Escoamento do ar em massa de vários tipos de grãos: estudo teórico e experimental

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1 Escoamento do ar em massa de vários tipos de grãos: estudo teórico e experimental Jonas J. Radtke, Oleg A. Khathatourian, Nelson A. Toniazzo Depto de Física, Estatística e Matemática, DeFEM, UNIJUÍ Rua São Francisco, São Geraldo , Ijuí, RS jonas.radtke@unijui.tche.br, olegkha@unijui.tche.br, toniazzo@unijui.tche.br 1 Introdução O Brasil ocupa a terceira posição na produção mundial de grãos e tem como principais produtores os estados do Mato Grosso, Paraná, Rio Grande do Sul, Goiás e Minas Gerais. Esta produção não consiste apenas no plantio e na colheita, há outro elemento importante que faz parte desse processo, o qual se traduz no armazenamento. No armazenamento dos grãos, há preocupação em manter a qualidade, sendo que estes permanecem armazenados por períodos elevados de tempo, e ainda, que a massa de grãos atinge alturas elevadas e o peso dos grãos provoca significativa compactação das camadas inferiores, estes fatos devem ser considerados nos projetos de novos silos e no controle do funcionamento dos silos existentes. Diante desta situação, buscando primordialmente a manutenção da qualidade dos grãos armazenados, é utilizada a técnica de aeração, que consiste num método de arejamento periódico dos grãos, com o objetivo de diminuir e uniformizar a temperatura. A eficiência de um sistema de aeração está no controle do escoamento do ar e na manutenção da uniformidade do escoamento em todas as regiões do silo. No trabalho de Khatchatourian e Savicki [5], foi desenvolvido um modelo matemático para o problema de escoamento do ar em silos de grande porte, que inclui algumas dependências empíricas relacionadas com a característica da massa de grãos submetida ao processo de aeração. Neste trabalho dois equipamentos experimentais foram desenvolvidos para a determinação da relação entre a velocidade do ar e o gradiente de pressão estática, para cinco diferentes tipos de grãos (soja, milho, trigo, arroz e aveia), com o objetivo de determinar os coeficientes empíricos e validar o modelo matemático para os diversos tipos de grãos estudados. Ressalta-se ainda que a necessidade do estudo experimental se deve ao fato de praticamente não existirem na literatura dados referentes a variação entre velocidade do ar e o gradiente de pressão para os padrões dos grãos produzidos atualmente, outro motivo, se deve ao fato de que os dados existentes, foram realizados em outras regiões, ou países, desta forma, não apresentam total coerência com as variedades e padrões dos grãos produzidos no Brasil, e mais especificamente na região noroeste do estado do Rio Grande do Sul. 2 Modelo Matemático No presente trabalho examinamos o modelo matemático de escoamento de ar em uma massa de grãos não-homogênea para caso 2-D proposto por Khatchatourian e Savicki [5], que é expresso na forma de um sistema de duas equações: divw = 0, (1) W = gradp ( ) gradp exp ln 10(V/4a + C), (2) e V = [ ] ln(1 + U 2 ) 2U arctan(u) /π + 3U (3) U = a log( gradp ) + b, (4) sendo a e b constantes; W o vetor velocidade (m s 1 ); e P a pressão (P a).

2 A equação escalar (1) é a equação de continuidade para fluido incompressível. A equação vetorial semi-empírica (2), que corresp à equação de Navier-Stokes, expressa que os vetores de velocidade e gradiente de pressão são colineares em todos os pontos do domínio e que a razão entre os módulos destes vetores é uma função do gradiente de pressão. Assim, fazendo-se: ( ) K = exp ln 10(V/4a + c) / gradp, (5) K é o coeficiente de permeabilidade (m 3.s.kg 1 ); a é constante; c é o coeficiente empírico; e U é o argumento intermediário. Usando a equação (2) para expressar os componentes de velocidade, para o caso 2-D, na forma: u = K P x e v = K P y. (6) Substituindo a equação (6) na equação (1), obtemos a equação diferencial não-linear: ( K P ) + ( K P ) = 0. (7) x x y y A equação (7) modela a distribuição da pressão de um escoamento de ar, juntamente com as seguintes condições de contorno: P = p e (de Dirichlet para as superfícies de entrada e saída de ar). n gradp = 0 (de Neumann para as superfícies limitadas por paredes). Em silos e armazéns a massa de grãos atinge alturas elevadas, devido ao efeito da compactação, a massa de grãos passa a constituir um meio não-homogêneo, apresentando diferentes coeficientes de permeabilidade, que variam em função da altura da camada de grãos e forma de carregamento. O coeficiente de permeabilidade K determina a relação entre a velocidade de fluxo e gradiente de pressão em cada ponto do domínio do escoamento, variando de acordo com a alteração do grau de compactação da massa de grãos com o gradiente de pressão e tipo de grão. Para levar em conta a influência da altura H, o gradiente de pressão sem compactação gradp 0, no argumento intermediário U é substituído pela expressão: gradp 0 = gradp H (1 + C), (8) U = a log ( ) gradph + b, (9) (1 + C) assim, a e b são constantes; C é a função de compactação; P 0 é a pressão inicial e P H é a pressão com altura H. A equação (10), chamada de função de compactação, que relaciona os valores dos módulos de gradiente de pressão inicial (sem compactação) e do gradiente de pressão gradp H para a profundidade H considerada, foi apresentado na forma: C(H) = d(1 exp qh ), (10) d e q são coeficientes empíricos da função de compactação. Então, a equação (2), junto com o argumento intermediário (9) e a equação (10), relaciona o valor requerido de velocidade do ar em uma camada de grãos localizada na profundidade H com gradiente necessário de pressão. 3 Estudo Experimental Para determinar os coeficientes empíricos do modelo proposto por Khatchatourian e Savicki [5], foram desenvolvidos dois equipamentos experimentais, o primeiro para verificar a uniformidade da compactação dos grãos, e o segundo para determinar experimentalmente a relação entre o gradiente de pressão e a velocidade do escoamento do ar, para alcançar experimentalmente um maior intervalo na relação entre velocidade do ar e a pressão estática foram utilizadas várias velocidades do ar, e este distribuído em até quatro câmaras de grãos. Para verificar a influência das paredes quando os experimentos são realizados em tubos com pequenos diâmetros, bem como a dependência da altura da coluna de grãos utilizada, foram realizados experimentos utilizando-se diversos diâmetros e várias alturas da coluna de grãos. Na realização dos experimentos, foram utilizados grãos de soja, milho, trigo, arroz e aveia, cujos teores de umidade e impureza, tabela 1, foram determinados no laboratório de

3 análise de sementes do Departamento de Estudos Agrários da UNIJUÍ. Grão Umidade (%) Impureza (%) Soja 12,2 0,92 Milho 13,2 0,84 Trigo 12,1 0,56 Arroz 14,3 0,30 Aveia 10,7 0,81 Tabela 1: Características dos grãos utilizados nos experimentos. Na primeira fase dos experimentos, foi utilizado o equipamento experimental 01 apresentado na figura 1. Este consiste de um ventilador responsável pela geração do fluxo de ar. A velocidade deste ventilador é controlada por um inversor de freqüência. estudos realizados por Shedd [7] e Toniazzo [8], mostrando que para as alturas das camadas de grãos estudadas, a compactação é aproximadamente uniforme. Com os resultados obtidos na primeira fase dos experimentos, verificou-se para a segunda fase a necessidade de realizar-se a medição das pressões estáticas num único ponto, na entrada de ar das câmaras de grãos. Para a segunda fase dos experimentos foi utilizado o equipamento experimental 02, figura 2, que é basicamente igual ao equipamento 01, a principal diferença é a utilização de quatro câmaras de grãos ao invés de uma. Essa alteração tem como objetivo aumentar a área de entrada de ar na massa de grãos, atingindo medidas menores de vazão por área. Figura 2: Esquema do equipamento experimental 02. Figura 1: Esquema do equipamento experimental 01. O ar gerado pelo ventilador é conduzido por um tubo de PVC de 50 milímetros de diâmetro até a câmara de grãos. Durante essa condução, é realizada a medição da vazão do fluxo de ar através da placa de orifício juntamente com um manômetro 30 o. Na câmara de grãos (tubo de PVC de 200 mm de diâmetro), o ar é forçado a passar por uma coluna de grãos de 270 centímetros de altura, a qual é sustentada por uma chapa metálica perfurada. Na entrada do ar na câmara de grãos é realizada a medição da pressão estática, que também é medida nas alturas de 50, 100, 150, 200 e 250 centímetros. Os resultados obtidos na primeira fase dos experimentos coincidem com os resultados dos Para obtenção de um intervalo maior da relação pressão/vazão, foram realizados experimentos com cinco diferentes diâmetros da câmara de grãos: 50, 75, 100, 150 e 200 milímetros, e para cada um destes, cinco diferentes alturas da coluna de grãos: 20, 40, 60, 80 e 100 centímetros. Inicialmente foi utilizado um tubo de PVC de 50 milímetros de diâmetro, neste foi acondicionado um coluna de grãos com 20 centímetros de altura, com enchimento livre. Na seqüência foi provida uma vazão e medida a alteração da pressão estática. Conforme foram sendo realizadas alterações na vazão, foram feitas as respectivas medidas da pressão estática. Posteriormente, foi realizado o mesmo procedimento citado anteriormente, mas destacando-se a utilização de quatro tubos de PVC de 50 milímetros, ao invés de um, para o

4 acondicionamento dos grãos. Ambos os procedimentos, utilizando um e quatro tubos de PVC de 50 milímetros de diâmetro, foram realizados também com colunas de grãos de 40, 60, 80 e 100 centímetros de altura. Toda a seqüência de procedimentos da segunda fase dos experimentos, foi realizada também para os diâmetros de tubos de PVC: 75, 100, 150 e 200 milímetros. Ressaltando que todo este procedimento foi realizado para os seguintes tipos de grãos: soja, milho, trigo, arroz e aveia. Considerando que para a simulação de um silo real, temos que utilizar como referência dados experimentais que se aproximem ao máximo das condições oferecidas no local de armazenamento, verificou-se a influência do diâmetro do canal utilizado nos experimentos, sobre o escoamento do ar na massa de grãos. Para analisar a influência do canal, foram comparados os dados experimentais obtidos em uma determinada altura, com todos os diâmetros, utilizando esta mesma altura. Por esta comparação verificou-se que para grãos de milho, trigo, arroz e aveia, os dados referentes as medidas de diâmetro 50 e 75mm encontramse deslocados abaixo dos demais resultados, pode-se concluir que para esse diâmetro há influência nos resultados experimentais obtidos, enquanto que para grãos de soja há influência significativa em diâmetros menores que 150mm. A influência do diâmetro nos dados obtidos experimentalmente pode ser explicada pelo fato de que quanto menor o diâmetro maior a porcentagem de grãos em contato com a parede do tubo, proporcionando desta forma condições de ajuste diferentes, provocando menor porosidade na massa de grãos. Foram realizadas considerações em relação a influência da altura da coluna de grãos utilizada nos experimentos, tomando-se um determinado diâmetro e comparando os resultados das diversas altura utilizadas. Verificandose que para todos os cinco tipos de grãos estudados, há significativa influência nos resultados experimentais quando utilizamos alturas menores que 40cm. Para uma verificação da consistência dos resultados experimentais, obtidos neste trabalho, faz-se necessária a comparação com pesquisas anteriores, as quais possuem seus dados já consagrados. Assim, foram realizadas comparações dos resultados experimentais deste trabalho, com os obtidos por Shedd [7] e por Toniazzo [8]. Para grãos de soja, figura 3, observa-se significativa diferença entre os dados obtidos por Shedd [7] e um pequena diferença com os dados obtidos por Toniazzo [8], na comparação com os dados experimentais deste trabalho. Shedd Toniazzo Experimental 1 1,5 2 2,5 3 3,5 lg(dp/dx) 4 Figura 3: Relação entre velocidade do ar (W ) em m.s 1 e o gradiente de pressão (dp/dy) em P a.m 1 para grãos de soja. Na comparação dos dados deste trabalho com grãos de trigo e aveia, figuras 4 e 5 respectivamente, com os resultados obtidos por Shedd [7], observa-se que para grãos de trigo os dados experimentais coincidem e que para grãos de aveia temos uma considerável diferença. Shedd Experimental 1 1,5 2 2,5 3 3,5 lg(dp/dx) 4 Figura 4: Relação entre velocidade do ar (W ) em m.s 1 e o gradiente de pressão (dp/dy) em P a.m 1 para grãos de trigo. Entre os possíveis motivos das diferenças apresentadas podemos destacar o tamanho dos grãos utilizados nos experimentos, a influência da umidade dos grãos bem como da impureza. Convém observar que no trabalho de Toniazzo [8] foram realizados dados experimentais somente para soja e que no trabalho de

5 Grão a b c Soja 2,50-5,0,1 Milho 2,50-6,1117-0,91 Trigo 2,50-7,255 2 Arroz 2,50-7,0-0,79 Aveia 2,50-7, Shedd Experimental 1 1,5 2 2,5 3 3,5 lg(dp/dx) 4 Figura 5: Relação entre velocidade do ar (W ) em m.s 1 e o gradiente de pressão (dp/dy) em P a.m 1 para grãos de aveia. Shedd [7] não foram realizados experimentos com grãos de arroz, e que os dados obtidos com grãos de milho foram juntamente com a espiga, diferente dos dados do presente trabalho. 4 Validação do Modelo e Simulações Numéricas Pela análise dos resultados experimentais em relação a influência do diâmetro do canal e da altura da camada de grãos, verificou-se que de maneira geral, para grãos de milho, trigo, arroz e aveia, experimentos realizados com diâmetros de 50 e 75mm bem como com alturas de 20 e 40cm da coluna de grãos, há considerável dependência nos resultados. Enquanto que para grãos de soja podemos dizer que esta dependência ocorre para as alturas 20 e 40cm, e diâmetros de 50, 75, 100 e 150mm com significativa intensidade. Desta forma para determinar os valores de b não foram considerados as referidas alturas, e para determinar c além de não considerar as referidas alturas também não foram considerados os diâmetros citadas, não sendo apresentados nos gráficos deste ítem. Tabela 2: Valores determinados para as constantes a e b e c do modelo proposto por Khatchatourian e Savicki [5]. min(s) = [R e R c ] [R e R c ] T n R = d(lgw ) d[lg(dp/dx)] (11) (12) e indica os resultados experimentais; c indica os valores calculados; W o vetor velocidade (m.s 1 ); e P a pressão (P a); Para a determinação do coeficiente c do modelo, foi utilizada a equação 13 juntamente com os dados experimentais apresentados nas figuras 6 a 10. e V = lg(w ) = V/10 + c (13) [ ] ln(1+u 2 ) 2U arctan(u) /π +3U (14) U = a log( gradp ) + b, (15) sendo a e b constantes; W o vetor velocidade (m s 1 ); e P a pressão (P a). Conforme sugerido no trabalho de Khatchatourian e Savicki [5], para o coeficiente a foi escolhido o valor 2, 5 para todos os tipos de grãos e determinamos os coeficientes b e c, tabela 2. A partir da variação da derivada d(lgw )/d[lg(dp/dx)] em relação ao gradiente de pressão dp/dx, minimizando o funcional 11, obteve-se os valores do coeficiente b para os diversos tipos de grãos estudados. Figura 6: Resultados experimentais com grãos de soja utilizados para determinação do coeficiente c.

6 Figura 7: Resultados experimentais com grãos de milho utilizados para determinação do coeficiente c. Figura 9: Resultados experimentais com grãos de arroz utilizados para determinação do coeficiente c. Figura 8: Resultados experimentais com grãos de trigo utilizados para determinação do coeficiente c. Figura 10: Resultados experimentais de grãos de aveia utilizados para determinação do coeficiente c. 5 Conclusões Neste trabalho foi realizado um estudo sobre o escoamento do ar em massas de vários tipos de grãos, tomou-se por base o modelo proposto por Khatchatourian e Savicki [5] que considera a não-homogeneidade da massa de grãos. Para a determinação dos coeficientes do modelo foram realizados experimentos, permitindo que fosse obtida a relação entre velocidade e gradiente de pressão estática para várias alturas da camada de grãos, vários diâmetros do canal e vários tipos de massas de grãos: soja, milho, trigo, arroz e aveia. Os dados obtidos experimentalmente mostraram que a utilização de pequenos diâmetros do canal bem como pequenas alturas da camada de grãos não representam de maneira satisfatória as condições reais de um armazenamento de grãos, sendo necessário a utilização de tubos com diâmetros maiores que 100mm e alturas da coluna de grãos superiores a 60cm. Os resultados experimentais foram comparados com os dados encontrados por Shedd [7] e por Toniazzo [8] apresentando satisfatória coerência. Utilizando-se do método de Levenberg- Marquardt para resolução do problema inverso, foram determinados os coeficientes a, b e c do modelo matemático proposto por Khatchatourian e Savicki [5], o qual foi validado para todos os tipos de grãos estudados e foram realizadas simulações numéricas. Referências [1] D.B. Brooker, Computing air pressure and velocity distribution when air flows through a porous medium and nonlinear velocity - pressure relationship exists, Transaction of the ASAE, 12 (1969) [2] D.B. Brooker, F.W. Bakker-Arkema, and C.W. Hall, Drying Cereal Grains, The AVI Publishing Company Co. Inc., [3] J.M. Bunn and W.V. Hukill, Pressure pattern prediction for non-linear air flow through porous medium, Transactions of the ASAE, 6 (1963)

7 [4] E. Haque, D.S. Chung and G.H. Forster, Pressure and velocity field in airflow through packed bed of corn with fines non- Darcy flow conditions, Transaction of the ASAE, 5 (1981) [5] O.A. Khatchatourian and L.D. Savicki, Mathematical modelling of airflow in an aerated grain store under non-uniform conditions, Biosystems Engineering, 88(2) (2004) [6] M.N. Özisik and H.R.B Orlande, Inverse Heat Transfer: Fundamentals and Applications, Taylor & Francis, New York, [7] C.K. Shedd, Resistance of grains and seeds to air flow. Agricultural Engineering 34 9 (1953) [8] N.A. Toniazzo, Modelagem Matemática do Escoamento do Ar em Sistemas de Armazenamento de Grãos, Dissertação de Mestrado, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 1997.