TOPOGRAFIA - Planimetria. Alex Mota dos Santos
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- Lídia Jardim Henriques
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1 TOPOGRAFIA - Planimetria Alex Mota dos Santos
2 Unidades de Medida Linear polegada = 2,75 cm = 0,0275 m polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m pé = 30,48cm = 0,3048 m jarda = 91,44cm = 0,9144m milha brasileira = 2200 m milha terrestre/inglesa = 1609,31 m
3 Unidades de Medida de Superfície are = 100 m 2 acre = 4.046,86 m 2 hectare (ha) = m 2 alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = m 2 alqueire mineiro (geométrico) = 4,84 ha = m 2
4 Unidades de Medida de Volume m 3 litro = 0,001 m 3
5 Exercícios 1.Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o valor de 1.290,9078 polegadas. Qual seria o valor desta mesma medida emquilômetros? 2.O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste mesmo lado em polegadas inglesas? 3.Determine o valor em milhas inglesas, para uma distância horizontal entre dois pontos de 74,9 milhas brasileiras.
6 4.Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a 1224,567 metros quadrados. 5.Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a ,5678 metros quadrados. 6.Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires paulista. 7.Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m 3. 8.Determine o valor em m 3, para um volume de ,56 litros. 9. Quantas folhas de papel tamanho A4 serão necessárias para representar uma superfície de 350m x 280m, na escala 1:500?
7 Erro de Graficismo ou Precisão do Levantamento Segundo DOMINGUES (1979) o Erro de Graficismo (ɛ), também chamado de Precisão Gráfica, é o nome dado ao raio do menor círculo no interior do qual se pode marcar um ponto com os recursos do desenho técnico. O valor de (ɛ), para os levantamentos topográficos desenhados manualmente, é da ordem de 0,2mm (1/5mm). Exemplo, a escala 1:5.000, o erro relativo permitido em um levantamento seria de apenas 1m. (5.000x0,0002m)
8 Planimetria Levantamento Planimétrico estuda e estabelece os procedimentos e métodos de medida de distância e ângulos, no plano horizontal.
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10 Distância Horizontal - Visada Horizontal A figura a seguir (GARCIA, 1984) ilustra um teodolito estacionado no ponto P e a régua graduada no ponto Q. Do ponto P visa-se o ponto Q com o círculo vertical do teodolito zerado, ou seja, com a luneta na posição horizontal. Procede-se a leitura dos fios estadimétricos inferior (FI), médio (FM) e superior (FS). A distância horizontal entre os pontos será deduzida da relação existente entre ostriângulos a'b'f e ABF, quesão semelhantes e opostos pelo vértice.
11 Rumo e Azimute Orientação: 45 Sentido: de A para B. Extensão: x metros. ROA = 35º NE ROB = 35º SE ROC = 70º SW ROD = 20º NW Rumo é o menor ângulo formado entre a linha Norte-Sul e o alinhamento em questão.
12 Azimute Azimute é o ângulo formado entre o Norte e o alinhamento em questão. É medido a partir do Norte, no sentido horário, podendo variar de 0º a 360º. AzOA = 35º AzOB = 145º AzOC = 250º AzOD = 340º
13 Quadrante NE: Az = 180º Quadrante SE: Az = 180º - R Quadrante SW: Az = 180º + R Quadrante NW: Az = 360º - R Rumo para Azimute R = Az R = 180º - Az R = Az - 180º R = 360º - Az Conversão de Rumo em Azimute e viceversa
14 Até o momento, ao falar em rumos e azimutes não foi especificado a sua referência, a partir do Norte Verdadeiro ou Magnético. Quando o azimute é medido a partir da linha Norte-Sul verdadeira ou geográfica, o azimute é verdadeiro; quando é medido a partir da linha Norte-Sul magnética, o azimute é magnético. O mesmo se dá para os rumos. A diferença angular entre o Norte verdadeiro e o Norte magnético é a Declinação Magnética local. A declinação magnética é sempre medida do Norte verdadeiro para o magnético.
15 Variação geográfica: numa mesma época, cada local apresenta um determinado valor para a declinação. Os pontos da Terra que, num dado instante, tem o mesmo valor de declinação, quando ligados por linhas imaginárias, formam as linhas isogônicas. Variação secular: com o decorrer dos séculos, o pólo norte magnético caminha em torno do pólo norte verdadeiro, havendo grandes alterações no valor da declinação em um lugar, mudando inclusive de sentido (de E para W,por ex.). Variação anual: esta variação não é bem definida e sua distribuição não é uniforme pelos meses do ano, sendo pequena e sem importância para trabalhos topográficos comuns. As linhas que unem locais de mesma varaiação annual da declinação são ditas isopóricas.
16 Caminhamento à esquerda ou no sentido horário Az23 = Az12 Ai Az34 = Az23 Ai
17 Caminhamento à direita ou no sentido anti-horário Az23 = Az12 + Ai2-180 Az34 = Az23 + Ai3-180
18 Generalizando tem-se a Fórmula geral dos azimutes: Azn = Azn -1 ± Ai ± 180º Onde: Azn é o azimute do alinhamento; Azn-1 é o azimute do alinhamento anterior; e Ai é o ângulo horizontal interno. Se (Azn-1 ± Ai) > 180º, subtrai-se 180º; se (Azn-1 ± Ai) < 180º, soma-se 180º.
19 Médodo do Caminhamento Perimétrico Estação P. Visado Ai Lido A B B C C D D A Somatório
20 a) Cálculo do Erro angular de fechamento da poligonal: ΣAi = (n 2)180 Onde: Ai = ângulo lido = ângulo duplo/2 n = n de vértices Portanto: ΣAi = (4-2)180 = 360 ΣAi lidos = EA=ΣAi lidos ΣAi Onde: EA = erro angular Portanto: EA= = EAT = ± 1 n Onde: EAT = erro angular tolerável n = n de vértices Portanto: EAT = ± 1 4 = ± 2
21 b) Distribuição do erro angular: Normalmente o erro angular é distribuído por vértice em quantidades iguais, embora a prática tem demonstrado que nas maiores distâncias os erros angulares são menores. Ai comp.=ea/n c) Ângulo compensado: O ângulo compensado é determinado pela adição ou subtração do erro no ângulo lido. O somatório do erro por vértice deverá ser igual ao erro total da poligonal. O sinal da correção deverá ser contrário ao do erro.
22 Ai compensado = ErroAngular (EA/n), onde n é o número de vértices, ou seja, Aicomp. = 40 /4 = 10
23 Angulos compensados Estação P. Visado Ai Lido A B B C C D D A Somatório Ai comp graus
24 d) Azimutes: A partir do primeiro azimute, medido no campo, são calculados os azimutes dos demais alinhamentos. Azn =(Azn-1 + Ai ) +180 Onde: Azn = azimute do alinhamento; Azn-1 = azimute do alinhamento anterior; e Ai = ângulo interno do vértice comum aos dois alinhamentos. Se o caminhamento for à direita ou no sentido anti-horário, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) Se o caminhamento for à esquerda ou no sentido horário a fórmula fica: Azn =(Azn-1 - Ai ) Se Azn-1 + Ai < 180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) + 180, porém, se Azn-1 + Ai > 180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai )
25 Neste caso, AzBC = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º º35 10 ) - 180º = 221º48 00 AzCD = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º º45 20 ) - 180º = 132º33 20 AzDA = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º º49 30 ) - 180º = 42º22 50 Estação P. Visado Ai Lido A B B C C D D A Somatório Ai comp. Azimute DH (m) , , , , graus ,51?
26 Mira O instrumento utilizado são os teodolitos providos de fios estadimétricos, que além de medir ângulos, acumulam também a propriedade de medir óticamente as distâncias horizontais e verticais.
27 Da figura tem-se: f = distância focal da objetiva F = foco exterior à objetiva c = distância do centro ótico do aparelho à objetiva C = c + f = constante do instrumento d = distância do foco à régua graduada H = AB = B - A = FS - FI = diferença entre as leituras M = FM = leitura do retículo médio Pelas regras de semelhança pode-se escrever que:
28 Distância Horizontal - Visada Inclinada Do triângulo AA'M -- MA' = MA. cos α Do triângulo BB'M -- MB' = MB. cos α MA' + MB' = (MA + MB). cos α MA' + MB' = A'B' MA + MB = AB = H Portanto, A'B' = H. cos Do triângulo OMR -- OR = OM. cos α OM = 100. A'B' + C OM = 100. H. cos α + C OR = (100. H. cos α + C ). cos α DH = OR portanto, DH = 100. H. cos2 α + C. cos α
29 e) Projeções: As projeções são calculadas da seguinte forma: x =DH. sem Az e y =DH. cos Az Onde: x = projeção no eixo x; y = projeção no eixo y; DH = distância horizontal do alinhamento; e Az = azimute do alinhamento. Neste caso: xab = DHAB. sen AzAB = 65,62. sen 313º12 50 = - 47,82 yab = DHAB. cos AzAB = 65,62. cos 313º12 50 = 44,93 xbc = DHBC. sen AzBC = 31,61. sen 221º48 00 = - 21,07 ybc = DHBC. cos AzBC = 31,61. cos 221º48 00 = - 23,56 xcd = DHCD. sen AzCD = 65,28. sen 132º33 20 = 48,09 ycd = DHCD. cos AzCD = 65,28. cos 132º33 20 = - 44,15 xda = DHDA. sen AzDA = 31,00. sen 42º22 50 = 20,90 yda = DHDA. cos AzDA = 31,00. cos 42º22 50 = 22,90
30 Estação P. Visado Ai Lido A B B C C D D A Somatório Ai comp. Azimute DH (m) , , , , graus ,51 Projeção Calculada X Y -47,82 44,93-21,07-23,56 48,09-44,15 20,90 22,90 DX = 0,10 DY = 0,12 Cx Correções Cy DX = Somatório de X e DY = Somatório de Y
31 f) Erro linear: O erro linear é determinado pela fórmula: EL = (Δx)2 + (Δy)2 0,1² + 0,12² Onde: EL = erro linear; Δx = somatório das projeções do eixo x; e Δy = somatório das projeções do eixo y. Neste caso, EL = 0,16 m O erro linear tolerável é dado pela fórmula: ELT = 0,8. PERÍMETRO (km), e o Perímetro = 193,51 metros COMO? Onde: ELT = erro linear tolerável. Neste caso, ELT = 0,35 m
32 g) Correção das projeções: A correção do erro linear, nos eixos x e y, é dada pela fórmula: Cx = Δx. DH/perim. Cy = Δy. DH/perim. Onde: Cx = correção da projeção no eixo x; Cy = correção da projeção no eixo y; DH = distância horizontal do alinhamento; Δx = somatório das projeções do eixo x; e Δy = somatório das projeções do eixo y. Atenção, o sinal da correção é contrário ao sinal do erro.
33 Neste caso: CxAB = Δx. DHAB / PERÍMETRO = 0,10. 65,62 / 193,51 0,03 CyAB = Δy. DHAB / PERÍMETRO = 0,12. 65,62 / 193,51 0,04 CxBC = Δx. DHBC / PERÍMETRO = 0,10. 31,61 / 193,51 0,02 CyBC = Δy. DHBC / PERÍMETRO = 0,12. 31,61 / 193,51 0,02 CxCD = Δx. DHCD / PERÍMETRO = 0,10. 65,28 / 193,51 0,03 CyCD = Δy. DHCD / PERÍMETRO = 0,12. 65,28 / 193,51 0,04 CxDA = Δx. DHDA / PERÍMETRO = 0,10. 31,00 / 193,51 0,02 CyDA = Δy. DHDA / PERÍMETRO = 0,12. 31,00 / 193,51 0,02
34 h) Projeções compensadas: A projeção compensada é calculada adicionando ou subtraindo o erro na projeção calculada: X = x + Cx Y = y + Cy Onde: X e Y = projeções compensadas nos eixos X e Y, respectivamente; X e y = projeções calculadas nos eixos X e Y, respectivamente; e Cx e Cy = correções das projeções nos eixos x e y, respectivamente. Neste caso: X AB = xab ± CxAB = - 47,82-0,03 = - 47,85 Y AB = yab ± CyAB = 44,93-0,04 = 44,89 X BC = xbc ± CxBC = - 21,07-0,02 = - 21,09 Y BC = ybc ± CyBC = - 23,56-0,02 = - 23,58 X CD = xcd ± CxCD = 48,09-0,03 = 48,06 Y CD = ycd ± CyCD = - 44,15-0,04 = - 44,19 X DA = xda ± CxDA = 20,90-0,02 = 20,88 Y DA = yda ± CyDA = 22,90-0,02 = 22,88 Obs: Se a correção está correta, o somatório das projeções deverá ser igual a zero.
35 Estação P. Visado Ai Lido A B B C C D D A Somatório DX = Somatório de X e DY = Somatório de Y Ai comp. Azimute DH (m) , , , , graus ,51 Projeção Calculada X Y -47,82 44,93-21,07-23,56 48,09-44,15 20,90 22,90 DX = 0,10 DY = 0,12 Correções Cx Cy 0,03 0,04 0,02 0,02 0,03 0,04 0,02 0,02 0,10 0,12 Projeções Compensadas X Y -47,85 44,89-21,09-23,58 48,06-44,19 20,88 22,88 0,00 0,00
36 Cálculo de Coordenadas a) Coordenadas dos vértices da poligonal de apoio (Não acabou): As coordenadas são calculadas por soma algébrica das projeções compensadas, partindo das coordenadas do ponto inicial: Xn= Xn-1+X Yn= Yn-1+Y Onde: Xn= abcissa do ponto; Yn= Ordenada do ponto; Xn-1= abcissa do ponto anterior;
37 Yn-1 = ordenada do ponto anterior; X = projeção compensada no eixo x; e Y = projeção compensada no eixo y. OBS: ponto conhecido é colocado na origem. Neste caso: Vamos arbitrar que XA = 0,00 e YA = 0,00. XB = XA + X AB = 0,00 + (- 47,85) = - 47,85 YB = YA + Y AB = 0, ,89 = 44,89 XC = XB + X BC = - 47,85 + (- 21,09) = - 68,94 YC = YB + Y BC = 44,89 + (- 23,58) = 21,31 XD = XC + X CD = - 68, ,06 = - 20,88 YD = YC + Y CD = 21,31 + (- 44,19) = - 22,88
38 Projeção Calculada Correções Estação P. Visado Ai Lido X Y Cx Cy A B B C C D D A Somatório ,82 44,93-21,07-23,56 48,09-44,15 20,90 22,90 DX = 0,10 DY = 0,12 0,03 0,04 0,02 0,02 0,03 0,04 0,02 0,02 0,10 0,12 Projeções Compensadas Coordenadas (Poligona de Apoio) X Y X Y -47,85 44,89-21,09-23,58 48,06-44,19 20,88 22,88 0,00 0,00 0,00 0,00-47,85 44,89-68,94 21,31-20,88-22,88 0,00 0,00
39 Cálculo das coordenadas dos vértices da poligonal de interesse: Estação P. Visado Ai Lido A a B B C c D d DH 8,07 8,46 5,83 6,00
40 Cálculo do Azimute. Para todos os vértices A para a, B para b e...
41 Vértice a: AzAa = (AzDA + Ai) ± 180º = (42º º23 40 ) + 180º = 241º46 30 X Aa = DHAa. sen AzAa = 8,07. sen 241º46 30 = - 7,11 Y Aa = DHAa. cos AzAa = 8,07. cos 241º46 30 = - 3,82 Xa = XA + X Aa = 0,00 + (- 7,11) = - 7,11 Ya = YA + Y Aa = 0,00 + (- 3,82) = - 3,82 Vértice b: AzBb = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º º04 20 ) - 180º = 206º17 10 X Bb = DHBb. sen AzBb = 8,46. sen 206º17 10 = - 3,75 Y Bb = DHBb. cos AzBb = 8,46. cos 206º17 10 = - 7,58 Xb = XB + X Bb = - 47,85 + (- 3,75) = - 51,60 Yb = YB + Y Bb = 44,89 + (- 7,58) = 37,31 Vértice c: AzCc = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º º08 10 ) - 180º = 57º56 10 X Cc = DHCc. sen AzCc = 5,83. sen 57º56 10 = 4,94 Y Cc = DHCc. cos AzCc = 5,83. cos 57º56 10 = 3,09 Xc = XC + X Cc = - 68,94 + 4,94 = - 64,00 Yc = YC + Y Cc = 21,31 + 3,09 = 24,40
42 Vértice d: AzDd = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º º02 00 ) - 180º = 14º35 20 X Dd = DHDd. sen AzDd = 6,00. sen 14º35 20 = 1,51 Y Dd = DHDd. cos AzDd = 6,00. cos 14º35 20 = 5,81 Xd = XD + X Dd = - 20,88 + 1,51 = - 19,37 Yd = YD + Y Dd = - 22,88 + 5,81 = - 17,07
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44 Reconstituição de poligonais É possível, a partir das coordenadas dos vértices de uma poligonal, calcular os seus elementos: a) Cálculo da distância horizontal: DH12 = (X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² b) Cálculo de azimutes: arc tg R12 = (X2 - X1) / (Y2 - Y1) Definição do quadrante: +/+ NE Az = R +/- SE Az = 180º - R -/- SW Az = 180º + R -/+ NW Az = 360º - R Após a definição do quadrante, transforma-se o rumo em azimute. c) Cálculo dos ângulos internos: Azn = Azn-1 ± Ai ± 180º Ai = Azn - Azn-1 ± 180º
45 Cálculo da Área 2. S = {- 7,11. [37,31 - (-17,07]} + {- 51,60. [24,40 - (- 3,82)]} + + [64,00. (- 17,07-37,31)] + [- 19,37. (- 3,82-24,40)] 2. A = - 386, (- 1456,1520) , ,6214 = 2184,1476 S = 1092,0738 m2 ou 2. S = {- 3,82. [- 51,60 - (-19,37)]} + {37,31. [- 64,00 - (- 7,11)]} + + {24,40. [- 19,37 - (- 51,60)]} + {- 17,07. [- 7,11 - (- 64,00)]} 2. S = ,1476 S = 1092,0738 m2
46 1.De um piquete (A) foi visada uma mira colocada em um outro piquete (B). Foram feitas as seguintes leituras: fio inferior = 0,417m fio médio = 1,518m ângulo vertical = 5º30' em visada descendente (A B) altura do instrumento (A) = 1,500m Calcule a distância horizontal entre os pontos (AB) sabendo-se que a luneta é do tipo analática. 2.Considerando os dados do exercício anterior, calcule a distância vertical ou diferença de nível entre os pontos e determine o sentido de inclinação do terreno. 3.Ainda em relação ao exercício anterior, determine qual é a altitude (h) do ponto (B), sabendo-se que a altitude do ponto (A) é de 584,025m. 4.Um teodolito acha-se estacionado na estaca número (1) de uma poligonal e a cota, deste ponto, é 200,000m. O eixo da luneta de um teodolito encontra-se a 1,700m do solo. Para a estaca de número (2), de cota 224,385; foram feitas as seguintes leituras: retículo inferior = 0,325m retículo superior = 2,675m Calcule a distância horizontal entre as estacas. 5.De um ponto com altitude 314,010m foi visada uma régua, situada em um segundo ponto de altitude 345,710m. Com as leituras: α = 12º em visada ascendente; I = 1,620m; e sabendo-se que a distância horizontal entre estes pontos é de 157,100m; calcule H, FM, FI, FS.
47 Boa Tarde, boa semana.
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