma atividade cognitiva específica, uma vez que nem sempre é fácil visualizar, numa figura geométrica, as propriedades e relações do objeto matemático representado. O registro utilizado pode interferir nessa visualização e, consequentemente, na aprendizagem. Além disso, a aprendizagem em Geometria exige um processo cognitivo autônomo, com a utilização do registro figural para a representação dos entes geométricos e suas propriedades e o registro em língua materna para enunciar as definições, teoremas e hipóteses. Para ele, esses dois tipos de registros devem ser utilizados de maneira simultânea e interativa, em sala de aula, pois a conversão não é um processo natural para um sujeito e necessita da intervenção efetiva do professor. No caso que pretendemos estudar, com base nessa teoria, podemos considerar o registro em língua materna como necessário para o enunciado de axiomas, postulados, teoremas e propriedades referentes aos entes geométricos e o registro figural, como o das construções geométricas efetuadas com o auxílio da régua sem escala e do compasso ou com o auxílio de um software de Geometria Dinâmica. Por essas razões, em nossa pesquisa vamos propor e utilizar a interação entre esses dois tipos de registro, por meio de atividades que os utilizem, com alguns lugares geométricos planos, em dois ambiente distintos, um computacional e o outro com papel e lápis. As ideias de De Villiers Desde os tempos de Tales de Mileto, que viveu na Grécia antiga de aproximadamente 623 a.c. a 526 a.c., conceitos matemáticos somente são aceitos após a demonstração de sua veracidade. Dessa forma, pretendemos estudar como as demonstrações podem ser estimuladas, em aulas de Geometria Plana, no caso de alguns lugares geométricos planos, por meio de construções geométricas, quer seja com o auxílio de papel e lápis, quer seja com um software de geometria dinâmica.

7 Para tal objetivo, pretendemos utilizar as ideias propostas por Michael De Villiers (2001, 2002, 2010), matemático sul-africano que estuda as diferentes funções da demonstração em Geometria e propõe cinco: explicação, descoberta, comunicação, desafio intelectual e sistematização. Para desenvolver tais funções, esse pesquisador usa os recursos da informática e esse é um dos objetivos de nossa pesquisa. O recurso informático que vamos utilizar é o do software GeoGebra, que é um software livre de matemática dinâmica, criado em 2002 por Markus Hahenwarter, na Universität Salzburg, na Áustria. Por esse recurso, é possível representar objetos matemáticos com dois tipos simultâneos de registro, o algébrico e o geométrico, numa representação chamada de Conexão Bidirecional, o que pode nos auxiliar no que diz respeito à conversão de registros. Em 2013, esse software teve sua versão para uso em tablets oficialmente lançada e embora não tenha todos os recursos da versão para computadores, segundo seus criadores, pode ser utilizada para a preparação de materiais didáticos que visam a demonstração e a visualização, o que pode favorecer o desenvolvimento das funções de descoberta, comunicação e desafio intelectual, propostas por De Villiers (2001, 2002, 2010) e que queremos que ocorra em nossos sujeitos. Procedimentos Metodológicos Como são muitos os lugares geométricos planos, optamos pelo estudo de alguns deles, tais como circunferência, elipse, parábola, hipérbole, mediatriz e bissetriz, que deverão ser explorados tanto teoricamente, a partir de demonstrações com papel e lápis, como pelas construções apoiadas pelo software de Geometria Dinâmica GeoGebra, que deverá ser utilizado tanto no computador pessoal como no tablet. Classificamos nossa pesquisa como interventiva, com análise qualitativa de dados, baseada numa metodologia do tipo Design Experiment (Cobb, 2003). Nesse tipo de metodologia, é aplicada uma atividade inicial e, a partir da análise dos dados obtidos, as demais atividades são elaboradas e aplicadas. Os dados serão obtidos pela aplicação dessas atividades num grupo de 20 alunos de um Curso de Licenciatura em Matemática de uma Universidade Pública da Cidade de São Paulo, que deverão assinar o Termo de Compromisso Livre e Esclarecido. Os procedimentos metodológicos que pretendemos desenvolver são descritos no que segue.

8 1. Escolher e analisar livros didáticos de Matemática, utilizados na Educação Básica, para verificar se o tema Lugares Geométricos Planos é apresentado de forma a provocar a conexão entre o estudo da Geometria Plana e o do Desenho Geométrico. 2. Verificar, nas propostas curriculares oficiais, quais os objetivos e diretrizes indicados para o estudo dos Lugares Geométricos Bidimensionais na Geometria Plana. 3. Escolher e analisar ementas da disciplina Geometria Euclidiana Plana, oferecidas em Cursos de Licenciatura em Matemática de algumas universidades públicas e particulares, para verificar se se coloca a proposta de utilizar o Desenho Geométrico para explorar Lugares Geométricos Planos, seja no papel e lápis, seja no computador. 4. Verificar se os livros didáticos, as ementas ou a documentação oficial dá alguma referência quanto ao uso de softwares para o estudo dos Lugares Geométricos Planos. 5. Elaborar atividades para a exploração de alguns Lugares Geométricos Planos, a partir do uso de construções geométricas com régua e compasso e o software de Geometria Dinâmica GeoGebra, tanto no computador pessoal como no tablete, com base na fundamentação teórica escolhida. 6. Aplicar as atividades elaboradas para o uso com tablets com um grupo de até 20 (vinte) estudantes de um Curso de Licenciatura em Matemática, provavelmente em duplas, que serão áudio-gravadas, acompanhadas pelo pesquisador e por um observador neutro. 7. Aplicar as atividades elaboradas para o uso com computador pessoal com o mesmo grupo de até 20 (vinte) estudantes de um Curso de Licenciatura em Matemática, provavelmente em duplas, que serão áudio-gravadas, acompanhadas pelo pesquisador e por um observador neutro. 8. Analisar e comparar os resultados obtidos com o tablet e com o computador pessoal. 9. Elaborar atividades no papel e lápis, para o mesmo grupo de até 20 (vinte) estudantes, após análise dos protocolos e das observações obtidas com o tablet e com o computador pessoal.

9 10. Aplicar essas atividades, provavelmente em duplas, áudio-gravadas e acompanhadas por um observador neutro. 11. Analisar os resultados obtidos, à luz das teorias escolhidas. Referências ALMOULOUD, S. A. e MELLO, E. G. S. Iniciação à demonstração apreendendo conceitos geométricos. Disponível em: Consultado em 29/10/2012. Registros de representação semiótica e compreensão de conceitos geométricos. In: ALCÂNTARA, Sílvia Dias (org.) Aprendizagem em Matemática: registros de representação semiótica. Campinas, Papirus Editora, pp ALMEIDA, I. A. C. Construções geométricas com papel e lápis ou utilizando software gráfico: que mudanças ocorrem quando se opta por uma dessas mídias? Disponível em: consultado em 29/10/2012. ALVES, G. S. O uso de softwares de Geometria Dinâmica para o desenvolvimento da visualização espacial: uma aplicação em alunos do ensino médio. Disponível em: consultado em 18/11/2012. ANDRADE, J. A. A. e NACARATO, A. M. Tendências didático-pedagógicas para o ensino de geometria. Disponível em: Consultado em 29/10/2012. BELLEMAIN, F. Geometria Dinâmica: Diferentes Implementações, Papel da manipulação Direta e Usos na Aprendizagem. In: Anais do GRAPHICA 2001 IV International Conference on Graphics Engineering for Arts and Design / 15o Simpósio Nacional de Geometria Descritiva e Desenho Técnico. São Paulo: EPUSP BOLGHERONI, W. e SILVEIRA, I. F. Análise e aplicação de software livre para o estudo de construções gráficas na geometria. Anais do Workshop de Informática na Escola, BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Fundamental Ensino de quinta a oitava séries. Matemática. Brasilia: MEC / SEF BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica ISBN CHIZZOTTI, A. Pesquisa qualitativa em ciências humanas e sociais, Editora Vozes. Petrópolis, RJ, COBB, P. et all, Design Experiments in Educational Research, Educational Researcher, January/ February, DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine- Registres sémiotiques et apprentissage intellectuel, Berna: Peter Lang, Basic Issues for Research in Mathematics Education. In: CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 24, 2000, Hiroshima. Proceedings of the 24 th PME. Hiroshima: Department of Mathematics Education Hiroshima University, Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S.D.A. Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003.

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