Conceitos matemáticos e de computação aplicados ao sudoku

Transcrição

1 JUL. AGO. SET ANO XIII, Nº INTEGRAÇÃO 235 Conceitos matemáticos e de computação aplicados ao sudoku CARLOS EDUARDO RODRIGUES ALVES Resumo Um dos puzzles mais populares dos últimos tempos, o sudoku combina regras simples com níveis de dificuldade que podem variar do muito fácil ao quase impossível de se resolver. Dada a sua grande popularidade, ele atraiu também a atenção de matemáticos e cientistas da computação, que estudaram a complexidade do processo de elaboração de um problema e sua solução. Este artigo comenta alguns dos resultados encontrados e algumas questões em aberto. São apresentadas algumas analogias entre o sudoku e outros problemas computacionais conhecidos. Palavras-chave Sudoku. Problemas computacionais. Noções de análise algoritmos Title Mathematical and Computing Concepts Applied to Sudoku Abstract One of the most popular puzzles nowadays, sudoku combines simple rules and difficulty levels that can vary from very easy to nearly impossible to be solved. Due to its great popularity, it has also drawn the attention of mathematicians and computing scientists, who have studied the complexity involved in the elaboration of a problem and its solution. This paper discusses some of the results and open questions they have found out. Some analogies between sudoku and other computing problems are presented. Keywords Sudoku. Computing problems. Notions of algorithm analysis 1. breve introdução ao sudoku Em sua versão mais conhecida, o sudoku é um tipo de desafio lógico (ou puzzle) jogado em um quadro formado por 81 quadrados dispostos em nove linhas e nove colunas. Há também nove regiões 3 3 demarcadas, como mostrado na Figura 1. Em alguns dos quadrados estão escritos dígitos de 1 a 9. O objetivo do jogador é escrever dígitos de 1 a 9 nas casas em branco, de tal forma que em nenhuma coluna, linha ou região 3 3 apareçam dígitos repetidos. Existem inúmeras variações, incluindo quadros com maior número de linhas e colunas, problemas envolvendo quadros que compartilham áreas, problemas em que as regiões 3 3 são substituídas por regiões irregulares, problemas em que algumas casas apresentam informações parciais (por exemplo, indicando que o dígito contido na casa é par), etc. Data de recebimento: 20/12/2006. Data de aceitação: 15/03/2007. * Doutor em Ciência da Computação, professor do curso de Ciência da Computação e membro do Núcleo de Pesquisa em Engenharia da USJT. carlos_r_alves@hotmail.com. Estas variações não serão consideradas aqui. Para alguns detalhes e curiosidades a respeito do sudoku, recomenda-se a leitura de Delahaye (2006). Estratégias de solução e tutoriais são facilmente encontráveis, em meio impresso ou eletrônico, não sendo de interesse nesta oportunidade. Neste artigo serão comentados alguns resultados relacionados ao sudoku, incluindo a complexidade do processo de resolução de uma instância deste problema, a questão da confecção de uma destas instâncias e o relacionamento deste problema com outros problemas computacionais. Ao longo deste artigo, usaremos o termo sudoku para designar tanto o problema geral como uma instância específica do problema, como é comum entre os jogadores. Este artigo faz menção a noções de análise de algoritmos, como problemas NP-Completos e reduções polinomiais. 2. complexidade do processo de resolução É relativamente simples implementar um programa que resolve sudokus, usando backtracking ( tentativa e erro ). No entanto, isto é muito diferente do processo de solução utilizado pelos jogadores de

2 236 INTEGRAÇÃO RODRIGUES ALVES Sudoku Problema Solução Figura 1. Exemplo de sudoku e sua solução sudoku. Estes se baseiam em observação e raciocínio lógico para restringir as possibilidades de marcação de dígitos. Sudokus mal implementados podem exigir chutes, recurso pouco apreciado pelos jogadores. A questão da complexidade de resolução do sudoku deve ser abordada considerando uma extensão do problema, de forma que tenhamos um parâmetro n que defina o tamanho de um sudoku. A extensão mais natural é considerar quadros de tamanho n 2 n 2, contendo n 2 regiões de tamanho n n, e o objetivo no caso é escrever números de 1 a n 2 no quadro sem permitir que um mesmo número repita-se em uma coluna, linha ou região n n. Um sudoku tradicional seria um sudoku estendido com n = 3. A questão passa a ser Como o tempo de resolução de um sudoku n 2 n 2 depende do tamanho n? Pode-se mostrar que o algoritmo elementar de backtracking exige um tempo que aumenta de forma exponencial com n. No caso em que n = 3, isto não chega a ser problema, mas, de um ponto de vista teórico, este algoritmo é inaceitável. Uma questão ainda em aberto é a da existência ou não de um algoritmo que resolva sudokus n 2 n 2 em tempo O (p (n)) para algum polinômio p. Na verdade, esta questão está vinculada à famosa questão P = NP?, uma vez que foi provado por T. Yato e T. Seta que o sudoku estendido é um problema NP-Completo 1 (Yato, 2003). Em outras palavras, se alguém criar um algoritmo de complexidade polinomial para resolver sudokus, saberemos que P = NP e teremos algoritmos polinomiais para todos os problemas da classe NP. Isto é considerado pouco provável por boa parte da comunidade científica. Provar que o sudoku estendido pertence à classe NP é simples, uma vez que a verificação de uma solução dada é trivial. A demonstração de Yato e Seta mostrando que este problema é NP-Completo baseia-se no fato de que o problema de completar um quadrado latino parcial de tamanho n n também é NP-Completo, como demonstrado por Colbourn (1984). Um quadrado latino n n é formado por n colunas e n linhas, e em cada linha e coluna devem aparecer os números de 1 a n sem repetição. A semelhança com o sudoku é óbvia. A diferença são as regiões quadradas do sudoku, que acrescentam restrições que poderiam tornar a resolução de sudokus mais fácil do que o preenchimento de quadrados latinos. Yato e Seta mostraram como fazer uma redução polinomial do problema do quadrado latino para o sudoku, ou seja, mostraram como tomar um quadrado latino n n incompleto e rapidamente criar a partir dele um sudoku n 2 n 2 que, se resolvido, fornece a resposta para o quadrado latino. Desta forma, provaram que resolver um sudoku não é mais fácil do que completar um quadrado latino. A redução de Yato e Seta é relativamente simples, mas fornece um resultado adicional que será comentado mais à frente. 3. a questão da unicidade de solução Um fator que freqüentemente não é considerado no processo de resolução de um sudoku é que um bom sudoku deve ter solução única. A garantia de unicidade de solução é comum em vários tipos de

3 JUL. AGO. SET ANO XIII, Nº INTEGRAÇÃO 237 Linha 3 Linha 4 Col. 1 Col. 2 Col Figura 2: Uso da garantia de unicidade de solução na resolução de um sudoku. puzzles de lápis e papel e é utilizada por puzzlers experientes no processo de resolução. No caso do sudoku, usar a garantia de unicidade de solução no processo de resolução é muito incomum, mas não impossível. No exemplo da Figura 2, é mostrado um pedaço de sudoku, compreendendo as linhas 3 e 4 e as colunas 1, 2 e 3. Repare que as três casas de cima estão em uma região 3 3 e as de baixo estão em outra. Uma das casas já contém o número 5, as demais apresentam marcações deixadas por um jogador, indicando que números podem aparecer em cada casa. Estas marcações são comuns e são úteis na resolução de problemas mais difíceis. Sem observar o que acontece no restante do quadro não seria possível determinar nada nas casas apresentadas, a não ser que se use a garantia de unicidade de solução. Lançando-se mão desta garantia, é possível determinar que a casa da linha 4, coluna 2, deve conter um 7, caso contrário qualquer uma das possibilidades ilustradas na Figura 3 serviria em uma solução do sudoku e teríamos múltiplas soluções. Uma questão interessante pode ser levantada aqui. Será que a garantia de unicidade facilita a resolução do sudoku a ponto de permitir a criação de um algoritmo de complexidade polinomial para a sua solução? A resposta é provavelmente negativa, devido ao Teorema de Valiant e Vazirani (Valiant, 1985). Valiant e Vazirani mostraram como tomar uma instância do problema NP-Completo primordial, o de satisfação de expressão booleana (SAT), e reduzila rapidamente a um número limitado de instâncias do problema UNIQUE-SAT. O problema UNIQUE- SAT é semelhante ao SAT, mas a expressão booleana sabidamente não pode ser satisfeita de mais de uma maneira. Em outras palavras, se for possível resolver o UNIQUE-SAT em tempo polinomial, também será possível resolver o SAT. A redução do SAT para UNIQUE-SAT é, contudo, probabilística, podendo gerar falsos negativos com probabilidade menor ou igual a 1/4n, em que n é o número de variáveis booleanas da expressão. A probabilidade de falsos positivos é nula. Assim, a existência de um algoritmo polinomial para UNIQUE-SAT colocaria a classe NP dentro da classe RP (Randomized Polinomial). Esta inclusão ainda não foi demonstrada e é considerada pouco provável (Papadimitriou, 1993). Isto mostra que a garantia de unicidade de solução dificilmente permitiria a resolução do problema SAT em tempo polinomial. O mesmo pode ser dito sobre o sudoku. 4. a questão da confecção de sudokus Embora muitas empresas que publiquem sudoku alardeiem o fato de que seus sudokus são feitos sem uso de computadores, hoje há uma grande variedade de programas que geram sudokus. Col. 1 Col. 2 Col. 3 Col. 1 Col. 2 Col. 3 Linha Linha Linha Linha Figura 3: Duas configurações equivalentes, que não podem estar presentes em uma solução.

4 238 INTEGRAÇÃO RODRIGUES ALVES Sudoku Como já comentado, é fundamental que o sudoku tenha uma solução única. É também extremamente desejável que esta solução possa ser encontrada com um mínimo de backtracking, através de passos lógicos que restringem as possibilidades de preenchimento até a determinação da solução completa. Muitos programas que criam sudokus testam se os sudokus gerados têm solução alcançável pela lógica por meio da simulação das técnicas comumente empregadas pelos jogadores. Por um lado, esta abordagem é interessante, pois gera sudokus de boa qualidade e com solução única, além de permitir um controle do nível de dificuldade do problema mediante a escolha das técnicas de solução que podem ser aplicadas. Por outro lado, algumas técnicas dificilmente são implementadas nos programas, como é o caso das técnicas baseadas na unicidade de solução. Além disso, alguns jogadores podem querer um problema mais desafiador, desde que tenha solução única. O teste fundamental para aprovação de sudokus e outros puzzles costuma envolver o puzzle em si e a solução pretendida para ele. A questão é determinar se esta solução é única. É preciso que fique clara a diferença entre este problema e o problema comentado na seção anterior, em que já se sabe que a solução é única e é preciso encontrá-la. Ueda e Nagao (Ueda, 1996) criaram o conceito de problema ASP (Another Solution Problem). Dado um problema X, ASP-X é o problema em que se tem uma instância de X e uma solução para esta instância, e pergunta-se se há outra solução para esta mesma instância. Curiosamente, se um problema X é NP-Completo, isto não significa que ASP-X também o seja, o que deixaria em aberto a questão da complexidade do teste de unicidade de solução para um sudoku. O já citado trabalho de Yato e Seta formaliza a questão dos problemas ASP para melhor caracterizá-los. Na verdade, o resultado deste trabalho é mais abrangente do que o mencionado até agora, mostrando não apenas que o sudoku (entre outros puzzles) é NP-Completo, como também que o ASP -Sudoku é NP-Completo, ou, na terminologia lá criada, que o sudoku é ASP -Completo. 5. a classificação de sudokus Como já mencionado, os sudokus podem ser classificados pela dificuldade segundo as técnicas que precisam ser empregadas para resolvê-los. Uma caracterização mais grosseira envolveria apenas dois níveis de dificuldade: sudokus que podem ser resolvidos em passos lógicos e sudokus que exigem backtracking. O problema desta classificação é a dificuldade de se especificar o que seria um passo lógico. A caracterização mais geral encontrada até o momento foi proposta por Wei-Hwa Huang 2 (Hwang, 2006), de maneira informal. Uma formalização mais precisa seria dada na forma de uma restrição do problema Hitting Set (Papadimitriou, 1993): Problema Hitting Set: Entrada: um conjunto finito S, uma coleção C de subconjuntos de S e um número inteiro k < S. Pergunta: existe um subconjunto H de S tal que H k e H contém pelo menos um elemento de cada conjunto de C? Um sudoku poderia ser transformado em uma instância do Hitting Set da seguinte maneira: S = {(i, j, k) i, j, k {1, 2,..., 9}} Ou seja, S é o conjunto das triplas ordenadas formadas por números de 1 a 9. Uma tripla (i, j, k) indica a colocação do número k na casa da linha i, coluna j. A escolha correta de algumas das triplas fornece a solução de um sudoku se algumas restrições forem seguidas. As restrições são dadas por meio de subconjuntos de S, que formam a coleção C. Cada elemento da coleção C contém algumas triplas, e uma e apenas uma destas triplas pode ser usada na solução do sudoku. Por exemplo, para especificar que na casa i, coluna j só pode haver um número, criamos o seguinte subconjunto de S: {(i, j, 1), (i, j, 2), (i, j, 3), (i, j, 4), (i, j, 5), (i, j, 6), (i, j, 7), (i, j, 8), (i, j, 9)} Ao todo, há 81 conjuntos como este em C, um para cada casa do sudoku. Para especificar que um número só pode aparecer uma vez em uma linha usamos 81 conjuntos do tipo a seguir:

5 JUL. AGO. SET ANO XIII, Nº INTEGRAÇÃO 239 {(i, 1, k), (i, 2, k), (i, 3, k), (i, 4, k), (i, 5, k), (i, 6, k), (i, 7, k), (i, 8, k), (i, 9, k)} E para especificar que um número só pode aparecer uma vez em uma coluna usamos: {(1, j, k), (2, j, k), (3, j, k), (4, j, k), (5, j, k), (6, j, k), (7, j, k), (8, j, k), (9, j, k)} Novamente, são 81 conjuntos deste tipo. As 81 regras para as regiões são um pouco mais complexas. Os conjuntos seriam do tipo: {(i + 1, j + 1, k), (i + 1, j + 2, k), (i + 1, j + 3, k), (i + 2, j + 1, k), (i + 2, j + 2, k), (i + 2, j + 3, k), (i + 3, j + 1, k), (i + 3, j + 2, k), (i + 3, j + 3, k)} Nestes últimos conjuntos, os valores de i e j só poderiam ser 0, 3 ou 6. Os números dados no sudoku original podem ser representados pela inclusão em C de conjuntos unitários, cada um contendo uma tripla que indica onde está cada número. É fácil notar que um conjunto S que tenha um elemento de cada conjunto em C precisa ter pelo menos 81 elementos. O valor de k no problema Hitting Set é exatamente 81. Também é fácil perceber que, como cada um dos quatro tipos de regras gera 81 conjuntos disjuntos, não é possível escolher mais de uma tripla de cada conjunto de C. A partir desse ponto, pode-se ignorar o quadrado do sudoku e tentar resolver o Hitting Set. A técnica proposta por Huang é a seguinte: Para um número N 9 qualquer, encontre N conjuntos disjuntos de C (as premissas) e mais N conjuntos não necessariamente disjuntos de C (as conclusões), tais que a união das premissas esteja contida na união das conclusões. Descarte todas as triplas que pertencem a mais de uma conclusão ou que pertençam a uma conclusão, mas não a uma premissa. Esta técnica substitui praticamente todas as técnicas propostas na literatura sobre sudokus (as regras baseadas em unicidade de soluções são exceções). A caracterização de Huang é bastante elegante e tem a vantagem de ser verificada em tempo polinomial para sudokus de tamanho n 2 n comentários finais Muitas das questões aqui apresentadas parecem aplicar-se apenas a sudokus e outros tipos de puzzles, mas a relacionamentos com outros tipos de problemas mais práticos, como o de montagem de quadros horários. A questão de resolver problemas para os quais se sabe que a solução é única pode parecer fútil, pois problemas com soluções únicas parecem aparecer só em puzzles. De fato, problemas com soluções únicas são freqüentemente artificiais, mas isto não os torna menos sérios. Eles aparecem, por exemplo, na criptografia de chave pública. Existem inúmeros tipos de puzzles diferentes, e boa parte deles é inspirada em problemas computacionais sabidamente difíceis. As discussões sobre o sudoku são mais freqüentes devido à sua popularidade, mas há muitos resultados em Teoria de Complexidade para outros tipos de jogos e puzzles. Alguns deles podem ser encontrados nas referências deste artigo. Referências bibliográficas COLBOURN, C. J. The Complexity of Completing Partial Latin Squares. Discrete Applied Mathematics, Vol. 8, nº 1, 1984, pp DELAHAYE, J. P. A ciência do sudoku. Scientific American Brasil, 50, HUANG, W.-H.. Onigame s Journal, 24/1/2006. Disponível em Acessado em 20/12/ PAPADIMITRIOU, C. H. Computational Complexity. Addison Wesley, 1ª ed., UEDA, N. & NAGAO, T. NP-Completeness Results for Nonogram via Parsimonious Reductions. Technical Report TR Department of Computer Science, Tokyo Institute of Technology, YATO, T. Complexity and Completeness of Finding Another Solution and its Application to Puzzles. Tese de Mestrado. Graduate School of Science, University of Tokyo, VALIANT, L. G. & VAZIRANI, V. V. NP is as Easy as Detecting Unique Solutions. Proceedings of the 17 th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1985, pp Notas 1 Mais correto seria dizer que o problema de decisão associado ao sudoku estendido é NP-Completo. Este

6 240 INTEGRAÇÃO RODRIGUES ALVES Sudoku problema de decisão envolve decidir se um sudoku tem solução ou não, sem necessariamente descrever a solução. Menções explícitas aos problemas de decisão associados a outros problemas, como o de completar quadrados latinos parciais, são evitadas ao longo deste artigo. 2 A proposta não foi feita em trabalho acadêmico, mas em uma página da Web. Wei-Hwa Huang não realiza pesquisas científicas para publicação, mas foi o terceiro colocado no World Sudoku Championship de 2006 e várias vezes campeão no World Puzzle Championship.