Capítulo 1: Limite de funções de uma variável real

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1 Notas Matemática para Economia I: Capítulo 1: Limite de funções de uma variável real Felipe Rivero e Thiago Salvador Revisado por: Emilia Neves, Juliana Coelho e Yuri Ki

2 F. Rivero e T. Salvador 2 Matemática para Economia I

3 Sumário 1 Limites Noção intuitiva de ite Propriedades dos ites Limites laterais Continuidade Limites envolvendo infinito Limites infinitos Limites no infinito O número e Assíntotas

4 SUMÁRIO SUMÁRIO F. Rivero e T. Salvador 4 Matemática para Economia I

5 Capítulo 1 Limite de funções de uma variável real O conceito de ite é o ponto de partida para definir todos os outros conceitos do Cálculo, como os de continuidade, derivada e integral. Nesse capítulo vamos discutir o que são os ites e como podem ser calculados. Também vamos estudar o conceito de continuidade. 1.1 Noção intuitiva de ite De maneira geral, o processo de determinar o ite consiste em investigar o comportamento do valor da imagem f(x) de uma função f à medida que sua variável independente x se aproxima de um número, que pode ou não pertencer ao domínio de f. Vamos supor que um estudo de mercado sobre uma empresa estima que o investimento de x milhões de reais geram um benefício dado pela função abaixo f(x) = x2 + x 2. x 1 Os trabalhadores da empresa querem saber o valor estimado do benefício quando há um investimento de 1 milhão de reais. Embora a função f não seja definida em x = 1, podemos avaliar f(x) para valores de x muito próximos de 1. Para fazer isto, podemos observar a tabela a seguir, x f(x) 2,9 2,95 2,99 2,999 3,001 3,01 3,05 3,1 5

6 1.1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE CAPÍTULO 1. LIMITES Os valores da função na tabela sugerem que: f(x) se aproxima do número 3 à medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados. Portanto, os benefícios se aproximam para os 3 milhões de reais quando o investimento se aproxima para 1 milhão. Podemos obter valores para f(x) tão próximos de 3 quanto quisermos, bastando para isso tomar valores de x suficientemente próximos de 1. Esse comportamento pode ser descrito, intuitivamente, dizendo que o ite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 3 e abreviado por x 2 + x 2 f(x) = 3 ou x 1 x 1 x 1 Na Figura 1.1 podemos obrservar que o gráfico de f(x) = x2 + x 2. É uma reta com x 1 um buraco na coordenada (1, 3), e os pontos (x, y) = (x, f(x)) no gráfico se aproximam desse buraco à medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados. = 3 Figura 1.1: Gráfico de f(x) = x2 + x 2 x 1 [Video] F. Rivero e T. Salvador 6 Matemática para Economia I

7 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Temos a seguinte definição (informal) de ite Definição 1.1 Seja f uma função definida em um intervalo aberto em torno um ponto c, exceto possivelmente em c. Se o valor de f(x) fica arbitrariamente próximo de um valor L para todos os valores suficientemente próximos de c, dizemos que f tem ite L e escrevemos x c f(x) = L ou f(x) L x c Ao definirmos ite, admitimos que f(x) é definida para todos os valores de x nas proximidades de c, mas não necessariamente em x = c. A função não precisa nem existir em x = c, e, mesmo que exista, seu valor f(c) neste ponto pode ser diferente do ite quando x tende a c. Na Figura 1.2 o ite de f(x) quando x c, é igual a L, embora as funções se comportem de forma bastante diferente em x = c. (a) f(c) é igual ao ite L (b) f(c) é diferente de L (c) f(c) não está definido Figura 1.2: Diferentes exemplos de ites F. Rivero e T. Salvador 7 Matemática para Economia I

8 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES A Figura 1.3 mostra os gráficos de duas funções que não têm ite quando x tende a c. O ite não existe na figura (a) porque os ites laterais são diferentes, isto é, f(x) se aproxima de 5 quando x tende a c pela direita e se aproxima de 3 (um valor diferente) quando x tende a c pela esquerda. A função da figura (b) não tem ite (finito) quando x tende a c porque os valores de f(x) aumentam indefinidamente à medida que x se aproxima de c. Dizemos que funções como a da figura (b) têm um ite infinito quando x tende a c. Limites laterais e ites infinitos serão estudados mais adiante. (a) Limites laterais distintos (b) Limite infinito Figura 1.3: Limites laterais e ite infinito Observação: Vamos ver a definição formal do ite para funções de uma variável, mas somente para dar uma olhada ao formalismo matemático. A Definição 1.1, apesar de não ser uma definição rigorosa, é mais intuitiva. Definição 1.2 Seja f uma função com valores reais definida num intervalo aberto em torno de un valor c, exceto possivelmente em c. Dizemos que a função real f com valores reais tem ite L quando x tende ao valor c se para todo valor ε > 0 existe um valor δ > 0 tal que f(x) L < ε para qualquer valor x real verificando x c < δ. 1.2 Propriedades dos ites Seria muito trabalhoso calcular cada ite por meio de uma tabela, como fizemos na seção anterior. O nosso objetivo agora é introduzir propriedades (teoremas) que permitam simplificar o cálculo dos ites de funções algébricas. F. Rivero e T. Salvador 8 Matemática para Economia I

9 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES O Teorema 1.1 a seguir, se refere aos ites de duas funções lineares elementares. Teorema 1.1 Sejam c e k números reais. Então, i) x c k = k. ii) x c x = c. O Teorema 1.2 mostra como calcular ites de funções que são combinações aritméticas de funções cujos ites já conhecemos. Teorema 1.2 Se L, M, c e k são números reais, f e g funções reais com valores reais e x c f(x) = L e x c g(x) = M, então: i) x c (f(x) ± g(x)) = x c f(x) ± x c g(x) = L ± M. ii) c c (f(x) g(x)) = x c f(x) x c g(x) = L M. iii) (k f(x)) = k f(x) = k L. x c x c iv) x c (f(x)) n = ( x c f(x) ) n = L n onde n N. f(x) f(x) v) Se M 0, então x c g(x) = x c g(x) = L M. x c vi) n f(x) = n f(x) = n L onde n é um número natural ímpar maior que 1, ou x c x c n é um número natural par e L > 0. Exemplo 1.1 Vamos calcular os seguintes ites usando o teorema anterior: 1. x 5 7. Solução: Aplicando o Teorema 1.1, x 5 7 = 7 2. (x 5). x 3 Solução: Aplicando o Teorema 1.1 e as propriedades i) e ii) o Teorema 1.2, (x 5) = x 5 = 3 5 = 8. x 3 x 3 x 3 F. Rivero e T. Salvador 9 Matemática para Economia I

10 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES 3. x 2 (x 3 + 2x + 5) Solução: Aplicando o Teorema 1.1 e as propriedades i), ii) e iii) o Teorema 1.2, 4. x 4 (3x 2 5). x 2 (x3 + 2x + 5) = x 3 + 2x + 5 x 2 x 2 x 2 ( ) 3 = x + 2 x + x 2 x 2 = = 17 x 2 5 Solução: Aplicando o Teorema 1.1 e as propriedades i), ii) e iii) o Teorema 1.2, x 4 (3x2 5) = (3x 2 ) 5 x 4 x 4 ( ) 2 = 3 x x 4 = = 43 x 4 5 Aplicando os Teoremas 1.1 e 1.2 podemos determinar facilmente o ite de funções polinomiais e de algumas funções racionais. Teorema 1.3 Sejam p(x) e q(x) funções polinomiais. i) x c p(x) = p(c). ii) Seja r(x) = p(x) q(x) uma função racional e q(c) 0, então r(x) = r(c). x c Observação: Os ites 2, 3 e 4 do Exemplo 1.1 podem ser calculados diretamente aplicando o Teorema 1.3. Exemplo 1.2 Vamos calcular os ites abaixo usando os teoremas anteriores: 1. x 0 (x 5 3x 4 + 2x 2 + 7). Solução: Se chamamos de p(x) = x 5 3x 4 +2x 2 +7, temos uma função polinomial. Logo, pero Teorema 1.3, x 0 p(x) = p(0) e, portanto, x 0 (x5 3x 4 + 2x 2 + 7) = = 7. F. Rivero e T. Salvador 10 Matemática para Economia I

11 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES 2. x 0 x 2 x + 8. Solução: Chamando de p(x) = x 2 e de q(x) = x + 8 e observando que q(0) = 8 0 podemos aplicar o Teorema 1.3, obtendo x 2 x 0 x + 8 = = 2 8 = 1 4 2x x 1 x 2 + 3x. Solução: Aplicando o Teorema 1.3 com p(x) = 2x + 1 e q(x) = x 2 + 3x, 4. x 2 4 x2 4x + 4. x 1 2x + 1 x 2 + 3x = 2( 1) + 1 ( 1) 2 + 3( 1) = 1 2 Solução: Aplicando a propriedade vi) do Teorema 1.2, x 2 4 x2 4x + 4 = 4 x 2 (x2 4x + 4). Pelo Teorema 1.3, chamando de p(x) = x 2 4x+4, obtemos que p(x) = p( 2), x 2 logo x 2 (x2 4x + 4) = ( 2) 2 4 ( 2) + 4 = 16. Usando novamente o Teorema 1.2, 5. x 1 x 2 3 5x 3. 4 x2 4x + 4 = 4 x 2 (x2 4x + 4) = 4 x 2 4x + 4 = 4 16 = 2. Solução: Analogamente ao exemplo anterior, 3 5x 3 = 3 (5x 3) = 3 5 ( 1) 3 = 3 8 = 2. x 1 x 1 5x 6. x 5 x x Solução: Pelo Teorema 1.2, temos que x 5 x + 4 = 5x x 5 x + 4. Chamando agora de p(x) = 5x e q(x) = x + 4 e observando que q(5) = 9 0, pelo Teorema 1.3 5x obtemos que x 5 x + 4 = = 25. Assim, de novo pelo Teorema 1.2, 9 5x x 5 x + 4 = 5x x 5 x + 4 = 9 = = F. Rivero e T. Salvador 11 Matemática para Economia I

12 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES Vamos estudar agora o ite da função f(x) = x2 4 quando x 2. Um primero x 2 estudo mostra que tanto o numerador quanto o denominador vão para zero quando x tende ao valor 2, portanto não podemos aplicar o Teorema 1.3. Habitualmente, nestes casos precisamos de uma simplificação. Observamos que para todos os valores de x tais que x 2 temos x 2 4 x 2 = (x 2)(x + 2) x 2 = (x 2)(x + 2) = x + 2. x 2 Portanto, a função f(x) é igual à função h(x) = x + 2 para todos os valor x próximos de 2 mas diferentes de 2. Como para o cálculo dos ites não precisamos do valor no mesmo ponto (ver Definição 1.1), então temos x 2 4 x 2 x 2 = (x + 2) = 4, x 2 onde podemos usar o Teorema 1.3 para o cálculo do segundo ite. Podemos sintetizar a observação anterior no seguinte teorema Teorema 1.4 Se x c h(x) = L e f(x) é uma função tal que f(x) = h(x) para todos os valores de x pertencentes a algum intervalo ao redor de c, excluindo o valor x = c, então x c f(x) = h(x) = L. x c Exemplo 1.3 Vamos calcular os seguintes ites usando o Teorema 1.4. Para cada um deles vamos precisar de um estudo prévio, bem fazendo uma fatoração bem usando alguma outra técnica. 1. x 1 x 2 + x 2 x 1 Solução: Temos que a função f(x) = x2 + x 2 não está definida para o valor x 1 x = 1 pois tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x 1. Fatorando o numerador temos x 2 + x 2 = (x 1)(x + 2). Portanto, para todos os valores x reais tais que x 1, f(x) = x2 + x 2 x 1 = (x 1)(x + 2) x 1 = (x 1)(x + 2) x = x Logo, x 2 + x 2 x 1 x 1 = x 1 (x + 2) = 1 + x = 3. F. Rivero e T. Salvador 12 Matemática para Economia I

13 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES 2. x 3 x 2 x 6 x 2 4x + 3 Solução: A função f(x) = x2 x 6 não está definida para o valor x = 3, x 2 4x + 3 pois o numerador e o denominador se aproximam ao zero cuando x tende para 3. Fatorando o numerador obtemos x 2 x 6 = (x 3)(x+2); fatorando o denominador obtemos x 2 4x + 3 = (x 3)(x 1). Logo, para todos os valores x reais tais que x 3 obtemos Então, 4 x 2 3. x 2 2x + 4 f(x) = x2 x 6 x 2 4x + 3 x 3 (x 3)(x + 2) = (x 3)(x 1) = (x 3)(x + 2) (x 3)(x 1) = x + 2 x 1. x 2 x 6 x 2 4x + 3 = x + 2 x 3 x 1 = = 5 2. Solução: Temos que a função f(x) = 4 x2 não está definida para x = 2 pois 2x + 4 tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x 2. Fatorando o numerador temos 4 x 2 = (2 x)(2 + x). Portanto, para todos os valores x reais tais que x 2, Logo, x 3 + 2x 2 4. x 2 3x + 6 f(x) = 4 x2 2x + 4 = (2 x)(2 + x) 2(x + 2) 4 x 2 x 2 2x + 4 = 2 x x 2 2 = (2 x) (2 + x) 2 (x + 2) = 2 ( 2) 2 = 2. = 2 x. 2 Solução: A função f(x) = x3 + 2x 2 não está definida para o valor x = 2, pois 3x + 6 o numerador e o denominador se aproximam ao zero cuando x tende para 2. Fatorando o numerador obtemos x 3 + 2x 2 = x 2 (x + 2). Então, para todos os valores x reais tais que x 2 obtemos f(x) = x3 + 2x 2 3x + 6 = x2 (x + 2) 3(x + 2) = x2 (x + 2) 3 (x + 2) = 1 3 x2. Assim, x 3 + 2x 2 x 2 3x + 6 = 1 x 2 3 x2 = 1 3 ( 2)2 = 4 3. F. Rivero e T. Salvador 13 Matemática para Economia I

14 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES x 2 + x 5. x 1 x 2 + 3x + 2 Solução: Então a função f(x) = x2 + x não está definida para o valor x = 1 x 2 + 3x + 2 pois tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x vai para 1. Fatorando o numerador temos que x 2 + x = x(x + 1) e fatorando o denominador obtemos x 2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1). Portanto, para todos os valores x reais tais que x 1, f(x) = x2 + x x 2 + 3x + 2 = x(x + 1) (x + 2)(x + 1) = x (x + 1) (x + 2) (x + 1) = x x + 2. Portanto, x 1 x 2 + x x 2 + 3x + 2 = x 1 x x + 2 = = x 0 (x + 1) 2 1 x Solução: A função f(x) = (x + 1)2 1 não está definida para o valor x = 0, x pois o numerador e o denominador se aproximam ao zero cuando x tende para 0. Calculando o produto notável no numerador e fatorando depois obtemos (x+1) 2 1 = (x x) 1 = x 2 + 2x = x(x + 2). Logo, para todos os valores x reais tais que x 0 obtemos f(x) = (x + 1)2 1 x = x(x + 2) x = x(x + 2) x = x + 2. Então, (x + 1) 2 1 x 0 x = x 0 (x + 2) = 0. 1 x 7. x 1 1 x Solução: Temos que a função f(x) = 1 x 1 não está definida para o valor x x = 1 pois tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x 1. Quando aparece uma raiz no denominador ou no numerador, multiplicamos para obter uma identidade notável da forma (a + b)(a b) = a 2 b 2. Mas, para não mudar a função, precisamos multiplicar ambos dois por o mesmo fator 1. 1 Multiplicar e dividir pelo mesmo fator é como multiplicar por 1. F. Rivero e T. Salvador 14 Matemática para Economia I

15 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES Assim, f(x) = 1 x ( 1 x 1 x = 1 x ) ( ) 1 + x 1 + x = (1 x)(1 + x). 1 x Para todo valor x 1, podemos simplificar a expressão anterior f(x) = 1 x 1 x (1 x)(1 + x) = 1 x = (1 x)(1 + x) 1 x = 1 + x. Logo, x 1 1 x 1 x = x x = = 2. x 2 8. x 4 x 4 x 2 Solução: A função f(x) = não está definida para o valor x = 0, pois o x 4 numerador e o denominador se aproximam ao zero cuando x 4. Analogamente, x + 2 vamos multiplicar a função por, obtendo x + 2 f(x) = x 2 x 4 = ( ) ( ) x 2 x + 2 = ( x 2)( x + 2) x 4 x + 2 (x 4)( x + 2) = x 4 (x 4)( x + 2). Assim, para todo valor x 4, Portanto, f(x) = x 2 x 4 = x 4 (x 4)( x + 2) = x 4 (x 4)( x + 2) = 1. x + 2 x 2 x 4 x 4 = x 4 1 x + 2 = = 1 4. x x 3 x 3 x Solução: Temos que a função f(x) = não está definida para o valor x 3 x = 3 pois tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x tende F. Rivero e T. Salvador 15 Matemática para Economia I

16 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES para o valor 3. Multiplicando numerador e denominador por x obtemos x f(x) = x 3 ( ) ( ) x x = x 3 x ( x + 6) 2 9 = (x 3)( x ) x 3 = (x 3)( x ). Então, para todo valor real x distinto de 3 temos f(x) = x x 3 = x 3 (x 3)( x ) = x 3 (x 3)( x ) = 1. x Logo, x 3 x x 3 1 = = x 3 x = Limites laterais Quando uma função é definida apenas de um lado de um número c, ou quando uma função se comporta de forma diferente de cada lado de um número c, é mais natural, ao definir o ite, exigir que a variável independente tenda para c apenas do lado que está sendo considerado. Essa situação é ilustrada no seguinte exemplo: Exemplo 1.4 Seja a função f(x) = { 3x 2 se x < 3 5 x se x 3. A Figura 1.4 mostra que o valor de f(x) tende a 7 quando x tende a 3 para valores menores que 3, isto é, f(x) tende a 7 quando x tende a 3 pela esquerda. Denotamos esse fato simbolicamente como x 3 f(x) = 7 A figura mostra, também, que o valor de f(x) tende a 2 quando x tende a 3 para valores maiores que 3, isto é, f(x) tende a 2 quando x tende a 3 pela direita. Simbolicamente temos x 3 + f(x) = 2 F. Rivero e T. Salvador 16 Matemática para Economia I

17 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES Figura 1.4: Gráfico de f(x). [Video] Estes ites são chamados de ites laterais e podemos definir como Definição 1.3 Seja f(x) uma função real com valores reais. Chamamos de ite lateral à esquerda quando x tende ao valor c ao ite da função quando x se aproxima a c somente por valores menores ao valor c. Se L é o valor do ite lateral à esquerda da função f(x), então denotamos por f(x) = L. x c Analogamente, chamamos de ite lateral à direita quando x tende ao valor c ao ite da função quando x se aproxima a c somente por valores maiores ao valor c. Se L é o valor do ite lateral à direita da função f(x), então denotamos por f(x) = L. x c + O teorema a seguir estabelece a relação entre ites laterais e ites. Teorema 1.5 O f(x) existe e é igual a L se e somente se os ites laterais são x c iguais, ou seja f(x) = f(x) = L. + x c x c No Exemplo 1.4, como f(x) f(x), concluímos que f(x) não existe. x 3 x 3 + x 3 Observação: Limites laterais têm todas as propriedades enumeradas na Seção 1.2. F. Rivero e T. Salvador 17 Matemática para Economia I

18 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES Exemplo 1.5 Seja f(x) = { 4x + 7 se x < 1 x 2. Determinar, caso existir, + 2 se x 1 f(x). x 1 Solução: Como a função tem distintas fórmulas à esquerda e direita do valor x = 1, vamos calcular os ites laterais. Se eles tivessem o mesmo valor, então existiria o ite. Caso contrário, o ite não existirá. Para calcular os ites laterais vamos usar os teorema 1.1, 1.2 e 1.3 da Seção 1.2. Assim, para obter o ite à esquerda de 1 da função f(x) usamos a expressão de f(x) para os valores x < 1, obtendo f(x) = 4x + 7 = 4 ( 1) + 7 = 3. x 1 x 1 Do mesmo modo, para calcular o valor do ite à direita de 1 de f(x), usamos o valor da expressão da função para os valores x 1. Logo, Como f(x) = x 1 x 1 e f(x) = 3. x 1 f(x) = x 1 + x 1 x2 + 2 = ( 1) = 3. x 1 + f(x) = 3, pelo Teorema 1.5 existe o ite de f(x) quando A Figura 1.5 mostra a função f(x) e os ites laterais quando x tende a 1 pela esquerda e pela direita. Figura 1.5: Limites laterais de f(x) quando x 1 e x 1 +.[Video] F. Rivero e T. Salvador 18 Matemática para Economia I

19 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES x se x < 2 Exemplo 1.6 Seja g(x) = 2 se x = 2. Determinar, caso existir, f(x). 9 x 2 x 2 se x > 2 Solução: Como a função tem distintas fórmulas à esquerda e direita do valor x = 2, vamos calcular os ites laterais. Se eles tivessem o mesmo valor, então existiria o ite. Primeiro vamos calcular o ite à esquerda. Para isso usamos a fórmula para os valores x < 2. g(x) = x 2 x 2 x2 + 1 = = 5. Analogamente, para calcular o valor do ite lateral à direita de x = 2, usamos a fórmula de g(x) para os valores maiores que 2. Assim, Como x 2 x 2 e x 2 g(x) = 5. x 2 g(x) = 9 x 2 + x 2 x2 = = 5. g(x) = g(x) = 5, pelo Teorema 1.5 existe o ite de g(x) quando + A Figura 1.6 mostra a função g(x) e os ites laterais quando x tende a 1 pela esquerda e pela direita. Figura 1.6: Limites laterais de g(x) quando x 2 e x 2 +. [Video] Observação: Neste caso o valor da função no ponto x = 2 é distinto do valor do ite quando x 2. F. Rivero e T. Salvador 19 Matemática para Economia I

20 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES Exemplo 1.7 Seja h(x) = ites: { x + 1 se x 3. Determine, caso existam, os seguintes 3x 7 se x > 3 1. x 0 h(x) Solução: 2. x 3 h(x) 3. x 5 h(x) 1. Como a função h(x) tem a mesma fórmula à esquerda e à direita do valor x = 0, o cálculo do ite é feito aplicando o Teorema 1.2. Assim, Logo, x 0 h(x) = 1. x 0 h(x) = (x + 1) = = 1. x 0 2. Como a função h(x) tem distintas fórmulas à esquerda e direita do valor x = 3, vamos calcular os ites laterais. Vamos calcular o ite à esquerda. Para isso usamos a fórmula para os valores x 3. h(x) = x + 1 = = 4. x 3 x 3 Agora vamos calcular o ite à direita usando a fórmula para os valores x > 3. h(x) = 3x 7 = = 2. x 3 + x 3 Como x 3 x 3 +, não existe o ite de h(x) quando x Como a função h(x) tem a mesma fórmula à esquerda e à direita do valor x = 5, o cálculo do ite é feito aplicando o Teorema 1.2. Assim, Logo, x 5 h(x) = 8. x 5 h(x) = (3x 7) = = 8. x 5 A Figura 1.7 mostra a função h(x) e os ites anteriores. F. Rivero e T. Salvador 20 Matemática para Economia I

21 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES Figura 1.7: Limites dos apartados i), ii) e iii) de h(x). [Video] Vamos ver um problema mais aplicado à economia. Exemplo 1.8 Os organizadores de um evento esportivo estima que se o evento é anunciado com x semanas de antecedência, a receita obtida será R(x) cen milhares de dólares, onde R(x) = 15x x O custo de divulgação do evento para x semanas é C(x) cen milhares de dólares, onde C(x) = x 5. O lucro para os organizadores é definido como a diferença entre a receita e o custo. Por tanto, a função lucro L(x) é definida por L(x) = R(x) C(x) = (15x x 2 50) (x 5) = 14x 45 x 2. A Figura 1.8 mostra o gráfico da função lucro, onde somente precisamos mostrar os valores de L(x) para valores positivos de x porque não tem sentido considerar dias negativos. F. Rivero e T. Salvador 21 Matemática para Economia I

22 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES Figura 1.8: Gráfico da função lucro L(x) Podemos olhar como para o valor x = 7 a função lucro atinge seu valor máximo, com um valor de L(7) = 4. Logo o lucro máximo máximo é de $ e é atingido com uma divulgação de 7 semanas. A relação entre receita e custo é definida por Q(x) = R(x) C(x) = 15x x2 50 e pode x 5 ser interpretada como o aumento da receita dependendo do custo. Se avaliamos a função Q(x) no valor máximo para o lucro, obtemos que Q(7) = = 6 2 = 3. Então temos que para x = 7, o valor da receita é o triplo do que o custo, isto é R(7) = 3C(7). Substituindo na definição da função lucro obtemos Logo, o lucro máximo é o duplo do custo. L(7) = R(7) C(7) = 3C(7) C(7) = 2C(7). Vamos estudar agora qué acontece quando queremos achar R(5). Como nesse valor ambos dois lucro e receita tem valor 0, precisamos calcular o ite da função R(x) quando x 5. Vamos fatorar a função. Assim, para todo valor x distinto de 5, obtemos 15x x 2 50 x 5 = (x 5)(x 10) x 5 = (x 5)(x 10) = 10 x. x 5 F. Rivero e T. Salvador 22 Matemática para Economia I

23 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE Portanto, x 5 R(x) = (10 x) = 10 5 = 5. x 5 Logo temos que a medida que nos aproximamos à quinta semana, a receita é cinco vezes maior do que o custo, ou seja, que R(5) = 5C(5) e L(5) = R(5) C(5) = 5C(5) C(5) = 4C(5). Mas como o valor do custo para x = 5 é de zero, então o lucro também tem valor Continuidade Na linguagem comum, um processo contínuo é aquele que ocorre sem interrupções ou mudanças repentinas, isto é, a pequenas variações nos objectos correspondem pequenas variações nas imagens. Intuitivamente, dizemos que uma função é contínua se podemos desenhar o seu gráfico sem interrupções, buracos ou pulos. Formalmente, a definição de continuidade é expressa utilizando a noção de ite da seguinte maneira. Definição 1.4 Seja c um valor de R. Uma função real f é contínua em c se, i) f(c) é definida, ii) x c f(x) existe, iii) x c f(x) = f(c). Dizemos que uma função f é contínua num conjunto se ela é contínua em todos os valores do conjunto. Se uma função f não é contínua em um número c, dizemos que f é descontínua em c. Observação: Uma função f sempre é contínua no seu domínio D(f). Na Figura 1.1 (pág 6), na Figura 1.2 (b) e (c) (pág. 7) e na Figura 1.3 (pág. 8) temos exemplos de funções descontínuas. F. Rivero e T. Salvador 23 Matemática para Economia I

24 1.3. CONTINUIDADE CAPÍTULO 1. LIMITES Exemplo 1.9 Verifique se as funções abaixo são contínuas em x = 2 1. f(x) = x 3 2x + 1 Solução: Temos que a função está definida para o valor x = 2 e que f( 2) = 3. Se calculamos o ite de f quando x 2 obtemos f(x) = x 2 x 2 (x3 2x + 1) = ( 2) 3 2 ( 2) + 1 = 3, onde aplicamos o Teorema 1.3. Como f(x) = f( 2), então f(x) é contínua no valor x = 2. x 2 Na Figura 1.9 (a) podemos olhar o gráfico da função f(x). 2. g(x) = x2 + 1 x + 1 Solução: Temos que a função está definida para o valor x = 2 e que g( 2) = 5. Se calculamos o ite de g quando x 2 obtemos x g(x) = x 2 x 2 x + 1 = ( 2) = 5, onde aplicamos o Teorema 1.3. Como g(x) = g( 2), então g(x) é contínua no valor x = 2. x 2 Na Figura 1.9 (b) podemos olhar o gráfico da função g(x). x + 7 se x < 2 iii) h(x) = 5 se x = 2 3 x se x > 2 Solução: Temos que a função está definida para o valor x = 2 e que h( 2) = 5. Para calcular o ite de h quando x 2 precisamos calcular os ites laterais porque a função tem distintas fórmulas a esquerda e direita de x = 2. Assim, o ite à esquerda de h é e o ite à direita de h é h(x) = (x + 7) = = 5, x 2 x 2 h(x) = (3 x) = 3 ( 2) = 5, x 2 + x 2 onde aplicamos o Teorema 1.3 para ambos dois casos. Como h(x) = h( 2), então h(x) é contínua no valor x = 2. x 2 Na Figura 1.9 (c) podemos olhar o gráfico da função h(x). F. Rivero e T. Salvador 24 Matemática para Economia I

25 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE (a) Continuidade de f no valor x = 2 (b) Continuidade de g no valor x = 2 (c) Continuidade de h no valor x = 2 Figura 1.9: Gráficos das funções do Exemplo 1.9 [Video] Vimos na Seção 1.2 que, se p(x) e q(x) são funções polinomiais, então p(x) = p(c) x c e r(x) = r(c) se q(c) 0. De acordo com esses resultados e pela definição de continuidade, x c temos Teorema 1.6 Uma função polinomial é contínua em todos os números reais. Teorema 1.7 Uma função racional é contínua em todos os números nos quais é definida. Exemplo A função f(x) = 3x 2 x + 5 é contínua em D(f) = R. 2. A função g(x) = x + 1 é contínua em D(g) = R {2}, porque o denominador da x 2 função tem valor zero para x = 2. F. Rivero e T. Salvador 25 Matemática para Economia I

26 1.3. CONTINUIDADE 3. A função h(x) = x 2 x anula. CAPÍTULO 1. LIMITES é contínua em D(h) = R porque o denominador nunca se Exemplo 1.11 Verificar a continuidade das seguintes funções nos valores dados. 1. f(x) = { x 2 4 se x 2 x 2, em x = 2. 1 se x = 2 Solução: Temos que o valor de f(2) = 1 e, portanto, está definida para x = 2. Agora vamos calcular o ite da função quando x tende ao valor 2. Como o numerador e o denominador tem valor zero quando x = 2, vamos fatorar a função para valores distintos de 2. Assim, para todo valor 2, x 2 4 x 2 = (x 2)(x + 2) x 2 = (x 2)(x + 2) x 2 = x + 2. Portanto, x 2 f(x) = (x + 2) = = 4. x 2 Como f(2) f(x), a função é descontínua em x = 2. x 2 x 2 1 se x < 4 2. g(x) = 15 se x = 4, em x = 4. 3x + x se x > 4 Solução: Como o valor de g(4) = 15, a função está definida nesse valor. Agora vamos calcular o ite da função quando x 4. Como a função tem distintas fórmulas a esquerda e direita, vamos calcular os ites laterais. Assim, e g(x) = x 4 x 4 (x2 1) = = 15, x 4 g(x) = (3x + 3) = = x 4 g(x) = g(x) = 15, então g(x) = 15. Alias, como g(4) = + Portanto, como x 4 x 4 g(x), a função é contínua em x = 4. x 4 3. h(x) = { x + 4 se x 0, em x = 0. x 2 se x < 0 F. Rivero e T. Salvador 26 Matemática para Economia I x 4

27 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE Solução: Tem-se que a função h está definida para o valor x = 0 e que h(0) = 2. Vamos calcular o ite da função quando x 0 calculando os ites laterais. Pelas propriedades dos ites do Teorema 1.2, obtemos h(x) = x 0 x + 4 = x 0(x + 4) = 4 = 2. x 0 Vamos calcular agora o ite à direita de zero. x 0 h(x) = (x 2) = 0 2 = 2. + x 0 Como os ites laterais tem valores distintos, então x 0 h(x) não existe e, portanto, a função não é contínua em x = 0. Na Figura 1.10 podemos observar os gráficos das funções f, g e h do Exemplo { x 3 1 se x 1 Exemplo 1.12 Seja f(x) = x 1. Determine o valor de α para que f seja α se x = 1 contínua em todos os números reais. Solução: Pela Definição 1.4, precisamos que f(1) = x 1 f(x). Então vamos calcular o ite e dar esse valor para α. Como o numerador e o denominador tem valor zero quando x vai para 1, vamos fazer uma fatoração. Assim, para todo valor x 1, obtemos x 3 1 x 1 = (x 1)(x2 + 2x + 1) x 1 = (x 1)(x 2 + 2x + 1) = x 2 + 2x + 1. x 1 Logo, f(x) = x 1 x 1 (x2 + 2x + 1) = = 4. Por tanto, se α = 4, então f(1) = x 1 f(x) e a função será contínua para x = 1. Usualmente o custo de produzir uma determinada mercadoria depende do número de unidades produzidas. Esa relação é dada pela função de custo, que denotamos por C(x), onde x representa el número de unidades produzidas. Exemplo 1.13 O custo de impressão de x centenas de livros educativos, em milhares de reais, para uma editora é dado pela função de custo { x se x 16 C(x) = x+ se x > 16 x F. Rivero e T. Salvador 27 Matemática para Economia I

28 1.3. CONTINUIDADE CAPÍTULO 1. LIMITES (a) Descontinuidade de f no valor x = 2 (b) Continuidade de g no valor x = 4 (c) Descontinuidade de h no valor x = 0 Figura 1.10: Gráficos das funções do Exemplo 1.11 [Video] Vamos comprobar que a função custo é contínua. Como a função está definida por duas fórmulas, teremos que estudar a continuidade de cada uma delas e o ponto de união de ambas duas. Para os valores x < 16, a função x é contínua porque é uma função polinomial. Portanto, a função C(x) é contínua para tudo x < 16. O domínio da função x + é o conjunto dos números reais estritamente x positivos, isto é D = {x > 0 : x está no R}. Como a função custo está definida desta maneira para todo valor x > 16, então C(x) é contínua para todo x > 16. Vamos estudar agora a continuidade no valor x = 16. Temos que C(16) = = 257. Agora precisamos calcular o ite de C(x) quando x 16 usando os ites F. Rivero e T. Salvador 28 Matemática para Economia I

29 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO laterais. Assim o ite à esquerda é e o ite à direita é C(x) = x 16 x 16 (x2 + 1) = = 257, C(x) = x 16 + x 16 ( ) x + = x = 257. Portanto C(x) x = C(16) e a função C(x) é contínua para todo x em R. Na Figura 1.11 temos o gráfico da função C(x). Figura 1.11: Gráfico da função custo C(x) do e Exemplo Limites envolvendo infinito Limites infinitos Na Seção 1.1 calculamos o ite L dos valores f(x) de uma função quando x tende para um número real c, isto é, f(x) = L onde L é um número real. Pode ocorrer que, à x c F. Rivero e T. Salvador 29 Matemática para Economia I

30 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES medida que x se aproxime de um número c, os valores de f(x) tornem-se muito grandes (em valor absoluto). Esse fato pode ser ilustrado pelos seguintes exemplos. 1 Exemplo 1.14 Seja f(x) =. Essa função não é definida para x = 1, mas podemos analisar o comportamento dos valores de f(x) quando x está à esquerda ou à direita (x 1) 2 desse número. Para x próximo de 1, o denominador é muito pequeno, o que significa que o quociente é muito grande. A tabela abaixo mostra o aumento de f(x) à medida que x 1. x 0,9 0,99 0, ,001 1,01 1,1 f(x) Observamos que quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, os valores de f(x) aumentam. Se admitirmos que esses valores possam crescer iitadamente, diremos que: O ite de f(x) = indicaremos por O ite de f(x) = 1 quando x tende a 1 pela direita é mais infinito e indi- (x 1) 2 caremos por 1 quando x tende a 1 pela esquerda é mais infinito e (x 1) 2 f(x) = +. x 1 f(x) = +. x 1 + Como a função tem o mesmo comportamento à direita e à esquerda de 1 concluímos que x 1 f(x) = +. A Figura 1.12 (a) mostra um esboço do gráfico da função f. Podemos indicar de forma análoga, o comportamento de uma função cujos valores decrescem iitadamente. x Exemplo 1.15 Vamos considerar a função g(x) =. A tabela a seguir mostra os (x + 3) 2 valores de g(x) para alguns valores de x na vizinhança de 3. x - 3,1-3,01-3, ,999-2,99-2,9 g(x) F. Rivero e T. Salvador 30 Matemática para Economia I

31 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO Vemos que os valores de g(x) são negativos e muito grandes em valor absoluto para valores de x próximos de 3, isto é, os valores de g(x) decrescem iitadamente à medida que x se aproxima de 3 pela esquerda ou pela direita. Escrevemos, nesse caso, que x 3 laterais são iguais podemos afirmar que x 3 O gráfico de g aparece na Figura 1.12 (b). Uma definição formal deste ite infinito é: g(x) = e g(x) =. Como os ites x 3 + g(x) =. Definição 1.5 Dizemos que a função real f com valores reais tem ite + ( ) quando x tende ao valor c se para tudo valor δ > 0 existe um valor M > 0 (M < 0) tal que f(x) > M (f(x) < M) para tudo valor x verificando x c < δ. Exemplo 1.16 Seja agora a função h(x) = 2. Olhando a Figura 1.12 (c), vemos x 1 que à medida que x se aproxima de 1 pela esquerda, os valores de h(x) decrescem iitadamente, isto é, h(x) =. x 1 Vemos, também, que quando x se aproxima de 1 pela direita, os valores de h(x) crescem iitadamente, ou seja, h(x) = +. x 1 + Como a função tem comportamento distinto à esquerda e à direita de 1, concluímos que não existe ite de h(x) quando x 1. O seguinte teorema estabelece o cálculo de ites infinitos, Teorema 1.8 Se f(x) = L, L 0 e g(x) = 0 então, x c + x c + f(x) x c + g(x) = ±, com o sinal dependendo dos sinais de L e de g(x) à direita de c. Observação: O Teorema 1.8 anterior pode ser enunciado para o ite à esquerda de c com as mesmas conclusões. A existência do ite em c depende da igualdade dos ites laterais. F. Rivero e T. Salvador 31 Matemática para Economia I

32 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES (a) Limite infinito de f no valor x = 1 (b) Limite infinito de g no valor x = 3 (c) Distintos ite para h no valor x = 1 Figura 1.12: Gráficas das funções do Exemplo 1.14, Exemplo 1.15 e Exemplo 1.16 [Video] Exemplo 1.17 Calcular os seguintes ites, 1. x x x 5. Solução: Chamando de f(x) = 9 x e g(x) = x 5, então temos que f(x) = 4 x 5 + e g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o ite vai ser + ou. x 5 + Vamos determinar o sinal do ite. Para isso precisamos fazer um estudo do sinal do numerador f(x) e do denominador g(x) para os valores à direita de x = 5. Assim, para qualquer valor x < 9, f(x) é sempre positivo. Para todo valor x > 5, o valor de g(x) é positivo. Como estamos calculando o ite à direita para x = 5, então g(x) é sempre positivo. Portanto, como ambos f(x) e g(x) são positivos à F. Rivero e T. Salvador 32 Matemática para Economia I

33 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO direita de 5, concluimos que 3x 2. x 2 x 2. 9 x x 5 + x 5 = +. Solução: Chamando de f(x) = 3x e g(x) = x 2, então temos que f(x) = 6 x 2 e g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o ite vai ser + ou. x 2 Vamos determinar o sinal do ite. Precisamos estudar os valores à esquerda de x = 2. Assim, para qualquer valor positivo de x, temos que f(x) < 0. Para todo valor x < 2, o valor de g(x) é negativo. Como estamos calculando o ite para valores à esquerda de 2, então g(x) < 0. Portanto, como ambos f(x) e g(x) são negativos, concluimos que 3. x 0 x x 2 + x. x 2 3x x 2 = +. Solução: Chamando de f(x) = x 2 +1 e g(x) = x 2 +x, então temos que f(x) = 1 x 0 e g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o ite vai ser + ou. x 0 Vamos determinar o sinal do ite. Precisamos estudar os valores à esquerda de x = 0. Temos que o valor de f(x)0 é sempre positivo para qualquer x em R. Fatorando g(x) temos que g(x) = x(x + 1) e, como é um produto de dois elementos, será positivo se ambos têm o mesmo sinal e negativo se têm sinal oposto. Como estamos estudando o sinal a esquerda de 0, então x < 0. Por outro lado, (x + 1) é positivo quando x > 1. Então temos que g(x) < 0 quanto x fica perto de 0 pela esquerda. Assim, x x 0 x 2 + x =. 4. x x x + 2. Solução: Chamando de f(x) = 1 x e g(x) = x+2, então temos que e g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o ite vai ser + ou. x 2 + f(x) = 3 x 2 + F. Rivero e T. Salvador 33 Matemática para Economia I

34 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES Para determinar o sinal do ite precisamos estudar os valores à direita de x = 2. Para tudo valor x < 1, temos que f(x) > 0 e para x > 2, o valor de g(x) é positivo. Como estamos calculando o ite para valores à direita e próximos de 2, então ambas funções f(x) e g(x) são positivas. Logo, concluimos que 5 5. x 0 x 3 x. 2 1 x x 2 + x + 2 = +. Solução: Chamando de f(x) = 5 e g(x) = x 3 x 2, então temos que f(x) = 5 x 0 e g(x) = 0. Fatorando g(x) obtemos que g(x) = x 2 (x 1) e a função é negativa x 0 para todo valor x < 1 (x 2 é sempre positivo). Como f(x) no zero é positiva e g(x) 5 é negativa para todo valor numa vizinhança de zero, então < 0 para todo x 3 x 2 valor x perto de zero à esquerda e direita. Pelo Teorema 1.8, obtemos que ambos dois ites laterais são e, portanto, x 2 6. x 1 x + 1. x 0 5 x 3 x 2 =. Solução: Chamando de f(x) = x 2 e g(x) = x + 1, então x 1 g(x) = 0. Vamos estudar o sinal de g(x) numa vizinhança de 1. f(x) = 3 e x 1 Temos que se x < 1, então g(x) é negativo e se x > 1, então g(x) é positivos. Logo, aplicando o Teorema 1.8, x 2 x 1 x + 1 = +, x 2 x 1 + x + 1 =. Como os ites laterais são distintos, então concluimos que não existe o ite. Os distintos gráficos para a função f(x) g(x) ficam na Figura F. Rivero e T. Salvador 34 Matemática para Economia I

35 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO (a) Gráfico da função 9 x x 5 (b) Gráfico da função 3x x 2 (c) Gráfico da função x2 + 1 x 2 + x (d) Gráfico da função 1 x x + 2 (e) Gráfico da função 5 x 3 x 2 (f) Gráfico da função x 2 x + 1 Figura 1.13: Gráficas das funções do Exemplo 1.17 F. Rivero e T. Salvador 35 Matemática para Economia I

36 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES Limites no infinito Estamos interessados, agora, em conhecer o comportamento dos valores f(x) de uma função quando x cresce ou decresce iitadamente. Vamos calcular alguns valores de f(x) = 1 x quando x cresce iitadamente. x f(x) 0,1 0,01 0,001 0,0001 0, , Observamos que, à medida que x cresce iitadamente, os valores de f(x) se aproximam de zero, isto é, x 0 f(x) = 0. De modo geral, temos: Teorema 1.9 Se n é um número inteiro positivo e c é um número real então x ± c x n = 0. O teorema anterior mostra como se temos um termo que vai para infinito no numerador e un termo constante no numerador, então o ite vai para zero. Observação: O Teorema 1.9 pode ser usado para outras funções no denominador que aumentam indefinidamente quando x ±. O Exemplo 1.18 mostra alguns exemplos. Para o cálculo de ites no infinito, de funções polinomiais e de funções racionais, temos os seguintes teoremas. Teorema 1.10 Seja n un número inteiro positivo, a 0,..., a n números reias e p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n uma função polinomial. Então, p(x) = a nx n. x ± Note que o teorema nos diz que o ite no infinito de um polinômio depende somente do valor do termo de grau maior. Lembre-se que o grau do polinômio é apenas o expoente do termo dominante. Quando os valores de x aumentan muito, o valor de um polinômio se aproxima ao valor do seu termo dominante porque o valor dos outros termos é muito menor em comparação. Observação: Da mesma maneira que acontece com o Teorema 1.9, o Teorema 1.10 pode ser usado para funções não polinômicas com termos dominantes que aumentam ou diminuem iitadamente quando a variável vai para ±. Alguns exemplos aparecem no Exemplo F. Rivero e T. Salvador 36 Matemática para Economia I

37 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO Teorema 1.11 Sejam n e m números inteiros positivos, a 0,..., a n e b 0, b 1,..., b m números reias e p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n e q(x) = funções polinomiais. Então, p(x) x ± q(x) = x ± a n x n b m x m = a n x n m. x ± b m O teorema diz que o ite no infinito de um quociente de dois polinômios é determinada pelos graus dos polinômios. Assim, se o numerador e denominador são do mesmo grau, então para valores (absolutamente) grandes de x o ite é a razão entre os coeficientes das condições dominantes. Se o denominador é de grau mais elevado do que o numerador, o ite é 0. Finalmente, se o grau do numerador excede o grau do denominador, o ite é infinito. O sinal depende do sinal dos coeficientes dos termos dominantes. Exemplo 1.18 Vamos calcular os seguintes ites no infinito aplicando os teoremas anteriores 5 1. x + x 4 Solução: Chamando de c = 5, pelo Teorema 1.9 tem-se que o ite é zero x 3x 5 x + 5 x 4 = 0. Solução: Chamando de c = 2, pelo Teorema 1.9 tem-se que o ite é zero x + 2 x x 2 3x 5 = 0. Solução: Apesar de que x não é um polinômio, temos que cresce iitadamente quando x +. Portanto, temos um quociente onde o numerador é fixo e o denominador vai para infinito. Logo, x x = 0 F. Rivero e T. Salvador 37 Matemática para Economia I

38 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES 4. x (1 x2 + x 3 + 3x 4 2x 7 ) Solução: Aplicando o Teorema 1.10, Como x 7 (1 x x2 + x 3 + 3x 4 2x 7 ) = x 2x7 x, então 2x 7 x +. Assim, 5. x (2x5 + x 2 4) Solução: Pelo Teorema 1.10, (1 x x2 + x 3 + 3x 4 2x 7 ) = + Como x 4 x (2x4 + x 2 4) = x 2x4 x + porque x 4 sempre é positivo, então 6. x + (x3 3x 2 + x 7) Solução: Usando o Teorema 1.10, x (2x4 + x 2 4) = + Como x 3 x + +, então x + (x3 3x 2 + x 7) = x + x3 7. x + ( x 5x 2 + 8) x + (x3 3x 2 + x 7) = + Solução: Apesar de não ter um polinômio porque a função f(x) = x 5x 2 +8 tem um termo com um exponente fracionário 2, temos que para valores muito grandes de x, o valor de f(x) é quase como o valor de x 2. 2 Lembrar que x = x 1 2 F. Rivero e T. Salvador 38 Matemática para Economia I

39 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO Assim, ( x 5x 2 + 8) = x + x + 5x2 = porque x 2 é sempre positivo para todo valor de x real e, portanto, x 2 é sempre negativo. 8. x (x3 cos(x) + 15) Solução: Podemos observar que a função f(x) = x 3 3 cos(x) + 15 não é um polinômio porque aparece o termo 3 cos(x) (a função cos(x) é uma função trigonométrica itada ja que seus valores sempre ficam entre 1 e 1), mas para valores grandes da variável x o valor de f(x) é quase o mesmo que o valor de x 3. Então, temos que x (x3 cos(x) + 15) = x x3 = porque x 3 é negativo para valores negativos de x. 2x 5 9. x + 7x + 8 Solução: Vamos usar o Teorema Chamando de p(x) = 2x 5 e q(x) = 7x+8, onde os termos de grau maior são 2x e 7x respetivamente. Logo, 2x 3 3x x 4x 5 2 p(x) x + q(x) = 2x x + 7x = 2 x x + 7 x = 2 x + 7 = 2 7 Solução: Chamando de p(x) = 2x 3 3x + 5 e de q(x) = 4x 5 2, pelo Teorema 1.11, temos 2x 3 3x + 5 x 4x 5 2 2x 3 = x 4x = 5 x 2 Usando agora o Teorema 1.10, = 0. Logo, x 4x2 2x 3 3x + 5 x 4x x 3 2 4x5 2 = x 4x = 0 2 = x 2 4x 2 F. Rivero e T. Salvador 39 Matemática para Economia I

40 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES x 4 3x x x x 2 Solução: Sejam p(x) = x 4 3x + 5 e q(x) = 2 + 4x x 2. Usando o Teorema 1.11, x 4 3x + 5 x x x = 2 x + Assim, pelo Teorema 1.10, 3 2x + x 2 4x x x 3 + 5x x 4 x 2 = x x ( 1) x = 2 x 4 3x + 5 x x x = 2 x + ( x2 ) =. Solução: Usando o Teorema 1.11, temos 3 2x + x 2 4x 3 x x 3 + 5x x 3 + 3x x 8 5x x 2 x + ( x2 ). 4x 3 4 x 3 = = = ( 4) = 4. x x 3 x x 3 x Solução: Chamando de p(x) = x 3 + 3x 2 5 e de q(x) = 8 5x x 2, pelo Teorema 1.11, temos x 3 + 3x 2 5 x 8 5x x = 2 x x 3 x 2 = x 1 3 x ( 1) x = 2 ( x) = +. x Os economistas definem uma função que calcula a média do custo geral entre todos os itens produzidos relacionadas chamada custo médio Se chamamos de C(x) à função custo, então denotamos por C à função custo médio e é definida por C(x) = C(x) x. Assim, o custo médio é o custo total dividido pelo número de peças produzidas. Exemplo 1.19 Vamos voltar para o Exemplo 1.13 e calculemos os ites no infinito para as funções custo C(x) e custo médio C(x). Lembre-se que a função de custo é { x se x 16 C(x) = x+ se x > 16 x F. Rivero e T. Salvador 40 Matemática para Economia I

41 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO Para calcular o ite de C(x) quando x +, só precisamos estudar o valor da função para x muito grandes, isto é, precisamos calcular o seguinte ite ( ) x + x +. x Neste caso, não podemos usar o Teorema 1.11 porque não temos um quociente de polinômios, mas podemos deduzir o ite usando argumentos similares. Primeiro vamos 100 dar uma olhada para o ite de x +. É claro que o numerador é constante e que o x denominador cresce indefinidamente quando x +. Logo, x x + x = 0. Usando as propiedades dos ites do Teorema 1.2 da Seção 1.2, temos ( C(x) = ) x + x + x = x x + x + x + = x Assim, quando aumenta muito o número de livros impressos, o custo da impressão é de aproximadamente R$ Que acontece como o custo médio? Na Figura 1.14 podemos ver o gráfico da função C(x) Para calcular o ite do custo médio por livro impresso quando a editora quer um número grande de exemplares, precisamos calcular ( ) C(x) = C(x) 252 = x + x + x x + x x(x +. x) Acontece o mesmo problema com o cálculo do ite já que não temos uma relação de dois polinômios, mas podemos fazer um razonamento análogo. Tem-se que a função 100 x(x + é um quociente onde o numerador é constante e o denominador cresce iitadamente quando x aumenta. x) Logo, x 100 x(x + x) = 0. Usando agora o Teorema 1.9 e o Teorema 1.2, obtemos ( ) 252 C(x) = x + x + x x(x = x) x + x x + x(x + x) = = 0. Então temos que o custo médio por livro vai para zero quando aumentamos o número de livros impressos. F. Rivero e T. Salvador 41 Matemática para Economia I

42 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES O número e Figura 1.14: Gráfico da função custo médio C(x). O número irracional e, também conhecido como número de Euler 3 ou número de Neper 4, é un número com um valor aproximado de É um número importante em cálculo que aparece como( base dos logaritmos naperianos ou naturais. É definido como o ite da função f(x) = 1 + x) 1 x quando x. 3 Leonhard Paul Euler ( ) foi um grande matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Fez importantes descobertas em campos variados em cálculo, mecânica, óptica, astronomia e grafos. É considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII. 4 John Napier ( ) foi um matemático, físico, astrônomo, astrólogo e teólogo escocês. Na decodificação dos logaritmos naturais, Napier usou uma constante que, embora não a tenha descrito, foi a primeira referência ao notável e, descrito quase 100 anos depois por Leonhard Euler. F. Rivero e T. Salvador 42 Matemática para Economia I

43 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO Observando a função f poderíamos pensar que o ite teria valor de 1 porque x 1 vai para 0 quando x vai para infinito, mas a tabela a seguir mostra que o ite não é esse. x f(x) Logo, ( x = e. x x) Apesar de não parecer um número que aparece de forma natural, vamos ver um exemplo económico de composição contínua de interesse onde tem um papel importante. Suponha que uma quantidade de dinheiro é investido e os juros são compostos apenas uma vez. Se P 0 é o investimento inicial e r é a taxa de juros (expresso como um decimal), o saldo P 1 após adicionar os juros será de P 1 = P 0 + P 0 r = P 0 (1 + r), isto é, multiplicamos o investimento inicial por 1 + r. Usualmente, os bancos computam os juros mais de uma vez por ano. Se o cálculo é feito em k vezes por ano, então os juros são divididos entre as k parcelas, obtendo que o balanço no primeiro periodo é de P 1 = P 0 + P 0 r k = P 0 ( 1 + r ). k Suponhamos agora que calculamos de novo os intereses para nosso novo valor P 1. Agora, com uma taxa de juros de r e chamando de P 2 ao saldo final após adicionar os juros, temos que r ( P 2 = P 1 + P 1 k = P r ) ( = P r ) 2. k k No final do primeiro ano, o balanço final depois de k periodos é de P 0 = P 0 ( 1 + r k ) k. Repetindo un número t de anos, temos que o valor do investimento P dependendo to tempo é ( P (t) = P r ) kt, k pois temos calculado os juros tk vezes em total. Podemos observar como o valor do investimento aumenta a medida que aumenta o número de parcelas. A questão natural agora seria estudar que acontece quando o calculo F. Rivero e T. Salvador 43 Matemática para Economia I

44 1.5. ASSÍNTOTAS CAPÍTULO 1. LIMITES é instantâneo, isto é, cuando o número de parcelas é arbitrariamente grande. Portanto, ( queremos calcular o ite de P r ) kt quando k. k Vamos escrever a fórmula anterior numa forma mais reconhecível antes de calcular o ite. Se chamamos de 1 x = r, então k = rx. Logo, k ( P (t) = P r ) ( kt = P ) xrt [( = P ) x ] rt k x x ( Como x aumenta quando k aumenta, temos que 1 + x) 1 x tende para o número e quando x, e portanto k, aumenta indefinidamente. Assim, se os juros são calculados instantaneamente, [( P (t) = P ) x ] rt [ ( = P x ] rt = P 0 e x x x x) rt, chegando a uma função exponencial de base e. 1.5 Assíntotas horizontais e assíntotas verticais Os ites que envolvem valores infinitos de x ou f(x) podem ser usados para descrever retas conhecidas como assíntotas, que estão frequentemente associadas a gráficos de funções racionais. Em particular, dizemos que uma função f possui uma assíntota vertical em x = a se f(x) aumenta ou diminui iitadamente quando x tende para a pela direita ou pela esquerda. Exemplo 1.20 Considerando a função f(x) = 2x, cujo gráfico está esboçado na Figura 1.15, verificamos, por exemplo, que f(x) = +. Então a reta x = 1 é uma x 1 x 1 + assíntota vertical do gráfico da função f. Quando f(x) tende para um valor finito b quando x aumenta ou diminui iitadamente, dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f. No Exemplo 1.21 anterior, do gráfico de f. = 2. Então a reta y = 2 é uma assíntota horizontal x ± F. Rivero e T. Salvador 44 Matemática para Economia I

45 CAPÍTULO 1. LIMITES 1.5. ASSÍNTOTAS Figura 1.15: Gráfico da função f(x) e suas assíntotas. De modo geral, temos as seguintes definições: Definição 1.6 Seja f uma função real com valores no R. A reta x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico de uma função f se algum dos ites f(x) = ± x a ± se verifica. Quando o valor de x se aproxima de a, o valor da função tende para o infinito. Como o valor da função aumenta ou diminui, o gráfico tende para o infinito na direção do eixo y do referencial, mas nunca alcança o valor a pois x aproxima-se de a mas nunca o alcança. Definição 1.7 Seja f uma função real com valores no R. A reta y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se algum dos ites f(x) = b x ± se verifica. Observação: Para localizar as possíveis assíntotas verticais do gráfico de uma função racional f tal que f(x) = p(x), onde p e q são polinômios, devemos procurar valores tais q(x) que q(a) = 0 e p(a) 0. Para achar as assíntotas horizontais devemos calcular os ites de f quando x ±. Se algum desses ites existe (é finito), então o valor do ite determina a assíntota horizontal. F. Rivero e T. Salvador 45 Matemática para Economia I