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1 SISTEMAS ERP COM COMPENSADORES DINÂMICOS PARA CONTROLE DA POSIÇÃO ANGULAR DA PERNA DE PACIENTES PARAPLÉGICOS Márcio Roberto Covacic, Ruberlei Gaino, Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira, Aparecido Augusto de Carvalho, Edvaldo Assunção, Rodrigo Cardim UEL - Universidade Estadual de Londrina Departamento de Engenharia Elétrica, Campus Universitário Rodovia Celso Garcia Cid km, 380, Londrina, PR, Brasil UNESP - Universidade Estadual Paulista Departamento de Engenharia Elétrica, Campus de Ilha Solteira Avenida Brasil, 56, Ilha Solteira, SP, Brasil s: Abstract This manuscript presents the design of a system, based on Linear Matrix Inequalities (LMIs), to control the position of the leg of a paraplegic patient, using a dynamic compensator of order m, where m is the number of input variables of the plant, and a static output feedback matrix K o, such that the complete system is Strictly Positive Real (SPR) The control system was resigned to vary the angle of the knee joint of paraplegic patients at 60 o, through electrical stimulation This study generalizes previous results obtained by the authors, where the output vector of the plant was considered available Keywords LMI, SPR Systems, Dynamic Compensators, Rehabilitation Engineering, Nonlinear Systems Resumo Neste trabalho, é apresentado o projeto, embasado em Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs), de um sistema para controlar a posição da perna de um paciente paraplégico, com uso de um compensador dinâmico de ordem m, sendo m o número de variáveis de entrada da planta, e de uma matriz constante de realimentação da saída K o, de modo que o sistema completo seja Estritamente Real Positivo (ERP) No caso, o sistema de controle foi concebido para variar o ângulo da articulação do joelho de pacientes paraplégicos em 60 o, por meio de eletroestimulação Esse estudo generaliza resultados prévios, utilizando realimentação das variáveis de saída da planta Palavras-chave LMI, Sistemas ERP, Compensadores Dinâmicos, Engenharia de Reabilitação, Sistemas Não-Lineares 1 Introdução Sistemas Estritamente Reais Positivos (ERP) são sistemas passivos, assintoticamente estáveis, cujos zeros de transmissão possuem parte real negativa Além disso, a realimentação negativa de um sistema dinâmico passivo é internamente estável Existem resultados significativos a respeito de sistemas ERP, como a hiperestabilidade assintótica de Popov (Anderson, 1968) Esses resultados possuem várias aplicações, como no projeto de sistemas de controle adaptativo (Landau, 1979; Huang et al, 1999; Owens et al, 1987; Kaufman et al, 1994; Teixeira, 1989; Hsu et al, 1994), em sistemas de Controle com Estrutura Variável (DeCarlo et al, 1988; Teixeira, 1993; Teixeira, Lordelo and Assunção, 2000; Teixeira, Covacic, Assunção and Lordelo, 2002; Teixeira, 1990) e na estabilização de sistemas incertos com realimentação da saída (Cunha et al, 2003; Steinberg and Corless, 1985; Xiang et al, 2005) O primeiro passo nestas aplicações foi obter uma estrutura de compensação que torna o sistema ERP e, então, projetar uma lei de controle com a estrutura de compensação obtida Um problema relacionado com este método de projeto é chamado síntese ERP: dada uma planta linear invariante no tempo, {A, B, C}, controlável e observável, desejam-se encontrar matrizes constantes F e K o, tais que o sistema controlado {A BK o C,B,FC} seja ERP Em Teixeira (1989) e Teixeira (1990), foi demonstrado que este problema é equivalente a um problema de estabilização com realimentação da saída Para plantas com o mesmo número de variáveis de entrada e de saída, a condição necessária e suficiente para este problema é que todos os zeros de transmissão tenham parte real negativa e que det(cb) 0 (Owens et al, 1987; Kaufman et al, 1994; Teixeira, 1989) Para muitas plantas, entretanto, é impossível obter um sistema ERP somente com compensadores estáticos Nesses casos, podem ser utilizados compensadores dinâmicos, como em Teixeira (1993) e Teixeira et al (2006a) Em Covacic et al (2008), foi proposto o uso de compensadores dinâmicos de ordem m para a obtenção de sistemas ERP, para os casos em que o problema não possui solução com compensadores estáticos O primeiro passo foi projetar um sistema de fase mínima, isto é, com todos os zeros de transmissão com parte real negativa, utilizando um compensador dinâmico simples e uma matriz constante em série com a saída da planta O segundo passo foi obter o sis- 1700

2 tema ERP desejado, a partir do sistema projetado no primeiro passo Em Covacic et al (2008) e nas referências citadas no artigo, foi estudada a solução deste problema usando Inequações Matriciais Lineares (LMIs) A vantagem deste método é que as LMIs, quando factíveis, podem ser resolvidas facilmente através de programas computacionais como Matlab (Gahinet et al, 1995) e LMISol (de Oliveira et al, 1997) Estes métodos permitem, também, outras especificações de projeto, como taxa de decaimento, restrições na entrada e na saída (Teixeira, Lordelo and Assunção, 2000; Teixeira, Covacic, Assunção and Lordelo, 2002; Bernussou et al, 1999) Para o problema acima, com p > m, são conhecidas apenas condições suficientes embasadas em LMIs (Teixeira, Covacic, Assunção and Lordelo, 2002) Neste trabalho, o método proposto em Covacic et al (2008) é aplicado no controle do ângulo da articulação do joelho de um paciente paraplégico, por meio da eletroestimulação FES (Functional Electrical Stimulation) O projeto visa controlar a variação do ângulo da articulação do joelho de 60, mediante estimulação elétrica no músculo quadríceps A modelagem matemática da perna foi proposta em Ferrarin and Pedotti (2000) Esse modelo relaciona a largura do pulso aplicado com o torque gerado na articulação do joelho No controle, a perna sai do repouso até um ângulo de 60 e deve voltar à posição de repouso através da retirada da estimulação no músculo mencionado O estudo de sistemas de controle para controlar o movimento de pacientes paraplégicos por meio da estimulação elétrica é um assunto relevante dentro da engenharia de reabilitação Como exemplo, em Riener and Fuhr (1998), foi estudado esse problema e utilizado um controlador fuzzy do tipo Mamdani Em Teixeira et al (2006c), Teixeira et al (2006b) e Gaino et al (2007), foram realizados pela primeira vez estudos e simulações do controle da posição da perna de um paciente paraplégico, com eletroestimulação, FES e utilizando modelos fuzzy Takagi-Sugeno Os sistemas de controle apresentados estão embasados em LMIs Como a planta que caracteriza o paciente paraplégico possui não-linearidades, foram utilizados modelos fuzzy T-S (Taniguchi et al, 2001) No problema abordado em Taniguchi et al (2001), dado um ponto de operação, são considerados os valores máximos e mínimos da função não-linear, dentro de um intervalo desejado Esse método permite a representação exata de uma classe de sistemas não-lineares, através de modelos fuzzy Takagi-Sugeno Outros pontos de operação podem ser considerados no procedimento de projeto apresentado em Teixeira and Żak (1999) 2 Sistemas ERP Considere a planta linear, invariante no tempo, controlável e observável, representada por G p (s), cuja representação em espaço de estados é dada por: ẋ = Ax + Bu, y = Cx, (1) sendo x R n, u R m, y R p, p m, posto(c) = p e posto(cb) = posto(b) = m O conceito de sistemas ERP foi definido em Anderson (1968) O Lema 1, a seguir, fornece condições para os sistemas ERP Lema 1 Anderson (1968) A matriz de transferência do sistema (1), G(s) = C(sI A) 1 B, é ERP se e somente se existir uma matriz P = P T, tal que: PA + A T P < 0, B T P = C, P > 0 O Teorema 2 estabelece condições necessárias e suficientes para a existência de uma matriz K que torna ERP o sistema da Fig 1, com entrada V (s) e saída Y (s) V (s) + U(s) G(s) K Y (s) Figura 1: Sistema com realimantação da saída Teorema 2 (Teixeira, 1989; Kaufman et al, 1994): Existe uma matriz constante K, tal que o sistema da Fig 1, com entrada V (s) e saída Y (s), seja ERP, se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) CB = (CB) T > 0; (ii) todos os zeros de transmissão da planta {A,B,C} apresentam parte real negativa Em muitos casos, é impossível obter um sistema ERP utilizando somente compensadores estáticos Na próxima seção, é apresentado um método de projeto de compensadores dinâmicos de ordem m, de modo a obter sistemas ERP para os casos em que o problema não tem solução com compensadores estáticos 3 Compensadores Dinâmicos para Sistemas Incertos Considere o sistema de malha aberta na Fig 2, com um compensador G c (s), de ordem m e uma matriz constante F em série com a saída da planta Nas situações práticas em geral, existem incertezas nos parâmetros da planta Desta forma, é importante levar em conta estas incertezas no projeto de sistemas de controle Considere, então, 1701

3 W(s) U(s) Gc(s) Y (s) Gp(s) F + Y o(s) + Figura 2: Sistema de malha aberta a planta G p (s), cuja representação em espaço de estados é descrita em (2): ẋ = A p (α)x + B p u, y = C p (α)x, (2) sendo x R n,u R m, y R p, p m e α R r dado por: α = α 1 α 2 α r 1 α r, (3) sendo α i 0, i = 1,2,,r 1,r, variáveis desconhecidas, com α 1 + α α r 1 + α r = 1 São admitidas as seguintes hipóteses: A1 O vetor x não está disponível para medição, mas o vetor y está disponível para medição; A2 As matrizes com incertezas A p (α) e C p (α) são desconhecidas e descritas por: A p (α) = r α i A pi e C p (α) = i=1 r α i C pi, i=1 sendo as matrizes A pi e C pi, i = 1,,r, conhecidas (incertezas politópicas) Considerando a representação da planta G p (s) em espaço de estados, dada por {A p (α), B p,c p (α)}, o subsistema FG p (s), no sistema da Fig 2, pode ser representado na forma: ẋ p = A p (α)x p + B p u, y o = FC p (α)x p + I m u, (4) sendo x p R n, u R m, y o R m, A p (α) R n n, B p R n m, C p (α) R p n, posto(b p ) = m e posto(c p (α)) = p, para todo α admissível Na Fig 2, o compensador G c (s) apresenta a seguinte representação em espaço de estados: ẋ c = A c x c + B c w, u = C c x c, (5) sendo x c R m m, w R m,u R m, A c R m m, B c R m m, C c R m m, posto(b c ) = m e posto(c c ) = m Observação 1 Considere G c (s) = C c (si m A c ) 1 B c = N c (s)(d c (s)) 1, sendo D c (s) = (s a)i m e N c (s) = N c A representação do compensador em espaço de estados é dada em (5), cujas matrizes A c, B c e C c podem ser definidas por: A c = ai m, B c = I m, C c = N c (6) Então, a representação em espaço de estados do sistema de malha aberta na Fig 2, com a planta G p (s) representada por (4) e o compensador G c (s) representado por (5), é dada por: sendo: x = B = xp ẋ = A(α)x + Bw, y o = C(α)x, x c, A(α) = Ap (α) B p C c, 0 A c (7) 0 B c, C(α) = FC p (α) C c, (8) sendo que as matrizes A(α) e C(α) obedecem à condição A2 Observação 2 Note que o sistema da Fig 2 tem o mesmo número de entradas e saídas Observação 3 O produto (C(α)B) é dado por: C(α)B = 0 FC p (α) C c = C B c B c c Observação 4 Os zeros de transmissão de {A(α),B,C(α)} são os autovalores de (A p (α) B p FC p (α)) Essa observação é a mesma encontrada em Covacic (2001) e Teixeira, Assunção, Covacic and Lordelo (2002) Teorema 3 Existe um compensador G c (s), de ordem m, e uma matriz de realimentação da saída K o que torna ERP o sistema da Fig 2 se e somente se existe uma matriz F tal que a matriz (A p (α) B p FC p (α)) seja Hurwitz, isto é, o sistema da Fig 3 é estável, para todo α admissível R(s) + U(s) Y Gp(s) (s) F Figura 3: Sistema com realimentação da saída Prova A prova deste teorema é baseada no Teorema 2 e nas Observações 3 e 4 31 Sistema ERP com Compensador de Ordem m e Realimentação da Saída para Sistemas Incertos Considere, agora, o sistema de malha fechada na Fig 4, com a matriz F em série com a saída da planta, de modo que (A p (α) B p FC p (α)) seja Hurwitz, para todo α admissível Teorema 4 (Covacic, 2001; Teixeira, Assunção, Covacic and Lordelo, 2002) Existe uma matriz K o tal que o sistema na Fig 4 seja ERP se e somente 1702

4 R(s) + W(s) U(s) Y (s) + Y Gc(s) Gp(s) F o(s) + K o Figura 4: Sistema de malha fechada se existirem matrizes P(α) = P(α) T e K o que satisfazem às seguintes LMIs: P(α)A(α) + A(α) T P(α) C(α) T (K o + K T o )C(α) < 0, (9) B T P(α) = C(α), (10) para todo α definido em (3) e A2 P(α) > 0 (11) Prova Similar ao mostrado em Covacic (2001) e Teixeira, Assunção, Covacic and Lordelo (2002) Observação 5 As expressões (9) (11), com as r matrizes P(α) = α i P i, A(α) e C(α), podem i=1 ser definidas em termos de LMIs Da hipótese A2, (10) e (11) são verificadas, para todo α i, i = 1,,r admissível, se e somente se B T P i = C i, i = 1,,r, (12) P i = P T i > 0, i = 1,,r (13) A condição (9) é equivalente a: α1 I α r I Q α 1 I α r I T < 0, sendo: Q = P 1 P r A 1 A r + C T 1 C T r A T 1 A T r P 1 P r (K o + K T o ) C 1 C r Portanto, uma condição suficiente para (9) é Q < 0 (14) Seguindo as idéias descritas em Teixeira, Pietrobom and Assunção (2000), a LMI (14) pode ser flexibilizada através do Teorema 5, proposto em Covacic (2001) Teorema 5 (Covacic, 2001; Teixeira, Assunção, Covacic and Lordelo, 2002) Considere a matriz Q dada em (14) Então, o ponto de equilíbrio x = 0 do sistema controlado {A(α) BK o C(α),B,C(α)} é globalmente assintoticamente estável se existirem matrizes simétricas P i > 0 e P ij 0 de modo que: 0 P 12 P 1r P 12 0 P 2r Q N = Q + < 0 (15) P 1r P 2r 0 Prova Ver Covacic (2001) e Teixeira, Assunção, Covacic and Lordelo (2002) 32 Restrição da Entrada Considere o sinal de entrada: com a restrição descrita abaixo: u = K o y, (16) max t 0 u(t) µ o, (17) sendo µ o uma constante conhecida, para uma dada condição inicial x(0) As condições apresentadas por Boyd et al (1994), que asseguram que a condição (17) é satisfeita para u dado em (16), são dadas por: P(α) K o C(α) C(α) T Ko T µ 2 oi 1 x(0) T P(α) P(α)x(0) P(α) Considerando que P(α) = > 0, (18) > 0 (19) r α i P i, então (18) i=1 e (19) são, respectivamente, equivalentes a: P i K o C i C T i KT o µ 2 oi 1 x(0) T P i P i x(0) P i i = 1,,r > 0, (20) > 0, (21) Essas LMIs devem ser utilizadas em conjunto com as condições que garantem a estabilidade do sistema 1703

5 4 Modelo da Articulação do Joelho de um Paciente Paraplégico O modelo matemático do membro inferior empregado nesse trabalho foi proposto em Ferrarin and Pedotti (2000) Esse modelo relaciona a largura do pulso aplicado com o torque gerado em torno da articulação do joelho Na modelagem (Ferrarin and Pedotti, 2000), o membro inferior foi considerado como uma cadeia cinemática aberta composta de dois segmentos rígidos: a coxa e o complexo canela-pé, conforme mostra a Figura 5 Estimulação Elétrica θ θ v mg M a Figura 5: Complexo Canela Tornozelo De Ferrarin and Pedotti (2000), pode-se constatar que a equação de equilíbrio, em torno da junção do joelho é: J θ v = mglsen(θ v ) M s B θ + M a, (22) sendo: J o momento inercial do complexo canelapé; θ o ângulo do joelho (ângulo entre a canela e a coxa no plano sagital); θ v o ângulo da canela (ângulo entre a canela e o eixo vertical no plano sagital); θ v a aceleração angular da canela; m a massa do complexo canela-pé; g a aceleração gravitacional; l a distância entre o joelho e o centro da massa do complexo canela-pé; B o coeficiente de atrito viscoso; M s o torque devido ao componente de rigidez; M a o torque ativo do joelho produzido pela estimulação elétrica; M g o torque devido à gravidade;m i o torque total inercial Define-se o momento de rigidez como: l M s = λe Eθ (θ ω), (23) sendo λ e E os coeficientes dos termos exponenciais e ω o ângulo elástico de repouso do joelho Em Ferrarin and Pedotti (2000), foi observado que o torque ao qual o músculo está sujeito (M a ) e a largura dos pulsos da estimulação elétrica (P) podem ser relacionados adequadamente pela função de transferência descrita em (24), sendo G e τ constantes positivas: H(s) = M a(s) P(s) = G 1 + sτ (24) Em Ferrarin and Pedotti (2000), os autores sugerem métodos para obtenção experimental dos parâmetros de interesse Nesse artigo foram adotados, os mesmos parâmetros adotados (Ferrarin and Pedotti, 2000): Considerando (22), (23) e (24), a equação resultante em variáveis de estado, demonstrada em Teixeira et al (2006b) e Teixeira et al (2006c), é dada por (4), com: A(α) = B = 0 0 G τ f 21 (x 1 ) B 1, J J τ T T, x = x1 x 2 x 3, C(α) = 1 0 0, u = P N (25) sendo por definição, x 1 = θ v = θ v θ v0, x 2 = θ v = x 1, x 3 = M a = M a M a0 A função f 21 (x 1 ) é uma não-linearidade do sistema e pode ser escrita como: f 21 (x 1 ) = 1 Jx 1 mglsen(x 1 + θ v0 ) λe E(x1+θv0+ π 2) ( x 1 + θ v0 + π 2 ω) + M a0 M a0 = mglsen(θ v0 ) +λe E(θv0+ π 2) ( θ v0 + π 2 ω) (26) Expandindo a equação (26) em série de Taylor, consegue-se eliminar o termo x 1 que está no denominador, evitando-se o problema de indeterminação em x 1 = 0 Utilizou-se uma série de Taylor com 11 termos É possível obter uma representação mais exata caso seja necessário, aumentando-se a ordem da série de Taylor 5 Controle do Ângulo da Articulação do Joelho de um Paciente Paraplégico Tomando como variável de saída o ângulo de articulação do joelho e considerando que esse ângulo varia entre 60 e 60, o sistema (25) pode ser representado na forma (1), sendo: A p (α) = α 1 A p1 + α 2 A p2, C p (α) = α 1 C p1 + α 2 C p2, A p1 = a 211 B 1 J J, τ A p2 = a 212 B 1 J J, τ B p = G T 0 0 τ, Cp1 = C p2 = 1 0 0, 1704

6 Tabela 1: Valores numéricos dos parâmetros J = 0362Kgm 2 m = 437Kg l = 238cm B = 027Nms/rad λ = 41208Nm/rad E = 20241/rad ω = 2918rad τ = 0951s G = 42500Nm/s θ v0 = 60 M a0 = 876Nm α 1 0, α 2 0, α 1 + α 2 = 1, sendo a 211 e a 212 os valores máximo e mínimo de f 21 (x 1 ), respectivamente Para θ 0 = 60, 60 x 1 60 e os parâmetros dados na Tabela 1, as matrizes A p1, A p2 e B são: A p1 = A p2 = B p = T,, Como CB = 0, não é possível obter um sistema ERP com compensadores estáticos Assim, será utilizado um compensador dinâmico de ordem m = 1 O primeiro passo foi determinar uma matriz F de maneira que o sistema realimentado {A p (α) B p FC p,b p,c p } seja estável, para qualquer α admissível Com o auxílio do lugar das raízes, a matriz F obtida foi a seguinte: F = (27) Os autovalores de (A p1 B p FC p ) são p 1 = j00330, p 2 = j00330 e p 3 = 11884, e os autovalores de (A p2 B p FC p ) são p 1 = j53925, p 2 = j53925 e p 3 = Nesse exemplo, foi adotado G c (s) = 1/s Assim, a representação do compensador em espaço de estados é dada por (5), sendo: A c = 0, B c = 1, C c = 1 (28) Desta forma, o sistema da Fig 2, com a planta G p (s) dada em (1), a matriz F dada em (27) e o compensador G c (s) dado em (28) é descrito em (7), com: 0 A 1 = , A 2 = B = T,, C 1 = C 2 = O segundo passo foi a determinação de uma matriz K o que torna ERP o sistema da Fig 4 Foi adicionada, também, uma restrição no sinal de entrada u(t) Utilizando o Matlab, a matriz K o obtida foi: K o = Adicionando-se a restrição na entrada µ 0 = 10, o valor de K 0 é alterado, assim como os autovalores de A BK o C Observação 6 Como o Matlab não resolve diretamente as LMEs, as mesmas foram aproximadas Como exemplo, a LME (12) foi aproximada para: B T P i C i < λ, que, de acordo com o complemento de Schur, equivale a: λ 2 I B T P i C i P i B Ci T > 0 I Neste caso, foi utilizado λ = 10 5 De fato, os autovalores de (A 1 BK o C), com a matriz K o acima são: p 1 = 92249, p 2 = j00627, p 3 = j00627 e p 4 = Os autovalores de (A 2 BK o C), com a matriz K o acima são: p 1 = j53919, p 2 = j53919, p 3 = e p 4 = Na Figura 6 é mostrada a resposta transitória da simulação do compensador dinâmico aplicado à dinâmica do paciente paraplégico 6 Conclusões É apresentada uma proposta de controladores ERP, baseados em LMIs, que consideram estabilidade, taxa de decaimento e restrição no sinal de entrada, para variar o ângulo da articulação do joelho de pacientes paraplégicos com uso a eletroestimulação aplicado ao músculo quadríceps O projeto utiliza um compensador dinâmico de ordem m, sendo m o número de variáveis de entrada da planta, e uma matriz constante de realimentação da saída Simulações digitais comprovam a validade do método proposto, no controle não-linear da posição da articulação do joelho com compensadores dinâmicos ERP proposto A partir do sistema ERP, pode ser implementado um sistema de controle com estrutura variável, considerando, por exemplo, distúrbios adicionados à entrada 1705

7 θv(rad) Ma(Nm) Posição Torque tempo(s) un(s) θv(rad/s) x 10 4 Lar de Pulso Velocidade Angular tempo(s) Figura 6: Simulação das equações dinâmicas do modelo do paraplégico para o ponto de operação de 60 Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro da FA- PESP, CNPq e CAPES Referências Anderson, B D O (1968) A simplified viewpoint of hyperstability, IEEE Transactions on Automatic Control 13: Bernussou, J, Geromel, J C and de Oliveira, M C (1999) On strict positive real systems design: Guaranteed cost and robustness issues, Systems & Control Letters 36: Boyd, S, Ghaoui, L, Feron, E and Balakrishnan, V (1994) Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia Covacic, M R (2001) Controle Automático com Estrutura Variável Utilizando Sistemas ERP e LMI, Dissertação de mestrado, FEIS- UNESP, Ilha Solteira-SP, Brasil Covacic, M R, Teixeira, M C M, Assunção, E and Cardim, R (2008) Síntese de sistemas erp com compensadores dinâmicos, Anais do XVII Congresso Brasileiro de Automática, Juiz de Fora-MG, pp 1 6 Cunha, J P V S, Hsu, L, Costa, R R and Lizarralde, F (2003) Output-feedback modelreference sliding mode control of uncertain multivariable systems, IEEE Transactions on Automatic Control 48(12): de Oliveira, M C, Farias, D P and Geromel, J C (1997) LMISol, User s Guide, UNI- CAMP, Campinas-SP, Brasil DeCarlo, R A, Żak, S H and Mathews, G P (1988) Variable structure control of multivariable systems: a tutorial, Proceedings of IEEE 76(3): Ferrarin, M and Pedotti, A (2000) The relationship between electrical stimulus and joint torque: A dynamic model, IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering 8(3): Gahinet, P, Nemirovski, A, Laub, A J and Chilali, M (1995) LMI Control Toolbox - For Use with Matlab, The Math Works, Inc Gaino, R, Teixeira, M C M, Carvalho, A A, Assunção, E and Silva, T I (2007) Reguladores e observadores fuzzy Takagi-Sugeno para variar o Ângulo da articulação do joelho de um paciente paraplégico, Anais do VIII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Florianópolis-SC, pp 1 6 Hsu, L, Araújo, A and Costa, R R (1994) Analysis and design of I/O based variablestructure adaptive-control, IEEE Transaction on Automatic Control 39(1): 4 21 Huang, C H, Ioannou, P A, Maroulas, J and Safonov, M G (1999) Design of strictly positive real systems using constant output feedback, IEEE Transactions on Automatic Control 44(3): Kaufman, H, Bar-Kana, I and Sobel, K (1994) Direct Adaptive Control Algorithms: Theory and Applications, Communications and Control Engineering Series, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg Landau, I (1979) Adaptive Control - The Model Reference Approach, Marcel Dekker, New York, NY, USA Owens, D H, Pratzel-Wolters, D and Ilchmann, A (1987) Positive-real structure and high-gain adaptive stabilization, IMA Journal of Mathematical Control & Information 4(2): Riener, R and Fuhr, T (1998) Patient-driven control of FES-supported standing up: a simulation study, IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering 6(2): Steinberg, A and Corless, M (1985) Output feedback stabilization of uncertain dynamical systems, IEEE Transactions on Automatic Control 30(10): Taniguchi, T, Tanaka, K, Ohatake, H and Wang, H O (2001) Model construction, rule reduction, and robust compensation for 1706

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