MANIPULADOR ROBÓTICO COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE

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1 EVOLUÇÃO DIFERENCIAL MULTIOBJETIVO MODIFICADA APLICADA AO PROJETO INTEGRADO DE UM MANIPULADOR ROBÓTICO COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE JULIANO PIEREZAN 1, LEANDRO DOS SANTOS COELHO Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Paraná Av. Cel. Francisco H. dos Santos, s/n, Jardim das Américas Curitiba, Paraná, Brasil 2. Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção e Sistemas, Escola Politécnica, Pontifícia Universidade Católica do Paraná R. Imaculada Conceição, Prado Velho Curitiba, Paraná, Brasil. Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Paraná Av. Cel. Francisco H. dos Santos, s/n, Jardim das Américas Curitiba, Paraná, Brasil leandro.coelho@pucpr.br Abstract This paper contains a multiobjective version of the Differential Evolution algorithm, named MODEIA, which is applied to the co-design of a two degrees of freedom robotic manipulator. The manipulator is dynamically designed and the optimization goals are the mechanical design cost and the energy expenditure to perform certain task. After a batch of computer simulations, the results obtained are compared with the classical algorithm Non-Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II) through a set of performance evaluation criteria dedicated to multiobjective optimization. The results are also compared to other work in the literature. Keywords Control Systems. Robotic Manipulator. Multiobjective Optimization. Differential Evolution. Co-design. Resumo Esse artigo contém uma versão multiobjetivo da metaheurística Evolução Diferencial, denominada MODEIA, a qual é aplicada ao projeto integrado de um manipulador robótico de dois graus de liberdade modelado dinamicamente. O custo de projeto mecânico e o gasto energético para realizar determinada tarefa são os objetivos de otimização. Os resultados obtidos são comparados ao clássico Algoritmo Genético de Ordenação Não Dominante II (Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm II NSGA-II) por meio de uma série de simulações computacionais e, posteriormente, por um conjunto de critérios de avaliação de desempenho dedicados à otimização multiobjetivo. Os resultados são também comparados à outra obra da literatura. Palavras-chave Sistemas de Controle. Manipulador Robótico. Otimização Multiobjetivo. Evolução Diferencial. Projeto Integrado. 1 Introdução Nas últimas décadas, o desenvolvimento da indústria automatizada causou aumento da necessidade de equipamentos mais confiáveis, eficientes e menos custosos. Características tais como gasto energético, desempenho e flexibilidade de hardware e software passaram a ser tratadas como requisitos de projeto (Youcef-Toumi, 1996). Isso encaminhou as pesquisas nessa área para o desenvolvimento de sistemas mecatrônicos inteligentes e flexíveis às diferentes aplicações existentes no mercado (Morosabn e Sisak, 2013; Allison, 2014; Marinho da Silva et al., 2014). Contudo, o mais comum na prática é que o hardware seja projetado a priori e o seu controle seja ajustado a posteriori, situação que muitas vezes dificulta o alcance dos requisitos de projeto pois o hardware possui certas limitações de operação, como por exemplo a velocidade de um motor ou o alcance de um manipulador (Roos, 2007). Uma alternativa para potencializar o projeto de sistemas mecatrônicos nos casos em que o hardware já foi projetado é o projeto integrado, que visa a integração entre as disciplinas de hardware e software, juntamente com a otimização dos parâmetros dessas disciplinas, em busca de soluções eficientes (Allison e Nazari 2010; Allison, 2014; Allison et al., 2014). Uma vez que o projeto integrado pode ser escrito como um problema de múltiplos objetivos avaliados a partir de um conjunto de parâmetros, o uso de metaheurísticas de otimização multiobjetivo é um recurso promissor para solucioná-lo. Essa é uma metodologia que está em destaque na literatura especializada nos últimos anos e os resultados são notáveis em diversas áreas do conhecimento (Zhou et al., 2011). Além disso, como resultado obtém-se um conjunto de soluções que atendem de maneira distinta aos requisitos de projeto, proporcionando ao projetista a escolha da solução que melhor se enquadra ao projeto (Deb, 2001). Neste trabalho são aplicadas as metaheurísticas de otimização multiobjetivo Algoritmo Genético de Ordenação Não Dominante II (Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm II NSGA-II) (Deb et al., 2002) e uma versão proposta da Evolução Diferencial Multiobjetivo (MODEIA) à um estudo de caso de um manipulador robótico planar de dois graus de liberdade (Allison, 2014), cujo desempenho

2 energético pode ser melhorado através do seu reprojeto mecânico. O compromisso entre desempenho energético e custo de projeto mecânico é estudado e os resultados obtidos são comparados entre os algoritmos NSGA-II e MODEIA e também com outros estudos da literatura. O restante deste artigo está dividido da seguinte maneira. A seção 2 descreve o estudo de caso abordado. Os conceitos de otimização multiobjetivo e o algoritmo proposto são apresentados na seção 3. A seção 4 mostra os resultados obtidos através das simulações realizadas e apresenta uma análise dos mesmos. Por fim, a seção 5 apresenta uma breve conclusão acerca deste estudo. 2 Descrição do estudo de caso Nesta seção são apresentados o estudo de caso abordado e seus respectivos parâmetros. 2.1 Manipulador robótico com dois graus de liberdade O problema abordado neste estudo é um manipulador robótico planar de dois graus de liberdade (2-DOF) (Ayala e Coelho, 2012; Lee et al., 2014; Pierezan et al., 2014; Spong, 2005). A Figura 1.a mostra o mecanismo, sendo que as variáveis,, representam, respectivamente, os comprimentos dos elos 1 e 2 e os ângulos nas juntas rotativas, enquanto que a Figura 1.b contém uma visão seccionada dos elos do manipulador, na qual são o raio e a espessura da parede do elo, respectivamente, para 1,2. Figura 1. a) Manipulador. b) Visão seccionada do elo do manipulador. Segundo Allison (2014), o problema de projeto integrado do manipulador pode ser escrito da seguinte maneira: min ;!"# $: () ' () ' )*, 1,2, -. /, )*, 1,2, (1) onde. são as variáveis do sistema físico (planta), 0 são as variáveis do sistema de controle, () é a energia total requisitada para cumprir a tarefa, ' () é a curva torque das juntas, ' )* é o limite de torque das juntas,, -. / é a deflexão no elos em função das variáveis físicas e, por fim,, )* é a máxima deflexão permitida nos elos. Para fins de simplificação (Papalambros e Wilde, 2000), assume-se que os torques nominais são ' 1 = 3140;807 8 Nm,, )* = 4 9m, = 33;27 8 mm, o módulo de elasticidade é = 71,7 GPa e a densidade do material é < = 2810 kg/m³ (valor usado posteriormente para o cálculo do custo de projeto mecânico). Então, os raios dos elos podem ser calculados por: = = BCDE? F GHI + E?. (2) Dessa maneira, as restrições de deflexão (esta gerada pelo fenômeno da flexibilidade) são atendidas implicitamente e o conjunto de variáveis manipuladas da planta é reduzido de. = 3 ; ; ; 7 para. = 3 ; 7. Para o cálculo da trajetória do manipulador, são definidas as posições e velocidades iniciais 3K L ;M L 7 e finais 3K N ;M N 7 do atuador final (da carga), as quais são especificadas de acordo com a tarefa, e também a posição e velocidade de um ponto intermediário 3K ;M 7 ao longo da trajetória. Então, através de um abordagem de realimentação linear (Spong, 2005), a trajetória é definida por completa e o conjunto de variáveis de controle manipuladas durante a otimização é 0 = 3K,K,M,M 7. Portanto, a dimensão do problema de otimização é igual a 6 (número de variáveis de decisão manipuladas no processo). Por fim, a equação diferencial que rege o comportamento dinâmico do manipulador é: O-P,. /P" + R(P,P,. )P +T(P,. ) = ' (3) onde O-P,. / é a matriz de inércia, R(P,P,. ) representa os efeitos do torque centrífugo e de Coriolis e T(P,. ) é o vetor relativo ao efeito dos torques gravitacionais. Esses termos são calculados através dos vetores de posições (P) e velocidades (P ) das juntas e dos parâmetros da planta (. ) e, como saída, são calculados os torques nas juntas. Os pesos dos motores, a inércia dos motores e as perdas elétricas são desconsideradas (Allison, 2014). 2.2 Abordagem multiobjetivo Neste trabalho, a equação (1) é reescrita contendo dois objetivos de otimização e com as restrições de deflexão suprimidas (conforme justificativa apresentada na subseção 2.1): min UV W ;!"# $: ' () ' )*,,()X 1,2. (4) onde W representa a massa de cada elo. Logo, busca-se um conjunto de soluções que apresentem compromisso entre o custo de projeto do manipulador (representado pela quantidade de

3 material necessária para fabricação dos elos, em kg) e a energia necessária para realizar a tarefa, em Joules. A justificativa de uma abordagem multiobjetivo acontece devido à inclusão das ações gravitacionais no modelo, pois o aumento das massas dos elos pode ser, simultaneamente, prejudicial devido à elevação do custo do projeto e também benéfico devido ao aproveitamento de energia através da dinâmica passiva (McGeer, 1990; Williamson, 2003; Collins et al., 2005). As restrições do problema são tratadas através de penalizações dos objetivos de otimização. Isso acontece por meio da soma de um valor elevado (neste estudo, adotou-se ) nos custos calculados. Portanto, quando os torques excedem o limite máximo ou a trajetória desejada é fisicamente impossível de ser reproduzida, o custo retornado pela m-ésima função objetivo é: Y ) = Y ) Z, (5) onde Y representa os valores previamente calculados pela equação (4) e Z consiste do número de restrições não atendidas. 3.1 Conceitos 3 Otimização multiobjetivo O procedimento de otimização multiobjetivo adotado visa a busca por um conjunto de soluções diversificadas e que apresentem um compromisso entre os objetivos desejados: minimizar: Y ) (), (6) sujeito a: ([) (\) (7) onde Y ) () representa o custo do m-ésimo objetivo (de um total de M objetivos), ([) (\) é o espaço de busca da i-ésima dimensão e R 1 representa o vetor de variáveis de decisão. Segundo o conceito de dominância de Pareto, uma solução (^) é dita não dominada por outra solução () quando: Y ) (^) Y ) () W 1,2,,O, (8) Ainda, a solução ^ irá dominar se também atender a seguinte condição: Y ) (^) < Y ) (), W 1,2,,O, (9) Além disso, uma solução é dita factível se estiver localizada dentro do espaço de busca do problema (Zhou et al., 2011). 3.2 MODEIA O algoritmo Evolução Diferencial Multiobjetivo com Auto-seleção de Indivíduos proposto (chamado aqui de MODEIA) é derivado no algoritmo evolutivo da Evolução Diferencial (ED) originalmente proposto em Storn e Price (1995) e recebe tal nome devido à estratégia adotada (detalhada na próxima subseção). Seu funcionamento é baseado em uma população com N indivíduos inicialmente posicionados em locais escolhidos aleatoriamente com distribuição uniforme dentro do espaço de busca do problema estudado. Durante o processo de otimização os indivíduos são submetidos à três operadores: a mutação, a recombinação e a seleção. O primeiro acontece por meio da seguinte equação:! E, = E,ab +c- E,ad E,af /, (10) onde! E, é o indivíduo i mutante da iteração t, F é o fator de escala e E,ab, E,ad e E,af são indivíduos distintos da população que são selecionados aletoriamente. Diferentemente das estratégias conhecidas da ED, no algoritmo MODEIA o indivíduo E,ad é escolhido a partir da competição entre dois indivíduos aleatórios da população. Aquele melhor ranqueado (conforme descrito na subseção 3.3) ganha a competição. Ainda, o fator de escala é calculado da seguinte maneira (Price, 2008): c = 1,3 i, (11) h onde D é a dimensão (número de variáveis de decisão) do problema otimizado. A estratégia de recombinação utilizada no algoritmo MODEIA é a binomial, tal que: M E,,j = k! El,,j, m j Rn #!" = " a E,,j, o$m# o#pá# r " 1,2,,h, (12) onde M E, é o novo indivíduo, CR é a probabilidade atribuída ao indivíduo de carregar as características do indivíduo mutante, j é um número aleatório gerado com distribuição uniforme no intervalo [0,1] e " a é uma das D características escolhida aleatoriamente para garantir que pelo menos um elemento seja alterado e a solução não seja mantida a mesma. No algoritmo MODEIA o parâmetro CR é calculado da seguinte maneira (Price, 2008): Rn = st s. (13) Ao final de cada iteração, todas as soluções geradas são agregadas à população formando um conjunto de tamanho entre N+1 e 2N (detalhes estão na subseção 3.3). Então, esse conjunto de soluções é

4 ranqueado conforme o conceito da dominância e conforme a distância de multidão (Crowding Distance) (Deb, 2001), respectivamente, da mesma maneira que acontece no algoritmo NSGA-II. Então, as N melhores soluções são mantidas para a próxima geração. As estratégias aqui descritas foram adotadas no algoritmo MODEIA, porém existem outras combinações para o algoritmo da ED, as quais são descritas em Mezura-Montes et al. (2008). 3.3 Pseudo-código da MODEIA Diferentemente do algoritmo ED original e das versões multiobjetivo propostas por Robič e Filipič (2005) e Xue et al. (2003), o algoritmo MODEIA aplica os operadores da ED apenas às soluções que são dominadas em cada iteração. Caso as N soluções selecionadas estejam na fronteira de Pareto (sejam todas não dominadas), então os operadores são aplicados à todas as soluções. Portanto, o algoritmo funciona conforme mostrado na Figura 2, sendo que o critério de parada pode ser ajustado conforme interesse de simulação. Figura 2. Pseudo código do algoritmo MODEIA. 4 Resultados e análise Nesta seção são apresentados os resultados obtidos por meio de simulações computacionais e uma comparação com outras obras da literatura. 4.1 Parâmetros experimentais Devido ao alto custo computacional de simulação foram executados 4 experimentos para cada metaheurística com critério de parada igual a avaliações da função objetivo. O algoritmo NSGA-II utilizado nas simulações possui simulated binary crossover (SBX) e mutação polinomial (PLM) com parâmetros Nc, Nm, Pc e Pm iguais a, respectivamente, 20, 20, 0,9 e 0,1 (Deb e Agrawal, 1995; Deb et al., 2002). O tamanho da população foi definido como 100 para ambos os algoritmos. A tarefa a ser realizada é carregar uma carga de 20 kg com condições iniciais iguais a K L = 30,5;1,27 8 m e M L = 3 0,1; 07 8 m/s e condições finais K N = 30,4; 2,07 8 m e M N = 3 0,1; 07 8 m/s. Além disso, o torque máximo permitido nas juntas é 210 Nm, o tempo de simulação é 2 segundos e o período de amostragem é igual a 5 10 tw s. Ainda, o espaço de busca definido para as variáveis de decisão foi 30,1; 47 para os comprimentos do manipulador, 3 2; 27 para as posições e 3 1; 17 para as velocidades. 4.2 Resultados experimentais Para comparar o desempenho dos algoritmos NSGA- II e MODEIA foram calculadas as seguintes métricas: O : Número de soluções não dominadas; O : Distância Euclidiana média; O B : Hipervolume; O w : Máxima propagação, sendo que a máxima propagação é mensurada pelo cálculo da distância Euclidiana entre as soluções das extremidades (olhar Figura 3) da fronteira de Pareto. É importante salientar que a métrica hipervolume é calculada após a normalização dos dados (Deb, 2001). A Tabela 1 contém os valores mínimo, médio, máximo e o desvio padrão calculados para essas métricas após coletados os resultados dos 4 experimentos. Os melhores valores obtidos para cada métrica estão destacados. Em geral, a MODEIA apresentou desempenho superior em termos de média e desvio padrão. M 1 M 2 M 3 M 4 Tabela 1. Estatística descritiva das métricas de desempenho. Mínimo Média Máximo Desvio Padrão MODEIA NSGA-II 61 90, ,5 MODEIA 83, , ,1387 2,3725 NSGA-II 91, , ,3361 4,3785 MODEIA 0,8501 0,8535 0,8555 0,0025 NSGA-II 0,7088 0,7976 0,8503 0,0621 MODEIA 109, , ,428 10,498 NSGA-II 53, , ,716 42,442 O desempenho dos algoritmos é também ilustrado na Figura 3, onde são mostradas as fronteiras únicas filtradas após os 4 experimentos de cada algoritmo. Nota-se que ambos os algoritmos foram capazes de encontrar um conjunto de soluções diversificadas, que apresentam compromisso entre os objetivos e que respeitam as restrições do problema. Porém, percebe-se que o algoritmo NSGA-II não foi capaz de encontrar 100 soluções não dominadas em todos os experimentos. Além disso, é visível (soluções das extremidades) uma pequena diferença de propagação atingida pelos algoritmos. Isso justifica o desempenho superior por parte da MODEIA com relação à métrica M 4 em termos de valor médio. Ainda, filtrando todas as soluções encontradas (por ambos os algoritmos) por meio do conceito de dominância de Pareto (mantendo apenas

5 as não dominadas), resulta em um conjunto com 66,50% das soluções da MODEIA e 33,50% do algoritmo NSGA-II. Energia (J) Utilizando o critério de menor distância Euclidiana em relação à origem, com as soluções normalizadas dentro do intervalo [0,1] para eliminar preferência por algum dos objetivos (Deb, 2001), uma solução foi selecionada como sendo a que apresentou melhor compromisso entre os objetivos. Essa solução, cuja localização no Pareto é mostrada na Figura 3, resultou em custo de projeto e energia iguais a 7,1649 kg e 82,8595 J, respectivamente, com parâmetros de projeto regidos pelos seguintes valores. = 31,5192; 0,89607 e 0 = 30,4243; 1,6010; 0,6531; 0, Conclusão Figura 3. Fronteiras de Pareto encontradas. 4.3 Comparação com a literatura Para que o manipulador fosse capaz de realizar essa mesma tarefa com o menor custo energético possível, Allison (2014), por meio de uma metodologia de análise de sensibilidade dos resultados a partir da alteração dos parâmetros, encontrou uma solução com consumo igual a 52,6 J. Essa solução tem um custo total de 23,20 kg (soma das massas dos elos) e, se adicionada ao conjunto de soluções encontradas nesse artigo, estaria após a solução mais extrema em termos de custo de projeto (à direita da fronteira de Pareto em azul na Figura 3). A solução de menor gasto energético encontrada pelo algoritmo MODEIA, cuja trajetória do manipulador é mostrada na Figura 4, foi. = 32,2439;1,10157 e 0 = 30,6714;1,5362, 0,7362; 0,01227, resultando em custo total igual a 22,0594 kg e energia igual a 53,3339 J. Embora essa solução apresente maior gasto energético quando comparada a Allison (2014), o mesmo não se pode afirmar quanto ao custo de projeto. Portanto, nenhuma dessas soluções domina a outra. Considerando a outra extremidade da fronteira de Pareto, a solução de menor custo (3,1869 kg) de projeto encontrada foi usando. = 31,0484; 1,01087 e 0 = 30,4346; 1,4833, 0,6087; 0,31637, sendo que estas exigem 183,8206 J de energia para completar a tarefa x (m) Figura 4. Trajetória resultante. Trajetória Início Fim Nesse trabalho foi apresentado uma versão multiobjetivo do algoritmo Evolução Diferencial, denominado MODEIA, que foi aplicado ao projeto de um manipulador robótico planar de dois graus de liberdade, modelado dinamicamente, cujos objetivos são a redução do custo energético de operação e do custo de projeto do sistema físico. Embora a solução de menor custo energético encontrada pelo MODEIA não seja melhor em comparação à outras obras da bibliografia, a metodologia adotada nesse estudo oferece um conjunto de soluções que apresentam um compromisso entre os objetivos, proporcionando ao projetista a escolha de uma solução mais comprometida com o objetivo desejado. Além disso, uma solução é apontada, segundo um critério prédeterminado, como sendo o melhor compromisso entre todos os objetivos. Ainda, o algoritmo MODEIA apresentou desempenho superior ao algoritmo clássico NSGA-II nos critérios escolhidos, com a vantagem de não ter nenhum parâmetro além do tamanho da população para ser ajustado. Como tema de pesquisas futuras estão: o desenvolvimento de novas metaheurísticas de otimização multiobjetivo, a melhoria do algoritmo MODEIA, a integração entre esse algoritmo e a teoria do caos e a aplicação do mesmo a outros projetos integrados de sistemas mecatrônicos. Agradecimentos Os autores agradecem à Fundação Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Fundação CAPES) pelo financiamento parcial dessa pesquisa. Referências Bibliográficas Allison, J. e Nazari, S. (2010). Combined plant and controller design using decomposition-based design optimization and the minimum principle, In: Proceedings of the ASME Design Engineering Technical Conference, Montreal, Quebec, Canada, pp

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