MODELAGEM MATEMÁTICA: ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

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1 UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE - UNESC CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA RAQUEL BAGIO DE SOUZA MODELAGEM MATEMÁTICA: ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA CRICIÚMA, DEZEMBRO 2006

2 RAQUEL BAGIO DE SOUZA MODELAGEM MATEMÁTICA: ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA Monografia apresentada à Diretoria de Pósgraduação da Universidade do Extremo Sul Catarinense- UNESC, para a obtenção do título de especialista em Educação Matemática. Orientador: Profª. MSc. Marleide Coan Cardoso CRICIÚMA, DEZEMBRO 2006

3 Dedico este trabalho a toda minha família, aos amigos e professores que estiveram comigo nesta constante caminhada ao conhecimento.

4 AGRADECIMENTO Agradeço a Deus pelo dom da vida e pela oportunidade dos estudos e da convivência com pessoas que me proporcionaram aprender mais.

5 Na sensação humana de aprender... está a divina alegria de ensinar. Albert Einstein

6 RESUMO Este trabalho focaliza-se em algumas idéias teóricas sobre a Modelagem Matemática no processo ensino-aprendizagem. Para a realização deste trabalho foi realizada uma pesquisa envolvendo algumas atividades econômicas do município de Orleans (SC). A partir dos dados coletados, propõem-se algumas atividades de matemática relacionadas com a Modelagem Matemática. A revisão da literatura referencia as Seis Tendências em Educação Matemática caracterizando-as, a Modelagem Matemática identificando suas estratégias de ensino e obstáculos na sua implantação e a formação do professor de matemática. A partir das teorias, foi possível diagnosticar que trabalhar com Modelagem Matemática no ensino, precisase enfrentar desafios e romper paradigmas, não só dos professores, mas também dos alunos. E para que o processo de ensino-aprendizagem da matemática atenda as mudanças exigidas pela sociedade, este deve estar relacionado com ao cotidiano do aluno.. Palavras-chave: Modelagem Matemática; processo ensino-aprendizagem; Educação Matemática; cotidiano..

7 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 Esquema do processo de modelagem matemática...22 Figura 2 Dinâmica da Modelagem Matemática...26 Figura 3 Foto do nascimento do município de Orleans...43 Figura 4 Foto do município de Orleans...44 Figura 5 Foto do perfil da cidade de Orleans...45 Figura 6 Foto aérea do município de Orleans...45 Figura 7 Gráfico da composição de materiais para fabricação de sacolas plásticas..52 Figura 8 Gráfico demonstrativo da venda mensal de sacolas plásticas...53 Figura 9 Área ocupada pela granja de suínos...54 Figura 10 Gráfico demonstrativo da variação de peso dos suínos em relação ao consumo de ração...55

8 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Possibilidades de vestuário...46 Tabela 2 - Demonstrativo da despesa com energia...48 Tabela 3 - Venda mensal de sacolas plásticas de acordo com tamanho...52 Tabela 4 - Tabela de relação entre peso e consumo dos suínos...55

9 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS PCN Parâmetros Curriculares Nacionais MMM Movimento da Matemática Moderna PCSC Proposta Curricular de Santa Catarina

10 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Tendência Formalista Clássica Tendência Empírico-Ativista Tendência Formalista Moderna Tendência Tecnicista e suas Variações Tendência Construtivista Tendência Sócioetnocultural MODELAGEM MATEMÁTICA Modelagem Matemática / Modelação como estratégia de Ensino Aprendizagem Obstáculos para a aplicação da Modelagem Matemática no processo ensino - aprendizagem A Modelagem Matemática e o currículo escolar FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA PROPOSTAS DE APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA ENVOLVENDO OS CAMPOS CONCEITUAIS DA MATEMÁTICA Comércio Indústria Madeira Indústria Plástico Pecuária METODOLOGIA CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 61

11 10 1 INTRODUÇÃO Contemporaneamente tem-se discutido as tendências em Educação Matemática contrapondo-se ao Movimento da Matemática Moderna ocorrido durante as décadas de 1960 e 1970, um acontecimento que provocou mudanças significativas nas práticas escolares. Durante este período, ocorreu no ensino da Matemática uma forte predominância da conceituação, atribuindo uma importância primordial a axiomatização, as estruturas algébricas, a lógica e aos conjuntos, quase não havia, neste contexto, a matemática aplicada que praticamente desapareceu dos currículos. A Matemática Moderna preocupada com a linguagem matemática e com a simbologia deixou marcas profundas nas práticas pedagógicas daquele período, e sendo ainda muito presente nos dias atuais. Concordando com o PCN (1997) ao tratar a matemática como algo neutro, sem história e sem nenhuma relação com o social e o político, o ensino da matemática apresentou-se para os alunos como um conjunto de regras e nomenclaturas, destituídos de sentidos e significados conceituais, uma disciplina abstrata e desligada da realidade, causando com isso o fracasso no processo ensino-aprendizagem da Matemática. Por volta da década de 80 iniciam-se as discussões sobre o processo ensino-aprendizagem marcando o início das diferentes tendências em Educação Matemática. De acordo com Fiorentini (1995) essas tendências pedagógicas descrevem alguns modos historicamente produzidos de ver o ensino da Matemática. Com base nesses modos identificamos e descrevemos seis tendências: a formalista clássica, a empírico-ativista, a formalista moderna, a tecnicista e suas variações, a construtivista e a socioetnoculturalista. A educação em cada uma das tendências apresentam características próprias. Porém, algumas tendências apontam para uma educação em que o ensino da matemática não deve mais ser apresentado como um saber pronto e acabado, e sim como um processo de reconstrução do conhecimento, vinculado com a realidade do aluno. Nessa perspectiva, emerge a necessidade da criação de estratégias e modelos matemáticos, para demonstrar a aplicabilidade e utilidade da matemática

12 11 na análise e resolução dos problemas do dia-a-dia dos alunos. Respondendo a este anseio, os pesquisadores em educação matemática apresentam a Modelagem Matemática como uma possibilidade para o ensino da matemática. Modelagem Matemática é o processo envolvido na obtenção de um Modelo. Este processo, sob certa ótica, pode ser considerado artístico, visto que para se elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas. Uma arte ao formular, resolver e elaborar expressões que valha não apenas para uma solução particular, mas também sirva, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias. (BIEMBENGUT, 1997, p. 65) A partir das considerações anteriores, esta pesquisa apresenta o seguinte problema: De que maneira a Modelagem Matemática pode ser utilizada como uma estratégia no ensino da matemática na Educação Básica? Para propor possíveis soluções para o problema desta pesquisa destacase o objetivo geral: ƒconhecer algumas estratégias de ensino da matemática envolvendo a Modelagem Matemática. Especificamente destacam-se: ƒidentificar alguns temas que podem ser abordados a partir da Modelagem Matemática na Educação Básica. ƒpropor atividades nos diferentes campos conceituais da matemática utilizando a Modelagem Matemática como estratégia. ƒdescrever a utilização da Modelagem Matemática no processo ensinoaprendizagem. Para alcançarmos os objetivos propostos esta pesquisa apresenta-se estruturada da seguinte forma: No capítulo da introdução destaca-se a justificativa, o problema e os objetivos. No contexto da revisão da literatura apresenta-se fundamentada nos diferentes teóricos que discutem as tendências em Educação Matemática, a Modelagem Matemática e a Formação do Professor de Matemática. No capítulo da metodologia caracteriza-se a pesquisa e descreve-se o caminho percorrido por ela. No capítulo em que se apresenta propostas de aplicação da modelagem matemática na educação básica envolvendo os campos conceituais

13 12 da matemática dispõe-se uma seqüência de atividades que podem ser desenvolvidas em sala de aula por meio de Modelagem Matemática envolvendo os campos conceituais da matemática. Nas considerações finais retorna-se aos objetivos da pesquisa agora analisados a partir dos teóricos e dos resultados obtidos durante a execução.

14 13 2 TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Na educação, há muita discussão sobre como se deve ensinar Matemática aos alunos no atual contexto da sociedade. Aprender a ensinar faz parte de um processo interligado a diversas experiências do professor, seus modos de conhecimento e formação. Conforme Fiorentini (1995, p. 02) a relação professor aluno saber matemático [...] é hoje reconhecido como um dos principais projetos da investigação em Educação Matemática. O processo educativo depende muito da forma como é conduzido pelo professor. Cada indivíduo tem sua maneira de pensar e agir. Alguns buscam constantemente a atualização para melhorar a prática pedagógica, porém outros, permanecem estacionados no que sabem, sem querer buscar novas formas de trabalhar com a matemática. Há, entretanto, diferentes modos de conceber e ver a questão da qualidade do ensino da Matemática. Alguns podem relacioná-la ao nível de rigor e formalização dos conteúdos matemáticos trabalhados na escola. Outros, ao emprego de técnicas de ensino e ao controle do processo ensino/aprendizagem com o propósito de reduzir as reprovações. Há ainda aqueles que relacionam ao uso de uma matemática ligada ao cotidiano ou à realidade do aluno. Ou aqueles que colocam a Educação Matemática a serviço da formação da cidadania. (FIORENTINI, 1995, p. 02) A modelagem Matemática vem ocupando espaço nas questões relacionadas com as Tendências da Educação Matemática. Ao ser utilizada como uma metodologia diferenciada de ensino que prima pela qualidade e melhoria do processo de ensino e aprendizagem da matemática, a modelagem matemática é vista como uma estratégia de ensino, que ao ser praticada, desperta no modelador a criatividade e lhe possibilita fazer relações da Matemática com o meio em que ele está inserido. A concepção de qualidade do ensino, é influenciada e modificada pelas determinações sócio-culturais e políticas. D Ambrósio (2001, p. 08) afirma que a educação matemática varia [...] de acordo com a geografia e a história dos indivíduos e dos vários grupos culturais a que eles pertencem famílias, tribos, sociedades, civilizações. Contemporaneamente, o ensino da matemática tem sofrido muitas

15 14 mudanças buscando a melhoria em seu processo ensino-aprendizagem. A forma tradicional de ensino parece estar sendo substituída no dias atuais por outras alternativas de ensino, apresentadas pelas atuais tendências. Conforme Fiorentini (1995, p. 03) não existe uma forma certa e definitiva de educação a ser seguida, [...] cada professor constrói idiossincraticamente seu ideário pedagógico a partir de pressupostos teóricos e de sua reflexão sobre a prática. É consensual a idéia de que não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática. (PCN, 1997, p. 42) Em relação ao processo de ensino e aprendizagem da Matemática, Fiorentini (1995) apontou seis tendências em Educação Matemática. De acordo com o autor, na tendência Formalista Clássica o professor transmite o conhecimento matemático e o aluno se compromete em reproduzi-lo. Na segunda a Empírico- Ativista, o aluno passa a ser o principal agente do processo e o professor seu orientador. Na Formalista Moderna, o professor é o centro do processo ensinoaprendizagem. A Tecnicista e Suas Variações, o método está voltado para os recursos e às técnicas de ensino. Na tendência Construtivista, sua atenção está nos processos de como se ensina e como se aprende Matemática. E a Socioetnocultural, onde os problemas do dia-a-dia e a cultura fazem parte do processo de ensino. 2.1 Tendência Formalista Clássica Até na década de 50, o ensino da matemática desenvolveu-se a partir de certos termos aceitos sem explicação formal, dando ênfase, nos termos primitivos e nos axiomas, caracterizando-se ao modelo euclidiano. Acreditava-se que o pensamento matemático tinha sua origem no mundo das idéias, ou seja, a matemática era resultado puro do pensamento humano. Segundo Fiorentini (1195, p. 06), os livros didáticos anteriores à década de 50, parecem reproduzir implicitamente o modelo euclidiano, pois geralmente partem de elementos primitivos e definições para prosseguir com a teoria (teoremas e demonstrações). Somente após esta apresentação é que começam os exercícios

16 15 de aplicação. Na tendência formalista clássica o ensino da matemática era centrado no professor e em seu modo de transmitir e expor o conteúdo estudado, a aprendizagem do aluno consistia em memorizar e reproduzir os procedimentos ditados pelo professor e pelos livros didáticos. Fiorentini (1995, p. 07) afirma que: Esses pressupostos didáticos são compatíveis com a concepção platônica, pois se os conhecimentos preexistem e não são construídos ou inventados/produzidos pelo homem, então bastaria ao professor passar ou dar aos alunos os conteúdos prontos e acabados, que já foram descobertos, e se apresentam sistematizados nos livros didáticos. Sob essa concepção simplista de didática, é suficiente que o professor apenas conheça a matéria que irá ensinar. O papel do aluno, nesse contexto, seria o de copia, repetir, reter e devolver nas provas do mesmo modo que recebeu. Nessa tendência, acreditava-se que a melhoria do ensino da matemática, dependia quase que exclusivamente do professor e do próprio conteúdo matemático. 2.2 Tendência Empírico-Ativista A concepção empírico-ativista surgiu no Brasil a partir da década de 20, tendo como seus principais representantes Euclides Roxo e Everardo Backheuser. Nessa concepção, o conhecimento emerge do mundo material, de onde é extraído pelos sentidos. A aprendizagem acontece por associação, observação e manipulação de objetos reais, processo do qual se extrai o pensamento matemático. Nessa tendência pedagógica o aluno é considerado o centro da aprendizagem, caracterizando o professor como orientador ou facilitador da aprendizagem. Fiorentini (1995) descreve que nessa concepção existem os menos ativistas, também chamados de empírico-sensualista, e os mais ativistas. O primeiro grupo acredita que basta a observação para a descoberta das idéias matemáticas, ou seja, o aluno aprende, por exemplo o número 5, a partir da associação de seu sinal 5 com 5 objetos (lápis, canetas, carrinhos, bonecas,...) e com a palavra falada cinco. Os mais ativistas entendem que a ação e a manipulação são fundamentais para a aprendizagem, por isso trabalham através de jogos, materiais manipuláveis e

17 16 outras atividades que permitem aos alunos descobrirem e redescobrirem significados matemáticos. Silva apud Fiorentini (1995, p. 12) cita algumas características da tendência empírico-ativista: 1ª) Tem como pressuposto básico que o aluno aprende fazendo. Por isso, didaticamente, irá valorizar, no processo de ensino, a pesquisa, a descoberta, os estudos do meio, a resolução de problemas e as atividades experimentais. 2ª) Entende que, a partir da manipulação e visualização de objetos ou de atividades práticas envolvendo medições, contagens, levantamento e comparações de dados, etc., a aprendizagem da Matemática pode ser obtida mediante generalizações ou abstrações de forma indutiva e intuitiva. 3ª) Não enfatiza tanto as estruturas internas da matemática, mas sua relação com as ciências empíricas (Física, Química,...) ou com situaçõesproblema do cotidiano dos alunos. Ou seja, o modelo de matemática privilegiado é o da Matemática Aplicada, tendo como método de ensino a Modelagem Matemática ou a Resolução de Problemas. 4ª) Recomenda que o ensino de Ciências e Matemática seja desenvolvido num ambiente de experimentação, observação e resolução de problemas, oportunizando a vivência do método científico, atestando a presença da didática experimental positivista. Conhecendo a tendência, observa-se que nesta concepção o processo ensino-aprendizagem da matemática procura desenvolver e valorizar as atividades que envolvem os alunos, onde estes são levados a descobrirem a matemática a partir de atividades experimentais ou de problemas. Este processo facilita o desenvolvimento da criatividade. 2.3 Tendência Formalista Moderna A partir de 1950, a educação matemática passou por um período de mudanças em razão da realização dos Congressos Brasileiros de Ensino de Matemática (1955,1957,1959,1961 e 1966) e da participação de matemáticos e professores no movimento de reformulação e modernização do currículo escolar vigente, onde ficou conhecido como Movimento da Matemática Moderna (MMM). Esse movimento teve início após a Segunda Guerra Mundial, sendo que seus principais propósitos foram: a) Unificar os três campos fundamentais da matemática. Não uma integração mecânica, mas a introdução de elementos unificadores com Teoria dos Conjuntos, Estruturas Algébricas e Relações e Funções.

18 17 b) Dar mais ênfase aos aspectos estruturais e lógicos da matemática em lugar do caráter pragmático, mecanizado, não-justificativo e regrado, presente, naquele momento, na matemática escolar. c) O ensino de 1º e 2º graus deveria refletir o espírito da matemática contemporânea que, graças ao processo de algebrização, tornou-se mais poderosa, precisa e fundamentada logicamente. (MIGUEL, FIORENTINI & MIORIM apud FIORENTINI, 1995, p. 14) A implantação da Matemática Moderna no Brasil ocorreu na década de 60, onde o ensino da matemática continuava centrado no professor, que demonstrava tudo com autoritarismo. O aluno por sua vez, continuava reproduzindo tudo o que era ditado pelo professor, ou seja, tornava-se um ser passivo no processo ensino-aprendizagem. Fiorentini (1995, p. 15) diz que [...] a tendência formalista moderna, assim como a clássica, pecou pelo reducionismo à forma de organização/sistematização dos conteúdos matemáticos. Ainda o mesmo autor explica que há uma diferença fundamental entre essas tendências: [...] a tendência clássica procura enfatizar e valorizar o encadeamento lógico do raciocínio matemático e as formas perfeitas e absolutas das idéias matemáticas, a tendência moderna procurava os desdobramentos lógico-estruturais das idéias matemáticas, tomando por base não à construção histórica e cultural desse conteúdo, mas sua unidade e estruturação algébrica mais atual. (FIORENTINI, 1995, p. 15) No entanto, em ambas a essência das idéias e conceitos não tiveram prioridade, ficando para segundo plano. 2.4 Tendência Tecnicista e suas Variações A tendência tecnicista no ensino da Matemática, emergiu nas décadas de 60 e 70 tendo como objetivo otimizar os resultados da escola, tornando-se eficiente e funcional. É a pedagogia oficial do regime militar, fundamentando-se no funcionalismo a educação como finalidade de integrar o indivíduo à sociedade. Segundo Fiorentini (1995), nessa tendência, a concepção de Matemática que continua prevalecendo é a formalista, que, combinada com o tecnicismo, traduzse, na prática da sala de aula, em treino e desenvolvimento de habilidades estritamente técnicas. Não importam os significados matemáticos dos conceitos, e sim, o desenvolvimento de habilidades. Essa tendência não se apóia no professor, nem no aluno, mas nos

19 18 objetivos instrucionais, nos recurso e nas técnicas de ensino. De acordo com Fiorentini (1995, p. 17), a finalidade do ensino da Matemática na tendência tecnicista, seria a de [...] desenvolver habilidades e atitudes computacionais e manipulativas, capacitando o aluno para a resolução de exercícios ou de problemaspadrão. Fiorentini (1995, p. 17) destaca que: Muitos cursinhos pré-vestibulares e alguns concursos vestibulares reforçam este tipo de ensino. De fato, estes enfatizam apenas questões ou atividades, explorando unicamente: 1º) a memorização de princípios e fórmulas; 2º) habilidades de manipulação de algoritmos ou de expressões algébricas; 3º) habilidades na resolução de problemas-tipo. De fato, raramente aparecem questões exigindo do aluno explicações, ilustrações, construções de modelos matemáticos que descrevam situações-problema, análises, justificações ou deduções. Nesse contexto, pode-se constatar que a tendência tecnicista, ao tentar romper com o formalismo, apresenta uma nova proposta, acreditando que a melhoria do ensino-aprendizagem se limitaria ao emprego de técnicas de ensino e a organização do trabalho escolar. 2.5 Tendência Construtivista A partir da década de 1980, os currículos sofreram forte influência da psicologia, principalmente da psicologia construtivista piagetiana e da psicologia histórico-cultural com origem no pensamento de Vygotsky. Os Parâmetros Curriculares Nacionais e a Proposta Curricular de Santa Catarina são currículos que refletem essas influências: os PCNs refletem a influência da teoria piagetiana e a PCSC reflete a influência da teoria histórico-cultural. O construtivismo trouxe mudanças qualitativas ao processo ensinoaprendizagem da Matemática, pois, substitui a prática mecânica por uma prática pedagógica que, com o auxílio de materiais concretos, visava à construção das estruturas do pensamento lógico-matemático. Essa tendência pedagógica negava a teoria de conhecimento matemático, na qual se assentavam o formalista clássico, o moderno e o empirista. Para o construtivismo, o conhecimento matemático resultava da ação reflexiva do homem com o meio ambiente ou com as atividades.

20 19 Para Fiorentini (1995, p. 20) o construtivismo vê a matemática como uma [...] construção humana constituída por estruturas e relações abstratas entre formas e grandezas reais ou possíveis. Por isso, essa corrente prioriza mais o processo que o produto do conhecimento. Conforme podemos perceber, a principal finalidade do ensino da Matemática para esta corrente é de natureza formativa. Os conteúdos passam a desempenhar papel de meios úteis, mas não indispensáveis, para a construção e desenvolvimento das estruturas básicas da inteligência. Ou seja, o importante não é aprender isso ou aquilo, mas sim aprender a aprender e desenvolver o pensamento lógico-formal. (FIORENTINI, 1995, p. 21) Assim, o construtivismo reserva ao aluno papel ativo no processo ensinoaprendizagem, levando em conta seu conhecimento prévio na construção de significados matemáticos. 2.6 Tendência Sócioetnocultural A tendência sócioetnocultural teve início a partir da década de 60, em virtude do fracasso do movimento Modernista, bem como as dificuldades apresentadas quanto à aprendizagem da Matemática por alunos das classes economicamente menos favorecidas. Segundo esta teoria Fiorentini (1995, p. 24) diz que: [...] as crianças de classes pobres não são carentes de conhecimentos e de estruturas cognitivas, mas talvez não tenham habilidades formais tão desenvolvidas em relação à escrita e à representação simbólica, ou talvez possuam uma experiência de vida muito rica, na qual usam procedimentos matemáticos não-formais (Etnomatemática) que a escola, além de não saber aproveita-los como ponto de partida, discrimina-os ou rejeita-os enquanto formas válidas e possíveis de saber. Ou seja, esta tendência pedagógica tem-se apoiado na Etnomatemática e nas idéias de Paulo Freire. A etnomatemática significava a matemática oral, espontânea, produzida e aplicada por grupos culturais (indígenas, favelados, agricultores,...). Isto é, seria uma maneira particular de cada grupo cultural em realizarem atividades de modelar. Para Fiorentini (1995, p. 26) o conhecimento matemático [...] deixa de ser visto, como faziam as tendências formalistas, como um conhecimento pronto,

21 20 acabado e isolado do mundo. Ou seja, ele passa a ser visto como um saber prático, dinâmico, produzido culturalmente nas diferentes práticas sociais. O método de ensino preferido por essa tendência será, portanto a problematização (tanto do saber popular como daquele produzido pelos matemáticos) e a Modelagem Matemática, que contempla uma abordagem externalista para a Matemática. Em outras palavras, trata-se de um método de ensino que contempla a pesquisa e o estudo/discussão de problemas que dizem respeito à realidade dos alunos. (FIORENTINI, 1995, p. 26) Nesse contexto, o ensino-aprendizagem da matemática será mais efetivo se este estiver relacionado à cultura e ao cotidiano do aluno.

22 21 3 MODELAGEM MATEMÁTICA O ser humano por toda sua trajetória, sempre buscou compreender a origem de sua criação. Considerando que a Matemática está inserida em todas as criações da humanidade, a Modelagem Matemática tem estado presente desde os tempos mais primitivos, auxiliando o homem em sua busca constante pelo conhecimento e aperfeiçoamento de sua relação com a realidade. Conforme Biembengut & Hein (2005), a modelagem matemática, arte de expressar por intermédio de linguagem matemática situações-problema de nosso meio, [...] é tão antiga quanto a própria matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos antigos. Na medida em que a existência humana evoluía as necessidades se modificavam, e o homem impossibilitado de lidar com o desconhecido buscava novas alternativas para representar a solução de seus problemas. Esse processo em prol da sobrevivência, conforto e segurança é um fenômeno de modelagem. Quando se trabalha a matemática ou uma situação por meio de fórmulas, diagramas, gráficos ou tabelas, estamos representando uma situação real por meio de modelos, ou seja, para Biembengut (2004, p. 16) modelos se definem como [...] um conjunto de símbolos os quais interagem entre si representando alguma coisa. Segundo Bassanezi (2002, p. 20) Modelo Matemático é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado. Seja qual for o caso, a resolução de um problema, em geral quando quantificado, requer uma formulação matemática detalhada. Nessa perspectiva, um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real, denomina-se modelo matemático. (BIEMBENGUT & HEIN, 2005, p. 12) A situação-problema, considerada o início de um processo de descrição da situação real num problema, passa a ser o ponto de partida para a construção do modelo matemático, levando o aluno, num ambiente de motivação e envolvimento, a analisar um determinado problema conduzindo-o por fim a resolução do mesmo. Segundo Biembengut (2004, p. 17) a representação ou reprodução de alguma coisa modelo, requer uma série de procedimentos, [...] esse conjunto de procedimentos

23 22 denomina-se de modelagem. A modelagem matemática é um método da matemática aplicada utilizada em problemas de cunho econômico, biológico, geográfico e outros ramos. Conforme Across & Moscardini apud Barbosa (1999, p. 04) a modelagem tem como [...] objetivo reduzir um fenômeno em termos idealizados da situação real para termos matemáticos. Assim a modelagem matemática constitui-se uma possibilidade que pode ser utilizada em outras áreas do conhecimento, onde desperte no aluno capacidades de criar expressões e resolver situações-problema que segundo Biembengut e Hein (2005, p. 13), [...] valham não apenas para uma solução particular, mas que também sirva, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias. Podemos dizer que a modelagem matemática é uma ponte que une a matemática e a realidade, tendo seu desenvolvimento nos problemas e situações da vida real. Dessa forma, para se fazer modelagem matemática, necessariamente, deve-se ter em mente que a matemática usada para construir modelos deve ser no sentido de entender e compreender uma determinada realidade. A modelagem é vista como um processo de sentido global que tem início numa situação real problematizada, onde se procura a solução por meio de um modelo que traduzirá em linguagem matemática as relações naturais do problema de origem, buscando a verificação e validação ou não do modelo com os dados reais. (MENDONÇA apud MUNARI, 2002, p. 06) O processo de Modelagem Matemática pode ser esquematizado segundo Biembengut e Hein (2005, p. 13): Modelagem Matemática Situação Real Matemática Modelo Figura 1 - Esquema do processo de Modelagem Matemática

24 23 A modelagem matemática, é um processo que envolve a realidade e a matemática mediante o qual se definem estratégias de ação, proporcionando ao aluno uma análise global da realidade em que ele encontra-se. Nessa concepção, a matemática nasce a partir da realidade e a ela retorna, como uma possibilidade de intervir nesta realidade. Conforme D Ambrósio (2001, p. 23), a modelagem matemática caracteriza-se por meio da dinâmica de realidade-reflexão sobre a realidade, que resulta uma ação planejada, estabelecendo assim um ciclo vital: REALIDADE informa INDIVÍDUO que processa e executa uma AÇÃO que modifica a REALIDADE que informa INDIVÍDUO [...]. A modelagem segundo Bassanezi (2002, p. 24) consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual. Essa metodologia de ensino é utilizada para obter e validar os modelos matemáticos. Nestas citações, pode-se dizer que a Modelagem Matemática pode trazer muitos benefícios ao processo de ensino da matemática, facilitando a construção de conceitos inserindo no contexto escolar a realidade dos educandos, fazendo-os perceber a importância de conhecer novas metodologias de ensino capazes de facilitar a construção de significados a partir do seu cotidiano. 3.1 Modelagem Matemática / Modelação como estratégia de Ensino Aprendizagem Com a evolução, novos desafios vão surgindo e, entre eles, o ensinoaprendizagem da matemática vem sendo tema de preocupação e estudo de vários profissionais da educação. Há algum tempo busca-se um ensino onde a matemática esteja mais perto do cotidiano do aprendiz e dos problemas que este enfrenta no seu dia-a-dia. É inconcebível pensar a matemática ainda como um conhecimento estancado e descontextualizado, sem compromisso com a realidade social, cultural e política, sendo que desde seu início sempre esteve entrelaçada com as necessidades da vida cotidiana. Segundo Barbosa (2001, p. 06), a Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da

25 24 realidade. O conhecimento matemático nos dias atuais torna-se cada vez mais um instrumento importante às diversas ciências, ao desenvolvimento tecnológico e industrial, ao comércio, às artes, enfim à vida de todo e qualquer cidadão. Logo, torna-se importante encontrar soluções que procurem reverter esse pensamento que se criou em torno da matemática, promovendo propostas de ensino que propiciam o aprendizado da teoria trabalhada, elaboradas a partir da realidade vivenciada pelos educandos. A Modelagem Matemática e a Modelação têm dado a oportunidade de romper a dicotomia existente entre a matemática pura e a matemática aplicada. Bassanezi (2002, p. 36) pressupõe que a primeira se interessa mais pelas formalizações teóricas enquanto que a segunda se dedica às suas aplicações. No processo evolutivo da Educação Matemática, a inclusão de aspectos de aplicações e mais recentemente, a resolução de problemas e modelagem, têm sido defendida por várias pessoas envolvidas com o ensino de matemática. Isto significa, entre outras coisas, que a matéria deve ser ensinada de um modo significativo matematicamente, considerando as próprias realidades do sistema educacional. (BASSANEZI, 2002, p. 36) O ensino da matemática por meio da modelagem tem como um dos seus principais objetivos desenvolver nos alunos capacidades de raciocínio lógico e dedutivo bem como despertar no aluno o interesse pelos conteúdos que ele desconhece, desenvolvendo seu senso crítico, criativo e investigativo. Conforme Barbosa (2001, p. 05) Modelagem [...] trata-se de uma oportunidade para os alunos indagarem situações por meio da matemática sem procedimentos fixados previamente e com possibilidades de encaminhamento. Para Biembengut (2004, p. 29): A modelagem orienta-se pelo ensino do conteúdo programático (e não programático) a partir de modelos matemáticos [...], e pela orientação dos alunos à pesquisa. A este método que faz adaptação do processo de modelagem que denomino de modelação matemática. O professor ao trabalhar a modelagem como metodologia de ensino deve procurar ser criativo, motivador e acima de tudo assumir-se como mediador entre o saber comum e o saber matemático, fazendo com que o aluno passe a ser agente ativo no processo de construção do saber. Em relação ao processo de ensino-aprendizagem da matemática, torna-se

26 25 importante que o contexto esteja presente para incentivar seus alunos no desenvolvimento das atividades, levando em consideração seus interesses. Entretanto, essa prática não tem ocorrido, tendo uma das conseqüências o desinteresse dos alunos pela disciplina, fazendo emergir o questionamento: Para que vou utilizar este conteúdo na minha vida?. Conforme Rocha (2004, p. 13) hoje em nosso país, a ênfase maior é dada ao produto e não ao processo, o que implica na má qualidade do ensino. O fato é que as escolas, em particular as universidades, possuem um ensino que ainda funciona no sistema de autotransmissão, no qual as pessoas passam em exames e ensinam outras a passar em exames, mas ninguém sabe muita coisa.(bassanezi, 2002, p. 176) As atividades de Modelagem Matemática utilizadas como estratégia de ensino e aprendizagem são consideradas como oportunidades para explorar os papéis que a matemática desenvolve na sociedade contemporânea. Segundo Barbosa (2001, p. 04) nem matemática nem modelagem são fins, mas sim meios para questionar a realidade vivida. O método de ensinar matemática, por meio da Modelagem tem suas origens no método utilizado pelos profissionais da matemática aplicada. Nas citações feitas por Bassanezi (2002) sobre ensino-aprendizagem com Modelagem, o que fica evidenciado é a recorrência à matemática aplicada que pode servir tanto como método científico de pesquisa quanto como uma estratégia de ensino e aprendizagem. Segundo o autor (2002, p. 15): Para o desenvolvimento de um novo modelo de educação menos alienado e mais comprometido com as realidades dos indivíduos e sociedades, necessitamos lançar mão de instrumentos matemáticos interrelacionados a outras áreas do conhecimento humano. Uma das diversas justificativas para a utilização da modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem é a relação que esta metodologia faz da matemática com a realidade. Nesse processo é importante a ligação dos conceitos e das técnicas desenvolvidas pelos indivíduos. A modelagem e a modelação matemática, enfim, é um recurso que dá ao docente condição de exercer seu poder de análise da realidade, desenvolvendo um conhecimento reflexivo e crítico.

27 26 [...] o ponto de vista que me parece de fundamental importância e que representa o verdadeiro espírito da Matemática é a capacidade de modelar situações reais, codifica-las adequadamente, de maneira a permitir a utilização das técnicas e resultados conhecidos em um outro contexto, novo. Isto é, a transferência de aprendizado resultante de uma certa situação para a situação nova é um ponto crucial do que se poderia chamar aprendizado da Matemática, e talvez o objetivo maior do seu ensino.(d AMBROSIO, 1986, p. 44) Entende-se que a modelagem é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos, podendo ser utilizada desde a Educação Básica até no Ensino Superior. A partir de conceitos matemáticos, essa metodologia procura mostrar a importância da disciplina para o conhecimento e compreensão da realidade onde se vive. Conforme Bassanezi (2002, p. 38): A modelagem no ensino é apenas uma estratégia de aprendizagem, onde o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido mas, caminhar seguindo etapas onde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado. Com a modelagem matemática, o processo de ensino-aprendizagem tem também como objetivo propiciar uma maior interação entre a relação professoraluno-conhecimento, contribuindo para uma aprendizagem significativa. Processo de Modelagem, segundo Biembengut & Hein (2005, p. 22): Exposição do tema Levantamento e seleção de questões Formulação de questões Resolução de uma questão Modelo Validação Conteúdo programático Exemplos análogos Figura 2 - Dinâmica da Modelagem Matemática

28 27 Para implementar no ensino-aprendizagem a Modelagem Matemática, Biembengut (2004, p. 30) descreve duas abordagens para que o educador atue: 1ª Abordagem: Desenvolver o conteúdo programático Em relação ao conteúdo programático que busca-se desenvolver, o professor prepara um modelo matemático ou toma um pronto de qualquer área do conhecimento e adapta-o para o ensino. Esse modelo servirá como orientação, envolvendo o educador em uma série de etapas que baseia-se em: 1) Escolher um tema central para ser desenvolvido pelos alunos, investigando-os a levantarem questões e/ou sugestões sobre o assunto abordado. 2) Dentre as questões ou sugestões levantadas, o educador seleciona e recolhe dados gerais e quantitativos que possam ajudar a desenvolver o conteúdo programático. 3) Baseado nos dados, o educador e os alunos passam a elaborar problemas, levantar hipóteses, organizar os dados conforme interesse dos grupos de alunos. 4) Selecionar as variáveis essenciais envolvidas nos problemas e formular hipóteses. 5) Sistematização dos conceitos que serão usados na resolução dos modelos. O estímulo e orientação para o uso da tecnologia (calculadoras e/ou computadores) nesta etapa são importantes. 6) Interpretação da solução, retorna-se à questão que gerou o processo, formula-se um modelo matemático e resolve-se o problema. 7) Validação dos modelos, o aluno interpreta a solução, e avalia o resultado. Isso permite ao aluno melhor compreensão dos resultados obtidos. De acordo com Biembengut (2004, p. 31) O modelo matemático guia pode ser único para todo o período letivo ou para desenvolver cada tópico matemático do programa. O essencial é que ao aplicar a modelagem matemática, esta desperte no aluno o interesse, a motivação, que desenvolva o raciocínio do aluno como cidadão crítico e sobretudo a compreensão do papel sócio-cultural da matemática.

29 28 Barbosa cita que há várias maneiras de conceber e materializar a modelagem na sala de aula, de modo que podem se organizar de diferentes maneiras: A Modelagem pode servir como motivação para introduzir novos conceitos e/ou aplicar conhecimentos adquiridos anteriormente; A escolha de um tema e a formulação do problema nãomatemático a ser modelado podem ficar sob responsabilidade do professor ou do aluno; A modelagem pode estar integrada a um programa pré-definido ou pode se constituir numa atividade extra, e assim por diante. (BARBOSA, 1999, p. 05) Assim, a organização das atividades de Modelagem depende muito das possibilidades do contexto escolar e do nível de flexibilidade do professor perante o método. 2ª Abordagem: orientar os alunos a modelar - pesquisar Nesta etapa o trabalho é realizado paralelamente ao desenvolvimento do conteúdo programático. Onde seu principal objetivo é: [...] criar condições para que os alunos aprendam a fazer pesquisa atividade pouco comum, apesar de fazer parte do currículo; passem a atuar/fazer e não apenas receber pronto sem compreender o significado do que estão estudando; promover conhecimento, criatividade e senso crítico, principalmente na formulação e validação do modelo; inteirar-se dos trabalhos dos demais grupos, no seminário e, dentre outras coisas, aplicar as normas da metodologia científica, ao elaborar uma exposição escrita do trabalho. (BIEMBENGUT, 2004, p. 31) Conhecendo as duas abordagens, considera-se a primeira bastante apropriada, pois proporciona ao aluno melhor entendimento dos conteúdos desenvolvidos, partindo de etapas que o faz compreender o significado do que esta estudando. A segunda etapa, porém, depende da realidade do sistema educacional. Há poucas bibliografias publicadas que tratam dessa tendência em Educação Matemática, tornando-se difícil esse tipo de atividade proposta pelo professor envolvendo a Modelagem Matemática. Assim sendo, acredita-se que a matemática deveria ser ensinada de modo a ser um estímulo à capacidade de investigação do educando, fazendo-o raciocinar.

30 29 Neste contexto, a tarefa do professor seria o desenvolvimento da criatividade, apoiada na reflexão sobre os conhecimentos matemáticos e nas suas aplicações. Quanto à escola, ela deve oferecer recursos para tornar possível o trabalho do professor. Desse modo, o ensino-aprendizagem da matemática deveria estar apoiado em experiências agradáveis, capazes de oferecer o desenvolvimento de atitudes positivas, que estas, conduziriam a uma melhor aprendizagem. 3.2 Obstáculos para a aplicação da Modelagem Matemática no processo ensino - aprendizagem Atualmente, encontra-se dentro da educação matemática, resultados insatisfatórios obtidos na docência da disciplina de matemática nos diversos níveis de ensino, ou seja, desde a pré-escola até ao ensino superior. São muitas as causas que contribuem para esse fracasso, Bassanezi (2002) descreve algumas delas em relação às dificuldades na implementação da Modelagem Matemática na sala de aula, concentrando-se em três eixos: Escola, Alunos e Professores. 1º Obstáculos Instrucionais: Cursos regulares possuem um programa que deve ser desenvolvido completamente. A modelagem pode ser um processo muito demorado não dando tempo para cumprir o programa todo. Por outro lado, alguns professores têm dúvida se as aplicações e conexões com outras áreas fazem parte do ensino de Matemática, salientando que tais componentes tendem a distorcer a estética, a beleza e a universidade da Matemática. 2º Obstáculos para os estudantes: O uso da modelagem foge da rotina do ensino tradicional e os estudantes não acostumados ao processo, podem se perder e se tornar apáticos nas aulas. A formação heterogênea de uma classe pode ser também um obstáculo para que alguns alunos relacionem os conhecimentos teóricos adquiridos com a situação prática em estudo. 3º Obstáculos para os professores: Muitos professores não se sentem habilitados a desenvolver modelagem em seus cursos, por falta de conhecimento do processo ou por medo de se encontrarem em situações embaraçosas quanto às aplicações de matemática em áreas que desconhecem. Acreditam que perderão muito tempo para preparar as aulas e também não terão tempo para cumprir todo o programa do curso. (BASSANEZI, 2002, p. 37) Há muito tempo no contexto escolar, a causa deste fracasso tem sido atribuída aos alunos, o que levou os professores a procurarem estratégias metodológicas que motivassem e facilitassem a compreensão dos conteúdos. No entanto, esta procura tem influenciado professores pela busca de uma base teórica

31 30 para fundamentar a prática, pois ainda existem educadores com posturas e rigores científicos, valorizando a memorização de conceitos. Na escola atual, os resquícios da matemática moderna encontra-se ainda muito presente, e os conteúdos trabalhados são aqueles presentes no livro didático, onde suas aulas se restringem a exercícios de fixação. Desta forma, educandos entendem que o estudo é uma mera memorização, e estes se tornam excessivamente dependentes do professor, uma vez que se sentem desmotivados e despreparados para assumir uma nova metodologia de ensino. Eles estão acostumados a ver o professor como transmissor de conhecimento e, portanto, têm uma postura passiva em relação à aula. Esperam receber explicações e participar apenas fazendo perguntas ou resolvendo exercícios. Quando o trabalho coloca o centro do processo ensino-aprendizagem nos alunos, e quando os resultados dependem da ação deles, a aula passa a caminhar em ritmo lento, pois eles não estão acostumados a agir e nem sempre sabem o que fazer, ou por onde começar. (FRANCHI apud BARBOSA, 1999, p. 18) Alguns autores como Bassanezi (2002) e Biembengut (2004), têm apontado que os professores são um dos principais obstáculos para a implementação da Modelagem Matemática na escola, um destes motivos é a não preocupação com a formação continuada. Os professores se sentem inseguros nas atividades de Modelagem, e identificam que a implementação desta metodologia modificará suas posturas didáticas. Essas dificuldades por parte dos professores vêm principalmente da sua formação inicial, ganhando reforço em sua trajetória nos cursos de Licenciatura. Segundo Barbosa (1999, p. 20) [...] possíveis dificuldades dos professores com Modelagem Matemática não é redutível à questão de competência profissional por si mesma, mas perpassa por sua formação acadêmica. Conforme Biembengut (2004, p. 37) existem algumas ocorrências mais comuns que podem dificultar a implementação da modelagem ou modelação no ensino-aprendizagem da matemática, tanto em relação ao professor, quanto em relação ao aluno. Para o professor - Interpretação do contexto: No ensino tradicional, a matemática poucas vezes é apresentada aos alunos com situações-problemas que requer leitura,

32 31 interpretação, formulação e resolução do contexto. Sem essa vivência, essa capacidade vai se perdendo. - Aperfeiçoamento: Como a modelagem e a modelação vêm sendo defendidas como método de ensino há pouco mais de uma década, os Cursos de Formação Continuada e Especialização nessa área já realizados ainda não foram suficientes para atingir todos os professores. Os cursos apenas sinalizam a questão, provocando certa motivação por parte dos professores. - Bibliografia: Há poucos trabalhos publicados sobre modelagem e modelação, dificultando o acesso para pesquisa do professor. - Orientação: Curso sobre modelagem não propicia segurança suficiente ao professor para pôr em prática o método. Segurança e habilidade, só são adquiridas com o tempo. A orientação de um especialista dirimindo dificuldades, auxiliando o planejamento e a condução das atividades, propiciaria certamente segurança ao professor. - Planejamento: O planejamento é vital, é preciso estabelecer com antecedência, as estratégias que devem ser utilizadas para diminuir os problemas referentes à aprendizagem, à estrutura e a forma que se vai adotar, às práticas que melhor se aplicarão e à avaliação do processo e do resultado. A ausência de planejamento pode levar à desorientação por parte do professor e, conseqüentemente, dos alunos. - Disponibilidade para aprender para orientar: Para que o professor possa orientar os alunos na realização de seus trabalhos, é necessário tomar ciência dos temas, antes de chegar na etapa de delimitação do problema e formulação. Quanto maior o número de grupos de alunos, maior o número de temas e, por conseguinte, maior o tempo de que o professor terá que dispor para estudar. - Orientação: O processo exige orientação por parte do professor. O professor planeja o tempo que pode dispor para cada grupo em sala de aula, o tempo disponível mostra-se insuficiente para adequada orientação. - Apoio da comunidade: O compromisso com a Educação é de todos e envolver a comunidade escolar/institucional pode contribuir. Sem este apoio, o professor pode desestimular-se na ocorrência de resistências por parte de alunos ou pais. - Avaliação: O processo de ensino e aprendizagem contempla para os alunos: orientação adequada, formalização dos conteúdos e estímulo à criatividade.

33 32 Nesse sentido, os critérios e instrumentos de avaliação devem ser reformulados. A prova escrita para verificar se o aluno sabe ou não aplicar uma técnica de resolução não pode mais ser o único procedimento. A modelação requer avaliação diagnóstica, processual e de resultados. O objetivo da avaliação é saber o que o aluno conhece, quanto conhece e o que ainda necessita conhecer, o que muitas vezes os cursos de Formação tanto inicial quanto continuada não levam em consideração. Para o aluno - Interpretação de um contexto: O ensino tradicional não capacita o aluno a fazer leitura do contexto. Raramente são desenvolvidas habilidades de realizar leitura de música, obra de arte, contexto histórico, situação política, entre outras. Nestes termos, quando o aluno é colocado diante de um contexto, apresenta dificuldades em ler, entender e interpretar. - Disponibilidade para pesquisa: Os temas exigem pesquisa para a qual, muitas vezes, a escola não dispõe de recursos. Neste caso, a pesquisa feita fora dos limites escolares pode não ser sempre possível, além disso, alunos que trabalham têm dificuldade para efetuar pesquisa, bem como orientação fora do horário da aula. - Escolha do tema: A escolha do tema não é simples. A idéia de cada aluno em escolher um assunto de interesse nem sempre proporciona os resultados esperados. Se o tema escolhido for muito simples que não acrescente qualquer conhecimento matemático, pode gerar desmotivação e desinteresse pelo trabalho. - Trabalho em grupo: O tema escolhido pelo grupo não assegura o interesse de todos, além disso o tema pode exigir conhecimento matemático que não consta no programa. Isso requer maior empenho de cada um para aprender e realizar a proposta. A ausência de empenho e compromisso rompe a proposta de realizar o trabalho em grupo, ficando nas mãos de um ou dois alunos, desviando o sentido de grupo, que é a cooperação e socialização pela aprendizagem. Conhecedores de alguns obstáculos, considera-se que apesar da presença da Modelagem na Educação Matemática, esta continua distante dos professores e portanto, dos alunos e das salas de aula. Porém, estes problemas poderão ser vencidos pelo próprio professor com um trabalho contínuo, onde ele possa além de ensinar, aprender a fazer Modelagem, e transformar o ambiente de sala de aula num ambiente de interação permanente possibilitando a aprendizagem.