FLÁVIO LUIZ ROSSINI PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO APLICADO À CADEIRA DE RODAS MÓVEIS VIA ABORDAGEM POR LMIS

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "FLÁVIO LUIZ ROSSINI PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO APLICADO À CADEIRA DE RODAS MÓVEIS VIA ABORDAGEM POR LMIS"

Transcrição

1 FLÁVIO LUIZ ROSSINI PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO APLICADO À CADEIRA DE RODAS MÓVEIS VIA ABORDAGEM POR LMIS Londrina 2013

2 FLÁVIO LUIZ ROSSINI PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO APLICADO À CADEIRA DE RODAS MÓVEIS VIA ABORDAGEM POR LMIS Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Estadual de Londrina como parte dos requisitos para a obtenção do Título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de concentração - Sistemas de Controle por Realimentação. Especialidade - Sistemas Estritamente Reais Positivos (ERPs) e Controle com Estrutura Variável (CEV) com incertezas politópicas via Inequações Matriciais Lineares (LMIs). Orientador - Dr. Márcio Roberto Covacic. Londrina 2013

3

4 FLÁVIO LUIZ ROSSINI PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO APLICADO À CADEIRA DE RODAS MÓVEIS VIA ABORDAGEM POR LMIS Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Estadual de Londrina como parte dos requisitos para a obtenção do Título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de concentração - Sistemas de Controle por Realimentação. Especialidade - Sistemas Estritamente Reais Positivos (ERPs) e Controle com Estrutura Variável (CEV) com incertezas politópicas via Inequações Matriciais Lineares (LMIs). Orientador - Prof. Dr. Márcio Roberto Covacic Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Estadual de Londrina Co-orientador - Prof. Dr. Ruberlei Gaino Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Estadual de Londrina Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Estadual Paulista Campus de Ilha Solteira Londrina, 10 de maio de 2013.

5 AGRADECIMENTOS A Deus, pela sabedoria e força para galgar essa etapa e chegar ao final com êxito. A meus familiares, pelo ânimo e palavras de apoio. À minha esposa e filha, pelo incentivo e paciência de aguardarem a chegada da viagem e horas de estudo. Ao meu orientador Prof. Dr. Márcio Roberto Covacic, por ter contribuído diretamente para o sucesso desse processo de aprendizado. Ao co-orientador Prof. Dr. Ruberlei Gaino, pelo apoio e contribuição ao trabalho. Aos colegas Fábio Augusto Gentilin, Emerson Charles Martins e Alecsander Pereira Martins, pela companhia contínua nas viagens a Londrina, pelo apoio, companheirismo e motivação nos estudos. Por fim, ao Conselho Nacional de Conhecimento Científico e Tecnológico CNPQ, pelo apoio financeiro através da bolsa de estudos fornecida para fomentação desta pesquisa.

6 Não se pode ensinar tudo a alguém, pode-se apenas ajudálo a encontrar por si mesmo. (Galileu Galilei)

7 ROSSINI, Flávio Luiz. Projeto de controlador robusto aplicado à cadeira de rodas móveis via abordagem por LMIS f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) Universidade Estadual de Londrina, Londrina. RESUMO O presente trabalho aborda o projeto de controlador robusto aplicado a Cadeira de Rodas Móveis (CRM) via Desigualdades Matriciais Lineares (Linear Matrix Inequalities LMIs) utilizando sistemas Estritamente Reais Positivos (ERPs). As contribuições do trabalho foram a escolha de um modelo matemático para a CRM com incerteza quanto à posição do Centro de Gravidade (CG) da mesma, o desacoplamento dos sistemas dinâmico e cinemático, a linearização dos modelos, a construção das matrizes de incertezas (vértices do politopo), a proposta da malha de controle, a obtenção das matrizes que tornam o sistema ERP e que estabilizam o sistema com uma taxa de decaimento especificada, as matrizes que tornam o sistema ERP e que estabilizam o sistema a partir da metodologia de Controle com Estrutura Variável (CEV) via LMIs, sendo desenvolvida a demonstração para sistema com número de saídas maior que o número de entradas, com incertezas paramétricas e com taxa de decaimento especificada. Palavras chave- Controlador robusto. Cadeira de rodas móveis. Desacoplamento de sistemas. Malha de controle. LMI.

8 ROSSINI, Flávio Luiz. Robust controller applied to wheelchair mobile via Linear Matrix Inequalities LMI p. Dissertation (Master in Electrical Engineering) Universidade Estadual de Londrina, Londrina. ABSTRACT This paper design of robust controller applied to Wheelchair Mobile (CRM) via Linear Matrix Inequalities (LMI) systems using Strictly Positive Real (SPR). The contributions of this work were the choice of a mathematical model for CRM with uncertainty about the position of the center of gravity (CG) of the same, the decoupling of the kinematic and dynamical systems, linearization of the models, the headquarters building of uncertainty (vertices the polytope), the proposal of the control loop, obtaining the matrices that make the SPR system and stabilize the system with a decay rate specified matrices that make the SPR system and stabilize the system from the control methodology with Variable Structure Control via LMIs, developed for the demonstration system with number of outputs greater than the number of entries, with parametric uncertainties and decay rate specified. Keywords - Robust controller. Wheelchair mobile. Decoupling of systems. Control loop. LMI.

9 LISTA DE FIGURAS Figura Sistema realimentado dos Teoremas 4 e Figura Sistema realimentado do problema Figura Sistema realimentado do problema Figura Organização das unidades do projeto Figura Vista superior da CRM Figura Diagrama de Blocos, referente à dinâmica e cinemática do Robô Figura Vista superior da Cadeira Robótica Móvel (CRM) e seus respectivos parâmetros e orientações Figura Constituição da malha de controle do sistema - modelo dinâmico, matriz de transformação, matriz de ganho e modelo cinemático Figura Resposta ao degrau unitário na entrada (, - ), sendo a saída (, - ) multiplicada por uma matriz de ganho, para o primeiro vértice do politopo Figura Resposta ao degrau unitário na entrada (, - ) sendo a saída (, - ) multiplicada por um ganho de. Representação do primeiro vértice do politopo Figura Resposta ao degrau unitário na entrada (, - ) sendo a saída (, - ) multiplicada por um ganho de. Representação do quarto vértice do politopo

10 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS CDP CEV CG CRM ERP IHM LMEs LMIs LQR LQE LQG MIMO PRM RP SLIT SPR SUS TSK UEL Compensação Distribuída Paralela Controle com Estrutura Variável Centro de Gravidade Cadeira Robótica Móvel Estritamente Real Positivo Interface Homem-Máquina Linear Matrix Equalities (Equações Matriciais Lineares) Linear Matrix Inequalities (Inequações Matriciais Lineares) Linear Quadratic Regulator (Regulador Linear Quadrático) Linear Quadratic Estimator (Estimador Linear Quadrático) Linear Quadratic Gaussian (Gaussiano Linear Quadrático) Multiple Input, Multiple Output (Multiplas Entradas e Multiplas Saídas) Plataforma Robótica Móvel Real Positivo Sistema Linear Invariante no Tempo Strictly Positive Real (Estritamente Real Positiva) Sistemas Único de Saúde Takagi-Sugeno-Kang Universidade Estadual de Londrina

11 SUMÁRIO 1 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO CAPÍTULO 2 MÉTODOS DE LINEARIZAÇÃO SÉRIE DE TAYLOR MÉTODO DE LINEARIZAÇÃO DE LYAPUNOV CONCLUSÃO PARCIAL: CAPÍTULO CAPÍTULO 3 CONDIÇÕES BASEADAS EM LMIS PARA SISTEMAS ERP SISTEMAS ERP FORMULAÇÃO DO PROBLEMA SISTEMAS COM REALIMENTAÇÃO DA SAÍDA Sistemas com o Mesmo Número de Entradas e Saídas Sistemas com Números Diferentes de Entradas (m) e Saídas (p) TAXA DE DECAIMENTO Sistemas com o Mesmo Número de Entradas e Saídas Sistemas com Números Diferentes de Entradas (m) e Saídas (p) SISTEMAS INCERTOS Sistemas com o Mesmo Número de Entradas e Saídas Sistemas com Números Diferentes de Entradas (m) e Saídas (p) Sistemas Incertos com Taxa de Decaimento Sistemas com o mesmo número de entradas e saídas Sistemas com números diferentes de entradas e saídas CONCLUSÃO PARCIAL: Capítulo CAPÍTULO 4 COM ESTRUTURA VARIÁVEL UTILIZANDO LMIS ESTABILIDADE E ROBUSTEZ ESTABILIDADE, ROBUSTEZ E TAXA DE DECAIMENTO ESTABILIDADE, ROBUSTEZ, TAXA DE DECAIMENTO E RESTRIÇÕES NA ENTRADA E NA SAÍDA CONCLUSÃO PARCIAL: CAPÍTULO

12 5 CAPÍTULO 5 MODELO DINÂMICO DA CRM CONSTRUÇÃO DA CADEIRA DE RODAS MOVEIS PRIMEIRO MODELO DINÂMICO DA CRM MODELO COMPLETO DA CRM DESACOPLAMENTO DOS MODELOS DINÂMICO E CINEMÁTICO DA CRM CONCLUSÃO PARCIAL: CAPÍTULO CAPÍTULO 6 LINEARIZAÇÃO EM TORNO NA ORIGEM LINEARIZAÇÃO DO MODELO DINÂMICO LINEARIZAÇÃO DO MODELO CINEMÁTICO CONCLUSÃO PARCIAL: CAPÍTULO CAPÍTULO 7 ABORDAGEM LMI PARA PROJETO DE CONTROLADOR SISTEMA ERP INCERTOS COM ESPECIFICAÇÃO DA TAXA DE DECAIMENTO Sistema Com o Mesmo Número de Entradas e Saídas: Modelo Dinâmico Sistema Com Números de Saídas Maior Que os Números de Entradas: Modelo Cinemático CONTROLE COM ESTRUTURA VARIÁVEL UTILIZANDO LMIS: ROBUSTEZ, ESTABILIDADE E TAXA DE DECAIMENTO Sistema Com Números de Saídas Maior Que os Números de Entradas CONCLUSÃO PARCIAL: CAPÍTULO CAPÍTULO 8 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS CAPÍTULO 9 CONCLUSÃO SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS ARTIGO PUBLICADO E ARTIGO SUBMETIDO REFERÊNCIAS APÊNDICES APÊNDICE A Complemento de Schur

13 APÊNDICE B Formulação Para Resolver LMEs APÊNDICE C Zeros de Transmissão de um Sistema APÊNDICE D Algoritmo de Linearização do Modelo Dinâmico APÊNDICE E Algoritmo de Linearização do Modelo Cinemático APÊNDICE F Gráficos dos Vértices dos Politopos do Modelo Dinâmico da CRM APÊNDICE G Gráficos dos Vértices dos Politopos do Modelo Cinemático da CRM APÊNDICE H Gráficos dos Vértices dos Politopos do Modelo Cinemático da CRM: CEV com LMIs

14 12 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO O controle automático tem contribuído no avanço da engenharia e da ciência. Sua importância é evidente no desenvolvimento de veículos espaciais, sistemas robóticos e parte integrante dos processos industriais modernos. Nesse contexto, a Teoria de Controle, como todo campo da ciência, se desenvolve ininterruptamente, com períodos de maior avanço, outros nem tanto. O primeiro trabalho significativo em controle automático foi o de James Watt no século XVIII, que desenvolveu um controlador centrífugo para o controle de velocidade de uma máquina a vapor. Outros trabalhos, nos primórdios do desenvolvimento da Teoria e Controle, foram de Minorsky (1922), Nyquist (1932), Hazen (1934) e Evans (1950), cujos temas envolviam a formulação de critérios para a análise de estabilidade do sistema (AGUIRRE, 2007; OGATA, 2010). A partir do final da década de 1950, o foco dos projetos de controle tem sido o projeto de um sistema que seja ótimo para uma determinada especificação do mesmo. Estimase que, de 1960 em diante, o advento dos computadores digitais tornou possível a análise, no domínio do tempo, de sistemas complexos, estimulando o desenvolvimento da moderna Teoria de Controle, cunhada nas técnicas de análise e síntese por meio de variáveis de estado (OGATA, 2010). Ao considerar a alternância dos avanços da Teoria de Controle, um desses momentos de mudança do quadro conceitual ocorreu no final da década de 1970 e ao longo da década de Estabeleceu-se a ideia de que todo controlador deveria ser robusto. Assim, desenvolveram-se ferramentas de projeto para garantir que o controlador resultante fosse dotado de tal propriedade. Resumidamente, isso significa que todo controlador deveria ser capaz de assegurar um desempenho em malha fechada satisfatório, ainda que o processo (ou a planta ) a ser controlado tenha diferenças significativas de comportamento em comparação com o modelo matemático utilizado durante a etapa de projeto. (AGUIRRE, 2007). Atualmente a Teoria de Controle Robusto, em sua principal vertente, surge da otimização da norma da malha fechada (AGUIRRE, 2007; ZAMES, 1981). O Controle foi definido no domínio da frequência e consequentemente estendido para espaço de estados, assim possibilitando sua generalização (AGUIRRE, 2007; DOYLE et al., 1989; HASSIBI; SAYED; KAIATH, 1999; VAN DER SCHAFT, 1991, 1992; ZHOU; DOYLE;

15 13 GLOVER, 1996). Projetos de controladores têm sido desenvolvidos para solucionar os mais variados tipos de problemas, tais como, aplicações em plantas químicas, em automóveis, em aviões, em robótica móvel e em sistemas de potência (CHEN; LIU; SUN, 2005; HWANG; HAN, 2005; LUNDSTRÖM; SKOGESTAD; DOYLE, 1999; MARCOS; BALAS, 2005; MEI et al., 2005). No contexto do Controle Robusto, por volta de 1990, as Desigualdades Matriciais Lineares (Linear Matrix Inequalities - LMIs) surgem como uma das ferramentas mais importantes (AGUIRRE, 2007). As descrições por LMIs emergiram como uma nova formulação elegante, genérica, poderosa de fácil manipulação [...] alternativa a uma vasta gama de abordagem de controle e estimação fortemente baseadas, até aquele momento, nas (des)igualdades algébricas de Riccati como, por exemplo, LQR, LQE, LQG e o controle ótimo ou, [...] (AGUIRRE, 2007). Contudo, a relação entre descrições por LMIs e várias abordagens em Teoria de Controle não é recente. A primeira descrição por LMIs em Teoria de Controle surgiu do estudo sobre estabilidade de sistemas dinâmicos, que data de 1892, apresentado na tese de doutorado de Aleksandr Mikhailovich Lyapunov. (AGUIRRE, 2007). Na opinião dos autores Reinaldo Martinez Palhares e Eduardo Nunes Gonçalves (AGUIRRE, 2007), uma possível explicação na demora em redescobrir as LMIs na Teoria de Controle deveu-se ao interesse da comunidade de controle em dispor de ferramentas de fácil manipulação numérica. Outro ponto que contribuiu para retardar a exploração de soluções por LMIs talvez seja o grau de importância com que as abordagens por Riccati se revestiram. No entanto, no início da década de 1990 já eram evidentes as limitações impostas por abordagens baseadas em Riccati em gerar formulações mais abrangentes e amigáveis. (AGUIRRE, 2007). Ao considerar o exposto acima, propõem-se aplicar as LMIs para projeto de controlador robusto aplicado a uma Cadeira de Rodas Móveis (CRM), a fim de auxiliar as pessoas com deficiência física. O Brasil encontra-se num processo de organização de dados estatísticos oficiais sobre pessoas com deficiência, após a Lei nº 7.853/89; o Censo Demográfico de 2000 identificou um contingente de 24,6 milhões de pessoas com algum tipo de deficiência, portanto 14,5% da população brasileira. Naquele momento, foram detectados 4% da população com deficiência física, sendo este grupo composto por 200 mil paraplégicos, 50 mil tetraplégicos, dentre outras lesões físicas. (BRASIL, 2010; RABEH; CALIRI, 2010). Para conscientizar e mobilizar a sociedade e organizações o Ministério da Saúde estabeleceu um política de inclusão das pessoas com deficiência, [...] voltada para a inclusão das pessoas com deficiência em toda a rede de serviços do Sistema Único de Saúde (SUS)

16 14 [...] (BRASIL, 2010). Uma das diretrizes desta política proposta pelo Ministério da Saúde a serem implementadas, juntamente nas três esferas de gestão e incluindo as parcerias interinstitucionais, é a promoção da qualidade de vida as pessoas com deficiência. A promoção da qualidade de vida, segundo o Ministério da Saúde (BRASIL, 2010), [...] é uma diretriz que deve ser compreendida como responsabilidade social compartilhada, visando assegurar a igualdade de oportunidades, a construção de ambientes acessíveis e a ampla inclusão sociocultural. (BRASIL, 2010). Para promover tal diretriz, torna-se necessário construir acesso às escolas, a ambientes públicos, a serviços de saúde, a meios de transporte, etc. Sendo assim, para viabilização esta política nacional, os gestores do SUS, tendo como parceiros potenciais as áreas da educação, desenvolvimento social, direito humano, etc, assim, os mesmos investem esforços para consolidar compromissos institucionais para a progressiva inclusão das pessoas com deficiência em suas comunidades (BRASIL, 2010). Tendo em vista o exposto acima, um dos objetivos do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade estadual de Londrina (UEL) é melhorar a expectativa de vida de tetraplégicos, desde o ano de Sendo assim, o departamento está desenvolvendo uma cadeira de rodas para tetraplégicos (GERMANOVIX et al., 2003). Em meio a todos estes esforços, o presente trabalho tem como objetivo projetar o controlador de realimentação da saída e analisar o desempenho do sistema de controle. Para isso, apresenta-se uma abordagem para projeto de Controlador Robusto via LMIs aplicado a uma Plataforma Robótica Móvel. A análise de controle do sistema utiliza uma estrutura cinemática modelada por Mazo et al (1995) e adaptada em Germanovix et al. (2003) para tetraplégicos, por meio de sopro e sucção. Em trabalhos recentes, Ferreira, Cervantes e Germanovix (2008) adaptaram os comandos de sopro e sucção (GERMANOVIX et al., 2003) a uma cadeira de rodas comercial com joystick. Uma cadeira de rodas robotizada é útil para pessoas deficientes que não são capazes de conduzir manualmente uma cadeira de rodas, como as pessoas tetraplégicas. Usando uma interface homem-máquina (IHM), baseada em sinais de sopro e sucção da pessoa com deficiência, a mesma pode conduzir a cadeira de rodas robotizada ao local desejado. Assim, selecionou-se o modelo dinâmico da cadeira de rodas construído por De La Cruz, Bastos e Carelli (2011), uma vez que a principal contribuição do modelo dinâmico foi a incerteza quanto a posição do Centro de Gravidade da mesma (DE LA CRUZ; BASTOS; CARELLI, 2011).

17 15 O projeto de controlador robusto aplicado à Cadeira de Rodas Móveis (CRM), desenvolvido por este trabalho, apresenta técnicas de linearização de sistemas, projeto de sistema Estritamente Real Positivo (ERP) e análise dos resultados obtidos. As técnicas de linearização usadas por este trabalho são: Série de Taylor e o Método de Linearização de Lyapunov (OGATA, 2010; SLOTINE; LI, 1991). Os sistemas ERP têm grande importância no controle de sistemas com incertezas e distúrbios, pois possui resultados relevantes quanto à estabilidade de sistemas (ANDERSON, 1968). Os sistemas Reais Positivos (RP) nasceram na teoria de circuitos elétricos e foram definidos dentro dos Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (SLIT). As matrizes de transferência RP e ERP possuem duas interpretações em termos de circuitos elétricos. Considere dois nós de um circuito elétrico composto pela conexão de elementos passivos, Resistor ( ), Indutor ( ) e Capacitor ( ), de forma arbitrária. Então, a impedância usando a Transformada de Laplace entre os dois nós, ( ) é RP, e, de modo inverso, qualquer função de transferência ( ) RP pode ser realizada como a impedância entre dois nós de um circuito elétrico com elementos passivos R, L e C. Agora, se aplicarmos uma tensão entre estes dois nós mencionados anteriormente e se ( ) for RP, então a soma da energia inicial armazenada no circuito, no instante inicial, com a energia fornecida na intervalo, -, deve ser maior ou igual à energia armazenada em. (LORDELO, 2000). Este trabalho utiliza os resultados dos sistemas ERP baseados em LMIs e Controle com Estrutura Variável (CEV) de Covacic (2006) e Covacic et al (2008), para plantas com número de saídas maior que o número de entradas. E para análise dos resultados são ilustrados gráficos, os quais evidenciam as regiões de solução e gráficos no domínio do tempo contínuo, para apresentar alguns estudos de caso. No capítulo 2 serão abordados os seguintes métodos de linearização: Série de Taylor e Método de Linearização de Lyapunov. Assim, com estas ferramentas torna-se possível adequar o modelo não-linear da CRM às técnicas de projeto de controladores propostas. O capítulo 3 tratará de condições baseadas em LMIs para sistemas ERP. O capítulo mostra a formulação para obter um sistema ERP e em seguida trata do projeto de compensador estático com retroação da saída. O capítulo aborda também as especificações para sistemas com o mesmo número de entradas e saídas, sistema com número de saídas maior que o número de entradas, taxa de decaimento e incertezas na planta. O capítulo 4 discorrerá sobre o método de projeto de CEV utilizando LMIs. Descreverá o método de CEV para sistemas com o mesmo número de entradas e de saídas.

18 16 Apresentam-se as formulações para estabilidade, robustez, taxa de decaimento e restrição dos sinais de entrada e de saída. No capítulo 5 descreve-se a preocupação do Ministério da Saúde quanto a inclusão das pessoas com deficiência na sociedade. Em seguida, neste capítulo, encontram-se duas contribuições deste trabalho, a saber, a escolha de um modelo matemático para a Cadeira de Rodas Móveis que inclua incertezas quanto à posição do Centro de Gravidade (CG) em relação ao sistema móvel de coordenadas e o desacoplamento do modelo dinâmico do modelo cinemático da CRM. No capítulo 6, encontram-se três contribuições deste trabalho. A linearização do modelo dinâmico e a linearização do modelo cinemático, os vértices do politopo correspondentes as matrizes característica do sistema e de entrada do sistema e a malha de controle para a CRM, sendo propostos dois controladores estáticos de realimentação da saída. No capítulo 7 são apresentados os resultados quanto ao projeto e análise do controlador robusto desenvolvidos neste trabalho. As contribuições deste capítulo consistem na obtenção do controlador estático do modelo dinâmico para sistemas Estritamente Reais Positivos com incertezas politópicas e imposição da taxa de decaimento, a obtenção do controlador estático do modelo cinemático por meio de sistemas Estritamente Reais Positivos com incertezas politópicas e imposição da taxa de decaimento, a demonstração para projeto e análise de sistemas com número de saídas maior que o número de entradas com incertezas politópicas e imposição da taxa de decaimento e a última contribuição, não menos importantes que as demais, obtenção do controlador estático modelo cinemático por Controle com Estrutura Variável com incertezas politópicas e imposição da taxa de decaimento. No capítulo 8 discutem-se os resultados obtidos no projeto. Assim, evidenciam-se as incertezas consideradas no projeto de controlador robusto da CRM e destaca-se a taxa de decaimento obtida no projeto do controlador estático para parte dinâmica da CRM. Para o modelo cinemático, evidenciam-se as incertezas consideradas e a taxa de decaimento encontrada para o sistema. Por fim, no capítulo 9, relata-se a importância do assunto escolhido, incluem-se os principais resultados do projeto, apresentam-se sugestões para pesquisas futuras e a disseminação do trabalho no meio acadêmico.

19 17 CAPÍTULO 2 MÉTODOS DE LINEARIZAÇÃO MÉTODOS DE LINEARIZAÇÃO Este capítulo apresenta dois métodos de linearização para sistemas não-lineares. Tais métodos produzem modelos lineares locais. Os métodos apresentados serão: expansão por Série de Taylor (OGATA, 2010) e Método de Linearização de Lyapunov (SLOTINE; LI, 1991). Segundo Geromel e Korogui (2011) Aproximar e saber usar aproximações é uma arte. Os problemas de sistemas dinâmicos reais sempre apresentam, em sua essência fenômenos não lineares, desde simples variações do ganho com a amplitude do sinal de entrada a efeitos radicais como saturação, folga, deslizamento, zona morta, atrito de Coulomb, sendo estes não representados por equações lineares (CASTRUCCI, BITTAR; SALES, 2011; GEROMEL; KOROGUI, 2011). Considerando os sistemas não-lineares, tanto a análise quanto o projeto de sistemas de controle são mais complexos quando comparados aos sistemas lineares. A linearização é o método de determinar um modelo linear local, do sistema não-linear, em um ponto de operação que descreva um comportamento similar a dinâmica original. Há mais de 100 anos, Lyapunov provou que se o modelo linear, obtido através de processo de linearização de um modelo não-linear, é válido em uma região em torno do ponto de operação e se é estável, então existe uma região contendo o ponto de operação na qual o sistema não-linear é estável. (ASSUNÇÃO; TEIXEIRA, 2013). Portanto, ao projetar um sistema de controle para um sistema não-linear, quando o sistema é linearizável no ponto de operação, pode-se seguramente obter uma aproximação linear deste modelo, para o ponto de equilíbrio, e utilizar a teoria de controle linear para projetar o controlar desejado. Assim, utilizá-lo para controlar o sistema não-linear, garantindo sua estabilidade nas vizinhanças do ponto de operação (ASSUNÇÃO; TEIXEIRA, 2013; OGATA, 2010; SLOTINE; LI, 1991). Técnicas modernas de projeto de controladores utilizando LMI para sistemas nãolineares possibilitam o sistema trabalhar próximo de um conjunto de pontos de operação, garantindo a estabilidade do sistema não-linear e também um conjunto de restrições de desempenho temporal (ASSUNÇÃO; TEIXEIRA, 2013). A seguir, na seção 2.1 é apresentada a metodologia de linearização em expansão por Série de Taylor e na seção 2.2 é ilustrado um procedimento mais abrangente para linearização, o Método de Linearização de Lyapunov.

20 SÉRIE DE TAYLOR Nesta seção, será mostrada uma técnica de linearização aplicável à maioria dos sistemas não-lineares. O método é baseado na expansão da função não-linear por série de Taylor, em torno de um ponto de operação. Para obtenção do modelo matemático linear de um sistema não-linear supõe-se que a variação (erro do modelo linear) do sistema seja baixa em relação a alguma condição de operação (OGATA, 2010). Considere um sistema não-linear cuja grandeza de saída é função de grandezas de entrada,,...,, de modo que ( ). ( (2. 1) Pode-se obter uma aproximação linear de expandindo-se a equação ((2. 1) em série de Taylor, em torno do ponto de operação, -. A equação ((2. 1) torna-se, então, ( ) [ ( ) ( ) ( )] 6 ( ) ( ) 7 (2.2) ( sendo as derivadas parciais calculadas em,,...,. Próximo ao ponto de operação, os termos de maior ordem são negligenciados, se e somente se a variação de, para, for pequena (OGATA, 2010). Assim, o modelo matemático linear do sistema não-linear em análise, nas vizinhanças do ponto de operação é dado por ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( (2.3)

21 19 Portanto, o modelo matemático (2.3) utilizado na análise e no projeto pode representar, com acurácia, a dinâmica de um sistema real nas condições específicas de operação, porém pode não ser significativo para apurar o comportamento em outras condições de operação. Portanto, se as condições de operação variarem muito, o modelo linear não é adequado (OGATA, 2010). 2.2 MÉTODO DE LINEARIZAÇÃO DE LYAPUNOV O método de linearização de Lyapunov diz respeito à estabilidade local de um sistema não-linear. Como todos os sistemas físicos são inerentemente não-lineares, o método de linearização de Lyapunov serve como ferramenta fundamental para uso das técnicas de controle linear, isto é, mostra que projeto de estabilidade para controle linear garante a estabilidade do sistema físico original localmente (SLOTINE; LI, 1991). Considere o sistema dinâmico não-linear representado por um conjunto de equações diferenciais não-lineares na forma ( ) (2.4) sendo uma função vetorial não-linear de dimensão e vetor de estado de dimensão. O número de variáveis de estado é chamado de ordem do sistema. Uma solução para ( ) da equação ( ) é usualmente correspondente a uma curva no espaço de estados com variando a partir de zero até o infinito. Esta curva é geralmente referida como uma trajetória do sistema (SLOTINE; LI, 1991). É importante observar que a equação (2.4) não contém explicitamente a entrada de controle como uma variável, a qual é diretamente aplicado ao sistema de controle realimentado. A razão é que a equação ( ) pode representar a dinâmica de malha fechada de um sistema de controle realimentado, com a entrada de controle sendo uma função de estado e tempo, e portanto desaparecendo na dinâmica em malha fechada (SLOTINE; LI, 1991). Especialmente, se a dinâmica da planta for

22 20 ( ) (2.5) e alguma lei de controle for selecionada ( ), (2.6) então a dinâmica em malha fechada é, ( ) -, (2.7) que pode ser reescrita na forma ( ). Uma classe especial de sistemas não-lineares são sistemas lineares (SLOTINE; LI, 1991). As dinâmicas dos sistemas lineares são da forma ( ) (2.8) sendo ( ) uma matriz (SLOTINE; LI, 1991). Os sistemas não-lineares são classificados por autônomos e não-autônomos, de acordo com a Definição 1. Definição 1 (SLOTINE; LI, 1991) O sistema não-linear ( ) é dito ser autônomo se não depende explicitamente do tempo, isto é, se as equações de estado podem ser escritas ( ) (2.9) caso contrário, o sistema é chamado não-autônomo. Considere o sistema autônomo ( ) e suponha que ( ) é continuamente diferenciável. Então as dinâmicas do sistema podem ser escritas como ( ) ( ) (2.10) sendo ( ) designado para os termos de ordem elevada em.

23 21 Usou-se a matriz constante para denotar a matriz Jacobiana de com relação a em. Uma matriz de elementos, dada por ( ) (2.11) sendo e. Então o sistema é chamado de linearização ou aproximação linear do sistema não-linear original (equação (2.9)) no ponto de equilíbrio. Observe a similaridade, começando com um sistema não-linear não-autônomo com uma entrada de controle ( ) (2.12) tal que ( ), pode-se escrever ( ) ( ) ( ) (2.13) sendo ( ) designado para os termos de ordem elevada em e. A matriz denota a matriz Jacobiana de com relação a, em e, e denota a matriz Jacobiana de com relação a no mesmo ponto, sendo uma matriz de elementos, sendo o número de entradas, e. Tem-se. /, (2.14). /. (2.15)

24 22 Assim, o sistema (2.16) é a linearização ou aproximação linear do sistema não-linear original em (SLOTINE; LI, 1991). e Considere a planta definida em (2.16), com entradas e saídas. O Teorema 1, dado em Slotine e Li (1991), estabelece condições necessárias para que um sistema linearizado seja estável e estende suas condições para sistemas não-lineares. Teorema 1 (LATHI, 2007; SLOTINE; LI, 1991) (i) Se o sistema linearizado é estritamente estável, isto é, se todos os autovalores de estão estritamente no Semiplano Esquerdo (SPE) do Plano Complexo, então o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável para o real sistema nãolinear. (ii) Se o sistema linearizado é instável, isto é, se ao menos um autovalor de está estritamente no Semiplano Direito (SPD) do plano complexo, então o ponto de equilíbrio é instável para o sistema não-linear. (iii) Se o sistema é marginalmente estável, isto é, todos os autovalores de estão no SPE do plano complexo, mas ao menos um deles no eixo imaginário, então não podemos concluir alguma coisa a partir da aproximação linear, o ponto de equilíbrio pode ser estável, assintoticamente estável, ou instável para o sistema não-linear. (iv) Sistema com pelo menos um autovalor de com multiplicidade maior que um no eixo imaginário é instável. 2.3 CONCLUSÃO PARCIAL: CAPÍTULO 2 Nas seções (2.1) e (2.2) foram mostrados dois métodos de linearização, a saber: expansão por Série de Taylor e o método de linearização de Lyapunov. A Série de Taylor é o método de linearização mais difundido na literatura de análise e projeto de controladores para

CONTROLE ROBUSTO DE VEÍCULO SOBRE PLATAFORMA COM RODAS E TRAÇÃO DIFE- RENCIAL UTILIZANDO LMIS

CONTROLE ROBUSTO DE VEÍCULO SOBRE PLATAFORMA COM RODAS E TRAÇÃO DIFE- RENCIAL UTILIZANDO LMIS CONTROLE ROBUSTO DE VEÍCULO SOBRE PLATAFORMA COM RODAS E TRAÇÃO DIFE- RENCIAL UTILIZANDO LMIS NILSON MOUTINHO DOS SANTOS 1, FLAVIO LUIZ ROSSINI 2, MARCIO ROBERTO COVACIC 3 E RUBERLEI GAINO 3. 1. Engenharia

Leia mais

Controle de Conversores Estáticos Retroação de estados: Projeto por alocação de pólos. Prof. Cassiano Rech cassiano@ieee.org

Controle de Conversores Estáticos Retroação de estados: Projeto por alocação de pólos. Prof. Cassiano Rech cassiano@ieee.org Controle de Conversores Estáticos Retroação de estados: Projeto por alocação de pólos cassiano@ieee.org 1 Projeto por alocação de pólos Na abordagem convencional, usando por exemplo o método do lugar das

Leia mais

Mecânica: processos industriais: usinagem, laminação, fundição, solda, prensagem, vapor, gás. Automóveis, suspensão, motor, câmbio.

Mecânica: processos industriais: usinagem, laminação, fundição, solda, prensagem, vapor, gás. Automóveis, suspensão, motor, câmbio. 1 Disciplina de Sistemas de Controle Prof. Luciano Menegaldo e-mail: lmeneg@ime.eb.br home-page: http://lmeneg-aulas.tripod.com Aula 1 Introdução 1. Idéias gerais e exemplos de sistemas de controle - Assunto

Leia mais

Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação

Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação Laboratório da Disciplina CTA-147 Controle I Análise da Resposta Transitória (Este laboratório foi uma adaptação

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

Sistemas de Controle I (Servomecanismo) Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Sistemas de Controle I (Servomecanismo) Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Sistemas de Controle I (Servomecanismo) Carlos Alexandre Mello 1 O que são sistemas de controle Um sistema de controle é um conjunto de componentes organizados de forma a conseguir a resposta desejada

Leia mais

Emails: marciocovacic@uel.br, rgaino@uel.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, aac@dee.feis.unesp.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, rcardim@dee.feis.unesp.

Emails: marciocovacic@uel.br, rgaino@uel.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, aac@dee.feis.unesp.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, rcardim@dee.feis.unesp. SISTEMAS ERP COM COMPENSADORES DINÂMICOS PARA CONTROLE DA POSIÇÃO ANGULAR DA PERNA DE PACIENTES PARAPLÉGICOS Márcio Roberto Covacic, Ruberlei Gaino, Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira, Aparecido Augusto

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. Eletricidade

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. Eletricidade UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Eletricidade Análise de Circuitos alimentados por fontes constantes Prof. Ilha Solteira,

Leia mais

Modelos Variáveis de Estado

Modelos Variáveis de Estado Modelos Variáveis de Estado Introdução; Variáveis de Estados de Sistemas Dinâmicos; Equação Diferencial de Estado; Função de Transferência a partir das Equações de Estados; Resposta no Domínio do Tempo

Leia mais

ANÁLISE LINEAR DE SISTEMAS

ANÁLISE LINEAR DE SISTEMAS ANÁLISE LINEAR DE SISTEMAS JOSÉ C. GEROMEL DSCE / Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação UNICAMP, CP 6101, 13083-970, Campinas, SP, Brasil, geromel@dsce.fee.unicamp.br Campinas, Janeiro de 2007

Leia mais

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Modelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Carlos Alexandre Mello 1 Modelagem no Domínio da Frequência A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO - DELC PROJETO REENGE - ENG.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO - DELC PROJETO REENGE - ENG. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO - DELC PROJETO REENGE - ENG. ELÉTRICA CADERNO DIDÁTICO DE SISTEMAS DE CONTROLE 1 ELABORAÇÃO:

Leia mais

1. CONTROLE DE PROCESSO

1. CONTROLE DE PROCESSO 1. CONTROLE DE PROCESSO PROCESSO: operação ou desenvolvimento que evolui progressivamente em direção a um resultado ou meta. Qualquer operação a ser controlada, tais como, processos químicos, biológicos,

Leia mais

CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES CHAVEADOS UTILIZANDO REALIMENTAÇÃO ESTÁTICA DA SAÍDA E FUNÇÕES DE LYAPUNOV-METZLER

CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES CHAVEADOS UTILIZANDO REALIMENTAÇÃO ESTÁTICA DA SAÍDA E FUNÇÕES DE LYAPUNOV-METZLER CONTROLE DE SISTEMAS LINEARES CHAVEADOS UTILIZANDO REALIMENTAÇÃO ESTÁTICA DA SAÍDA E FUNÇÕES DE LYAPUNOV-METZLER E. I. Mainardi Júnior, M. C. M. Teixeira, R. Cardim, E. Assunção, Diogo R. de Oliveira,

Leia mais

SÍNTESE H PARA SISTEMAS COM RESTRIÇÕES ALGÉBRICAS NO ESTADO

SÍNTESE H PARA SISTEMAS COM RESTRIÇÕES ALGÉBRICAS NO ESTADO SÍNTESE H PARA SISTEMAS COM RESTRIÇÕES ALGÉBRICAS NO ESTADO K. A. Barbosa karinab@das.ufsc.br A. Trofino trofino@das.ufsc.br Depto. de Automação e Sistemas, Universidade Federal de Santa Catarina, 884-9

Leia mais

Circuitos Elétricos III

Circuitos Elétricos III Circuitos Elétricos III Prof. Danilo Melges (danilomelges@cpdee.ufmg.br) Depto. de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais A Transformada de Laplace em análise de circuitos parte 2 Equivalente

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ENG JR ELETRON 2005 29 O gráfico mostrado na figura acima ilustra o diagrama do Lugar das Raízes de um sistema de 3ª ordem, com três pólos, nenhum zero finito e com realimentação de saída. Com base nas

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

Transformada de Laplace. Parte 3

Transformada de Laplace. Parte 3 Transformada de Laplace Parte 3 Elementos de circuito no domínio da frequência O resistor no domínio da frequência Pela lei de OHM : v= Ri A transformada da equação acima é V(s) = R I(s) O indutor no domínio

Leia mais

5 Transformadas de Laplace

5 Transformadas de Laplace 5 Transformadas de Laplace 5.1 Introdução às Transformadas de Laplace 4 5.2 Transformadas de Laplace definição 5 5.2 Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 Sinal exponencial 6 Exemplo 5.1 7 Sinal

Leia mais

1. Método Simplex. Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Pesquisa Operacional II Profa. Dra. Lílian Kátia de Oliveira

1. Método Simplex. Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Pesquisa Operacional II Profa. Dra. Lílian Kátia de Oliveira Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Método Simple.. Solução eata para os modelos de Programação Linear O modelo de Programação Linear (PL) reduz um sistema real a um conjunto

Leia mais

UNIVERSIDADE GAMA FILHO Laboratório de Controle I - MATLAB

UNIVERSIDADE GAMA FILHO Laboratório de Controle I - MATLAB NOME: UNIVERSIDADE GAMA FILHO Laboratório de Controle I - MATLAB O que é o Matlab? O Matlab é um sistema para cálculo científico que proporciona um ambiente de fácil utilização com uma notação intuitiva,

Leia mais

INSTRUMENTAÇÃO INDUSTRIAL 1. INTRODUÇÃO / DEFINIÇÕES

INSTRUMENTAÇÃO INDUSTRIAL 1. INTRODUÇÃO / DEFINIÇÕES 1 INSTRUMENTAÇÃO INDUSTRIAL 1. INTRODUÇÃO / DEFINIÇÕES 1.1 - Instrumentação Importância Medições experimentais ou de laboratório. Medições em produtos comerciais com outra finalidade principal. 1.2 - Transdutores

Leia mais

MAT1154 ANÁLISE QUALITATIVA DE PONTOS DE EQUILÍBRIO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES

MAT1154 ANÁLISE QUALITATIVA DE PONTOS DE EQUILÍBRIO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES MAT1154 ANÁLISE QUALITATIVA DE PONTOS DE EQUILÍBRIO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES VERSÃO 1.0.2 Resumo. Este texto resume e complementa alguns assuntos dos Capítulo 9 do Boyce DiPrima. 1. Sistemas autônomos

Leia mais

AEC PARTE 02: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE

AEC PARTE 02: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE AEC PARTE 02: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE 2.1 INTRODUÇÃO O controle automático tem desempenhado um papel fundamental no avanço da engenharia e da ciência. Alem da extrema importância em sistemas

Leia mais

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014 SISTEMAS ERP COM FUNÇÕES DE LYAPUNOV VARIANTES NO TEMPO, COM APLICAÇÃO EM ELETROESTIMULAÇÃO Márcio Roberto Covacic, Ruberlei Gaino Departamento de Engenharia Elétrica-Centro de Tecnologia e Urbanismo Universidade

Leia mais

Modelagem no Domínio da Frequência. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Modelagem no Domínio da Frequência. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Modelagem no Domínio da Frequência Carlos Alexandre Mello 1 Transformada de Laplace O que são Transformadas? Quais as mais comuns: Laplace Fourier Cosseno Wavelet... 2 Transformada de Laplace A transf.

Leia mais

Controle Robusto H. 1. O problema de controle H. 2. Controle ótimo H por LMIs. 3. Patologia no controle H : altos ganhos. 3. Controle Misto H 2 /H

Controle Robusto H. 1. O problema de controle H. 2. Controle ótimo H por LMIs. 3. Patologia no controle H : altos ganhos. 3. Controle Misto H 2 /H Controle Robusto H 1. O problema de controle H 2. Controle ótimo H por LMIs 3. Patologia no controle H : altos ganhos 3. Controle Misto H 2 /H pag.1 Introdução ao Controle Robusto Aula 11 Controle H e

Leia mais

Engenharia de Controle

Engenharia de Controle Engenharia de Controle Prof. Fernando de Oliveira Souza Contato: Sala 2523 (BLOCO 1) e-mail: fosouza@cpdee.ufmg.br www.cpdee.ufmg.br/ fosouza Terças-feiras (20h55 às 22h35) e Sextas-feiras (19h00 às 20h40)

Leia mais

11/07/2012. Professor Leonardo Gonsioroski FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA.

11/07/2012. Professor Leonardo Gonsioroski FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ UNIVERSIDADE DE FORTALEZA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Aulas anteriores Tipos de Sinais (degrau, rampa, exponencial, contínuos, discretos) Transformadas de Fourier e suas

Leia mais

Circuitos Elétricos III

Circuitos Elétricos III Circuitos Elétricos III Prof. Danilo Melges (danilomelges@cpdee.ufmg.br) Depto. de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais A Transformada de Laplace em análise de circuitos parte 1 A resistência

Leia mais

Palavras-chave: Modelo de Lotka-Volterra, Lagarta do Cartucho do milho, Controle Biológico.

Palavras-chave: Modelo de Lotka-Volterra, Lagarta do Cartucho do milho, Controle Biológico. ISSN 177-9139 MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA AO CONTROLE BIOLÓGICO DE PRAGAS EM LAVOURAS DE MILHOS. Jéssica C. S. Bueno E-mail: jessica_bsaldivia@hotmail.com Universidade Federal de Pelotas, Departamento

Leia mais

LABORATÓRIO DE CONTROLE I ESTUDO DE COMPENSADORES DE FASE

LABORATÓRIO DE CONTROLE I ESTUDO DE COMPENSADORES DE FASE UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO COLEGIADO DE ENGENHARIA ELÉTRICA LABORATÓRIO DE CONTROLE I Experimento 4: ESTUDO DE COMPENSADORES DE FASE COLEGIADO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCENTES: Lucas

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle

Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Espaço de Estados (CP1 www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 69 Roteiro 1 Modelo Não-Linear Modelo

Leia mais

Controle e Estabilidade de Sistemas Elétricos de Potência. Antonio J.A. Simões Costa e Aguinaldo S. e Silva

Controle e Estabilidade de Sistemas Elétricos de Potência. Antonio J.A. Simões Costa e Aguinaldo S. e Silva Controle e Estabilidade de Sistemas Elétricos de Potência Antonio J.A. Simões Costa e Aguinaldo S. e Silva Florianópolis, agosto de 2000 Capítulo 1 Introdução 1.1 Controle de Freqüência e Tensão na Operação

Leia mais

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara Sistemas de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação

Leia mais

REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS

REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS Neste capítulo será apresentada uma prática ferramenta gráfica e matemática que permitirá e facilitará as operações algébricas necessárias à aplicação dos métodos

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA PORTARIA Nº 235, DE 2 DE JUNHO DE 2014 O Presidente do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais

Leia mais

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel. Matemática Essencial Equações do Primeiro grau Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de

Leia mais

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios.

Caracterização temporal de circuitos: análise de transientes e regime permanente. Condições iniciais e finais e resolução de exercícios. Conteúdo programático: Elementos armazenadores de energia: capacitores e indutores. Revisão de características técnicas e relações V x I. Caracterização de regime permanente. Caracterização temporal de

Leia mais

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012 NIVELAMENTO MATEMÁTICA 202 Monitor: Alexandre Rodrigues Loures Monitor: Alexandre Rodrigues Loures SUMÁRIO. LOGARITMOS... 3.. Mudança de base... 3.2. Propriedades dos logaritmos... 4 2. DERIVADAS... 4

Leia mais

IF-705 Automação Inteligente Sistemas de Controle - Fundamentos

IF-705 Automação Inteligente Sistemas de Controle - Fundamentos IF-705 Automação Inteligente Sistemas de Controle - Fundamentos Aluizio Fausto Ribeiro Araújo Universidade Federal de Pernambuco Centro de Informática - CIn Departamento de Sistemas da Computação aluizioa@cin.ufpe.br

Leia mais

Estabilidade. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1

Estabilidade. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Estabilidade Carlos Alexandre Mello 1 Introdução Já vimos que existem três requisitos fundamentais para projetar um sistema de controle: Resposta Transiente Estabilidade Erros de Estado Estacionário Estabilidade

Leia mais

Investimento: R$ 2.200,00 (dois mil e duzentos) por participante. Investimento: R$ 2.200,00 (dois mil e duzentos) por participante

Investimento: R$ 2.200,00 (dois mil e duzentos) por participante. Investimento: R$ 2.200,00 (dois mil e duzentos) por participante CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM SISTEMAS ELÉTRICOS - CESE - ÊNFASE GERAÇÃO 2013 - www.cese.unifei.edu.br CALENDÁRIO CESE GERAÇÃO 1 MÉTODOS COMPUTACIONAIS APLICADOS A SISTEMAS ELÉTRICOS 11/03/13 a 15/03/13 2

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica Módulo 4 Faraday Lenz Henry Weber Maxwell Oersted Conteúdo 4 - Capacitores e Indutores...1 4.1 - Capacitores...1 4.2 - Capacitor

Leia mais

Muitas aplicações modernas podem ser modeladas como tarefas divisíveis.

Muitas aplicações modernas podem ser modeladas como tarefas divisíveis. 1 Introdução O grande aumento de performance das redes de computadores, combinado com a proliferação de computadores de baixo custo e alto desempenho, trouxe à tona ambientes de meta-computação, ou grids[15,

Leia mais

Controlo Em Espaço de Estados. Exame

Controlo Em Espaço de Estados. Exame Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo Em Espaço de Estados 4/5 Eame 9 de Junho de 5, 5h horas salas F, F Duração horas Não é permitida consulta nem uso de calculadoras

Leia mais

2 - Modelos em Controlo por Computador

2 - Modelos em Controlo por Computador Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador 1 2 - Modelos em Controlo por Computador Objectivo: Introduzir a classe de modelos digitais que são empregues nesta disciplina

Leia mais

PRINCÍPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO

PRINCÍPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO PRINCÍPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO JOSÉ C. GEROMEL e RUBENS H. KOROGUI DSCE / Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação UNICAMP, CP 6101, 13083-970, Campinas, SP, Brasil, geromel@dsce.fee.unicamp.br

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

IDENTIFICAÇÃO POR ESPAÇOS DE ESTADOS DE UM MÓDULO SERVO-MECANISMO DIDÁTICO

IDENTIFICAÇÃO POR ESPAÇOS DE ESTADOS DE UM MÓDULO SERVO-MECANISMO DIDÁTICO IDENTIFICAÇÃO POR ESPAÇOS DE ESTADOS DE UM MÓDULO SERVO-MECANISMO DIDÁTICO Vlademir Aparecido Freire Junior vlad_freire@hotmail.com Alessandro do Nascimento Vargas avargas@utfpr.edu.br Cristiano Marcos

Leia mais

LABORATÓRIO DE CONTROLE I APLICAÇÃO DE COMPENSADORES DE FASE DE 1ª ORDEM E DE 2ª ORDEM

LABORATÓRIO DE CONTROLE I APLICAÇÃO DE COMPENSADORES DE FASE DE 1ª ORDEM E DE 2ª ORDEM UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO COLEGIADO DE ENGENHARIA ELÉTRICA LABORATÓRIO DE CONTROLE I Experimento 5: APLICAÇÃO DE COMPENSADORES DE FASE DE 1ª ORDEM E DE 2ª ORDEM COLEGIADO DE ENGENHARIA

Leia mais

REAL LACOS: CONTROLE DIGITAL EM TEMPO REAL

REAL LACOS: CONTROLE DIGITAL EM TEMPO REAL REAL LACOS: CONTROLE DIGITAL EM TEMPO REAL Andreya Prestes da Silva 1, Rejane de Barros Araújo 1, Rosana Paula Soares Oliveira 1 e Luiz Affonso Guedes 1 Universidade Federal do ParáB 1 Laboratório de Controle

Leia mais

Controle de Conversores Estáticos Controladores baseados no princípio do modelo interno. Prof. Cassiano Rech cassiano@ieee.org

Controle de Conversores Estáticos Controladores baseados no princípio do modelo interno. Prof. Cassiano Rech cassiano@ieee.org Controle de Conversores Estáticos Controladores baseados no princípio do modelo interno cassiano@ieee.org 1 Objetivos da aula Projeto de um controlador PID para o controle da tensão de saída de um inversor

Leia mais

Uma Ferramenta para otimização em Engenharia Mecânica e aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais

Uma Ferramenta para otimização em Engenharia Mecânica e aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais Uma Ferramenta para otimização em Engenharia Mecânica e aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais Departamento de Engenharia Mecânica COPPE UFRJ STIC-AMSUD, Novembro de 2009 Conteúdo Preliminares

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DEPARTAMENTO DE AUTOMAÇÃO E SISTEMAS FUNDAMENTOS DE CONTROLE CLÁSSICO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DEPARTAMENTO DE AUTOMAÇÃO E SISTEMAS FUNDAMENTOS DE CONTROLE CLÁSSICO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DEPARTAMENTO DE AUTOMAÇÃO E SISTEMAS FUNDAMENTOS DE CONTROLE CLÁSSICO Sumário I Controle Contínuo Introdução 3. Sistemas de Controle

Leia mais

395480 Controle Robusto Tema: Análise e Controle via LMIs

395480 Controle Robusto Tema: Análise e Controle via LMIs 395480 Controle Robusto Tema: Análise e Controle via LMIs Sistemas Fuzzy Takagi Sugeno Prof. Eduardo Stockler Tognetti Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas Eletrônicos e de Automação (PGEA)

Leia mais

Validação Experimental do Modelo Matemático de 3ª. Ordem para um Atuador Pneumático

Validação Experimental do Modelo Matemático de 3ª. Ordem para um Atuador Pneumático Trabalho apresentado no CMAC-Sul, Curitiba-PR, 2014. Validação Experimental do Modelo Matemático de 3ª. Ordem para um Atuador Pneumático Claudio da S. dos Santos, Sandra E. B. Viecelli, Antonio C. Valdiero,

Leia mais

Controlador DMC-Dynamic Matrix Control

Controlador DMC-Dynamic Matrix Control Capítulo 7 Controlador DMC-Dynamic Matrix Control 7.1 Introdução Em 1979, Cluter e Ramaker apresentaram um algoritmo preditivo,o controlador DMC, como uma metodologia capaz de manipular restrições operacionais

Leia mais

ESTUDO DA DINÂMICA POPULACIONAL DE UM VÍRUS COMPUTACIONAL

ESTUDO DA DINÂMICA POPULACIONAL DE UM VÍRUS COMPUTACIONAL ESTUDO DA DINÂMICA POPULACIONAL DE UM VÍRUS COMPUTACIONAL Aluno: João Henrique Carneiro Orientador: Carlos Frederico Palmeira Introdução Foi feito um estudo sobre dinâmica populacional a fim de buscar

Leia mais

Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace

Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me.

Leia mais

OTIMIZAÇÃO E REDUÇÃO DE OPERAÇÕES PARA UMA ARQUITETURA DCT-2D COM A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO CMM

OTIMIZAÇÃO E REDUÇÃO DE OPERAÇÕES PARA UMA ARQUITETURA DCT-2D COM A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO CMM OTIMIZAÇÃO E REDUÇÃO DE OPERAÇÕES PARA UMA ARQUITETURA DCT-2D COM A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO CMM Eduardo Yoshimoto Aluno do curso de Engenharia de Telecomunicações Universidade Federal do Pampa eduardo.yoshimoto@alunos.unipampa.edu.br

Leia mais

Amplificadores lineares e filtros

Amplificadores lineares e filtros Instrumentação de Controle - 167347 Departamento de Engenharia Elétrica (ENE) Universidade de Brasília (UnB) Amplificadores lineares e filtros Tópicos Características de amplificadores operacionais Amplificadores

Leia mais

3.1. Representação de Velocidade de um Corpo Rígido:

3.1. Representação de Velocidade de um Corpo Rígido: 3. CINEMÁTICA DIFERENCIAL Neste capítulo abordamos a descrição do movimento do robô manipulador sem levar em conta os esforços que o produzem. Um importante problema cinemático associado ao movimento do

Leia mais

APOSTILA DE USO DO SOFTWARE COMPUTACIONAL ModSym

APOSTILA DE USO DO SOFTWARE COMPUTACIONAL ModSym UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO APOSTILA DE USO DO SOFTWARE COMPUTACIONAL ModSym Prof. André Laurindo Maitelli 28 de

Leia mais

Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade,

Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade, D Resumo de Álgebra Matricial Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade, necessária para o estudo de modelos de regressão linear múltipla usando matrizes,

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL420. Módulo 2

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL420. Módulo 2 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL420 Módulo 2 Thévenin Norton Helmholtz Mayer Ohm Galvani Conteúdo 2 Elementos básicos de circuito e suas associações...1 2.1 Resistores lineares

Leia mais

FÍSICA 3 Circuitos Elétricos em Corrente Contínua. Circuitos Elétricos em Corrente Contínua

FÍSICA 3 Circuitos Elétricos em Corrente Contínua. Circuitos Elétricos em Corrente Contínua FÍSICA 3 Circuitos Elétricos em Corrente Contínua Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba EMENTA Carga Elétrica Campo Elétrico Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e resistência

Leia mais

Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace

Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me.

Leia mais

Análise de Circuitos Elétricos III

Análise de Circuitos Elétricos III Análise de Circuitos Elétricos III Prof. Danilo Melges (danilomelges@cpdee.ufmg.br) Depto. de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Introdução à Transformada de Laplace A Transformada

Leia mais

5. Diagramas de blocos

5. Diagramas de blocos 5. Diagramas de blocos Um sistema de controlo pode ser constituído por vários componentes. O diagrama de blocos é uma representação por meio de símbolos das funções desempenhadas por cada componente e

Leia mais

Problemas sobre Sistemas Não Lineares

Problemas sobre Sistemas Não Lineares Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo em Espaço de Estados Problemas sobre Sistemas Não Lineares Organizada por J. Miranda Lemos 0 J. M. Lemos IST P. (Construção do

Leia mais

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a

Leia mais

Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais

Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados Eng. Química

Leia mais

CIRCUITOS ELÉTRICOS II

CIRCUITOS ELÉTRICOS II CIRCUITOS ELÉTRICOS II Prof.: Helder Roberto de O. Rocha Engenheiro Eletricista Doutorado em Computação Corrente Elétrica Quantidade de carga elétrica deslocada por unidade de tempo As correntes elétricas

Leia mais

Sistema de excitação

Sistema de excitação Sistema de excitação Introdução Introdução A função do sistema de excitação é estabelecer a tensão interna do gerador síncrono; Em consequência,o sistema de excitação é responsável não somente pela tensão

Leia mais

Tópico 8. Aula Prática: Movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado (Trilho de ar)

Tópico 8. Aula Prática: Movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado (Trilho de ar) Tópico 8. Aula Prática: Movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado (Trilho de ar) 1. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA 1) Esta aula experimental tem como objetivo o estudo do movimento retilíneo uniforme

Leia mais

Amplificador Operacional

Amplificador Operacional Amplificador Operacional Os modelos a seguir, referem-se a modelos elétricos simplificados para os amplificadores de tensão e de corrente sem realimentação. Os modelos consideram três elementos apenas:

Leia mais

Relatório Iniciação Científica

Relatório Iniciação Científica Relatório Iniciação Científica Ambientes Para Ensaios Computacionais no Ensino de Neurocomputação e Reconhecimento de Padrões Bolsa: Programa Ensinar com Pesquisa-Pró-Reitoria de Graduação Departamento:

Leia mais

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade

Leia mais

Centro de Tecnologia e Urbanismo Departamento de Engenharia Elétrica. Nilson Moutinho dos Santos

Centro de Tecnologia e Urbanismo Departamento de Engenharia Elétrica. Nilson Moutinho dos Santos Centro de Tecnologia e Urbanismo Departamento de Engenharia Elétrica Nilson Moutinho dos Santos Projeto de Controladores Robustos em Modelos Não-lineares Utilizados em Engenharia Biomédica: Pacientes Paraplégicos

Leia mais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO. Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho. Departamento de Ciências Experimentais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO. Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho. Departamento de Ciências Experimentais AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática A 10º ano Ano Letivo 2015/2016 TEMA

Leia mais

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata

Leia mais

Introdução aos circuitos seletores de frequências. Sandra Mara Torres Müller

Introdução aos circuitos seletores de frequências. Sandra Mara Torres Müller Introdução aos circuitos seletores de frequências Sandra Mara Torres Müller Aqui vamos estudar o efeito da variação da frequência da fonte sobre as variáveis do circuito. Essa análise constitui a resposta

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 2 - Programação Linear Fernando Marins fmarins@feg.unesp.br Departamento de Produção

Leia mais

ESTUDO SOBRE CONTROLE DE MOTORES DE INDUÇÃO TRIFÁSICOS

ESTUDO SOBRE CONTROLE DE MOTORES DE INDUÇÃO TRIFÁSICOS ESTUDO SOBRE CONTROLE DE MOTORES DE INDUÇÃO TRIFÁSICOS Autores : Marina PADILHA, Tiago DEQUIGIOVANI. Identificação autores: Engenharia de Controle e Automação - Bolsista Interno; Orientador IFC - Campus

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Preliminares No estudo de sistemas de controle, e comum usar-se diagramas de blocos, como o da figura 1. Diagramas de blocos podem ser utilizados

Leia mais

Números Complexos. Note com especial atenção o sinal "-" associado com X C. Se escrevermos a expressão em sua forma mais básica, temos: = 1

Números Complexos. Note com especial atenção o sinal - associado com X C. Se escrevermos a expressão em sua forma mais básica, temos: = 1 1 Números Complexos. Se tivermos um circuito contendo uma multiplicidade de capacitores e resistores, se torna necessário lidar com resistências e reatâncias de uma maneira mais complicada. Por exemplo,

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Não Linear Aula 25: Programação Não-Linear - Funções de Uma única variável Mínimo; Mínimo Global; Mínimo Local; Optimização Irrestrita; Condições Óptimas; Método da Bissecção; Método de Newton.

Leia mais

1. Objectivo Durante uma experiência, medem-se certas variáveis, ex.: concentrações, pressões, temperaturas,

1. Objectivo Durante uma experiência, medem-se certas variáveis, ex.: concentrações, pressões, temperaturas, MODELAÇÃO E DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS CINÉTICOS FILIPE GAMA FREIRE 1. Objectivo Durante uma experiência, medem-se certas variáveis, ex.: concentrações, pressões, temperaturas, etc. a que chamaremos y

Leia mais

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELÉTRICA/ELETROTÉCNICA

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELÉTRICA/ELETROTÉCNICA UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELÉTRICA/ELETROTÉCNICA CLETO ROBALO NUNES FILHO KENZO SASAKI LUIZ FERNANDO COSTA NUNES

Leia mais

Controle de Veículos Aéreos

Controle de Veículos Aéreos 12, 13 e 14/11/2014, Parnaíba-PI Controle de Veículos Aéreos Prof. Dr. Mário Sarcinelli Filho Universidade Federal do Espírito Santo UFES Bolsista de Produtividade em Pesquisa PQ-2 do CNPq Orientador de

Leia mais

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente: Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas

Leia mais

Modelo Matemático e Controle de um Robô Móvel. 2.1. Modelo do motor que aciona cada roda do robô

Modelo Matemático e Controle de um Robô Móvel. 2.1. Modelo do motor que aciona cada roda do robô 1. Introdução Modelo Matemático e Controle de um Robô Móvel Nesta aula serão apresentadas leis de controle que permitem a um robô móvel nãoholonômico navegar de maneira coordenada desde uma localização

Leia mais

4 Impedância de Transferência entre Geradores e Carga

4 Impedância de Transferência entre Geradores e Carga 50 4 Impedância de Transferência entre Geradores e Carga 4.1. O procedimento nesta seção é baseado no cálculo de correntes de curtocircuito, comumente encontrado em livros de análise de sistemas de potência

Leia mais