TEORIA DOS JOGOS E A RELAÇÃO ENTRE O TEOREMA MINIMAX DE JOHN VON NEUMANN E O EQUILÍBRIO DE NASH DE JOHN NASH

Transcrição

1 TEORIA DOS JOGOS E A RELAÇÃO ENTRE O TEOREMA MINIMAX DE JOHN VON NEUMANN E O EQUILÍBRIO DE NASH DE JOHN NASH RESUMO Cristiene dos Santos Costa 1 Orientador: Prof. Dr. Ailton Paulo de Oliveira Júnior Este texto contém um pouco da Teoria dos Jogos baseada nos trabalhos de John Von Neumann e de John Forbes Nash Jr, aplicada a problemas que podem ser enfrentados em situações do mundo real. A estrutura do texto segue uma ordem de construção do conhecimento sobre a teoria, iniciando pela idéia geral, passando pelo Teorema Minimax e finalizando com o Equilíbrio de Nash. Palavras-chave: Teoria dos Jogos; Teorema Minimax; Equilíbrio de Nash. 1. INTRODUÇÃO A teoria dos jogos foi desenvolvida com a finalidade de analisar situações competitivas que envolvem interesses conflitantes. Nas situações examinadas pela teoria, existem duas ou mais pessoas com objetivos diferentes, sendo que a ação de cada uma influencia mas não determina completamente o resultado do jogo. Além disso, admite-se que cada pessoa saiba os objetivos do seu oponente, o que caracteriza um agente racional. Neste trabalho serão abordados somente jogos de duas pessoas que disponham apenas de duas estratégias (jogos 2 x 2), podendo com eles ilustrar os princípios a serem discutidos e também os jogos mais complexos, com a vantagem de serem mais simples. A discussão pretendida refere-se ao entendimento, a partir da Teoria dos Jogos, do comportamento humano em situações de concorrência, tendo como base algumas situações do cotidiano. 2. TEORIA DOS JOGOS Jogos de tabuleiro, dados, cartas ou, em geral, jogos de salão, divertem a humanidade desde a formação das primeiras civilizações. Acreditava-se que a atividade lúdica, além de entreter seus participantes, também serviria como simulação alegórica de batalhas ou decisões que as pessoas têm de fazer ao longo de sua vida cotidiana. Por colocar as pessoas em situações nas quais vencer ou perder dependem das escolhas feitas adequadamente logo no início das partidas, os jogos se mostraram como excelente ferramenta para o desenvolvimento da personalidade e da inteligência das crianças. Entretanto, apesar desse aspecto pedagógico, os jogos raramente eram considerados objetos de estudo sério. Foi a curiosidade de uns e o estudo de outros que tornaram possível verificar que os jogos eram passíveis de formalização matemática. Tendo em vista, por exemplo, o comportamento dos jogadores, haveria algo que explicaria a reação das pessoas em situações de risco. O empenho de diversos economistas e matemáticos contribuíram com conceitos e teoremas que fizeram com que surgisse uma teoria sobre os jogos. 1 Licencianda em Matemática pela Universidade Católica de Brasília

2 John von Neumann, matemático húngaro naturalizado americano, em parceria com Oskar Morgenstern, economista austríaco, escreveram e publicaram Teoria dos Jogos e o Comportamento Econômico (1944), obra que lançou as bases da Teoria dos Jogos e que tinha como foco, além dos jogos de azar, os jogos de estratégia que são aqueles que não dependem apenas da sorte, mas oferecem alternativas para que os jogadores possam escolher qual a melhor linha de ação que deve adotar para atingir um resultado esperado, tendo em mente o que a outra parte fará. Segundo o dicionário Aurélio jogo é uma atividade física ou mental organizada por um sistema de regras que definem a perda ou o ganho. Com essa mesma idéia Neumann procura definir jogo de acordo com o comportamento econômico, dizendo que jogo é uma situação definida por interesses competitivos, em que cada um procura maximizar seus ganhos. A Teoria dos Jogos trata, então, de sistematizar matematicamente, através dos modelos de jogos, as situações que envolvem duas ou mais pessoas, cujas decisões por uma estratégia de ação adequada, influenciarão o resultado da interação e o comportamento subseqüente das partes interessadas. Inicialmente esta teoria não foi muito bem recebida, pois muitos a consideravam como algo sem valor ou simplesmente não-científico, dada sua origem em estudos de jogos de salão. Tecnicamente, no entanto, essa má impressão desfaz-se quando se percebe que a aparente simplificação das relações entre indivíduos, fornecida pela formalização matemática da teoria, permite analisar com uma precisão até então desconhecida nas ciências sociais, o comportamento dos agentes racionais, humanos ou não. Neumann e Morgenstern dão ênfase aos jogos entre duas pessoas e de soma zero (ou tudo ou nada), em que para um jogador ganhar o outro tem necessariamente de perder, ou então as partes terminam o jogo sem saldo; defendiam também que nada se ganha com a comunicação prévia entre os jogadores. Para isso, Neumann provou o Teorema Minimax, estudo de estratégias que visa maximizar os ganhos e minimizar as perdas. John Forbes Nash Jr, matemático americano homenageado no cinema e que ganhou em 1994 o prêmio Nobel em Economia, complementa a teoria realizando trabalhos que a tornaram pertinente a situações em que um lado pode vencer sem precisar, necessariamente, derrotar o adversário. Ao dar continuidade a esta teoria, Nash começa por dividir os jogos em dois tipos: os cooperativos, onde existe a possibilidade dos participantes se aliarem ou entrarem em acordo no sentido de obterem uma solução, correndo o risco de blefes; e os não-cooperativos, onde não são permitidos ou não são possíveis acordos prévios entre os participantes, mas que apesar disto os incentivos pessoais de cada um poderão orientar o resultado do jogo para uma situação definida e que se mostre estável. Desse modo procurou generalizar o Teorema Minimax de von Neumann para todo tipo de jogo soma zero ou variável, com n-pessoas. A solução encontrada foi batizada de ponto de equilíbrio, como se fosse um repouso natural nas ocasiões em que nenhum jogador poderia melhorar sua posição, mudando de estratégia, sem que piorasse os resultados dos demais envolvidos. Este equilíbrio proposto por John Nash consistia no seguinte: cada participante tenta calcular a forma como os outros reagirão à sua jogada atual e vice-versa, de um modo sucessivo. O jogador prevê, até onde levará a sua

3 decisão inicial e através dela realiza a melhor escolha. Assim, os jogadores procuram um conjunto de opções segundo as quais a estratégia de cada um o beneficia quando os outros desenvolvem as suas melhores estratégias. Enquanto Neumann defendia idéias em partes egoístas e com rivalidades puras (lucro zero), Nash propunha que o melhor resultado em competição é quando todos do grupo fazem o melhor por si e para todo o grupo, transformando rivalidade em lucro mútuo. Com isso, ao lado do Teorema Minimax, o Equilíbrio de Nash tornou-se um dos alicerces fundamentais da Teoria dos Jogos, pois permitiu que os jogos não-cooperativos, que envolvem cooperação e competição, pudessem ser tratados, além dos chamados cooperativos. 3. JOGOS DE SOMA ZERO E O TEOREMA MINIMAX Segundo Nasar (2003), os matemáticos sempre acharam os jogos intrigantes. Assim como os jogos de azar levaram à teoria da probabilidade, o pôquer e o xadrez começaram a interessar os matemáticos na década de John von Neumann foi o primeiro a fornecer a descrição matemática completa de um jogo e a provar um resultado fundamental, o Teorema Minimax. Em 1928, Neumann publicou um artigo sugerindo que a Teoria dos Jogos poderia ter aplicação na Economia, mas não sabia como fazê-la. Só quando conheceu Morgenstern em Princeton, 1938, o elo com a Economia pode ser feito. Escreveram então Teoria dos Jogos e o Comportamento Econômico publicado em 1944, sendo que John von Neumann escreveu toda parte teórica matemática e Morgenstern fez uma provocativa introdução e estruturou os assuntos, de tal modo que o livro pode atrair a atenção da comunidade matemática e econômica. A obra esgotou de todas as maneiras a análise de jogos de duas pessoas e soma zero, sendo os quais considerados jogos de conflito total. A seguir estaremos explicando como resolver jogos deste tipo, que dividimos em duas partes, os de estratégias puras e os de estratégias mistas. 3.1 Ponto de Mini-max e as Estratégias Puras O ingrediente essencial que faz da Teoria dos Jogos uma teoria, mais do que uma coleção de regras, é a noção de um ponto de mini-max, ou seja, um conjunto de estratégias ótimas para todos os jogadores em jogo. Vamos começar por ilustrar a idéia geral da Teoria dos Jogos com um exemplo simples de competição que pode ser verificado em situações do mundo real. Duas redes de televisão competidoras, Mega e Plus, estão planejando levar ao ar programas de uma hora de duração para o mesmo horário. A rede Mega pode escolher um entre os programas A e B e a rede Plus um entre os programas C e D. Nenhuma delas sabe qual o programa a outra vai levar ao ar. Ambas contratam o mesmo instituto de pesquisa de opinião para lhes dar uma estimativa de como as possibilidades de transmitir os dois programas vão dividir a audiência. O instituto fornece a percentagem da audiência para a rede Mega representada na Tabela 1. Qual programa cada rede deveria levar ao ar para maximizar a audiência?

4 Tabela 1: Percentagem de Audiência para a Rede Mega Programa da Rede Plus C D Programa da A Rede Mega B A situação acima, envolvendo as duas redes de televisão, está representada pela chamada matriz dos ganhos, que define a forma normal do jogo. Nas linhas da matriz encontram-se as opções disponíveis para a rede Mega, enquanto as colunas representam as possíveis para a rede Plus. Estas opções são o que agora denominaremos como sendo as estratégias puras do jogo. Por convenção, os dados da matriz são os ganhos do jogador de linha, neste caso a rede Mega, e o negativo destes valores são os ganhos do jogador de coluna, a rede Plus. Isto é explicado pelo fato das redes terem interesses diametralmente opostos, ou seja, o que é bom para uma é ruim para a outra. Este exemplo mostra o que se chama de jogo de soma zero, uma vez que os ganhos das redes Mega e Plus somam zero. A solução deste problema é encontrar a melhor estratégia, chamada de estratégia ótima de cada rede, de forma a maximizar a audiência. Disso resulta que ambos os jogadores tomarão decisões que podemos classificar como de anti-risco, ou seja, aquelas que renunciam a alguns ganhos possíveis para evitarem incorrer em perdas desnecessárias. Ao generalizar esta análise, conclui-se que o decisor racional procurará um modo de atuação que lhe dê o melhor ganho possível na pior situação, ou seja, o melhor ganho admitindo que o oponente fará o melhor contra movimento. Assim, a rede Mega deseja maximizar sua audiência mínima esperada, e para isso assinalamos a percentagem mínima de cada linha da matriz e em seguida destacamos o máximo desses valores assinalados. Esta análise pode ser visualizada no Esquema 1. Do mesmo modo, a rede Plus deseja minimizar sua audiência máxima esperada, visto que os ganhos desta é o oposto daquela, e para isso marcamos a percentagem máxima de cada coluna e a partir destes resultados destacamos o mínimo. Esquema 1: Solução mini-max para as redes Mega e Plus Mínimo C D da linha A Max-mini B = 45 Máximo da coluna Mini-max = 45 Tal combinação de atuações, na qual o máximo dos mínimos das linhas (o max-mini) é igual ao mínimo dos máximos das colunas (o mini-max), chama-se ponto de mini-max do jogo ou ponto de sela, porque, ao escolherem estas atuações, os dois jogadores garantem para si um

5 ganho mínimo, independentemente do que o oponente venha a fazer. Pode existir mais de um ou nenhum ponto de sela, mas a existência de pelo menos um significa que há possibilidade de uma solução mini-max, ou max-mini, como fora previsto por von Neumann. E sempre que houver mais de um ponto de sela, todos os resultados serão iguais. Voltando ao nosso problema encontramos que o max-mini é igual ao mini-max. Daí obtemos o ponto de sela (B, C), onde a estratégia ótima para a rede Mega é levar ao ar o programa B e para a rede Plus o programa C, resultando em 45% da audiência para a rede Mega, pois o valor encontrado na matriz é o ganho do jogador de linha, e sendo o ganho do jogador de coluna o negativo deste valor, então a rede Plus perde 45% da audiência total restando um ganho para si de 55% da audiência. Embora a solução mini-max pareça razoável para jogos de soma constante, quando não há um ponto de sela ou a soma é diferente de zero, será necessário fazer uma mistura que diminua os riscos de perdas ou promova outro ponto de equilíbrio que não pode ser alcançado apenas com recurso de estratégias puras aquelas que são listadas nas matrizes básicas. Desde John Nash, um ponto de equilíbrio é todo aquele que seja o encontro das estratégias ótimas de cada jogador com as dos adversários. 3.2 Teorema Minimax e as Estratégias Mistas Num jogo com ponto de sela, existe uma estratégia ótima para cada jogador e não são necessárias medidas de segurança. Nos casos em que não se tem ponto de sela, o jogo ótimo deve impedir que o oponente venha saber qual tática será usada num determinado momento. Isto é efetuado selecionando-se ao acaso a estratégia a ser usada em cada jogo, de acordo com as probabilidades que podem ser computadas a partir da matriz dos ganhos. Tal ação, que consiste de uma mistura de probabilidades de mais de uma estratégia pura é denominada uma estratégia mista. Estas probabilidades proporcionam as estratégias ótimas, isto é, as atuações através das quais cada jogador pode maximizar seus lucros mínimos esperados ou minimizar suas perdas máximas esperadas contra o jogo ótimo do outro jogador. O Teorema Minimax de von Neumann assegurava que para todos os jogos de duas pessoas e soma zero existia uma estratégia mista ótima para cada jogador e se eles as utilizassem teriam o mesmo resultado médio esperado, que seria o melhor ganho que cada jogador poderia esperar se o adversário jogasse racionalmente. Vejamos agora um exemplo simples das estratégias mistas em ação, baseado no Caças e bombardeiros da obra de Casti (1999). Na Segunda Guerra Mundial os pilotos de caça, normalmente, atacavam os bombardeiros mergulhando por cima e com o sol pelas costas, artimanha conhecida como a estratégia do huno ao sol. Mas, quando todos os caças passaram a utilizar essa estratégia, os pilotos dos bombardeiros responderam simplesmente pondo óculos escuros, que lhes permitiram olhar frontalmente para o sol e procurar os caças. Então os caças recorreram a uma segunda estratégia que chamaremos de "kamikase", que consistia num ataque direto de baixo para cima. Essa alternativa revelava-se muito eficaz quando o caça não era detectado, mas no caso contrário, era invariavelmente fatal para o piloto do caça, visto que os aviões são muito mais lentos para subir do que mergulhar. Temos agora um jogo de soma zero para duas pessoas,

6 entre os pilotos de caças e as tripulações dos bombardeiros. Os caças podem empregar tanto a estratégia do huno ao sol como a do kamikase, enquanto as tripulações dos bombardeiros podem olhar para cima ou para baixo através da torre do artilheiro. Se concordarmos em medir o ganho do piloto do caça pelas hipóteses de sobrevivência numa missão solitária, então podemos descrever a situação teórica do jogo pelas probabilidades de sobrevivência, como se mostra na Tabela 2. Tabela 2: Probabilidades de sobrevivência do Piloto do caça Tripulação do Bombardeiro Olhar para cima Olhar para baixo Piloto do Huno ao sol 0,95 1 Caça Kamikase 1 0 Inicialmente, percebe-se não haver uma solução mini-max, por se tratar de um jogo sem ponto de sela. Não há portanto, estratégias puras para os jogadores envolvidos que não podem ser exploradas pelo adversário, ou seja, de um deles tirar proveito se vier conhecer a escolha feita pelo outro. Ao invés de escolher uma única estratégia, ambas as partes têm de diversificar as suas atuações, fazendo ora uma coisa, ora outra. O Teorema Minimax ofereceu como solução para essas circunstâncias a aplicação das estratégias disponíveis segundo uma taxa de freqüência determinada. Para o piloto do caça, os ganhos mostram que a estratégia huno ao sol é quase sempre bem sucedida, enquanto a estratégia kamikase é de alto risco, visto que implicará morte certa se a tripulação do bombardeiro olhar para baixo. Deste modo, a intuição sugere que a mistura ótima para o piloto do caça é utilizar mais vezes a estratégia huno ao sol e só ocasionalmente a arriscada atuação kamikase. Para calcularmos a quantidade de vezes que deverá ser feita cada uma destas opções, utilizaremos o método simples descrito por Rapoport (1980) para jogos 2 x 2, ou seja, para jogos de duas pessoas com duas estratégias puras para cada uma. Este método consiste em encontrar o valor absoluto da diferença entre as notações correspondentes das duas estratégias do jogador de linha ou do jogador de coluna, fazendo depois a razão da segunda diferença em relação à primeira. No caso da Tabela 2, para descobrir sua mistura mini-max, o piloto do caça deve subtrair 0,95 de 1 na estratégia huno ao sol, obtendo 0,05, e 0 de 1 na estratégia kamikase, cuja razão em relação à primeira produz 1: 0,05 ou 20: 1. Assim, a melhor mistura para este jogador é usar a técnica do huno ao sol 20 vezes em cada 21 sortidas e a kamikase 1 em cada 21. Fazendo o mesmo para a tripulação do bombardeiro, a sua mistura ótima será de olhar para cima 20 em cada 21 das vezes e para baixo 1 vez em cada 21. É claro que cada jogador deve ocultar do outro a estratégia específica que usará em determinada jogada, mas poderá revelar os seus conjuntos de probabilidade sem prejudicar de forma alguma os seus interesses. O resultado esperado por cada jogador, depois de muitas jogadas realizadas, pode ser obtido a partir das proporções encontradas. Caso o piloto do caça utilize a mistura mini-max descrita acima teria um nível de segurança esperado representado pela relação a seguir: , = 0,9524 (1)

7 Observa-se que este resultado é ligeiramente superior ao nível de segurança certo de 0,95 do piloto do caça que siga sempre a estratégia do huno ao sol, isso de acordo com a Tabela 2. Mas para obter este nível de sobrevivência mais elevado, o piloto do caça tem que aceitar correr o risco de morte certa caso escolha a estratégia kamikase e a tripulação do bombardeiro olhar para baixo. Cabe salientar que a primeira parcela da relação (1) é determinada pela multiplicação da probabilidade do piloto do caça escolher a opção huno ao sol com a proporção da tripulação do bombardeiro optar por olhar para cima e com o valor correspondente na matriz dos ganhos. As outras parcelas podem ser obtidas da mesma maneira, mas com seus respectivos valores. Fazendo as contas de seu ganho, a tripulação do bombardeiro chega a conclusão semelhante, mas simétrica, isso porque, mais uma vez, trata-se de um jogo de soma zero. Por causa da simetria do jogo, as misturas de estratégias garantem aos dois competidores os mesmos resultados conjuntos, assim como foi afirmado pelo Teorema Minimax. Quando se trata de ganhar ou perder, a mistura mini-max pode vir a ser o único caminho a ser seguido. Mas o sucesso que esta oferece em jogos de soma zero, ao reduzir ao mínimo as perdas de cada parte, nem sempre é garantia de boa escolha em jogos de soma variante. Em jogos cuja soma dos resultados é diferente de zero, a estratégia mista mini-max não é a única solução existente, nem mesmo a melhor, em alguns casos a comunicação prévia e a cooperação entre os participantes podem gerar resultados mais significativos, isto foi o que Nash concluiu após estudar com mais afinco jogos deste tipo. 4. JOGOS DE SOMA VARIANTE E O EQUILÍBRIO DE NASH Por mais inspirada e detalhada que fossem a prova do Teorema Minimax e a formalização dos jogos de soma zero, a Teoria dos Jogos surgiu incompleta, ao deixar em segundo plano os jogos de soma variável e os não-cooperativos, em que não há ou não são permitidos acordos entre os envolvidos. As lacunas e falhas na teoria de von Neumann atraíram matemáticos brilhantes, principalmente Nash que procurou generalizar o teorema para todo tipo de jogo, em seu trabalho conhecido como o Equilíbrio de Nash. Nash definiu o equilíbrio como uma situação em que nenhum jogador poderia melhorar seu ganho escolhendo uma outra estratégia disponível. Provou que, para uma determinada categoria muito ampla de jogos com qualquer número de jogadores, em que são permitidas estratégias mistas, existe pelo menos um ponto de equilíbrio, e que embora pudesse haver jogos em que as estratégias puras não apontassem para este ponto, o recurso da mistura de estratégia sempre produziria um novo ponto de equilíbrio em jogos finitos. O teorema de Neumann era a base de toda a sua teoria com jogos de pura oposição, de duas pessoas e soma zero, entretanto, segundo Nasar (2003), esse tipo de jogo não tem nenhuma importância para os problemas do mundo real, até mesmo na guerra há, quase sempre, algo a ser obtido da cooperação. Diante disso John Nash introduziu a distinção entre os jogos cooperativos e os não-cooperativos, incluindo a teoria jogos que envolvem uma mistura de

8 cooperação e competição, permitindo a aplicação desta matemática em outras áreas do conhecimento humano. Vejamos um exemplo baseado no Programa Sete e Meio do SBT, apresentado por Silvio Santos e que foi ao ar no ano de 2004, para localizar um ponto de equilíbrio em uma matriz dos ganhos. De acordo com Silva (2004), existem alguns métodos práticos e simples para encontrá-los. A seguir descreveremos um destes métodos. Algumas características gerais desse jogo são: o final do programa é decidido por duas pessoas que têm duas escolhas de cartas, 7 ou ½, e três resultados possíveis. No primeiro caso se uma delas colocar o nº 7 e a outra o nº ½, o jogador que escolheu o nº 7 ganha todo o dinheiro; no segundo caso se ambas mostrarem o nº 7 ninguém leva; e no terceiro caso se ambas colocarem o nº ½ o dinheiro é dividido entre elas e os demais participantes. O objetivo de cada um dos finalistas é convencer o adversário de que a melhor jogada para os dois seria a terceira opção, o que raramente acontece. Esse problema pode ser representado na Tabela 3 abaixo. Tabela 3: Matriz dos ganhos dos jogadores A e B Jogador B Meio Sete Jogador Meio 1, 1-2, 2 A Sete 2, -2 0, 0 Por se tratar de um jogo de soma variável cada um dos pares de valores acima representam, respectivamente, os ganhos devidos ao jogador de linha, jogador A, e os do jogador de coluna, jogador B. O ponto de equilíbrio do jogo pode ser obtido descobrindo a célula na qual o ganho seja, simultaneamente, o máximo do jogador A nas devidas colunas e o do jogador B nas suas linhas. Visualmente, isto pode ser feito com o recursos de setas que marquem os máximos da linha e da coluna, sendo equilíbrios de Nash as células que contenham a convergência das setas (Esquema 2). Isso porque o Equilíbrio de Nash é definido como: cada jogador segue sua melhor estratégia pressupondo que os outros seguirão também as suas. Esquema 2: Equilíbrios de Nash para os jogadores A e B Meio Sete Meio 1, 1-2, 2 Sete 2, -2 0, 0 O encontro das estratégias (Sete, Sete) indicam a existência de um ponto de equilíbrio de Nash em que não há ganho para os jogadores. Quando um jogo apresenta apenas um ponto de equilíbrio pela combinação de estratégias puras é sinal que houve o cruzamento de duas estratégias dominantes. Ou seja, aquelas que dominam as outras escolhas de cada jogador, fornecendo o melhor ganho, independente do que o outro faça. Neste modelo de jogo conhecido como Dilema dos Prisioneiros, a opção (Meio, Meio) supera o ponto de equilíbrio (Sete, Sete). Contudo a dominância e a perfeição deste ponto de equilíbrio espanta a todos que se defrontam com este quadro pela primeira vez.

9 A solução que dois agentes racionais acabam por encontrar nunca é a melhor para ambos, no contexto do Dilema dos Prisioneiros, pois o ponto de equilíbrio (0, 0) é subótimo em relação a (1, 1), que poderiam obter se adotassem a estratégia dominada. Porém, um agente racional, quando possui uma estratégia dominante, nunca escolhe outra que não esta. Por todas essas idéias, este jogo é considerado como um paradoxo real, e sua essência repousa no conflito entre a racionalidade coletiva e a individual. Seguindo a racionalidade individual, é melhor para um jogador escolher a carta sete. Porém, paradoxalmente, se ambos escolherem a carta meio, acabam melhor servidos. O necessário para assegurar este resultado mais favorável para ambos é uma espécie de princípio seletivo baseado nos seus interesses conjuntos. Assim como é lembrado por Casti (1999), talvez o princípio mais antigo e familiar deste tipo seja a regra de ouro de Confúcio: Faça aos outros o que gostarias que fizessem a ti. Contudo, esta regra de ouro é aplicável apenas em jogos deste tipo, pois em outras ocasiões pode ser desastrosa. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir desses estudos e de outros que foram se desenvolvendo ao longo dos anos, no sentido de aproximar a teoria da realidade vivida pelas pessoas nos seus conflitos cotidianos, a Teoria dos Jogos deixa de ser assunto exclusivo de economistas e matemáticos, passando a ser discutida abertamente por cientistas das mais diversas áreas do conhecimento. A biologia evolutiva destacou-se por utilizá-la para compreender e prever o desfecho da evolução de certas espécies; mas também a psicologia, a neurologia, a sociologia, as ciências políticas, áreas de estratégia militar, administração de marketing e alguns filósofos mais avançados foram atraídos pelos jogos e sua capacidade de modelar o comportamento de agentes (racionais ou não) envolvidos numa interação e interessados nos resultados que os favoreçam preferencialmente. Essa discussão sobre a Teoria dos Jogos possibilitou-nos enxergar a relação existente entre os teoremas de Neumann e Nash, que este por meio de sua genialidade pode ampliar o teorema que deu base à teoria. E que para alguns jogos, a teoria pode indicar uma solução, ou seja, a melhor maneira para cada pessoa proceder, no entanto, na maioria dos jogos que descrevem problemas reais, ela só nos fornece uma visão geral da situação, descartando algumas possibilidades que não levariam a bons resultados. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CASTI, John L. Cinco Regras de Ouro. Editora Gradiva, 1999, 264p. NASAR, Sylvia. Uma Mente Brilhante. Record, RAPOPORT, Anatol. Lutas, Jogos e Debates. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1980, 325p SILVA, Antônio Rogério da. Apresenta textos detalhados sobre a Teoria dos Jogos. Disponível em: < Acesso em: 19 out VON NEUMANN, John; MORGENSTERN, Oskar. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton: Princeton University Press, 1944.