Organização e Arquitetura de Computadores. Aula 11 Ponto Flutuante Parte II Juliana F. Camapum Wanderley

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1 Organização e Arquitetura de Computadores Aula 11 Ponto Flutuante Parte II 2002 Juliana F. Camapum Wanderley OAC Ponto Flutuante Parte II - 1 Revisão PF aproximam valores que queremos utilizar. Padrão IEEE 754 para PF é uma tentativa de padronização amplamente aceita de tais números. Novos registradores MIPS ($f0-$f31), e instruções: Precisão Simples (32 bits, 2x x10 38 ): add.s, sub.s, mul.s, div.s Precisão Dupla (64 bits, 2x x ): add.d, sub.d, mul.d, div.d Tipo não está associado com dados; bits não têm significado a exceto em um dado contexto. OAC Ponto Flutuante Parte II - 2

2 Panorama Números Ponto Flutuante Especiais: NaN, Não-normalizados Modos de arredondamento IEEE Falácias de Ponto Flutuante, hacks OAC Ponto Flutuante Parte II - 3 Números Especiais O que temos definido até agora? (Precisão Simples) Expoente Significando Objeto nonzero??? qq coisa +/- fl. pt. # /- infinito 255 nonzero??? OAC Ponto Flutuante Parte II - 4

3 Representação para Not a Number Qual o resultado do cálculo: sqrt(-4.0) ou 0/0? Se infinito não é um erro, estes não deveriam ser também. Chamados Not a Number (NaN) Expoente = 255, Significando nonzero Por que isto é útil? Esperamos que NaNs ajude na depuração? Eles se propagam: op(nan,x) = NaN Tudo bem se calculamos mas não usamos Pergunte aos matemáticos OAC Ponto Flutuante Parte II - 5 Números Especiais (cont.) O que temos definido até agora? (Precisão Simples) Expoente Significando Objeto nonzero??? qq coisa +/- fl. pt. # /- infinito 255 nonzero NaN OAC Ponto Flutuante Parte II - 6

4 Representação para Não-Normalizados (1/2) Problema: Existe um gap entre os números PF representáveis perto de 0. O menor número positivo representável: a = * = Segundo menor número positivo representável: b = * = a - 0 = Gap! Gap! b - a = b 0 a + OAC Ponto Flutuante Parte II - 7 Representação para Não-Normalizados (2/2) Solução: Nós ainda não utilizamos o Expoente=0, Significando não zero. Número não normalizado: sem o 1 da frente. Menor número positivo representável: a = Segundo menor número positivo representável: b = OAC Ponto Flutuante Parte II - 8

5 Arredondamento Quando se realiza cálculos matemáticos com números reais, temos de nos preocupar com arredondamento. O sistema real de cálculos matemáticos tem dois bits de precisão extras, e então arredonda para se ter o valor apropriado. Arredondamento também ocorre quando se converte um valor de precisão dupla para um de precisão simples, ou na conversão de um PF para um inteiro. OAC Ponto Flutuante Parte II - 9 Modos de Arredondamento do IEEE Arredonda para +infinito SEMPRE arredonda para "cima": > > -2 Arredonda para -infinito SEMPRE arredonda para "baixo": > 1, > -2 Trunca Simplesmente descarta os últimos bits (arredonda para 0) Arredonda para o par (mais próximo) Arredondamento Normal, quase OAC Ponto Flutuante Parte II - 10

6 Arredonda para o par Arredonde como você aprendeu na escola. Exceto se o valor está exatamente na divisa, neste caso arredondamos para o número PAR mais próximo > > 4 Assegura consistência em cálculos. Deste modo, metade das vezes arredondamos para cima e na outra metade, para baixo. Verifique com especialistas em estatística. Este é o modo padrão de arredondamento. OAC Ponto Flutuante Parte II - 11 Forçando floats em ints e vice versa (int) exp Força e converte para o inteiro mais próximo. afetado pelos modos de arredondamento. i = (int) ( * f); (float) exp converte inteiro para o float mais próximo. f = f + (float) i; OAC Ponto Flutuante Parte II - 12

7 int -> float -> int if (i == (int)((float) i)) { } printf( true ); Não vai funcionar sempre Valores inteiros grandes não têm uma representação PF exata. Do mesmo modo, pode-se arredondar para o valor errado. OAC Ponto Flutuante Parte II - 13 float -> int -> float if (f == (float)((int) f)) { } printf( true ); Não vai funcionar sempre Valores pequenos de PF não têm boa representação inteira. Também erros de arredondamento OAC Ponto Flutuante Parte II - 14

8 Falácias em Ponto Flutuante Soma e Subtração PF são associativas: FALSO! x = 1.5 x 10 38, y = 1.5 x 10 38, e z = 1.0 x + (y + z) = 1.5x (1.5x )= 1.5x (1.5x10 38 ) = 0.0 (x + y) + z = ( 1.5x x10 38 ) + 1.0= (0.0) = 1.0 Portanto, soma e subtração PF não são associativas! Por que? resultado PF aproxima o resultado real! Neste exemplo: 1.5 x é tão maior que 1.0 que na representação PF 1.5 x ainda é 1.5 x OAC Ponto Flutuante Parte II - 15 Coisas para se Lembrar Padrão IEEE 754 para Ponto Flutuante: tenta acomodar o máximo quesepodecom: +/- infinito, Not-a-Number (Nan), Não-Normalizados 4 modos de arredondamento Conceito de Programa Armazenado: Tanto dados como o código (instruções) são armazenados na mesma memória. Tipo não está associado com dados, osbits nãotêm nenhum significado intrínseco, somente no contexto em que são manipulados. OAC Ponto Flutuante Parte II - 16