UFPE-Centro de Educação-NEMAT

Transcrição

1 UFPE-Centro de Educação-NEMAT Projeto Rede: Jogos na Educação Matemática

2 Bingo de números racionais indicações didáticas Sônia Melo, Grácia Montarroyos, Luciana Santos e Mª das Dores Moraes Coord. Paula Baltar

3 Do bingo tradicional ao bingo como recurso didático Bingo tradicional: origem atrelada aos jogos de azar ganhar ou perder depende essencialmente da sorte Bingo como recurso didático: reconhecer representações, estabelecer conexões entre objetos e símbolos, desenvolver habilidades. Não basta ter sorte...

4 Foco dessa apresentação Entender a análise didática subjacente à elaboração do jogo Não se trata de conteúdos a serem trabalhados explicitamente com os alunos, mas de elementos para a formação dos professores a fim de tirar o melhor proveito do uso do jogo como recurso didático.

5 Objetivo didático do bingo de números racionais Explorar representações para os números racionais positivos, estabelecendo relações entre diferentes representações para um mesmo número. Os números racionais positivos são aqueles que podem ser escritos na forma de fração, ou seja, como quociente entre um número natural (o numerador) e um número natural não nulo (o denominador).

6 Há muitas maneiras de representar números racionais Todas as expressões abaixo podem representar números racionais 1 7 0,35 63% um nono trinta e quatro por cento

7 Há muitas maneiras de representar números racionais Expressões em forma de texto, como um nono e trinta e quatro por cento Expressões numéricas, como (em forma de fração); 0,35(na escrita decimal) 7 ou 63% (em forma de porcentagem) Expressões figurativas, como ou 1

8 Vamos observar cada uma dessas representações... Um nono pode ser representado 1 9 como uma fração ou seja, como um quociente do número natural 1 (numerador) pelo número natural não nulo 9 (denominador). Trinta e quatro por cento também pode ser representado como uma fração

9 Vamos observar cada uma dessas representações... A expressão 1 já está na forma de fração 7 0,35 (na escrita decimal) pode ser representado como % (em forma de porcentagem) pode também ser representado como fração

10 Vamos observar cada uma dessas representações... Finalmente, vamos pensar nas figuras abaixo: A área do triângulo pintado de azul escuro corresponde a 1 da área do retângulo 4 A razão entre a quantidade de estrelinhas verdes e a quantidade total de estrelinhas pode ser representada por 2 6

11 Os exemplos apresentados podem ser representados por uma fração e, por isso, são maneiras diferentes de representar números racionais. Embora não sejam objeto de estudo nos anos iniciais do ensino fundamental, é importante que o professor saiba que existem números que não podem ser representados por frações e que, portanto, não são números racionais. É o caso de π e de 2

12 Cada número racional pode ser representado de diversas maneiras um quinto 1 5 dois décimos 02 0,2 vinte por cento 20%

13 A aprendizagem dos números racionais exige uma reflexão cuidadosa por parte dos professores sobre o papel e o funcionamento dessas representações a fim de favorecer a aprendizagem pelas crianças desse importante conteúdo.

14 A construção do sentido dos números racionais e a apropriação de suas múltiplas representações são um processo de longo prazo que exige a abordagem desse tema na escola durante vários anos.

15 Procuramos desenvolver o jogo de modo que seu uso por alunos dos diferentes anos/ciclos de aprendizagem do ensino fundamental, representasse um desafio para os alunos do respectivo nível de escolaridade, mas que esse desafio fosse de grau adequado para preservar o equilíbrio entre o aspecto lúdico e a exploração didática.

16 Pelo menos dois níveis de complexidade para o bingo de números racionais Nível 1 destina-se a alunos dos anos iniciais do ensino fundamental, principalmente o 4º e 5º anos. Nível 2, direcionado a alunos dos anos finais do ensino fundamental do 6º ao 9º anos. V f f ã í l 1 Vamos focar nessa formação o nível 1, mas também sinalizar as características do bingo de nível 2.

17 Em ambas as versões, parte-se de expressões em linguagem g natural oral para representações numéricas ou figurativas escritas. Do nível 1 para o nível 2 alteram-se a composição das cartelas e das fichas para chamada dos números, ampliando a complexidade da atividade para os alunos.

18 Representações numéricas Como já vimos, os conteúdos que frequentemente são tratados de modo fragmentado (frações, números decimais i e porcentagem) são maneiras distintas de representar números racionais. Vamos nos deter sobre as características de cada uma dessas representações numéricas.

19 Frações Para cada número racional, há infinitas representações fracionárias a fração irredutível (aquela em que numerador e denominador não têm divisores comuns, além do número 1, que divide qualquer número) e todas as frações equivalentes a ela, que podem ser obtidas, multiplicando numerador e denominador por um mesmo número.

20 Frações - exemplos 1 A fração é irredutível pois o único 6 divisor comum entre 1 e 6 é 1. 3 A fração também é irredutível pois o 4 único divisor comum entre 3 e 4 é o 1.

21 Mas há outras maneiras de representar o número racional um sexto Multiplicando sucessivamente numerador e denominador da fração irredutível por um mesmo número, obtemos infinitas representações fracionárias para esse número, como por exemplo: 2 12 = 3 18 = 4 24 = = =... = = Frações equivalentes

22 Frações - exemplos Alguns números racionais... têm representação decimal finita (como é 3 4 o caso de ) outros não têm representação decimal finita (como é o caso de ) 1 ( ) 6

23 Os números decimais Um número tem representação decimal finita quando pode ser escrito como uma fração de denominador d 10, 100, 1000 ou qualquer q outra potência de dez. exemplo: Por, = ou ainda 4 = =

24 Os números decimais Assim, podemos escrever, e na escrita decimal 3 75 e se escreve também como 0,75 4 = = e se escreve como 0, : = pode se escrever 0,

25 Também há infinitas escritas decimais Como = = =... também podemos representar 0,3 = 0,30 = 0,300 =...

26 Porcentagem Os números racionais que têm representação decimal finita também podem ser representados em porcentagem: 9 90 = e uma outra maneira de representar frações de denominador 100 é com o uso do símbolo % (90%)

27 Porcentagem Os números racionais que têm representação decimal finita também podem ser representados em porcentagem: 9 0,9 e 90% são três maneiras 10 distintas de representar nove décimos numericamente

28 Pretendemos com o jogo, contribuir para que os alunos se apropriem das diversas formas de representar os números e façam conexões entre essas formas, para entender que há jeitos diferentes de designar um mesmo número. A composição das cartelas e das fichas foi, portanto, resultante de uma análise didática minuciosa.

29 Análise didática Composição das fichas Linguagem natural Escolha dos números Escolha das expressões Composição das cartelas Escolha das representações Distratores Justificativa das regras do jogo

30 Composição das fichas (Nível 1) Representações em linguagem g natural Números racionais familiares aos alunos de 2º ciclo Contemplar os diferentes tipos de representação explicitados acima, ou seja, expressões que indicam : frações ordinárias, números decimais is (com até duas casas s decimais após a vírgula) - porcentagem.

31 Composição das fichas de Exemplos: nível 1 Um meio Dois terços Nove décimos Quinze por cento Um inteiro e cinco décimos Um inteiro i e vinte e cinco centésimos - Trinta e cinco por cento Três décimos

32 Composição das fichas (Nível 2) Uma ou mais de uma expressão para designar um mesmo número racional. Em cada ficha constam expressões em linguagem natural que indicam a fração irredutível que representa o número em questão, o número decimal (caso a representação decimal seja finita e tenha até duas casas decimais) a porcentagem.

33 Composição das fichas (Nível 2) Do nível 1 (4º e 5º anos) para o nível 2 (6º ao 9º ano) Amplia-se o universo de números contemplados e de expressões em língua materna destes números sem, entretanto, exagerar no uso de números e expressões pouco usuais (por exemplo, descartamos expressões como sete doze avos )

34 Composição das fichas (Nível 2) Um sexto Sete quintos; Um inteiro e quatro décimos; Um inteiro e quarenta centésimo Três meios; Um e meio; Um inteiro e cinco décimos; Um inteiro e cinquenta centésimos Ci t s; U i t i i t Cinco quartos; Um inteiro e vinte e cinco centésimos

35 Composição das cartelas Em ambos os níveis, cada cartela é composta de nove itens dispostos em um quadro 3 por 3. Há oito representações de números que constam nas fichas e um item que não consta, o qual será chamado aqui de distrator.

36 Os distratores Correspondem a erros frequentemente cometidos pelos alunos tanto nas representações figurativas i como nas representações numéricas Trocar numerador por denominador Confundir características das representações fracionária e decimal D s sid ssid d d s Desconsiderar a necessidade de que as partes da figura sejam equivalentes.

37

38 Composição das cartelas de nível 1 representações figurais duas de quantidade contínua duas de quantidade discreta representações numéricas uma fração um número decimal com uma casa após a vírgula e um número decimal com duas casas após a vírgula uma porcentagem um distrator (figural ou numérico)

39 Composição das cartelas de nível 1 A posição do distrator nunca é na diagonal, para colocar os participantes i t em igualdade d de condições; Todas as cartelas têm alguma representação (figural ou numérica) do número um meio ; A representação de um meio e do distrator não podem estar na mesma linha ou coluna.

40 No nível 1, não se exige que o aluno relacione escritas numéricas entre si. Por isso há apenas uma representação numérica para cada expressão verbal. Por exemplo Um quarto corresponde a 1 4 Um inteiro e setenta e cinco centésimos corresponde a 1,75 Quinze por cento corresponde a 15%

41 Composição das cartelas de nível 2 Todas as cartelas possuem alguma representação do número racional um meio, seja figural ou simbólica numérica: fracionária, i decimal ou percentual. Todas as cartelas possuem um distrator Nenhuma cartela possui duas representações do mesmo número.

42 Composição das cartelas de nível 2 O distrator nunca está posicionado i na diagonal. A representação de um meio e do distrator não podem estar na mesma linha ou coluna. O número que se encontra no meio é sempre um dos mais fáceis de identificar pela criança (o inteiro, uma fração unitária ou um número decimal).

43 Composição das cartelas de nível 2 Representações fracionárias Representações decimais i Representação em forma de porcentagem Representações figuraisi Distrator

44 Composição das cartelas de nível 2 Representações fracionárias uma fração unitária i uma fração irredutível uma fração equivalente a uma das frações irredutíveis contempladas no jogo

45 Composição das cartelas de nível 2 Representações decimais com uma casa decimal com duas casas decimais Representação em forma de porcentagem

46 Composição das cartelas de nível 2 Representações figurais; de quantidade d contínua (área de figura plana) de quantidade discreta um distrator (numérico ou figural)

47 Justificativa das regras do jogo Papeis desempenhados pelos alunos: Chamador (no nível 2, escolhe uma das expressões da ficha) Escriba (escreve na folha de registro alguma representação numérica que corresponde à expressão lida em linguagem natural) Marcador (identifica se o número consta na cartela)

48 Justificativa das regras do jogo Ganha a rodada quem completar uma linha, coluna ou diagonal Partida mais rápida Inclusão dos distratores Conferência da cartela vencedora: oportunidade de reflexão sobre as escritas de números. responsabilidade compartilhada favorece a compreensão das representações e o desenvolvimento da argumentação

49 Equipes duplas ou trios Favorecer o debate de ideiasi entre os alunos, A atividade de identificar números convertendo formas distintas de representá-los é um desafio que pode ser melhor enfrentado com o apoio e colaboração entre os alunos. Optamos por grupos pequenos para que todos tenham uma boa visão da cartela.

50 Trios ou duplas Sugere-se equipes de 2 ou 3 alunos O professor deverá ter o cuidado d de utilizar cartelas de tamanho adequado a esse trabalho em grupo. Nada impede, que em algum momento da aprendizagem o professor ache pertinente t trabalhar com o bingo com uma cartela por aluno.

51 Os alunos podem assumir o papel p de chamador... a fim de trabalhar a leitura em voz alta de expressões verbais que indicam números racionais é importante que haja rodízio entre eles (vivenciar diferentes papeis. Essa escolha permite que o professor possa circular na turma: observar como os alunos estão lidando com o jogo, perceber alguma dificuldade preparar a conferência das cartelas

52 Tempo para exploração da cartela pela equipe pode ser útil para identificar maneiras alternativas de representar os números que constam na cartela. mas é preciso cautela no sentido de não transformar essa exploração em uma atividade rotineira e mecânica que quebre com o desafio e o aspecto lúdico.

53 Tempo para exploração da cartela pela equipe Nesse momento, o professor deve evitar dar instruções precisas do tipo escrevam de diferentes maneiras os números que constam na cartela. pode simplesmente anunciar que os alunos dispõem de alguns minutos para observar a sua cartela, a fim de facilitar a marcação no momento da chamada.

54 A função do escriba a escrita numérica como suporte para argumentar a marcação dos números. se nas primeiras vivências do jogo, o professor considerar que esse registro quebra a ludicidade pode excluir da regra. ó i ã d j após a apropriação do jogo, com observação dos entraves o registro pode se tornar útil

55 Finalidades educacionais Explorar as diferentes representações de números racionais. Produzir escritas numéricas apropriadas para números racionais, a partir de expressões correspondentes em linguagem natural. Reconhecer que um número racional pode ser representado de diversas maneiras.

56 Finalidades educacionais Associar vários representantes (expressões em linguagem natural, representações figurativas de quantidades continuas e discretas e representações simbólicas numéricas em forma de fração, número decimal e porcentagem) a um mesmo representado (número racional). Articular diferentes representações de um mesmo número

57 Discussão acerca das finalidades educacionais Para vencer no bingo dos racionais, não basta ter sorte. É preciso mobilizar conhecimentos matemáticos que permitam transitar entre as diferentes maneiras de representar números racionais.

58 Discussão acerca das finalidades educacionais O jogo pode ser trabalhado em momentos variados da aprendizagem, como por exemplo: na sondagem dos conhecimentos prévios sobre a escrita de números racionais, para favorecer a articulação entre as representações s fracionária, a, decimal e porcentagem; para favorecer a fixação dos conteúdos...

59 Passar dos números naturais para os racionais Vários pesquisadores, dentre eles, Hector Ponce, mostram que a passagem dos números naturais para os racionais i exige grande esforço conceitual: Profunda ruptura com os conhecimentos do aluno até o momento, que tendem a associar as propriedades dos racionais àquelas que se referem aos números naturais.

60 Teoria das representações semióticas Raymond Duval e seus colaboradores a atividade id d matemática depende d da manipulação de representações semióticas há uma variedade de registros de representação mobilizados com a linguagem natural (verbal), a linguagem figural (com os desenhos) e a linguagem simbólica (numérica e algébrica).

61 Teoria das representações semióticas Raymond Duval e seus colaboradores as representações semióticas assumem um papel primordial no âmbito da Matemática, porque os objetos de estudo dessa ciência, nem sempre são acessíveis ou perceptíveis, e só podem sê-lo mediante as suas diferentes formas de representações.

62 Teoria das representações semióticas Raymond Duval e seus colaboradores Para lidar com ideias matemáticas (como é o caso do número racional) precisamos usar sistemas de símbolos (as letras que permitem expressar em palavras, as figuras, os números) e regras que permitem lidar com os símbolos, de modo a compartilhar significados, comunicar ideias, agir sobre as ideias, por meio da manipulação dos símbolos.

63 Teoria das representações semióticas Raymond Duval e seus colaboradores A atividade matemática envolve, portanto, a apropriação das relações entre as ideias representadas (no nosso caso, número racional) e os sistemas de símbolos que permitem representá-las (expressões verbais, conectadas à linguagem natural, figuras ou símbolos numéricos, nas formas fracionária, decimal e porcentagem)

64 Teoria das representações semióticas Raymond Duval e seus colaboradores: necessidade de estabelecer conexões entre os vários registros como um aspecto importante da compreensão das ideias que são representadas. O imbricamento i entre conceito e representação faz com que propriedades da representação fiquem coladas, sejam assumidas como propriedades do conceito.

65 Teoria das representações semióticas Raymond Duval e seus colaboradores: Por exemplo, o número não é posicional, essa é uma propriedade do sistema de numeração decimal (a indo-arábica). Somente o uso de diferentes representações pode auxiliar o aluno a descolar o conceito da representação. diferentes representações podem permitir um acesso mais claro a diferentes propriedades de um conceito.

66 Nos PCN familiaridade do aluno com as diferentes representações numéricas dos números racionais (fracionária, decimal, percentual) pode levá-lo a perceber qual delas é mais adequada para expressar um resultado em uma dada situação. É importante que os alunos lidem com as várias formas de representar os números racionais, que sejam capazes de articular essas diversas formas. Essa aprendizagem não é espontânea e exige um trabalho didático específico.

67 As sucessivas jogadas no bingo poderão favorecer... o reconhecimento dos diferentes registros de representação em linguagem natural, figural ou simbólica (fracionária, percentual ou decimal) referentes ao número racional. a comparação de diferentes formas de representar o número racional a ampliação do repertório de conhecimentos do aluno, no que se refere à leitura e escrita de números racionais.

68 Muitas vezes, na sala de aula: os significados e as representações de números racionais são trabalhados de forma fragmentada. É como se frações, números decimais e porcentagem, por exemplo, fossem conteúdos isolados. quando se trabalha representações s figurativas de frações, em nenhum momento se explicita que o contexto utilizado é a área de figuras planas.

69 As pesquisas desenvolvidas por Vilma Silva, Rute Borba, Mª Cecília Aguiar e José Mª Lima bem como a desenvolvida por Luciana Santos mostram que: a abordagem fragmentada de números racionais prejudica a construção, ampliação e consolidação de significados na melhor das hipóteses, a compreensão dos alunos se restringe ao uso de um único registro de representação

70 Teoria das Situações Didática e Engenharia Didática Guy Brousseau e seus colaboradores a importância i do trabalho autônomo do aluno para a aprendizagem de conteúdos matemáticos. análise profunda das características das situações de ensino-aprendizagem para fazer escolhas pertinentes, de modo a minimizar a necessidade de intervenção do professor.

71 Teoria das Situações Didática e Engenharia Didática Guy Brousseau e seus colaboradores O meio é um fator de desequilíbrios i e contradições. Ao se deparar com novas situações, que colocam em cheque os seus conhecimentos prévios, o aluno percebe a necessidade d avançar, de aprender mais sobre o assunto. Nesse processo, o meio utilizado pelo professor fornece indícios quanto à eficácia e a falibilidade d das hipóteses e ações do aluno.

72 Teoria das Situações Didática e Engenharia Didática Guy Brousseau e seus colaboradores Em uma situação didática de jogo o aluno é conduzido por um percurso que o instigará no acionamento dos próprios conhecimentos ao elaborar hipóteses, criar e testar t as próprias estratégias té e as dos seus interlocutores.

73 A presença dos distratores, a escrita numérica na folha de registro e a participação dos alunos na fase de conferência da cartela são motivados pela intenção de instalar um meio que permita ao aluno: manifestar seus conhecimentos prévios, elaborar hipóteses, confrontar com as hipóteses formuladas pelos colegas, lid ti ê i d hi ót validar a pertinência de suas hipóteses ou ao contrário, tomar consciência de seus erros.

74 Geralmente, na sala de aula, cabe única e exclusivamente ao professor declarar se uma produção do aluno está certa ou errada. Sob a ótica da Teoria das Situações Didáticas, parte do processo de validação pode e deve ficar a cargo da própria turma, se a situação concebida pelo professor assim o permitir.

75 Por exemplo, digamos que uma equipe declara-se vencedora. Toda a turma vai averiguar se as marcações da cartela estão corretas. O chamador havia chamado um terço e a equipe marcou 1,3 como representação de um terço. a participação dos alunos nesse processo é fundamental nt para fatos importantes sobre os números racionais e suas representações simbólicas para desenvolver as capacidades de explicar ao outro como pensaram, de entender o pensamento dos colegas e de argumentar

76 Representações numéricas Representações fracionárias fração como relação parte todo dois números naturais com um traço entre eles frações equivalentes Representações decimais Representação em porcentagem

77 Representações numéricas Representações s fracionárias i Representações decimais extensão do sistema numérico decimal para números naturais a vírgula separa parte inteira e parte decimal sistema posicional e decimal Representação em porcentagem o símbolo % indica denominador 100

78 Traduzindo representações As representações fracionária, decimal e porcentagem são simbólicas-numéricas, mas usam códigos diferentes: Fração decimal (denominador é potência de dez) como via para traduzir entre as representações fracionária, decimal e porcentagem

79 Representações figurativas Quantidades discretas: constitui-se de unidades separadas e indivisíveis Quantidades contínuas: teoricamente pode-se dividi-la em partes sempre divisíveis; não há unidades separadas umas das outras.

80 Representações figurativas Exemplo de representação figurativa de quantidade contínua Exemplo de representação figurativa de p p ç g quantidade discreta

81 Representações figurativas Maurício Figueiredo Lima mostrou que os alunos dominam mais cedo as frações de quantidades discretas No entanto esse contexto é pouco explorado na escola A quantidade contínua privilegiada é a área de figuras planas, sempre dividida em partes iguais

82 Representações figurativas O universo representações figurativas de quantidades contínuas na escola é muito restritivo (retângulos e círculos - remetendo ao contexto de pizza) Pouco se exploram contextos em que as partes da figura são diferentes, mas têm mesma área.

83 Crítica à abordagem usual Os processos de ensino e aprendizagem de números racionais usuais são marcados pela linearidade e fragmentação em pequenas porções, em momentos estanques : frações e operações com frações, números decimais e operações com números decimais porcentagem.

84 Crítica à abordagem usual Em geral, pouco investimento é feito no sentido de mostrar que fração, número decimal e porcentagem são maneiras distintas i de representar os mesmos números. Além disso, o trabalho com a conversão entre escritas é visto como um processo mecânico, sem compreensão e sem propósito.

85 O uso de jogos matemáticos pode contribuir para romper com essas práticas. Sucessivas jogadas com o bingo dos racionais, sejam exitosas ou não, indicarão a necessidade de realizar transformações nos modos de representar os números racionais.

86 A aprendizagem das convenções que regem cada sistema de representações e as passagens de um sistema a outro são aprendidos pelos alunos, por meio do desafio que o jogo coloca: ouvir uma expressão em língua materna que corresponde a algum número racional produzir alguma escrita numérica correspondente a esse número identificar na cartela se há alguma representação numérica ou figurativa correspondente

87 Motivados pelo prazer do jogo, os alunos desenvolvem potencialidades e com isso o jogo contribui para o despertar da criatividade, do interesse e do fazer matemático. Para tanto, é desejável que o jogo seja inserido em um conjunto mais amplo de ações didáticas e não algo isolado. Buscar o equilíbrio entre a intencionalidade didática e a ludicidade.

88 A discussão conceitual e didática exposta aqui: tem o propósito de expor as reflexões que nortearam as escolhas feitas na elaboração do jogo, mas não precisam nem devem ser explicadas ao aluno, do modo como aparecem aqui. são subsídios s para o professor...

89 A discussão conceitual e didática exposta aqui deve fornecer subsídios para o professor: entender mais profundamente a matemática e a didática subjacentes à elaboração do jogo antecipar os entraves que podem esperar que apareçam na ação dos alunos, i ih jd ã sugerir caminhos que ajudem a superação desses entraves.

90 A elaboração de um jogo como esse pressupõe... o mapeamento de possibilidades de êxito e fracasso no jogo, o qual por sua vez, se apóia no conhecimento que se tem dos entraves que ocorrem na aprendizagem, da complexidade cognitiva exigida na atividade.

91 Na gestão da vivência do jogo o professor vai... coordenar o trabalho, mediar situações e tomar decisões frente a imprevistos tomar decisões frente a imprevistos em meio ao barulho e à empolgação.

92 Por isso sugerimos que o professor... faça a análise das cartelas antecipe diferentes escritas de cada uma das representações localize li os distratores t a fim de se preparar p para discutir a produção dos alunos no momento da conferência das cartelas.

93 A análise prévia das cartelas e das fichas também poderá subsidiar a elaboração de cartelas específicas para trabalhar com aspectos que a avaliação dos conhecimentos de sua turma mostre que precisam ser priorizados.

94 O professor pode adaptar as cartelas e fichas sugerimos uma composição das cartelas mas também é importante que o professor desenvolva a capacidade de pensar a construção de cartelas: que lidem com os entraves específicos que sua turma apresenta. sejam adaptados aos momentos da aprendizagem (sondagem dos conhecimentos prévios, exploração das conexões entre representações, ou fixação dos conteúdos).