UTILIZAÇÃO DE PESQUISA OPERACIONAL PARA DETERMINAÇÃO DA CARTEIRA DE VARIÂNCIA MÍNIMA NO MERCADO ACIONÁRIO

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1 XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente. São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro de UTILIZAÇÃO DE PESQUISA OPERACIONAL PARA DETERMINAÇÃO DA CARTEIRA DE VARIÂNCIA MÍNIMA NO MERCADO ACIONÁRIO Marineide Gomes Barbosa de Lima (UFPE) Djalma Silva Guimarães Júnior (UFPE) José Lamartine Távora Junior (UFPE) O presente trabalho busca utilizar as ferramentas da pesquisa operacional como: a programação linear para obter a carteira de variância mínima no mercado acionário brasileiro, visto que os investidores muitas vezes utilizam critérios intuittivos na análise desse tipo de investimento. Com base nisso, o intuito desse trabalho é demonstrar a praticidade da utilização de técnicas de pesquisa operacional para o cálculo da carteira de variância mínima e a obtenção de uma maior eficiência na análise de investimentos em ações brasileiras. Para isso, foram analisados os retornos diários das 50 ações mais negociadas na Bolsa de São Paulo (BOVESPA) e escolhidas às ações componentes do portfólio a partir do critério de correlações negativas. O período de análise compreende o intervalo de Janeiro de 2007 a Novembro de 2009, assimilando os efeitos da crise financeira internacional A relevância desse trabalho está na perspectiva da diminuição do risco não-sistemático e das perdas, através da análise realizada para a carteira de variância mínima em um cenário de recessão e crise econômica, no qual as aplicações financeiras são vistas como portadoras de elevado risco. Esta aplicação mostrou que a pesquisa operacional é uma boa ferramenta para o cálculo da carteira ótima de investimento, que no período de crise analisado se mostrou como uma boa alternativa de investimento. Palavras-chaves: Carteira de Variância Mínima, Programação Linear, Pesquisa Operacional.

2 1. Introdução Diante do atual cenário econômico, este artigo busca evidenciar a utilização da pesquisa operacional para a criação de uma carteira de variância mínima para o mercado de ações brasileiro, a partir da análise da série temporal de cotações de ativos da BOVESPA (Bolsa de Valores de São Paulo), por meio de planilhas eletrônicas. Utilizou-se o modelo da Teoria das Carteiras proposto por Markowitz, no qual, a diversificação de ativos com retornos com correlação negativa, em um portfólio promove a diminuição do risco. Através de tais propostas é feita uma análise dos rendimentos apresentados pelas cinco ações selecionadas que foram: Bradespar (BRAP4), Braskem (BRKM5), Brasil Telecom (BRTO4), Cosan (CSAN3) e Companhia Vale do Rio Doce (VALE5) para apresentar possíveis soluções de carteiras ótimas de investimentos no período de Janeiro de 2007 a Novembro de Como metodologia para o desenvolvimento dessas carteiras será utilizado à ferramenta Solver do MS Excel para desenvolver um problema de programação linear, que é uma das vertentes da pesquisa operacional. Esse trabalho apresenta grande relevância, pois além de demonstrar o ajuste da utilização da ferramenta da programação linear, a análise de investimentos, também procura encontrar a melhor relação risco - retorno dessas ações, perante um cenário de recessão financeira mundial. Para alcançar o objetivo pretendido será seguida a seguinte trajetória: primeiro serão apresentadas as características do mercado acionário, depois será apresentada a teoria das carteiras de Markowitz, seguida da aplicação da programação linear para o cálculo da carteira de variância mínima e por fim será demonstrado o resultado da aplicação dos dados para as cinco ações negociadas na bolsa brasileira. 2. Mercado de Ações O desenvolvimento da economia de um país demanda volumes cada vez maiores de recursos para o financiamento dos investimentos. Dentro desta expansão requer-se o amadurecimento do mercado de capitais, que dinamiza a distribuição de valores mobiliários canalizando os recursos dos agentes superavitários para os deficitários, viabilizando assim, a capitalização de empresas e a consecução de projetos. Dentro do mercado de capitais o mercado de ações ganha destaque pelo seu grau de desenvolvimento em grande parte das economias do mundo, bem como pelo seu ajuste a atual conjuntura de concorrência e constante necessidade de investimento a partir da recorrente alteração dos paradigmas tecnológicos. O mercado acionário na sua forma primária garante o financiamento de empresas e projetos, sem se constituir em um financiamento tradicional, no qual há uma obrigação, mas como um aporte de capital, ou seja, através do mercado acionário adquiri-se um sócio e não um credor. Na sua forma secundária ainda contribui com o aumento da liquidez do sistema. 2.1 Ações Uma ação é um titulo de renda variável que representa a propriedade de uma parcela do capital social de uma empresa (sociedade por ações, sociedade anônima ou companhia) que a emitiu. O investimento em ações se diferencia de outras modalidades de aporte de capital, pois o detentor da ação é um sócio, um co-proprietário da companhia, com direito a participação nos resultado e não um credor. As ações são classificadas a partir de características relacionadas aos direitos que conferem, as ações podem ser: ordinárias, preferenciais ou de fruição ou gozo. As ações ordinárias 2

3 também conhecidas como títulos de capital social, apresentam duas características marcantes para (ASSAF, 2005), que são: direito residual (significa que estes acionistas são os últimos a receber qualquer provento dentre todos os que possuem direito de recebimento sobre os ativos ou renda da empresa) e responsabilidade limitada (o máximo que os acionistas podem perder com uma quebra da empresa é o seu investimento original, não são pessoalmente responsáveis pelas obrigações da empresa em caso de insolvência). Elas também garantem o direito a voto em assembléias, permitem ao detentor participar de assembléias que elejam ou destituam membros da direção, e também decidir na distribuição dos lucros. Ações preferenciais possuem prioridade no recebimento dos dividendos (devem receber 10% a mais do que as ordinárias) e de participação no capital em caso de dissolução da sociedade, frente às ordinárias, não possuem direito a voto, podendo recorrer à condição de votante, somente após alguns períodos de não recebimento de dividendos, este tipo de ação é mais freqüente no Brasil, pois os acionistas da empresa evitam diluir seu poder de voto. As ações preferenciais podem apresentar diferentes classes (A, B, C e etc.) de acordo com as restrições ou vantagens que elas assegurem. Ações do tipo de gozo ou fruição segundo (PINHEIRO, 2007) são ações atribuídas a sócios cujas ações ordinárias ou preferenciais foram completamente amortizadas pelas reservas patrimoniais, a amortização é antecipação ao acionista do valor que ele muito provavelmente receberia em caso de liquidação da empresa. As ações são aplicações que oferecem ganhos ou perdas ao investidor a partir do desempenho/comportamento de dois elementos distintos, por um lado o desempenho interno da empresa e por outro lado o desempenho do mercado. Estas aplicações oferecem aos seus investidores dividendos, bonificações, juros sobre o capital próprio, split e inplit, a partir dos resultados da empresa, e a partir de fatores de mercado lucro ou prejuízo a partir de negociações. Dependendo da situação, uma ação pode apresentar diferentes valores monetários, isso se deve ao fato de haver diferentes óticas de mensuração do valor de uma ação, que são: nominal, patrimonial, contábil, de liquidação, intrínseco, de subscrição e de mercado. O valor nominal é o valor de face da ação, aquele previsto no estatuto da companhia, corresponde a divisão do capital da empresa pelo o número de ações emitidas; o valor patrimonial corresponde ao valor do patrimônio liquido do período dividido pelo número de ações; valor contábil é o valor lançado no estatuto e nos livros da companhia, ele pode servir de referência para o exercício de direitos do acionista; valor de liquidação é o valor determinado em caso de encerramento das atividades da companhia; valor intrínseco é o valor resultante da determinação do valor presente em função do fluxo de caixa e benefícios esperados; o valor de subscrição a partir das perspectivas da empresa é fixado um valor para as ações subscritas e por fim o valor de mercado que é o valor determinado a partir da interação entre compradores e vendedores no mercado. O conjunto de ações selecionadas foi: Bradespar preferencial (BRAP4-PN), Braskem preferencial A (BRKM5-PNA), Brasil Telecom preferencial (BRTO4-PN), Cosan ordinária (CSAN3-ON) e Companhia Vale do Rio Doce preferencial A (VALE5- PNA). No trabalho o valor de interesse é o de mercado das ações, expresso no valor diário da cotação em bolsa. 3. Teoria das Carteiras de Markowitz A Teoria das Carteiras foi desenvolvida por Harry Markowitz (Markowitz, 1952), em sua tese de doutorado apresentada em 1952, na Universidade de Chicago, recebendo no mesmo ano, 3

4 o Prêmio Nobel de Economia. Pois, uma das maiores contribuições dos estudos de Markowitz foi ressaltar a relevância da diversificação dos ativos como forma de minimizar o risco da Carteira. Markowitz revolucionou na época com seus estudos da teoria de carteira, embora tenha se passado muitos anos de suas descobertas e se tenha desenvolvido melhorias em tais técnicas, ele ainda continua sendo a base para as análises de investimento. A diversificação consiste na constatação de que os preços de ativos financeiros não se movem de modo exatamente conjunto. Segundo Carmona (2009, p.181), A diversificação consiste em possuir uma quantidade diferente de ativos, em vez de investir tudo em apenas um. Com isso, ocorre a diminuição do risco, uma vez que os investimentos não se encontram concentrados em um único ativo, o prejuízo de um ativo pode ser compensado pelo rendimento de outro ativo. Para que isso ocorra é necessário analisar o grau de correlação entre os ativos da carteira. Há dois extremos quando se fala em correlação: a positiva perfeita e a negativa perfeita. Trazendo esse conceito para a Teoria das Carteiras, pode-se dizer que quando dois ativos se correlacionam positivamente entre si, eles aumentam ou diminuem na mesma direção, enquanto que quando dois ativos se correlacionam negativamente entre si, quando um aumenta, o outro diminui e vice-versa. Nesse caso, o interessante para a diminuição do risco é adquirir ativos que possuam correlações negativas entre si, para evitar grandes perdas, embora este fato tenda a diminuir o retorno da carteira. 3.1 Definindo: Risco e Retorno do Portfólio O risco é representado pela medida estatística do desvio-padrão, e com isso indica se o valor médio esperado é representativo do comportamento observado. Carmona (2009, p.177) define o Risco como: a probabilidade de perda ou de prejuízo do produto de uma operação financeira. O risco total de qualquer ativo é composto pelo Risco Sistemático e pelo Risco Não - Sistemático. Nesse contexto, (REILLY, 2008).apresenta os seguintes conceitos para tais tipos de riscos. Onde, o Risco Sistemático ou não diversificável é inerente a todos os ativos negociados no mercado, sendo determinado por eventos de natureza política, econômica e social. E o risco não sistemático ou diversificável pode ser identificado nas características do próprio ativo, não se alastrando aos demais ativos da carteira. O que se pode verificar com essas definições é que o Risco Sistemático é aquele que não pode ser eliminado mediante a diversificação, estando sempre presente na estrutura do portfólio. Já o Risco Diversificável é aquele que pode ser total ou parcialmente diluído mediante a diversificação da carteira. Com isso, tem-se a seguinte equação: Risco Total = Risco Sistemático + Risco não sistemático (1) A idéia fundamental é que o risco particular de um único ativo é diferente de seu risco quando ele é mantido em carteira. Como já foi mencionado, uma das grandes vantagens das carteiras é que elas permitem a redução do risco mediante um processo de diversificação dos ativos que as compõem. A expressão geral de cálculo de risco, que é a variância (V), de uma carteira contendo n ativos, baseando-se no modelo de portfólio desenvolvido por Markowitz é dada pela fórmula: V = 4

5 Onde: V = Variância da carteira de n ativos; Xi, Xj = Participação de cada ativo na carteira; σij = Covariância entre o par de ativos se (i) diferente (j) e variância se (i) igual a (j). Segundo Assaf (2005, p.328), O retorno esperado de um portfólio composto por mais de um ativo é definido pela média ponderada do retorno de cada ativo em relação a sua participação no total da carteira. Ou seja, para se calcular o retorno dos ativos de uma carteira é feita a multiplicação do retorno de cada ativo pelo percentual de participação de cada ativo no portfólio. Conforme demonstrado na fórmula que segue abaixo, baseada no modelo de Markowitz: Onde: E = Retorno esperado da carteira; Xi = Participação de cada ativo na carteira; µi = Retorno esperado de cada ativo. E = (3) 3.2 Definindo: Carteira de Variância Mínima O objetivo básico do estudo de carteiras de ativos, de acordo com a moderna teoria do portfólio, é selecionar a carteira definida como ótima com base no critério de investimento proposto, ou seja: - Selecionar a carteira que oferece o maior retorno possível para um determinado grau de risco, ou de forma idêntica; - Selecionar a carteira que produza o menor risco possível para um determinado nível de retorno esperado. Com base nesse contexto, a carteira de variância mínima é aquela cuja combinação de ativos promove uma diminuição do risco (mínimo risco) com o maior patamar de retorno possível para a carteira. Foi produzida uma matriz de correlação com 50 ativos do mercado acionário brasileiro, disponíveis no site resultando na seguinte composição do portfólio: Bradespar (BRAP4), Braskem (BRKM5), Brasil Telecom (BRTO4), Cosan (CSAN3) e Companhia Vale do Rio Doce (VALE5), calculada através da ferramenta de otimização SOLVER do MS EXCEL. Diante da exposição dos conceitos de Risco e Retorno, supõe-se que quanto maior o risco de um investimento, maior será o seu retorno. Visto que eles são diretamente proporcionais, quando um aumenta, o outro também aumenta e viceversa. Pois, a análise de qual investimento irá alocar o seu capital, depende muito da aversão do investidor ao risco. 5

6 Figura 1 - Carteira de variância mínima A figura acima ilustra graficamente o efeito da correlação entre os ativos na minimização do risco a partir da diversificação do portfólio. Um coeficiente de correlação ρ = -1 elimina totalmente o risco totalmente do portfólio, representado uma situação na qual duas ações possuam tendências opostas frente a um choque no mercado, a exemplo de uma empresa exportadora e outra importadora, que sofreriam efeitos opostos com a elevação nas taxas de câmbio, ilustrada pelo valor y na figura; por sua vez, quando ρ = 1, não há a possibilidade da redução dos riscos, pois os ativos seguem uma mesma tendência; já os valores presentes no intervalo 1 < ρ > -1 representados pela curva que vai de q a s, promovem a redução do risco com a introdução de novos ativos, o ponto no segmento q s, com o menor desvio padrão (risco) corresponde ao ponto da carteira de variância mínima. Considerando a existência de investidores que são afeitos ao risco, logo preferirão ativos que ofereçam maiores retornos e com maior grau de risco, patamares de retorno superiores ao ponto da carteira de variância mínima, e por sua vez, há investidores que são mais avessos ao risco que procuram ativos que ofereçam o menor risco possível, com um retorno mais reduzido. Esse segundo tipo de investidor tende a procurar a obtenção da carteira ótima de investimento para obter o menor grau de risco possível. 3. Aplicação da Programação Linear para encontrar a Carteira de Variância Mínima Harry Markowitz (1952) quando escreveu seu artigo Portfólio Selection era um estudante de pós-graduação em pesquisa operacional da Universidade de Chicago. Esse fato mostra que já há algum tempo tem-se estudado a aplicação da Pesquisa Operacional na seleção de carteiras. Pois esse trabalho utilizou dessa metodologia para encontrar a carteira de variância mínima dos quatro ativos apresentados. A programação Linear trata do problema de alocação ótima dos recursos escassos para realização de atividades. Por ótimo, entende-se que não haja outra solução que seja melhor do que a oferecida. Para melhor entender o que foi realizado nesse trabalho, faz-se necessário a apresentação dos seguintes conceitos, baseados em Colin (2007): - Função-objetivo: é uma função matemática que representa o principal objetivo do tomador de decisão. No caso do modelo de Markowitz é dada pela minimização do Risco, ou seja, a Variância da Carteira. - Restrições: são as regras que dizem o que é possível (ou não) fazer e/ou quais são as 6

7 limitações dos recursos ou atividades que estão associadas ao modelo. Nesse modelo proposto são: as participações dos ativos têm que ser maior ou igual a zero, o somatório dessas participações tem que ser igual a 1(um) ou 100% e deve-se colocar um retorno Mínimo aceitável para dado nível de risco. - Variáveis de decisão: são as variáveis utilizadas no modelo que podem ser controladas pelo tomador de decisão. Em tal modelo correspondem aos pesos ou participação de cada ativo no portfólio. Para encontrar a Carteira de Variância Mínima através da utilização das planilhas eletrônicas, a função-objetivo que será utilizada no solver será a fórmula 2, que a medida da Variância, que será colocada no Solver no campo chamado: célula de destino, que será a função a ser minimizada, logo depois no campo: células variáveis, serão colocados as células em que o programa indicará os pesos (%) a serem investidos em cada ativo utilizado no problema, que são nesse trabalho as cinco ações escolhidas, e depois no campo Submeter às restrições serão colocadas as restrições do problema, que nesse caso são: a soma dos pesos (%) tem que ser igual a 1 (um) e maior ou igual a zero, e deve ser estipulado um retorno mínimo, cuja fórmula será igual a fórmula 3, para que o campo do retorno do problema seja maior ou igual a esse parâmetro estabelecido, que nesse trabalho foi um retorno maior ou igual a 0, Cálculo da Carteira de Variância Mínima com cinco ações brasileiras Para obter a Carteira de Variância Mínima das cinco ações brasileiras foram utilizados os rendimentos diários no período de: 01/01/2007 a 17/11/2009, e com tais dados foram calculados os riscos, que é o desvio-padrão ou Variância, e os Retornos de cada ativo. Com isso, buscou-se encontrar o ponto ótimo de Investimento que minimizasse ao máximo o risco dos ativos. A Carteira de Variância Mínima é utilizada principalmente pelos Investidores que são totalmente avessos ao risco, por isso eles buscarão tal método se não houver nenhum investimento livre de risco disponível. Além disso, ela é muito útil para entender muitos dos problemas de Gerenciamento de risco. O período utilizado para cálculo da carteira mínima refletia um momento de crise financeira mundial, fato que afetou diretamente os retornos das ações, pois elas apresentaram retornos negativos. Pois o ano de 2008 foi marcado pela crise dos subprime (créditos hipotecários de alto risco) nos Estados Unidos, que se propagaram aos mercados financeiros americanos e mundiais. Nos nove primeiros meses do ano, os principais índices perderam mais de 25%. A crise se agravou no início de outubro com quedas de quase 10% em vários mercados mundiais na segunda-feira seis de outubro. Pois, os fatores que seguraram a bolsa brasileira no início do ano de 2008 são os mesmos que potencializam as perdas: alta dependência de commodities e de recursos estrangeiros. Essa crise foi geral, pois ocorreu o fechamento de grandes empresas americanas e um grande número de demissões em massa de trabalhadores em todo o mundo. Algumas ações foram mais sensíveis como a Bradespar e a Cosan que apresentaram retornos médios negativos nesse período. Veja na próxima tabela a relação retorno-risco das ações analisadas. Ativo Retorno (% a.d) Risco (% a.d) (σ Desvio padrão) Bradespar - 0,0197% 4,3606% Braskem 0,0135% 3,1632% Brasil Telecom 0,1067% 3,2506% Cosan - 0,1864% 5,3633% 7

8 Vale do Rio Doce 0,1132% 3,124% Fonte: Portal de Bolsa & Inside - Tabela 1 Relação Retorno-Risco das cinco ações brasileiras Antes de demonstrar a Carteira ótima obtida, vale verificar as correlações existentes entre os ativos selecionados que seguem no quadro abaixo: Ativo Bradespar Braskem Brasil Telecom Cosan Vale do Rio Doce Bradespar 1,00 0, , , ,01980 Braskem 0, ,00 0, , ,50190 Brasil Telecom - 0, , ,00-0, ,51428 Cosan 0, , , ,00-0,12330 Vale do Rio Doce 0, , , , ,00 Fonte: Portal de Bolsa & Inside - Tabela 2 Matriz de Correlação entre as ações brasileiras Como pode ser visto pelos dados apresentados acima, o cenário de crise afetou bastante os rendimentos das ações nesse período. Com isso, obter a Carteira de Variância mínima nesse cenário é bastante relevante para que o investidor possa reduzir o risco dos seus investimentos e consiga auferir algum retorno para compensar os prejuízos obtidos com as perdas oferecidas por algumas ações, para que isso ocorra como explica a teoria das carteiras de Markowitz é necessário escolher ativos que apresentem correlação negativa. As ações escolhidas para esse trabalho apresentam correlações negativas entre si e também uma boa relação de risco - retorno, por isso foi possível encontrar um ponto ótimo que diminuísse ainda mais o risco dos ativos e conseguisse aumentar os retornos. Será demonstrado na próxima tabela como ficou a Carteira de Variância Mínima obtida através da aplicação da Programação Linear com uso da ferramenta do Solver do MS Excel. Ativo Bradespar Braskem Brasil Telecom Cosan Vale do Rio Doce Pesos (%) 17,79% 23,56% 22,2% 14,56% 21,89% Fonte: Portal de Bolsa & Inside - Tabela 3 Carteira de Variância Mínima Para conseguir minimizar o risco do portfólio é necessário que os investimentos nessas ações sejam feitos de acordo com os pesos ou percentuais apresentados na tabela acima. Pois para essas proporções de investimentos foi possível reduzir bastante o risco das ações e ainda conseguir um retorno em torno de 0,021% ao dia. Como restrições da programação linear estava que o retorno gerado pela minimização da Variância fosse maior ou igual a 0,021%. Veja na próxima tabela abaixo como ficou essa relação. Valores do portfólio Retorno (% a.d) Risco (% a.d) (σ Desvio padrão) Variância (% a.d) (σ 2 ) (%) 0,021% 2,0465% 0,0419% Fonte: Portal de Bolsa & Inside - 8

9 Tabela 4 Risco-Retorno do Portfólio Como pode ser verificado nas tabelas acima a Carteira de Variância Mínima apresentou-se como uma ótima solução para minimizar o risco das ações em cenários de crises financeiras e com a escolha certa de ativos com correlações negativas foi possível encontrar um nível aceitável de risco e ainda obter um retorno positivo com valores bem melhores do que os valores apresentados para investimentos em ações isoladamente, sendo melhor investir no portfólio de ações. Para investidores que gostam de se submeter a riscos maiores, outras composições de investimentos podem ser feitas como mostra a tabela abaixo. % Bradespar % Braskem % Brasil Telecom % Cosan % Vale do Rio Doce Retorno do Portfólio Risco do Portfólio (σ 2 Variância) 100% 0% 0% 0% 0% - 0, , % 5% 5% 5% 5% - 0, , % 10% 10% 10% 10% - 0, , % 50% 0% 0% 0% -0, , % 0% 50% 0% 0% 0, , % 0% 0% 50% 0% - 0, , % 0% 0% 0% 50% 0, , % 15% 15% 15% 15% - 0, , % 20% 20% 20% 20% 0, , % 23% 23% 22% 22% 0, , % 20% 25% 25% 25% 0, , % 50% 20% 20% 10% 0, , % 50% 50% 0% 0% 0, , % 50% 0% 50% 0% - 0, , % 0% 50% 0% 50% 0, , % 100% 0% 0% 0% 0, , % 0% 100% 0% 0% 0, , % 0% 0% 100% 0% - 0, , % 0% 0% 0% 100% 0, ,00098 Fonte: Portal de Bolsa & Inside - Tabela 5 Composição de Carteiras com pesos diversos Como pode ser observado na tabela 5 (cinco), o investidor pode investir maiores percentuais em ações que dêem maiores retornos, desde que ele esteja disposto a assumir riscos maiores. Embora a Carteira de Variância Mínima nesse cenário de crise financeira mundial se mostrou uma alternativa mais lógica para os investidores equilibrarem as perdas financeiras nesse período de conturbação econômica. 5. Conclusão Com isso, conclui-se que a Programação Linear se mostrou uma excelente ferramenta para o cálculo da carteira de variância mínima devido a sua fácil aplicação no Solver do MS Excel e que pode ser aplicada pelos investidores, auxiliando-os bastante em suas análises de investimentos. Foi comprovado, também, que em cenários de crises financeiras como o estudado a carteira de variância mínima se tornou uma boa fonte de auxilio para a tomada de decisão do investidor, visto que no caso analisado ela diminuiu bastante o alto risco apresentado pelas cinco ações estudadas e perante os retornos negativos apresentados por algumas dessas ações e, sobretudo pela obtenção de uma perspectiva de ganho em um cenário 9

10 adverso, ainda houve uma maximização do retorno do portfólio para um valor maior do que o retorno apresentado pelas ações isoladamente. 6. Referências ASSAF NETO, A. Mercado Financeiro. 6.ed. São Paulo: Atlas, BAGGIO, D. K.; KELM, M. L.; AGUDO, L. F. & SANJUÁN, I. M. Análise da Formação de Carteiras de Investimentos: uma aplicação no Mercado Acionário Brasileiro. Disponível em: Acesso em: 04/10/2009. BOVESPA. Cotações históricas. Acesso em: 04/10/2009. CARMONA, C. U. M. Finanças Corporativas e Mercados. 1.ed. São Paulo: Atlas, COLIN, E. C. Pesquisa Operacional: 170 aplicações em estratégia, finanças, logística, produção, marketing e vendas. 1.ed. Rio de Janeiro: LTC, GOETZMANN, WILLIAN N. Uma Introdução à Teoria do Investimento. Yale School of Management. Disponível em: Acessado em 08/2009 GONÇALVES JR, C.; PAMPLONA, E. O. & MONTEVECHI, J. A. B. Seleção de Carteiras Através do Modelo de Markowitz para Pequenos Investidores: Com o Uso de Planilhas Eletrônicas. IX Simpep. São Paulo, outubro, GRETL, GNU REGRESSION, ECONOMETRICS AND TIME-SERIES LIBRARY. Software utilizado para calcular correlação. Disponível em: Acesso em: 10/01/2010. MARKOWITZ, H.M. Portfolio Selection. The Journal of Finance, v. 17, p , Março, REILLY, F. K. & BROWN, K. C. Investment Analysis and Portfolio Management. Manson OH. Thomson, PINHEIRO, J. L. Mercado de Capitais, Fundamentos e Técnicas. 4 ed. São Paulo: Atlas, PORTAL DE BOLSA & INSIDE. Informações diversas. Disponível em: Acesso em: 04/04/

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