OVINOCULTURA MATEMÁTICA APLICADA A OVINOCULTURA JARDEL LEITE CURSO FIC

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1 Ministério d Educção - MEC Secretri de Educção Profissionl e Tecnológic (SETEC) Instituto Federl de Educção, Ciênci e Tecnologi do Cerá OVINOCULTURA MATEMÁTICA APLICADA A OVINOCULTURA JARDEL LEITE CURSO FIC

2 CRÉDITOS Presidente Dilm Vn Rousseff Ministro d Educção Aloizio Mercdnte Oliv Secretri de Educção Profissionl e Tecnológic Mrco Antonio de Oliveir Reitor do IFCE Virgilio Augusto Sles Arripe Pró-Reitor de Etensão Zndr Mri Rieiro Mendes Dumresq Pró-Reitor de Ensino Reuer Sriv de Sntigo Pró-Reitor de Administrção Tássio Frncisco Lofti Mtos Assistente do Pro-Reitor Jose Wll Mendonç Menezes Pedgog Armeni Chves Fernndes Vieir Supervisor Acdêmico-Pedgógico do Prontec André Monteiro de Cstro Diretor Gerl Cmpus Tuá Pedro do Nscimento Melo Coordendor Adjunto Ítlo Lim dos Sntos Elorção do conteúdo Jrdel Leite de Oliveir Equipe Técnic José Lopes Vin Neto Ricrdo Rodrigues de Andrde Weert Aln Somr Jrdel Leite de Oliveir Elder dos Sntos Teieir Apoio Acdêmico e Finnceiro Dnilson Sores do Ncimento Orientdor Curso José Lopes Vin Neto Supervisor Orçmentário-Finnceiro do Prontec Dniel Ferreir de Cstro

3 O QUE É O PRONATEC? Crido no di 6 de Outuro de 0 com snção d Lei nº.5/0 pel President Dilm Rousseff, o Progrm Ncionl de Acesso o Ensino Técnico e Emprego (Prontec) tem como ojetivo principl epndir, interiorizr e democrtizr ofert de cursos de Educção Profissionl e Tecnológic (EPT) pr populção rsileir. Pr tnto, prevê um série de suprogrms, projetos e ções de ssistênci técnic e finnceir que juntos oferecerão oito milhões de vgs rsileiros de diferentes perfis nos próimos qutro nos. Os destques do Prontec são: Crição d Bols-Formção; Crição do FIES Técnico; Consolidção d Rede e-tec Brsil; Fomento às redes estduis de EPT por intermédio do Brsil Profissionlizdo; Epnsão d Rede Federl de Educção Profissionl Tecnológic (EPT). A principl novidde do Prontec é crição d Bols-Formção, que permitirá ofert de vgs em cursos técnicos e de Formção Inicil e Continud (FIC), tmém conhecidos como cursos de qulificção. Oferecidos grtuitmente trlhdores, estudntes e pessos em vulnerilidde socil, esses cursos presenciis serão relizdos pel Rede Federl de Educção Profissionl, Científic e Tecnológic, por escols estduis de EPT e por uniddes de serviços ncionis de prendizgem como o SENAC e o SENAI. Ojetivos Epndir, interiorizr e democrtizr ofert de cursos de Educção Profissionl Técnic de nível médio e de cursos e progrms de formção inicil e continud de trlhdores; Fomentr e poir epnsão d rede físic de tendimento d Educção Profissionl e Tecnológic; Contriuir pr melhori d qulidde do Ensino Médio Púlico, por meio d Educção Profissionl; Amplir s oportuniddes educcionis dos trlhdores por meio do incremento d formção profissionl. Ações Amplição de vgs e epnsão d Rede Federl de Educção Profissionl e Tecnológic; Fomento à mplição de vgs e à epnsão ds redes estduis de Educção Profissionl; Incentivo à mplição de vgs e à epnsão d rede físic de tendimento dos Serviços Ncionis de Aprendizgem; Ofert de Bols-Formção, ns modliddes: Bols-Formção Estudnte; Bols-Formção Trlhdor. Atendimento eneficiários do Seguro-Desemprego;

4 SUMÁRIO AULA - Conjuntos Numéricos 5 AULA - Operções com Números Reltivos 8 AULA - Produto e Divisão de Potêncis de Mesm Bse 5 AULA 4 - Equções e Porcentgem REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DA APOSTILA 6 4

5 AULA Conjuntos Numéricos É lógico que, pr Mtemátic, os conjuntos de mior importânci são queles formdos por números, e certos conjuntos numéricos são especilmente importntes devido às proprieddes ds operções entre seus elementos e, portnto, receem nomes especiis, quis sejm: ) N 0,,,,4, é o conjunto dos números inteiros não-negtivos. ) Z,,,,0,,,, é o conjunto dos números inteiros. p c) Q sendo p Z, q Z e q 0. q É o conjunto dos números rcionis. São eemplos de números rcionis:, 5 9, 8, etc. São eemplos de números irrcionis:,459 (pi), e,788 (se dos logritmos neperinos),,44,,705, etc. d) R é o conjunto dos números reis, formdos por todos os números rcionis e irrcionis, e costummos ssocir tis números os pontos de um ret que, por definição, é infinit em mos os sentidos. 0 Fig. Representção gráfic de lguns elementos do conjunto R. e) z z j C, sendo R, R e é j, é o conjuntos dos números compleos (voltremos tl ssunto n seção.4). Qundo incluímos o símolo * (sterisco), estmos indicndo que o zero foi ecluído do conjunto. Assim, temos: 5

6 f) N *,, 4,5,, N e 0 é o conjunto dos números nturis. g) Z * Z e 0 h) Q * Q e 0 i) R * R e 0 j) C * C e 0 Qundo incluímos o símolo + (mis), estmos indicndo que form ecluídos todos os números negtivos dos conjunto. k) Z Z e 0 N é o conjunto dos números inteiros não negtivos. l) Q Q e 0 é o conjunto dos números rcionis não negtivos m) R R e 0 é o conjunto dos números reis não negtivos. Qundo crescentmos o símolo (menos) estmos indicndo que form ecluídos todos os números positivos do conjunto. Assim, temos: n) Z Z e 0 é o conjunto dos números inteiros não positivos. o) Q Q e 0 é o conjuntos dos números rcionis não positivos. p) R R e 0 é o conjunto dos números reis não positivos. Devemos notr que o zero é elemento dos conjuntos Z, Z, Q, Q, R, R. Se ecluímos o zero destes conjuntos, teremos: * q) Z Z e 0 * r) Z Z e 0 6

7 * s) Q Q e 0 * t) Q Q e 0 * u) R R e 0 * v) R R e 0 7

8 AULA - Operções com Números Reltivos Ilustrção.: Números reltivos 0 Som ou Adição Qundo os números têm o mesmo sinl st conservá-lo e dicionr os números; qundo os sinis são contrários sutrímos o menor do mior, e o sinl que prevlece é o deste último. É om lemrr tmém que o sinl mis (+) ntes de um prêntese não vi lterr o sinl do número que está entre prênteses, ocorrendo o oposto qundo o sinl ntes do prêntese for o de ( ). Se não houver nenhum sinl ntes do prêntese estrá implícito que o sinl será o de mis (+). ILUSTRAÇÃO. ) ( 0) ( ) 0 ) ( 0) ( ) 0 8 c) ( 0) ( ) 0 8 d) ( 0) ( ) 0 Qundo devemos somr mis de dois números reltivos o resultdo é otido somndo o primeiro com o segundo, o resultdo otido com o terceiro, e ssim por dinte té últim prcel. ILUSTRAÇÃO. ( 5) ( ) ( 7) ( ) ( 4) ( ) ( 7) ( ) ( 4) ( 5) ( ) ( 4) 8

9 ( ) ( 4) Podemos tmém dicionr seprdmente tods s prcels positivs e tods s negtivs e, em seguid, somr os dois números de sinis contrários otidos. ILUSTRAÇÃO.4 Efetundo som do eemplo nterior, temos: som ds prcels positivs: ( 5) ( ) ( 4) som ds prcels negtivs: ( ) ( 7) 0 som de mos os resultdos: ( ) ( 0) Sutrção ou Diferenç Cumpre oservr que o sinl de menos ( ) ntes de um prêntese troc o sinl do número que está entre prênteses e, no mis, procedemos como n operção nterior. ILUSTRAÇÃO.5 ) ( 0) ( ) 0 8 ) ( 0) ( ) 0 c) ( 0) ( ) 0 d) ( 0) ( ) 0 8 9

10 Pr s operções de multiplicção e divisão que virão logo seguir vle seguinte regr: Números de mesmo sinl dão sempre resultdo positivo, enqunto que os de sinis contrários conduzem sempre à resultdos negtivos. Multiplicção Ilustrção.6 ) ( 0) ( ) 0 ) ( 0) ( ) 0 c) ( 0) ( ) 0 d) ( 0) ( ) 0 Divisão Ilustrção.7 ) ( 0) ( ) 5 ) ( 0) ( ) 5 c) ( 0) ( ) 5 d) ( 0) ( ) 5 Potencição Qundo, em um multiplicção, os ftores são todos iguis, em módulo e em sinl, est operção recee o nome de potencição. Assim sendo, potênci de um número é o produto de ftores iguis este número, sendo representd por: p epoente (n.º de repetições dos ftores iguis) se (é o número ou ftor em questão) 0

11 Conforme veremos seguir, tod potênci de epoente pr é positiv, qulquer que sej o sinl d se, porém, tod potênci de epoente ímpr tem o sinl de se. Ilustrção.8 ) 4 ( ) 6 ) 4 ( ) 6 c) 8 d) ( ) 8 A est ltur é interessnte notr diferenç entre potencição seqüencil e potencição esclond, que serão nlisds logo seguir.

12 Ilustrção.9 ) Potencição Seqüencil: () 4 64 multiplicndo-se os epoentes:, que tmém pode ser efetud diretmente mntendo-se se e 6 64 ) Potencição Esclond: que pode ser entendid como 8 56, ou sej: Rdicição ) Riz n-ésim de um número: Dizemos que um número é riz n-ésim et de um número qundo n e el é representd por n Denomin-se rdicição operção pel qul se otém riz n-ésim de um número. Ns operções ets, rdicição é operção invers d potencição. Temos então: Osinl éo rdicl Onúmero" "é o rdicndo Onúmero" n"é o índicedo rdicl Assim sendo 9 porque 9 8 porque 8

13 No cso de n = riz se diz qudrd e não é usul escrever este índice no rdicl. No cso de n = riz se diz cúic, ms este índice prece no rdicl. ) Vlor lgérico dos rdicis: Se o rdicndo é considerdo em vlor soluto (módulo), rdicição é um operção unívoc. No entnto, se este rdicndo é um número reltivo unicidde, em lguns csos, não estrá mis grntid e por isso vmos considerr três csos:.º) Índice pr e rdicndo positivo. Neste cso o rdicl dmitirá dus rízes reis e simétrics no conjunto dos números reis, em como um pr compleo conjugdo (vide eercício proposto 9, item j d seção.5)..º) Índice ímpr. Sendo o índice do rdicl um número ímpr, temos um riz no conjunto dos números reis, tendo o mesmo sinl que o rdicndo, e (n ) rízes no conjunto dos números compleos (vide eercício proposto 8, item f, d seção.5)..º) Índice pr e rdicndo negtivo. Neste cso não eiste nenhum vlor do conjunto do números reis que elevdo o índice pr sej igul o rdicndo. Este ssunto será orddo n seção.4.

14 Ilustrção.0.º cso.º cso pois pois pois pois º cso 4 j e, conforme já menciondo tlssuntoseráorddon seção.4 Oservção: pelo que foi eposto, se lguém lhe perguntr qul é o vlor de simplesmente. Agor se for pedido o vlor lgérico do 9 teremos então. 9, respost e 4

15 AULA - Produto e Divisão de Potêncis de Mesm Bse ) Pr multiplicr potêncis de mesm se, repetimos se e sommos os epoentes. ) Pr dividir potêncis de mesm se, repetimos se e sutrímos o epoente do denomindor do epoente do numerdor. 4 4 ) Ilustrção. ) c) d) I I 4 I ( 4) I 7 Epoente Nulo Tod potênci de epoente nulo é igul à unidde. Ilustrção. 0 Oservção: 0 0 São eceções 0 e, que não têm qulquer significdo numérico, sendo símolos de indeterminção, e são orddos em Análise Mtemátic n prte de Limites. Epoente Negtivo Tod potênci de epoente negtivo equivle um frção cujo numerdor é unidde e o n denomindor é potênci com o epoente positivo ou sej: n. () 5

16 Ilustrção. ) ) Oservções: ª) Em conseqüênci do eposto nteriormente temos: n n () ª) Agor podemos oter o mesmo resultdo do item (d) d ilustrção por outro cminho: I I 4 I I 4 I 7 Epoente Frcionário Tod potênci de epoente frcionário equivle um riz cujo índice é o denomindor d frção e cujo rdicndo é se elevd um epoente igul o numerdor, ou sej: p q q p () 6

17 Ilustrção.4 Determinr os vlores lgéricos ds seguintes operções: ) ) c) Emprego de Potêncis de Dez pr simplificr representção de certos Números Ilustrção.5 ) ) c) d) No Brsil: * ,000 0, * Nos E.U.A.:, ,000, (*) Antigmente representv-se e 4 milhões, respectivmente por.000 e Já há lguns nos olirm-se os pontos seprtrizes de clsses, mntendo-se gor um espço entre s mesms. Produtos Notáveis Qudrdo de um inômio ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ou 7

18 ( ) (4) ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ou ( ) (5) Produto d som de dois termos pel diferenç entre eles ( ) ( ) : ( ) ( ) ou ( ) ( ) (6) Cuo de um inômio ) ( ) ( )( ) ( )( ) 8

19 9 ou ) ( (7) ) ) )( ( ) )( ( ) ( ou (8)

20 0 Ilustrção.6 ) ) c) d) e) 8 6

21 AULA 4 Equções e Porcentgem Equção do º Gru com um Incógnit Tod equção do º gru com um incógnit pode ser reduzid form em que 0. Su solução é: z 0 (9) z 0 z z (0) EXEMPLO. Resolver s seguintes equções do º gru: ) z 7z ) c) d) pz q 0 (sendo p 0) Solução: ) z 7z z 7z 4z 4 4 z z )

22 c) d) pz q 0 pz q q z p Equção do º Gru com um Incógnit A form gerl d equção do º gru com um incógnit é: onde 0. z z c 0 () Vmos então trnsformr equção em outr equivlente, de modo que o primeiro memro sej um qudrdo perfeito do tipo indicdo n equção (4). ) Trnspondo constnte pr o segundo memro, vem: z z c ) Multiplicndo por 4, teremos: 4 z 4z 4c c) Somndo os dois memros, result: 4 z 4z 4c d) Verificndo que o º memro é um qudrdo perfeito, teremos: z 4c

23 e) Etrindo s rízes qudrds de mos os memros, otemos: z z 4c 4c 4c z () que é conhecid fórmul d Bhskr, onde 4c...() é o discriminnte d equção, e três csos podem ocorrer: º) 0 teremos dus rízes reis e desiguis. º) 0 teremos dus rízes reis e iguis. º) 0 não teremos rízes no conjunto dos números reis, e este cso será orddo n seção.4. Eemplo. Resolver s seguintes equções do º gru: ) z 5z 0 ) 4z 4z 0 c) z 4z 0 Solução: ) z 5z 0 5 c z 4c z z 4 4

24 ) 4 4z 4z 0 4 c z 4c z 8 riz dupl 40 z 8 c) z 4z 0 4 c 4c e est equção não dmite rízes no cmpo rel. PORCENTAGEM: Ao pensrmos em porcentgem, podemos entender, de mneir simplificd, este termo como sendo um termo que relcion um quntidde de prtes de um todo. Isso quer dizer que, se fizermos um compr e receermos um desconto de 5% pr pgmento à vist, signific que iremos pgr pens 75 ds cem prtes possíveis. Em gerl, podemos resolver fcilmente prolems simples de porcentgem utilizndo Regr de Três Simples, que já estudmos nteriormente. Pr entender melhor, nlise o eemplo io: Eemplo - Clculr % de R$ 500,00. Vmos montr o prolem escrevendo s grndezs iguis um em cim d outr. A incógnit será qui representd pel letr. Assim, temos: VALOR (R$) PORCENTAGEM(%) Pr resolver, vmos multiplicr em e, depois, vmos isolr. Assim, temos: 00 = 500. = 500. / 00 = R$ 80,00 RESPOSTA: % DE R$ 500,00 equivle R$ 80,00 4

25 ATIVIDADES Com se n questão nterior respond s seguintes questões: Questão - Clcule,5% de R$ 6000,00. Questão - Um máquin de lvr roup cust R$ 49,90. Pr pgmento à vist, loj fornece um desconto de 6%. Qul será economi do comprdor se ele pgr à vist? Questão - Um máquin de lvr roup cust R$ 949,90. Pr pgmento à vist, loj fornece um desconto de 7%. Qul será o vlor pgo pelo comprdor n máquin se ele pgr à vist? Questão 4 - No mês de fevereiro, todos os proprietários de veículos devem pgr o IPVA. Este triuto corresponde,5% do vlor do veículo indicdo n Tel F.I.P.E.. Se o vlor de um crro, indicdo n Tel F.I.P.E., é de R$ ,00, qul será o vlor do IPVA ser pgo? Questão 5 - Num compr, form ddos R$ 00,00 de desconto. Se o desconto foi de 5%, clcule o vlor que seri pgo n mesm compr, sem desconto. 5

26 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DA APOSTILA WYKROTA, Ronld. Apostil de Mtemátic Básic pr E.J.A. Curiti PR. 00. Disponível em: < Coleco-Fundmentl-Volume--8>. Acesso em: 5 de novemro de 0. COUTO, Emerson F. A. Apostil de Mtemátic Básic. Colegio Fundmentl_ Volume /8. Disponível em: < >. Acesso em: 0 de Novemro de 0. 6