Matemática. Atividades Adicionais

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1 Atividades Adicionais Matemática Módulo 4 1. (UFGO) A tabela a seguir foi extraída da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílio/001, do IBGE. Ela mostra as classes de rendimento mensal no Estado de Goiás e o número de pessoas de 10 anos de idade ou mais, em cada classe. Classes de rendimento mensal Pessoas de 10 anos de idade ou mais Total Homens Mulheres Até 1 salário mínimo III. Mais de 60% das pessoas sem rendimento são mulheres. IV. Mais da metade das pessoas não possuem rendimento ou ganham até 1 salário mínimo.. (ENEM) Segundo um especialista em petróleo (O Estado de S. Paulo, ), o consumo total de energia mundial foi estimado em 8,3 bilhões de toneladas equivalentes de petróleo (TEP) para 001. A porcentagem das diversas fontes da energia consumida no globo é representada no gráfico. 50 Mais de 1 a 1 salário mínimo Mais de 1 a salários mínimos Mais de a 3 salários mínimos % da energia mundial petróleo carvão gás nuclear hidrelétrica outros fontes de energia Mais de 3 a 5 salários mínimos Mais de 5 a 10 salários mínimos Mais de 10 a 0 salários mínimos Mais de 0 salários mínimos Segundo as informações apresentadas, para substituir a energia nuclear é necessário, por exemplo, aumentar a energia proveniente do gás natural em cerca de a) 10%. b) 18%. c) 5%. d) 33%. e) 50%. Sem rendimento Total Verifique se cada sentença a seguir é verdadeira ou falsa. I. O número de pessoas que ganham mais de 5 salários mínimos é inferior a 8% do total de pessoas. II. A razão entre o número de mulheres e de homens que ganham até 1 salário mínimo é maior que a razão entre o número de mulheres e de homens com rendimentos superiores a 1 salário mínimo. 3. (PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a esse candidato? a) 4 b) 168 c) 90 d) 4 e) 84 1

2 4. (UNICAMP) O gráfico a seguir, em forma de pizza, representa as notas obtidas em uma questão pelos candidatos presentes à primeira fase de uma prova de vestibular. Observando o gráfico, conclui-se que a moda e a mediana das notas obtidas pelos 5 alunos correspondem, respectivamente, a: a),0 e 3,0. b),0 e 4,0. c),0 e 5,0. d) 3,0 e 4,0. e) 3,0 e 5,0. 7. (UFU) O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 funcionários com a distribuição salarial em reais mostrada na tabela a seguir. N o de funcionários Salário (em R$) Ele mostra, por exemplo, que 3% desses candidatos tiveram nota nessa questão. Pergunta-se: a) Quantos candidatos tiveram nota 3? b) É possível afirmar que a nota média, nessa questão, foi menor ou igual a? Justifique sua resposta. 5. (UFPI) O histograma a seguir apresenta as alturas de 30 atletas de uma equipe de futebol n o de atletas 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90,00 altura (em metros) Com esses dados, podemos concluir que a média das alturas dos atletas é aproximadamente: a) 1,58 d) 1,81 b) 1,65 e) 1,9 c) 1,74 6. (UEPA) O professor Joelson aplicou uma prova de Matemática a 5 alunos, contendo 5 questões, valendo 1 ponto cada uma. Após fazer a correção, o professor construiu o gráfico a seguir, que relaciona o número de alunos, às notas obtidas por eles , , , ,00 Quantos funcionários que recebem R$ 3 600,00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição de salários seja de R$ 800,00? a) 8 b) 11 c) 9 d) 10 e) 7 8. (UFSE) Suponha que a Prefeitura de Aracaju deseje estudar o número de extintores de incêndio com defeito nos principais prédios de porte médio na Capital. Para isso, foi escolhida uma amostra de 85 prédios, encontrando-se os dados da tabela seguinte: Números de extintores com defeito por prédio Frequência Entre as sentenças a seguir aponte a falsa: a) O número médio de extintores com defeito por prédio é igual a 3,. b) Se a cidade tem 860 prédios desse tipo, então a estimativa do número total de extintores com defeito é 580. c) O desvio padrão em torno do número médio é menor que 1,8.

3 9. (FGV) (No gráfico a seguir está representado, no eixo das abscissas, o número de fitas de vídeo alugadas por semana numa videolocadora e, no eixo das ordenadas, a correspondente freqüência (isto é, a quantidade de pessoas que alugaram o correspondente número de fitas). frequência número de fitas a) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4 ou mais fitas? b) Se cada fita é alugada por R$ 4,00, qual a receita semanal da videolocadora? 10. (UFPE) O consumo anual de café em estabelecimentos comerciais no Brasil, de 1999 a 00, está ilustrado no gráfico a seguir. Consumo de café (em milhões de sacas) Dia N o de peças defeituosas Dia N o de peças defeituosas Verifique se cada sentença a seguir é verdadeira ou falsa. I. O consumo cresceu linearmente de 000 a 00. II. Entre 000 e 00 o crescimento percentual foi superior a 6%. III. O crescimento percentual em 001 foi igual ao crescimento percentual em 00 (crescimento relativo ao ano anterior). IV. Em 001 o crescimento percentual (em relação a 000) foi inferior a 4%. V. A média anual de consumo foi superior a 13 milhões de sacas. 11. (UnB) A tabela a seguir apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas para cada lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças durante um período de 30 dias úteis. Considerando S a série numérica de distribuição de freqüências de peças defeituosas por lote de 100 unidades, verifique se as sentenças a seguir são verdadeiras ou falsas. I. A moda da série S é 5. II. Durante o período de levantamento desses dados, o percentual de peças defeituosas ficou, em média, abaixo de 3,7%. III. Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento geram uma série numérica de distribuição de freqüências com a mesma mediana da série S. 1. (UFPE) Uma pesquisa sobre o consumo de bebida alcoólica de um grupo de 0 estudantes, em um período de 30 dias, produziu o seguinte resultado: Unidades de bebida alcoólica Número de estudantes que consumiram De 0 a 10 1 De 11 a 0 8 Acima de 0 0 3

4 Qual o valor máximo que a média do número de unidades alcoólicas consumidas pelos estudantes no período pode atingir? 13. A tabela de frequência a seguir representa as distâncias, em quilômetros, percorridas por um maratonista em cada um de um total de 50 dias de treinamento. Distância Frequência b) O bairro B tem média de 7, salários mínimos e desvio-padrão de 15,1 salários mínimos. Em qual dos bairros a população é mais homogênea quanto à renda? 16. (UnB) Dados do Departamento Nacional de Trânsito (Denatran) revelam que, por dia, os acidentes de trânsito no Brasil matam cerca de 100 pessoas e ferem outras 1 000, muitas vezes deixando sequelas irreversíveis. Os gastos decorrentes da violência no trânsito chegam a mais de R$ 10 bilhões por ano. Índice de mortos por 10 mil veículos/ano Distrito Federal, a) Calcular a média x e o desvio-padrão s das distâncias percorridas. b) Construa o histograma e calcule a mediana. c) Qual a percentagem de observações maiores que x + s? 14. Quer-se estudar o número de erros de impressão de um livro. Para isso escolheu-se uma amostra de 50 páginas, encontrando-se os números de erros por página dados na tabela seguinte: 4 Erros Frequência a) Qual o número médio de erros por página? b) E o número mediano? c) Qual é o desvio-padrão? d) Se o livro tem 500 páginas, qual o número total de erros esperado no livro? 15. Foi realizada uma pesquisa apurando a renda anual dos moradores do bairro A. Infelizmente, os resultados da pesquisa foram perdidos. Sabemos somente que, sendo x i a renda média do morador i, em salários mínimos, temos x i = e x i = a) Calcule a média e o desvio-padrão das rendas. Segundo o diretor do Denatran, entre os principais fatores que colaboram para o aumento de acidentes nas vias urbanas e rodoviárias estão dois velhos conhecidos: o uso de álcool e o excesso de velocidade. Verifique se cada sentença a seguir é verdadeira ou falsa: I. As informações contidas no gráfico são suficientes para que se possa concluir que o número de vítimas fatais de acidentes de trânsito no DF foi maior em 1999 que em 00. II. No DF, se a frota de veículos em 1996 fosse 10% menor que a frota de veículos em 000, então o número de mortos em acidentes de trânsito em 000 teria sido inferior a 60% do número de mortos em acidentes de trânsito em III. A média aritmética da sequência numérica formada pelos índices correspondentes aos anos de 1995, 1996, 1997, 1998 e 1999 é superior a 10,7. IV. Considere a seguinte situação: x representa o número de veículos no DF em 001 e y o número de mortos em acidentes de trânsito no DF nesse mesmo ano. Nessa situação, de acordo com os dados do gráfico, a seguinte sentença é verdadeira: x y 30 V. O desvio-padrão da sequência numérica formada pelos índices correspondentes aos anos de 1996, 1997 e 1998 é superior a,.

5 17. (FGV) Resolva a equação sen 3x cos 3x = sen x cos x: a) S = b) S = c) S = d) S = e) S = x = kπ k Z x = π 8 + kπ 4 k Z x = π 8 + kπ k Z x = π 3 + kπ k Z x = π + kπ k Z x = kπ k Z x = 3π 4 + kπ k Z 18. (PUC) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = cos π 6 cos x sen π sen x. 6 Determine: a) o período de f. b) as soluções da equação f(x) = 0, no intervalo [0; π]. 19. (UFC) Determine o valor de S, sabendo que S é soma, π em radianos, de todas as soluções da equação cos x + cos 5 x + cos (7x) = 3, contidas no intervalo [0; 14π]. 0. (CESGRANRIO) Se 0 x π, a equação sen 1 x = 0: a) tem uma infinidade de soluções. b) não tem solução. c) tem somente uma solução. d) tem exatamente quatro soluções. e) tem um número finito, maior do que quatro, de soluções. 1. (SANTA CASA) Se x [0; π], a soma dos valores de x que satisfazem a equação sen ( π + x ) + cos (π x) = 1 é: a) 0. b) 7π 3. c) π. d) 4π. e) impossível de ser determinada.. (MACK) A equação sen 3 x cos x sen x cos 3 x = 1 4, no intervalo [0; π], tem p soluções. Então p vale: a) 1. d) 4. b). e) 5. c) 3 3. (ITA) Quais os valores de x que satisfazem a equação a) π < x < π. cos x cos x =? b) x = kπ, k inteiro qualquer. c) x = (k + 1)π, k inteiro qualquer. d) x = (k + )π, k inteiro qualquer. e) x = (4k + )π, k inteiro qualquer. 4. (FAAP) Achar os possíveis valores de α real, com 0 < α < π, para os quais a equação x x cos α = 0 admite uma raiz dupla. 5. (FCC) No universo ] π; π[ o conjunto solução da inequação sen x tg x > 0 é: a) [ 0; π [ b) [0; π] c) ] π ; π ] d) [ π; π] e) ] π ; π [ 6. (MACK) Em 0 < x < π, o conjunto solução do sistema cos x 1 tg x < 0 a) b) c) d) é: x R π 3 x < π x R π < x, 3π 4 x R 3π 4, x, π e) n.d.a. 7. Assinale a alternativa falsa: a) arc cos 1 = π 3. b) arc cos ( 3 ) = 5π 6. c) tg ( arc cos 3 ) = 3 3. d) sen ( arc cos ( )) =. e) A inversa de f(x) = cos x é g(x) = sec x. 5

6 8. (MACK) O valor de tg ( arc sen 3 ) é: a) b) 3 c) 3 d) e) 3 9. (MACK) Lembrando que tg(α + b)= tg α + tg b 1 tg α tg b, temos arc tg 1 + arc tg 1 igual a: 3 a) π b) π 3 c) π 4 d) π 6 e) 5π (PUC) O valor de sen ( arc sen arc sen 3) a) b) c) d) e) (UFCE) Calcule: 6 cos ( arc sen 3 5 ) 3. (ESEG) Dada uma matriz [ a b c d ], o produto [1 1] A [ 1 1] representa: é igual a: a) o determinante de A. b) a soma dos elementos de A. c) a soma dos elementos da diagonal principal de A. d) a soma dos elementos da diagonal secundária de A. e) a soma dos elementos da primeira linha de A. 33. (UFRGS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usadas num restaurante: 1 C = 3 arroz carne salada A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos tipo P 1, P e P 3 desse restaurante: arroz carne salada 1 1 prato P 1 P = 1 1 prato P 0 prato P 3 A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P 1, P e P 3 está indicada na alternativa: 7 a) b) c) 11 4 d) 6 8 e) (UFMS) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = (a ij ) 4 4, em que a ij = i + j (FCC) Se A =, B = então a matriz A + B C é igual a: a) b) c) d) e) e C =, 1

7 36. (FUVEST) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3 3 A = tem posto a b + c 1 6 b + c 3a 1 c a + b 37. (ITA) Sejam A e B matrizes reais 3 3. Se tr(a) denota a soma dos elementos da diagonal principal de A, considere as afirmações: I. tr(a t ) = tr(a) II. Se A é inversível, então tr(a) 0. III. tr(a + λb) = tr(a) + λtr(b), para todo λ R. Temos que: a) Todas as afirmações são verdadeiras; b) Todas as afirmações são falsas; c) Apenas a afirmação I é verdadeira; d) Apenas a afirmação II é falsa; e) Apenas a afirmação III é falsa. 38. (UFSC) Consideremos as matrizes tais que: A = (a ij ) 4 3 e B = (b ij ) 3 4 a ij = i + j e b ij = i + j Considere a matriz C = (c ij ), tal que C = A B. Calcule o valor de c (FUVEST) Consideremos as matrizes 1) A = (a ij ), 4 7, definida por a ij = i j. ) B = (b ij ), 7 9, definida por b ij = i. 3) C = (c ij ), C = AB. O elementos c 63 : a) é 11. b) é 18 c) é 9. d) é 11. e) não existe. 40. (FEI) Se A é uma matriz quadrada de ordem e A t é sua transposta, determine A tal que A = A t (MACK) Considere o sistema mx + y = 1 x + y =, m R, x y = m e as afirmações: I. Existe um único m para que o sistema seja possível e determinado. II. Existe um único m para que o sistema seja impossível. III. Não existe m para que o sistema apresente mais de uma solução. Então: a) somente I é verdadeira. b) somente II é verdadeira. c) somente III é verdadeira. d) somente I e II são verdadeiras. e) somente II e III são verdadeiras. 4. Discutir e resolver o sistema (U = R 3 ): ax + y + z = b x + ay + z = b (a, b R) x + y + az = b 43. (ITA) Considere o sistema: (P) x + z + w = 0 x + ky + k w = 1 x + (k + 1)z + w = 1 x + z + kw = 1443 Podemos afirmar que (P) é possível e determinado quando: a) k 0 d) k 0 e k 1 b) k 1 e) n.d.a. c) k (UFSC) Determine o valor de a de modo que o sistema a seguir seja impossível. x + 3y + 4z = 1 x + y + az = x + y + z = (FUVEST) O valor real de α para que o sistema αx + y = 0 αy + z = 0 8x + αz = 0 admita solução diferente de (0; 0; 0) é: a) 8 d) b) e) 4 c) 1 7

8 46. (ITA) Examinando o sistema a seguir 5x + 4y z = 0 x + 8y + z = 0 x + y z = 0 podemos concluir que: a) o sistema é determinado. b) o sistema é indeterminado com duas incógnitas arbitrárias. c) o sistema é indeterminado com uma incógnita arbitrária. d) o sistema é impossível. e) n.d.a. 47. (FUVEST) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y, z, w: x + my = x + y = 1 y + (m 1)z + w = z w = a) Para que valores de m o sistema tem uma única solução? b) Para que valores de m o sistema não tem solução? c) Para m =, calcule o valor de x + y z w. 48. (FATEC) Um raio luminoso parte do ponto A(0; 3) e, ao incidir sobre o ponto B(x; 0), situado na superfície de um espelho plano, é refletido, passando pelo ponto C(0; x + 8), conforme a figura a seguir. 50. (MACK) As retas de equação da forma ax + y + 8 = 0 têm um ponto comum A e as retas de equação da forma bx 4y + 4 = 0 têm um ponto comum B. A equação da reta determinada pelos pontos A e B é: a) y = 0 b) x = 8 c) x = 4 d) x = 0 e) y = 51. (UNICAMP) Calcule a e b positivos na equação da reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto (3; 1) e forme com os eixos coordenados um triângulo de área igual a (MACK) A diagonal maior de um losango, cuja medida é o triplo da menor, está na reta x y = 0. Se um vértice do losango é o ponto M(1; 0), então sua área vale: a) b) 5 c) 3 d) 7 e) (UNICAMP) As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas na figura a seguir. Se α = θ, então x é igual a: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) (FUVEST) Os pontos M = (; ), N = ( 4; 0) e P = ( ; 4) são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC. A reta mediatriz do segmento AB tem a equação: a) x + y 6 = 0 b) x y + = 0 c) x y = 0 d) x + y 6 = 0 e) x + y + 6 = 0 8 Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c: a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b; b) determine a, b e c sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área (ESEG) Considere o quadrado OABC, de vértices O = (0; 0), A = (; 0), B = (; ) e C = (0; ). Sejam ainda

9 D o ponto médio de AB, E o ponto que divide o segmento OA na razão 1 : ou seja, OE EA = 1 e F a intersecção dos segmentos OD e CE. 59. (MACK) As coordenadas do ponto P da figura a seguir são tais que a + b 6b = 0. Então a área do círculo de centro C vale: a) π d) 16π b) 4π e) 36π c) 9π a) Determine as coordenadas de D e E. b) Escreva uma equação da reta CE. c) Calcule a razão OF FD. 60. (FUVEST) A circunferência dada pela equação x + y 4x 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura. 55. (FUVEST) Em um plano é dada uma circunferência e um ponto A pertencente a ela. O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes da circunferência e do ponto A é uma: a) reta d) semireta b) circunferência e) parábola c) elipse 56. (VUNESP) Num sistema de coordenadas cartesianas retangulares de origem O, considere os pontos A = (3; 0), B = (3; 5) e C = (0; 5). Seja r a reta pelo ponto M = (1; ) e que corta OC e AB em Q e P, respectivamente, de modo que a área do trapézio OQPA seja metade da do retângulo OCBA. Determine a equação de r. 57. (FEI) Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento cujas extremidades são os dois pontos da reta y = k que distam k unidades da reta y = x (k. 0). k 58. São dadas, num plano, as duas retas r 1, de equação y = 1, e r com equações paramétricas x = + λ y = 1 + λ e o ponto A = (1; ). a) Entre as retas que passam por A, determinar as retas r para as quais as distâncias de A às suas intersecções com r 1 e r são iguais. b) Satisfeita a condição do item anterior, determinar a área do triângulo formado pelas três retas r, r 1 e r. O segmento M N é paralelo ao segmento A B e contêm o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale: a) π b) π + c) π + 4 d) π + 6 e) π (EN) O circuncentro do triângulo de vértices A(; 6), B(4; 8) e C(8; 14) é o ponto: a) ( 15; 5) b) 14 3 ; 8 3 c) (44; ) d) ( 10; 0) e) (5; 9) 6. (FUVEST) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x + y = 5, o ponto P = (1; 3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. 9

10 Assim sendo, determine: a) a reta tangente à circunferência no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE. 63. (ITA) Uma circunferência, tangente às retas de equações x 3y + 9 = 0 e 3x y + 1 = 0, tem o seu centro sobre a reta x + y 10 = 0. Encontre a equação dessa circunferência. 64. (PUC) A área do trapézio OABC é 11 vezes a área do triângulo OAC (veja a figura). 68. (UNICAMP) Uma elipse que passa pelo ponto (0; 3) tem seus focos nos pontos ( 4; 0) e (4; 0). O ponto (0; 3) é interior, exterior ou pertence à elipse? Mesma pergunta para o ponto 5 ; 13. Justifique suas 5 respostas. 69. (FUVEST) a) Defina elipse de focos F 1 e F. Considere no plano xy a elipse de focos F 1 = ( 1; 1) e F = (1; 1) e semieixo maior igual a. b) Calcule o outro semieixo da elipse. c) Determine a intersecção da elipse com a reta de equação x = (FATEC) A figura a seguir representa uma elipse e uma reta de equação x + y = 1. A abscissa de A é: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) (FUVEST) Para cada número real α, considere a parábola y = x x cos α + sen α + cos α. Determine, em coordenadas cartesianas, a equação da curva que é o lugar geométrico dos vértices dessas parábolas. 66. (UFMG) Na figura, A = ( 1; 1), B = (1; 1) e C = (λ; 0), em que λ R. Mostre que o ortocentro do triângulo ABC está sobre a parábola de equação y = x quando λ varia em R. 67. (VUNESP) Considere a elipse de equação x 5 + y 9 = 1. Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abscissas e calcule a área do triângulo PQR, sendo P = 3; Se A (x A, y A ) e B = (x B, y B ) são os pontos de intersecção da reta com a elipse, então x A x B vale: a) b) c) d) e) (UFCE) A reta de equação y = ax + 1 intercepta a elipse de equação x + 4y = 1 em apenas um ponto. Determine o valor de a. 7. (UNICAMP) A órbita de um satélite é uma elipse que tem a Terra em um de seus focos. Esse satélite atinge a velocidade máxima e mínima nos pontos de menor e maior proximidade da Terra, respectivamente, quando então essas velocidades são inversamente proporcionais às distâncias do satélite à Terra (com mesma constante de proporcionalidade).

11 Calcule a excentricidade da órbita do satélite, sabendo também que a velocidade máxima é o dobro da velocidade mínima. (A excentricidade, como se sabe, é o quociente da distância entre os focos pelo comprimento do eixo maior). 73. (UNICAMP) Dada uma elipse de semieixos a e b, calcule, em termos desses parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse. 74. Determine o centro, o eixo real e o eixo imaginário das hipérboles de equações: a) x y + 4x 6y + 5 = 0 b) x 3y = (FUVEST) Determine as equações das retas de plano que passam pela origem do sistema de coordenadas e que não interceptam a curva do plano dada pela equação x 4 y 9 = 1. 11

12 Respostas das Atividades Adicionais Matemática 1. I. V III. V II. V IV. V. d 3. e 4. a) b) Não, pois foi,9. 5. c 6. d 7. d 8. a 9. a) 31,5%. b) R$ 940, I. V IV. V II. V V. V III. F 11. I. F II. V III. V a) x = 16,38 km; s 7,71 km. b) A mediana é aproximadamente 15,17 km. c) 0,8%. 14. a) 0,66 c) 0,84 b) 0,5 d) 330 erros 15. a) Média = 73,3 salários mínimos; desvio-padrão = 136, salários mínimos. b) Bairro A. 16. I. F IV. V II. F V. F III. F 17. a 18. a) π b) π 6, π 3, 7π 6 e 5π a 3. b 1. d 33. a. d e 35. d 4. α = π 3 ou α = 4π 3 5. e 37. d 6. e e 39. e 36. a = 1; b = 3; c = 8. d c 41. c 30. e 4. Sistema possível e determinado a 3 e b R V = b a + 3 ; b a + 3 ; b. a e d 46. c Sistema possível e indeterminado a = 3 e b = 0 V = {(α; α; α) R 3 t.q. α R}. Sistema impossível a = 3 e b 0 V =. 47. a) m e m 1 b) m = 1 c) x + y z w = b 49. a 50. d 51. a = 1; b = 3 5. c 53. a) P = b a ; 0 R = + b (b a), Q = (0; b) b) a = 8; b = 4; c = 16. ; b(b a) (b a)

13 54. a) D = (; 1), E = 3 ; 0. b) 3x + y = d c) x y + 1 = (k ; k) 58. a) x + y 5 = 0 ou x 3y + 5 = 0. b) c 60. b 61. a 6. a) y = 1 x + 5. b) (1 + 3 ; 0). 63. (x 6) + (y ) = 5 13 ou (x ) + (y 4) = c 65. x + y = A altura do DABC relativa ao lado B C está contida na reta que é perpendicular a BC e passa por A, isto é, a reta dada por 1 y 1 = (x ( 1) (λ 1)x y + λ = λ Assim, o ortocentro do DABC é a intersecção da reta dada por x = λ, que contém a altura relativa ao lado A B, e a reta dada por (λ 1)x y + λ = 0, ou seja, é a solução do sistema x = λ (λ 1)x y + λ = 0 x = λ y = λ que são equações paramétricas da parábola dada por y = x. 67. Q = ( 5; 0), R = (5, 0), A elipse admite equação x 5 + y 9 = 1. Como ( 3) = 1, (0; 3) pertence à elipse; como , 9 ; 13 é exterior à elipse a) Elipse de focos F 1 e F é o conjunto de todos os pontos de um plano (que contém F 1 e F ) tais que a soma das distâncias de cada um deles a F 1 e F é constante maior do que F 1 F. 70. b b). c) (1; 1) e 1; ± a b a + b 74. a) ( ; 3); 1 0 ; 1 0. b) (0; 0); 6; y = ax, com a < 3 ou a > 3 x = 0. 13