Evolução de Curvas em Visão Computacional

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1 swp /1/15 23:19 page 1 #1 Evolução de Curvas em Vsão Computaconal Ralph Costa Texera Feverero de 2011

2 swp /1/15 23:19 page 2 #2 2 Abstract We are gven a plane curve Q parametrzed by Q (s; 0). Ths curve evolves wth tme t accordng to one of the followng veloctes Reacton : Q t = N (s; t) D uson : Q t = K (s; t) N (s; t) where N s the unt normal to the curve and K s ts curvature. We present many nterestng propertes of both evolutons, dscuss e cent algorthms to compute them, and present some of ts applcatons n Computer Graphcs and Computer Vson. Fnally, we present a thrd curve evoluton whch s a nenvarant, namely, Q t = N (s) where N s the a ne normal to the orgnal curve Q.

3 swp /1/15 23:19 page 3 #3 Capítulo 1 Introdução Um dos objetvos prncpas da Vsão Computaconal é crar algortmos que ensnem computadores a ver (sto é, não só capturar magens mas também nterpretá-las). Parte deste processo consste em separar uma magem em dversas regões (cada uma correspondendo a algum objeto) para depos analsá-las. Não dscutremos aqu como encontrar tas regões (que já é um problema bastante complcado por s só), mas estamos nteressados em algumas técncas matemátcas smples que nos permtam analsá-las. Neste sentdo, é útl de nr algum tpo de esqueleto de uma regão do plano sto é, algum objeto undmensonal que funconara como uma espéce de exo de smetra da regão (mesmo que a regão não seja exatamente smétrca). Também é útl class car a regão apresentada em pedaços dstntos, para facltar a sua análse. Para descrever matematcamente objetos deste tpo, a lnguagem natural é a da Geometra Dferencal. Assm, suponha que Q (s) = (x (s) ; y (s)) (com s 2 [0; B]) é a parametrzação de uma curva smples e fechada Q do plano, que lmta a regão R em questão (para facltar, suporemos que esta parametrzação percorre a curva no sentdo ant-horáro). Sendo esta parametrzação regular (sto é, Q s 6= ~0 para todo s), denotaremos por T (s) o vetor untáro tangente a esta curva e N (s) o vetor untáro normal que aponta para "dentro"da regão. 3

4 swp /1/15 23:19 page 4 #4 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A segur, vamos evolur (ou deformar, propagar) esta curva paulatnamente (com o objetvo não só de encontrar o esqueleto ou subdvdr a regão orgnal, mas com a esperança de que a matemátca desta deformação seja bonta e nteressante). Esta evolução pode ser representada por Q (s; t) = (x (s; t) ; y (s; t)) onde t é o tempo da evolução e s é o parâmetro que percorre cada uma das mutas curvas geradas (abusaremos a notação e denotaremos a curva ncal por Q (s) = Q (s; 0)). Assm, Q s = (x s ; y s ) representa a dreção tangente à curva em cada ponto, enquanto Q t = (x t ; y t ) representa a velocdade que cada ponto segue durante a propagação. Ao longo do texto usaremos as seguntes notações: hv; w é o produto nterno canônco entre os vetores v e w. [v; w] é o determnante da matrz cujas colunas são os vetores v e w. Em outras palavras, a área do trângulo cujos lados são v e w é j[v; w]j A = 2

5 swp /1/15 23:19 page 5 #5 Capítulo 2 Evolução por Reação 2.1 Função Dstânca A prmera evolução que gostaríamos de estudar é a chamada evolução por reação Q t (s; t) = N (s; t) ou seja, em cada ponto a velocdade de propagação é a normal untára à curva naquele ponto. Que propredades tem esta evolução? Resolver esta equação vetoralmente é smples: convdamos o letor a notar que Q (s; t) = Q (s) + tn (s) é uma solução desta propagação. A nal, é smples dervar esta equação e encontrar que Q t = N (s) ca faltando apenas mostrar que N (s) = N (s; t), sto é, que a normal untára à curva Q orgnal se mantém para s xo à medda que t vara. Exercíco 1. Determne a solução desta evolução quando a curva ncal Q é a elpse Q (s) = (a cos s; b sn s) com a b. Qual o menor valor de t que faz com que a parametrzação em s dexe de ser regular? [Resposta: a cos s b cos s pa t; b sn s a sn s 2 sn 2 s+b 2 cos 2 s pa t 2 sn 2 s+b 2 cos 2 s A parametrzação dexa de ser regular quando t = b2 a.] 5.

6 swp /1/15 23:19 page 6 #6 6 CAPÍTULO 2. EVOLUÇÃO POR REAÇÃO A gura abaxo à esquerda mostra a evolução da elpse Q (s) = (2 cos s; sn s) para t = 0 : 0:1 : 0:7. Note como a curva dexa de ser regular quando t = 0:5 (destacada), formando um bco sobre o exo x. Isto ocorre pos em t = 0:5 no ponto (1:5; 0) temos o prmero choque da propagação, quando a frente de propagação do prmero quadrante se choca com a frente de propagação do quarto quadrante. De fato, se permtíssemos t > 0:5, as frentes de propagação se cruzaram. y x O letor atento va perceber que a dstânca do ponto Q (s; t) ao ponto Q (s; 0) é exatamente t; mas anda, como o segmento que une Q (s; 0) a Q (s; t) é normal à curva orgnal, então a dstânca de Q (s; t) à curva orgnal é t (pelo menos antes do prmero choque). Em outras palavras, xado um ponto (x 0 ; y 0 ) do plano, a evolução chega (pela prmera vez) ao ponto (x 0 ; y 0 ) no tempo t que é gual à dstânca de (x 0 ; y 0 ) à curva orgnal. Em suma: as curvas obtdas por esta evolução são exatamente as curvas de nível da função dstânca, pelo menos até os choques. Então vamos rede nr nossa evolução de uma forma mas mplícta, evtando os entrecruzamentos que aparecem na gura à dreta acma: dada a curva orgnal Q = C 0, de nmos a curva Q (t) como sendo o conjunto de todos os pontos da regão R (nteror a Q) cuja dstânca à Q seja t. Ou seja, sempre que houver um choque,

7 swp /1/15 23:19 page 7 # FUNÇÃO DISTÂNCIA 7 descartamos os entrecruzamentos, e contnuamos com curvas smples e fechadas (anda que tenham bcos). Uma segunda vantagem deste nova de nção é que ela não precsa da de nção do vetor normal e, portanto, ndepende da curva orgnal ser dferencável. Assm, a gura ncal pode até mesmo ser um polígono, se desejarmos. Outro detalhe desta evolução: se a curva ncal não for convexa, esta evolução poderá dvdr a curva propagada em pedaços desconexos, como no exemplo abaxo. Exercíco 2. Sejam ~n 1 e ~n 2 os vetores untáros normas a dos lados consecutvos de um polígono convexo que está se movendo de acordo com a evolução por reação. Mostre que o vértce entre estes lados se move com velocdade ~v = ângulo nterno do polígono naquele vértce. ~n1+~n2 1+h~n 1;~n 2 = ~n1+~n2 1+sn onde é o Enquanto não é realmente necessáro de nr esta evolução para valores negatvos de t, sto pode ser feto sem grande d culdade. De nção 3. Dada uma curva smples fechada Q lmtando uma regão R, de nmos a função dstânca com snal f como f (X) = d (X; Q) se X 2 R d (X; Q), caso contráro

8 swp /1/15 23:19 page 8 #8 8 CAPÍTULO 2. EVOLUÇÃO POR REAÇÃO Esta função dstânca tem váras propredades nteressantes. Em partcular, as guras devem convencer o letor de que o gradente desta função dstânca f é exatamente o vetor normal untáro à curva (exceto nos pontos de choque onde ela nem é dferencável). Em suma, temos uma outra caracterzação da função dstânca va E.D.P.s: a função dstânca deve ser, em algum sentdo, a solução do segunte problema com a Equação Ekonal: jrf (X)j = 1 exceto nos choques f (X) = 0 se X 2 Q Por outro lado, fazer esta caracterzação rgorosa é surpreendentemente sutl; em prmero lugar, "exceto nos choques"é vago demas; em segundo lugar, há casos patológcos (que não nos nteressam) que "as guras"acma não representam bem. Os exercícos a segur mostram que jrfj = 1; exceto em alguns casos patológcos. Exercíco 4. Mostre que a função dstânca f é uma contração fraca 1, sto é, dados dos pontos A e B do plano, tem-se jf (A) f (B)j d (A; B) Exercíco 5. Mostre que a função dstânca f (x; y) satsfaz a Equação Ekonal, a saber jrfj = 1 em todos os pontos do nteror de R onde ela é dferencável. [Dca: o problema anteror mostra que jrfj 1; agora, dado X no nteror de R, encontre Y sobre Q tal que f (X) = d (X; Y ); usando pontos no nteror do segmento XY se aproxmando de X, mostre que jrf (X)j 1]. Exercíco 6. Seja Q a curva de nda y = p jxj cos 1 x para x 2 ( 1; 1) (em x = 0, tome y = 0; longe da orgem, feche a curva da manera que você preferr). Mostre que, se jxj < r, então jf (X)j 4r 2. Conclua que rf (O) = ~0 (na orgem). 1 E, por conseqüênca, f é dferencável q.t.p.

9 swp /1/15 23:19 page 9 # EIXO MEDIAL Exo Medal Estamos agora prontos para apresentar uma prmera de nção de "esqueleto"de uma regão delmtada por uma curva fechada. De nção 7. O exo medal de uma regão delmtada R por uma curva Q é o (fecho do) conjunto de pontos onde a função dstânca assocada a Q não é dferencável. Em outras palavras, o exo medal é o conjunto dos pontos de choque da evolução por reação assocada à regão R. De uma manera mas geométrca, consdere todos os círculos contdos na regão R que sejam maxmas 2. O conjunto dos centros destes círculos é o exo medal. Exemplo 8. Se a regão R é um retângulo, seu exo medal lembra um telhado vsto de cma; adcone pequenas ndentações e o exo medal cra ramos nteros naquelas dreções: 2 Essencalmente, estes são os círculos que são tangentes à curva em dos ou mas pontos dstntos; "essencalmente"porque, para completar o exo medal, temos de nclur também centros de círculos que são tangentes a em apenas um ponto, mas com ordem de tangênca maor são os pontos A 3 da gura.

10 swp /1/15 23:19 page 10 #10 10 CAPÍTULO 2. EVOLUÇÃO POR REAÇÃO Exemplo 9. Se a regão é a elpse x2 a + y2 2 b = 1 com a b, o exo 2 2b medal é um segmento sobre exo maor de comprmento 2a 2 a. Claramente, o exo medal de um círculo é um ponto solado, seu centro. O exo medal tem váras propredades nteressantes, como por exemplo: Os extremos do exo medal são centros de curvatura correspondentes a pontos de curvatura máxma (ou mínma) do bordo; O exo medal é co-varante por sometras 3 ; 3 Em outras palavras, se R grar ou transladar, o exo medal gra ou translada "junto".

11 swp /1/15 23:19 page 11 # COMPUTAÇÃO E APLICAÇÕES 11 Quando bem de nda, a dreção tangente ao esqueleto num ponto é bssetrz das dreções tangentes nos pontos correspondentes de Q; Mas anda, é possível reconstrur a regão R se armazenarmos o esqueleto e o rao do círculo btangente em cada um de seus pontos (de fato, a regão R é smplesmente a unão destes círculos). Esta é uma manera nteressante de representar a regão R o esqueleto captura a dreção geral da regão R, enquanto os raos dos círculos capturam a grossura de cada parte de R. Isto dto, a representação de uma regão por seu exo medal e função rao tem problemas; o prncpal deles é a sensbldade a ruídos (vde retângulo com ndentações) pequenos ruídos na regão R ou no seu bordo Q levam a representações bastante dstntas com exos medas. Por este motvo, aplcações prátcas que se utlzam de esqueletos costumam passar por alguma espéce de suavzação da curva Q ou poda do exo medal, para elmnar seus trechos rrelevantes. 2.3 Computação e Aplcações Para computar o exo medal, há váras abordagens: Para polígonos, o exo medal é uma espéce de dagrama de Vorono (mas, ao nvés de usarmos dstâncas a pontos como é usual, usaríamos dstâncas aos lados). Assm, é possível adaptar algortmos que calculam dagramas de Vorono para calcular exos medas; Há métodos que consstem em prmero resolver o problema jrfj = 1 em R f = 0 em Q para encontrar a função dstânca f mas cudado deve ser tomado pos sngulardades de f são permtdas em R (que serão exatamente o exo medal!).

12 swp /1/15 23:19 page 12 #12 12 CAPÍTULO 2. EVOLUÇÃO POR REAÇÃO Para grds dscretos, computar a função dstânca é um problema smples de Programação Dnâmca. Um algortmo que mstura as duas últmas técncas e algumas aplcações serão apresentadas no capítulo sobre algortmos mas à frente. Por agora, menconamos os stes The Hypermeda Image Processng Reference 4 ou o exemplo de class cação de peças do MMach/Khoros no ste da Uncamp 5 como exemplos de aplcações do exo medal à Vsão Computaconal (ambos estão nos sldes deste curso). 4 Em exemplos de esqueletos em 5 Em exos medas em peces/peces.html

13 swp /1/15 23:19 page 13 #13 Capítulo 3 Evolução por Dfusão Nesta seção, de nremos uma segunda evolução de curvas que tem suas própras aplcações e propredades nteressantes. O letor que precse relembrar as propredades das curvaturas de curvas planas deve consultar o apêndce. Para referênca, todas as nossas curvas são smples, fechadas, orentadas no sentdo ant-horáro, e, portanto, com normal untára apontando para dentro da curva. Na nossa notação, Q (s; t) é a famíla de curvas, cada uma parametrzada por s, onde t é o tempo da evolução; a métrca da curva é g (s; t) = jq s (s; t)j, e a curvatura é K (s; t). Note que s não é necessaramente comprmento de arco denotamos o parâmetro comprmento de arco por L, ou seja, dl = g:ds. 3.1 Movmento por Curvatura Vamos agora estudar uma nova evolução, denomnada evolução por dfusão ou movmento por curvatura: Q t (s; t) = K (s; t) N (s; t) ou seja, em cada ponto a velocdade de propagação é a curvatura vezes a normal untára. Em prmero lugar, façamos algumas experêncas; as guras abaxo mostram a deformação de uma curva por esta le (a prmera para valores pequenos de t, e a segunda para valores maores). 13

14 swp /1/15 23:19 page 14 #14 14 CAPÍTULO 3. EVOLUÇÃO POR DIFUSÃO Convdamos o letor a ver e crar seus própros exemplos; para tanto, vste os stes do Prof. J. Sethan (Berkeley) 1 ou nteraja com o Java 2D Closed Curve Smulator do Prof. Shn Yoshzawa (Azu) 2, que gerou as guras acma. Note como os trechos da curva que são pontudos desaparecem rapdamente, e a curva acaba se transformando numa bolha redonda que, por sua vez, desaparecerá em tempo nto. Exercíco 10. Se a curva ncal for um círculo de rao R 0, como a curva evolu por este movmento? [Resposta: será um círculo de rao R (t) = p R 2 0 2t, que, portanto, desaparece após t = R2 0 2.] Que propredades tem esta evolução? Comecemos então por fazer alguns cálculos nteressantes: Exercíco 11. Uma curva Q (s; t) = (x (s; t) ; y (s; t)) regular fechada smples é parametrzada por s 2 [0; B] e evolu com o tempo t de acordo com a le Q t (s; t) = K (s; t) N (s; t). a) Use que Q st = Q ts para mostrar que a métrca satsfaz g t = gk 2 T t = K s g N e N t = K s g T b) Sendo L (t) o comprmento da curva e A (t) a área por ela delm O endereço da Unversdade de Azu parece estar desatualzado. Uma cópa deste Applet está em

15 swp /1/15 23:19 page 15 # MOVIMENTO POR CURVATURA 15 tada, mostre que L 0 (t) = A 0 (t) = 2 Z s=b s=0 K 2 dl (onde dl = g:ds é o elemento de comprmento de arco) pelo menos enquanto a curva for C 1. c) Mostre que K t = K LL + K 3 Uma consequênca desta últma equação é uma espéce de prncípo do mínmo para K: se K (s; t 0 ) > 0 para todo s, então K (s; t 1 ) > 0 (onde t 1 > t 0 ) para todo s também. Em suma: Teorema 12. No movmento por curvatura, curvas convexas permanecem convexas. O arredondamento da curva também pode ser descrto de manera mas precsa. A nal, um nteressante teorema da Geometra Dferencal [5] dz que: Teorema 13 (Desgualdade Isopermétrca). Seja Q uma curva plana, smples e fechada. Suponha que L é seu comprmento e A é a área que ela delmta. Então L 2 A 4 e a gualdade só se ver ca se Q for um círculo. Isto sugere o uso da razão P = L2 A para medr quão redonda uma regão é. No entanto, a partr dos cálculos de L 0 e A 0 acma, é fácl ver que:! P 0 (t) = 2P Z B 0 K 2 dl É possível mostrar que o lado dreto desta equação é sempre negatvo [7]. Alás, com estmatvas mas cudadosas, é possível mostrar que no movmento por curvatura tem-se lm t!t F L 2 A = 4 P

16 swp /1/15 23:19 page 16 #16 16 CAPÍTULO 3. EVOLUÇÃO POR DIFUSÃO onde t F é o tempo nal da evolução. Ou seja, à medda que a curva encolhe, ela se aproxma de um círculo. Mas anda, o letor pode estar preocupado com o fato de que tas cálculos acma só valem enquanto a curva for suave e smples. Uma sére absolutamente notável de artgos por Gage e Hamlton ([7], [8], [6]) mostra os seguntes fatos: Teorema 14. No movmento por curvatura: a) Se a curva ncal for convexa, ela permanece convexa; b) Se a curva ncal não for convexa, ela se torna convexa em tempo nto; c) A curva é nstantaneamente suavzada, e permanece suave até seu colapso; d) Em suma, curvas mersas permanecem mersas e convergem para um ponto crcular, sem nunca apresentarem qualquer espéce de autonterseção! Lembrando que A 0 (t) = 2, sto é, A (t) = A 0 2t, é então medato notar que o colapso da curva se dá em t = A Choques: que ponto? Em suma, esta evolução não apresenta choques, exceto pelo ponto nal de colapso. Até onde sabemos, a localzação deste ponto de colapso é desconhecda, sto é, não sabemos em geral uma manera smples de escrevê-lo em função da curva orgnal (por exemplo, ele não é o centro de massa da curva nem da regão). 3.3 Aplcação: Espaço de Reação-Dfusão Outra aplcação destas evoluções em análse de formas (Shape Analyss) é o espaço de Reação-Dfusão apresentado em [11]. Antes de descrever matematcamente as déas deste espaço, pensemos um pouco sobre como é dfícl class car formas vsuas computaconalmente. Por exemplo, quase todos os humanos concordam que um corpo pode ser razoavelmente bem dvddo em cabeça, tronco e membros. Mas, como crar um algortmo que faça esta dvsão automatcamente a partr de um esboço 2D de um corpo humano?

17 swp /1/15 23:19 page 17 # APLICAÇÃO: ESPAÇO DE REAÇÃO-DIFUSÃO 17 A déa do espaço de Reação-Dfusão é consderar uma curva Q (s; t) evolundo segundo a le mas geral Q t = ( + K) N Se = 0, temos a evolução por dfusão. Por mas que a curva orgnal Q seja não convexa, nunca há uma quebra a curva evolu suavemente, sem crar nem mesmo um bco, até o colapso nal. Começanco por um esboço 2D de um corpo, os dedos smplesmente encolhem, assm como os outros membros do corpo e a cabeça, em dreção ao torso central. Os pescoços ncalmente se alargam, até que o corpo se torna uma grande bolha convexa, que então encolhe até sumr. Por outro lado, se = 0, temos a evolução por reação; qualquer pescoço ou a namento que a curva Q apresente resultará em uma quebra da evolução em duas curvas dstntas. Agora, as mãos se separam dos braços quando os pulsos quebram, os pés se separam das pernas pelas canelas; em algum momento, estes membros desparecem completamente, e permanecem apenas uma versão reduzda de uma cabeça, provavelmente separada de uma versão reduzda do torso quando o pescoço quebra. Em seguda, a cabeça some e ca apenas o torso. O processo é sangunolento, mas, não só esta evolução produz uma subdvsão da regão ncal, mas ela produz também uma herarqua dependendo do tempo que cada regão sobrevve. Agora, se desejarmos não somente detectar os a namentos da forma vsual, mas também class cá-las quando à sua "pescoçudez", podemos varar os valores de e. Para cada pescoço (pulso, canela ou a namento), deve haver uma razão exata = que faz com que este pescoço não mas cre uma quebra na evolução da curva. Esta quantdade ndcara então o "grau de pescoçudez"deste pescoço da regão R. A gura a segur, retrada de [12], exempl ca o processo acma. O exo horzontal representa a quantdade = e o exo vertcal representa o tempo da evolução.

18 swp /1/15 23:19 page 18 #18 18 CAPÍTULO 3. EVOLUÇÃO POR DIFUSÃO

19 swp /1/15 23:19 page 19 #19 Capítulo 4 Algortmos Nesta seção dscutremos algortmos e centes que calculam as evoluções das seções anterores, e apresentaremos mas algumas aplcações. Porém, antes de abordar nossas evoluções, precsamos de alguns fundamentos de Programação Dnâmca. 4.1 O Algortmo de Djkstra Suponha que nos é dado um grafo conectado, cujas arestas são assocadas a custos postvos (ou dstâncas). De nmos o custo de um camnho como a soma dos custos de suas arestas. Escolhdos dos vértces deste grafo, como encontrar o camnho mas barato (ou mas curto) que os conecta? Um algortmo e cente que resolve este problema é o algortmo de Djkstra. Vejamos como ele funcona através de um exemplo: no grafo a segur com os custos ndcados, qual o camnho mas barato de A até D? 19

20 swp /1/15 23:19 page 20 #20 20 CAPÍTULO 4. ALGORITMOS O algortmo de Djkstra calcula, de fato, a função C (x) que dá o menor custo de A até o vértce x 2 fb; C; D; E; F g. Os passos são os seguntes: ) Qual o vértce mas próxmo de A? Certamente, é um de seus vznhos B, E ou F (chamados de vértces canddatos). Comparando os custos 4 < 5 < 10, vemos que B é o vértce mas próxmo. Então o custo de B é agora conhecdo: C (B) = 4. pelo camnho AB. Mas anda, já sabemos que C (F ) 5 (camnho AF ) e que C (E) 10 (camnho AE). ) Qual o segundo vértce mas próxmo de A? Quem são os canddatos? Certamente E e F anda têm de ser consderados, com possíves custos 10 e 5; respectvamente. Mas devemos também consderar os vznhos de B como novos canddatos! Então temos também: o vértce F, agora pelo camnho ABF, com custo C (B) + 5 = 9. Como AF era melhor, este camnho é nútl. o vértce C, pelo camnho ABC que custa C (B) + 5 = 9. Então C (C) 9. Em suma, temos vértces canddatos C, E e F com custos canddatos 9, 5 e 10. Como destes o mas barato é 5, o vértce F passa a ser conhecdo. De fato, C (F ) = 5 pelo camnho AF: Mas anda, sabemos que C (E) 10 (camnho AE) e C (C) 9 (camnho ABC). ) Qual o tercero vértce mas próxmo de A? Canddatos antgos: AE (custo 10) e ABC (custo 9).

21 swp /1/15 23:19 page 21 # O ALGORITMO DE DIJKSTRA 21 Canddatos novos: os novos vznhos de F, a saber: o vértce E, agora pelo camnho AF E, com custo C (F ) + 3 = 8 (melhor do que o antgo AE!) o vértce C, agora va AF C, com custo C (F ) + 9 = 14 (não presta, ABC era melhor!). Comparando AF E (8) com ABC (9), vemos que E é mas próxmo. Ou seja, o próxmo vértce conhecdo é C (E) = 8 por AF E, e resta a nformação de que C (C) 9 por ABC. v) Quarto? Canddatos antgos: ABC (custo 9). Canddatos novos: os vznhos do últmo vértce calculado E... Neste caso, apenas D, sto é, AF ED com custo C (E) + 4 = 12. Então o novo vértce conhecdo é C, com C (C) = 9 va ABC, enquanto C (D) 12 va AF ED. v) Qunto? Canddato antgo: AF ED com custo 12: Canddato novo: novos vznhos de C, a saber, apenas D va ABCD, com custo C (C) + 4 = 13: Conclusão: C (D) = 12 va AF ED. Note que não só determnamos o custo mínmo de A até qualquer outro vértce, mas também temos computado o camnho mínmo até lá. A gura a segur lustra toda a nformação que obtvemos: Algortmo de Djkstra

22 swp /1/15 23:19 page 22 #22 22 CAPÍTULO 4. ALGORITMOS 1. Incalzação: assocar a cada vértce uma função custo estmado, fazendo C (In{co) = 0 e C (x) = 1 para todo x 6= In{co. Marcar o vértce ncal como conhecdo e os outros como canddatos. En m, de nr o vértce corrente como o vértce A. 2. Loop: Para cada vznho canddato Y do vértce corrente X, consdere o novo custo estmado C (X)+C(XY ). Se este custo for menor que o C (Y ) prevamente calculado, ele passa a ser o novo custo estmado C (Y ) (com novo melhor camnho A:::XY ). Dentre todos os vértces canddatos, ver que qual tem o menor custo. Este vértce passa a ser conhecdo (sto é, seu custo e camnho ótmos estão determnados e não mudam mas). Também, ele passa a ser o novo vértce corrente (seus vznhos serão recalculados na próxma nteração). Se anda houver vértces canddatos, volte ao níco do loop. Senão, o algortmo termna. Suponha que o grafo tem V vértces e A arestas. Note que cada vértce é vstado apenas uma vez como "corrente", e em cada uma destas vstas a operação mas trabalhosa é encontrar um mínmo dentre V custos dos vértces canddatos 1. Também, cada aresta é vstada uma únca vez. Assm, o número de operações no algortmo de Djkstra é no máxmo O E + V 2 número que costuma ser muto menor do que o número de camnhos presentes no grafo entre dos de seus vértces. Exercíco 15. No grafo a segur, encontre o camnho mas curto de A até I. 1 Tpcamente, a lsta de canddatos tem menos que V vértces. Alás, se eles forem mantdos ordenados, não é necessáro vasculhar todos eles basta comparar o menor dos vértces da lsta antga com os novos vznhos, e nserr os novos vznhos ordenadamente na lsta de canddatos. Assm, é possível reduzr o número de operações em cada vértce para O (log V ) ao nvés de O (V ).

23 swp /1/15 23:19 page 23 # FAST MARCHING METHODS 23 Resposta: 4.2 Fast Marchng Methods Como adaptar o cálculo de "custos"para determnar a função dstânca a uma curva do plano dada? Uma prmera dea é tomar a curva orgnal como sendo um conjunto de "pxels"do plano, e usar um grafo que conecte os pxels para ser o grafo do algortmo de Djkstra. Ao nvés de partr de um vértce ncal, teríamos um conjunto de vértces ncas (a curva toda),

24 swp /1/15 23:19 page 24 #24 24 CAPÍTULO 4. ALGORITMOS todos eles marcados com dstânca zero e como vértces "correntes". Agora é só usar algum grafo que conecte todos os pxels do plano e aplcar a ele o algortmo. Porém, que grafo utlzar? Se tomarmos um grafo que conecte apenas pontos adjacentes na vertcal ou horzontal, váras dstâncas serão superestmadas na prátca, estaríamos calculando uma dstânca va a métrca "quarterão", mas queríamos utlzar a métrca Eucldeana! Por exemplo, qual a dstânca do vértce X da gura abaxo ao polígono que o cerca, supondo que cada quadrado do grd é 1 1? Aplcando o algortmo de Djkstra ao grafo tracejado, teremos f (X) = 3, pos esta é a dstânca mínma de X até a curva va camnhos paralelos aos exos. Note que esta estmatva não melhora dmnundo o lado do quadrado fundamental do grafo se todas as arestas do grafo forem paralelas aos exos, sempre teremos f (X) = 3! Se completarmos o grafo utlzando dagonas dos quadrados fundamentas, a dstânca anda sera superestmada: teríamos f (X) = p 2 + 1, anda ndependente do tamanho do grd. A função que queremos de fato é f (X) = p 5 (que é o rao do círculo ndcado na gura). Uma manera de encontrar este número sera conectar cada vértce do nteror da regão a cada pxel da curva orgnal mas, ao fazer sto, estamos de fato resolvendo o problema por força bruta, e o algortmo de Djkstra nem sera necessáro. O

25 swp /1/15 23:19 page 25 # FAST MARCHING METHODS 25 número de operações sera da ordem de V 2 onde V é o número de vértces no nteror da regão onde queremos calcular a função dstânca. Ao nvés de usar o algortmo desta forma, consdere o segunte problema: na gura a segur, suponha que conhecemos f (A) = f A e f (B) = f B e desejamos utlzar estes valores para estmar f (X) = f X. Como fazê-lo? A chave é lembrar que, para a função dstânca, temos jrfj = 1. Assm, usando aproxmações de prmera ordem, temos f A = f (X + u) = f X + hrf (X) ; u f B = f (X + v) = f X + hrf (X) ; v jrf (X)j = 1 Exercíco 16. Suponha que u = (1; 0) e v = (0; 1) e elmne rf (X) no sstema acma, chegando a (f X f A ) 2 + (f X f B ) 2 = 1 que é uma quadrátca em f X. Qual a condção para que esta quadrátca tenha solução real? Interprete esta condção geometrcamente. Em geral, nas três equações acma, conhecemos f A, f B, u e v, e as ncógntas são f X e ambas as coordenadas de rf (X). Três equações, três ncógntas, há esperança de encontrar uma estmatva para f X!

26 swp /1/15 23:19 page 26 #26 26 CAPÍTULO 4. ALGORITMOS De fato, temos q f X = f A hv; v u + f B hu; u v [u; v] d 2 (f A f B ) 2 d 2 onde d = d (A; B). Observe que para encontrarmos uma solução real para f X é necessáro que jf A f B j d (A; B) mas já sabemos que a função dstânca f tem de satsfazer esta condção, pos é uma contração fraca! Agora temos um plano: o cálculo da função f será feto começando pelos pontos mas próxmos da curva orgnal. Utlzaremos a fórmula acma para encontrar uma dstânca canddata f X baseada em dstâncas prevamente determnadas f A e f B em pxels conhecdos A e B que são vznhos a X. Dentre todos os canddatos X, acetamos o "mas barato"como conhecdo, recalculamos seus vznhos usando a fórmula acma, e contnuamos como no algortmo de Djkstra. Este algortmo é chamado do tpo Fast Marchng, já que o algortmo "marcha"da curva para dentro, e essencalmente vsta cada pxel a ser calculado apenas uma vez. Em suma: Fast Marchng Method para a função dstânca 1. Incalzação: Estabeleça valores ncas nos pxels conhecdos (tpcamente, pxels em Q onde f vale 0), que ncalmente são também uma plha de vértces correntes. 2. Loop: Para cada pxel corrente, estme f em seus vznhos desconhecdos e ponha estes pxels (e os valores de f) numa plha de canddatos. Tome o pxel X da plha de canddatos com o menor f (X) estmado e marque-o como conhecdo e como o novo vértce corrente. (Se em algum pxel X a nova estmatva for menor que uma estmatva préva, que com a nova!) Se anda houver vértces desconhecdos, volte ao níco do loop.

27 swp /1/15 23:19 page 27 # FAST MARCHING METHODS 27 Um últmo detalhe: a quadrátca que calcula f X tem duas raízes. Qual escolher? A resposta é clara se pensarmos na ordenação do método: escolha a raz que for maor que ambos f A e f B. Exercíco 17. Mostre que, se o trângulo XAB for acutângulo 2 em A e em B, então a méda artmétca das duas raízes é uma méda ponderada de f A e f B. Portanto, apenas a maor raz pode satsfazer o crtéro f X max (f A ; f B ). Note também que a ordenação do nosso algortmo garante que a propagação não passa dos choques, e portanto calcula a dstânca corretamente. Usando uma ordenação rápda de vértces canddatos, pode-se mostrar que este algortmo é O (N log N) onde N é o número de pxels na regão R Aplcação à robótca Os métodos Fast Marchng são tão rápdos que permtem a resolução de problemas aparentemente bem dfíces. Uma aplcação (de novo, menconada pelo Prof. Sethan 3 ) consste em determnar como mover um sóldo de um ponto a outro evtando obstáculos pré-determnados. Explquemos uma versão 2D do problema: você tem um "sofá polgonal"em um canto de uma sala retangular S R 2. Nesta sala há város obstáculos, dgamos, um conjunto de outros polígonos espalhados pelo retângulo orgnal. Você quer mover seu sofá para outro ponto da sala, talvez até com uma nova orentação, drblando, é claro, os obstáculos todos. Será que é possível? Como? A solução é surpreendentemente brutal: cada posção do sofá na sala pode ser representado por um ponto (x; y; ) 2 S [0; 2], onde (x; y) representa a posção de um ponto specí co do sofá (dgamos, de seu centro de massa, ou de um vértce referênca) e é um ângulo que representa a orentação do sofá como relação à orgnal. O conjunto S [0; 2] é um espaço de estados para o sofá. Agora, para cada ponto deste conjunto, ver que se a presença do sofá naquele estado é possível ou não sto é, se o sofá naquele estado 2 Na prátca, sempre que X é pxel vznho a A e a B, o trângulo XAB é acutângulo em A e em B. Em outras palavras, se XAB é obtusângulo em B, então A não é vznho de X deve haver um pxel mas próxmo de X do que A. 3

28 swp /1/15 23:19 page 28 #28 28 CAPÍTULO 4. ALGORITMOS ntersectara algum obstáculo. Este é um problema de geometra se o sofá e os obstáculos tverem formas smples, ver car se eles ntersectam é rápdo. Se alguma posção for mpossível, elmne-a do espaço de estados. Ao termnar o processo acma, temos um espaço de estados com todas as posções possíves do sofá. Smplesmente aplque o algortmo de Djkstra (ou o algortmo Fast Marchng correspondente) partndo do estado ncal, e encontraremos o menor custo sando deste estado e chegando ao estado nal. O camnho no espaço de estados ndca o movmento que tem de ser aplcado ao sofá em questão! O algortmo calculará TODAS as posíves posções do sofá a partr da orgnal, e também o camnho "menos custoso"até cada ponto da sala! Melhor do que ler esta explcação é ver um Applet que realza este algortmo: vste a págna do Prof Sethan. A versão 3D pode ser resolvda de manera semelhante, mas agora o espaço de estados terá 5 parâmetros (x; y; z) para posção, (; ) para orentação. 4.3 Level Set Methods Agora voltamos nossa atenção a algortmos e centes que computem a Evolução por Dfusão Método Lagrangano Uma prmera dea para realzar o movmento por curvatura de uma curva plana sera amostrar a curva por um polígono (utlzando vértces sobre a curva chamados de "marcadores"). A partr destes, faríamos estmatvas de vetor normal e da curvatura usando uma aproxmação numérca em cada vértce. Tendo a velocdade estmada de cada ponto, podemos movê-los, obter uma nova curva, recalcular normas e curvaturas, etc. Este é o chamado de método Lagrangano, e pode ser aplcado a prncípo para não somente a evolução por dfusão, mas a qualquer evolução cuja velocdade dependa da normal e da curvatura. Enquanto é perfetamente possível mplementá-lo numercamente, consdere:

29 swp /1/15 23:19 page 29 # LEVEL SET METHODS 29 A ordem dos marcadores tem que ser cudadosamente mantda. Parece smples fazer sto por meo de uma lsta ordenada, mas lembremos que evoluções em geral podem levar a "quebras"na curva, sto é, mudanças de sua topologa. No momento da quebra, decdr computaconalmente que marcadores cam em que pedaço da curva pode ser bastante complcado. Quebra na evolução. Os cálculos do vetor normal e da curvatura são nstáves numercamente quando os marcadores estão muto próxmos. Enquanto o prmero problema em teora não afeta o movmento por curvatura (não há quebras), o segundo é pratcamente nevtável: mesmo que a amostragem ncal da curva seja razoavelmente "bem espalhada", o movmento por curvatura va trazer estes marcadores próxmos um ao outro. É realmente questão de tempo até que nstabldades numércas apareçam, a curvatura seja mal calculada, e o algortmo vá por água abaxo Método Eulerano Consdere uma função z = F (x; y) e uma de suas curvas de nível Q : z = z 0. Se a função F vara com o tempo (então de fato F = 4 Uma outra possbldade é "reamostrar" curva quando marcadores quem próxmos uns dos outros, mas este processo traz uma "dfusão adconal"ao problema que gostaríamos de evtar.

30 swp /1/15 23:19 page 30 #30 30 CAPÍTULO 4. ALGORITMOS F (x; y; t)), a curva de nível também varará no plano z = z 0. z = F (x; y; 0) e a curva de nível z = z 0 Para ser exato, consdere a curva de nível F = z 0 parametrzada por (x (s; t) ; y (s; t)) onde s é o parâmetro sobre a curva e t é o tempo. Assm, F (x (s; t) ; y (s; t) ; t) = z 0 para todo s e t. Dervando com relação ao tempo: F x x t + F y y t + F t = 0 ) F t = hrf; ~v onde ~v é a velocdade de um ponto (x; y) de Q (com s xo) no plano z = z 0. Em partcular, se ~v = vn onde N é a normal untára a Q, camos com F t = jrf j v onde supusemos que rf aponta para dentro da curva, sto é, rf = jrf j N. Esta é a dea prncpal do método Eulerano ou método por curvas de nível (Level Set Method); a nvés de deformar dretamente uma curva no plano, representamo-la como uma curva de nível de uma função de duas varáves F (x; y; 0) podemos usar, por exemplo, F (x; y; 0) = f (x; y) onde f é a função dstânca com snal dscutda anterormente! Agora aplcando a E.D.P. acma a F, fazemos a curva varar mplctamente. Se escolhermos v cudadosamente, podemos fazer com que a curva evolua da manera desejada. Métodos deste tpo têm as seguntes vantagens:

31 swp /1/15 23:19 page 31 # LEVEL SET METHODS 31 A curva em evolução pode passar entre os pxels onde a função F é calculada. De fato, se F A > z 0 num pxel A e F B < z 0 num pxel vznho B, a curva passará entre A e B, e sua posção exata pode ser estmada com base nos valores F A e F B. Em suma, representar uma curva como curva de nível de uma função nos dá precsão sub-pxel na localzação desta curva. O grá co de F pode ter curvas de nível com topologas dstntas. Assm, mudanças de topologa da curva em evolução não são problema algum, e não é necessáro manter estruturas ordenadas para representar a curva. F desce: nova topologa para No caso do movmento por curvatura, queremos fazer v = K. Como a curvatura das curvas de nível de F (x; y) pode ser calculada por K = dv, então basta evolur F segundo a le rf jrf j F t = rf jrf j dv jrf j onde o gradente e dvergente são tomados apenas nas coordenadas x e y. De fato, como z 0 é arbtráro, todas as curvas de nível de F farão seus movmentos por curvatura!

32 swp /1/15 23:19 page 32 #32 32 CAPÍTULO 4. ALGORITMOS Implementar uma versão dscreta desta E.D.P. não é muto dfícl algum cudado tem que ser tomado em pontos onde jrf j ' 0, onde a expressão à dreta é nde nda; em tas pontos, pode-se mostrar ([4]) que a velocdade correta para que ocorra o movmento por curvatura desejado é: p det H se det H 0 F t = 0 se det H < 0 onde det H = F xx F yy Fxy 2 é o determnante da Hessana de F. Em suma, pontos de sela não se movem vertcalmente, enquanto máxmos locas se movem com a velocdade p det H para baxo. Mas detalhes sobre este algortmo estão em [3] Aplcação: Image Denosng Uma aplcação deste algortmo é a elmnação de ruídos de magens dgtas. Uma magem em tons de cnza pode ser modelada por uma função z = F (x; y), onde (x; y) denota um ponto da tela e z é a sua cor (tpcamente, 0 =preto e 255 =branco). Neste contexto, ruídos tpcamente correspondem a valores de F que são muto dferentes de seus vznhos, sto é, extremos locas de F cujas curvas de nível tem área muto pequena. Aplcando o algortmo Level Set usando a magem como estado ncal, tas curvas de nível de pequena área desaparecem rapdamente, sem deformar demas as de área maor. Para exemplos desta aplcação, veja novamente o ste do Prof. Sethan (Berkeley) 5. 5 Novamente, em

33 swp /1/15 23:19 page 33 #33 Capítulo 5 Dstâncas A ns Neste capítulo, cramos novas funções dstânca dferentes da Eucldeana com a propredade de serem co-varantes por transformações a ns. 5.1 Geometra A m de Curvas Uma das propredades nteressantes dos vetores tangente e normal à uma curva é sua covarânca por sometras. Em outras palavras, aplcando uma sometra à curva orgnal, os vetores tangente e normal da nova curva são os transformados dos anterores pela mesma sometra. Agora, note que estes vetores não são nvarantes por transformações lneares em geral. A nal, o vetor normal a uma crcunferênca passa pelo seu centro. Aplcando uma transformação a m a esta crcunferênca, podemos transformá-la numa elpse e, em geral, o vetor normal à elpse não passa pelo seu centro! Será que exstem outros vetores assocados a uma curva que sejam nvarantes por transformações a ns (lneares + translações) quasquer? Se lmtarmos as transformações lneares àquelas que preservam área (determnante 1), a resposta é, surpreendentemente, sm. De nção 18. Dada uma curva parametrzada Q (s), o compr- 33

34 swp /1/15 23:19 page 34 #34 34 CAPÍTULO 5. DISTÂNCIAS AFINS mento de arco a m é o parâmetro Z u = [Q s ; Q ss ] 1=3 ds Note que u ndepende da parametrzação Q (s) utlzada. De fato, tomando uma nova parametrzação R (t) = Q (s (t)), vem R t = Q s s 0 R tt = Q ss (s 0 ) 2 + Q s s 00 então [R t ; R tt ] = h Q s s 0 ; Q ss (s 0 ) 2 + Q s s 00 = [Q s ; Q ss ] (s 0 ) 3 ) ) [R t ; R tt ] 1=3 dt = [Q s ; Q ss ] ds Em partcular, se s = L for o comprmento de arco, então Q L = T, Q LL = KN e portanto Z u = K 1=3 dl De nção 19. Dada uma curva parametrzada, sua tangente a m e sua normal a m num ponto da curva são respectvamente T = Q u N = Q uu onde u é o parâmetro de arco a m. Como sabemos que du dl = K1=3, não é dfícl re-escrever a tangente e a normal a m em função da tangente e normal usuas. De fato dl T = Q u = Q L du = K 1=3 T N = d K 1=3 T dl dl du = ou seja 1 3 K 4=3 K L T + K 1=3 KN T = K 1=3 T N = 1 3 K 5=3 K L T + K 1=3 N K 1=3

35 swp /1/15 23:19 page 35 # GEOMETRIA AFIM DE CURVAS 35 Note que se K 6= 0, então T e N são transversas, mas não necessaramente perpendculares! Quando K = 0, estes vetores não estão bem de ndos (são "n ntos"na dreção tangente). Por este motvo, daqu para a frente suporemos que a curva Q (s) tem curvatura postva em todos os seus pontos. Exemplo 20. A elpse Q (s) = (a cos s; b sn s) não está parametrzada por comprmento de arco. O comprmento de arco a m é Z Z 1=3 u = [Q s ; Q ss ] 1=3 a sn s a cos s ds = b cos s b sn s ds = (ab) 1=3 s Portanto, para parametrzar uma elpse pelo comprmento de arco a m, usamos a nova parametrzação u Q (u) = a cos 3p ; b sn u ab 3p ab A tangente e a normal a m são T = Q u = a 2=3 b 1=3 sn N = Q uu = a 1=3 b 2=3 cos u 3p ab ; a 1=3 b 2=3 cos u 3p ab u 3p ; a 2=3 b 1=3 sn u ab 3p ab Observe que Q e N são paralelos. Em outras palavras, a normal a m a uma elpse aponta para seu centro! A propredade fundamental a segur pode ser usada como uma de nção da parametrzação a m. Proposção 21. Se u é o comprmento de arco a m, então em todos os pontos da curva. [Q u ; Q uu ] = [T ; N ] = 1 Demonstração. Segue medatamente de h [T ; N ] = K 1=3 T; K 1=3 N = 1

36 swp /1/15 23:19 page 36 #36 36 CAPÍTULO 5. DISTÂNCIAS AFINS De nção 22. Dada uma curva Q (u) parametrzada por comprmento de arco a m, a curvatura a m (u) no ponto Q (u) é de nda por = [Q uu ; Q uuu ] = [N ; N u ] Proposção 23. N u = T : Demonstração. Dervando [Q u ; Q uu ] = 1 com relação a u [Q uu ; Q uu ] + [Q u ; Q uuu ] = 0 ) [Q u ; Q uuu ] = [T ; N u ] = 0 Portanto, N u é um múltplo de T, dgamos N u = T. Mas então = [Q uu ; Q uuu ] = [N ; N u ] = [N ; T ] = [T ; N ] = Exemplo 24. Voltemos à elpse parametrzada por comprmento de arco a m. Temos Q uuu = b 1 sn 3p u ; a 1 u cos ab 3p ab então sua curvatura a m será a 1=3 b 2=3 u cos 3p = ab b 1 sn 3p u ab a 2=3 b 1=3 sn 3p u ab a 1 u cos 3p ab Portanto, a curvatura a m de uma elpse é constante = (ab) 2=3 No caso partcular a = b = R, temos a curvatura a m de um círculo = R 4=3 Exercíco 25. Mostre que a expressão da curvatura a m em função da curvatura usual K e de suas dervadas com respeto ao comprmento de arco usual é = K 4=3 5 9 K 8=3 K 2 L K 5=3 K LL

37 swp /1/15 23:19 page 37 # DISTÂNCIA AFIM 37 Exercíco 26. Mostre que a curvatura a m de uma parábola é 0. Proposção 27. Seja A uma transformação equ-lnear (sto é, lnear que preserva áreas, ou seja, que tem determnante 1). Então as normas a ns e tangentes a ns em qualquer ponto da curva são co-varantes por A, e a curvatura a m é nvarante por A. Demonstração. Como [Q s ; Q ss ] é uma área, esta função escalar é nvarante por A. Assm, o parâmetro comprmento de arco a m u é o mesmo na curva Q e na curva transformada AQ. Consequentemente, as novas tangente e normal a ns são (AQ) u = AQ u = AT (AQ) uu = AQ uu = AN e portanto a nova curvatura a m é [AQ uu ; AQ uuu ] = [Q uu ; Q uuu ] = já que, novamente, [Q uu ; Q uuu ] é uma área que tem de ser preservada por A. 5.2 Dstânca A m Com as ferramentas da geometra a m em mãos, é smples de nr uma evolução que seja nvarante por transformações equ-a ns seguremos uma lógca semelhante à da Evolução por Reação. Dada uma curva parametrzada Q (s) = Q (s; 0), consdere a evolução dada por Q (s; t) = Q (s) + tn (s) Note que Q t = N (s) é a normal a m à curva orgnal (e não à curva Q (s; t)!). Exemplo 28. Vmos que a elpse Q (u) = a cos tem normal a m N =. Assm, a evolução é (ab) 2=3! t Q (s; t) = 1 Q (s) (ab) 2=3 Q u 3p ab ; b sn 3p u ab

38 swp /1/15 23:19 page 38 #38 38 CAPÍTULO 5. DISTÂNCIAS AFINS ou seja, para t xo, a curva Q (s; t) é uma elpse semelhante à orgnal, de equação! 2 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 t (ab) 2=3 Esta evolução colapsa na orgem quando t = (ab) 2=3. Apesar da evolução da elpse não apresentar choques até seu m, em geral esta evolução pode gerar entrecruzamentos. Portanto, novamente é nteressante rede nr a evolução a m de uma forma mas mplícta, usando curvas de nível de alguma espéce de função dstânca. Isto pode ser feto da forma a segur. De nção 29. Dada uma curva smples fechada Q (u) parametrzada por comprmento de área a m e um ponto P na regão delmtada pela curva, de nmos a dstânca a m de P a Q por f (P ) = mn u [Q u (u) ; P Q (u)] Na de nção acma, Q u é uma normal a m e portanto co-varante por transformações a ns. A expressão h (u) = [P Q (u) ; Q u (u)] é o dobro da área do trângulo com lados P Q (u) e Q u (u) (vde gura acma), portanto também é nvarante. En m, como todos os objetos da de nção acma são co-varantes por transformações

39 swp /1/15 23:19 page 39 # DISTÂNCIA AFIM 39 equ-a ns, claramente a função f (P ) também é nvarante por tas transformações. Tentemos encontrar explctamente o mínmo de h (u). Dervando com relação a u h 0 (u) = [P Q (u) ; Q uu (u)] e note que esta dervada só se anula quando P normal a m Q uu, dgamos, Q (u) for paralelo a P Q (u) = tn (u) P = Q (u) + tn (u) ou seja, P = Q (s; t) na evolução a m. Mas anda, voltando à de nção de h teríamos então neste ponto f (P ) = h (u) = [Q u (u) ; P Q (u)] = [T ; tn ] = t Ou seja, xada a curva Q, a função dstânca f (P ) é exatamente o tempo que a propagação a m demora para chegar ao ponto P: Em suma, assm como a propagação com a velocdade do vetor normal fo rede nda va curvas de nível da função dstânca usual, vamos rede nr a evolução a m usando as curvas de nível da dstânca a m f. Com sto, evtamos quasquer entrecruzamentos. Vale a pena também notar que a expressão f (Q + tn ) = t mostra que o grá co de f é uma superfíce regrada. Mas anda, Moacyr Slva [17] mostrou que: Teorema 30. Com a notação acma, na curva orgnal Q (s) tem-se jrfj = K 1=3 Mas anda, nos pontos da regão em volta dos quas f é C 2 vale D 2 f N = 0 e, portanto, det D 2 f = 0

40 swp /1/15 23:19 page 40 #40 40 CAPÍTULO 5. DISTÂNCIAS AFINS Demonstração. Podemos supor que Q (u) está parametrzada por comprmento de arco a m. Dervando f (Q + tn ) = t com relação a t, temos hrf (Q + tn ) ; N = 1 (5.1) Mas nos pontos da curva orgnal, tem-se rf = jrfj N N = 1 3 K 5=3 K L T + K 1=3 N donde vem a prmera gualdade. Dervando 5.1 novamente com relação a t, vem: D 2 f N ; N = 0 e dervando 5.1 com relação a u D 2 f (T tt ) ; N = 0 ) D 2 f N ; T = 0 (onde usamos que D 2 f é smétrca e que t < 1= antes dos choques). Assm, D 2 f N é ortogonal a ambos T e N (que são lnearmente ndependentes) e tem que ser nulo. En m, como D 2 f tem um autovalor 0, então det D 2 f = 0 O teorema acma nos dz que a função dstânca a m f é (em algum sentdo) a solução do problema det D 2 f = 0 em R jdfj = K 1=3 = Q f = 0 = Q o que nos permte crar algortmos do tpo Fast Marchng para o cálculo numérco da dstânca a m! De fato, se soubermos os valores do gradente de f em dos pontos A e B (dgamos, V A e V B ), podemos estmar o valor do gradente de f num ponto vznho X (dgamos, V X ) usando as seguntes estmatvas

41 swp /1/15 23:19 page 41 # DISTÂNCIA AFIM 41 V A = V X + D 2 f (X) u V B = V X + D 2 f (X) v det D 2 f = 0 Temos aqu = 5 equações e 5 ncógntas (2 para V X e 3 para D 2 f (X), que deve ser smétrca). Com os gradentes todos calculados, é fácl estmar o valor de f (X) baseado em f (A) ou f (B). En m, ctemos brevemente que os choques da evolução a m são um esqueleto co-varante por quasquer transformações a ns, denomnado A ne Dstance Symmetry Set (ADSS) (vde [9] e [10]). Exemplo 31. A dstânca a m f correspondente à eptrochóde (x (s) ; y (s)) = cos s cos 4s; sn s + sn 4s tem o grá co abaxo

42 swp /1/15 23:19 page 42 #42 42 CAPÍTULO 5. DISTÂNCIAS AFINS Note as "crstas"do grá co, que correspondem a choques da evolução a m e, projetados no plano da curva, seram o ADSS da eptrochóde. 5.3 Dstânca A m por Áreas A título de curosdade, menconamos brevemente aqu uma outra dstânca a m que não vem dretamente de uma evolução nem da geometra dferencal acma descrta. Esta dstânca aparece em [13] e [1]. De nção 32. Dada a curva Q (s) convexa lmtando uma regão R e um ponto P em R, consdere uma corda (Q (a) ; Q (b)) passando por R. Esta corda dvde R em duas regões, com áreas A 1 A 2. Escolha a corda (Q (a) ; Q (b)) (sempre passando por P ) que determna a menor área A 1 possível. Esta área A 1 é a dstânca a m por área de P a Q.

43 swp /1/15 23:19 page 43 # DISTÂNCIA AFIM POR ÁREAS 43 Como a de nção é baseada apenas em cordas e áreas, ela é claramente nvarante por transformações equ-a ns. Apenas ctaremos aqu algumas belíssmas propredades desta nova função dstânca f (P ). Proposção 33. Se C é uma corda ótma assocada ao ponto P (no sentdo de determnar a menor área A 1 possvel), então P é médo de C. Alem dsso, a corda ótma assocada a P é tangente à curva de nível de f passando por P Demonstração. Veja [13] ou [14]. Teorema 34. A menos de sngulardades, a função f satsfaz det D 2 f = 4 em R Demonstração. Veja [17] ou [16]. jrfj = 0 = Q f = 0 = Q Teorema 35. O grá co de f é uma esfera a m mprópra. Demonstração. Veja [2]. En m, a função f pode ser calculada com algortmos do tpo Fast Marchng (vde [15] para um algortmo baseado na EDP, ou [2] para uma abordagem dreta caso a curva Q seja um polígono).

44 swp /1/15 23:19 page 44 #44 44 CAPÍTULO 5. DISTÂNCIAS AFINS Dstânca a m por área a um crculo (parte nterna)

45 swp /1/15 23:19 page 45 #45 Apêndce A Curvatura de Curvas Planas A.1 De nção Dada uma curva plana parametrzada por Q (s) = (x (s) ; y (s)), o seu vetor velocdade Q s = (x 0 (s) ; y 0 (s)) forma um certo ângulo (s) com a horzontal (exo! Ox). De nmos a curvatura K desta curva plana num determnado ponto como a taxa de varação deste ângulo por undade de comprmento L medda na curva. Em outras palavras K = d dl onde tan = y0 (s) y 0 x 0 ou = arctan (s) x 0 q dl = jq s j = (x ds 0 (s)) 2 + (y 0 (s)) 2 Uma expressão de K em função da parametrzação pode ser obtda 45

46 swp /1/15 23:19 page 46 #46 46 APÊNDICE A. CURVATURA DE CURVAS PLANAS assm: K = d ds ds d dl = arctan ds y 0 x 0 1 = q(x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 1 = 1 + ) K = y 0 x 0 2 y 00 x 0 x 00 y 0 (x 0 ) 2 1 q(x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 ) x 0 y 00 y 0 x 00 (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 3=2 ou K = [Q s; Q ss ] jq s j 3 Em partcular, note que a de nção de K depende apenas do formato da curva e não da velocdade em que a percorremos, sto é, dada uma curva, K não depende da parametrzação escolhda 1. Exemplo 36. Uma possível parametrzação de um círculo de rao R é Q (s) = (R cos ws; R sn ws) Neste caso Q s = ( Rw sn ws; Rw cos ws) ) jq s j = Rw Q ss = Rw 2 cos ws; Rw 2 sn ws ) ) [Q s ; Q ss ] = Rw sn ws Rw 2 cos ws Rw cos ws Rw 2 sn ws = R2 w 3 portanto K = [Q s; Q ss ] jq s j 3 = R2 w 3 R 3 w 3 = 1 R con rmando a déa ntutva de que K é maor quando a curva é mas fechada. Note que K não depende de w (que apenas muda a 1 Para ser exato, a curvatura depende somente da dreção em que a curva é percorrda; se usarmos uma parametrzação que reverte essa dreção, a expressão da curvatura muda de snal. É comum se exgr que tal parametrzação sga o sentdo ant-horáro para curvas fechadas.