Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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1 SISTEMAS ERP COM FUNÇÕES DE LYAPUNOV VARIANTES NO TEMPO, COM APLICAÇÃO EM ELETROESTIMULAÇÃO Márcio Roberto Covacic, Ruberlei Gaino Departamento de Engenharia Elétrica-Centro de Tecnologia e Urbanismo Universidade Estadual de Londrina Londrina, Paraná, Brasil s: Abstract Strictly Positive Real (SPR) systems are passive systems, asymptotically stable, whose transmission zeros have negative real part. SPR systems have several applications, such as in adaptive control and in variable structure control. In this manuscript, a control design is presented to obtain an Strictly Positive Real (SPR) system, considering time-varying polytopic uncertainties and using a Lyapunov function V (x) = x T P 0 (α)x, considering that α is time-varying, with a limited variation rate. The conditions obtained here are applied to the mathematical model of a paraplegic patient eletrostimulation, associated to a dynamic compensator, whose use is necessary to obtain an SPR system. Keywords SPR Systems, LMI, Polytopic Uncertainties, Eletrostimulation. Resumo Sistemas Estritamente Reais Positivos (ERP) são sistemas passivos, assintoticamente estáveis, cujos zeros de transmissão possuem parte real negativa. Os sistemas ERP possuem várias aplicações, como no controle adaptativo e no controle com estrutura variável. Neste trabalho, é apresentado um projeto de controle para a obtenção de um sistema ERP, considerando incertezas politópicas variantes no tempo e utilizando uma função de Lyapunov V (x) = x T P 0 (α)x, considerando que α varia no tempo com uma taxa de variação limitada. As condições obtidas são utilizadas no modelo matemático da eletroestimulação de um paciente paraplégico, associado a um compensador dinâmico, cujo uso é necessário para obter um sistema ERP. Keywords Sistemas ERP, LMI, Incertezas Politópicas, Eletroestimulação. 1 Introdução Sistemas Estritamente Reais Positivos (ERP) são sistemas passivos, assintoticamente estáveis, cujos zeros de transmissão possuem parte real negativa. Além disso, a realimentação negativa de um sistema dinâmico passivo é internamente estável. Existem resultados significativos a respeito de sistemas ERP, como a hiperestabilidade assintótica de Popov (Anderson, 1968). Esses resultados possuem várias aplicações, como no projeto de sistemas de controle adaptativo (Hsu et al., 1994; Huang et al., 1999; Landau, 1979; Kaufman et al., 1994; Owens et al., 1987; Teixeira, 1989), em sistemas de Controle com Estrutura Variável (Teixeira, 1990; DeCarlo et al., 1988; Teixeira, 1993; Teixeira et al., 2000; Teixeira et al., 2002) e na estabilização de sistemas incertos com realimentação da saída (Cunha et al., 2003; Steinberg and Corless, 1985; Xiang et al., 2005). O primeiro passo nestas aplicações foi obter uma estrutura de compensação que torna o sistema ERP e, então, projetar uma lei de controle com a estrutura de compensação obtida. Um problema relacionado com este método de projeto é chamado síntese ERP: dada uma planta linear invariante no tempo, {A, B, C}, controlável e observável, desejam-se encontrar matrizes constantes F e K, tais que o sistema controlado {A BKC,B,FC} seja ERP. Em Teixeira (1989) e Teixeira (1990), foi demonstrado que este problema é equivalente a um problema de estabilização com realimentação da saída. Para plantas com o mesmo número de variáveis de entrada e de saída, a condição necessária e suficiente para este problema é que todos os zeros de transmissão tenham parte real negativa e que det(cb) 0 (Kaufman et al., 1994; Owens et al., 1987; Teixeira, 1989). Para os casos em que não é possível obter sistemas ERP com compensadores estáticos, os compensadores dinâmicos podem ser utilizados, como em Teixeira (1993) e Teixeira et al. (2006a). Em Covacic et al. (2008), foi proposto o uso de compensadores dinâmicos de ordem m para a obtenção de sistemas ERP, projetando-se, inicialmente, um sistema de fase mínima com um compensador dinâmico simples e, em seguida, obtendo-se o sistema ERP desejado, a partir do sistema de fase mínima. Neste trabalho, considera-se que a planta possui alguns parâmetros incertos, representados como incertezas politópicas, considerando que estes parâmetros variam no tempo com uma taxa de variação limitada. Em vez de utilizar uma função de Lyapunov V (x) = x T Px, é utilizada uma função de Lyapunov menos conservativa V (x) = x T P 0 (α)x. Entretanto, como a matriz de Lyapunov varia no tempo, a análise da estabilidade e da passividade torna-se mais complexa. Em Mozelli et al. (2009), é apresentada uma condição suficiente, utilizando uma função de Lyapunov variante no tempo, para a estabilidade de sistemas descritos por modelos fuzzy de Takagi- 3557

2 Sugeno (T-S), por meio do método descrito em (Taniguchi et al., 2001). Neste trabalho, são obtidas, de maneira similar, condições suficientes para sistemas ERP, considerando-se as incertezas politópicas. Assim como em Covacic et al. (2010), o método proposto neste trabalho é aplicado no controle do ângulo da articulação do joelho de um paciente paraplégico, por meio da eletroestimulação FES (Functional Electrical Stimulation), com o objetivo de obter um sistema ERP. Como, neste caso, é impossível obter um sistema ERP com um compensador estático, o compensador dinâmico obtido em Covacic et al. (2010) é incorporado à planta. O projeto visa controlar a variação do ângulo da articulação do joelho de 60, mediante estimulação elétrica no músculo quadríceps. A modelagem matemática da perna foi proposta em Ferrarin and Pedotti (2000), relacionando a largura do pulso aplicado com o torque gerado na articulação do joelho. No controle, a perna sai do repouso até um ângulo de 60 e deve voltar à posição de repouso através da retirada da estimulação no músculo mencionado. O estudo de sistemas de controle para controlar o movimento de pacientes paraplégicos por meio de estimulação elétrica é um assunto relevante dentro da engenharia de reabilitação. Como exemplo, em Riener and Fuhr (1998), foi estudado esse problema e utilizado um controlador fuzzy do tipo Mamdani. Em Teixeira et al. (2006c), Teixeira et al. (2006b) e Gaino et al. (2007), foram realizados pela primeira vez estudos e simulações do controle da posição da perna de um paciente paraplégico, com eletroestimulação, FES e utilizando modelos fuzzy Takagi-Sugeno. Os sistemas de controle apresentados estão embasados em LMIs. Como a planta que caracteriza o paciente paraplégico possui não-linearidades, foram utilizados modelos fuzzy T-S (Taniguchi et al., 2001). Neste trabalho, o modelo é abordado na forma de incertezas politópicas. Na Seção 2, é apresentado o conceito de sistemas ERP; na Seção 3, são dadas as condições para sistemas ERP com plantas que possuem incertezas variantes no tempo na matriz característica, por meio de uma lei de controle por realimentação na saída; na Seção 4, são apresentadas as LMIs que garantes restrições na entrada e na saída. O modelo da articulação do joelho de pacientes paraplégicos sujeito a eletroestimulação é dado na Seção 5; na Seção 6, é apresentado o projeto do controle da eletroestimulação, de modo que o sistema seja ERP. A conclusão do trabalho é dada na Seção 7. 2 Sistemas ERP ẋ = A p x + B p u, y = C p x, (1) sendo que x R n, u R m, y R m, rank(c) = rank(cb) = rank(b) = m. Os sistemas ERP foram definidos em Anderson (1968). A condição necessária e suficiente para sistemas ERP são dadas no Lema 1, também definido em Anderson (1968). Lema 1 (Anderson, 1968) A matriz de transferência do sistema (1), dada por G(s) = C p (si A p ) 1 B p, é ERP se e somente se existir uma matriz P = P T, tal que: PA p + A T p P < 0, B T p P = C p, P > 0. Assim, o Lema 2 fornece condições necessárias e suficientes para a existência de uma matriz K tal que o sistema da Fig. 1, com G p (s) dada em (1), seja ERP. Na figura, U(s) e Y(s) são a entrada e a saída da planta, respectivamente, e V(s) é a entrada do sistema realimentado. V(s) + U(s) G p (s) K Y(s) Figura 1: Sistema com realimentação da saída. Lema 2 (Kaufman et al., 1994; Teixeira, 1989): Existe uma matriz constante K, tal que o sistema da Fig. 1, com G p (s) dada em (1), seja ERP se e somente se as seguintes condições são satisfeitas: (i) C p B p = (C p B p ) T > 0; (ii) todos os zeros de transmissão da planta {A p,b p,c p } possuem parte real negativa. 3 Incertezas Politópicas Nas situações práticas em geral, existem incertezas nos parâmetros da planta. Assim, estas incertezas devem ser consideradas no projeto de sistemas de controle. As condições propostas neste trabalho aplicam-se a plantas similares a G p (s) em (1), com incertezas na matriz característica A. Considere, então, a planta G p (s), cuja representação em espaço de estados é descrita por: Considere uma planta linear invariante no tempo G p (s), representada por (1). ẋ = A p (α)x + B p u, y = C p x, (2) 3558

3 com x R n, u R m, y o R m e α R r dado por: α = [ α 1 α 2 α r 1 α r ] T, (3) sendo α i 0, i = 1,2,...,r 1,r variáveis desconhecidas que variam no tempo, com taxa de variação limitada, sendo que α 1 +α α r 1 + α r = 1 Consideram-se as seguintes condições: A1 O vetor de estados x não está disponível para realimentação, mas o vetor de saída y está disponível; A2 A matriz incerta A p (α) é desconhecida e descrita por: A p (α) = α i A pi, sendo as matrizes A pi, i = 1,...,r conhecidas e constantes (incertezas politópicas); A3 As taxas de variação de α i i = 1,2,...,r 1,r são limitadas, isto é, α k φ k <, k = 1,...,r. Em Mozelli et al. (2009), é apresentada uma condição suficiente, utilizando uma função de Lyapunov variante no tempo, para a estabilidade de sistemas descritos por modelos fuzzy de Takagi- Sugeno (T-S), por meio do método descrito em Taniguchi et al. (2001), considerando incertezas nas matrizes A e B. Nesta abordagem, os modelos locais são obtidos em função da região de operação. Para i = 1,2...,r, a i-ésima regra do modelo fuzzy T-S contínuo é obtido a seguir: Regra i : SE x 1 (t) é M i 1 E... E x p (t) é M i p, ENTÃO {ẋ(t)=ai x(t)+b i u(t), y(t)=cx(t). (4) O modelo fuzzy resultante é a média ponderada dos modelos locais, dada por: r ẋ(t) = wi (x(t))(a i x(t) + B i u(t)) r, wi (x(t)) = A(α)(x(t)) + B(α)u(t), y(t) = C(x(t)), (5) sendo: α = [α 1,...,α r ] T, α i (x(t)) = α i (x(t)) 0, i = 1,...,r e w i (x(t)) r wi (x(t)), α i (x(t)) = 1. Lema 3 (Mozelli et al., 2009) Considere α k φ k, k = 1,...,r. O sistema fuzzy definido em (5) é estável se as seguintes LMIs são satisfeitas: V(s) + U(s) Y(s) Y o (s) G p (s) F P φ K Figura 2: Sistema ERP. ( A T i P j + P j A i + A T j P i + P i A j ) < 0, i j, sendo i,j = 1,...,r, P φ = r k=1 φ kp k e φ k escalares. Embora o Lema 3 tenha sido desenvolvido para sistemas fuzzy T-S, o mesmo também pode ser aplicado em incertezas politópicas, cujos parâmetros variam no tempo. O objetivo deste trabalho é obter um sistema ERP por meio do projeto de uma lei de controle: u(t) = Ky(t) (6) e de uma matriz F ligada em série com a saída. Assim, seguindo a ideia de Mozelli et al. (2009), O Teorema 1 estabelece uma condição suficiente para obter um sistema ERP a partir de uma planta (2), com incertezas na matriz característica, por meio da lei de controle (6). Teorema 1 Considere a planta (2), com a lei de controle (6). Uma condição suficiente para a existência de matrizes F e K que tornam o sistema da Fig. 2 ERP é a existência de matrizes P 0i = P T 0i, R e F, que atendem às seguintes LMIs: 1 ( A T 2 pi P oj + P 0j A pi + A T ) pjp oi + P 0i A pj C T p RC p C T p R T C p + φ i P 0i < 0, (7) P 0i B p = C T p F T, (8) P 0i > 0, (9) para i,j = 1,...,r. Quando as condições acima são satisfeitas, a matriz K é dada por: K = (F T ) 1 R. (10) Proof: Considere a planta (2), com a lei de controle (6). Uma candidata a função de Lyapunov é V (x) = x T P 0 (α)x, sendo: P 0 (α) = α i P 0i. A derivada V (x) em relação ao tempo é: P i = P T i > 0, i = 1,...,r, V (x) = ẋ T P 0 (α)x + x T Ṗ 0 (α)x + x T P 0 (α)ẋ, 3559

4 V (x) = x T [ (A p (α) B p KC p ) T P 0 (α)+ P 0 (α)(a p (α) B p KC p ) + α i P 0i ]x. Se a derivada das incertezas no tempo é limitada, isto é, α i φ i <, para i = 1,...,r, V (x) x T [ (A p (α) B p KC p ) T P 0 (α)+ P 0 (α)(a p (α) B p KC p ) + φ i P 0i ]x. Então, uma condição suficiente para estabilidade assintótica global do sistema (1), com a lei de controle (6), é: isto é, (A p (α) B p KC p ) T P 0 (α)+ P 0 (α)(a p (α) B p KC p ) + φ i P 0i < 0, A p (α) T P 0 (α) + P 0 (α)a p (α) P 0 (α)b p KC p C T p K T B T p P 0 (α) + φ i P 0i < 0, (11) P 0 (α) > 0. (12) De acordo com o Lema 1, o sistema da Fig. 2 é ERP se forem atendidas as condições (11), (12) e: P 0 (α)b p = C T p F T. (13) Considerando (10) e (13), tem-se: P 0 (α)b p KC p = C T p F T KC p = C T p RC p, sendo R = F T K. Então, uma condição suficiente para (11) é: A p (α) T P 0 (α) + P 0 (α)a p (α) C T p RC p C T p R T C p + φ i P 0i < 0, (14) Considerando as incertezas politópicas, uma condição suficiente para (12), (13) e (14), que garantem que o sistema da Fig. 2 é ERP, é dada por (9), (8) e (7), respectivamente. A matriz K é obtida de (10). 4 Restrições na Entrada e na Saída Considere o sinal: s = Hx, (15) sendo H R q n, 1 q n uma matriz constante conhecida. Em aplicações práticas de sistemas de controle, algumas restrições devem ser consideradas no projeto, de modo que: max t 0 s(t) ξ o, (16) sendo ξ o uma constante conhecida, para uma dada condição inicial x(0). As condições apresentadas em Boyd et al. (1994), tais que (16) são satisfeitas para s dado em (15), são dadas por: [ ] P0 (α) H T H ξoi 2 > 0, (17) [ 1 x(0) T P 0 (α) P 0 (α)x(0) P 0 (α) ] > 0. (18) Uma condição suficiente para (19) e (20) é: (15), são dadas por: [ ] P0i H T H ξoi 2 > 0, (19) [ 1 x(0) T P 0i P 0i x(0) P 0i ] > 0, (20) para i = 1,...,r. As LMIs que especificam as restrições na entrada e na saída devem ser consideradas em conjunto com as LMIs que garantem estabilidade e robustez. 5 Modelo da Articulação do Joelho de um Paciente Paraplégico O modelo matemático do membro inferior empregado neste trabalho foi proposto em Ferrarin and Pedotti (2000). Esse modelo relaciona a largura do pulso aplicado com o torque gerado em torno da articulação do joelho. Na modelagem (Ferrarin and Pedotti, 2000), o membro inferior foi considerado como uma cadeia cinemática aberta composta de dois segmentos rígidos: a coxa e o complexo canela-pé, conforme mostra a Figura 3. De Ferrarin and Pedotti (2000), pode-se constatar que a equação de equilíbrio, em torno da junção do joelho, é: J θ v = mgl sen(θ v ) M s B θ + M a, (21) sendo: J o momento inercial do complexo canelapé; θ o ângulo do joelho (ângulo entre a canela e a coxa no plano sagital); θ v o ângulo da canela (ângulo entre a canela e o eixo vertical no plano sagital); θv a aceleração angular da canela; m 3560

5 Estimulação Elétrica. M a l θ θ v x 2 = θ v = x 1, x 3 = M a = M a M a0. A função f 21 (x 1 ) é uma não-linearidade do sistema e pode ser escrita como: mg Figura 3: Complexo Canela Tornozelo. a massa do complexo canela-pé; g a aceleração gravitacional; l a distância entre o joelho e o centro da massa do complexo canela-pé; B o coeficiente de atrito viscoso; M s o torque devido ao componente de rigidez; M a o torque ativo do joelho produzido pela estimulação elétrica; M g = mgl sen(θ v ) o torque devido à gravidade; M i o torque total inercial. Define-se o momento de rigidez como: M s = λe Eθ (θ ω), (22) sendo λ e E os coeficientes dos termos exponenciais e ω o ângulo elástico de repouso do joelho. Em (Ferrarin and Pedotti, 2000), foi observado que o torque ao qual o músculo está sujeito (M a ) e a largura dos pulsos da estimulação elétrica (P) podem ser relacionados adequadamente pela função de transferência descrita em (23), sendo G e τ constantes positivas: H(s) = M a(s) P(s) = G 1 + sτ. (23) Em Ferrarin and Pedotti (2000), os autores sugerem métodos para obtenção experimental dos parâmetros de interesse. Nesse artigo foram adotados, os mesmos parâmetros adotados (Ferrarin and Pedotti, 2000): Considerando (21), (22) e (23), a equação resultante em variáveis de estado, demonstrada em (Teixeira et al., 2006b) e (Teixeira et al., 2006c), é dada por: com: A(α) = ẋ = A(α)x + Bu, y = Cx, B = [ 0 0 G τ sendo por definição, (24) f 21 (x 1 ) B 1, J J τ ] T [ ] T, x = x1 x 2 x 3, C = [ ], u = P N. (25) x 1 = θ v = θ v θ v0, f 21 (x 1 ) = 1 Jx 1 [ mgl sen(x 1 + θ v0 ) λe E(x1+θv0+ π 2) ( x 1 + θ v0 + π 2 ω) + M a0 ]. (26) Expandindo a equação (26) em série de Taylor, consegue-se eliminar o termo x 1 que está no denominador, evitando-se o problema de indeterminação em x 1 = 0. 6 Controle do Ângulo da Articulação do Joelho Considerando a articulação do joelho como variável de saída e considerando que este ângulo varia entre 60 a 60, o modelo é representado conforme (2), com: A(α) = α 1 A 1 + α 2 A 2, A 1 = a 211 B 1 J J, τ A 2 = a 212 B 1 J J, τ B = [ ] G T [ ] 0 0 τ, C = 1 0 0, α 1 0, α 2 0, α 1 + α 2 = 1, sendo a 211 e a 212 os valores máximo e mínimo de f 21 (x 1 ), respectivamente. Para θ 0 = 60, 60 x 1 60 e os parâmetros dados na Tabela 1, as matrizes A 1, A 2 e B são: A 1 = A 2 = B = [ ] T.,, Como CB = 0, não é possível obter um sistema ERP com um compensador estático. Assim, como foi descrito em Covacic et al. (2010), a planta foi inserida no sistema da Fig. 4, com F 0 = [ ] e o compensador dinâmico de ordem m = 1 dado por: A c = [0], B c = [1], C c = [1]. (27) Assim, o sistema da Fig. 4, com a planta G p (s) dada em (24), a matriz F e o compensador 3561

6 Tabela 1: Valores numéricos dos parâmetros. J = 0.362[Kgm 2 ] m = 4.37[Kg] l = 23.8[cm] B = 0.27[N.m.s/rad] λ = [N.m/rad] E = 2.024[1/rad] ω = 2.918[rad] τ = 0.951[s] G = 42500[Nm/s] θ v0 = 60 M a0 = 8.76[Nm] W(s) U(s) Gc(s) Y (s) Gp(s) F0 + Y o(s) + Figura 4: Sistema de malha aberta descrito em Covacic et al. (2010). G c (s) obtidos em Covacic et al. (2010), é descrito em (2), com: A p1 = A p2 = , (28) 3 7 5, (29) B p = [ ] T, (30) C p = [ ]. (31) As funções de pertinência α 1 e α 2 são dadas por: α 1 = f 21 a 212 a 211 a 212, α 2 = a 211 f 21 a 211 a 212 e suas derivadas no tempo são: α 1 = α 2 = f 21 a 211 a 212. O parâmetro não linear f 21 pode ser aproximado por uma função afim: assim: f 21 c 1 x 1 + c 2, f 21 c 1 ẋ 1 = c 1 x 2 Uma restrição no sinal s = Hx, sendo H = [ ] é especificada. Então, s = x 2 ξ o e: f 21 α 1 = α 2 = a 211 a 212 c 1 x 2 a 211 a 212 = c 1 c 1 x 2 ξ o. a 211 a 212 a 211 a 212 Para 60 x 1 60, tem-se c 1 = (a 211 a 212 )/(x 11 x 12 ), sendo x 11 = x 12 = π/3. Assim, α 1 φ 1 e α 2 φ 2, sendo: φ 1 = φ 2 = 3 2π ξ o. Assim, dado o sistema 2, com as matrizes (28) (31), foram determinadas as matrizes F e K necessárias para a obtenção do sistema ERP, por meio da resolução do Teorema 1, considerando, também, as LMIs que garantem a restrição na amplitude do sinal x 2 (t) ( x 2 (t) 1). Utilizando o Matlab, as matrizes F e K obtidas foram: F = [ ], K = [ ]. Observação 1 Como o Matlab não resolve diretamente as Igualdades Matriciais Lineares (LMEs), as mesmas foram aproximadas. Como exemplo, a LME (8) foi aproximada para: P 0i B p C T p F T < λ, que, de acordo com o complemento de Schur, equivale a: [ ] λ 2 I P 0i B p C T p F T P 0i B p C T p F T > 0. I Neste caso, foi utilizado λ = De fato, os autovalores de (A p1 B p KC p ), com a matriz K acima são: p 1 = , p 2 = , p 3 = , p 4 = e os autovalores de (A p2 B p KC p ), com a matriz K acima são: p 1 = j , p 2 = j , p 3 = , p 4 = Os zeros de transmissão de (A p1 B p KC p ), com a matriz K acima são: z 1 = j , z 2 = j , z 3 =

7 e os zeros de transmissão de (A p2 B p KC p ), com a matriz K acima são: z 1 = j , z 2 = j , z 3 = Como os polos de malha fechada e os zeros de transmissão possuem parte real negativa, o sistema é ERP. Na Fig. 5, é mostrada a resposta transitória da simulação do compensador dinâmico aplicado à dinâmica do paciente paraplégico, a partir do estado inicial x(0) = [ π/ ] T. x1 x t t x t u 8 x t Figura 5: Simulação das equações dinâmicas do modelo do paraplégico para o ponto de operação de Conclusões Foi apresentado um projeto de controle para a obtenção de um sistema ERP, considerando incertezas politópicas variantes no tempo e utilizando uma função de Lyapunov V (x) = x T P 0 (α)x, menos conservativa que a função de Lyapunov quadrática V (x) = x T Px. No projeto, foram obtidas condições suficientes similares às condições obtidas em Mozelli et al. (2009), mas considerando, neste trabalho, incertezas politópicas. As condições obtidas foram utilizadas no modelo matemático da eletroestimulação de um paciente paraplégico, associado ao compensador dinâmico projetado em Covacic et al. (2010). Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro da FAPESP, CNPq e Fundação Araucária. Referências Anderson, B. D. O. (1968). A simplified viewpoint of hyperstability, IEEE Transactions on Automatic Control 13: Boyd, S., Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia. Covacic, M. R., Gaino, R., Teixeira, M. C. M., de Carvalho, A. A., Assunção, E. and Cardim, R. (2010). Sistemas ERP com compensadores Dinâmicos para controle da Posição angular da perna de pacientes Paraplégicos, 18 o Congresso Brasileiro de Automática, pp in Portuguese. Covacic, M. R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Cardim, R. (2008). Síntese de sistemas erp com compensadores dinâmicos, Anais do XVII Congresso Brasileiro de Automática, Juiz de Fora-MG, pp Cunha, J. P. V. S., Hsu, L., Costa, R. R. and Lizarralde, F. (2003). Output-feedback model-reference sliding mode control of uncertain multivariable systems, IEEE Transactions on Automatic Control 48(12): DeCarlo, R. A., Żak, S. H. and Mathews, G. P. (1988). Variable structure control of multivariable systems: a tutorial, Proceedings of IEEE 76(3): Ferrarin, M. and Pedotti, A. (2000). The relationship between electrical stimulus and joint torque: A dynamic model, IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering 8(3): Gaino, R., Teixeira, M. C. M., Carvalho, A. A., Assunção, E. and Silva, T. I. (2007). Reguladores e observadores fuzzy Takagi-Sugeno para variar o ângulo da articulação do joelho de um paciente paraplégico, Anais do VIII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Florianópolis-SC, pp Hsu, L., Araújo, A. and Costa, R. R. (1994). Analysis and design of I/O based variablestructure adaptive-control, IEEE Transaction on Automatic Control 39(1): Huang, C. H., Ioannou, P. A., Maroulas, J. and Safonov, M. G. (1999). Design of strictly positive real systems using constant output feedback, IEEE Transactions on Automatic Control 44(3): Kaufman, H., Bar-Kana, I. and Sobel, K. (1994). Direct Adaptive Control Algorithms: Theory and Applications, Communications and Control Engineering Series, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg. Landau, I. (1979). Adaptive Control - The Model Reference Approach, Marcel Dekker, New York, NY, USA. 3563

8 Mozelli, L. A., Palhares, R. M., Souza, F. O. and Mendes, E. M. A. M. (2009). Reducing conservativeness in recent stability conditions of TS fuzzy systems, Automatica 45: Owens, D. H., Pratzel-Wolters, D. and Ilchmann, A. (1987). Positive-real structure and high-gain adaptive stabilization, IMA Journal of Mathematical Control & Information 4(2): Riener, R. and Fuhr, T. (1998). Patient-driven control of FES-supported standing up: a simulation study, IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering 6(2): Steinberg, A. and Corless, M. (1985). Output feedback stabilization of uncertain dynamical systems, IEEE Transactions on Automatic Control 30(10): Taniguchi, T., Tanaka, K., Ohatake, H. and Wang, H. O. (2001). Model construction, rule reduction, and robust compensation for generalized form of Takagi-Sugeno fuzzy systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 9(4): Teixeira, M. C. M. (1989). Sistemas Reais Positivos e Controle Adaptativo, Tese de doutorado, PUC-RJ, Rio de Janeiro-RJ, Brasil. Teixeira, M. C. M., Deaecto, G. S., Gaino, R., Assunção, E., Carvalho, A. A. and Farias, U. C. (2006b). Projeto de um controlador fuzzy Takagi-Sugeno para variar o ângulo da articulação do joelho, Anais do XVI Congresso Brasileiro de Automática, Salvador- BA, pp Teixeira, M. C. M. (1990). Condições para tornar um sistema estritamente real positivo e aplicação no controle com EVMD utilizando somente as saídas da planta, 8 o CBA, pp Teixeira, M. C. M. (1993). Output control with dynamical compensators and strictly positive real systems, International Journal of Control 57(5): Teixeira, M. C. M., Covacic, M. R. and Assunção, E. (2006a). Design of SPR systems with dynamic compensators and output variable structure control, Proceedings of the 2006 International Workshop on Variable Structure Systems, Alghero, Itália, pp Teixeira, M. C. M., Covacic, M. R., Assunção, E. and Lordelo, A. D. S. (2002). Design of SPR Systems and Output Variable Structure Controllers Based on LMI, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, pp Teixeira, M. C. M., Deaecto, G. S., Gaino, R., Assunção, E., Carvalho, A. A. and Farias, U. C. (2006c). Desing of a fuzzy Takagi- Sugeno controller to vary the joint knee angle of paraplegic patients, Lecture Notes Science Springer Berlin/Heidelberg 4234(2): Teixeira, M. C. M., Lordelo, A. D. S. and Assunção, E. (2000). On LMI Based Design of SPR Systems and Output Variable Structure Controllers, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, pp Xiang, J., Su, H. and Chu, J. (2005). Robust sliding mode output feedback control design using ILMI approach, Proceedings of 2005 American Control Conference, Portland, OR, USA, pp

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